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计量经济学多元线性单方程受约束条件回归例子

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例3.5.1&例3.6.1下表列出了1985年——2006年各年用当年价测度的中国城镇居民人均消费支出（X ）与人均食品消费支出（1X )，表中GP 表示中国城镇居民消费价格总指数。

由于在1995年前没有城镇居民的食品消费价格指数，则用城镇食品零售价格指数（FP)作为城镇居民食品消费价格指数的近似替代。

由这些数据容易推算出以2000年价测度的城镇居民人均食品消费支出（Q ），以及城镇居民消费价格缩减指数（0P ）与城镇居民食品消费价格缩减指数（1P ）。

表3.5.1 中国城镇居民消费支出及价格指数单位：元X (当年价)1X(当年价)GP(上年=100)FP(上年=100)Q(2000年价)0P(2000年=100)1P(2000年=100)1985 673.2 351.4 111.9 116.5 1315.9 28.1 26.7 1986 799.0 418.9 107.0 107.2 1463.3 30.1 28.6 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 1475.0 32.8 32.1 1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1412.5 39.5 40.1 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1437.2 46.0 45.9 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 1529.2 46.6 45.4 1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1636.3 49.0 47.8 1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1671.4 53.2 52.9 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1715.9 61.7 61.7 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 1718.7 77.2 82.8 1995 3537.6 1771.9 116.8 123.6 1732.1 90.1 102.3 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 1725.6 98.1 110.4 1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 1758.2 101.1 110.5 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 1799.8 100.5 107.1 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 1885.7 99.2 102.5 2000 4998.0 1971.3 100.8 97.6 1971.3 100.0 100.0 2001 5309.0 2027.9 100.7 100.7 2013.8 100.7 100.7 2002 6029.9 2271.8 99.0 99.9 2258.3 99.7 100.6 2003 6510.9 2416.9 100.9 103.4 2323.5 100.6 104.0 2004 7182.1 2709.6 103.3 109.9 2370.2 103.9 114.3 2005 7942.9 2914.4 101.6 103.1 2472.7 105.6 117.9 2006 8696.6 3111.9 101.5 102.6 2573.4 107.2 120.9资料来源：《中国统计年鉴》（1990~2007）设定模型为3211βββP P AXQ =（1）利用上述材料，进行回归分析。

（2）回答：中国城镇居民对食品的人均消费需求函数是否具有零阶齐次特性这一假设？解：（1）μβββ++++=03121ln ln ln ln ln P P X A Q ；0ln β=A ； μββββ++++=031210ln ln ln ln P P X Q031210ln ln ln ln P P X Q ∧∧∧∧∧+++=ββββ从stata 对其进行最小二乘回归分析的结果可知：29.0;26.0;54.0;53.53210-≈-≈≈≈∧∧∧∧ββββ回归模型为：01ln 29.0ln 26.0ln 54.053.5ln P P X Q --+=∧9736.0;9773.022=ℜ=ℜ说明该模型拟合的较好；16.3)18,3(05.0=F ；0000.0Pr ;85.258)18,3(=>=F ob F 说明模型的线性关系在95%的置信水平下显著成立；101.2)18()1322()1()205.0()205.0()2(==--=--∂ttk n t000.0||,41.590=>=∧t P t β 说明∧0β在95%的水平下影响显著000.0||,78.141=>=∧t P t β 说明∧1β在95%的水平下影响显著165.0||;45.12=>-=∧t P t β 在95%的水平下不能拒绝02=∧β177.0||;41.13=>-=∧t P tβ 在95%的水平下不能拒绝03=∧β由于该模型的拟合程度较好，所以不能完全确定21ln ln P P 和前的系数为0。

（2）按照需求函数的零阶齐次性特征，模型3211βββP P AXQ =可写为：∧∧⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21010ββP P P X A Q ，即对3211βββP P AXQ =施加0321=++βββ的约束（)(012121ββββ--=P P AXQ ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∧∧∧01201ln ln ln ln P P P X A Q ββ从stata 对其进行最小二乘回归分析的结果可知：28.0;53.0;53.5210-≈≈≈∧∧∧βββ回归模型为：10ln28.0ln53.053.5ln P P P X Q -+=∧9749.0;9773.022=ℜ=ℜ说明该模型拟合的较好；52.3)19,2(05.0=F ；0000.0Pr ;93.408)19,2(=>=F ob F 说明模型的线性关系在95%的置信水平下显著成立；093.2)19()1222()1()205.0()205.0()2(==--=--∂ttk n t000.0||,47.660=>=∧t P t β 说明∧0β在95%的水平下影响显著000.0||,04.231=>=∧t P t β 说明∧1β在95%的水平下影响显著084.0||;02.12=>-=∧t P tβ 在95%的水平下不能拒绝02=∧β由于该模型的拟合程度较好，所以不能完全确定01ln P P 前的系数为0。

对010ln28.0ln53.053.5ln P P P X Q -+=∧进行拆分得：010ln 28.0ln 28.0ln 53.0ln 53.053.5ln P P P X Q +--+=∧10ln 28.0ln 25.0ln 53.053.5ln P P X Q --+=∧与01ln 29.0ln 26.0ln 54.053.5ln P P X Q --+=∧比较可知，其相似性较高。

由于01.029.026.054.0-=--，很接近于零，但不为零。

即所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。

同时，)1,(~1-------=U R U U UR U URk n k k F k n RSSk k RSSRSSF0406.0132201775.02301775.001779.0≈----=F ，41.4)18,1()05.0(=F由于计算的F 值小于临界值，不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函数具有零阶齐次特性这一特征。

13.下表列出了中国某年按行业分的全部制造业国有企业及规模以上制造业非国有企业的工业总产值Y ，资产合计K 及职工人数L 。

序号 工业总产值Y （亿元） 资产合计K （亿元） 职工人数L（万人）序号工业总产值Y（亿元） 资产合计K （亿元） 职工人数L （万人）1 3722.70 3078.22 113 17 812.70 1118.81 43 2 1442.52 1684.43 67 18 1899.70 2052.16 61 3 1752.37 2742.77 84 19 3692.85 6113.11 240 4 1451.29 1973.82 27 20 4732.90 9228.25 222 5 5149.30 5917.01 327 21 2180.23 2866.65 806 2291.16 1758.77 120 22 2539.76 2545.63 96 7 1345.17 939.10 58 23 3046.95 4787.90 222 8 656.77 694.94 31 24 2192.63 3255.29 163 9 370.18 363.48 16 25 5364.83 8129.68 244 10 1590.36 2511.99 66 26 4834.68 5260.20 145 11 616.71 973.73 58 27 7549.58 7518.79 138 12 617.94 516.01 28 28 867.91 984.52 46 13 4429.19 3785.91 61 29 4611.39 18626.94 218 14 5749.02 8688.03 254 30 170.30 610.91 19 15 1781.37 2798.90 83 31 325.531523.1945161243.071808.4433设定模型为：μβαe L AKY =（1）利用上述资料，进行回归分析。

（2）回答：中国该年的制造业总体呈现规模报酬不变状态吗？ 解： （1）μβα+++=L K A Y ln ln ln ln 210;;ln βββαβ===Aμβββ+++=L K Y ln ln ln 210L K Y ln ln ln 210∧∧∧∧++=βββ从stata 对其进行最小二乘回归分析的结果可知：36.0;61.0;15.1210≈≈≈∧∧∧βββ回归模型为：L K Y ln 36.0ln 61.015.1ln ++=∧7963.0;8099.022=ℜ=ℜ说明该模型拟合的较好；34.3)28,2(05.0=F ；0000.0Pr ;66.59)28,2(=>=F ob F 说明模型的线性关系在95%的置信水平下显著成立；048.2)28()1231()1()205.0()205.0()2(==--=--∂ttk n t124.0||,59.10=>=∧t P t β 在95%的水平下不能拒绝∧0β=0002.0||,45.31=>=∧t P t β 说明∧1β在95%的水平下影响显著084.0||;79.12=>=∧t P tβ 在95%的水平下不能拒绝02=∧β由于该模型的拟合程度较好，所以不能完全确定L ln 前的系数为0。

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计量经济学 第三章

计量经济学 第三章

习题答案
3-2．答：变量非线性、系数线性；变量、系数均线性；变量、系数均 线性；变量线性、系数非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均 为非线性；变量、系数均为线性。 3-3．答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几 方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性 回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关
方和较大，但相对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模
型。
（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预
期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，
住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如
此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预
其中：——某天慢跑者的人数 ——该天降雨的英寸数 ——该天日照的小时数 ——该天的最高温度（按华氏温度） ——第二天需交学期论文的班级数Байду номын сангаас
请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？ （2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得
到不同的符号？ 3-18．对下列模型： （1）
（2） 求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二 乘估计值作比较：
（1） 检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括 号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把 变量保留在模型中还是去掉？
（2） 在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其 在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你 的结论。
（3） ，你认为哪一个估计值更好？ 3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭 价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千 人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营 业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无 法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括 号内为标准差）：
计量经济学课程第4章(多元回归分析)

计量经济学课程第4章(多元回归分析)

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§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
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基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS

N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1

2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2


2，
0
HA :

2


2 0
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)

第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)


Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
中级计量经济学讲义_第六章带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验

中级计量经济学讲义_第六章带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验

第六章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。

带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。

第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。

第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。

第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212*********这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。

R 中每一行都是一个约束中的系数。

矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。

因此，J 一定要小于或等于K 。

R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。

给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。

d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。

由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。