等差数列求项数、末项练习

等差数列的应用知识回顾：项数=(末项-首项) ÷公差+1末项=首项+（项数-1）×公差公差=(末项－首项)÷（项数-1）和=( 首项+末项)×项数÷2首项=末项－（项数－1）×公差如果有一个等差数列的项数个数是奇数项，那么它们的和是中间数×项数，如果是偶数项，它们的和=(末项+首项)×项数÷2典型例题1：下图中共有多少条线段？巩固练习1：典型例题2：下图共有多少个三角形。

巩固练习2：数出下图共有多少个三角形。

下图中共有多少个长方形。

巩固练习3：数出下图中共有多少个长方形。

典型例题4：现有42盆鲜花排成一排，为了追求视觉效果，第一盆和第二盆，第二盆和第三盆之间的间隔都是2米，从第三盆起每两盆之间的距离都增加1米，小明现在从第一盆跑到最后一盆用了4分钟，求小明每分钟跑多少米？巩固练习：现在要栽56棵树，并要求排成一排，而且第一棵和第二棵，第二棵和第三棵，第三棵和第四棵之间的间隔都是3米，从第四棵起每两棵之间的距离都增加2米，小明现在从第一棵跑到最后一棵用了15分钟，求小明每分钟跑多少米？“教师节”那天，学校里请了25位老师参加座谈会，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老师的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老师今年多大了？巩固练习：“某公司开业”那天，公司里请了33位专家参加座谈会，他们的年龄恰好是33个连续自然数，5年以后，这33位老师的年龄之和正好是1815，其中年龄最小的专家今年多大了？典型例题6：在5和25之间插入4个数，使它们组成等差数列，求这4个数。

典型例题7.1——100中除以6有余数的数的和是多少？家庭作业1.下列图共有多少条线段？2. 下图共有多少个三角形。

3.下图中共有多少个长方形。

4.下图中共有多少个正方形。

5.现有80盆鲜花排成一排，为了追求视觉效果，第一盆和第二盆，第二盆和第三盆之间的间隔都是2米，从第三盆起每两盆之间的距离都增加2米，小明现在从第一盆跑到最后一盆用了12分钟，求小明每分钟跑多少米？6. “教师节”那天，学校里请了21位同学参加座谈会，他们的年龄恰好是21个连续自然数，3年以后，这21位老师的年龄之和正好是903，其中年龄最大、最小的老师今年各是多少岁？7.一个有50排座位的电影院的座位数从第一排开始组成等差数列为60，62，64，66，68……，问这个电影院的第32排和最后一排（即第50排）各有多少个座位？8.甲乙二人都住在同一个胡同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数，甲住在21号，乙住在193号，甲乙二人的住处相隔多少个门？9.求所有三位数的和是多少。

【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。

如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550⨯⨯（）（方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ⨯-（）， 所以，第102项321021205=+⨯=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+-⨯5(281)1=+-⨯32=(根)故最下面的一层有32根．【答案】32例题精讲等差数列应用题【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。

等差数列之和练习题等差数列是高中数学中的一个重要概念，涉及到数列的求和问题。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固和提高对等差数列求和的理解和运用。

题目一：求和公式已知等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中n是项数，a1是首项，an是末项。

现给定等差数列的首项是a1=3，末项是an=17，求该数列的和。

解析：根据公式Sn=n(a1+an)/2，代入已知条件可以得到Sn=n(3+17)/2。

计算得到Sn=10n。

题目二：已知求末项已知等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。

现给定等差数列的项数n=10，首项是a1=2，末项未知，且数列的和Sn=45，请求该数列的末项。

解析：根据公式Sn=n(a1+an)/2和Sn=45，代入已知条件可以得到45=10(2+an)/2。

化简得到90=20+10an。

继续化简得到an=7。

题目三：等差数列求和已知等差数列的首项是a1=1，公差是d=3，项数是n=6。

求该等差数列的和。

解析：根据等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2，代入已知条件可以得到Sn=6*(1+an)/2。

化简得到Sn=3(1+an)。

题目四：分段等差数列求和已知等差数列的首项是a1=1，公差是d1=2，项数是n1=4；另一段等差数列的首项是a2=7，公差是d2=3，项数是n2=3。

求这两段等差数列的和。

解析：根据等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2，分别代入第一段和第二段的已知条件可以得到第一段的和S1=4*(1+4)/2=10，第二段的和S2=3*(7+10)/2=51。

两段和相加得到总和S=S1+S2=10+51=61。

通过以上练习题的解析，相信大家对等差数列的求和方法有了更深入的理解。

等差数列求和是数学中的一个基本问题，掌握了求和的方法和公式，可以更好地解决相关问题。

希望大家能够通过不断的练习和巩固，提高自己的数学水平。

等差数列数学家高斯10岁时，他的数学教师给学生们出了一道算术题，将1到100的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。

1＋2＋3＋4＋…＋100 ＝(1＋100)×100÷2 ＝5050数列是指一列有序的数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，通常用αn 表示。

1，2，3，4，5，6…… 35，30，25，20，15…… 3，6，9，12，15，18 8，8，8，8，8，8 1，3，6，10，15，21，28 1，4，9，16，25，36，49从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

在上面的数列中，前两行的4个数列都是等差数列。

一、基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用α1表示； 项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示； 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示； 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用αn 表示； 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用S n 表示．基本思路：等差数列中涉及五个量（α1、αn 、d 、n 、s n ,）,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求出第四个。

二、基本公式：通项公式： 通项＝首项＋(项数一1)×公差； 项数公式： 项数＝(末项－首项)÷公差＋1； 公差公式：公差＝(末项－首项)÷(项数－1)； 求和公式：数列和＝(首项＋末项)×项数÷2； 如果项数是奇数，则数列和＝中项×项数()11n a a n d =+-【例 2】求和：95＋96＋97＋98＋99 【例 1】求和：1＋2＋3＋……＋12＋13解析：根据1＋2＋3＋……＋12＋13＝(1＋13)×13÷2＝91练习一……的第【例 4】 在等差数列中已知α1＝12， α6＝27，求d 的值。

五年级创新思维训练第一讲等差数列掌握的核心内容：项数=（末项－首项）÷公差＋1公差=（末项－首项）÷（项数－1）第几项=首项＋（项数－1）×公差前几项和=（首项＋末项）×项数÷2【导入】观察下面数，找找规律，再总结有什么特点？（1）1，5，9，13，17，21，25…………………………每写一个数都加4（2）1，10，19，28，37，46，55…………………………每写一个数都加9（3）3，6，9，12，15，18，21，24…………………………每写一个数都加3结论：像上面这样一个一个数按照一定的规律排列的数叫做数列，并且后面一个数总比前一个数的差都一样，我们讲它称之为等差数列，一样的差叫做公差。

上面的4，9，3分别是这三个数列的公差。

（那么，认识了这几个称呼我们一起来看看有什么用处吧。

）拿出一列出来1，5，9，13，17，21，25，未了方便识别，我们把1叫做第一项，5是第二项。

例题一：在数列1，4，7，10，13，16……中，2011是其中第几项？讲解过程：①观察上面的数列有什么特点？有没有公差呢？、（等差数列）②看到这样的题目，首先我们要找到这个数列的公差是什么呢？（ 3 ）③第几项是什么意思？（跟排名的道理一样的数我们把它叫做项数，排名第一就是第一项，排名第二就是第二项。

比如说1在这个数列里排名第一，我们把它叫做第一项，它的项数就是1；4在这个数列里排名第二，也叫第二项，它的项数是2。

那么2011在这个数列中排行第几，也就是求2011所对应的项数了。

）④好了，知道什么是项数了，那么大家请思考一下，项数和数列里边的数有什么关系呢？（一一对应）⑤能不能只要知道数列里边的任意一个数，我们就能立马知道这个数的排名呢？或者说这个数的项数呢?（完全可以的。

例如我们想知道13是第几项，那么我们首先可以知道13和1的差是12，那么12里边有多少个公差,3，那么我们就能知道从1到13，（项数）排名是从1开始一个3一个3的往上增加，12里边有4个3，那就意味着排名就是第1+4=5名，一次类推，2011与1的差是2010，而2010有670个3，那么排名就是1+670=671名，即2011是这个数列中的第671项。

等差数列的相关公式(1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505=+⨯÷=⨯= (2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；知识点拨等差数列计算题② 65636153116533233331089（），++++++=+⨯÷=⨯=题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲【例 1】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778+++++++=⑵13578799++++++=⑶471013404346+++++++=【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】⑴根据例1的结果知：算式中的等差数列一共有76项，所以：（）34567677783787623078+++++++=+⨯÷=⑵算式中的等差数列一共有50项，所以：13578799(199)5022500++++++=+⨯÷=⑶算式中的等差数列一共有15项，所以：（）471013404346446152375+++++++=+⨯÷=【答案】⑴3078⑵2500⑶375【巩固】1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。

北师大版七年级数学(上)知识的拓展(1)---等差数列1.数列的定义：若干个数排成一列，就称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

首相：第一个数称为首项(通常用1a 来表示)。

第几项：第几个数称为第几项(通常用几a 来表示) 末相：最后一个数叫做这个数列的末项。

例题1：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数,并求出数列的第n 项，即n a(1) 1, 3, 5, 7, ( ), 11, …… (2)356,154,32,( ),9910, (3),8,29,2,21( ),18,……. (4),436,324,212( ),…… 例题2：,......41,32,23,14,31,22,13,21,12,11则98为第( )项。

2.等差数列的定义：一个数列从第二项开始，每一项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

公差：这个差称为公差（我们用 d 来表示）。

（1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 例题3： 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数,并求出数列的第n 项，即n a(1) 1、 4、 7、 10、 （ ） 16、 19 …… (2) 13,20,27,34,( ),……例题4：用火柴棒按下图的方式搭三角形，填写下表3.数列前n 项和：将一个数列从第一项到第n 项所有项依次相加的结果，称之为数列的前n 项和。

记为例如:d n a a n )1(1-+=1)(1+÷-=d a a n n火柴棒的根数n … 5 4 3 2 1 三角形的个数....;213213n n a a a S a a a S +++=++=n S4.等差数列前n 项和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2即：5.巧设未知数三个数成等差数列如何设： 四个数成等差数列如何设： 例题4：求和(1) 2+4+6+8+...+200 (2)（2＋4＋6＋...2014）－（1＋3＋5＋ (2013)例题5:堆圆木,第20堆有多少根圆木？第n 堆有多少根圆木？例题6：三个数成等差数列，他们的和是24，积是480，求这三个数？配套练习：1、先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数,并求出数列的第n 项，即n a(1)1, 5, 9, 13, ( ), 21, ……(2)485,243,81,( ),1209,……. (3)316,3,34,31 ( ),12 , (4),435,323,211( ),……2、,......41,32,23,14,31,22,13,21,12,11则1615为第( )项3……（1）（2）（3） （4） （n ）摆 桌 椅2).(1n a a S n n +=4.数列2、5、8、11、…….(1)3000在这个数列中吗？若在是第多少项？ (2)5999在这个数列中吗？若在是第多少项？5.1+2+3+…+2012+2013+2012+…+3+2+16.1952+1962+1972+1982+1992+2002+20127.已知一个等差数列首项是12，第25项是108，求公差？8.在100到300之间，所有个位数字是4的倍数的自然数之和是多少？9.如图，照这样摆下去，若摆到第80层，一共需白色的正方形_______个，黑色的正方形________个按图中的方式继续排列桌椅，完成下表可坐人数n…5 4321桌子的张数10.一把钥匙和一把锁配着，现在有十把钥匙和10把锁混着了，最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好？11.把27枚放到7个不同的盒子中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能给出具体方案，若不能，说明理由？12.两个小朋友玩数字游戏，游戏的规则如下：(1)从1开始数到30结束，只能数整数；(2)每次至少比对方多1，最多比对方多3。

等差数列的通项公式及应用习题1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（）A. 12 B . 14 C. 16 D. 182. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（）A . 91 B. 93 C. 95 D. 973. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有A . 13 项B . 14 项C. 15 项D. 16 项4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.-2 25. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于A. 98 B . 99 C . 100 D . 1016. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于A. 56 B . 18 C . 15 D . 457. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于--A. 45B. 48C. 52D. 5511. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是A. -5 B . 0 C . 5 D. 1012. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二A. -1 B . -3 C . -5 D . -713. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首项a为A. -56 B . -52 C . -48 D . -44二、填空题1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项.2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ .3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的第_____ .4. 已知等差数列｛a n｝中，a4=10, a8=22,则a1°= ___________ .。

第十二讲 等差数列（二）1、等差数列中常用的计算公式：等差数列的求和公式：和=（首项+末项）⨯项数÷2字母公式：2)(1÷⨯+=n a a S n n末项=首项+（项数1-）⨯公差,字母公式：d n a a n ⨯-+=)1(1项数=（末项-首项）÷公差1+,字母公式：1)(1+÷-=d a a n n首项=末项－（项数－1）×公差 字母公式：1n a a (n 1)d =--⨯公差=（末项－首项）÷（项数－1）字母公式：n 1d (a a )(n 1)=-÷-2、等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半,即中间项=和÷项数.奇数项等差数列求和公式为：和=中间项×项数【例1】等差数列：3,10,17,24,……,73（1）公差是多少？（2）数列共有多少项？（3）按照这样的顺序,第18项是多少？【答案】（1）7；（2）11；（3）122.【解析】（1）公差为10－3=7；（2）项数=（末项－首项）÷公差+1=（73－3）÷5+1=11（项）（3）第18项为3+（18－1）×7=122.【例2】一个等差数列共有13项,每一项都比它前面一项大2,并且首项为23,求末项是多少？【答案】47.【解析】此数列是首项为23,项数为13,公差为2的等差数列.则根据末项公式得：末项=首项+（项数－1）×公差=23+（13－1）×2=47.【例3】在数字1和73之间插入5个数,使这些数构成等差数列,求这个等差数列的公差是多少？【答案】12.【解析】 首项是1,末项是73,项数是5+2=7（项）,公差=（73－1）÷（7－1）=12.【例4】一个等差数列的第五项是17,第九项是29,求公差是多少？求首项是多少？【答案】3；5.【解析】第五项与第九项之间有9－5=4（个）公差,公差为（29－17）÷（9－5）=3.因为第九项=首项+（9－1）×公差,所以首项=第九项－（9－1）×公差=29－8×3=5.【例5】编号为1～9的九个盒子中各放有一些糖果,已知每个盒子都比前一号盒子多同样数量的糖果.如果第5号盒子放10颗糖果,那么九个盒子里一共放了多少颗糖果？【答案】12.【解析】题目中的第五个盒子中的糖果数是10颗,就是中间项是10,项数是9,和=中间项×项数,所以一共有10×9=90（颗）.【例6】把84米长的一根绳子分成7段,使后面一段都比前面一段多3米.那么这7段绳子中最长的一段长多少米？【答案】21米.【解析】奇数项等差数列,中间项＝和÷项数,中间段（第四段）是：84÷7=12（米）,最长的一段长12+3×3＝21（米）.【例7】一个等差数列的第5项是15,前11项之和为198,这个数列的第20项是多少？【答案】60.【解析】因为11项的和为198,所以第6项（中间项）：198÷11=18,公差：(18－15)÷(6－5)=3,第20项：15+3×(20－5)=60.【例8】数列：2、4、6、8、10、12、……是由连续偶数组成的,如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.【答案】60.【解析】利用等差数列的“中项公式”,对于奇数个连续偶数,最中间的数是320÷5=64,因相邻偶数相差2,所以第1项比第3项（中间项）少2个公差,那么第1项是64－2×2=60.【例9】有15个盒子中共放了300个乒乓球,已知每个盒子都比前一号盒子多放同样多的乒乓球.如果1号盒子放6个球,那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个球？如果3号盒子放15个球,那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个球？【答案】2；1.【解析】此题求的是公差.利用奇数项的等差数列求和,和=中间项×项数,则中间项（第8个盒子）为300÷15=20；若1号盒子放6个球,则公差为（20－6）÷7=2；若3号盒子放15个球,则公差为（20－15）÷（8－3）=1.【例10】有9个数成等差数列,从小到大排成一行,中间的数是9.前6个数的和比后3个数的和少9.那么第9个数是多少？【答案】17.【解析】总和为9×9=81,后三个数为（81+9）÷2=45,第8个数为45÷3=15,公差为（15－9）÷（8－5）=2,第9个数是15+2=17.【例11】若干人围成20圈,一圈套一圈,从外圈向内圈人数依次少4人,如果共有880人,问最外圈有多少人？最内圈有多少人？【答案】82；6.【解析】根据偶数项的等差数列特点分组,第一项与最后一项,第二项与倒数第二项,第三项与倒数第三项,……,每组的和都相等,都是880÷(20÷2)=88,而第一项与第20项的差为(20－1)×4=76,利用和差公式,可得最外圈有(88+76)÷2=82（人）,最内圈有88－82=6（人）.【例12】盒子里放有1个乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出1个乒乓球,将它变成5个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出2个球,将每个球各变成5个球后放回盒子里；……；第十次从盒子里拿出10个乒乓球,将每个球各变成5个球后放回到盒子里,这时盒子里共有多少个乒乓球？【答案】221个.【解析】魔术师第一次魔术后乒乓球增加5－1=4（个）,第二次后增加2×4=8（个）,第三次后增加3×4=12（个）,……,第十次后增加10×4=40（个）.这时盒子里一共有1+4+8+12+……+40=1+(4+40)×10÷2=221（个）.课后练习：1.一个等差数列共有9项,每一项都比它前面一项大5,并且首项为17,求末项是多少？【答案】57.【解析】此数列是首项为17,项数为9,公差为5的等差数列.则根据末项公式得：末项=首项+（项数－1）×公差=17＋（9－1）×5=57.2.一个等差数列的第一项是8,第十项是80,求公差是几？【答案】8.【解析】第十项=首项+（10－1）×公差,所以第一项与第十项之间有10－1=9（个）公差,公差为（80－8）÷（10－1）=8.～的七个盒子中放了一些玻璃球,已知每个盒子都比前一号3.小明在编号为17盒子多放同样多的玻璃球.如果4号盒子里放27个玻璃球,那么七个盒子里共放了多少个？【答案】189个.【解析】题目中的第四个盒子中的玻璃球个数是27,就是中间项是27,项数是7,和=中间项×项数,所以一共有7×27=189（个）.4.学校礼堂共有20排座位,已知第一排是15个座位,以后每排比前一排多一定数量的座位,第十排有33个座位,求第20排有多少个座位？【答案】53个.【解析】首项是15,第十项是33,公差是（33－15）÷（10－1）=2（个）,所以第20排有15+（20－1）×2=53（个）.5.一个等差数列的第3项是7,前9项之和为99,这个数列的第20项是多少？【答案】41.【解析】因为9项的和为99,所以第5项（中间项）：99÷9=11,公差：（11－7)÷(5－3)=2,第20项：7+2×(20－3)=41.6.7个连续奇数的和为91,其中最小的数是多少？【答案】7.【解析】项数是7,和是91,中间项（第4项）：91÷7=13,连续的奇数所以公差为2,第1项：13－2×（4－1）=7.7.有13个数成等差数列,从大到小排成一行,中间的数是20.前6个数的和比后7个数的和大64.那么第13个数是多少？【答案】8.【解析】13个数的中间的数是第7个数,即第7项为20.总和为13×20=260,后7个数的和为（260－64）÷2=98,第10个数为98÷7=14,公差为（20－14）÷（10－7）=2,第13个数是14－2×（13－10）=8.8.幼儿园380个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏,已知最内圈20人,最外圈56人,如果相邻两圈相差的人数相等,那么相邻两圈相差多少人？【答案】4人.【解析】这一等差数列的和是380,首项20,末项56,先根据公式“和=(首项+末项)×项数÷2”求出项数：380÷[(20+56)÷2]=10（圈）.再根据公式“公差=(末项－首项)÷(项数－1)”求出公差：(56－20)÷(10－1)=4（人）.9.在一次考试中几个同学的分数恰好构成了等差数列,排名第六的小红分数为78分,前9名同学的分数之和为720分,这几个同学中排名第一的同学考了多少分？【答案】88分.【解析】前9项的中间项（第5名）为720÷9=80（分）,公差(80－78)÷(6－5)=2（分）,则排名第一的同学考了80+(5－1)×2=88（分）.10.盒子里放有2个乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出2个乒乓球,将每个球各变成3个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出3个球,将每个球各变成3个球后放回盒子里；……；第十次从盒子里拿出11个乒乓球,将每个球各变成3个球后放回到盒子里,这时盒子里共有多少个乒乓球？【答案】132个.【解析】魔术师第一次魔术后乒乓球增加2×(3－1)=4（个）,第二次后增加3×(3－1)=6（个）,第三次后增加4×(3－1)=8（个）,……,第十次后增加11×(3－1)=22（个）.这时盒子里一共有2+4+6+8+……+22=2+(4+22)×10÷2=132（个）乒乓球.。