等差数列求项数、末项练习

【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。

如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550⨯⨯（）（方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ⨯-（）， 所以，第102项321021205=+⨯=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+-⨯5(281)1=+-⨯32=(根)故最下面的一层有32根．【答案】32例题精讲等差数列应用题【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。

高二等差数列求和练习题与答案等差数列是数学中的重要概念，也是高中数学中的基础知识点之一。

在高二的学习中，我们要掌握等差数列的求和公式，进一步巩固和应用这一概念。

下面将给出一些高二等差数列求和的练习题，并提供详细的解答。

练习题1：求等差数列1，3，5，7，9的和。

解：根据等差数列的求和公式，我们可以得知，等差数列的和等于首项与末项的和乘以项数再除以2。

这里，首项为1，末项为9，项数为5。

代入公式得：总和 = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2= (1 + 9) × 5 ÷ 2= 10 × 5 ÷ 2= 50 ÷ 2= 25所以，等差数列1，3，5，7，9的和为25。

练习题2：求等差数列2，5，8，11，...，101的和。

解：这是一个公差为3的等差数列，我们需要找到首项、末项和项数，然后代入求和公式进行计算。

首项 a = 2公差 d = 5 - 2 = 3末项 l = 101项数 n = (l - a) ÷ d + 1= (101 - 2) ÷ 3 + 1= 99 ÷ 3 + 1= 33 + 1= 34总和 = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2= (2 + 101) × 34 ÷ 2= 103 × 34 ÷ 2= 3502 ÷ 2= 1751所以，等差数列2，5，8，11，...，101的和为1751。

练习题3：已知等差数列的首项为7，公差为4，和为123。

求该等差数列的项数。

解：我们可以根据求和公式来解题，将已知的数据代入公式求解。

公式为：总和 = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2将已知数据代入得：123 = (7 + l) × n ÷ 2化简得：246 = (7 + l) × n由于等差数列的首项是7，公差是4，所以末项 l = 7 + 4 × (n - 1)。

小升初等差数列专项训练 像（1）1，2，3，4，5，…（2）10，20，30，40，50，…（3） ， ， ，1，1 ，…这种从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。

在等差数列a 1，a 2，a 3，a 4，…a n 中，它的公差是d ，那么a 2=a 1＋da 3= a 2＋d=(a 1＋d) ＋d= a 1＋2da 4= a 3＋d=(a 1＋2d) ＋d= a 1＋3d…由此可见，等差数列从第2项起，每一项都等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项的项数减1的差，所以：a n = a 1＋(n －1) ×d 。

这个公式我们称它为等差数列的通项公式，利用它可以求出等差数列中的任何一项。

等差数列和=（a 1＋a n ）×n÷2经过总结：等差数列和=（a 1＋a n ）×n ÷2 （等差数列和=（首项+末项）×项数÷2）a n = a 1＋(n －1) ×d (任意项的值=首项+（项数－1）×公差)a 1= a n －(n －1) ×d (首项=任意项－（项数－1）×公差)n= (a n －a 1) ÷d+1 (项数=(任意项－首项) ÷公差+1)中间的项=(a n +a 1) ÷2 (中间的项=（末项+首项）÷2)d=（a n －a 1）÷n （公差=（末项－首项）÷项数）本篇专项练习共有习题32道。

1、求等差数列3，8，13，18，…的第38项和第69项。

2、求等差数列1，4，7，10，13，…的第20项和第80项。

3、超市工作人员在商品上依次编号，分别为4，8，12，16，…请问第34个商品上标注的是什么数字？第58个呢？4、商店中推行打包促销活动，每6个商品为一包。

北师大版七年级数学(上)知识的拓展(1)---等差数列1.数列的定义：若干个数排成一列，就称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

首相：第一个数称为首项(通常用1a 来表示)。

第几项：第几个数称为第几项(通常用几a 来表示) 末相：最后一个数叫做这个数列的末项。

例题1：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数,并求出数列的第n 项，即n a(1) 1, 3, 5, 7, ( ), 11, …… (2)356,154,32,( ),9910, (3),8,29,2,21( ),18,……. (4),436,324,212( ),…… 例题2：,......41,32,23,14,31,22,13,21,12,11则98为第( )项。

2.等差数列的定义：一个数列从第二项开始，每一项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

公差：这个差称为公差（我们用 d 来表示）。

（1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 例题3： 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数,并求出数列的第n 项，即n a(1) 1、 4、 7、 10、 （ ） 16、 19 …… (2) 13,20,27,34,( ),……例题4：用火柴棒按下图的方式搭三角形，填写下表3.数列前n 项和：将一个数列从第一项到第n 项所有项依次相加的结果，称之为数列的前n 项和。

记为例如:d n a a n )1(1-+=1)(1+÷-=d a a n n火柴棒的根数n … 5 4 3 2 1 三角形的个数....;213213n n a a a S a a a S +++=++=n S4.等差数列前n 项和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2即：5.巧设未知数三个数成等差数列如何设： 四个数成等差数列如何设： 例题4：求和(1) 2+4+6+8+...+200 (2)（2＋4＋6＋...2014）－（1＋3＋5＋ (2013)例题5:堆圆木,第20堆有多少根圆木？第n 堆有多少根圆木？例题6：三个数成等差数列，他们的和是24，积是480，求这三个数？配套练习：1、先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数,并求出数列的第n 项，即n a(1)1, 5, 9, 13, ( ), 21, ……(2)485,243,81,( ),1209,……. (3)316,3,34,31 ( ),12 , (4),435,323,211( ),……2、,......41,32,23,14,31,22,13,21,12,11则1615为第( )项3……（1）（2）（3） （4） （n ）摆 桌 椅2).(1n a a S n n +=4.数列2、5、8、11、…….(1)3000在这个数列中吗？若在是第多少项？ (2)5999在这个数列中吗？若在是第多少项？5.1+2+3+…+2012+2013+2012+…+3+2+16.1952+1962+1972+1982+1992+2002+20127.已知一个等差数列首项是12，第25项是108，求公差？8.在100到300之间，所有个位数字是4的倍数的自然数之和是多少？9.如图，照这样摆下去，若摆到第80层，一共需白色的正方形_______个，黑色的正方形________个按图中的方式继续排列桌椅，完成下表可坐人数n…5 4321桌子的张数10.一把钥匙和一把锁配着，现在有十把钥匙和10把锁混着了，最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好？11.把27枚放到7个不同的盒子中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能给出具体方案，若不能，说明理由？12.两个小朋友玩数字游戏，游戏的规则如下：(1)从1开始数到30结束，只能数整数；(2)每次至少比对方多1，最多比对方多3。

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。

{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。

{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

第十二讲 等差数列（二）1、等差数列中常用的计算公式：等差数列的求和公式：和=（首项+末项）⨯项数÷2字母公式：2)(1÷⨯+=n a a S n n末项=首项+（项数1-）⨯公差,字母公式：d n a a n ⨯-+=)1(1项数=（末项-首项）÷公差1+,字母公式：1)(1+÷-=d a a n n首项=末项－（项数－1）×公差 字母公式：1n a a (n 1)d =--⨯公差=（末项－首项）÷（项数－1）字母公式：n 1d (a a )(n 1)=-÷-2、等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半,即中间项=和÷项数.奇数项等差数列求和公式为：和=中间项×项数【例1】等差数列：3,10,17,24,……,73（1）公差是多少？（2）数列共有多少项？（3）按照这样的顺序,第18项是多少？【答案】（1）7；（2）11；（3）122.【解析】（1）公差为10－3=7；（2）项数=（末项－首项）÷公差+1=（73－3）÷5+1=11（项）（3）第18项为3+（18－1）×7=122.【例2】一个等差数列共有13项,每一项都比它前面一项大2,并且首项为23,求末项是多少？【答案】47.【解析】此数列是首项为23,项数为13,公差为2的等差数列.则根据末项公式得：末项=首项+（项数－1）×公差=23+（13－1）×2=47.【例3】在数字1和73之间插入5个数,使这些数构成等差数列,求这个等差数列的公差是多少？【答案】12.【解析】 首项是1,末项是73,项数是5+2=7（项）,公差=（73－1）÷（7－1）=12.【例4】一个等差数列的第五项是17,第九项是29,求公差是多少？求首项是多少？【答案】3；5.【解析】第五项与第九项之间有9－5=4（个）公差,公差为（29－17）÷（9－5）=3.因为第九项=首项+（9－1）×公差,所以首项=第九项－（9－1）×公差=29－8×3=5.【例5】编号为1～9的九个盒子中各放有一些糖果,已知每个盒子都比前一号盒子多同样数量的糖果.如果第5号盒子放10颗糖果,那么九个盒子里一共放了多少颗糖果？【答案】12.【解析】题目中的第五个盒子中的糖果数是10颗,就是中间项是10,项数是9,和=中间项×项数,所以一共有10×9=90（颗）.【例6】把84米长的一根绳子分成7段,使后面一段都比前面一段多3米.那么这7段绳子中最长的一段长多少米？【答案】21米.【解析】奇数项等差数列,中间项＝和÷项数,中间段（第四段）是：84÷7=12（米）,最长的一段长12+3×3＝21（米）.【例7】一个等差数列的第5项是15,前11项之和为198,这个数列的第20项是多少？【答案】60.【解析】因为11项的和为198,所以第6项（中间项）：198÷11=18,公差：(18－15)÷(6－5)=3,第20项：15+3×(20－5)=60.【例8】数列：2、4、6、8、10、12、……是由连续偶数组成的,如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.【答案】60.【解析】利用等差数列的“中项公式”,对于奇数个连续偶数,最中间的数是320÷5=64,因相邻偶数相差2,所以第1项比第3项（中间项）少2个公差,那么第1项是64－2×2=60.【例9】有15个盒子中共放了300个乒乓球,已知每个盒子都比前一号盒子多放同样多的乒乓球.如果1号盒子放6个球,那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个球？如果3号盒子放15个球,那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个球？【答案】2；1.【解析】此题求的是公差.利用奇数项的等差数列求和,和=中间项×项数,则中间项（第8个盒子）为300÷15=20；若1号盒子放6个球,则公差为（20－6）÷7=2；若3号盒子放15个球,则公差为（20－15）÷（8－3）=1.【例10】有9个数成等差数列,从小到大排成一行,中间的数是9.前6个数的和比后3个数的和少9.那么第9个数是多少？【答案】17.【解析】总和为9×9=81,后三个数为（81+9）÷2=45,第8个数为45÷3=15,公差为（15－9）÷（8－5）=2,第9个数是15+2=17.【例11】若干人围成20圈,一圈套一圈,从外圈向内圈人数依次少4人,如果共有880人,问最外圈有多少人？最内圈有多少人？【答案】82；6.【解析】根据偶数项的等差数列特点分组,第一项与最后一项,第二项与倒数第二项,第三项与倒数第三项,……,每组的和都相等,都是880÷(20÷2)=88,而第一项与第20项的差为(20－1)×4=76,利用和差公式,可得最外圈有(88+76)÷2=82（人）,最内圈有88－82=6（人）.【例12】盒子里放有1个乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出1个乒乓球,将它变成5个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出2个球,将每个球各变成5个球后放回盒子里；……；第十次从盒子里拿出10个乒乓球,将每个球各变成5个球后放回到盒子里,这时盒子里共有多少个乒乓球？【答案】221个.【解析】魔术师第一次魔术后乒乓球增加5－1=4（个）,第二次后增加2×4=8（个）,第三次后增加3×4=12（个）,……,第十次后增加10×4=40（个）.这时盒子里一共有1+4+8+12+……+40=1+(4+40)×10÷2=221（个）.课后练习：1.一个等差数列共有9项,每一项都比它前面一项大5,并且首项为17,求末项是多少？【答案】57.【解析】此数列是首项为17,项数为9,公差为5的等差数列.则根据末项公式得：末项=首项+（项数－1）×公差=17＋（9－1）×5=57.2.一个等差数列的第一项是8,第十项是80,求公差是几？【答案】8.【解析】第十项=首项+（10－1）×公差,所以第一项与第十项之间有10－1=9（个）公差,公差为（80－8）÷（10－1）=8.～的七个盒子中放了一些玻璃球,已知每个盒子都比前一号3.小明在编号为17盒子多放同样多的玻璃球.如果4号盒子里放27个玻璃球,那么七个盒子里共放了多少个？【答案】189个.【解析】题目中的第四个盒子中的玻璃球个数是27,就是中间项是27,项数是7,和=中间项×项数,所以一共有7×27=189（个）.4.学校礼堂共有20排座位,已知第一排是15个座位,以后每排比前一排多一定数量的座位,第十排有33个座位,求第20排有多少个座位？【答案】53个.【解析】首项是15,第十项是33,公差是（33－15）÷（10－1）=2（个）,所以第20排有15+（20－1）×2=53（个）.5.一个等差数列的第3项是7,前9项之和为99,这个数列的第20项是多少？【答案】41.【解析】因为9项的和为99,所以第5项（中间项）：99÷9=11,公差：（11－7)÷(5－3)=2,第20项：7+2×(20－3)=41.6.7个连续奇数的和为91,其中最小的数是多少？【答案】7.【解析】项数是7,和是91,中间项（第4项）：91÷7=13,连续的奇数所以公差为2,第1项：13－2×（4－1）=7.7.有13个数成等差数列,从大到小排成一行,中间的数是20.前6个数的和比后7个数的和大64.那么第13个数是多少？【答案】8.【解析】13个数的中间的数是第7个数,即第7项为20.总和为13×20=260,后7个数的和为（260－64）÷2=98,第10个数为98÷7=14,公差为（20－14）÷（10－7）=2,第13个数是14－2×（13－10）=8.8.幼儿园380个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏,已知最内圈20人,最外圈56人,如果相邻两圈相差的人数相等,那么相邻两圈相差多少人？【答案】4人.【解析】这一等差数列的和是380,首项20,末项56,先根据公式“和=(首项+末项)×项数÷2”求出项数：380÷[(20+56)÷2]=10（圈）.再根据公式“公差=(末项－首项)÷(项数－1)”求出公差：(56－20)÷(10－1)=4（人）.9.在一次考试中几个同学的分数恰好构成了等差数列,排名第六的小红分数为78分,前9名同学的分数之和为720分,这几个同学中排名第一的同学考了多少分？【答案】88分.【解析】前9项的中间项（第5名）为720÷9=80（分）,公差(80－78)÷(6－5)=2（分）,则排名第一的同学考了80+(5－1)×2=88（分）.10.盒子里放有2个乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出2个乒乓球,将每个球各变成3个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出3个球,将每个球各变成3个球后放回盒子里；……；第十次从盒子里拿出11个乒乓球,将每个球各变成3个球后放回到盒子里,这时盒子里共有多少个乒乓球？【答案】132个.【解析】魔术师第一次魔术后乒乓球增加2×(3－1)=4（个）,第二次后增加3×(3－1)=6（个）,第三次后增加4×(3－1)=8（个）,……,第十次后增加11×(3－1)=22（个）.这时盒子里一共有2+4+6+8+……+22=2+(4+22)×10÷2=132（个）乒乓球.。

【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。

如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++ =2+10025=10325=2550××（）（方法二）根据12398991005050++++++= ，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ×−（）， 所以，第102项321021205=+×=（-）；由“项数=(末项−首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499−÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+−×5(281)1=+−×32=(根)故最下面的一层有32根．【答案】32【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。

数列等差练习题1. 给定等差数列的前5项为3, 7, 11, 15, 19，求该数列的公差d和首项a。

解析：根据等差数列的定义，每一项与前一项的差值都是相等的。

首先计算公差d，可以选择任意两个相邻的项进行计算：d = (7 - 3) = (11 - 7) = (15 - 11) = (19 - 15) = 4所以公差d为4。

接下来计算首项a，可以选择第一项与公差的关系求解：a = 3 - (1-1) * d = 3所以首项a为3。

2. 给定等差数列的前项和S为60，首项为3，公差为5，求该等差数列的项数n。

解析：等差数列的前项和可以通过求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算。

带入已知条件：60 = (n/2)(2 * 3 + (n-1) * 5)进行方程求解，简化后得到：60 = 3n + 5n^2 - 5n= 5n^2 - 2n化简为二次方程：5n^2 - 2n - 60 = 0接下来使用求根公式：n = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 5 * (-60))) / (2 * 5)= (2 ± √(4 + 1200)) / 10≈ (2 ± √1204) / 10由于项数n必须为正整数，取近似值会发现只有一个可行解：n ≈ (2 + √1204) / 10≈ (2 + 34.7) / 10≈ 36.7 / 10≈ 3.67所以项数n约为3.67，取整为4。

3. 给定等差数列的前项和S为168，末项为85，求该等差数列的项数n。

解析：由于等差数列的首项和末项以及项数之间存在关系，可以利用这些已知条件来解决问题。

根据等差数列的定义，末项可表示为：an = a + (n-1)d其中a为首项，d为公差。

代入已知条件：85 = a + (n-1)d另外，等差数列的前项和Sn可以表示为：Sn = (n/2)(a + an)代入已知条件：168 = (n/2)(a + a + (n-1)d)= (n/2)(2a + (n-1)d)进一步化简：168 = (n/2)(2a + (n-1)d)= n^2d + (2a - d)n得到一个关于n的二次方程，但是我们暂时不求解，先观察一下等差数列的首项和末项的关系：a + (n-1)d = an带入已知条件：a + (n-1)d = 85观察上述两个方程，发现第二个方程可以简化为：an = 85利用这个关系，我们可以将第一个方程两边的an替换为85，得到如下方程：168 = n^2d + (2a - d)n= 85 + (2a - d)n化简后得到一个关于n的一次方程：n^2d + (2a - d)n - 83 = 0接下来使用求根公式解这个一次方程：n = (- (2a - d) ± √((2a - d)^2 - 4 * d * (-83))) / (2 * d)= (- (2a - d) ± √((2a - d)^2 + 332d)) / (2d)由于项数n必须为正整数，求根公式中的解必须可行。

《 等差数列》练习题（含答案）内容概述许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得这么快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们回顾加强有关等差数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？分析：以下答案仅供参考！（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d 来表示；和 ：一个数列的某些项的和，常用S n 来表示 .（3） 三个重要的公式：① 通项公式：末项=首项＋(项数-1)×公差1(1)n a a n d =+-⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1 （其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1na a 若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a 若）.找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是 3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法.③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷21()2n n s a a n =+⨯÷对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项 .中项定理也可用在速算与巧算中. 譬如：计算：124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5×524.68=2623.4 .等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透.【复习2】（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？它的第102项是多少？（2）已知等差数列2、5、8、11、14 …，问47是其中第几项？（3）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；（2）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 …、47 ，那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项；（3）要求第8项，必须知道首项和公差.第6项－第4项=（6－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第8项=首项+7×公差=45 ；【复习3】某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位.问：这个剧一共有多少个座位？分析：首项：70-(25-1)×2=22 ，座位总数：(22+70)×25÷2=1150．【复习4】小明从1月1日开始写大字。

等差数列综合练习题目1. 一等差数列的首项是3，公差是5，求第10项的值。

解答：根据等差数列的通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项的值，$a_1$ 表示首项的值，$d$ 表示公差。

代入已知条件可得：$a_{10}=3+(10-1)\times5=3+9\times5=3+45=48$所以第10项的值为48。

2. 一个等差数列的首项是10，公差是-2，求前10项的和。

解答：根据等差数列的前 $n$ 项和公式 $S_n = \frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项的和，$n$ 表示项数，$a_1$ 表示首项的值，$d$ 表示公差。

代入已知条件可得：$S_{10}=\frac{10}{2}[2\times10+(10-1)\times(-2)]=5[20+9\times(-2)]=5[20-18]=5\times2=10$所以前10项的和为10。

3. 一个等差数列的首项是4，末项是34，求项数。

解答：根据等差数列的通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项的值，$a_1$ 表示首项的值，$d$ 表示公差。

代入已知条件可得：$34=4+(n-1)d$化简得：$30=(n-1)d$由于 $d$ 不为0，所以 $n-1$ 必须为10的因数。

因此， $n-1$ 可能是 1、2、3、5、6、10、15、30。

对应的项数分别为 2、3、4、6、7、11、16、31。

由于等差数列是有限的，所以项数应该是整数。

因此，项数为7。

4. 一个等差数列的前5项为-1, 2, 5, 8, 11，求公差。

解答：设公差为 $d$，根据等差数列的通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项的值，$a_1$ 表示首项的值。

代入已知条件可得：$-1= a_1 + (1-1)d= a_1$$2=a_1 + (2-1)d=a_1+d$$5=a_1 + (3-1)d=a_1+2d$$8=a_1 + (4-1)d= a_1+3d$ $11=a_1 + (5-1)d= a_1+4d$由上述方程组我们可以得到：$a_1=-1$$a_1+d=2$$a_1+2d=5$$a_1+3d=8$$a_1+4d=11$将 $a_1$ 的值带入可以得到：$d=3$所以公差为3。