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§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。
2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。
二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.四、教学重、难点教学难点：二倍教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 角的理解及其灵活运用.五、学法与教学用具学法：研讨式教学，多媒体教学；六、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式，()βsin αsin -βcos αcos βαcos =+；()βsin αcos βcos αsin βαsin +=+；()βtan αtan -1βtan αtan βαtan +=+． （二）公式推导：我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例一、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练：。
第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、学习目标1.知识与技能1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程，培养学生发现数学规律的思维方法，分析问题和解决问题的能力，体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习，培养学生的探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养.二、教学重点难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、专家建议通过对二倍角推理，变形应用的学习，要特别加强二倍角公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结五、教学过程●课堂探究探究点一二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导问题1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan2α.问题2根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.探究点二余弦的二倍角公式的变形形式及应用二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．练习1：函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是 ．解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1)＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.练习2：函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是 ． 解析 f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )max ＝3； 当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－5. ●新知展示 1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝ ，sin α2cos α2＝ ；(2)C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ ； (3)T 2α：tan 2α＝ . 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝ ，sin 2α2cos α＝ ； (2)(sin α±cos α)2＝ ；(3)sin 2α＝ ，cos 2α＝ ； (4)1－cos α＝ ,1＋cos α＝ . ●典例剖析类型一 利用二倍角公式给角求值例1 .求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)sin 10°sin 50°sin 70°.【分析】 第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)题需将所求式变形逆用二倍角公式化简求值；(3)逆用二倍角的正切公式求解；(4)利用互余关系把正弦变成余弦，逆用二倍角公式化简、求值.【解析】(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝ 2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝18·sin 160°sin 20°＝18. 【小结】对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.【变式训练】求下列各式的值. (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50° . 【解】 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二 利用二倍角公式给值求值例2.已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2xcos (π4＋x )的值.【分析】【解析】∵0<x <π4，∴π4－x ∈(0，π4). 又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213. 又cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x ) ＝2×513×1213＝120169，cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )] ＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413.【小结】1.条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.2.当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.【变式训练】 (2014·扬州高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值.【解】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13.∴cos 2α＝13.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α∈(π，2π).∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223. ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 类型三 二倍角公式的综合应用 (1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ；(2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°； (3)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.【分析】 (2)1±sin 10°＝(sin 5°±cos 5°)2. (3)处理好2α与π4－α与π4＋α的关系. 【解析】(1)法一 1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝2cos 2θ－2sin θcos θ2sin 2θ－2sin θcos θ＝2cos θ(cos θ－sin θ)2sin θ(sin θ－cos θ)＝－1tan θ， ∴原式＝－1tan θ.法二 1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ＝(1－sin 2θ)＋cos 2θ(1－sin 2θ)－cos 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ－cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ－cos θ－sin θ)(sin θ－cos θ)(sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ) ＝－2cos θ2sin θ＝－1tan θ，∴原式＝－1tan θ.(2)1＋sin 10°－1－sin 10°＝1＋2sin 5°cos 5°－1－2sin 5°cos 5° ＝(cos 5°＋sin 5°)2－(cos 5°－sin 5°)2 ＝(cos 5°＋sin 5°)－(cos 5°－sin 5°) ＝2sin 5°. ∴原式＝2sin 5°.(3)原式＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.【小结】1.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数种数尽量少.(3)使三角函数式中的项数尽量少.(4)尽量使分母不含有三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.2.化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角. (2)降幂或升幂.(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ. 【变式训练】 化简下列各式.(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________； (2)化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.【解析】 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α，∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α ＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α. 【答案】 (1)sin α－cos α(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tan α2 ●课堂小结1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2 ·α2n ＋1(n ∈N *).2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2. 六、板书设计3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式七．当堂检测1.12sinπ12cosπ12的值等于()A.14 B.18C.116 D.12【解析】原式＝14sinπ6＝18.【答案】 B2.下列各式中，值为32的是()A.2sin 15°－cos 15°B.cos215°－sin215°C.2sin215°－1D.cos215°＋sin215°【解析】A：2sin 15°－cos 15°≠3 2，B：cos215°－sin215°＝cos 30°＝3 2，C：2sin215°－1＝－cos 30°＝－3 2，D：cos215°＋sin215°＝1.故选B. 【答案】 B3.(2014·广州高一模拟)若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋sin 2α的值为________.【解析】由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－1 3，则1cos2α＋sin 2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sin αcos α＝tan2α＋11＋2tanα＝⎝⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝⎛⎭⎪⎫－13＝103.【答案】10 34.(2014·盐城高一检测)证明：1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α＝12tan α＋12.【证明】左边＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α2cos2α＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)22cos α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α。
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式一、学习目标 1.知识与技能(1)掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. (2)能用两角差的余弦公式化简、求值.(重点) 2.过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.3.情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力.二、教学重点难点重点：灵活运用两角差的余弦公式. 难点：用向量推导两角差的余弦公式. 三、专家建议通过对两角差的余弦公式的推理，变形应用的学习，以及两角差的余弦公式的正用、逆用和变用的学习，从而培养发现思维能力，变异思维能力，分析问题解决问题的能力，强化数学探究意识，掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法自学-训练-点拨-练习-总结 五、教学过程 ●课堂探究知识点 两角差的余弦公式 【问题导思】1.单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β). OA →与OB →的夹角是α－β.2.你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3.根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 两角差的余弦公式●典例剖析类型1 运用公式求值例1.求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解. (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.【总结提升】1.两角差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.【变式训练】求值：cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.【解】cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝1 2.类型2 给值求值例2.设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值.【思路探究】由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦.只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围.用两角和与差的三角函数公式展开即得结论. 【自主解答】∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2.又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.【总结提升】1.利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.2.在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 2α＝[(β＋α)－(β－α)]等. 【变式训练】α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值. 【解】∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 类型3 给值求角例3.已知α，β均为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值.【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值.再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值.【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.【总结提升】解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围； (3)根据角的范围写出所求的角.特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内.【变式训练】已知sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，求cos(α-β)的值.【解】∵sin α＝16，cos β＝13，且α，β均为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫162＝356，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.∴cos(α-β)＝cos αcos β+sin αsin β＝356×13+16×223＝.●课堂小结对公式C (α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α，β视为一个“代号”，将公式记作cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.(2)公式C(α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.②把所得的积相加.六、板书设计两角差的余弦公式七．当堂检测1.(2014·天水高一检测)cos 15°＝()A.6－22 B.6＋22C.6－24 D.6＋24【解析】cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，故选D.【答案】 D2.(2014·乐清高一检测)化简sin(x＋y)sin(x－y)+cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A.sin 2xB.cos 2yC.－cos2yD.－sin 2x【解析】原式＝cos[(x＋y)-(x－y)]＝cos 2y，故选B.【答案】 B3.(2014·青岛高一检测)已知sin θ＝－513，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 【解析】 ∵sin θ＝－513且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos θ＝－1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θ·sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－1213＝－17226.【答案】 －172264.已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值. 【解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.。
课 题：47二倍角的正弦、余弦、正切（1） 教学目的：1掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：1二倍角公式的推导；2二倍角公式的简单应用教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+C),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T 二、讲解新课：二倍角公式的推导在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式： αααcos sin 22sin =；)(2αSααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT 因为1cos sin 22=+αα，所以公式)(2αC 可以变形为1cos 22cos 2-=αα或 αα2sin 212cos -=)(2αC ' 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式．探究：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（２）二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，其它如α4是α2的两倍，2α是4α的两倍，α3是23α的两倍，3α是6α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当2=βα时，α就是β的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式．尤其是“倍角”的意义是相对的（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．（4） 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2αC '，)(2αT 成立的条件是: 公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,ππαππαα．其他∈α（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用 三、讲解范例：例1 不查表．求下列各式的值（１） 15cos 15sin ； （２）8sin 8cos 22ππ-；（３）5.22tan 15.22tan 22-； （４） 75sin 212-． 解: （１） 15cos 15sin =214130sin = ； （２）8sin 8cos 22ππ-＝224cos =π； （３）5.22tan 15.22tan 22-＝145tan = ； （４） 75sin 212-＝23150cos -= ．例２不查表．求下列各式的值 （１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sinππππ-+ （２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+ 解: （１）=-+)125cos 125)(sin 125cos 125(sinππππ2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π （２）=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222（３）=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 22 （４）=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例３若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值解：sin2θ - cos2θ = θθθθθ2222cos sin cos sin cos sin 2+-+57tan 11tan tan 222=+-+=θθθ 例4 已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值 解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2α = 2sin αcos α = 169120- cos2α = 169119sin 212=α- tan2α = 119120- 四、练习（公式巩固性练习）求值：1．sin22︒30’cos22︒30’=4245sin 21= 2．=-π18cos 22224cos =π 3．=π-π8cos 8sin 22224cos -=π- 4．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 五、小结要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律六、课后作业：1若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( Ｄ ) A sin2α B cos 2α C －sin 2α Ｄ－cos 2α 解：∵cos2α＝2cos 2α－1 ∴cos α＝2cos 22α－1 ∴ααα22cos 2121)1cos 2(212121212cos 21212121+=-++=++ 又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180°∴原式＝2cos 2cos )12cos 2(2121cos 212122αααα-==-+=+ 2求sin10°sin30°sin50°sin70°的值解：∵sin10°＝cos80° ,sin50°＝cos40°, sin70°＝cos20° ∴原式＝21cos80°cos40°cos20° ＝21×︒︒︒︒︒20sin 20sin 20cos 40cos 80cos ︒⨯︒︒︒⨯=20sin 2140sin 40cos 80cos 21 ︒⨯⨯︒︒⨯=20sin 212180sin 80cos 2116120sin 212121160sin 21=︒⨯⨯⨯︒= 3求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8（cos 2θ）2＝8(22cos 1θ+)2 ＝2（cos 22θ＋2cos2θ＋1）＝2（44cos 1θ+）＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3七、板书设计（略）八、课后记：。
诚西郊市崇武区沿街学校高一数学3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式教案A 版一、教学目的以两角和正弦、余弦和正切公式为根底，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为根底，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵敏运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：〔一〕复习式导入：大家首先回忆一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？〔学生自己动手，把上述公式中β看成α即可〕，〔二〕公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 考虑：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或者者cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+()k z ∈〔三〕例题讲解例1、5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-+或者者tan 2α=--．〔四〕课堂练习：详见学案〔五〕小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要擅长发现规律，学会灵敏运用. 〔六〕作业： 15034.P T T。
《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案单县一中 朱瑞朋 2011.04.14教学目标：1、知识与技能：（1）掌握222,,S C T ααα公式的推导，明确α的取值范围。
（2）能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。
2、过程与方法：（1）通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养学生的类比推理能力，自主探究的学习能力。
（2）通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从“一般”化归为“特殊”的数学思想，体会公式所蕴含的和谐美，激发学生学习数学的兴趣；引导学生发现数学规律，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质。
教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。
教学难点：二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，二倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。
教学方法：类比启发探究式教学方法 教学用具：ppt 课件、学案等。
教学过程：一、复习旧知，导入新课：（1）默写“两角差”的正弦、余弦、正切公式：()S αβ-：()sin αβ-= ；注：ββ=-令可得()S αβ+：()sin αβ+= ()C αβ-：()cos αβ-= ； ()C αβ+：()cos αβ+= ()T αβ-：()tan αβ-= ． ()T αβ+：()tan αβ+=提示：注意公式的使用范围。
处理方式：让学生默写公式及回答变形公式，目的是让学生熟悉学习过的公式；并让学生自主探究问题，使学生亲身经历公式的探索过程二、探究新知、学习新课：1． 学生自主推导“二倍角”公式：2S α：sin 2α= 2C α：cos2α=()()()sin 2,cos 2,tan 2αβαβαβααα±±±问题探究：你能类比两角和的三角函数公式的推导方法，利用S 、C 、T 推导出的公式吗？2T α：tan 2α=处理方式：让学生自主完成，学生经过自主思考，发现倍角是和角的特殊情况，从而推导出公式。
§3.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）学习目标：⒈掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．⒉能灵活应用公式进行简单三角函数式的求值、化简．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式． 教学难点：二倍角的余弦公式的多种形式． 教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影． 教学过程：（Ⅰ）复习引入：前面我们学习了三角函数的和角公式与差角公式． 请同学们默写六个公式．()C αβ+: cos()αβ+cos cos sin sin αβαβ=-, ①()C αβ-: cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+, ② ()S αβ+: sin()αβ+sin cos cos sin αβαβ=+， ③()S αβ-: sin()αβ-sin cos cos sin αβαβ=-． ④():T αβ+ tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- ⑤():T αβ- tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ ⑥在上述公式的应用中，有时我们会遇到一些特殊情形，这样我们就会得到一些新的结论．如1tan tan()41tan πααα++=-等．问题 1.如果我们将和角公式中的角β换成角α，也就是说在和角公式中令αβ=，其结果将会怎样呢？这就是我们本节课讲要学习的二倍角的正弦、余弦、正切公式． （Ⅱ）讲授新课：在和角公式中令αβ=，则有2αβα+=，和角公式就变成了二倍角公式．请同学们写出这些公式．问题2.在二倍角的余弦公式中，如果我们要求公式右端只含有角α的正弦或余弦，会得到什么结论？由22sin 21cos sin 2αα-=，21cos cos 2αα+=．以上这些公式都叫做二倍角公式．它们给出了α的三角函数与2α得三角函数之间的关系．这里的“二倍角”具有广泛的意义，如2α是α的二倍，4α是2α的二倍，2α是4α的二倍等．问题 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式对于任意角都成立吗？二倍角的正弦、余弦公式对于任意角都成立；二倍角的正切公式在α≠k π＋2π且α≠2πk ＋4π（k ∈Z ）时成立．例1.(课本P107例1)练习1.已知5sin 213α=，42ππα<<， 求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．练习2.在△ABC 中，4cos 5A =，tan 2B =，求tan(22)A B +的值．1.分析：已知条件给出了2α的正弦值，由于4α是2α的二倍角，可以考虑二倍角公式．2.思路一：先求2A ，2B 的正切值，再求tan(22)A B +的值． 思路二：先求A B +得正切值，再求tan(22)A B +的值．例2.化简（1）； （2）；（3）； （4）．解析：（1）== |sin 20cos 20|=-cos 20sin 20=- ；（2）cos10==；(3）=sin 20cos 20==+ ；（4）=== ．说明：形如与的化简方法及基本形式。
课堂教学设计表课程名称二倍角的正弦、余弦、正切公式设计者单位（学校）授课班级章节名称 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学时 1学习目标课程标准：普通高中数学课程标准：一、（二）3.4；二、（一）2.5.6；四、（一）主题二3.（4）②；五、（二）。
本节（课）教学目标：知识和能力:能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
会用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决问题。
过程和方法:通过多媒体展示，对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
情感态度和价值观:通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
学生特征我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。
从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。
从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
学习目标描述知识点编号学习目标具体描述语句3.1.3-13.1.3-23.1.3-33.1.3-43.1.3-53.1.3-6知识和能力过程和方法情感态度和价值观1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2.会用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决问题。
3.了解它们之间的内在联系。
1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识。
2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
项目内容解决措施教学重点将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件，如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。
二倍角的正弦、余弦、正切（一）教学目的1、了解倍角公式与和角差角公式的内在联系2、掌握二倍角公式简单运用，提高逻辑推理能力教学重点与难点：倍角公式推导 难点：公式的应用。
教学过程：一、复习引入两角和的正弦、余弦、正切公式二、新授内容1、公式推导（1）借助于,,,βαβαβα+++T C S 令αβ=轻松推出α2S ：αααcos sin 22sin = α2C ：ααα22sin cos 2cos -= α2T ： ααα2tan 1tan 22tan -=(2)由公式1cos sin 22=+αα α2C 还可变形为'2)(αC ：ααα22sin 211cos 22cos -=-=2、公式的应用：（1）公式的正用 （2）公式的逆用 （3）公式的变形应用3、公式研究：倍数关系相对的αα2→ αα→2 42αα→ αα42→三、典型例题：1、已知：)23,(,135sin ππαα∈-=，求：ααα2tan ,2cos ,2sin 的值。
2、求值： （1）0015cos 105cos 2 （2）0215sin 95185-（3）02015tan 115tan - （4）12cos 24cos 24sin πππ3、求证：（1）θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+（2）θθθθθθθθθ2sin )]cos 1(cos )sin 1()][sin cos 1(cos )sin 1([sin =-+-+++4、化简：)10tan 31(50sin 00+四、课堂练习：1、设,2tan )(tan x x f =则：)2(f = （ ）A 、54B 、34-C 、32-D 、42、若),20(,62)4cos()4cos(πθθπθπ<<=+-则θ2sin = （ ） A 、32 B 、37 C 、67 D 、6343、=32sin 8cos 16cos 32cos 8ππππ_________4、若2cos 2sin 12sin 2tan 2)(2x x x x x f --=，则=)12(πf ______________五、课外作业：1、下列各式的值：（1）8cos 8sin 22ππ- （2）112cos 22-π（3）0015cos 15sin （4）020150tan 1150tan -2、化简：（1）（2)cos sin αα- （2）αα44sin cos -（3）ααtan 11tan 11+-- （4）)cos()sin(2απαπ-+3、已知：),2(,54sin ππαα∈=，求：ααα2tan ,2cos ,2sin 的值。
§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。
2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。
二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.四、教学重、难点教学难点：二倍教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 角的理解及其灵活运用.五、学法与教学用具学法：研讨式教学，多媒体教学；六、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式，()βsin αsin -βcos αcos βαcos =+；()βsin αcos βcos αsin βαsin +=+；()βtan αtan -1βtan αtan βαtan +=+． （二）公式推导：我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例一、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练：。
高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，能够运用这些公式进行计算和化简。
2.过程与方法：通过探究、讨论、练习等方式，培养学生的数学思维能力，提高解题技巧。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。
二、教学重点与难点1.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切函数公式的推导与应用。
2.教学难点：二倍角公式的推导过程及运用过程中的符号变化。
三、教学过程1.导入新课（1）复习回顾：引导学生回顾初中阶段学习的正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
（2）提出问题：如何利用已知的三角函数公式来推导二倍角的三角函数公式？2.探究新知（1）引导学生利用正弦、余弦、正切的定义，结合三角形的面积公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切函数公式。
（2）教师引导学生进行推导，并解释推导过程中的关键步骤。
3.应用练习（1）教师给出一些简单的二倍角问题，让学生运用新学的公式进行解答。
（2）学生互相交流，分享解题过程和心得。
（3）教师点评，指出学生解题过程中的优点和不足。
4.拓展延伸（1）引导学生探讨二倍角公式在解三角形、化简三角函数表达式等方面的应用。
（2）学生举例说明，教师点评。
（2）学生反馈学习过程中的疑问和收获。
6.作业布置（1）教材P页习题1、2、3。
（2）思考：如何利用二倍角公式化简三角函数表达式？四、教学反思1.本节课通过引导学生探究二倍角公式的推导过程，让学生体会到了数学的严谨性和美感，提高了学生的学习兴趣。
2.在应用练习环节，学生能够积极参与，互相交流，提高了解题技巧。
3.在拓展延伸环节，学生能够将二倍角公式应用于实际问题，培养了学生的数学思维能力。
4.教学过程中，部分学生对二倍角公式的符号变化掌握不够熟练，需要在课后加强练习。
5.教师在课堂上要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度、合作交流情况等。
第七课时二倍角的正弦、余弦、正切(一)教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识. 教学重点：二倍角公式的推导及简单应用. 教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. 教学过程： Ⅰ.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β当α＝β时， sin(α＋β)＝sin2α＝2sin αcos α 即：sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos 2α－sin 2α即：cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β当α＝β时，tan2α＝2tan α1－tan 2αⅡ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或：cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠π2 ＋k π及α≠π4＋k π2 (k ∈Z )时才成立，否则不成立(因为当α＝π2＋k π，k ∈Z 时，tan α的值不存在；当α＝π4 ＋k π2，k ∈Z 时tan2α的值不存在).当α＝π2 ＋k π(k ∈Z )时,虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2(π2 ＋k π)＝tan(π＋2k π)＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin π3 ＝32≠2sin π6 ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝k π(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos αtan2α≠2tan α (3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 α2 的2倍，将 α2 作为 α4 的2倍，将3α作为 3α2的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－（513 ）2＝－1213∴sin2α＝2sin αcos α＝2×513 ×(－1213 )＝－120169 ，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(513 )2＝119169 ，tan2α＝sin2αcos2α ＝－120169 ×169119 ＝－120119.练习题：1.已知cos α＝m ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 解：∵cos α＝m ，α在第二象限.∴sin α＝1－cos 2α ＝1－m 2∴sin2α＝2sin αcos α＝21－m 2 ·m ＝2m 1－m 2cos2α＝2cos 2α－1＝2m 2－1 tan2α＝sin2αcos2α ＝2m 1－m 22m －1 或由tan α＝sin αcos α ＝1－m 2mtan2α＝2tan α1－tan 2α ＝2m 1－m 22m 2－12.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ 分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ ＝1＋cos[2(θ＋15°)]2 ＋1＋cos[2(θ－15°)]2 －32cos2θ＝1＋12 ［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－32cos2θ＝1＋12 ［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－32cos2θ＝1＋12 ×2cos2θcos30°－32cos2θ＝1＋32cos2θ－32cos2θ＝1 评述：二倍角公式的等价变形：sin 2α＝1－cos2α2 ，cos 2α＝1＋cos2α2 ，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.［例2］若270°＜α＜360°，化简：12 ＋12 12 ＋12cos2α 解：∵cos2α＝2cos 2α－1，cos α＝2cos2α2－1 ∴12 ＋12 12 ＋12cos2α ＝12 ＋1212 ＋12 （2cos 2α－1） ＝12 ＋12cos 2α 又∵270°＜α＜360° 135°＜α2 ＜180°∴原式＝12 ＋12cos α ＝12 ＋12 （2cos 2α2－1） ＝cos2α2 ＝－cos α2［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20° ∴原式＝12cos80°cos40°cos20°＝12 ×cos80°cos40°cos20°sin20°sin20° ＝12 ×cos80°cos40°sin40°×12sin20° ＝12 ×cos80°sin80°×12 ×12 sin20° ＝12 ×sin160°×12 ×12 ×12sin20° ＝116［例4］求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8(cos 2θ)2＝8(1＋cos2θ2 )2＝2(cos 22θ＋2cos2θ＋1)＝2(1＋cos4θ2)＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3Ⅲ.课堂练习课本P 108 1、2、3、4. Ⅳ.课时小结理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律. Ⅴ.课后作业课本P 110习题 1、2、3、4.。
(2) 2cos 2
n
n
1 二 cos —
8 4
2 7T
(3) sin cos
8
2
二
二
cos —
8
4
2_
—)
H Jl
8sin cos cos —
48 48
24
2 .例题分析：
JT
JI
1
cos
茜
4sin
24
cos
24
cos ^=2sin ^cos ^
=sin
6 =
2
例1 :已知sin 〉二一,
13
5 _
解：••• sin
，忙
二
H 、 :（，二），求 sin2： , cos2 , tan2：的值。
2
（—，「：）,
2
12 ••• sin 2： = 2sin ： cos ：
120 169 13
2
119 120 ；cos2： =1-2sin 2
； tan2：
169
119
第三章 第二节二倍角的正弦、余弦、正切（1）
一、
课题：二倍角的正弦、余弦、正切（ 1）
二、 教学目标：1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系； 2. 会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；
3. 领会从一般化归为特殊的数学思想， 体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴 趣。
三、 教学重、难点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。
四、 教学过程： （一）复习：
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2•提出问题：若 ，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（二）新课讲解：
1.二倍角公式的推导：
sin2： - 2sin : cos ：
cos2匚-cos 2 ： -sin 2:■
丄
小
2 tan a
tan 2
2- 1 -tan a
1
【练习 1 】求值：(1) sin22；30 cos22；30:=丄sin4^ =—
2
4
说明：（1） “倍角”的意义是相对的，如： 上是二的二倍角； 4
8
“倍角”与“二次”的关系； ・2
丄
2 /
sin ： cos 1,
2 2
cos2： = 2cos 二 T = 1 -2sin :,
2 2
,cos2： = 2cos
-1 , cos2： ==1-2sin :
（降幕公式）： （2） 观察公式特征： （3） 利用三角函数关系式 可将余弦的倍角公式变形为:
cos2:
2 . 2
=cos -sin : 类似地也有公式 1 cos 2： 统称为升
sin □= ----------------
这两个形式今后常用； 2 2
（4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
k 二
k ；
（k Z ）.
2
4 2
3 3
【练习2［①已知：tan x = 2，则tan 2(x_—) ; tan2(x •—)=
4 4 4 4
②已知：sin x = 5 "，贝U sin 2(x ) = 2「£5 .
2 4 --------
例2：化简(1)、1 -sin 40 ； (2)、1 cos20；； (3). 1 sin 40 ； (4)、1 - cos20 .
解：(1) 1 — sin40「= ：、；1 —2sin 20：cos20'=(sin 20「cos20)2
=| sin20 - cos20 I = cos20 - sin20‘ ;
(2).1 -cos20； = 1 2cos210；-1 =、2cos10；；
(3)、1 sin4“ = u1 2sin 20'：‘cos20： = _ (sin20'： cos20'：)2二sin20
cos20 ；
(4),1 —cos2(? = J1 —(1—2sin210：) = J2sin210—「2 sin10 .
说明：形如、、1二sin 与'.1二cos〉的化简方法及基本形式。
五、小结：1.二倍角公式是和角公式的特例，体现了一般化归为特殊的基本的数学思想方法；
2.二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角〉的三角函数值复角(和、差、倍)的三角函数值没，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
六、作业：
补充：1.化简2 -sin22 +cos4 ；
2 .已知v为第三象限角，且sin4 v - cos4 - 5，求sin 2的
9。
