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五年级上册数学教案图形的旋转西师大版一、教学内容本节课选自西师大版五年级上册数学教材，第三章《图形的变换》中的第二节“图形的旋转”。
详细内容包括教材第三章第二节的内容，通过实例和练习，让学生掌握图形旋转的基本概念、特点和应用，了解旋转中心、旋转方向和旋转角度等基本要素。
二、教学目标1. 让学生掌握图形旋转的概念和基本特点，能够识别旋转中心、旋转方向和旋转角度。
2. 培养学生运用图形旋转进行实际问题的解决能力，提高空间想象力和创新意识。
3. 培养学生合作交流、观察思考的能力，激发学习数学的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：图形旋转中心、旋转方向和旋转角度的确定。
教学重点：图形旋转的概念、特点和运用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、旋转模型、三角板、量角器等。
学具：练习本、铅笔、直尺、量角器等。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体课件展示生活中的旋转现象，如风车旋转、车轮滚动等，让学生观察并思考这些现象的共同特点。
2. 新课导入（1）讲解旋转的概念，引导学生了解旋转中心、旋转方向和旋转角度。
（2）展示旋转模型，让学生直观感受图形旋转的过程。
3. 例题讲解（1）讲解旋转中心、旋转方向和旋转角度的确定方法。
（2）举例说明，让学生跟随老师一起完成旋转操作。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
（2）针对学生的疑问，进行个别辅导。
5. 课堂小结六、板书设计1. 图形的旋转2. 内容：（1）旋转的概念（2）旋转中心、旋转方向和旋转角度（3）图形旋转的运用七、作业设计1. 作业题目：（1）请在练习本上画出一个三角形，将其绕顶点A逆时针旋转90度，画出旋转后的三角形。
（2）将一个正方形绕中心点顺时针旋转45度，画出旋转后的图形。
2. 答案：（1）见附图1（2）见附图2八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对图形旋转的概念和运用掌握较好，但对旋转中心、旋转方向和旋转角度的确定存在一定困难，需要在今后的教学中加强练习和指导。
专题22 图形的旋转考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一旋转的基础旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转.点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点P经过旋转变化点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.如图所示，A OB''∆绕定点O逆时针旋转45︒得到的，其中点A与点A'叫作对应点，线段OB与∆是AOB线段OB'叫作对应线段，OAB∠与OA B'∠）的度数叫∠叫作对应角，点O叫作旋转中心，AOA'∠（或BOB'作旋转的角度. 【注意】1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转的特征：➢ 对应点到旋转中心的距离相等；➢ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ➢ 旋转前、后的图形全等. 旋转作图的步骤方法：➢ 确定旋转中心、旋转方向、旋转角； ➢ 找出图形上的关键点；➢ 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点； ➢ 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形. 平移、旋转、轴对称之间的联系：变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。
平移、旋转、轴对称之间的区别： 1） 变化方式不同：平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。
旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。
轴对称：将一个图形沿一条直线对折。
2） 对应线段、对应角之间的关系不同平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。
旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。
轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。
3）确定条件不同A平移：距离与方向旋转：旋转的三要素。
第二十三章《旋转》教材分析一、本章知识的地位与作用“图形与变换”是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”领域的一个重要内容，在教材中占有重要的地位．与平移、轴对称一样，旋转也是现实生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简洁形式之一，同时旋转变换较之前两种变换理解难度稍大，需要的直观想象和抽象能力更强，所以在教学中应更注重这方面循序渐进的培养。
旋转是工具性的知识，旋转变换在平面几何中有着广泛的应用。
在学习基本图形的旋转的过程中，既是为发现旋转的基本性质做准备，也是为后期旋转的应用做铺垫，所以要调动学生的主观能动性，切忌以大量的练习代替对概念的探究与分析。
旋转本章的教学还可以作为初中全等变换教学的一个总结，可以通过引导学生归纳之前学习的平移、轴对称变换的基本性质来总结几何要素，从而明确研究旋转变换的研究对象。
还可以引申探究三种变换的内部关系以帮助学生对这三种变换有一个统领性的，更深刻的认识。
同时在旋转的学习中，也是为后续圆的学习进行铺垫。
值得注意的是，由于知识水平的限制，对于平移变化，在平面直角坐标系中我们可以进行全方位的研究；对于轴对称变换，课标和考试说明中只要求了横平竖直的对称轴，对关于任意直线的对称只是作为拓展内容；而对于旋转，除了中心对称为课标要求，30°，45°，60°，90°的旋转可转化为几何问题来解决，对于任意角度的旋转往往涉及高中知识太多，在初中解析几何中往往以圆为载体出现。
二、主要内容三、课程学习目标(一) 课标要求1．通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点与旋转中心连线所成的角相等．2．了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．3．探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．4．认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．(二) 2019年中考说明要求基本要求：认识平面图形关于旋转中心的旋转；理解旋转的基本性质；了解中心对称、中心对称图形的概念；理解中心对称的基本性质．在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形，经过中心对称（对称中心）为原点后的对应顶点坐标之间的关系，略高要求：能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形；探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质；能利用旋转的性质解决有关简单问题．在平面直角坐标系中，能写出已知顶点坐标的多边形，经过中心对称（对称中心为原点后）的图形的顶点坐标.较高要求：运用旋转的有关内容解决有关问题．运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题.(三)教学要求1．基本要求①了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成角彼此相等(等于旋转角) 的性质；②通过具体实例认识旋转，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角及旋转前后的对应点；③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，利用旋转进行简单的图案设计；④通过具体实例认识中心对称，掌握作与已知图形中心对称的图形的方法，并能指出图形的对称中心；⑤了解中心对称图形的概念，能识别中心对称图形．了解线段、平行四边形是中心对称图形，了解中心对称与中心对称图形的区别．⑥了解关于原点对称的点的坐标之间的关系．2．略高要求①探索它们的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质，旋转前、后的图形全等；②探索中心对称的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质；③能运用旋转的知识解决简单的计算问题．3．较高要求①能运用旋转的知识进行图案设计；②能综合运用平移、对称、旋转等变换解决相对复杂的问题．四、课时安排本章教学时间约需8课时，具体分配如下(仅供参考) ：23．1 图形的旋转2课时23．2 中心对称2课时23．3 课题学习图案设计1课时(补充) 旋转的应用2课时数学活动、小结1课时五、教学重点难点重点： 1．图形旋转的基本性质．2．中心对称的基本性质．3．两个点关于原点对称时，它们坐标之间的关系．难点： 1．图形旋转的基本性质的归纳与运用．2．中心对称的基本性质的归纳与运用．六、具体教学建议1．注重与学生已学的图形变换（平移、轴对称）的联系，类比学习（可以类比定义的要素，探究性质等），所以在本章学习中不妨花费一些时间来复习。
23.1图形的旋转（1）教学设计课题23.1图形的旋转（1）课型新授课教学内容分析《图形的旋转》是人教版九年级数学上册第23章内容。
本节内容是图形变换的第三学段的学习目标，承接“轴对称”和“平移”等知识，旋转也是现实生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简捷形式之一。
它不仅是探索图形变换的一些性质的必要手段，也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具，为综合运用几种变换进行图案设计打下基础，更是中考几何重点。
教学对象分析九年级学生在此之前已经学习了平移、翻折变象以及三角形全等的知识。
自身具备了一定的数学逻辑思维能力。
而且团队合作意识已经比以前有了很大提高，面对问题时可以采取多种办法利用合作交流的方式解决。
主要存在问题是旋转过程中图形位置变化是否引起的图形内各元素的变化，学生以变与不变的理解不是很透彻。
所以图形旋转的性质把握和应用不是很好。
教学环境分析利用多媒体教室的先进教学设备可以有效地将教学过程中无法体现的图动态旋转过程清楚的展现在学生面前，方便记忆与理解。
教学目标知识和能力了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．过程和方法通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．情感态度价值观让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，激发学习热情．教学重点旋转及对应点的有关概念及其应用．教学难点从活生生的数学中抽出概念．教学准备多媒体课件教学方式启发式、讲授式课堂教学程序设计设计意图一、复习引入前面我们学习了图形的平移、轴对称变换，下面同学们欣赏老师带来的组图片并回答问题：以上这些现什么共同特点？举出生活中类似的例子。
二、师生互动，探求新知（一）旋转的概念师：同学们观察得很仔细，我们把这样的转动叫做旋转，这节课我们共同探讨——图形的旋转（板书课题）师：在数学中，如何定义旋转呢？哪们同学能用自己的语言把风车叶片转动的过程描述出来吗？旋转的概念：在平面内，把一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转。
教案标题：五年级上册数学教案-2.1 图形的旋转变换︳西师大版一、教学目标：1. 让学生掌握图形旋转的基本概念，理解旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
2. 培养学生运用旋转变换方法解决问题的能力，提高空间想象力和创造力。
3. 通过图形旋转变换的学习，让学生体会数学在生活中的应用，激发学习数学的兴趣。
二、教学内容：1. 图形的旋转变换2. 旋转中心、旋转方向、旋转角度3. 图形旋转变换的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：图形旋转变换的基本概念，旋转的三要素。
2. 教学难点：旋转方向的判断，旋转角度的计算。
四、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如风车旋转、时钟的时针和分针旋转等，引导学生观察并思考图形旋转的现象，激发学生的学习兴趣。
2. 探究新知：（1）旋转中心：教师引导学生观察图形旋转的过程，让学生发现旋转中心的位置，并理解旋转中心是固定不动的点。
（2）旋转方向：教师通过演示和实例，让学生观察图形旋转的方向，让学生理解顺时针旋转和逆时针旋转的概念。
（3）旋转角度：教师引导学生观察图形旋转的角度，让学生理解旋转角度是图形旋转的大小，可以用度数来表示。
3. 实践与应用：（1）教师出示一些图形，让学生尝试进行旋转变换，观察旋转后的图形，并描述旋转的三要素。
（2）教师给出一些实际问题，如设计图案、拼图游戏等，让学生运用旋转变换的方法解决问题，培养学生的空间想象力和创造力。
4. 总结与拓展：（1）教师引导学生总结图形旋转变换的基本概念和旋转的三要素。
（2）教师拓展学生的思维，让学生思考旋转变换在实际生活中的应用，如建筑设计、机械制造等。
五、作业布置：1. 完成课本练习题。
2. 观察生活中的旋转变换现象，并记录下来。
3. 设计一个图案，运用旋转变换的方法进行创作。
六、板书设计：1. 图形的旋转变换2. 旋转中心、旋转方向、旋转角度3. 图形旋转变换的应用七、课后反思：本节课通过生活中的实例，引导学生观察和思考图形旋转的现象，让学生掌握了图形旋转变换的基本概念和旋转的三要素。
旋转
有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答
（）51加速度学习网整理一、本节学习指导
本节较简单，在画图前同学们先观察图形，然后在作图。
常想想我们周围的旋转实例。
二、知识要点
1、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
2、旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数
三、经验之谈：
再旋转中，旋转三要素要理解：旋转点，旋转方向，旋转角度。
很多题目中要求我们在方格纸上画出旋转多少度的图形，此时我们不要急着下手，我们先找出原图形中几个关键点所在线段，根据旋转方向，细心的画出旋转后的图形。
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第二十三章旋转本章的内容包括：图形的旋转的概念与性质，中心对称(图形)的概念及性质，简单的图案设计．教材通过具体事例认识平面图形的旋转，探索旋转的基本性质；能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；通过具体实例认识中心对称图形的概念，探索它们的基本性质；探索图形之间的变化关系，会用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．本章内容是中考的必考内容，主要考查图形的旋转的性质，中心对称(图形)的概念及性质．【本章重点】平面图形的旋转变换和中心对称图形的性质．【本章难点】旋转作图、中心对称、旋转等图形变换的灵活运用．【本章思想方法】1．体会对比数学思想．如：本章中要运用对比法学习图形的旋转，将变化前后的图形互相对比，可以发现旋转前后的图形只存在位置上的不同，从而，由旋转的定义及特征，进一步发展空间观念，提升设计图案能力．2．体会和掌握转化思想．如：在利用旋转的性质进行计算和证明时，利用转化法把求线段的相等转化为关于旋转的性质的问题．3．掌握数形结合思想．如：在解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，利用几何图形将“数”与“形”结合起来，运用数形结合的思想解答．23.1图形的旋转1课时23.2中心对称3课时23.3课题学习图案设计1课时23.1图形的旋转一、基本目标【知识与技能】1．了解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．2．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质．3．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．【过程与方法】通过具体实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式探讨旋转的基本性质．【情感态度与价值观】1．通过具体实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．2．了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】旋转及对应点的有关概念及其应用．【教学难点】旋转的基本性质．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．观察教材P59“思考”，回答问题．(1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转．(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？解：形状、大小不变，位置发生变化．(3)从3时到5时，时针转动了__60__°.(4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。
中考内容中考要求A B C图形的旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题180⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪︒⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值一、旋转1、定义把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．Q'P'QPO【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） 共顶点旋转中考大纲知识精讲知识网络图（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）3、作图的重要条件由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件（1）旋转中心（2）旋转方向及旋转角度．4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）ADOCB【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180︒）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．2、中心对称的性质关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．3、中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）ADOCB4、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．5、关于原点对称的点的坐标特征两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．6、中心对称图形与旋转对称图形的比较名称定义区 别 联 系 旋转对称图形如果一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于周角）后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形旋转角度不一定是180︒旋转对称图形只有旋转180︒才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形中心对称图形 如果一个图形绕某一点旋转180︒后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形必须旋转180︒7、中心对称图形与轴对称图形比较 名称定义基本图形 区别 举例 中心对称图形如果一个图形绕着某点旋转180︒后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形绕某一点旋转180︒线段、平行四边形、矩形、菱形、圆轴对称图形如果一个图形沿某一条直线翻折180︒后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形180沿某一条直线翻折180︒（对折）线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆三、共顶点旋转1、共顶点旋转三角形有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．【例题】如图，等边三角形ABC∆与等边DEC∆共顶点于C点．求证：AE BD=．DECBA【答案】∵ABC∆是等边三角形，∴60ACB∠=︒，AC BC=．∴60BCD DCA∠+∠=︒，同理60ACE DCA∠+∠=︒，DC EC=．∴BCD ACE∠=∠在BCD∆与ACE∆中，BC ACBCD ACEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE∆∆≌，∴BD AE=．四、费马点与最值1、三线共点问题图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．2、OA与OB共用顶点O，固定OA将OB绕点O旋转过程中的，会出现AB的最大值与最小值，如图．最大值位置最小值位置BOA3、费马点的定义到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题4、费马点的结论（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA PB PC++，当点P为费马点时，距离之和最小．（2）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形1ABC1ACB,1BCA,然后连接1AA,1BB,1CC,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点．（3）若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．（4）当ABC∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合【例题】下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．P'C'PCBA【解析】如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP = PP ′，P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++= PP ′+ PB + P ′C ′．点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长 ，所以当B 、P 、P ′、C ′ 四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小． 这时∠BPA =180°-∠APP ′=180°-60°=120°，∠APC =∠A P ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°，∠BPC =360°-∠BPA -∠APC =360°-120°-120°=120° 因此，当ABC ∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．1、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形． （2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角． 2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）解题方法技巧（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）（5）正方形共顶点旋转3、旋转秘籍（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．（1）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转60︒角后与另一边重合．（2）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转90︒角后与另一边重合． 4、正方形等面积结论（1）=ABC CDE S S △△（2）G 为AB 中点，则12CG DE =（3）G 为AB 中点，CG DE ⊥EDGABC5、等边三角形手拉手共线的结论（ABC △和BDE △均为等边三角形，A B D 、、三点共线）（1）ABE CBD ≌△△ （2）=CD AE（3）ABF CBG ≌△△（4）DBG EBF ≌△△（5）BF BG =（6）AF CG =，EF DG =（7）FBG △为等边三角形 （8）HB 平分AHD ∠ （9）60CHA ∠=︒ABCDE FHG6、等腰直角三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰直角三角形 结论：BD AC =，BD AC ⊥DABCO（2）变式一：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFABCO（3）变式二：在上面模型的基础上连接OE 、OF ，则OEA △和OFD △均为等腰直角三角形，如下图去掉别的线段结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFAO（4）变式三：在上面模型的基础上分别取OA 、OD 的中点M 、N ，分别以ON 、OM 为边作正方形结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFHIMNAO7、等边三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰三角形 结论：BD AC =，BD 与AC 所夹锐角为60︒DCBAO（2）变式：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，=120EGF ∠︒GFEDCBAO精品文档精品文档 8、等腰三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰三角形，BOA COD ∠=∠ 结论：BD AC =，BD 与AC 的夹角等于AOB ∠DOCB A（2）变式：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，=2EGF BAO ∠∠GEFD OC BA9、终极模型提炼：只要OAB △和OCD △相似，且BOA COD ∠=∠，OBA OCD ∠=∠结论：BG CG =，=2BGC BAO ∠∠GDOB CA1、 找旋转中心时是对应点连线垂直平分线的交点，要注意和对称中心相区别．2、 找共顶点全等三角形时，要注意找旋转图形的对应点．3、 遇到正方形的共顶点旋转，基本上都可以转化成等腰直角三角形的共顶点旋转． 易错点辨析。
