曲面特征

常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。

它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。

本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。

一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。

一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。

直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。

斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。

2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。

一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。

3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。

标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。

一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。

椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。

当$a=b$时，椭圆变成了圆。

4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。

一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。

5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。

认识简单的空间几何多面体与曲面的特征空间几何是研究物体的形态、结构以及它们之间的关系的一门学科。

而多面体和曲面则是空间几何中的两个重要概念。

多面体是由若干个平面多边形组成的立体图形，而曲面则可以理解为平面在空间中的延伸。

在本文中，我们将探讨简单的空间几何多面体和曲面的特征。

一、空间几何多面体的特征空间几何多面体是由一系列平面多边形组成的立体图形。

它们具有以下几个特征：1. 边界特征：多面体的边是由直线段连接多边形的顶点而成。

边界特征决定了多面体的外形和结构。

2. 定点特征：多面体的定点是多边形的顶点，它们是多面体中最重要的要素之一。

3. 面特征：多面体的面是由多边形围成的表面。

它们是多面体的外部边界，决定了多面体的外观。

4. 顶角特征：多面体的顶角是由三条边共同形成的角度。

顶角特征直接关系到多面体的稳定性和形状。

二、空间几何曲面的特征空间几何曲面是平面在空间中的延伸，它们具有以下几个特征：1. 局部平面特征：曲面可以局部上看作平面，与平面的性质相似，可以进行平面几何运算。

2. 曲率特征：曲面的曲率决定了曲面的弯曲程度。

曲率特征直接关系到曲面的形状和光学性质。

3. 方程特征：曲面可以通过方程进行表示，不同的曲面方程描述了不同的形状和结构。

4. 表面特征：曲面的表面是由一系列点组成，构成了曲面的外观。

表面特征决定了曲面的光滑度和质感。

三、多面体与曲面的联系与区别多面体和曲面都是空间几何中的重要概念，它们之间有着联系和区别。

1. 联系：多面体可以被看作是由一系列平面多边形组成的立体图形，而曲面可以通过平面进行延伸得到。

在某种程度上，多面体可以被看作是曲面的一种特殊情况。

2. 区别：多面体由于是由平面多边形组成的，所以它的边界是由直线段连接顶点而成的直线段。

而曲面则可以具有不同的形状，边界可以是曲线、圆弧等。

综上所述，空间几何多面体和曲面是空间几何中的两个重要概念。

多面体是由平面多边形组成的立体图形，而曲面是平面在空间中的延伸。

第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§8 特殊曲面的曲率特征按照本章前面所建立的一般理论，本节将作一些具体讨论．一．可展曲面的曲率特征根据§5和§6的理论已经知道（参见§5例1和§6习题1），对可展曲面，直母线既是渐近曲线也是曲率线，并且过非脐点处的另一族曲率线是直母线的正交轨线；可展曲面的Gauss 曲率处处为零．换个角度来看，若按Gauss 曲率来衡量曲面的弯曲程度，则可展曲面是“平坦”的．这种看法与可展曲面局部等距对应于平面是相互印证的，这个现象的理论意义将在以后深入考虑．这里考虑其逆命题是否成立，即Gauss 曲率处处为零的曲面是否可展．定理1 若无脐点的曲面 S 的Gauss 曲率 K ≡ 0 ，则 S 可展．证法分析 不妨在正交曲率线网 (u 1, u 2) 下考虑，即设 F = M ≡ 0 ，且 W (r 1) = - n 1 = κ1r 1 ≠ 0 , W (r 2) = - n 2 = κ2r 2 ≡ 0 ,κ1 = L E ≠ 0 , κ2 = N G≡ 0 ． 由可展定义，要证明：① u 2 线是直线；② S 的切平面沿 u 2 线重合．其中若能证明第①条，则第②条是显然的．为证第①条，只要等价证明 u 2 线的单位切向与 u 2 无关，即 r 2 |r 2|只与 u 1 有关．现在容易知道的是 n 只与 u 1 有关，进而 n 1 也只与 u 1有关；由此可以考虑利用它们表示出 r 2 |r 2|． 证明 因曲面 S 无脐点，故存在正交曲率线网 (u 1, u 2) 使Weingarten 公式化为 n 1 = -κ1r 1 , n 2 = -κ2r 2 ．而Gauss 曲率 K = κ1κ2 ≡ 0 ，不妨设 κ2 ≡ 0 , κ1 ≠ 0 ，则有图4-6n1=-κ1r1≠0 , n2=-κ2r2≡ 0 ．此式说明n只与u1有关，可记为n=n(u1) ，从而n沿u2线平行，并且n1 =n1(u1) ≠0．注意到n1∥r1 , r2•r1≡ 0 , r2•n≡ 0 ，便得r2 |r2|=n⨯r1|r1|=-sgn(κ1) n⨯n1|n1|，此式右端只与u1有关，从而u2线是直线，曲面是直纹面且可展．□推论1对于无脐点的曲面，可展的充要条件是其Gauss曲率K≡ 0 ．二．曲面面积的第一变分公式肥皂膜的均匀张力通常使膜的表面达到一种极小面积值所对应的稳定状态．对于此种状态及其推广情形的研究，是近代和现代微分几何学中较为活跃和有意义的分支之一．为了考察曲面形变对于其面积的影响，可以利用变分法对于其面积进行一般化的讨论．下面将讨论较为简单的情形，对应的几何直观可以参照鼓膜的振动．考虑具有固定边界曲线的单参数正则曲面族Sβ :rβ: U→E3(u1, u2) →rβ(u1, u2) =ρ(u1, u2; β) ,β∈(-ε, ε) ，其中U⊂R2是具有光滑边界曲线的有界区域，并且假设ρ关于β∈(-ε, ε) 也是连续可微的，ε是某个正数．记曲面S=S0: r=r(u1, u2) =ρ(u1, u2; 0) ，通常称曲面族 { Sβ|β∈(-ε, ε)} 是曲面S的一个变分族．取曲面S的单位法向n=n(u1, u2) ，则曲面Sβ可表示为(8.1)ρ(u1, u2; β) =r(u1, u2) +μ(u1, u2; β) n(u1, u2) ，μ(u1, u2; 0) ≡ 0 ，其中μ(u1, u2; β) 是连续可微的，并且通常称其为曲面S的一个法向变分函数．为考虑曲面S的面积变分，首先表示出曲面Sβ的面积为(8.2)A(β) =A(Sβ) =⎰⎰U dσβ=⎰⎰U|ρ1⨯ρ2| d u1d u2，从而转化成考虑曲面S的面积的第一变分 d A(β)dβ|β= 0= ? 下列引理中的公式(8.3) 称为曲面面积的第一变分公式．引理对于上述曲面族 { Sβ|β∈(-ε, ε)} ，成立(8.3) d A(β)dβ|β= 0=-2⎰⎰U(∂μ∂β|β= 0)H dσ，其中H和 dσ分别为S的平均曲率和面积元素．证明由 (8.1) 式求导得ρi=r i+μi n+μn i=r i+μi n-μωi j r j , i= 1, 2 ，故有ρ1⨯ρ2= (r1+μ1n-μω1j r j)⨯(r2+μ2n-μω2j r j)= [(1 -μω11)r1-μω12r2+μ1n)]⨯[-μω21r1+ (1 -μω22)r2+μ2n]= [(1 -μω11)(1 -μω22) -μ2ω12ω21] r1⨯r2+ [(1 -μω11)μ2+μ1μω21] r1⨯n+ [(1 -μω22)μ1+μ2μω12] n⨯r2= [1 - 2Hμ+Kμ2] r1⨯r2+ [(1 -μω11)μ2+μ1μω21] r1⨯n+ [(1 -μω22)μ1+μ2μω12] n⨯r2．又由于μ(u1, u2; 0) ≡ 0 ，从而μ1(u1, u2; 0) ≡ 0 , μ2(u1, u2; 0) ≡ 0 ，故有(ρ1⨯ρ2)|β= 0=r1⨯r2 ,(∂∂β(ρ1⨯ρ2))|β= 0=-2 (∂μ∂β|β= 0)H r1⨯r2+ (μ2β|β= 0) r1⨯n+ (μ1β|β= 0) n⨯r2．进一步，注意到(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0=∂∂β(|ρ1⨯ρ2|2)2|ρ1⨯ρ2|2|β= 0=(∂∂β(ρ1⨯ρ2)•(ρ1⨯ρ2))|β= 0|r1⨯r2|=(∂∂β (ρ1⨯ρ2))|β= 0•n，则有(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0=-2 (∂μ∂β|β= 0)H|r1⨯r2|，d A(β) dβ|β= 0=⎰⎰U(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0 d u1d u2=⎰⎰U-2 (∂μ∂β|β= 0)H|r1⨯r2| d u1d u2=-2 ⎰⎰U (∂μ∂β|β= 0)H dσ．□当曲面S没有脐点时，上述计算可在曲率线网之下简化．曲面面积的第二变分公式较为复杂，有兴趣的读者可阅读相关专业文献．三．极小曲面定义若曲面的平均曲率恒为零，则称之为极小曲面．从曲面面积的第一变分公式易见，极小曲面在其任意一个变分族中达到面积变分的逗留值，从而成为变分族中具有最小面积值的曲面的候选对象．反之，若曲面S的平均曲率不恒为零，不妨设点P0∈S使H(P0) > 0 ，则存在点P0在参数平面上的小邻域U0⊂⎺U0⊂U和连续可微函数h使H(P) > 0 , ∀P∈U0 ;h(P0) > 0 ; h(P) {≥ 0 , P∈U0 ;= 0 , P∈U-U0 .构造曲面S的法向变分函数μ(P; β) =β h(P) ，则使-2 ⎰⎰U (∂μ∂β|β= 0)H dσ=-2 ⎰⎰U0hH dσ< 0 ．于是得到下列定理和推论．定理2曲面S为极小曲面的充要条件是S的面积在其任意变分族中总达到逗留值．推论2若曲面S的面积在其任意变分族中达到最小值，则S必为极小曲面．在一些特定条件下，确定极小曲面的过程可以转化为求解微分方程的过程，有时可以由平均曲率为零而得到比较容易求解的常微分方程．习题⒈证明双曲抛物面不可展．⒉证明单叶双曲面不可展．⒊对于无脐点的极小曲面S，试证：①S的Gauss曲率K< 0 ；②S的渐近曲线族构成正交参数网．⒋对于正则旋转面S: r(u, v) = ( v cos u , v sin u , f(v) ) ，试证：①若S可展，则或为平面，或为圆锥面；②若S极小，则或为平面，或为悬链面 (v cos u , v sin u , ±a ln(v+v2-a2 ) ) ．⒌对于Ennerper曲面S: r= (3(1+v2)u-u3, 3(1+u2)v-v3, 3(u2-v2)) ，试证：①S极小；②S的曲率线都是平面曲线．⒍对于正螺面S: r= ( v cos u , v sin u , b u ) , b= const. ≠ 0 ，试证：①S极小；②若极小直纹面无脐点，则必为正螺面．⒎证明直角坐标系O-xyz下的下列曲面是极小曲面：①z=a arctg yx , a= const. ≠ 0 ；②Scherk曲面z=1a lncos aycos ax , a= const. ≠ 0 ．⒏设直角坐标系O-xyz下的平移曲面z=ϕ(x) +ψ(y) 是极小曲面，证明其在相差一个常数的意义下可写为上题中的Scherk曲面．⒐已知曲面S: r=r(u1, u2) 的第一基本形式 d s2 =ρ2[(d u1)2+(d u2)2] , ρ=ρ(u1, u2) > 0 ．记∆=∂2(∂u1)2+∂2(∂u2)2，试证：曲面S极小的充要条件为∆r = 0．⒑设曲面S按Gauss映射的对应关系共形（即第一基本形式成比例）对应于单位球面．试证：S或为极小曲面，或为球面．。

曲面的概念
一、曲面的定义
曲面是一种几何对象，它是一个二维的、连续的、可无限延伸的形状。

曲面在三维空间中，由其上的点集合形成，这些点在三维空间中分布并不均匀。

曲面的形状可以千变万化，包括平面、球面、环面、柱面、锥面等等。

二、曲面的分类
1. 规则曲面：由公式或者解析几何方法定义的曲面，如球面、柱面、锥面等。

2. 不规则曲面：由测量数据或者数值计算方法生成的曲面，如地形表面、零件的表面等。

三、曲面的性质
1. 连续性：曲面上的任意两点之间存在一条连续的曲线。

2. 二维性：曲面总是嵌入三维空间中，它只有两个方向。

3. 边界性：曲面总是有边界或者边缘，这些边界或者边缘可能是直线、曲线或者其他形状。

四、曲面的应用
1. 工程设计：在机械工程、汽车设计、航空航天等领域中，曲面被广泛应用于产品的外形设计和优化。

2. 计算机图形学：在计算机图形学中，曲面被用于创建各种形状的模型，包括人物、场景等。

3. 地理信息科学：在地理信息科学中，曲面被用于表示地球表面和其他地理特
征的形状。

4. 物理建模：在物理建模中，曲面被用于描述物理现象在空间中的分布，如电磁场、温度场等。

五、曲面的研究方法
1. 微积分学：通过微积分学的方法，可以研究曲面的几何性质和曲线之间的关系。

2. 解析几何：解析几何是研究曲面的重要工具，通过坐标系和方程式来描述和解析曲面的形状。

3. 数值计算：对于不规则的曲面，通常需要使用数值计算的方法来生成和模拟。

§ 4-5 曲面特征采用实体特征可以方便迅速的创建较为规则的三维实体。

但对于复杂程度较高的零件，单单使用实体特征来建立有时候会很困难，因为实体特征的创建方式较为固定。

这时候可以借助于曲面特征，曲面特征提供了非常弹性化的方式来创建许多单一曲面，由于曲面具有很强的可操作性，我们可以将许多单一曲面集成为完整无缝的曲面模型，最后可将一无缝曲面转为实体，或通过曲面加厚的方式创建复杂的薄壳装零件。

一、曲面特征命令简介1、以类似实体特征创建的方式创建拉伸、旋转、扫描、混合、变截面扫描、扫描混合、倒角曲面。

2、曲线的创建与编辑。

3、构造多条曲线，在此基础上利用“”工具创建边界混合曲面。

4、曲面编辑。

5、利用造型工具“”进行复杂的曲面造型设计。

例1（如图4-5-1）1、做两个拉伸曲面：2、做一个Flat曲面：“编辑→”3、通过两次曲面合并“”操作将三个曲面合并成一张封闭曲面。

4、将封闭曲面转成实体：选中封闭曲面→编辑→。

5、抽壳6、做一张偏移曲面。

7、写字。

例2（如图4-5-2）例3（如图4-5-3）图4-5-1图4-5-2图4-5-3§ 4-6 Pro/E零件模块的其他功能一、变截面扫描扫描特征能够通过一条扫描轨迹配合一个剖面扫掠出一定形状的实体，作扫描特征时，剖面必须与扫描轨迹线正交，而且在扫描轨迹的任何位置处，剖面形状都相同。

而变截面扫面功能更强，它能将单一剖面与多条外形控制轨迹线结合起来，并且使剖面外形随扫掠轨迹的变化而变化，剖面也不一定与轨迹线正交，因此有更大的弹性空间。

另外，变截面扫描除能利用多条轨迹线来控制截面外形的变化，更能利用图形（Graph）特征（基准特征之一，操作方式为插入→模型基准→图形（G）…），配合关系式（Relation）来产生更复杂实体。

例：显示器外形设计，如图4-6-1。

1.作5条控制曲线。

2.变截面扫描特征工具栏“可变剖面扫描工具”（或主菜单：插入→可变剖面扫描…）→出现操控板（如图4-6-2）→选取中间一条曲线作为原点轨迹线→按住Ctrl键，选取其他四条曲线作为控制轨迹线→点选操控板中的按钮，绘制扫描剖面，剖面由四段弧组成，弧的端点分别落在四条轨迹线的起点，→Ö→按下鼠标中键（或点选操控板中的Ö）3．做抽壳（Shell）。

空间两种特殊曲面——平面和球面的特征摘要：本文对平面和球面的特征进行了简要介绍，讨论了平面和球面的方程、它们的第一、第二基本形式以及法曲率特征，对两种曲面上的渐近线、曲率线和测地线进行了分析，并对平面和球面的判定与可展性问题、平面曲线与球面曲线的性质进行了一定的讨论。

关键词：平面；球面；渐近线；曲率线；可展曲面平面和球面是空间两种特殊曲面，平面不弯曲，球面均匀弯曲，形状优美、性质特殊，很有研究必要。

研究平面和球面特征，平面和球面上曲线性质等有利于加深对曲面特征理解。

1．平面的特征1．1 平面的方程 {},),,0x y r r x y ==（1．2 平面的第一与第二基本形式 {}1,0,0x r = {}0,1,0y r = {}0,0,0xx r = {}0,0,0xy r ={}0,0,0yy r = 平面的第一类基本量：1x x E r r =⋅=0x y F r r =⋅=1y y G r r =⋅=平面的第二类基本量：0=⋅=n r L xx 0xy M r n =⋅=0yy N r n =⋅=平面的第一基本形式 22I dx dy =+ 平面的第二基本形式 Ⅱ＝０1．3 平面上一点处的法曲率0n k ==ⅡⅠ,几何意义：法曲率是刻画曲面在已知点邻域的弯曲性，平面的法曲率 0n k =说明平面不弯曲。

1．4 平面上的渐近线、曲率线和测地线定理1：平面上的每一条曲线都是渐近线。

证明：因为平面上一点处的法曲率 0=n k ，而曲面上一点使0=n k 的方向称为曲面在该点的渐近方向，所以平面上任意一点的任何方向都是渐近方向。

则平面上任意一条曲线上任意点的切方向都是渐近方向，于是平面上的每一条曲线都是渐近线。

定理2：平面上的每一条曲线都是曲率线。

证明：因为对于平面有NG M F L E ==且L=M=N=0，所以 022=-NM L G F Edu dudv dv 是恒等式，且平面上的点都是平点，所以平点处的任何方向都是主方向。

空间曲面认识空间曲面的特征与方程空间曲面是指在三维空间中由曲线无限延伸而成的图形。

它是几何学中一个重要的研究对象，具有丰富的特征和方程。

本文将围绕空间曲面的特征与方程展开论述。

一、空间曲面的特征空间曲面的特征主要包括形状、表达方式和性质等方面。

1. 形状：空间曲面可以有各种形状，如平面、球面、圆柱面、锥面等。

其中，平面是一种特殊的曲面，它是无限大的、无弯曲的。

而球面是一种曲率相等的曲面，它的每一点到球心的距离都相等。

2. 表达方式：空间曲面可以通过方程、参数方程和隐函数方程等方式来表示。

其中，方程法是最常用的表达方式之一。

通过将空间曲面的特征用数学方程表达出来，可以更直观地描述曲面的几何性质。

3. 性质：空间曲面具有各种几何性质，如曲率、切平面和法向量等。

曲率是描述曲面弯曲程度的量，切平面是与曲面相切且与曲面法线垂直的平面，法向量是垂直于曲面的一个向量。

二、空间曲面的方程类型根据空间曲面的特征不同，可以将空间曲面的方程分为若干类型，常见的有点法向式方程、参数方程和球面方程等。

1. 点法向式方程：点法向式方程是一种常用的描述曲面的方式。

它通过给出曲面上的一点和该点的法向量来表示曲面方程。

例如，对于球心在坐标原点、半径为r的球面，其点法向式方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a,b,c)为球心坐标。

2. 参数方程：参数方程是把曲面上的点用参数的形式表示出来。

通常，参数方程是由两个参数u和v的关系所决定的。

例如，对于圆柱面，其参数方程可以表示为x = r*cos(u), y = r*sin(u), z = v，其中r为圆的半径，(u,v)为参数。

3. 球面方程：球面方程是一种特殊的曲面方程，用于描述球面的几何性质。

球面方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a,b,c)为球心坐标，r为球的半径。

三、空间曲面的方程应用空间曲面的方程在实际应用中具有广泛的应用价值。

正则曲面的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正则曲面是几何学中的基本概念，它在数学和物理学领域中都具有重要的应用价值。

正则曲面可以简单地理解为在局部范围内与平面相似的曲面，具有光滑连续的性质。

通过对曲面上的曲线、切线、法向量等性质进行研究，可以更好地理解曲面的特征和性质。

本文将从定义、特征和应用三个方面介绍正则曲面，希望读者能通过本文对正则曲面有一个全面的了解，进而在相关领域中更深入地探究其应用和意义。

1.2 文章结构本文将分为三个部分来讲解正则曲面的定义。

在引言部分，我们将对正则曲面这一概念进行概述，并介绍本文的结构和目的。

接着在正文部分，我们将详细解释正则曲面的概念，探讨其特征以及介绍其在实际应用中的意义。

最后在结论部分，我们将总结正则曲面的重要性，展望其未来的发展，并得出结论。

通过这三个部分的内容，读者将能够全面了解正则曲面的定义及其重要性。

1.3 目的：本文旨在详细介绍正则曲面的定义及其重要性，使读者能够深入了解正则曲面在数学和工程领域中的应用。

通过对正则曲面的概念、特征和应用进行分析和讨论，希望能够帮助读者加深对正则曲面的理解，并促进正则曲面研究在科学技术领域的发展和应用。

同时，本文也旨在引起读者对正则曲面领域的兴趣，激励更多人投身于正则曲面研究，推动该领域的进一步发展与创新。

2.正文2.1 正则曲面的概念在几何学中，正则曲面是指在每一点处都具有良好定义的曲率的曲面。

换句话说，正则曲面是一种光滑且连续的曲面，在其中每个点都存在一个唯一的切平面，并且曲面在该点处的法线存在且唯一。

这种特性使得正则曲面具有一定程度的可微性和连续性，使得我们能够用数学方法来研究和描述它们的性质。

正则曲面的概念是微分几何学中一个重要的概念，它为我们研究曲面的性质和特征提供了一种有效的数学工具。

通过对正则曲面的曲率、法向量和切平面等性质进行研究，我们可以更深入地了解曲面的几何特征和形态。

在数学和物理学中，正则曲面广泛应用于曲面积分、曲面积分、流形和微分几何等领域。