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第七章_联立方程模型和两阶段最小二乘法

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四计量经济学联立方程模型的单方程估计方法

四计量经济学联立方程模型的单方程估计方法
• 联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类： 单方程估计方法与系统估计方法。
• 所谓单方程估计方法，指每次只估计模型系统中 的一个方程，依次逐个估计。 • 所谓系统估计方法，指同时对全部方程进行估计， 同时得到所有方程的参数估计量。
• 联立方程模型的单方程估计方法不同于单方程模 型的估计方法 。
⒊间接最小二乘法也是一种工具变量方法
• ILS等价于一种工具变量方法：依次选择X作为 （Y0,X0）的工具变量。
• 数学证明见《计量经济学—方法与应用》（李子 奈编著，清华大学出版社，1992年3月）第126— 128页。 • 估计结果为：
0 X 0 ILS
Y1 0 Y0 1 X0

00
Y00 00 1 X0
Y00 00 X 00 00 X 00 X 0 0
X0 00 00 * 00 X 0 0 X0
四、三种方法的等价性证明
⒈三种单方程估计方法得到的参数估计量
* 0 X0 X0 0 IV
1
Y
0
X 0
X
* 0
0
X 0
1
X
* 0
X 0 Y1

⒋讨论
• 该估计量与OLS估计量的区别是什么？
• 该估计量具有什么统计特性？ • （k- k1）工具变量与（g1-1）个内生解释变量的 对应关系是否影响参数估计结果？为什么？ • IV是否利用了模型系统中方程之间相关性信息？
• 对于过度识别的方程，可否应用IV ？为什么？
⒊ IV参数估计量
• 方程的矩阵表示为
0 Y1 (Y0 , X 0 ) 1 0

第七章联立方程估计

第七章联立方程估计

∧
∧
9
对于第二个方程y2t = γ 21 y1t + β 23 x3t 如以z = x1 + 4 x2 + 3x3为工具变量， 则正规方程组为
∧ ∧ ∑ zt y2t = γ 12 ∑ zt y1t + β 23 ∑ zt x3t ， ∧ ∧ 2 ∑ x3t y2t = γ 12 ∑ x3t y1t + β 23 ∑ x3t
则∑ zt y1t = ∑ x1t y1t + 4∑ x2t y1t + 3∑ x3t y1t = 10 + 4 × 20 + 3 × 30 = 180
∑z y = ∑x y ∑z x = ∑x x
t 2t 1t t 3t 1t
2t
+ 4∑ x2t y2t + 3∑ x3t y2t = 20 + 4 ×10 + 3 × 20 = 120
间接最小二乘法
如果模型是恰好识别的 有了简约式参数的最小 二乘估计， 则可以根据 ， 结构式与简约式参数关 ， 解出结构参数的最小二 系 乘估计 假设所估计的恰好识别 的方程是模型的第一个 方程， 该方程的结构式参 数为Γ1 = (1 − γ 12 ⋯ − γ 1g )和β1 = ( β11β12 ⋯ β1K )。 考虑到这个方程不可能 包含 模型中的全部变量 否则不可识别 ， Γ1和β1中元素至少有部分为 ， 设写成 ( ) 0 Γ1 = (1 − γ 12 ⋯ − γ 1g1 0⋯0)和β1 = ( β11β12 ⋯ β1K1 0⋯0) 若用Y1表示Y1的观测值构成的 ×1列向量， 用Y11表示在第一个方程中出 T 现 的其他g1 − 1个内生变量的观测值构 成的T × ( g1 − 1)矩阵， 用Y12表示在该方

第七章---联立方程模型的概念和构造(金融计量学)

第七章---联立方程模型的概念和构造(金融计量学)
根据阶条件表述2：方程7.6.1：不包含1个前定变量，方 程右边包含一个内生变量，因此该方程是恰好识别的。 方程7.6.2：是过度识别的。方程7.6.3：不可识别。
二、秩条件
秩条件的表述如下：对于一个由G个方程组成的联立方程 模型中的某个结构方程而言，如果模型中其他方程所 含而该方程不含的诸变量的系数矩阵的秩为G-1，则该 结构方程是可识别的，若秩小于G-1则该结构方程是不 可识别的对某结构式模型中的第i个方程利用秩条件判 断其可识别性，可按以下步骤进行：
一般的，简化式模型就是把结构式模型中的内 生变量表示为前定变量和随机误差项的函数的 联立方程模型。同结构参数矩阵的表示方法一 样，模型7.3中的简化式参数矩阵可表示为：
Qt Pt
1

Yt
Pt 1
1
0
21 12 2 2
0 1
1 1 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
五、联立性偏误
2 2 2 2 2 2
2 2
= 21 22Yt 23Pt 1 wt
其中 的各值表示为各变量前的系数，
根据上述关系式，若已知 11、 12、 13、 21、 22、 2 ，则可得：
= 22或
12
=
23 13
， 1 = 21 11 * 2，
但我们却无法求得 1、2、、4 的值，
表述2：在一个线性联立方程模型中，某方程可识别的 一个必要条件（阶条件）是：该方程所不包含的前定 变量的个数必须不少于方程右边所包含的内生变量的 个数。若该方程所不包含的前定变量的个数等于方程 右边所包含的内生变量的个数，则该方程是恰好识别 的；若大于，则该方程是过度识别的。
可以证明两种表述方式是等价的。下面通过一个例子说

计量经济学知识点整理：联立方程

计量经济学知识点整理：联立方程

联立方程模型一、概念：联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。

由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影响。

一般都是经济变量。

每一个内生变量的值都要利用模型中的全部方程才能决定。

外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。

一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。

外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。

外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。

注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。

结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先决变量和随机干扰项的函数形式完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随机扰动项。

例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的函数关系，如税收方程。

恒等式：定义方程式和平衡方程。

简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。

参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。

二、识别方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。

∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。

1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。

注：识别的定义是针对结构方程而言的。

模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。

如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。

反之不识别。

恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。

但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。

恰好识别：某一个随机方程只有一组参数估计量过度识别：某一个随机方程具有多组参数估计量方程的线性组合是否得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，决定了方程也是否是可以识别的。

计量经济学重点知识归纳整理

计量经济学重点知识归纳整理

1.一般最小二乘法(Ordinary Least Squares,OLS)：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，一般最小二乘法要求样本回来函数尽可以好地拟合这组值，即样本回来线上的点∧i Y 及真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。

一般最小二乘法给出的推断标准是：被说明变量的估计值及实际观测值之差的平方和最小。

2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比一般最小二乘法更普遍的意义，或者说一般最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特别状况。

从今意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。

3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采纳一般最小二乘法估计其参数。

4.工具变量法IV ：工具变量法是克服说明变量及随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。

5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。

6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生说明变量的简化式方程采纳一般小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。

7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。

8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回来模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。

假如模型的随机干扰项违反了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。

9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是说明变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。

计量学-联立方程组模型的参数估计

计量学-联立方程组模型的参数估计
8
因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
βˆ1 Πˆ Γˆ 1
也就是
ˆ11 ˆ12
ˆ1K1
0
0
XX
1
XY
1
ˆ12
ˆ1g1
0
0
9
分别由分块矩阵 和
Y Y1 Y11 Y12
Yi XΠi ui , i 2,, g1
对它们分别作最小二乘估计，得：
Πˆ i XX1XYi , i 2,, g1
因此这些内生变量的估计量为：
Yˆi XΠˆ i XXX1XYi , i 2,, g1
29
它们可以合并为：
Yˆ10 Yˆ 2 Yˆ 3 Yˆ g1
XXX1 X Y2 Y3 Yg1
以简约式的第l个方程为例：
Ylt l1 X1t l 2 X 2t lK X Kt ult
该方程的系数构成行向量 Πl l1,,lK
，它的最小二乘估计量为：
Πˆ l XX1XYl
6
这些参数估计向量可以合并成下列简约式 模型参数的估计量矩阵：
Πˆ
Πˆ 1Πˆ 2 Πˆ g
ˆˆ 1211
X X11 X12
表示 Y 和X 。
X11
X12 X11
ˆ11
X12
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ1K1
0
X11
0
X12 Y1
Y11
1
ˆ12
Y12
ˆ1g1
0
0
10
X11X11
X12X11
ˆ11
X11X12
ˆ1K1
X11Y1
X12X12

EViews第7章 联立方程模型

第 章 联立方程模型
7.1 联立方程的识别 7.2 联立方程的估计方法及比较 7.3 联立方程的检验 7.4 习题（略）
1/27/2020
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1
7.1：联立方程的识别
7.1.1结构式方程的识别
假设联立方程系统的结构式 BY+ΓZ=μ 中的第i个方程中包含ki个内生 变量和gi个先决变量，系统中的内生变量先决变量的数目仍用k和g比奥斯， 矩阵（B0 , Γ0）表示第i个方程中未包含的变量（包括内生变量和先决变量） 在其他k-1个方程中对应的系统所组成的矩阵。于是，判断第i个结构方程 识别状态的结构式识别条件为
11
用普通最小二乘法估计第二个简化式：
Yt 21CSt 1 22Gt 2t
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12
普通最小乘法估计第一个方程结果
图7.4 普通最小乘法估计第一个方程结果
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13
用普通最小二乘法估计第二个简化式
（1）在Equation Estimation 中Specification 内输 入“cst c cst(-1) gt”,如图7.3所示，点击确定， 得到如图7.4所示结果。
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10
变量输入对话框
图7.3 变量输入对话框
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（2）在Equation Estimation 中Specification 内输入“yt c cst(-1) gt”,如图7.5所示，点 击确定，得到如图7.6所示结果
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eviews 联立方程模型

因此，在摈弃OLS估计方法而倾向于其他方 法之前，应该检验方程的联立性问题。
方程联立性检验可以采用Hausman设定误差 检验方法。
联立性问题的原因在于方程中有一个或者多 个解释变量是内生变量，它们很可能会与随 机误差项存在相关。
Hausman检验的本质是：检验一个内生回归 元是否与误差项相关，若它们之间是相关的， 则存在联立性问题。
Gov=c(1)+c(2)*aid+c(3)*inc+c(4)*pop Aid=c(5)+c(6)*gov+c(7)*ps Inst inc pop ps 在上述方程的设定形式中，”inst”所在的行是设置
联立模型估计的工具变量。
四、联立方程模型的模拟（预测）
例3 承接上例，对方程（1）和（2）进行 模拟和评价
命令格式：
Tsls gov c aid inc pop ps inc pop
对于（2），利用两阶段最小二乘法估计方程 式，两阶段最小二乘法是工具变量法的一个 特例
三、系统方法
最为常用的系统估计法有：阶段最小二乘法估计方程 （1）和（2）。
第七章 联立方程模型
一、识别问题
对于结构式模型中任意一个方程，识别的阶 条件为：

K-M≥G-1
其中K=模型中的变量总数（内生变量+前定 变量），M=该方程中所包含的变量数目， G=模型中方程个数（即内生变量个数）
二、单方程方法
例1 表7.1是美国各州和地方政府费用支出数 据。其中，GOV为政府开支，AID为联邦政 府的拨款额，INC为各州收入，POP为各州 人口数，PS为小学与中学在校生人数。根据 分析，建立如下联立方程模型：
A I0 D 1 G O 2 ˆ V 3 P S

计量经济学联立方程模型evlr


需求函数 Pt 1 2Qt 2t
模型的简化式：
Qt
1 21 1t 2 2t 122 122
11 u1t
Pt
1 12 122
21t 2t 122
21 u2t
1 21 122
11
1 12 122
21
供求模型都不可识别。
在需求函数中引入收入变量 Yt来说明
变其量中。，Y如1，果，模Y型m 中为有m个常内数生项变，量X1；可X1视,为,始X k终为取k个值前为定1
的外生变量。
引入向量和矩阵记法
11 12 1m
R 21
22
2m
,
m1
m2
mm
Y1t
Y
Y2t
,
Ymt
11 12 1K
β
21
22
2K
,
m1
Yt Ct It Gt
变形为： Ct 0 1Yt 2Tt 1t , It 0 1Yt1 2rt 2t , Tt 0 1Yt 3t ,
Yt Ct It Gt 0
恒等方程无识别问题，因为无未知参数。
讨论第一个方程的识别性。根据阶条件的两个等价条 件，可知第一个方程是过度识别的。
（二）简单的例子
简单的两方程宏观经济模型
Ct Yt t
Yt Ct It
其简化式模型：
Ct
1
It
1
1
t
Π1It
ut
Yt11It11t
Π2It
ut
第一个方程的最小二乘估计为
Ct It
Πˆ 1 t
I
2 t
t
根据：
ˆ 1 ˆ
Πˆ 1
t
Ct It

第七章工具变量、2SLS、GMM

IV
－1 ˆ 证明：抽样误差 IV－＝ ZX Zy－
＝ ZX Z X＋ －＝ ZX Z
－1 －1
1 1 n －1 p ＝ zi x i zi i ＝SZX g n i=1 n i=1
n
OLS估计成为一致估计量的前提是解释变量与扰动 项不相关（即前定变量假设），否则，无论样本容 量多大，OLS估计量也不会收敛到参数真值，这将 难以接受。解决方法之一是本章介绍的工具变量法
复习第三章p34－p38
违背前定变量假设可以出现在联立方程中，比如 C t＝ 0＋1Yt＋ t ，Yt、C t、I t、X t 分别表示GDP、 Yt＝Ct＋I t＋X t 消费、投资、净出口。将第一个方程代入第二个
二、工具变量法作为一种矩估计
1、矩估计（Method of Moments，MM）
首先以一个例子来说明矩估计方法：假设随机变量 x N ， 2 ，其中， 2为待估参数。因为有两 个待估参数，故需要使用以下两个总体矩条件： 一阶中心矩：E x ＝
2 2 二阶中心矩：E x ＝Var x ＋ E x ＝ ＋ 2 2
一、工具变量法（Instrumental Variable，IV）
可以引入工具变量w t 来解决内生变量问题。一个有 效的工具变量应满足以下两个条件： （1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即 Cov w t，p t 0，p t为内生解释变量 （2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即 Cov w t， t ＝0
t 1 方程，经整理可得Yt＝ 0＋I t＋X t ＋ 1－1 1－1
可见Yt与 t 相关，因此当单独对Ct＝ 0＋1Yt＋ t 进行OLS估计时会碰到解释变量与扰动项相关的 情况
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第七章联立方程模型和两阶段最小二乘法
建立一个OBJECT。

确定内外生变量：
cc=c(1)+c(2)*PP+c(3)*PP(-1)+c(4)*(WP+WG) ii=c(5)+c(6)*PP+c(7)*PP(-1)+c(8)*KK
WP=c(9)+c(10)*XX+c(11)*XX(-1)+c(12)*AA INST WG GG TT AA PP(-1) KK XX(-1) C
回归结果：
System: KLEINMODEL
Estimation Method: Two-Stage Least Squares Date: 07/13/11 Time: 15:29
Sample: 1921 1941
Included observations: 21
Total system (balanced) observations 63
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1)
16.55476 1.467979 11.27725 0.0000
C(2)
0.017302 0.131205
0.131872 0.8956 C(3)
0.216234
0.119222
1.813714 0.0756 C(4)
0.810183 0.044735 18.11069 0.0000 C(5) 20.27821 8.383249 2.418896 0.0192 C(6)
0.150222 0.192534
0.780237 0.4389
C(7)
0.615944 0.180926 3.404398 0.0013
C(8)
-0.157788 0.040152 -3.929751 0.0003
C(9)
1.500297 1.275686 1.176070 0.2450
C(10)
0.438859 0.039603
11.08155
0.0000
C(11)
0.146674
0.043164
3.398063
0.0013
C(12)
0.130396
0.032388
4.026001
0.0002
Determinant residual covariance 0.287714
Equation: CC=C(1)+C(2)*PP+C(3)*PP(-1)+C(4)*(WP+WG) Instruments: WG GG TT AA PP(-1) KK XX(-1) C Observations: 21
R-squared
0.976711
Mean dependent var
53.99524
Adjusted R-squared
0.972601
S.D. dependent var
6.860866
S.E. of regression
1.135659
Sum squared resid
21.92525
Prob(F-statistic)
1.485072
Equation: II=C(5)+C(6)*PP+C(7)*PP(-1)+C(8)*KK Instruments: WG GG TT AA PP(-1) KK XX(-1) C Observations: 21
R-squared
0.884884
Mean dependent var
1.266667
Adjusted R-squared
0.864569
S.D. dependent var
3.551948
S.E. of regression
1.307149
Sum squared resid
29.04686
Prob(F-statistic)
2.085334
Equation: WP=C(9)+C(10)*XX+C(11)*XX(-1)+C(12)*AA Instruments: WG GG TT AA PP(-1) KK XX(-1) C
Observations: 21
R-squared
0.987414
Mean dependent var 36.36190
Adjusted R-squared 0.985193
S.D. dependent var 6.304401
S.E. of regression
0.767155
Sum squared resid 10.00496
Prob(F-statistic)
1.963416
联立方程组解得：
Model: Untitled
Date: 07/13/11 Time: 15:42
Sample (adjusted): 1921 1941
Solve Options:
Static-Stochastic Simulation
Solver: Broyden
Max iterations = 5000, Convergence = 1e-08
Requested repetitions = 1000, Allow up to 2 percent failures
Solution does not account for coefficient uncertainty in linked equations Track endogenous: mean, standard deviation
Calculating Innovation Covariance Matrix
Sample: @ALL
Insufficient XX innovations - Equation treated as non-stochastic
Insufficient PP innovations - Equation treated as non-stochastic
Matrix scaled to equation specified variances
Scenario: Baseline
Solve begin 15:42:24
Repetitions 1-200: successful 15:42:24
Repetitions 201-400: successful 15:42:24
Repetitions 401-600: successful 15:42:24
Repetitions 601-800: successful 15:42:24
Repetitions 801-1000: successful 15:42:24
Solve complete 15:42:24
1000 successful repetitions, 0 failure(s)
两倍标准差下的预测值范围：。