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j0 ( B ) ( U X t V Y t W ) U ( B ) X t V ( B ) Y t W ( 1 )
3
.
二.常系数齐次线性差分方程 给定p个实数 a 1,a2, ap,ap0,我们称
X t [ a 1 X t 1 a 2 X t 2 a p X t p ] 0 , t Z
A ( B ) t'z jt 0 ,l 0 ,1 ,2 , r (j) 1
5
.
证明:设A(z)有分解
k
则有
A(z)
(1 j 1z源自1 jz)
r
(
j)
k
A(B)
(1
j 1
z
j
1
B
)
r
(
j)
6
.
齐次线性差分方程的通解
定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 z1,z2, zk 其中z j
是r(j)重零点。则{ z jttl} ,l 0 ,1 ,2 , r ( j ) 1 ,j 1 ,2 , k
第二章 自回归模型
本章目录
推移算子和常系数差分方程 自回归模型及其平稳性 AR(p) 序列的谱密度和Yule-Walker方程 平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式
AR(p) 序列举例
1
.
§2.1推移算子和常系数差分方程
一.推移算子
对任何时间序列 { X t } 和无穷级数 (z) bj z j 只要级数 b j X t j
为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。 满足上式方程的实数列称为它的解， 满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。
上式的解可以由p个初值逐次递推得到
Xt [a1Xt1a2Xt2 apXtp],tp
Xtpa 1p[Xta1Xt1a2Xt2 ap1Xtp1],tp0 若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。
是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成
这p个解的线性组合
k r(j)1
（1.7）
Xt
Ul,jt'zjt,tZ
j1 l0
其中的随机变量U l , j 可以由 { X t } 的初值唯一决定，（1.7）称为 齐次线性差分方程（1.2）的通解。
7
.
差分方程（1.2）的实值解可以表示为
p
Xt ajXtj t,tZ j1
是一个p阶自回归模型，简称为 AR(p) 模型
15
.
满足 AR(p) 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或 AR(p) 序列
称 a(a1,a2, ap)T为 AR(p) 模型的自回归系数。
称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。 A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。
于是方程的任意解满足 Xt o(t)a.s.,t 称Xt以负指数阶收
敛到0.
8
.
通解不收敛的情形 如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解
Xt cos(jt),t Z
如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解
Xt
( 1
j
)cos(jt),tZ
9
.
非齐次线性差分方程及其通解
设{Yt}为实值时间序列
（1.10）
20
40
60
80
100
120
11
.
单摆的120个观测值(a=-0.85)：
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
80
100
120
12
.
单摆的10000个观测值(a=1)：
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
在某种意义下收敛，就定义
j
j
() bjj j
()Xt bjj Xt bj Xtj
j
j
并称B是时间t的后向推移算子，简称推移算子。
推移算子有称为时滞算子或延迟算子，推移算子的性质：
（1）对和t无关的随机变量Y有BY=Y，
（2）B n(a X t)a B nX ta X t n
（3）B n m X t B n (B m )X t X t n m
AR(p)的平稳解
设多项式A(Z)的互异根是 x 1 x 0 0 ,生 成 { t } ~ W N ( 0 ,2 ）
取 1min{zj }
从而有泰勒级数 Xt A（ 1 B)t j tj
j0
16
k r(j)1
Vl,jt'
t j
cos(jtj),t Z
j1 l0
{Vl, j ,l, j} 可以由初始值唯一决定。
通解的收敛性 如果差分方程的特征多项式A(Z)的根都在单位圆外：
z j 1 ,j 1 ,2 , k 或 A (z ) 0 , z 1
取 1min{zj : j1,2 k},则 tl zj tl(/ zj )t o(t)
13
.
单摆的120个观测值(a=-1.25)：
12
x 10 3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 0
20
40
60
80
100
120
14
.
AR(p) 模型
定义2.1（ AR(p)
模型）
如果{ t } 是白噪声WN(0，
2
),实数
a 1,a2, ap,ap0使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 p A(z)1 ajzj 0, z 1则称P阶差分方程 j1
2
.
p
p
（4）对多项式 (z) cjzj有 (B)Xt cjXtj
j0
j0
（5) 对多项式 (z) p cjzj和(z)=djzj 的乘积 A(z)(z)(z)
有
j0
A ( B ) X t ( B ) [ ( z ) X t] ( B ) [ ( B ) X t]
p
(6) 对时间序列{ X t } ，{ Y t } ,多项式 (z) c j z j 和随机变量U,V,W有
A(B ) X t Yt ,t Z
满足（1.10）的时间序列称为（1.10）的解。 如果有（1.10）的某个解，则通解可以写成
k r(j)1
Xt Xt(0)
Ul,jt'z jt,tZ
j1 l0
10
.
§2.2 自回归模型及其平稳性
例子：
单摆的120个观测值(a=-0.35)
8
6
4
2
0
-2
-4
0
4
.
用推移算子把差分方程写成 p A (B )X t 0 ,t Z ,其 中 A (z) 1 a jzj 0 ,z 1 j 1
A ( z )称为差分方程的特征多项式。
解有线性性质：{ X t } 和{Y t} 是解，则Xt +Yt 也是解。
差分方程的基础解：设多项式A(z)是k个互不相同的零点 z1,z2, zk ， 其中z j是r(j)重零点。 可以证明对每个z j有
