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静电场的旋度嘿，朋友们，今儿咱们来聊聊一个挺有意思的话题——静电场的旋度。
听起来是不是挺高大上的？别担心，咱们用大白话把它说明白，保证让你一听就懂，还能跟朋友们显摆显摆呢！咱们先来说说啥是静电场。
想象一下，冬天你穿着毛衣，一脱下来，“噼里啪啦”一阵响，那就是静电在作怪。
静电场，简单来说，就是电荷周围存在的那种能让其他电荷受到力的场子。
就像你站在人群里，你的气场能让周围的人感受到你的存在一样。
好，现在咱们来聊聊旋度。
旋度啊，听着就像是旋转的度数，但其实它跟那个“度数”没啥直接关系。
咱们可以把它想象成一种“扭转”的力量。
就像你拧毛巾，那股子劲儿就是旋度。
在静电场里，旋度就表示电场线是不是像拧麻花一样在扭转。
一说到静电场的旋度，咱们得从两个方向来看：1.1 首先说说它为啥重要。
你想啊，要是电场线都直愣愣的，那生活得多无聊啊！有了旋度，电场就变得有意思多了。
它能让电荷在电场里转圈圈，玩出各种花样。
这就像咱们玩滑板，直线滑行固然爽，但来点旋转跳跃，不是更刺激吗？1.2 再说说它怎么来的。
静电场的旋度啊，可不是凭空冒出来的。
它得靠电荷分布和电场强度来决定。
电荷分布不均，电场强度就会有差异，这样一来，电场线就得扭着走了。
就像你手里拿着一把筷子，要是把它们一头对齐，另一头就会参差不齐，看起来就像是在旋转一样。
接下来咱们再聊聊旋度的特性：2.1 它可是个矢量。
啥是矢量？就是既有大小又有方向的量。
就像你开车，速度就是个矢量，你得知道开多快，还得知道往哪儿开。
静电场的旋度也一样，它得告诉你电场线扭转得有多厉害，还得告诉你扭转的方向。
2.2 它跟电场强度可不一样。
电场强度是描述电场对电荷作用力的强弱的，而旋度是描述电场线扭转程度的。
就像你吃辣椒，辣度是描述辣椒有多辣的，而辣味在嘴里的扩散程度就是另一种描述了。
2.3 旋度还有个特点，就是它在某些地方可能为零。
就像你拧毛巾，有的地方可能拧得特别紧，有的地方可能根本就没拧。
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
§ 1.7 静电场的散度和旋度现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程.1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比的极限(1.7-1)为矢量场 A在该点的散度（divergence of A）它是一个标量.显然若则该点散度▽·A ≠ 0，该点就是矢量场A的一个源点若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场.在直角坐标系中(1.7-2)▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.高斯定理（Gauss, Theorem）对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：(1.7-3)即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分.由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.2.电场的散度方程大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程(1.7-4)其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分，因此有设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得(1.7-5)这就是电场高斯定理的微分形式——电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r ≠ 0 的点上▽·E ≠ 0, 这些点就是电场的源点.3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材 P853）在连续可微的矢量场 A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径 L积分，△S=△S是L围成的面积元矢量,并且约定：面积元△S 的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P（x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限(1.7-6)为矢量场 A的旋度▽×A (curl of A , rotation of A )在方向的投影按上述约定若（▽×A）n为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋若（▽×A）n为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋若（▽×A）n =0，A线在该点不形成涡旋如果在所有点上均有▽×A =0，则A场就称为无旋场在直角坐标系中，A的旋度为(1.7-7)▽×A在球坐标和柱坐标系中的表达式，见教材 P855.斯托克斯定理（Stokes, Theorem）对任意闭合路径L及其围成的曲面S，下述积分变换成立：(1.7-8)即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分. 由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零——保守场，它就是无旋场，即处处有▽×A = 0.4.静电场的旋度方程我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径L ，E 的环量均为零(1.7-9)据斯托克斯定理（1.7-8)，我们可得到(1.7-9)的微分形式▽× E = 0 (1.7-10)这表示，静电场是无旋场.如大家所知，静电场的E线始发于正电荷，终止于负电荷， E线无涡旋状的结构磁场线（B线）则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构. (1.7-5)和(1.7-10) 是静电场两个基本的微分方程.静电场的两个基本的微分方程至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程：(1.7-5)▽× E = 0 (1.7-10)（1）这两个方程分别是静电场的高斯定理和环路定理的微分形式（2）这两个方程描述了静电场的有源无旋性质：电荷分布点是电场的源点静电场的场线无涡旋状结构。
静电场的散度与旋度赫母霍兹定理指出,任意矢量场由他的散度,旋度和边界条件唯一的确定,要确定静电场,需要讨论它的散度与旋度.⑴静电场的散度与高斯定理)(4)1()1()(41)(:)1()(41)()(,)1(,,,)(41)(2200330r r R V d R r r E V d Rr r E r E RR R r R r r R V d r RR r E V V v --=∇∴'∇-=∙∇'∇-=-=∇-=-='=⎰⎰⎰πδρπερπερπε两遍取散度写成可将由前面所学可知式中V d r r r V ''-'=∙∇⎰)()(10δρε0,ερ=∙∇∴E V 内区域我们已假设电荷分布在这是高斯定理的微分形式，它表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷使静电场的通量源，电荷密度为正，称为发散源；电荷密度为负，汇聚源。
对上式两边求积分⎰⎰=∙∇V V dV dV 0ερ⎰⎰⎰⎰=∴=∙∇v S SV dV d d dV ρε01由于之比。
所包围的总电荷与的通量等于该闭合曲面曲面矢量穿过闭合形式。
它表明电场强度上式为高斯定理的积分0εS 静电场的旋度⑵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡''-∇=∴-'∇'∇'-=⎰⎰V V V d R r r V d R r )(41)(41)(,)1()(41)(00ρπεπερρπε无关及与考虑故梯度再求旋度时恒等于而任何一个标量函数的函数上式括号时一连续标量对上式取旋度,0))(41()(E 0⎰''∇⨯-∇=⨯∇V V d R r r ρπε因此静电场是无旋场0=⨯∇E0,,0=∙∙=⨯∇=⋅⨯∇⎰⎰⎰⎰ d E d E S d E S d E CC S S 利用斯托克斯定理电场力不做功。
动一周合路径移电荷沿静电场中任一闭其物理含义是将单位正的积分恒等于沿任意闭合路径在静电场中上式表明,,0,,C。
