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量子力学导论Chap3-3

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[理学]量子力学导论

[理学]量子力学导论

称为定态波函数。
2. 薛定谔方程
以 E 表示体系的能量算符的第 n 个本征值，
n
n 是与 E 相应的波函数，则体系的第 n 个 n
定态波函数是
(r , t ) n (r )e

iEn
t
含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这 些定态波函数的线性叠加：
(r , t ) cn n (r )e
是量子力学中的电荷守恒定律。
2.4.1
4.概率流密度与概率流守恒定律
令：
i J ( * * ) 2m
称为概率流密度，由（2.4.1）式得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ J 0 t
2.4.2
（2.4.2）式就是概率流守恒定律。
4.概率流密度与概率流守恒定律
对上式两边同时对任意空间体积 V 积分
d dV JdS dt V S
A. 薛定谔方程式量子力学的基本假设之一， 但必须指出，我们并未建立薛定谔方程， 因为只知道微分方程的解是不足以建立微 分方程的。
B. 以上对应关系式（2.3）式，只是在直角 坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不 一定成立。
2 i U (r , t ) t 2m
2
2.3 薛定谔方程
这是概率流守恒定律的积分表示 此式表明，在空间某体积 V 内发现粒子的 概率在单位时间内的增量，必定等于在同 一时间内通过 V 的边界 S 流入体积 V 的概 率。
4.概率流密度与概率流守恒定律
A. 若以粒子的质量 m乘 和 J ，则有：
m m m (r , t )
2
是在 t 时刻在点r 的质量密度。
* t t t
*
4。概率流密度与概率流守恒定律

量子力学导论

量子力学导论









上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积 的几率 （ 生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
j dS

）， 而第二项代表体积 中 “产
2.3 设 1 和 2 是 Schrö dinge1 r , t 2 r , t 0 。 dt
粒子能量
E nx n y nz
1 2 2 2 2 ( px py p z2 ) 2m 2m
n x , n y , n z 1, 2 , 3 ,
2 2 nx n2 y nz a2 b2 c2
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势 V ( x) 提示：利用
mh,
m 1, 2 , 3 ,
p mh ，
2 Em p / 2I m 2 2 / 2I ，
m 1, 2 , 3,
第二章 波函数与 Schrö dinger 方程 2.1 设质量为 m 的粒子在势场 V (r ) 中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为

E d 3r w ，
p
1
2
ipx x,0e dx
( x )e 2

1

ipx
dx
1 2
，
5

x, t
1
p e 2

1

i px Et /
dp
（ E p 2 2m ）

e 2
2
m 。 2 t
2.6 设一维自由粒子的初态为 x,0 ，证明在足够长时间后，
2 m imx mx x, t exp i 4 exp t 2t t

量子力学QMCh3

量子力学QMCh3
3
(r , t ) 计算动量平均值 利用坐标为变量的波函数

2 3 w( P, t )d P C ( P, t ) d P 2 3 * 3 P P C ( P, t ) d P C ( P, t ) PC ( P, t )d P
5
3.1 表示力学量的算符
Chap.3 The operator and commutation relation
1.坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入 由前面的讨论，我们看到，当微观粒子处在某一状态时， 一般而言，其力学量（如坐标、动量和能量等）不一定具有 确定的值，而以一定几率分布取一系列可能值（当然，可能 在某些特殊的状态，有些力学可取确定值）。 若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 (r , t ) ，按照波函 统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标 ( x, y, z) 或 r 的平均值 若知道粒子在动量表象中的波函数 C ( p, t ) ，同理可求出粒 (Px , Py , P) 或 P 的平均值。 子动量 （1）坐标平均值 (r , t ) 或 C ( P, t ) 设粒子的状态波函数为
3 * ˆ P (r,t)P(r,t)d r

8
3.1 表示力学量的算符（续3）
Prove:
C ( P, t )P[
*
P
ˆ P i
*
Chap.3 The operator and commutation relation
*
i 3 Pr 3 1 * 3 * Prove： r (r , t )r (r , t )d r (2 )3/ 2 (r , t )r [ C ( P, t )e d P]d r

量子力学导论

量子力学导论

量子力学的建立
➢ 1900年，普朗克能量量子化 ➢ 1905年，爱因斯坦光量子说 ➢ 1913年，玻尔提出原子结构模型 ➢ 1924年，德布罗意提出物质波概念 ➢ 1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克 等人建立了完整的量子力学理论
量子力学的内容
1、产生新概念的一些重要实验。 2、不同于经典理论的新思想。 3、解决具体问题的方法。
§3.1、玻尔理论的困难
原因：将微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学 规律应用于微观粒子。
➢ 卢瑟福的质疑。 逻辑上的恶性循环
➢ 薛定谔的非难。
E2
h
E1
“遭透的跃迁”
玻尔理论不仅对这些逻辑上的矛盾和困难束手 无策，而且，当人们用这一理论去解释周期表中第 二号元素氦时，也遇到了无法克服的困难。
电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉
量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正确地描 述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子 波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的， 也突破了玻尔理论的局限性。
今天量子力学的发展不仅仅在基础科学方面，在其他 领域也有广阔的应用前景。
➢ “光电技术”领域 ➢“纳米物理与纳米技术”领域 ➢“分子器件” 小尺度发展领域 ➢“量子生物”、“量子化学”交叉学科 等等无一不是立足于量子力学的概念与方法。也可以说， 量子物理的科学已与我们今天的生活息息相关。
海森堡
玻恩 M.Born (1882-1970) 薛定谔
狄拉克 PAUL DIRAC (1902-1984)
WERNER HEISENBERG ERWIN SCHRODINGER
(1901-1976)
(1887-1961)
5

量子力学导论第3章答案

量子力学导论第3章答案

第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E z yxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

Chap03-量子力学导论

Chap03-量子力学导论
2017/4/13 22
mv r n
？ h
2
r
（n=1,2,……）

驻波： 2r n n h
mv 朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，爱因 斯坦说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角” “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚啊”
2017/4/13 23
h mvr n 2
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。
2017/4/13
8



1928年，革命结束，量子力学的基础本质上已 经建立好了。 量子理论的主要创立者都是年轻人。1925年， 泡利25岁，海森堡和恩里克· 费米（Enrico Fermi） 24岁，狄拉克和约当23岁。薛定谔是一个大器 晚成者，36岁． 创立量子力学需要新一代物理学家并不令人惊 讶，开尔文认为基本的新物理学必将出自无拘 无束的头脑。
24
四、戴维逊—革末实验
德布罗意指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电 子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙－ 革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观 察到电子的衍射图象（如图）
2017/4/13
25
实验结果 (1)当U不的上将出现极值。 (2)当不变时，I与U的 关系如图 当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
15
我去过 吗？？
E2
E1
2017/4/13
玻尔
这一理论是十分初步的，许多问题还没有解决
玻尔理论困难的根源
把微观粒子看做经 典力学中的质点
把经典力学的规律用于 微观粒子
根本解决途径：用全量子的观点看世界！
2017/4/13 16
§3.2

波粒二象性

chp3_第三章：量子力学导论.ppt


第三章：量子力学导论 例 氢原子的第一玻尔轨道半径满足驻波条件
2
4 0 1 a1 2 me mc
1 4 0 c 137
2
e
2
h mv1
Z e v1 c ma1 4 0
h h 1 1 2 m c mc mc
Ph
粒子
E, P ,
波
光的波粒而象性
徳布罗意的反思：整个世纪以来，在辐射理论上，比起关注波 动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物粒子 理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于“粒子” 的图象想的太多，而过分地忽略了波的图象呢？
第三章：量子力学导论 光的波粒二象性 光的波动性:
第三章：量子力学导论 电子衍射的工作原理 布喇格面----产生衍射----衍射 极大发生条件
U
D
电子枪
K
探测器
B
电子束
G

Atomic planes

a d= asin
镍单晶
第三章：量子力学导论
d a sin 出射波束衍射极大出现的条件 n 2d cos 2a sin cos a sin 2 a sin
近代物理基础 ------原子物理学
主讲教师：任国仲
第三章：量子力学导论
第一节 第二节 第三节 第四节
玻尔理论的困难 波粒二象性 不确定关系 波函数及其统计解释
第五节
薛定谔方程
第三章：量子力学导论 第三章：量子力学导论
第一节：玻尔模型的困难
热辐射的 紫外灾难
物理世界上空的两朵乌云

经典物理无法解释的实验现象 一、黑体辐射的规律 二、光电效应 光谱与玻尔模型

第三章量子力学导论教材

随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分 子都具有波动性。 1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图
五 应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人宾尼格和瑞士人罗雷尔制成了扫 描隧道显微镜。 他们三人获1986年诺贝尔物理 奖。
第三节 不确定关系
海森堡（W.K.Heisenberg， 1901--1976）德国理论物理学家。 他在1925年为量子力学的创立作 出了最早的贡献，于26岁时提出 的不确定关系和物质波的概率解 释，奠定了量子力学的基础。为 此，他于1932年获诺贝尔物理学 奖。
4 德布罗意波的实验证明
（1） 戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
U
K
电子束
M
电子枪 检测器
G
散 射 线
电子被镍晶体衍射实验
将54eV电子束（λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按
布喇格衍射公式， 2d sin n, d a sin,
取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 50.9 0 ,
玻尔曾用过的角动量 量子化条件。
mvr n h n
2
（2）把
p

nh
2r

n r
代入氢原子总能量表达式
E

p2 2m

e2
4 r

n22 2mr 2

e2
4 r
由dE / dr 0 给出
rn

2 m
4
e2
n2

a1n2
0.053 n2nm
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
经典力学中，物体位置、动量确定后，物体以后 的运动位置就可确定。但微观粒子，具有显著的 波动性，不能同时确定坐标和动量。实物粒子波 粒二象性包含更深层的物理含义。

chap3 量子力学导论1.0


薛定谔方程为
(6.2.1)
在Ⅱ，Ⅲ区，只能有ψ =0.因为从物 理上考虑，粒子不能存在于势能为 无限大的地区，在Ⅰ区，方程简化 为
图3.2.1
无限深势阱
6.2.2
6.2.3)
6.2.4) 式中，A，δ 为待定常数，为确定A与δ 之值，利用ψ 的边界条件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能 透过势阱，要求在阱壁及阱外波函数为零，即
（7）
（8）
（9）
薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 --量子力学基本假设 地位同经典物理的牛顿定律
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
一维无限深势阱中的粒子 一个粒子在两个无限高势垒之间的运动，实际上与一 个粒子在无限深势阱中的运动属于同一类问题。设势 阱位于x=0及x=a处。势阱之间(图3.2.1中Ⅰ区)，V=0， 势阱本身(图3.2.1中Ⅱ，Ⅲ区)，V=∞，求粒子在势阱 间的运动情况。
ll
（1）
对（1）x,y,z取二阶偏微商得到 （2） 等式相边相加， 即有
（3） 为拉普拉斯算符
把(1)对t取一阶偏微商
（4）
..
如果自由粒子的速度较光速 小得多，它的能量公式是 p2/2m=E，两边乘以ψ ，即得 （5）
把(3)和(4)代入(5)
（6）
得到一个自由粒子的薛定 谔方程。
对于一个处在力场中的非自由粒子，它的总能量等 于动能加势能 两边乘以ψ 自由粒子的薛定 谔方程可以按此 式推广成
图6.3.2势垒贯穿时波函数 利用量子隧道效应，可以解释许多现象，放射性原子 核的α粒子衰变现象就是一种隧道效应. 热核反应所释放的核能是两个带正电的核，如2H和3H， 聚合时产生的. 隧道效应在高新技术也有着广泛的重要应用。例如， 隧道二极管就是通过控制势垒高度，利用电子的隧道效 应制成的微电子器件，它具有极快(5ps以内)的开关速度， 被广泛地用于需要快速响应过程。

量子力学导论Chap3-2


(1) E > V0
薛定谔方程为 d
2
dx
2

2m
2
( E V ) 0 2 mE /
2
令 k
1
k
2
2m (E V ) /
0
2
则其通解为
Ae
1
ik 1 x
A e B e C e
ik 1 x
( x 0) (0 x a ) (x a)
A
2 i ( k k ) sin k a
2 1
A
J JT JR
i 2m
[
d
i

dx
2
* i

* i
d dx
i]
k1 m k1 m k1 m
| A|
|C | , | A |
2
2
透射系数 (T) 与反射系数 (R) 为：
T R
J J J
T

2
k2a
2 1 2 2
( k k ) sin
2 1 2 2 2
2
k2a 4k k
T R 1
其中
k1 k2 2 mE /
2
2m ( E V0 ) /
2
讨论： （1）在V0 = 0，可以计算出 T =1，因为此时无势阱； 若V0 0 ， T < 1，R 0， 粒子有一定的几率被势阱 弹回，这完全是一种量子力学效应，经典力学无力解 释。 （2）共振透射：如果 E V0，一般说来 T 很小；但 如果粒子能量 E 取得合适使得，sin k2a = 0 成立，此 时 T = 1，R = 0，透射最大，反射最小。
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x x,
其中
m
,
2E
则方程变成：
d
2
d
2
( ) ( ) 0
2
方程的渐进行为： 当ξ→±∞时，薛定谔方程变为：
d
2
d
2

2
2
ξ→±∞时近似解： 但是 e

2
( ) ~ e
1 2
/2
应该舍去，因为当ξ→±∞， 应取
§3.4 一维谐振子
1、何谓谐振子？ 在经典力学中，一维经典谐振 子问题是个基本的问题，它是物体 在势（或势场）的稳定平衡位置附 近作小振动这类常见问题的普遍概 括。
V(x)
0
x
局部放大
抛物线型
在量子力学中，一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更 为基本。因为它不仅是微观粒子在 势场稳定平衡位置附近作小振动一 类常见问题的普遍概括，而且更是 将来场量子化的基础。
前五个Hermitian 多项式是:
H 0 1, H 1 2 , H 2 4 2 , H 3 8 12 ,
3 4
H 4 16
48
2
12 ,
3
H 5 32 160 120 .
5
4、线性谐振子的能级和波函数 1） 线性谐振子的能级和波函数
0
物理分析：在平衡位置处，即 x = x0 处，受力为零，即 V(x0) = 0。现设平衡位置 x0 = 0，并选取能量尺度的原点 使 V(0) = 0；除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开 式中非简谐的高阶项。略去高阶小量，则
V (x)
1 2
V ( 0 ) x （抛物线型）
2
“弹簧”谐振子近似：
能级：
对应波函数：
n
1 E n , n 0 ,1, 2 , 3 ... 2
n
( x ) N H ( ) e
n n
1 2
2
N H ( x ) e
n n
1 2 2 x 2
(
m
)
Nn 是归一化常数
N
n
2 n!
n
V (x)
1 2
V ( 0 ) x
2
Hooke 定律： F Kx 谐振子势能： V (x) 1 2 谐振子自然振动频率： V (x) 1 2 m x
2 2
Kx
2

K /m
实际对象：
• 原子核内核子（质子或中子）的简谐振动 • 原子和分子的简谐振动 • 固体晶格上原子的简谐振动 • 一个多自由度系统在其平衡态附近的小涨落小振动 ……
1 E n , n 0 ,1, 2 , 3 ... 2
n
现在 H() 的方程成为：
d H d
2
2
n
2
dH d
n
2 nH
n
0
而不难验证下面的函数正满足这个方程:
H ( ) ( 1) e
n n

2
d d
2
n
n
e

2
称为 n 次 Hermitian 多项式
固体中原子 在其格点上 做微小振动
2、 薛定谔方程的化简 理想线性谐振子的势能函数
V (x)
1 2
m x
2
2
其中ω是谐振子的固有圆频率。
0
2
x
d
2
dx
2
m 2 mE x 0
2 2 2 2
只存在束缚态
在方程中做如下的无量纲化变换：

m
(1 / a )
2 2 1 2

a
2 1
2
)
2
成比例。
5、几率分布: 2）在量子力学中，在ξ到 +d 之间的区域内找到微观 振子的几率 (x) dx 为
( x ) dx ( x ) dx
2 n n
以基态为例，几率分布为
(x) (x)
2 0 0

e
x
2）讨论 (1) 能级是等间隔的
E E
n
n 1
, n 1, 2 , 3 ...
1 2
(2) 零点能
E
0
(3)能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称 即,
n(-x) = (-1) n n(x)
(4) n(x)有 n 个节点。
5、几率分布: 1）在经典力学中，在ξ到 +d 之间的区域内找到质点 的几率 () d 与质点在此区域内逗留的时间 dt 成比例:
有限值 令 所以再进行变换： 可得关于 H()的方程：
( ) e
1 2
2
H ( )
d H d
2
2
2
dH d
( 1)数法求解 H() 的方程，结果发现：只要H()是“真” ξ² 无穷级数，那么在 x→±∞的时候H(ξ)就→ e ，仍然使 ()发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数 “中止” 或“退化”为多项式，而这就要求只能取一 些特殊的值。 设要求H()是 的 n 次多项式，那么就必须让 = 2n+1 n = 0,1,2,3… 这样，我们首先得到了能量本征值：
( ) d
dt T
T 是振动周期。因此有
( )
T
1 d dt

1 vT
即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振 子， = a sin(t+ ) ,在 点的速度为
v d / dt a cos( t ) a (1
所以几率密度与
2
2
是一个高斯型分布。 特征长度：
L
1

m /
0
x
数学基础：当粒子在势场的平衡位置 x = x0 处附近作小 振动时，势场 V(x) 作泰勒展开，
V (x)

n0
V
(n )
(x )
0
( x x ) V ( x ) V ( x )( x x )
n 0 0 0 0 2
n!
0
V ( x ) 2
(x x )