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模板2立体几何问题(满分15分)如图，已知四棱锥PABCD. APAD是以4D为斜边的等腰直角三角形，BC//AD, CQ丄AD, PC=AD=2DC=2CB, E为PD的中占I 八、、•(1)证明：CE〃平面MB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.满分解答⑴证明如图，设PA中点为凡连接餌FB. M J 因为E, F分别为PD，"中点，］仆（1分）所以EF//AD且EF=2AD,1“（2 分）又因为BC//AD, BCpAD，所以EF//BC且EF=BC,即四边形BCEF为平行所以CE//BF.又因为CE平面豳肿平面PAB,因此CE//平面PAB.（2）解分别取BC, AD的中点为M, N,连接PN交EF于点0 连接MQ.因为E, F, N分别是PD, PA, AD的中点，所以。
为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ // CE.（7分）由为等腰直角三角形得PN丄4D由DC丄AD, BC//AD, BC=^AD, N是AD 的中点得BN丄4D因为PNHBN=N.所以AD丄平面PBN.（9分）（11 分）由BC//AD得BC丄平面PBN,因为BC 平面FBC,所以平面PBC丄平面PBN.（12 分）过点0作P〃的垂线，垂足为则丄平面PBC.连接MH,则是M0在平面PBC上的射影，所以ZQMH是直线CE与平面PBC所成的角•设仞=1 在△"£> 中’（12 分）由PC=2, CD=1, PD=\[2得CE=边，在Z\PBN 中,由FN=BN=\,户3=羽得QH=£] 、伍在RtAMQH中，QHp MQ=伍所以sinZQMH=^ 所以，直线CE与平面PBC所成角的正（15 分）弦值是半.（16 分）得分说明①能指出EF//AD, BC//AD各得1分；②能得到CE//BF,得3分；③条件CE 平面与平面错1个扣1分；④指出MQ〃CE得1分；⑤指出PN1AD, BN丄AD, PNOBN=N,得2分，缺1个条件扣1分;⑥得出BC丄平面PEN得2分；⑦指出ZQMH是所求角，得到1分;⑧计算正确得3分•错误一个量扣1分.解题模板第一步由线线平行得平行四边形；第二步由线线平行得线面平行；第三步由线线垂直得线面垂直；第四步得出线面角；第五步在三角形中计算各个边，求值.【训练21如图,三棱柱AB&A X B X C X所有的棱长均为托，AiBJLAC ・(1)求^正：A]C\ 丄B]C；(2)求直线AC和平面ABB.A.所成角的余弦值.丄4C, A"BO=B, A{B平面4/0, BO平面4/0,(1)证明法一取4C的中点O,连接合O, BO,：・B0丄AC. :.AC丄平面A X BO.连接AB】交A/于点M,连接OM,贝\\B{C//OM,又V OM平面A]BO, :.AC丄0M, :.AC丄QC. VA^i/ZAC, :.A[C l丄QC・法二连接Ad，BC V•••四边形A/BB]是菱形,:.A.B丄4$, XVAjB丄AC, AB^AC=A, :.A X BL^\^AB X C, :.A X B丄B]C,又•・•四边形B占CC,是菱形，・・・BCi丄BQ,又VAjBABC^B, :.B X C丄平ffiAjBCp :.B X C丄儿(2)解由法二知A/丄平面AB]C,又・.・4出平面・••平面ABiC丄平面T平面4B]CQ平面ABB/i =4B], AAC^E平面ABB/]内的射影为4Q,・•・ZB^AC为直线AC和平面ABB/]所成的角._______ AC 2AB! = 2AM=2\]AB2-BM2=^10, J在RtAACB i 中，cosZB{AC=^=^= "雲，直线AC和平面ABB jA!所成角的余弦值为玛2。
知识点3：立体几何 【5年真题】04（19）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点. （Ⅰ）求证AM∥平面BDE ； （II ）求证AM⊥平面BDF ； （III ）求二面角A —DF —B 的大小；05（18）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证：OD ∥平面PAB ；（II ）求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．PODC06（17）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，︒=∠90,//BAD BC AD ，⊥PA 底面ABCD ，且BC AB AD PA 2===，N M ,分别为PB PC ,的中点.(Ⅰ) 求证：DM PB ⊥；（II ） 求BD 与平面ADMN 所成的角。
07（20） 在如图所示的几何体中，⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC ，BC AC ⊥，且AE BD BC AC 2===，M 是AB 的中点．（I ）求证：EM CM ⊥；（II ）求DE 与平面EMC 所成的角的正切值．E DCMAB08(20)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∠∠︒903︒60ABCD1,2==ADABE CD ADE∆AE⊥ADE ABCE D-⊥BE ADE BDABCD BDADCDCB⊥=,⊥PA ABCD NM,PCAB,//MN PAD︒=∠45PDA ⊥MN PCD111CBAABC-12AAAB=D11CA//1BC DAB1⊥CA1DAB1 ABCDP-.,21,,//PCBCABDCADABADABCD⊥==⊥BCPA⊥PB M//CM PAD ABCDP-ABCD⊥PAD ABCD PDPA=PD ABCD︒45⊥PA PDC E AB PD Q//EQ?PBC Q ABCDP-⊥PAD ABCD DCAB//PAD∆82==ADBD542==DCAB M PC⊥MBD PAD ABCDP-1111DCBAABCD-PADABCDP∆-,P ABCD AD E442,90===︒=∠DCADBCADC PACD⊥BP ABCD ABCDP-1111DCBAABCD-6,2==PAAB11DBPA⊥PA11BBDDθABCV-⊥VC ABC DBCAC,⊥AB BCAC=)20(πθθ<<=∠VDC⊥VAB VCDθBC VAB 6πABCDP-ABCD⊥PA ABCD FEABC,,60︒=∠PCBC,PDAE⊥H PDEH PAD26ABCDP-ABCDP-⊥PA ABCD ADAB⊥CDAC⊥︒=∠60ABC BCABPA==E PC AECD⊥⊥PD ABE CPDA--ABCDABDEBADDCAB⊥︒=∠==,45,1,3ADE∆DE EBAE⊥,,ABAC M AB⊥BCAEC EM ACDABCDABDEBADDCAB⊥︒=∠==,45,1,3ADE∆DE EBAE⊥ABAC,⊥ADE ACD AB M EMC1:2:=MECBADCMEVVM AD EMC FE,ABCD CDAB,G EF,GAB∆GCD∆CDAB,,1ABG∆CDG2∆21GG⊥ABG1ABCD ADGG//21ADGG<212BG⊥ABG121ADGG 12=AB25=BC8=EG2BG21ADGG6F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。
