初二数学《勾股定理》公开课PPT课件
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《勾股定理》PPT课件 图文
∴ a2 b2 c2
D
N
E
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
一、鲁迅是一个非常勤奋的人 鲁迅的勤奋，我想不用我细说大家都是 很明白 的。在 鲁迅的 散文《 百草园 和三味 书屋》 中，鲁 迅讲过 关于上 学迟到 的故事 ，后来 他在桌 子上刻 了个“ 早”字 ，当作 了他一 生的座 右铭。
鲁迅写作的勤奋也是出了名的。为了工 作他常 常工作 到深夜 ，点燃 一支烟 便又来 了工作 激情。 二、鲁迅是一个性格非常刚强的人
总而言之，鲁迅的优点是多于缺点的， 而且， 最让笔 者敬佩 鲁迅的 是他有 一颗永 远和劳 苦大众 在一起 的赤子 之心。 他的一 生付出 的多， 索取的 少，这 就是他 的可贵 之处， 也是他 不朽崇 高的地 方。
然后是鲁迅先生长什么样： 浓黑的一字须，根根向上的头发，吸着 烟斗、 面目严 肃冷峻 ，这是 鲁迅通 常留给 我们的 印象， 他似乎 “对一 切人都 怀有忧 虑和敌 意”， 但实际 上，伟 人也和 普通人 一样， 拥有喜 怒哀乐 。他活 着的时 候，周 围有许 多文学 青年愿 意“亲 近”他 ，鲁迅 先生的 笑声是 明朗的 ，是从 心里的 欢喜。 若有人 说了什 么可笑 的话， 鲁迅先 生笑得 连烟卷 都拿不 住了， 常常是 笑得咳 嗽起来 。然后 是长相 。黄里 带白的 脸：瘦 得让人 担心： 头上竖 着寸把 长的头 发；牙 黄羽纱 的长杉 ；隶体 “一” 字似的 胡须； 手里捏 着一枝 黄色烟 嘴。 知道你的漫画将出版，正中下怀， 满心欢 喜。
你总该记得，有一个黄昏，白马湖上的 黄昏， 在你那 间天花 板要压 到头上 来的， 一颗骰 子似的 客厅里 ，你和 我读着 竹久梦 二的漫 画集。 你告诉 我那篇 序做得 有趣， 并将其 大意译 给我听 。我对 于画， 你最明 白，彻 头彻尾 是一条 门外汉 。但对 于漫画 ，却常 常要像 煞有介 事地点 头或摇 头；而 点头的 时候总 比摇头 的时候 多—— 虽没有 统计， 我肚里 有数。 那一天 我自然 也乱点 了一回 头。 点头之余，我想起初看到一本漫画，也 是日本 人画的 。里面 有一幅 ，题目 似乎是 《aa子 爵b泪》 （上两 字已忘 记）， 画着一 个微侧 的半身 像：他 严肃的 脸上戴 着眼镜 ，有三 五颗双 钩的泪 珠儿， 滴滴答 答历历 落落地 从眼睛 里掉下 来。我 同时感 到伟大 的压迫 和轻松 的愉悦 ，一个 奇怪 的矛盾 ！梦二 的画有 一幅— —大约 就是那 画集里 的第一 幅—— 也使我 有类似 的感觉 。那幅 的题目 和内容 ，我的 记性真 不争气 ，已经 模糊得 很。只 记得画 幅下方 的左角 或右角 里，并 排地画 着极粗 极肥又 极短的 一个“ ！”和 一个“ ？”。 可惜我 不记得 他们哥 儿俩谁 站在上 风，谁 站在下 风。我 明白（ 自己要 脸）他 们俩就 是整个 儿的人 生的谜 ；同时 又觉着 像是那 儿常常 见着的 两个胖 孩子。 我心眼 里又是 糖浆， 又是姜 汁，说 不上是 什么味 儿。无 论如何 ，我总 得惊异 ；涂呀 抹的几 笔，便 造起个 小世界 ，使你 又要叹 气又要 笑。叹 气虽是 轻轻的 ，笑虽 是微微 的，似 一把锋 利的裁 纸刀， 戳到喉 咙里去 ，便可 要你的 命。而 且同时 要笑又 要叹气 ，真是 不当人 子，闹 着玩儿 ！
《勾股定理》PPT精品课件(第1课时)
解：本题斜边不确定，需分类讨论： B 4
当AB为斜边时，如图
BC2 AB2 AC2 16 9 7，
3 C 图
B
4 AA 3 C
图
BC 7.
方法点拨：已知直角三角形的两边求
当BC为斜边时，如图
第三边,关键是先明确所求的边是直
BC2 AB2 AC2 16 9 25， 角边还是斜边,再应用勾股定理. BC 5.
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a 2 a2 b2.
2
cb a b-a
赵爽弦图
知识讲解
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图， 利用它们之间的面积关系推导出: a2 b2 c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
知识讲解
猜想直角三角形的三边关系
B
C A
图中每个小方格子都是 边长为1的小正方形．
问题1
1、 BC=_3__, AC=_4__, AB=__5_ 2、 S黄 =_9__, S蓝 =1_6__, S红 =2_5__
3、S黄、S蓝与S红的关系是S_黄__+_S_蓝_=__S_红_.
4、能不能用直角三角形ABC的三边表 示S黄、S蓝、S红的等量关系？
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
a b
ac b
b ca
cb a
知识讲解
勾股定理
17.1.1 勾股定理 (共24张PPT)
A
B
探
C
索
勾
股 A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC 定 理
（1）观察图1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 18 个单位面积。
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
图1-1 图1-2
C
C
B
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
走 进 数 学 史
勾股定理的证明方法
证 法 一
走
证
进
法 二
数
学
证 法
史
三
（邹元治证明）
（赵爽证明） 赵爽:我国古代数学家
应用勾股定理
a
c
确定斜边 c2= a2+b2
？
b
a
b
确定斜边 b2= a2+c2
？
c
b
a
确定斜边 a2= b2+c2
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
பைடு நூலகம்
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我
国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百 牛定理”．）
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
初二数学《勾股定理》课件公开课
勾股定理在物理学中的应用
力学：勾股定理在 力学中用于计算力 的大小和方向
光学：勾股定理在 光学中用于计算光 的折射和反射角度
电磁学：勾股定理 在电磁学中用于计 算电磁场的强度和 方向
热力学：勾股定理 在热力学中用于计 算热力学量的大小 和方向
勾股定理在日常生活中的应用
测量距离：利用勾股定理测量物体 的长度、高度等
逆定理的应用：在解决实际问题中， 逆定理可以帮助我们快速判断三角 形的形状。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
逆定理的证明：通过几何图形的构 造和证明，可以得出逆定理的结论。
逆定理的推广：逆定理在更高维度 的空间中也有类似的推广和应用。
勾股定理的推广和应用
勾股定理的推广： 推广到任意直角 三角形，即勾股 定理的推广形式
现代：勾股定理在数学、物理、工程等领域广泛应用，成为基 础数学的重要内容
勾股定理在数学中的地位
勾股定理是数学中最基本的定理之一，是几何学中的重要基础 勾股定理在数学中的地位不可替代，是数学发展的重要基石 勾股定理在数学中的地位体现在其广泛的应用，如建筑、工程、物理等领域 勾股定理在数学中的地位还体现在其对数学思维的培养和训练上，如逻辑推理、抽象思维等
代数证明法
勾股定理的代数证明法是利用代数方程来证明勾股定理的一种方法。
代数证明法通常需要先建立两个方程，一个表示直角三角形的斜边，另一个表示直角三角形 的直角边。
然后通过解这两个方程，得到斜边和直角边的关系，从而证明勾股定理。
代数证明法是勾股定理证明方法中的一种，还有其他如几何证明法、向量证明法等。
勾股定理的应用： 在测量、建筑、 工程等领域的应 用
勾股定理的证明： 多种证明方法， 如面积法、向量 法等
八年级数学 《勾股定理》PPT课件
5 米
12米
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
∴在Ｒt△ＡＢＣ中， ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
AB AC BC AB 13
5 米
12米
B
5米
根据勾股定理， 2 2 2
即AB 2 122 52 169
∴电线杆折断之前的高度 =BC+AB=5米+１３米＝１８米
C
12米
A
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( ) C A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
３
４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, A 则AB为( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C
120
B
3、 等边三角形的边长为12，
6 3 则它的高为______
4、 在直角三角形中,如果有两边 5或 7 3,4,那么另一边为_________
A
B
这个图形有什么作用呢？丌要小看它哦！古 希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证 了勾股定理．
B
C
A
勾 股 定 理
SA+SB=SC A
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 8 C的面积 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 ⑴正方形A、B、C的 面积有什么关系？ 面积各为多少？
6.已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
5或 BC的长为
B
7
.
B 4
4
C
3
A
A
3
C
12米
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
∴在Ｒt△ＡＢＣ中， ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
AB AC BC AB 13
5 米
12米
B
5米
根据勾股定理， 2 2 2
即AB 2 122 52 169
∴电线杆折断之前的高度 =BC+AB=5米+１３米＝１８米
C
12米
A
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( ) C A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
３
４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, A 则AB为( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C
120
B
3、 等边三角形的边长为12，
6 3 则它的高为______
4、 在直角三角形中,如果有两边 5或 7 3,4,那么另一边为_________
A
B
这个图形有什么作用呢？丌要小看它哦！古 希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证 了勾股定理．
B
C
A
勾 股 定 理
SA+SB=SC A
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 8 C的面积 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 ⑴正方形A、B、C的 面积有什么关系？ 面积各为多少？
6.已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
5或 BC的长为
B
7
.
B 4
4
C
3
A
A
3
C
《勾股定理》PPT优秀课件
探究活动
分成四人小组，每个小组课前准备好4个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长的3个正方形（如右图）.
运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
图１
图３
图２
方法一：
而
所以
即
，
，..ຫໍສະໝຸດ 因为，方法二：
，
化简得：
方法三：
，
化简得：
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
16 9
？
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出的“青朱出入图” ：
证法四：（伽菲尔德证法1876年）
如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，可知∠AED=90°；
证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。
分成四人小组，每个小组课前准备好4个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长的3个正方形（如右图）.
运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
图１
图３
图２
方法一：
而
所以
即
，
，..ຫໍສະໝຸດ 因为，方法二：
，
化简得：
方法三：
，
化简得：
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
16 9
？
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出的“青朱出入图” ：
证法四：（伽菲尔德证法1876年）
如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，可知∠AED=90°；
证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。
八年级下册《勾股定理》公开课PPT课件
A
四.学以致用，体会美境
如图，校园里有一块长方形草坪（尺寸如图）， 4
大部分同学为了避开草坪，均沿A到C再到B的路线
行走，而也有小部分学生为了走捷径，直接从A穿过
草坪到B，请问：这小部分同学少走了多长的路？
C
3
B
已知：RtΔABC中, ∠C = 90º ，AC = 4, BC = 3, 求AB的长． 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°
问题4:式子SA+SB=SC能用直角三 角形的三边a、b、c来表示吗?
a2 + b2 = c2
a
问题5:去掉正方形结论会改变吗？
A
问题6:那么直角三角形两直角边
a、b与斜边c之间的关系式是:
a2 + b2 = c2
我们通过实验猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b, 斜边长为c，那么a2+b2=c2.
②运用勾股定理要注意哪个角是直角，由此确定哪条边是斜边， 抓住“斜边的平方等于两直角边的平方和”；
④无论求斜边，还是求直角边，最后都要开平方. 开平方时，由 于边长为正，所以取算术平方根；
⑤勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最 多的一个定理. 目前世界上已有几百种证法，就连美国第20 届总统加菲尔德也提供了一种面积证法.请同学们课下阅读 书上相关内容.
∴AB2=AC2 + BC2 （勾股定理）
∵AC = 4, BC = 3,
∴ AB = AC2 +BC2 = 42 +32 = 25 =5 ∴AC+BC-AB=3+4-5=2
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积
A=625
225
400
初二数学《勾股定理》PPT课件
B
C
A
勾 股 定 理
一、情景引入
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电 线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线 杆折断之前有多高？
B
C
12米
A
电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+AB的长
SA+SB=SC C
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 C的面积 8 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
A
C
SA+SB=SC
A C
B
图乙
A B 图甲
C
SA+SB=SC 2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
a 勾
股 b 弦 c
a b c
2
2
2
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电 线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线 杆折断之前有多高？
解：∵ＢＣ⊥ＡC， ∴在Ｒt△ＡＢＣ中，
B
5米
ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
根据勾股定理， AB 2 AC 2 BC 2
Байду номын сангаас
A
130
?
C
120
C
A
勾 股 定 理
一、情景引入
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电 线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线 杆折断之前有多高？
B
C
12米
A
电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+AB的长
SA+SB=SC C
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 C的面积 8 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
A
C
SA+SB=SC
A C
B
图乙
A B 图甲
C
SA+SB=SC 2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
B b
图乙
c C
b B
图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
a 勾
股 b 弦 c
a b c
2
2
2
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电 线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线 杆折断之前有多高？
解：∵ＢＣ⊥ＡC， ∴在Ｒt△ＡＢＣ中，
B
5米
ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
根据勾股定理， AB 2 AC 2 BC 2
Байду номын сангаас
A
130
?
C
120
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= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·CD -
23
LOGO
-
24
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
-
16
勾股定理的证明
证明方法3：赵爽弦图，动手拼图
-
17
勾股定理的证明
证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法
c a
b
c a
b
-
18
例1 如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的
解：(1) ∵△ABC是等边三角形，AD是高
BD 1BC3 2
B DC
在Rt△ABD中 , 根据勾股定理
A2D A2B B2D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ D 3 6 92 7 33 cm
1 (2)SABC2BCAD
1 263-
39
3(cm 2)
20
例3 如图，∠ACB=∠ABD=90°，
CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长C。
A
16个单位面积。
正方形B的面积是
9个单位面积。
正方形C的面积是
25个单位面积。
B
图1-1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
c 你是怎样得到正方形 - 的面积。
9
（2）在图1-2中，正方形
A，B，C中各含有多少个小
C
方格？它们的面积各是多少？ A
（3）你能发现图1-1中 三个正方形A，B，C的面积 之间有什么关系吗？图1-2 中呢？
第十八章 勾股定理
LOGO
北京戏曲艺术职- 业学院
乐 娟1
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2b；2 即直c2角
三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
勾股定理的证明
证明方法1：数方格
-
8
（1）观察图1-1
正方形A中含有 1个6小
C
方格，即A的面积是
SA+SB=SC
B
图1-1
C A
B
图1-2
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜
边上的正方形的面积 -
10
（1）你能用三角形的边
长表示正方形的面积吗？
A
C
（2）你能发现直角三角
形三边长度之间存在什么关 系吗？与同伴进行交流。
直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方
B
图1-1
C A
B
图1-2
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，
D
解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
8
又AD=8 ∴BD= 1 AD=4 2
A 30°
B
在Rt△ABD中 ,根据勾股定理
A 2 B A 2 D B 2 D 8 2 4 2 48
在Rt△ABC中， A2B C2A C2,B 且 C A CB
A2B 2C2A C2A 1A2B 24
2
AC2 6
-
21
1.在△ABC中，∠C=90°.
练 (1)若a=6，c=10，则b= 8 ;
习 (2)若a=12，b=9，则c=1 5 ;
(3)若c=25，b=15，则a=20 ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。
3.如图，在△ABC中，C=90°，
CD为斜边AB上的高，你可以 b
得出哪些与边有关的结论？
b
-
13
3.你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
-
14
大正方形的面积可以表示为 c2 ； 也可以表示为 4•ab/2-(b- a)2
c a
b
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
-
15
c a
b
大正方形的面积可以表示为 (a+b；)2 也可以表示为 c2 +4•ab/2
A
m
-
C
a h DnB
22
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，A
求证：AD2-AB2=BD·CD
证明：过A作AE⊥BC于E
∵AB=AC，∴BE=CE D
BE C
在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2
在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
并测量斜边的长度,（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
-
11
勾股定理的证明
证明方法2：拼三角形 同学们动手一起拼
-
12
利用拼图来验证勾股定理： 1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角
形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边
c正方形吗？拼一拼试试看?
c a
长。解：在Rt△ABC中 , 根据勾股定理
B
A2 B A2 C B2 C
72242625
AB25
25
24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=25, BC=24,求AC的长呢？
A 274 C
在直角三角形中，已知两边可以求第三边
-
19
例2 已知等边三角形ABC的边长是6cm，
A
(1)求高AD的长；(2)S△ABC