勾股定理(第三课时公开课课件)

实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。

在解析几何中，勾股定理常用于解决与直角三角形相关的问题，如求长 度、面积等。
在物理学中，勾股定理用于描述弹性杆在受力时的弯曲程度，以及电磁 波的传播方向和强度。
在经济学中，勾股定理可用于评估投资组合的风险和回报，以及预测股 票市场的波动。
THANKS
感谢观看
勾股定理的发展历程
欧几里德在《几何原本》中证明勾股 定理的方法是构造两个直角三角形， 通过比较它们的边长来证明勾股定理 。
20世纪以来，勾股定理的应用范围不 断扩大，涉及物理学、工程学、经济 学等多个领域。
18世纪，欧拉证明了勾股定理的一个 更为简洁的证明方法，该方法基于三 角形的余弦定理。
勾股定理在现代数学中的应用
勾股定理在复数域的应用
总结词
勾股定理在复数域的应用展示了复数和三角函数之间的密切联系，为解决复杂的数学问题提供了新的 思路和方法。
详细描述
在复数域中，勾股定理可以应用于复数和三角函数之间的关系，揭示了它们之间的密切联系。这种应 用为解决复杂的数学问题提供了新的思路和方法，有助于深入理解和掌握复数和三角函数的基本性质 和应用。
勾股定理的表述方式是“勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方 ”。
03
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中一种是利用相似三角形的性质来证明
，另一种是利用代数方法来证明。
勾股定理的重要性
在几何学中的应用
勾股定理是几何学中一个重要的定理，它在解决 与直角三角形相关的问题时非常有用。例如，在 计算直角三角形的角度、边长等问题时，勾股定 理都是必不可少的工具。
在工程学中的应用
在工程学中，勾股定理也是非常重要的工具。例 如，在计算建筑物的稳定性、机械运动等问题时 ，都需要用到勾股定理。

哥拉斯发现这个定理比中勾国迟了500多年。
有关早期生命物质演化的蛛丝马迹。其他天体上有没有生命的繁衍？这个问题一直萦绕在天文学家们的脑际。土卫六的发现者惠更斯在《天体奇 观，关于其他行星上的居民、植物及其世界的猜想》一书中写道：如果我们认为这些天体上除了无边无际的荒凉之外，一无所有……甚至进一步 认为那里根本不可能存在高级生物，那么我们无异就贬低了它们，而这是非常不合情理的。诚然，判断哪个天体上有没有生命，这是一个十分严 肃的科学问题。从现代的科技水平来看，恐怕过于乐观是不现实的，然而过于悲观也是没有根据的，实践是检验真理的唯一标准。至于土卫六上 的生命信息，至今仍是个不容乐观的谜，但是； 云股票 ；一定会在不断探测的实践中得到解决。从地球上看去，土卫六 是一颗8.等星。凭眼睛直接看是绝对看不到的。用较好的天文望远镜观测它，也只能看到一个小小的红点似的盘状体。为什么是这个颜色呢？有 人认为这可能是因为土卫六上存在着复杂的有机分子。当然，完全依靠地面观测是解决不了这类问题的，只能是“纸上谈兵”。随着宇航事业的 飞速发展，行星际探测器取得了空前的成果。截止年，亲自探测过土卫六的行星际飞船共有三个。它们是美国发射的“先驱者号”和“旅行者 号”，以及欧洲的“惠更斯号”。979年9月日，“先驱者号”飞掠土星，考察了土卫六。不过，当“先驱者号”考察土卫六时，正赶上一阵强烈 的太阳风，严重地影响了发回的信息。地面控制中心只收到它在万公里处拍下的张高分辨率的照片。在照片上，土卫六呈现美丽的桔红色，像熟 透了的桔子。“旅行者号”于98年月日飞临土卫六，探测取得完满的成功。就是这次，测得土卫六的直径为88公里，而不是过去认为的公里。 “旅行者号”对土卫六的考察结果表明，土卫六确有浓厚的大气层，约有7公里厚，比地球大气密度还高。大气的主要成分是氮气，占98%，甲 烷占%，还有少量的乙烷和氢等。金星、地球和火星的大气中也都有氮气，但是都没有土卫六这么多得惊人。“旅行者号”还发现土卫六大气呈 雾状。浓密的雾层使阳光不能照到土卫六的表面，影响了“旅行者号”对土卫六表面的观测。同时，也有的科学家根据“旅行者号”的观测资料， 认为土卫六大气中充满甲烷。为了进一步研究土卫六大气和生命的关系，美国康奈尔大学的行星物理学家卡尔·萨根等人，做了土卫六大气模拟实 验。研究者认为，土卫六上含有大量氮气的大气层，产生了各种各样的生命前的化学物质。萨根指出：“早期的地球上可能也曾发生过类似的过 程。但在土卫六上发生的生命前化学过程，因为那里的温度

弦
勾
勾
股
股
证法三： 伽菲尔德证法:
a bc
a
c
1、整体看
b
2、分割看
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 D
bc c
C a
Aa
bD
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
练习
1.在RtABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
B=90
(1)已知a=6,b=10,求c的长度（ B ）
A6
B8
C 10 D 12
(2)已知a=24,c=7,求b的长度（ D ）.
A 20
B 11 C 13
D 25
A
c
b
B
a
C
2.在Rt△ABC中, a=5,c=13,
则下列计算正确的是 （ B ）
2 、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
拓展
在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出
水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐
及水面,如果知道红莲移动A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
?x
B
美丽的勾股树
（×）
（2）若a、b、c为Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2.
（×）
C不一定代表 直角三角形
的斜边哦
练习
4.求下列直角三角形中未知边的长: 5

2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边

勾股定理（第三课时）
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
学习目标
1. 能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题； 2.在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问题 中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边 与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长．
数学初中
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1 正确理解实际问题的题意； 2 建立对应的数学模型； 3 解决相应的数学问题； 4 将数学问题的结果“翻译”成实际问题
的答案．
B
C
A
数学初中
拓展提高
如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一 只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方 体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬到B处，所走的路程会最短，并求最短路径．
1 正确理解实际问题的题意； 2 建立对应的数学模型； 3 解决相应的数学问题； 4 将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案．
数学初中
课堂小结
1 利用勾股定理解决实际问题有哪些基本步骤？ 2 本节课你学到了哪些数学思想方法？
数学初中
课后作业
完成课后作业中的题目.
H G
B
F
B
按下
A
C
数学初中
拓展提高
如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一 只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方 体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬到B处，所走的路程会最短，并求最短路径．
答案: 65.
H G
B
F
B
A
C

探究活动
分成四人小组，每个小组课前准备好4个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长的3个正方形（如右图）.
运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
图１
图３
图２
方法一：
而
所以
即
，
，..ຫໍສະໝຸດ 因为，方法二：
，
化简得：
方法三：
，
化简得：
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
16 9
？
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出的“青朱出入图” ：
证法四：（伽菲尔德证法1876年）
如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，可知∠AED=90°；
证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。

实验
在方格纸上,画 一个顶点都在格点 上的直角三角形;并 分别以这个直角三 角形的各边为一边 向三角形外作正方 形,仿照上面的方法 计算以斜边为一边 的正方形的面积.
P
Q CR
P
Q CR
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形R的面积吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
P
SP+SQ=SR
a
Qb c
R
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
SP+SQ=SR
a
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c 股b
┏
勾a
a2+b2=c2
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵
齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问
这里水深多少?
A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
Hห้องสมุดไป่ตู้

D
C
B
A
判断：
• 一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面 直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm 的吸管任意斜放于杯中，则吸管 ____ 露出杯口外. (填“能”或“不能”)
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
• 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶 端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的 下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面， 求旗杆的高度。
一、台阶中的最值问题
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分 别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对 的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
72242625
AB0 AB25 25 24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=25, BC=24, 求AC的长呢？
A
274
C
在直角三角形中，已知两边可以求第三边.
例2 已知等边三角形ABC的边长是6cm，
(1)求高AD的长；(2)S△ABC
A
解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD是高
1 BD BC3
A 2 A C 2 B B 2 1 C 2 2 2 5 D C
因此,AC= 5 ≈2.236 2m
因为AC_大__于___木板的宽,
AB
所以木板__能__ 从门框内通过.
一个3m长的梯子AB,斜 A 靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, C 如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?
A

A
四.学以致用，体会美境
如图，校园里有一块长方形草坪（尺寸如图）， 4
大部分同学为了避开草坪，均沿A到C再到B的路线
行走，而也有小部分学生为了走捷径，直接从A穿过
草坪到B，请问：这小部分同学少走了多长的路？
C
3
B
已知：RtΔABC中, ∠C = 90º ，AC = 4, BC = 3, 求AB的长． 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°
问题4:式子SA+SB=SC能用直角三 角形的三边a、b、c来表示吗?
a2 + b2 = c2
a
问题5:去掉正方形结论会改变吗？
A
问题6:那么直角三角形两直角边
a、b与斜边c之间的关系式是:
a2 + b2 = c2
我们通过实验猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b, 斜边长为c，那么a2+b2=c2.
②运用勾股定理要注意哪个角是直角，由此确定哪条边是斜边， 抓住“斜边的平方等于两直角边的平方和”；
④无论求斜边，还是求直角边，最后都要开平方. 开平方时，由 于边长为正，所以取算术平方根；
⑤勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最 多的一个定理. 目前世界上已有几百种证法，就连美国第20 届总统加菲尔德也提供了一种面积证法.请同学们课下阅读 书上相关内容.
∴AB2=AC2 + BC2 （勾股定理）
∵AC = 4, BC = 3,
∴ AB = AC2 +BC2 = 42 +32 = 25 =5 ∴AC+BC-AB=3+4-5=2
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积
A=625
225
400