含参一元二次不等式的解法及其应用

3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。

解一元二次不等式的步骤：1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）;2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）;3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集二．自主探究在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。

分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。

下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。

【题型一】对根的大小讨论例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ).对应练习：解关于的不等式2x a x a--<0 (a R ∈ ).【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈对应练习：012<+-ax x【题型三】对首项系数a 的讨论例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈训练（2）：函数()f x =R ，则实数m 的取值范围.课堂小结：含参数的一元二次不等式需讨论一般分为1：对二次项系数进行讨论；2：对所对应方程根的个数进行讨论；3：对所对应方程根的大小进行讨论；注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定.三．巩固性练习及作业1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ）A.（-3a, 4a ）B.(4a , -3a)C.(-3, 4)D.(2a , 6a)2、22210x xx m -+->解关于的不等式32(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式4.若不等式ax 2+bx+c>0 的解集为{x|-3<x<4}.，求不等式bx 2+2ax-c-3b<0的解集分析提示：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和ax 2+bx+c=0的两根，由韦达定理可知a,b ，c 之间的关系。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。

高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中的重要内容，也是一个比较难以掌握的部分。

而当一元二次不等式中含有参数时，更是让学生感到困惑和挑战。

在数学学习中，一元二次不等式的解法探究是非常重要的，下面我们就来探讨一下高中数学一元二次含参不等式的解法。

一、含参一元二次不等式的一般形式ax^2 + bx + c > 0 或者 ax^2 + bx + c < 0其中a、b、c是常数，x是未知数，不等式的解集也就是x的取值范围。

1. 代入法当一元二次不等式中含有参数时，一种比较简单的解法是采用代入法。

将参数用实数代入，然后对得到的一元二次不等式进行求解。

将得到的解与参数的取值范围相结合，得到最终的解集。

2. 讨论法3. 图像法一元二次函数的图像方法可以帮助我们更直观的理解含参不等式的解法。

我们可以根据一元二次函数的图像特征，结合参数的取值范围，来判断不等式的解集。

1. 例题一已知不等式(x-1)(3x-k) > 0，若k为正数，求x的取值范围。

解：我们根据不等式的性质得到x-1>0，3x-k>0或者x-1<0，3x-k<0。

然后我们可以推导出k>3x或者k<3x。

结合k为正数，可得k>0。

最终，x的取值范围为(1,k/3)。

通过以上应用实例，我们可以看到含参一元二次不等式的解法在实际应用中是非常有用的，能够帮助我们更好地理解和掌握不等式的解题方法。

四、总结含参一元二次不等式是高中数学中的一个重要内容，具有一定的难度。

解决含参一元二次不等式，我们可以采用代入法、讨论法和图像法等多种方法。

在应用实例中，我们可以根据不等式的性质和参数的取值范围来求解不等式，得到最终的解集。

通过不断练习和应用，我们可以更好地掌握含参一元二次不等式的解法，提高自己的数学解题能力。

在学习过程中，我们还需要多总结经验，勤加练习，多探索多思考，在老师的指导下加深对含参一元二次不等式的理解，从而更好地解决各种数学问题。

高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中一个非常重要的知识点，而含参的一元二次不等式更是需要同学们格外注重。

因为含参的一元二次不等式在现实中有着广泛应用，例如通过解决含参的一元二次不等式，可以优化设计制造成本、确定工艺参数、调节运动规律等等问题。

所以，解决含参的一元二次不等式，对提高数学水平和现实生活都是非常有益的。

解决含参的一元二次不等式，可以从以下四个方面入手。

1. 方程法含参的一元二次不等式可以理解为是变量 $x$ 的一元二次函数，而求解含参一元二次不等式，就是为了知道这个函数图像 $y=ax^{2}+bx+c\left( a,b,c\in R \right)$ 在数轴上的位置关系，因此，使用方程法求解含参一元二次不等式是非常直接和简单的。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式的两边同时移项，将不等式转换为相等式，得到一个含参二次方程；2）解出方程，得到二次函数图像的根；3）分别把这些根代入原不等式中，求出参数的取值范围。

例如要求 $\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1+qx \right)<0$ (其中 $q>0$)，我们可以按以下步骤来解决：3）分别将这些解代回原不等式中，得出 $x>1/q^2$ 或 $x<0$。

因为 $q>0$，所以$x>1/q^2$，也就是说，当 $x\in \left( 0,\frac{1}{q^2}\right)$ 时，原不等式成立。

2. 图像法尽管用方程法可以得到含参一元二次不等式的解，但这种方法需要解出二次方程，不太方便。

另一种方法是通过函数图像，观察函数的零点和拐点，直接得出不等式的解。

这种方法叫做图像法。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式写成一元二次函数的形式，并确定函数的最高次幂系数 $a$，括号里的内容作为变量 $x$，同时限制 $x$ 的取值范围，画出函数的图像。

含参一元二次不等式方程组的解法
一元二次不等式方程组是一组同时包含含有变量的二次不等式的方程。

解决这种方程组需要确定变量的取值范围，使得方程组中的不等式都成立。

解决步骤
以下是解决含参一元二次不等式方程组的一般步骤：
1.通过观察，并利用一元二次方程解法，得到每个不等式的解集。

将解集表示为一个或多个范围。

2.确定每个变量的取值范围，使得方程组中的每个不等式都得到满足。

这涉及比较解集并取交集。

3.给出变量的取值范围，作为最终的解。

以下是一个示例问题的解决步骤：
示例
解决方程组：
x^2 - 5x + 6 ≥ 0
2x^2 + 3x - 2.0
1.对于第一个不等式，我们可以通过分解因式得到 `(x - 2)(x - 3) ≥ 0`。

因此，解集可以表示为 `x ∈ (-∞。

2] ∪ [3.+∞)`。

2.对于第二个不等式，我们可以使用一元二次方程解法，得到解集为 `x ∈ (-∞。

-2) ∪ (1/2.+∞)`。

3.确定变量 `x` 的取值范围，我们取两个不等式解的交集，得
到最终解为 `x ∈ (1/2.2] ∪ [3.+∞)`。

因此，方程组的解为 `x ∈ (1/2.2] ∪ [3.+∞)`。

总结
解决含参一元二次不等式方程组的步骤包括找到每个不等式的解集，确定变量的取值范围，并求解交集。

通过这些步骤，可以得到方程组的最终解。

For personal use only in study and research; not for commercialuse含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次含参不等式是高中数学中的重要内容，它是不等式与二次方程相结合的一种类型。

在解题过程中，我们需要探究其解法，并且理解不等式和二次方程之间的关系。

本文将从一元二次含参不等式的基本概念、解法以及应用案例进行探讨。

一、一元二次含参不等式的基本概念我们来了解一下一元二次含参不等式的基本概念。

一元二次含参不等式是指含有未知数的一元二次不等式以及参数的不等式。

具体形式为：ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

其中a、b、c为常数，x为未知数。

在解一元二次含参不等式时，我们需要将参数视为已知数进行讨论，然后对不等式进行分类讨论。

通常情况下，我们会通过化简或者配方法将一元二次含参不等式转化为一元二次方程，然后分析方程的解，从而得到不等式的解集。

1. 定义法对于不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以将其转化为关于参数a、b、c的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0。

然后分析方程的解的情况，得出参数a、b、c的取值范围，从而得到原不等式的解集。

2. 图像法另一种解法是通过一元二次含参不等式的图像进行分析。

我们可以将不等式对应的二次函数的图像进行绘制，并结合函数的性质进行讨论。

3. 实例分析除了通过定义法和图像法进行分析外，我们还可以通过实例分析的方法进行解题。

通过设定具体的参数值，将不等式转化为一元二次方程，然后讨论方程的解的情况。

通过对实例的分析，我们可以得出参数的取值范围，进而得到不等式的解集。

一元二次含参不等式在高中数学中有着广泛的应用。

在物理、经济学等领域中，经常会遇到一元二次含参不等式的应用问题。

在物理学中，当我们研究抛体运动、弹簧振动等问题时，经常会遇到一元二次含参不等式的解决。

通过对不等式的解进行分析，可以得出相关物理模型的性质和特点。