学高中数学不等式和绝对值不等式三个正数的算术几何平均不等式学案

第一讲 不等式和绝对值不等式1.3 三个正数的算术-几何平均不等式导学案编写人：林洪兵 高二数学组1、进一步理解均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数；2、会应用此定理求某些函数的最值；3、会应用此定理证明不等式；4、能够解决一些简单的实际问题。

复习1：．重要不等式：定理1：如果a,b ∈R,那么 当且仅当 时等号成立。

定理2：如果a,b ∈R +,那么 当且仅当 时等号成立。

语言表述：思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢?例如,对于3个正数,会有怎样的不等式成立呢?探究1：和的立方公式：(x+y)3=立方和公式： x 3+y 3=探究2：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当 EMBED Equation.3 c b a ==时取“=”）证明：探究3：.定理3：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取等号） 语言表述：探究4： 推论:(1)abc 为定值时，a+b+c ≥ 当且仅当c b a ==时取等号。

(2)当a+b+c 为定值时，ab c ≤ 当且仅当c b a ==时取等号。

探究5：.推广： ≥当且仅当 时取“=”语言表述：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.例5、已知,,,+∈R z y x 求证：()xyz z y x 273≥++例6将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：1、由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。

另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧（拆项时常拆成两个相同项）。

第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式学习目标 1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单的实际问题．知识点 三项均值不等式 思考 类比基本不等式：a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0)，请写出a ，b ，c ∈R ＋时，三项的均值不等式． 答案a ＋b ＋c3≥3abc .梳理 (1)三个正数的算术—几何平均不等式(定理3) 如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nna 1＝a 2＝…＝an 时，等号成立． (3)重要变形及结论 ①abc ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc ；③31a ＋1b ＋1c≤3abc ≤a ＋b ＋c 3≤a 2＋b 2＋c 23.上式中a ，b ，c 均为正数，等号成立的条件均为a ＝b ＝c .类型一 用平均不等式求最值例1 (1)求函数y ＝(x －1)2(3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＜x ＜32的最大值；(2)求函数y ＝x ＋4(x －1)2(x ＞1)的最小值．解 (1)∵1＜x ＜32，∴3－2x ＞0，x －1＞0.又y ＝(x －1)2(3－2x ) ＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋x －1＋3－2x 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ， 即x ＝43∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，y max ＝127.(2)∵x ＞1，∴x －1＞0，y ＝x ＋4(x －1)2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4(x －1)2＋1 ≥3 312(x －1)·12(x －1)·4(x －1)2＋1＝4，当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4(x －1)2，即x ＝3时等号成立．即y min ＝4.反思与感悟 (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练1 求函数y ＝(1－3x )2·x ⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜13的最大值．解 y ＝(1－3x )2·x ＝16·(1－3x )·(1－3x )·6x ≤16⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－3x )＋(1－3x )＋6x 33＝481，当且仅当1－3x ＝1－3x ＝6x ，即x ＝19时，y max ＝481.类型二 用平均不等式证明不等式 例2 已知a ，b ，c ∈R ＋.求证：a 3＋b 3＋c 3＋1abc≥2 3.证明 ∵a 3＋b 3＋c 3＋1abc≥3abc ＋1abc≥23，当且仅当a ＝b ＝c ，且abc ＝33时等号成立． ∴a 3＋b 3＋c 3＋1abc≥2 3.引申探究若本例条件不变，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. 证明b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a b ＋bc －3≥33b a ·c b ·a c ＋33c a ·a b ·b c－3＝6－3＝3，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 反思与感悟 证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．跟踪训练2 已知x ，y ，z 都是正数，且xyz ＝1， 求证：(1＋x ＋y )(1＋x ＋z )(1＋y ＋z )≥27. 证明 ∵1＋x ＋y ≥33xy ＞0,1＋x ＋z ≥33xz ＞0， 1＋y ＋z ≥33yz ＞0，∴(1＋x ＋y )(1＋x ＋z )(1＋y ＋z )≥273(xyz )2. 又∵xyz ＝1，∴(1＋x ＋y )(1＋x ＋z )(1＋y ＋z )≥27， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，等号成立． 类型三 用平均不等式解决实际应用问题例3 如图，将边长为1的正六边形铁皮(图①)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图②)．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．解 设正六棱柱的底面B 1B 2B 3B 4B 5B 6的边长为x (0＜x ＜1)，则OB 1＝B 1B 2＝x .由正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为1， 得OA 1＝A 1A 2＝1，∴A 1B 1＝OA 1－OB 1＝1－x . 作B 1C 1⊥A 1A 2于点C 1， 在Rt△A 1C 1B 1中， ∠B 1A 1C 1＝60°，则容器的高B 1C 1＝A 1B 1sin 60°＝32(1－x )． 于是容器的容积为V ＝f (x )＝Sh ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6·34x 2·32(1－x ) ＝94x 2(1－x )(0＜x ＜1)． 则f (x )＝94x 2(1－x )＝98·x ·x (2－2x )≤98·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x ＋(2－2x )33＝13， 当且仅当x ＝x ＝2－2x ， 即x ＝23时，V max ＝13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.反思与感悟 利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤(1)理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)验证相等条件，得出结论．跟踪训练3 已知球的半径为R ，球内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，则r 和h 为何值时，内接圆柱的体积最大？解 设内接圆柱的体积为V ，又R 2＝r 2＋h 24，∴r 2＝R 2－h 24，∴V ＝πr 2h ＝π⎝⎛⎭⎪⎫R 2－h 24h .又V ＝π4(4R 2－h 2)·h ＝π4(4R 2－h 2)2·h 2＝π412(4R 2－h 2)2·2h 2≤π412×⎝ ⎛⎭⎪⎫8R 233＝439πR 3，当且仅当4R 2－h 2＝2h 2，即h ＝233R ，此时r ＝63R 时，等号成立．∴当h ＝233R ，r ＝63R 时，内接圆柱的体积最大为439πR 3.1．函数f (x )＝1x2＋2x (x ＞0)的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 A解析 ∵x ＞0，∴f (x )＝1x 2＋x ＋x ≥331x2·x ·x ＝3，当且仅当x ＝1x2，即x ＝1时等号成立．2．设x ＞0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为( )A ．4－22B ．4－2C ．不存在D.52答案 D 解析 ∵x ＞0， ∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52，当且仅当x 2＝x 2＝12x2，即x ＝1时，等号成立．3．已知x 为正数，下列各选项求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x3≥33x 2·2x ·4x3＝6，故y min ＝6.B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，故y min ＝332.C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，故y min ＝4.D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－x )＋(1－2x )33＝881，故y max ＝881. 答案 C解析 A ，B ，D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)时都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x ＞0，∴y ＝2＋x ＋1x＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．4．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 C解析 ∵ab 2＝4a ×b 2×b2≤4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b 2＋b 233＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 33 ＝4×13＝4，当且仅当a ＝b2＝1时，等号成立．即ab 2的最大值为4.5．已知a ，b 为实数，且a ＞0，b ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为________． 答案 9解析 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ·b ·1a＝33b ＞0，①同理可得a 2＋1b ＋1a 2≥331b＞0，②由①②及不等式的性质，得⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥33b ×331b ＝9，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．1．求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立．2．求形如y ＝ax 2＋bx (x ＞0，a ＞0，b ＞0)的函数的最小值，关键是拆b x 为b x ＝b 2x ＋b2x，则y ＝ax 2＋b x ＝ax 2＋b 2x ＋b 2x ≥33ax 2·b 2x ·b 2x ＝3232ab 2.求形如y ＝ax ＋c bx2(x ＞0，a ＞0，bc ＞0)的函数的最小值，关键是拆ax 为ax 2＋ax2，则y ＝ax ＋c bx 2＝ax 2＋ax 2＋c bx 2≥33ax 2·ax 2·c bx2＝3232a 2cb.一、选择题1．函数y ＝x 2(1－5x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值为( )A.4675 B.2657 C.4645D.2675答案 A解析 y ＝x 2(1－5x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52x ⎝ ⎛⎭⎪⎫52x (1－5x )×425≤425×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4675，当且仅当52x ＝1－5x ，即x ＝215时等号成立．2．若a ＞b ＞0，则a ＋1b (a －b )的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 ∵a ＞b ＞0，a ＋1b (a －b )＝(a －b )＋b ＋1b (a －b )≥33(a －b )·b ·1b (a －b )＝3，当且仅当a ＝2，b ＝1时取等号，∴a ＋1b (a －b )的最小值为3.故选D.3．设x ，y ，z ＞0且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg6] B ．(－∞，3lg2] C ．[lg6，＋∞) D ．[3lg2，＋∞)答案 B解析 ∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ，∴xyz ≤8， ∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2 .4．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3314x 4y 2＝3，当且仅当12xy ＝x 2，即y ＝2x 时取等号．5．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x答案 B解析 由a ，b ，c ∈R ＋，易知a ＋b ＋c3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a 2＋b 2＋c 23，x 2＝(a ＋b ＋c )29，且x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )9≤3(a 2＋b 2＋c 2)9＝a 2＋b 2＋c 23，∴x 2≤z 2，则x ≤z ，因此z ≥x ≥y .6．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π答案 B解析 设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π，当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号． 二、填空题7．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a的最小值为________． 答案 92解析 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )·331a ＋b ·1b ＋c ·1c ＋a＝9， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立， 故2(a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9.又a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为________． 答案 1解析 因为x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋3y ＋4z ＝6，所以6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥6·6x 2·x 2·y ·y ·y ·4z ＝6·6x 2y 3z ，所以x 2y 3z ≤1，当且仅当x2＝y ＝4z 时取等号．9．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________．答案 8解析 a ＞2，b ＞3，∴a －2＞0，b －3＞0， 则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8，当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)，即a ＝3，b ＝4时等号成立．10．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 2 解析 2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a ， ∵x －a ＞0，∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2，即x ＝a ＋1时取等号．∴2x ＋1(x －a )的最小值为3＋2a . 由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2.11．已知a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋2b ＋3c ＝1，则1a ＋12b ＋13c 的最小值为________．答案 9解析 因为a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋2b ＋3c ＝1， 所以1a ＋12b ＋13c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥33a ·2b ·3c ·331a ·12b ·13c ＝9，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时取等号．因此1a ＋12b ＋13c 的最小值为9.三、解答题12．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．解 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )13-， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )23-.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )23-， 又3(abc )23＋9(abc )23-≥227＝63， ③当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )23-时，③式等号成立， 即当且仅当a ＝b ＝c ＝143时，原式等号成立，所以原不等式成立．13．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝3.(1)求1x ＋1y ＋1z的最小值； (2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.(1)解 因为x ＋y ＋z ≥33xyz ＞0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz＞0， 所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9， 则1x ＋1y ＋1z≥3， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，等号成立，故1x ＋1y ＋1z的最小值为3. (2)证明 x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(z 2＋x 2)3≥x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )3＝(x ＋y ＋z )23＝3. 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，等号成立，又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )＜0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.四、探究与拓展14．制造一个容积为π2立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为________米，高为________米时，所使用的材料成本最低．答案 393 392解析 设此圆柱形桶的底面半径为r 米，高为h 米，则底面面积为πr 2，侧面积为2πrh ，设原料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . ∵桶的容积为π2，∴πr 2h ＝π2， ∴rh ＝12r ，∴y ＝30πr 2＋20r π＝10π⎝⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π×333，当且仅当3r 2＝1r ，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392. 15．设0＜θ＜π，求函数y ＝sin θ2(1＋cos θ)的最大值． 解 y ＝sin θ2(1＋cos θ )＝2sin θ2cos 2θ2＞0(0＜θ＜π)， y 取最大值当且仅当y 2取最大值．y 2＝4sin 2θ2·cos 4θ2＝4sin 2θ2·cos 2θ2·cos 2θ2＝2·2sin 2θ2·cos 2θ2·cos 2θ2≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 2 θ2＋cos 2 θ2＋cos 2 θ233 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1627， 当2sin 2θ2＝cos 2θ2时取等号， 此时tan 2θ2＝12，tan θ2＝±22， 而tan θ2＝22在θ∈(0，π)上有解⎝⎛⎭⎪⎫可取θ＝2arctan 22，则y 2max ＝1627，故y max ＝439. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3三个正数的算术—几何平均不等式学案 新人教A 版选修4-5【学习目标】1.了解三个正数的算术—几何平均不等式； 2.会应用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单问题.【重点难点】三个正数的算术—几何平均不等式的应用. 【学习过程】一、问题情景导入：1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？2.证明：已知+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立.二、自学探究：（阅读课本第8-9页，完成下面知识点的梳理）1.定理 3.如果+∈R c b a ,,，那么3c b a ++ ，当且仅当 时，等号成立.即：三个正数的 不小于它们的 .2推广：对于n 个正数n a a a ,,,21 ，它们的算术平均它们的几何平均.，即 ，当且仅当 时，等号成立.二、例题演练：题型一.应用三个正数的算术—平均不等式求函数的最值：例1若0>x ，则294x x +的最小值是（ ） A.9 B.3363 C.13 D.不存在变式.：若02>>b a ，则()bb a a ⋅-+24的最小值为（ ） A.3 B.1 C.8 D.12题型二.应用三个正数的算术—几何平均不等式证明不等式：例2.已知+∈R c b a ,,，求证：9≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++c a b c a b a c c b b a变式：设+∈R c b a ,,，求证：32111222≥+++abc cb a题型三.应用三个正数的算术—几何平均不等式解决实际问题：例3甲乙两人同时从A 地出发走向B 地，甲先用31的时间以速度q 行走，最后用31的时间以速度r 行走；乙在前31的路程用速度p 行走，中间31的路程用速度q 行走，最后31的路程用速度r 行走()r q p ≠≠，问甲、乙两人谁先到达B 地，为什么？【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=250252x x x x f 的最大值是 .2.求函数)0(322>+=x xx y 的最小值.3.设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则z y x lg lg lg ++的取值范围是（ ）A.(]6lg ,∞-B.(]2lg 3,∞-C.[)+∞,6lgD.[)+∞,2lg 34.若正数y x ,.满足42=xy ，则y x 2+的最小值为 .5.已知c b a ,,均为正数，证明：361112222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立.6.设0,,>c b a ，求证：()29111≥⎪⎭⎫⎝⎛+++++++c a c b b a c b a .7.函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=510512x x x y 的最大值是 .8.设+∈R z y x ,,且643=++z y x ，则z y x 32的最大值是 .9.已知c b a ,,为正数，求证：3≥-++-++-+c c a b b b a c a a c b .10.把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，把它折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？。

3 三个正数的算术—几何平均不等式预习导学1．三个正数的算术—几何平均不等式．(1)如果a 1，a 2，a 3∈R ＋，则a 1＋a 2＋a 33叫做这3个正数的算术平均数，3a 1a 2a 3叫做这三个正数的________．(2)三个正数基本不等式：a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3.当且仅当a 1＝a 2＝a 3时，等号成立． 语言表述：三个正数的________平均数不小于它们的________平均数．思考1 若已知a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，则a 1＋a 2＋a 33＝________，3a 1a 2a 3＝________． 则有：a 1＋a 2＋a 33________3a 1a 2a 3. 2．n 个正数的算术—几何平均不等式．(1)如果a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n ＞1且n ∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a n n叫做这n 个正数的算术平均数，n a 1a 2…a n 叫做这n 个正数的________．(2)基本不等式：a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，a i ∈R ＋，1≤i ≤n )．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立．语言表述：n 个正数的________平均数不小于它们的________平均数．思考2 若x ＞0，则x 3＋x 3＋x 3＋27x 3______4. 当堂检测1．函数y ＝x 2(1－5x )⎝⎛⎭⎫0≤x ≤15的最大值是( ) A ．4 B.215 C.4675 D.522．若x >0，则4x ＋9x 2的最小值是( ) A ．9 B ．3336 C ．13 D ．不存在3．已知a .b .c ∈R ＋，则⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥________．4．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值是________．5.若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．46.设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若数列{a n }的通项公式是a n ＝n n 3＋128，则该数列中的最大项是( ) A ．第4项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项8.求函数y ＝3x ＋4x 2(x >0)的最值是________． 9.已知正数a ，b 满足ab 2＝1，则a ＋b 的最小值是________．、10．已知a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .11．θ为锐角，则y ＝sin θ·cos 2θ的最大值是_____________________________．12．已知x ∈R ＋，有不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，受此启发，可以推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a ＝________．13．已知a ，b ，c均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．14．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？方法小结1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．(1)“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术—几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，如a＋b＋c≥33abc，取a＝b＝－2，c＝2时a＋b＋c＝－2，而33abc＝6，显然－2≥6不成立．(2)“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋a n为定值)，求其积a1·a2·…·a n的最大值；二是已知积a1·a2·…·a n为定值，求其和a1＋a2＋…＋a n的最小值．(3)“三相等”：取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝a n，不能只是一部分相等．2．重要不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3ab c的运用条件不一样，前者a，b∈R，后者a，b，c∈R＋，要注意区别．3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．参考答案预习导学1.(1)答案: 几何平均数(2) 答案: 算术 几何思考1答案: 13 9 >2.答案: 几何平均数答案: 算术 几何思考2答案: ≥当堂检测1.答案: C2.答案: B3.答案: 94.答案: 45.答案: C6．解析：把a 2＋1ab ＋1a （a －b ）变形为ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ），即可利用三个正数的算术—几何平均不等式求其最小值．∵a ＞b ＞0，∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a ＋b )＋1a （a ＋b ）≥2＋2＝4，当且仅当 ⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a （a －b ）＝1，即a ＝2，b －22时，取“＝”号．故选D. 7. 答案：A解析：a n ＝n n 3＋128＝1n 2＋128n ＝1n 2＋64n ＋64n∵n 2＋64n ＋64n ≥33n 2×64n ×64n ＝48，当且仅当n 2＝64n ，即n ＝4时，等号成立，∴a n ≤148，该数列的最大项是第4项．故选A.8．解析：∵x >0，∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2≥333x 2×3x 2×4x 2＝339.当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393时取符号． ∴当x ＝2393时，函数y 的最小值为339.9． 解析：因为a ，b 是正数，ab 2＝1，所以a ＋b ＝a ＋b 2＋b 2≥33ab 24＝3232.故a ＋b 的最小值是3232，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab 2＝1，a ＝b 2，即⎩⎨⎧a ＝1232，b ＝32时取到最小值． 10．证明：∵a ，b ，c 为正数，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥33abc ×33a 2b 2c 2＝93abc ×a 2b 2c 2.∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．11． 分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin 2θ＋cos 2θ＝1的应用．解析：∵y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ ＝12×2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ)≤12(23)3＝427. 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号． ∴y max ＝239. 12．答案：n n13． 证明：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立． 故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．14． 分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．解析：设OO 1为x m ，则1＜x ＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x－x2，于是底面正六边形的面积为6×34×(8＋2x－x2)2＝332(8＋2x－x2)，帐篷的体积为V(x)＝332(8＋2x－x2)·⎣⎡⎦⎤13（x－1）＋1＝32(4－x)(x＋2)(x＋2) ＝34(8－2x)(x＋2)(x＋2) ≤34⎣⎡⎦⎤（8－2x）＋（x＋2）＋（x＋2）33＝34×64 ＝16 3.当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．故当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大，其值为16 3 m2.。

1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式课堂探究1．三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或者n 个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc ，取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc ＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分相等． 不等式a 2＋b 2≥2ab 与a 3＋b 3＋c 3≥3abc 的运用条件不一样，前者要求a ，b ∈R ，后面要求a ，b ，c ∈R ＋.要注意区别．2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一 应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值 【例1】已知x ＞0，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12.求出最值后再开方．解：∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取等号成立．∴y ≤239.∴y 的最大值为239.反思 对式子拼凑，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )·(1＋x )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－2x ＋1＋x 33＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可.题型二 应用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式【例2】设a ，b ，c ＞0，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术几何平均不等式证明． 证明：∵a ，b ，c ＞0，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥331abc.∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．反思 三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用算术几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致. 题型三 应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？分析：根据题设条件建立r 与θ的关系式―→ 将它代入E ＝k sin θr2―→ 得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式―→ 用平均不等式求函数的最值―→获得问题的解解：∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， ∴E2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22，∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大． ∴灯的高度h 为2时，才能使桌子边缘处最亮．反思 处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用算术几何平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．。

1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案第一篇：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案兰州新区永登县第五中学高二数学（文）导学案班级：小组名称：姓名：得分：2．若正数x,y满足xy2=4,计算x+2y的最值三、拓展探究1．若a>b>0,计算a+2．若a>2,b>3,求a+b+3．（参考例6）设0<x<1,求x(1-x)的最大值（思考：根据此题你能得到什么结论？）导学案§1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式设计人：薛东梅审核人：梁国栋、赵珍学习目标：1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。

学习重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用学习难点：应用不等式解决应用问题学习方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟）一、自学评价1．三个正数的算术-几何平均不等式（1）如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c33abc，当且仅当，等号成立。

（2）定理3：即：2．基本不等式的推广：思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致；3．思考并完成例54．如果x>0,如何求2x+二、检测交流1．已知a,b,c∈R+,求证（8的最值b(a-b)的最小值。

(a-2)(b-3)的最小值？ x2abcbca++)(++)≥9（思考：根据此题你能得到什么结论？）bcaabc第二篇：三个正数的均值不等式三个正数的均值不等式一、基础知识1、（1）．重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b22ab（当且仅当时取“=”号）（2）．基本不等式：如果a,b是，那么a+bab即（当且仅当时取“=”号）2、三个正数的均值不等式：（1）如果a,bc是，那么号）（2）变形形式。

二、典型例证：例1：已知0<x<1，求y=x(1-x2)的最大值。

《三个正数的算术一几何平均不等式》教案教学目标1 •能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2•了解基本不等式的推广形式 •教学重、难点重点：三个正数的算术-几何平均不等式难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程一、引入：思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a , b , c ,可能有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于 3个正数a , b , c ,可能有：若 a,b,c ・R ,那么 a 亠b 亠c -------3 abc ，当且仅当a=b=c 时，等号成立. 3二、给出定理证明:若a, b,c ^ R+,则a 3 + b 3 +c 3畠3abc,当且仅当a = b = c 时,等号成立 和的立方公式： 3 3 2 2 3(x y) x 3x y 3xy y 立方和公式： x 3 y 3 = (x y)(x 2 -xy y 2)a b c- J -----------------------------------------------定理3如果a,b, c • R .，那么 3 abc 当且仅当a=b=c 时，等号成立.3(三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 )说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有 最小值.(2)若三个正数的和是一个常数， 那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的积有最大值. 定理推广：n 个正数的算术一几何平均不等式：当且仅当 a i =a 2 =a 3二… =an 时,等号成立.三、例题解析例5 已知 m R .,求证(x y z)3 _27xyz. 例6如图1. 1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方 形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时， 才能使盒子的容积最大？ ^若a i , a 2, a 3, ,a n a i a 2 a 3 a n na n ,四、小结：回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，I、- —、、＞ * t __-应用它们时,f.『的注意点.。

3.三个正数的算术-几何平均不等式1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大小值．重点3．会建立函数不等式模型,利用其解决实际生活中的最值问题．难点基础·初探教材整理1 三个正数的算术-几何平均不等式阅读教材P8～P9定理3,完成下列问题．1．如果a,b,c∈R＋,那么a3＋b3＋c3≥3abc,当且仅当a＝b＝c时,等号成立．2．定理3：如果a,b,c∈R＋,那么错误!≥错误!,当且仅当a＝b＝c时,等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．已知a,b,c为正数,则错误!＋错误!＋错误!有A．最小值为3 B．最大值为3C．最小值为2 D.最大值为2解析错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3,当且仅当错误!＝错误!＝错误!,即a＝b＝c时,取等号．答案 A教材整理2 基本不等式的推广阅读教材P9～P9“例5”以上部分,完成下列问题．对于n个正数a1,a2,…,a n,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即错误!≥错误!,当且仅当a1＝a2＝…＝a n时,等号成立．教材整理3 利用基本不等式求最值阅读教材P9～P9“习题1.1”以上部分,完成下列问题．若a,b,c均为正数,①如果a＋b＋c是定值S,那么a＝b＝c时,积abc有最大值；②如果积abc是定值P,那么当a＝b＝c时,和a＋b＋c有最小值．设x＞0,则y＝x＋错误!的最小值为A．2 B．2错误!C．3错误! D.3解析y＝x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3·错误!＝3,当且仅当错误!＝错误!时取“＝”号．答案 D质疑·手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型证明简单的不等式设a,b,c为正数,求证：错误!a＋b＋c2≥27.精彩点拨根据不等式的结构特点,运用a＋b＋c≥3错误!,结合不等式的性质证明．自主解答∵a>0,b>0,c>0,∴a＋b＋c≥3错误!>0,从而a＋b＋c2≥9错误!>0.又错误!＋错误!＋错误!≥3错误!>0,∴错误!a＋b＋c2≥3错误!·9错误!＝27,当且仅当a＝b＝c时,等号成立．1． 1 在应用平均不等式时,一定要注意是否满足条件,即a>0,b>0.2 若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时,要特别注意前后等号成立的条件是否一致．再练一题1．设a,b,c为正数,求证：错误!a＋b＋c3≥81.证明因为a,b,c为正数,所以有错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝错误!＞0.又a＋b＋c3≥ 3错误!3＝27abc＞0,∴错误!a＋b＋c3≥81,当且仅当a＝b＝c时,等号成立．用平均不等式求解实际问题如图1-1-2所示,在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小；挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识,桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,即E＝k错误!.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮图1-1-2精彩点拨根据题设条件建立r与θ的关系式,将它代入E＝k错误!,得到以θ为自变量,E为因变量的函数关系式,再用平均不等式求函数的最值．自主解答∵r＝错误!,∴E＝k·错误!错误!.∴E2＝错误!·sin2θ·cos4θ＝错误! 2sin2θ·cos2θ·cos2θ≤错误!错误!3＝错误!,当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号,即tan2θ＝错误!,tan θ＝错误!时,等号成立．∴h＝2tan θ＝错误!,即h＝错误!时,E最大．因此选择灯的高度为错误!米时,才能使桌子边缘处最亮．1．本题的关键是在获得了E＝k·错误!后,对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意,建立适当的函数关系式,若把问题转化为求函数的最值问题,常配凑成可以用平均不等式的形式,若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．再练一题2．制造容积为错误!立方米的无盖圆柱形桶,用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元,用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元,要使用料成本最低,则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米解设圆柱形桶的底面半径为r米,高为h米,则底面积为πr2平方米,侧面积为2πrh平方米．设用料成本为y元,则y＝30πr2＋40πrh.∵桶的容积为错误!,∴πr2h＝错误!,∴rh＝错误!.∴y＝30πr2＋错误!π＝10π错误!≥10π×3错误!,当且仅当3r2＝错误!时,即r＝错误!时等号成立,此时h＝错误!.故要使用料成本最低,圆柱形桶的底面半径应为错误!米,高为错误!米．探究共研型探究1提示“一正、二定、三相等”,即 1 各项或各因式为正； 2 和或积为定值； 3 各项或各因式能取到相等的值．探究2 如何求y＝错误!＋x2的最小值提示y＝错误!＋x2＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3,当且仅当错误!＝错误!,即x＝±错误!时,等号成立,∴y min＝3.其中把x2拆成错误!和错误!两个数,这样可满足不等式成立的条件．若这样变形：y＝错误!＋x2＝错误!＋错误!＋错误!x2,虽然满足了乘积是定值这个要求,但“三相等”不能成立,因为错误!＝错误!＝错误!x2时x无解,不能求出y的最小值．已知x∈R＋,求函数y＝x 1－x2的最大值．精彩点拨为使数的“和”为定值,可以先平方,即y2＝x2 1－x22＝x2 1－x2 1－x2＝2x2 1－x2 1－x2×错误!,求出最值后再开方．自主解答∵y＝x 1－x2 ,∴y2＝x2 1－x22＝2x2 1－x2 1－x2·错误!.∵2x2＋ 1－x2＋ 1－x2＝2,∴y2≤错误!错误!错误!＝错误!.当且仅当2x2＝1－x2,即x＝错误!时等号成立．∴y≤错误!,∴y的最大值为错误!.1．解答本题时,有的同学会做出如下拼凑：y＝x 1－x2＝x 1－x 1＋x＝错误!·x 2－2x· 1＋x≤错误!错误!错误!＝错误!.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值,但忽略了取“＝”号的条件,显然x＝2－2x＝1＋x无解,即无法取“＝”号,也就是说,这种拼凑法是不正确的．2．解决此类问题时,要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构,同时也要注意算术-几何平均不等式的使用条件,三个缺一不可．再练一题3．若2a＞b＞0,试求a＋错误!的最小值.解a＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3·错误!＝3,当且仅当错误!＝错误!＝错误!,即a＝b＝2时取等号．所以当a＝b＝2时,a＋错误!有最小值为3.构建·体系平均不等式—错误!1．已知x＋2y＋3z＝6,则2x＋4y＋8z的最小值为A．3错误!B．2错误!C．12 D．12错误!解析∵x＋2y＋3z＝6,∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3错误!＝3错误!＝12.当且仅当2x＝22y＝23z,即x＝2,y＝1,z＝错误!时,等号成立．答案 C2．若a＞b＞0,则a＋错误!的最小值为A．0 B．1 C．2 D.3解析∵a＋错误!＝a－b＋b＋错误!≥3错误!＝3,当且仅当a＝2,b＝1时取等号,∴a＋错误!的最小值为3.故选D.答案 D3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________,最小值为________．解析∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8 sin2x·sin2x·2cos2x≤8错误!3＝8×错误!＝错误!,∴y2≤错误!,当且仅当sin2x＝2cos2x,即tan x＝±错误!时取等号．∴y max＝错误!错误!,y min＝－错误!错误!.答案错误!错误!－错误!错误!4．函数f x＝5x＋错误!x>0 的最小值为________.解析∵f x＝5x＋错误!＝错误!x＋错误!x＋错误!≥3错误!＝15.当错误!x＝错误!,即x＝2时取等号．答案155．已知x>0,y>0,证明： 1＋x＋y2 1＋x2＋y≥9xy.证明因为x>0,y>0,所以1＋x＋y2≥3错误!>0,1＋x2＋y≥3错误!>0,故 1＋x＋y2 1＋x2＋y≥3错误!·3错误!＝9xy.我还有这些不足：12我的课下提升方案：12学业分层测评三建议用时：45分钟学业达标一、选择题1．已知正数x,y,z,且x＋y＋z＝6,则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是A．－∞,lg 6 B．－∞,3lg 2C． lg 6,＋∞ D. 3lg 2,＋∞解析∵6＝x＋y＋z≥3错误!,∴xyz≤8.∴lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 8＝3lg 2.答案 B2．已知x∈R＋,有不等式：x＋错误!≥2错误!＝2,x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3,….启发我们可能推广结论为：x＋错误!≥n＋1 n∈N＋ ,则a的值为A．n n B．2n C．n2D．2n＋1解析x＋错误!＝＋错误!,要使和式的积为定值,则必须n n＝a,故选A.答案 A3．设0<x<1,则x 1－x2的最大值为A.错误! B．1 C.错误! D.错误!解析∵0<x<1,∴0<1－x<1,∴x 1－x2＝错误!·2x· 1－x· 1－x≤错误!错误!3＝错误!.当且仅当x＝错误!时,等号成立．答案 D4．已知a,b,c∈R＋,x＝错误!,y＝错误!,z＝错误!,则A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x D.z≤y≤x解析由a,b,c大于0,易知错误!≥错误!,即x≥y.又z2＝错误!,x2＝错误!,且x2＝错误!≤错误!＝错误!,∴x2≤z2,则x≤z,因此z≥x≥y.答案 B5．设x,y,z＞0,且x＋3y＋4z＝6,则x2y3z的最大值为A．2 B．7C．8 D.1解析∵6＝x＋3y＋4z＝错误!＋错误!＋y＋y＋y＋4z≥6错误!,∴x2y3z≤1,当错误!＝y＝4z时,取“＝”,即x＝2,y＝1,z＝错误!时,x2y3z取得最大值1.答案 D二、填空题6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b＝错误!,则两边均含有运算“*”和“＋”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是________．解析由题意知a＋b*c＝a＋错误!＝错误!,a＋b * a＋c＝错误!＝错误!,所以a＋b*c＝a＋b * a＋c．答案a＋b*c＝a＋b * a＋c7．若a＞2,b＞3,则a＋b＋错误!的最小值为________．解析∵a＞2,b＞3,∴a－2＞0,b－3＞0,则a＋b＋错误!＝a－2 ＋b－3 ＋错误!＋5≥3错误!＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝错误!,即a＝3,b＝4时等号成立．答案88．已知a>0,b>0,c>0,且a＋b＋c＝1,对于下列不等式：①abc≤错误!；②错误!≥27；③a2＋b2＋c2≥错误!.其中正确的不等式序号是________．解析∵a,b,c∈ 0,＋∞ ,∴1＝a＋b＋c≥3错误!,0<abc≤错误!错误!＝错误!,错误!≥27,从而①正确,②也正确．又a＋b＋c＝1,∴a2＋b2＋c2＋2 ab＋bc＋ca＝1,因此1≤3 a2＋b2＋c2 ,即a2＋b2＋c2≥错误!,③正确．答案①②③三、解答题9．已知a,b,c均为正数,证明：a2＋b2＋c2＋错误!＋错误!＋错误!错误!≥6错误!,并确定a,b,c为何值时,等号成立．证明因为a,b,c均为正数,由算术-几何平均不等式,得a2＋b2＋c2≥3 abc错误!,①错误!＋错误!＋错误!≥3 abc错误!.所以错误!错误!≥9 abc错误!. ②故a2＋b2＋c2＋错误!错误!≥3 abc错误!＋9 abc错误!.又3 abc错误!＋9 abc错误!≥2错误!＝6错误!, ③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时,①式和②式等号成立．当且仅当3 abc错误!＝9 abc错误!时,③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝错误!时,原式等号成立．10．已知x,y,z∈R＋,x＋y＋z＝3.1 求错误!＋错误!＋错误!的最小值；2 证明：3≤x2＋y2＋z2<9.解 1 因为x＋y＋z≥3错误!>0,错误!＋错误!＋错误!≥错误!>0,所以x＋y＋z错误!≥9,即错误!＋错误!＋错误!≥3,当且仅当x＝y＝z＝1时,错误!＝错误!＝错误!取最小值3.2 证明：x2＋y2＋z2＝≥错误!＝错误!＝3.又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－x＋y＋z2＝－2 xy＋yz＋zx <0,所以3≤x2＋y2＋z2<9.能力提升1．已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列总成立的是A．V≥πB．V≤πC．V≥错误!πD．V≤错误!π解析设圆柱半径为r,则圆柱的高h＝错误!,所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·错误!＝πr2 3－2r≤π错误!错误!＝π.当且仅当r＝3－2r,即r＝1时取等号．答案 B2．若实数x,y满足xy＞0,且x2y＝2,则xy＋x2的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4解析xy＋x2＝错误!xy＋错误!xy＋x2≥3错误!＝3错误!＝3错误!＝3.答案 C3．已知关于x的不等式2x＋错误!≥7在x∈ a,＋∞ 上恒成立,则实数a的最小值为________．解析∵2x＋错误!＝x－a＋x－a＋错误!＋2a.又∵x－a＞0,∴2x＋错误!≥3错误!＋2a＝3＋2a,当且仅当x－a＝错误!,即x＝a＋1时,取等号．∴2x＋错误!的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7,得a≥2.答案 24．如图1-1-3 1 所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图1-1-3 2 所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值．图1-1-3解设正六棱柱容器底面边长为x 0＜x＜1 ,高为h,由图可有2h＋错误!x＝错误!,∴h＝错误! 1－x ,V＝S底·h＝6×错误!x2·h＝错误!x2·错误!· 1－x＝9×错误!×错误!× 1－x≤9×错误!3＝错误!.当且仅当错误!＝1－x,即x＝错误!时,等号成立．所以当底面边长为错误!时,正六棱柱容器容积最大值为错误!.。

人教版高中选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式教学设计一、教学目标1.掌握三个正数的算术平均和几何平均的概念及其计算方法，理解三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；2.运用几何平均不等式解决实际问题，提高数学思维能力和解决实际问题的能力；3.培养学生良好的合作精神和创造性思维能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点•算术平均与几何平均的概念与计算方法；•三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想。

2. 教学难点•如何运用几何平均不等式解决实际问题。

三、教学内容和教学步骤1. 教学内容1.算术平均与几何平均的概念及其计算方法；2.三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；3.几何平均不等式的应用。

2. 教学步骤第一步：导入1.引入本节课的主题，介绍生活中有关于三个数的问题。

2.让学生思考：如何求三个数的平均数？是否有大小之分？为什么？第二步：概念讲解1.讲述算术平均与几何平均的概念及其计算方法。

2.提出三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想，并进行简单的证明。

第三步：示例演练1.让学生自己推导一下证明，加深理解。

2.解析一道具体的例子，引导学生掌握应用几何平均不等式解决实际问题的方法。

第四步：作业1.布置课后作业，包括书面练习、思考题、拓展练习等多种形式。

2.留出时间让学生在小组合作中讨论问题，提高学生的合作精神和创造性思维能力。

四、教学方式和教学手段1. 教学方式采用讲授、讨论、实例演练、小组合作等多种教学方式，注重学生的参与和交流。

2. 教学手段1.录制教学视频，让学生自主学习；2.设计多元化的书面练习，既注重知识的考查，也注重学生的应用能力；3.设计一些互动性强的思考题和拓展练习，帮助学生扩展视野，拓展思路。

五、教学评价1. 教学效果•通过考察学生的课余作业和课堂互动表现，综合评价本节课的教学效果。

2. 学生评价•通过问卷调查的形式，征求学生对本节课教学内容、教学方式、教学手段、教学效果等方面的评价，反馈教学情况，为今后的教学改进提供依据。