图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)

图形的平移和旋转一．选择题（共15小题）1．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°2．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．48 B．96 C．84 D．423．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32° B．64° C．77° D．87°4．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．﹣17．如图，已知?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°8．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O 按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（）A．30° B．35° C．40° D．45°12．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长13．下列图形中，是中心对称图形的为（）A． B． C．D．14．在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）15．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°二．填空题（共6小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．17．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b= ．18．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为cm．21．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK= ．三．解答题（共6小题）22．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF 相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为，点B关于x轴的对称点B′的坐标为，点C关于y轴的对称点C的坐标为．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．24．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（1）旋转中心是点，旋转角度是度；（2）若连结EF，则△AEF是三角形；并证明；（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．25．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．26．如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是．27．如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．（1）请按要求画图：①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．图形的平移和旋转基础题教师版参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015?德州）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【考点】旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．（2015?镇海区模拟）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．48 B．96 C．84 D．42【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．【解答】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）?BE=（10+6）×6=48．故选：A．【点评】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．3．（2015?哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32° B．64° C．77° D．87°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．4．（2015?贵港）在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则m=2且n=﹣3，从而得出点M（m，n）所在的象限．【解答】解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴m=2且m﹣n=﹣3，∴m=2，n=5∴点M（m，n）在第一象限，故选A．【点评】本题考查了平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题比较简单．5．（2014?呼伦贝尔）将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】先利用平移中点的变化规律求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为（1，﹣3），故点在第四象限．故选D．【点评】本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点．注意平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6．（2015?枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．﹣1【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．【解答】解：连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1==，则DC1=﹣1，∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1O D=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=﹣1，∴S△ADO=×OD?AD=，∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1，故选：D．【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2015?天津）如图，已知?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，∵∠ADA′=50°，∴∠A′DC=10°，∴∠DA′B=130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE=30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′．8．（2014?自贡）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．（2015?巴彦淖尔）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，利用正方形性质求出即可．【解答】解：∵正方形ABCD，O为正方形的中心，∴OD=OC，OD⊥OC，∴∠DOC=90°，由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，旋转角为90°，故选D．【点评】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．10．（2015?龙岩）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．（2015?东西湖区校级模拟）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（）A．30° B．35° C．40° D．45°【考点】旋转的性质．【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°．【解答】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠ACA′=40°是解题关键．12．（2014?邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长【考点】生活中的平移现象．【专题】操作型．【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键．13．（2015?甘孜州）下列图形中，是中心对称图形的为（）A． B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故A错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故B正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D错误．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．14．（2015?随州）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）【考点】关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3），故选：C．【点评】本题考查了点的坐标，关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减．15．（2014?南昌）如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【考点】旋转的性质；平移的性质．【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【解答】解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．故选：B．【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．二．填空题（共6小题）16．（2015?福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是+1 ．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM?sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM?sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．17．（2015?西宁）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b= ．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴a b=2﹣1=．故答案为：．【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．18．（2015?湘潭）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= 3 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即可．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE=60°，AB=AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE=3．故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．19．（2015?扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= 5 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE=AC﹣EC=2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．【解答】解：作FG⊥AC，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F是DE的中点，∴FG∥CD∴GF=CD=AC=3EG=EC=BC=2∵AC=6，EC=BC=4∴AE=2∴AG=4根据勾股定理，AF=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．20．（2015?吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42 cm．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，BD=BC=12cm，从而得到△BCD为等边三角形，得到CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB=13，所以△ACF与△BDF 的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD，即可解答．【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB==13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为：42．【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．21．（2015?沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK= 2﹣3 ．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴AH=AB?tan∠ABH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：2﹣3．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共6小题）22．（2015?湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=A B=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．23．（2013?南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5），点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2），点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．【考点】关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】（1）关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数；关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；（2）根据点A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）在平面直角坐标系中的位置，可以求得A′C′=5，B′D=3，所以由三角形的面积公式进行解答．【解答】解：（1）∵A（﹣1，5），∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．∵B（4，2），∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．∵C（﹣1，0），∴点C关于y轴的对称点C′的坐标为（1，0）．故答案为：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，∴S△A′B′C′=A′C′?B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．【点评】本题考查了关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标，三角形的面积．解答（2）题时，充分体现了“数形结合”数学思想的优势．24．（2015?新泰市校级模拟）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（1）旋转中心是点 A ，旋转角度是90 度；（2）若连结EF，则△AEF是等腰直角三角形；并证明；（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．【考点】旋转的性质．【分析】（1）根据旋转变换的定义，即可解决问题．（2））根据旋转变换的定义，即可解决问题．（3）根据旋转变换的定义得到△ADE≌△ABF，进而得到S四边形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的长度，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，由题意得：旋转中心是点A，旋转角度是90度．故答案为A、90．（2）由题意得：AF=AE，∠EAF=90°，∴△AEF为等腰直角三角形．故答案为等腰直角．（3）由题意得：△ADE≌△ABF，∴S四边形AECF=S正方形ABCD=25，∴AD=5，而∠D=90°，DE=2，∴．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识，这是灵活运用、解题的基础和关键．25．（2015?昆明）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；（2）利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标；（3）利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．（2）如图：（3）由两点间的距离公式可知：BC=，∴点C旋转到C2点的路径长=．【点评】本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．26．（2015?桂林）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【专题】作图题．【分析】（1）如图，画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）如图，画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积，求出即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S=﹣=5π﹣=．故答案为：．【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，以及扇形面积公式，作出正确的图形是解本题的关键．27．（2015?贵港）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．（1）请按要求画图：①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．【考点】作图-旋转变换；两条直线相交或平行问题；作图-平移变换．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据旋转角度，旋转方向，分别找到A、B、C的对应点，顺次连接可得△A2B2C2；（3）由图形可知交点坐标；【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）由图形可知：交点坐标为（﹣1，﹣4）．【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键．。

共顶点旋转中考大纲中考内容A了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应图形的旋转点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形中考要求B C能按要求作出简单平面图形旋转后的图能运用旋转的形，能依据旋转前、后的图形，指出旋知识解决简单转中心和旋转角问题知识网络图定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转 180 能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值知识精讲一、旋转1、定义把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ' ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．PQOP'Q'【注意】 1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．2、每一组对应点所构成的旋转角相等．2、性质（ 1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）3、作图的重要条件由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件（1）旋转中心（2）旋转方向及旋转角度．4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转 180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）A DOB C【注意】 1、图形成中心对称是旋转角为定角（180）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．2、中心对称的性质关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．3、中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）A DOB C4、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．5、关于原点对称的点的坐标特征两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．6、中心对称图形与旋转对称图形的比较名称定义区别联系如果一个图形绕着某一点旋转一旋转对称图形定角度（小于周角）后能与原图旋转角度不一定是 180旋转对称图形只有形完全重合，那么这个图形叫做旋转 180 才是中心旋转对称图形对称图形，而中心对如果一个图形绕某一点旋转 180 称图形一定是旋转中心对称图形后能与自身重合，那么这个图形必须旋转 180 对称图形叫做中心对称图形7、中心对称图形与轴对称图形比较名称定义基本图形区别举例如果一个图形绕着某线段、平行四边中心对称图点旋转 180 后能与自绕某一点旋转形、矩形、菱形、形身重合，那么这个图形180圆叫做中心对称图形如果一个图形沿某一180条直线翻折180 后，直线段、等腰三角沿某一条直线翻轴对称图形线两旁的部分能够互形、矩形、菱形、折 180 （对折）相重合，那么这样的图正方形、圆形叫做轴对称图形三、共顶点旋转1、共顶点旋转三角形有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．【例题】如图，等边三角形ABC 与等边DEC 共顶点于 C 点．求证：AE BD ．AEDB C【答案】∵ABC 是等边三角形，∴ACB 60 ， AC BC ．∴BCDDCA 60 ，同理 ACE DCA 60 ， DC EC ．∴ BCDACE在BCD 与 ACE 中，BC ACBCD ACEDC EC∴BCD ≌ACE ，∴ BD AE ．四、费马点与最值1、三线共点问题图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．2、 OA 与 OB 共用顶点 O ，固定 OA 将 OB 绕点 O 旋转过程中的，会出现AB 的最大值与最小值，如图．B最大值位置OA最小值位置3、费马点的定义到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为 120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题4、费马点的结论（ 1）平面内一点P 到△ABC三顶点的之和为PA PB PC ，当点 P 为费马点时，距离之和最小．（ 2 ）三内角皆小于 120°的三角形，分别以AB , BC ,CA 为边，向三角形外侧做正三角形 ABC1 ACB1 , BCA1 , 然后连接 AA1 , BB1 , CC1 ,则三线交于一点P ,则点 P 就是所求的费马点．（ 3 ）若三角形有一内角大于或等于120 度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．（ 4 ）当 ABC 为等边三角形时,此时内心与费马点重合【例题】下面简单说明如何找点P 使它到ABC 三个顶点的距离之和PA PB PC 最小？这就是所谓的费尔马问题．C'AP'PB C【解析】如图 1，把 APC 绕 A 点逆时针旋转 60°得到△AP ′C′，连接 PP ′．则△ APP′为等边三角形， AP = PP′，P′C′=PC，所以 PA PB PC = PP′+PB+ P′C′．点 C′可看成是线段AC 绕 A 点逆时针旋转60°而得的定点， BC′为定长，所以当 B、 P、P′、 C′四点在同一直线上时，PA PB PC 最小．这时∠ BPA=180°-∠APP′=180-°60 °=120°，∠APC =∠ A P′C′=180-°∠ AP′P=180°-60 °=120°，∠BPC =360°-∠ BPA-∠ APC=360°-120 °-120 °=120°因此，当ABC 的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在 AB、BC边上分别作120 °P点；当有一内角大于或等于120 °的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是时，所求的 P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．解题方法技巧1、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形．（2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角．2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（ 1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（ 2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（ 3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（ 4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）（ 5）正方形共顶点旋转3、旋转秘籍（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．160 角后与另一边重（）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转合．290 角后与另一边重合．（）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转4、正方形等面积结论（ 1 ） S△ABC =S△CDE（ 2 ） G 为 AB 中点，则CG 1DE 2（ 3）G为AB中点，CG DEBGACED5、等边三角形手拉手共线的结论（△ABC和△BDE均为等边三角形，A、B、D 三点共线）（1）△ABE≌△CBD（2）AE =CD（3）△ABF≌△CBG（4）△DBG≌△EBF（5）BF BG（ 6）AF CG ， EF DG（7）△FBG为等边三角形（8）HB平分AHD（9）CHA 60CEHF GABD6、等腰直角三角形共顶点旋转常见的变式（ 1）基本模型：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形结论： BD AC ， BD ACBCOA D（ 2）变式一：在上面模型的基础上连接AD ，分别取 AB 、 CD 、 AD 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EG 、 FG 结论： EG FG ， EG FGBCEFOA DG（ 3）变式二：在上面模型的基础上连接OE 、 OF ，则△OEA 和△OFD 均为等腰直角三角形，如下图去掉别的线段结论： EG FG ， EG FGEFOA DG（ 4）变式三：在上面模型的基础上分别取OA 、 OD 的中点 M 、 N ，分别以 ON 、 OM 为边作正方形结论： EG FG ， EG FGHIEFOM NA DG7、等边三角形共顶点旋转常见的变式（ 1）基本模型：△OAB和△OCD均为等腰三角形结论： BD AC ， BD 与 AC 所夹锐角为60COBDA2AD ，分别取 AB 、 CD 、 AD 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EG 、 FG （）变式：在上面模型的基础上连接结论： EG FG ， EGF =120COBFEA DG8、等腰三角形共顶点旋转常见的变式1△OAB 和△OCD 均为等腰三角形，BOA COD（）基本模型：结论： BD AC ， BD 与 AC 的夹角等于 AOBOBCAD2AD ，分别取 AB 、 CD 、 AD 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EG 、 FG （）变式：在上面模型的基础上连接结论： EG FG ， EGF =2 BAOOBECAFGD9、终极模型提炼：只要△OAB和△OCD相似，且BOA COD ，OBA OCD结论： BG CG ，BGC=2 BAOOCBDGA易错点辨析1、找旋转中心时是对应点连线垂直平分线的交点，要注意和对称中心相区别．2、找共顶点全等三角形时，要注意找旋转图形的对应点．。

数学图形旋转后练习题数学是一门神奇的学科，它涉及到各种各样的概念和技巧。

其中，图形旋转是一个常见而重要的概念，它在几何学和计算机图形学中都扮演着重要的角色。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握数学图形旋转的概念和技巧。

1. 问题一：将一个正方形顺时针旋转90度，得到的图形是什么？解析：正方形有四条边，每条边的长度相等。

顺时针旋转90度意味着每条边都向右移动一个单位，并且保持原来的长度不变。

因此，通过旋转，我们得到的图形仍然是一个正方形，只是方向发生了变化。

2. 问题二：将一个长方形逆时针旋转180度，得到的图形是什么？解析：长方形有两条较长的边和两条较短的边。

逆时针旋转180度意味着每条边都向左移动一个单位，并且保持原来的长度不变。

通过旋转，我们得到的图形仍然是一个长方形，只是方向发生了变化。

3. 问题三：将一个圆形顺时针旋转270度，得到的图形是什么？解析：圆形是一个由无数个点组成的图形，每个点到圆心的距离相等。

顺时针旋转270度意味着每个点都向下移动一个单位，并且保持原来的距离不变。

通过旋转，我们得到的图形仍然是一个圆形，只是位置发生了变化。

4. 问题四：将一个三角形逆时针旋转45度，得到的图形是什么？解析：三角形有三条边和三个角。

逆时针旋转45度意味着每个点都向左上方移动一个单位，并且保持原来的形状不变。

通过旋转，我们得到的图形仍然是一个三角形，只是位置发生了变化。

通过以上的练习题，我们可以看出，图形旋转并不改变图形的形状，只是改变了它们的位置和方向。

这是因为旋转只是对图形中的每个点进行平移操作，而不改变它们之间的相对位置关系。

除了简单的图形旋转，我们还可以通过组合多个旋转操作来创建更复杂的图形。

例如，通过将一个正方形顺时针旋转45度，然后再逆时针旋转45度，我们可以得到一个菱形。

这种组合旋转的操作在计算机图形学中经常被使用，用于创建各种各样的图像和动画效果。

总之，数学图形旋转是一项有趣而重要的技巧。

旋转23.1 图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

2.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．23.2 中心对称图形1.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．2.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.坐标与图形变化--旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．23.3课题学习图案设计1.利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．2.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.作图--旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．4.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．5.几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．旋转基础练习一一、选择题1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6个B．7个C．8个D．9个2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB 上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP是________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置．如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．(图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=12 AB．（1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE移到△ADF的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？答案:一、1．B 2．C 3．B二、1．旋转旋转中心旋转角2．A 45°3．点A 60°等边三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．（2）BE=DF，BE⊥DF2．翻滚一次滚120°翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．旋转基础练习二一、选择题1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△OAF与△OBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？答案:一、1．C 2．A 3．D二、1．相等2．△ACE 图形全等= 3．相等三、1．这四个部分是全等图形2．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆，∴面积之和=12 ．3．重合：证明：∵EG⊥AF∴∠2+∠3=90°∵∠3+∠1+90°=180°∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2同理∠E=∠F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB∴△OBE绕O点旋转90°便可和△OAF重合．旋转基础练习三一、选择题1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（）A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均是等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为中心（）A．顺时针旋转60°得到的B．顺时针旋转120°得到的C．逆时针旋转60°得到的D．逆时针旋转120°得到的3．下面的图形中，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是（）A．（1），（4）B．（1），（3）C．（1），（2）D．（3），（4）二、填空题1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．三、解答题．1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．4 72°2．旋转3．相等三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．2．略3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴PP′=2AP=32．旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．对称形式轴对称旋转对称中心对称只有一条对称轴有两条对称轴2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．答案:一、1．B 2．D 3．D二、1．这一点（对称中心）2．中心对称3．（1）（4）（5）三、1．略2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；（3）连结A′D′、D′C′、C′B则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．3.略.旋转基础练习五一、选择题1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角B．等边三角形C．直角梯形D．两条相交直线2．下列命题中真命题是（）A．两个等腰三角形一定全等B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D．两直线平行，同旁内角相等3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A．60°B．50°C．75°D．55°二、填空题1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所________．2．关于中心对称的两个图形是_________图形．3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．三、解答题1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：（1）以顶点A为对称中心，（2）以BC边的中点K为对称中心．2．如图，已知一个圆和点O，画一个圆，使它与已知圆关于点O成中心对称．3．如图，A、B、C是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M，现计划修建居民小区D，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D的位置．21085答案:一、1．D 2．C 3．A二、1．对称中心 平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O 点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半径为半径作圆．3．连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线PQ 、GH 相交于M ，学校M 所在位置，就是△ABC 外接圆的圆心，小区D 是在劣弧BC 的中点即满足题意．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是（ ）A ．21085B ．28015C ．58012D ．51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________．三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠，使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠，使D 1点落在D 处且BD 过F 点．（1）求证：四边形BEFG 是平行四边形；（2）连接BB ，判断△B 1BG 的形状，并写出判断过程．D 1C 1B 1A 1B AC ED G F3．如图，直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）设过A 、A 1、B 三点的函数解析式为y=ax 2+bx+c ，求这个解析式．答案：一、1．D 2．D 3．D二、1．中心对称图形 2．答案不唯一 3．答案不唯一三、1．（1）①假 ②真 （2）①③（3）①例如正五边形 正十五边形 •②例如正十边 正二十边形2．（1）证明：∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1BD=∠C 1FB又∵四边形ABEF 是由四边形A 1B 1EF 翻折的，∴∠B 1FE=∠EFB ，同理可得：∠FBG=∠D 1BG ， 初中数学资源网∴∠EFB=90°-12∠C 1FB ，∠FBG=90°-12∠A 1BD ， ∴∠EFB=∠FBG∴EF ∥BG ，∵EB ∥FG∴四边形BEFG 是平行四边形．（2）直角三角形，理由：连结BB ，∵BD 1∥FC 1，∴∠BGF=∠D 1BG ，∴∠FGB=∠FBG同理可得：∠B 1BF=∠FB 1B ．∴∠B 1BG=90°，∴△B 1BG 是直角三角形3．解：（1）如右图所示（2）由题意知A、A1、B1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴1042a b cca b c=-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解这个方程组得12121abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求五数解析式为y=-12x2+12x+1．1。

第25章《图形的变换》常考题集（11）：25.2 旋转变换填空题151．在直角坐标系内，点P（2，3）关于原点的对称点坐标为．152．已知a＞0，那么点P（﹣a2﹣1，a+3）关于原点的对称点Q在第象限．153．点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是．154．点A（1，3）关于原点的对称点坐标是．155．在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为，若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是．156．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的．如果用有序数对（2，1）表示方格纸上A点的位置，用（1，2）表示B点的位置，那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是．157．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．158．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是．159．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为．160．点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135°到点B，那么点B的坐标是．161．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）．如果将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标为．162．如图，菱形ABCD的对角线交于平面直角坐标系的原点，顶点A坐标为（﹣2，3），现将菱形绕点O顺时针方向旋转180°后，A点坐标变为．163．如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标O（0，0）、A（3，4）、B （5，2）．将△OAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A1的坐标是．164．在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为．165．将点A（，0）绕着原点顺时针方向旋转45°角得到点B，则点B的坐标是．166．将图中线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标是．167．已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0）、A（﹣1，1）、B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A1是，B1．168．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2＝2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．169．将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B的坐标是．170．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为．171．如图，Rt△OAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA＝2，AB＝1，若将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是．172．已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为．173．点P（2，3）绕着原点逆时针方向旋转90°与点P′重合，则P′的坐标为．174．如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm．如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA′，那么点A′的位置可以用（2，30°）表示．如果将OA′再沿逆时针方向继续旋转45°，到OA”，那么点A”的位置可以用（，°）表示．175．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是，其中n满足的条件是n＝8k（k＝0，1，2…的整数）．176．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），以O旋转中心，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，OP n（n为正整数），则点P6的坐标是；△P5OP6的面积是．177．如图，一个正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体①②③三种状态时所显示的数字，可推断“？”处的数字是．178．正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′＝．179．线段OA绕原点O逆时针旋转90°到OA′的位置，若A点坐标为，则点A′的坐标为．180．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是cm2．第25章《图形的变换》常考题集（11）：25.2 旋转变换参考答案填空题151．（﹣2，﹣3）；152．四；153．（﹣3，2）；154．（﹣1，﹣3）；155．（）；156．（5，2）；157．（7，3）；158．（4，﹣1）；159．（36，0）；160．（﹣1，﹣1）；161．（8，3）；162．（2，﹣3）；163．（﹣4，3）；164．（2，3）；165．（4，﹣4）；166．（3，0）；167．（，0）；；168．（﹣1，）；169．（1，﹣3）；170．（﹣b，a）；171．（2，﹣1）；172．（﹣b，a）；173．（﹣3，2）；174．2；75；175．；（2n，0）；176．（0，﹣64）；；177．1；178．；179．；180．；。

图形变换—旋转综合题1.如图，在△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。

（2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围.（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。

1）线段EF与AF、BE的关系为：EF2=AF2+BE2．理由如下：延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，如图1，∵FD⊥GN，∴FG=EF．∵D是AB中点，∴AD=BD，∵∠ADG=∠EDB，∴△BED≌△AGD，∴AG=BE，∠GAD=∠B．∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC+∠DAG=90°，∴AG2+AF2=FG2．∴EF2=AF2+BE2．（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如图3）∴∠FRA=∠ESB=90°．∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠SEB=30°，∴SB=12BE，SE=3SB．∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF2+CE2=EF2，∵EF2=AF2+BE2，∴CF2+CE2=AF2+BE2，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，AC=23，∴CF=23-x，CE=2-BE．∴（23-x）2+（2-BE）2=x2+BE2∴BE=4-3x，∴SB=2-123x，∴SE=232.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点.（1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2；（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）（3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

图形的旋转练习题及答案图形的旋转练习题及答案在几何学中，图形的旋转是一种常见的操作。

通过旋转，我们可以改变图形的方向和位置，从而得到新的图形。

旋转练习题可以帮助我们加深对旋转操作的理解，并提高解决几何问题的能力。

本文将介绍一些常见的图形旋转练习题及其答案，希望对读者有所帮助。

1. 旋转正方形首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个正方形，边长为4个单位。

我们需要将这个正方形绕着一个点旋转90度，问旋转后的正方形的边长是多少？解答：旋转后的正方形的边长仍然是4个单位。

旋转只改变了正方形的方向和位置，但没有改变其大小。

2. 旋转矩形接下来，我们考虑一个稍微复杂一些的例子。

假设有一个矩形，长为6个单位，宽为3个单位。

我们需要将这个矩形绕着一个点旋转180度，问旋转后的矩形的长和宽分别是多少？解答：旋转后的矩形的长和宽仍然分别是6个单位和3个单位。

和正方形一样，旋转只改变了矩形的方向和位置，但没有改变其大小。

3. 旋转三角形现在，让我们来考虑一个有趣的例子。

假设有一个等边三角形，边长为5个单位。

我们需要将这个三角形绕着一个点旋转60度，问旋转后的三角形的边长是多少？解答：旋转后的三角形的边长仍然是5个单位。

和之前的例子一样，旋转只改变了三角形的方向和位置，但没有改变其大小。

4. 旋转圆形最后，我们来看一个特殊的例子。

假设有一个半径为2个单位的圆形。

我们需要将这个圆形绕着一个点旋转120度，问旋转后的圆形的半径是多少？解答：旋转后的圆形的半径仍然是2个单位。

和之前的例子一样，旋转只改变了圆形的方向和位置，但没有改变其大小。

通过以上的例子，我们可以看到旋转操作并不改变图形的大小，只改变了其方向和位置。

这是因为旋转是一种刚体变换，保持了图形的形状和大小不变。

在解决几何问题时，我们可以利用旋转的性质来简化问题，找到更简单的解决方法。

总结起来，图形的旋转是一种常见的操作，通过旋转可以改变图形的方向和位置。

旋转练习题可以帮助我们加深对旋转操作的理解，并提高解决几何问题的能力。

图形的平移旋转与对称变换一、知识点总结（一）平移关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向.1 、平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，？对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）.2 、简单作图平移的作图主要关注要点：1•方向2 •距离•整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的.（二八旋转1 、定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，？这样的图形运动称为旋转.关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向.2 、旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.3、简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度.主要分四步：边、转、截、连.旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等.（三）、轴对称1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形, 这条直线就是它的对称轴。

（四）、中心对称1定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

第25课时 图形的变换⑵平移、旋转、翻折【基础知识梳理】 1.平移在平面内，将一个图形沿着某个 移动一定的 ，这样的图形运动称作平移；平移不改变图形的 和 . 2.平移的特征平移前后的两个图形对应点连线 且 ，对应线段 且 ，对应角 . 3.旋转在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向 一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.这个定点称为 ，转动的角称为 .4.旋转的基本性质⑴旋转不改变图形的 和 ．⑵图形上的每一点都绕 沿 转动了相同的角度. (3)任意一对对应点与 的连线所成的角度都是旋转角. (4)对应点到旋转中心的距离 . 【基础诊断】1、如图，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC（ ） A ．把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B ．把△DEF 向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C ．把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D ．把△DEF 向左平移4个单位，再向上平移2个单位2、如图，△AOB 是正三角形，OC⊥OB，OC ＝OB ，将△AOB 绕点O 按逆时针方向 旋转，使得OA 与OC 重合，得到△OCD，则旋转角度是( ) A ．150º B．120º C．90º D．60º3、如图：△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边与点E ，连接AD ，若AE=4cm ，则△ABD 的周长是（ ） A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm【精典例题】例1、如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若BC ＝32，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1＝ ．第1题图第2题图 第3题图例1图【点拨】∵△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则由三角形面积公式可知，重叠部分小三角形的直角边长为2，从而由勾股定理得B 1C ＝22，则BB 1＝BC －B 1C ＝2。

旋转练习题集锦（含答案）一、作图题1、如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．（1）在方格纸中，将△ABC向下平移5个单位长度得到，请画出；（2）在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到，请画出。

二、简答题2、如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．（1）请直接写出点关于轴对称的点的坐标；（2）将绕坐标原点逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点的对应点的坐标；（3）请直接写出：以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．三、选择题3、如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为【】（A）（2，2）（B）（2，4）(C)（4，2） (D)（1，2）4、将图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )5、在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如上图中的△ABC称为格点△ABC．现将图中△ABC绕点A顺时针旋转，并将其边长扩大为原来的2倍，则变形后点B的对应点所在的位置是（）A．甲 B．乙C．丙 D．丁6、下图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）A．60° B．90° C．120°D．180°7、在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是 ( )8、下面四个图案中，是旋转对称图形的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、下列运动是属于旋转的是( )A．电梯的上下运动 B．火车的运动C．钟表中分针的运动 D．升国旗时，国旗的徐徐运动10、如图所示，将其中的图甲变成图乙，可经过的变换是( )A．旋转、平移 B．平移、对称 C．旋转、对称 D．不能确定11、如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72° B．108° C．144° D．216°12、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD’的位置，则∠ADD’的度数是( )A．25° B．30° C．35°D．45°13、如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而成的，则每次旋转的度数最小是( )A．90° B．60° C．45°D．30°14、如图，经过平移或旋转不可能将图甲变为图乙的是（）15、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．菱形B．等边三角形 C．等腰三角形D．平行四边形16、如图所示，可由一个“基本图案”旋转l80°而形成的是（）A B CD17、已知，将点A1（6，1）向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转湖A3的坐标为（）A．（－2，1） B．（1，1） C．（－1，1） D．（5，1）18、下图是一张边被裁直的白纸，把一边折叠后，BC、BD为折痕，、、B在同一直线上，则∠CBD的度数（）A．不能确定B．大于C．小于 D．等于四、计算题19、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点．（1）当旋转至如图②位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是．（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在图③中，连接，探索与之间有怎样的位置关系，并证明．20、如图所示，左边方格纸中每个正方形的边长均为a，右边方格纸中每个正方形的边长均为b，将左边方格纸中的图形顺时针旋转90°，并按b:a的比例画在右边方格纸中．21、点B．C．E在同一直线上，点A．D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

图形旋转测试题及答案一、选择题1. 一个图形绕某点旋转了90°，下列说法正确的是：A. 图形的大小不变B. 图形的形状不变C. 图形的位置不变D. 以上说法都不正确答案：A、B2. 下列哪个图形旋转180°后与原图形完全重合？A. 正方形B. 圆形C. 长方形D. 三角形答案：B二、填空题3. 若一个图形绕中心点O旋转____度，可以得到与原图形关于点O对称的图形。

答案：1804. 一个等腰三角形绕底边的中点旋转____度，可以得到与原图形完全重合的图形。

答案：180三、简答题5. 描述一个正方形绕其一个顶点旋转90°后，图形的位置变化情况。

答案：正方形绕其一个顶点旋转90°后，其四个顶点的位置将分别移动到原来对角线的顶点位置。

具体来说，如果原正方形的顶点分别为A、B、C、D，且A为旋转中心，则旋转后，A点位置不变，B点移动到C点位置，C点移动到D点位置，D点移动到B点位置。

四、计算题6. 已知一个正六边形绕其中心点O旋转60°后，求旋转后顶点的新位置。

答案：正六边形的每个顶点绕中心点O旋转60°后，每个顶点的新位置将沿着正六边形的外接圆的圆周上移动，每个顶点相对于原来的位置旋转了60°的弧度。

五、论述题7. 论述图形旋转的性质及其在几何学中的应用。

答案：图形旋转是一种几何变换，它保持图形的大小和形状不变，只改变图形的位置。

旋转的性质包括旋转角度的可加性，即连续旋转两个角度相当于旋转这两个角度的和。

在几何学中，图形旋转常用于证明图形的对称性，解决几何构造问题，以及在变换几何中研究图形的不变性质等。

七年级数学图形变换专项练习题及答案[本文仅为示例，实际内容为机器人随机生成，仅供参考]七年级数学图形变换专项练习题及答案一、图形变换概念解析图形变换是数学中的重要概念，通过对图形的平移、旋转、翻转等操作，可以得到新的图形。

以下是对一些基本图形变换的解析：1. 平移：平移是指沿着某个方向将图形的每个点都按照相同的距离移动，保持形状不变。

平移可以用坐标的形式表示，如(x, y)→(x+a,y+b)，其中(a, b)为平移的向量。

2. 旋转：旋转是指将图形绕着某个中心点按照一定的角度进行旋转，保持形状不变。

旋转可以用坐标的形式表示，如(x, y)→(xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)，其中(θ)为旋转的角度。

3. 翻转：翻转是指将图形按照某个轴进行对称，可以是水平轴、垂直轴或者某条斜线。

对于水平翻转，坐标的形式表示为(x, y)→(x, -y)；对于垂直翻转，坐标的形式表示为(x, y)→(-x, y)。

二、图形变换练习题1. 平移练习题：将下列图形按照给定的向量进行平移，并写出新的坐标：(1) 图形ABCDEF，向量(2, 3)(2) 图形PQRST，向量(-1, 4)2. 旋转练习题：将下列图形按照给定的角度进行旋转，并写出新的坐标：(1) 图形ABC，中心点O，逆时针旋转30°(2) 图形PQR，中心点O，顺时针旋转60°3. 翻转练习题：将下列图形按照给定的轴进行翻转，并写出新的坐标：(1) 图形ABC，关于x轴翻转(2) 图形PQR，关于y轴翻转三、图形变换练习题解答1. 平移练习题解答：(1) 图形ABCDEF，向量(2, 3)的平移结果为A'(3, 5)，B'(4, 6)，C'(6, 7)，D'(7, 8)，E'(7, 9)，F'(8, 10)(2) 图形PQRST，向量(-1, 4)的平移结果为P'(-3, 7)，Q'(-1, 9)，R'(0, 9)，S'(1, 10)，T'(2, 12)2. 旋转练习题解答：(1) 图形ABC，中心点O，逆时针旋转30°后的结果为A'(0.5, -1.366)，B'(0, 0)，C'(-1, 0.366)(2) 图形PQR，中心点O，顺时针旋转60°后的结果为P'(0.366, 0.5)，Q'(0, 0)，R'(-0.5, -0.366)3. 翻转练习题解答：(1) 图形ABC，关于x轴翻转后的结果为A'(1, -1)，B'(-2, -2)，C'(-3, 0)(2) 图形PQR，关于y轴翻转后的结果为P'(1, 1)，Q'(2, 0)，R'(1, -1)四、总结通过以上练习题的解答，我们对图形变换的概念、平移、旋转、翻转等操作有了更深入的了解。

图形变换练习题在几何学中，图形变换是研究如何通过一系列操作改变或转换图形的形状、大小和位置的方法。

通过练习和掌握图形变换技巧，可以帮助我们更好地理解和应用几何学的相关知识。

本文将为您提供一些有趣的图形变换练习题，帮助您巩固对图形变换的理解和应用能力。

一、平移平移是指将图形沿着某个方向上的直线移动一段固定的距离，并保持原始图形的形状和大小不变。

下面是一个练习题：练习题1：把一个正方形平移到坐标平面上的另外一个位置。

解答：我们可以先确定正方形的一个顶点和目标位置的对应顶点，然后根据两个顶点的坐标差值进行移动。

举个例子，假设正方形的一个顶点为A(2,3)，我们要将其平移到坐标平面上的点B(6,9)，那么只需要将正方形的每个顶点的坐标都分别增加(4,6)即可。

二、旋转旋转是指将图形绕某个中心点按照一定角度旋转，使得原始图形在平面上绕一定的路径做圆周运动。

下面是一个练习题：练习题2：将一个三角形绕原点逆时针旋转90度。

解答：对于一个三角形ABC，我们可以通过以下步骤进行旋转：1. 找到三角形的质心G，计算出它的坐标；2. 将三角形的每个顶点的坐标相对于质心进行平移，使得质心位于原点；3. 根据旋转矩阵的公式，将每个顶点绕原点逆时针旋转90度；4. 将旋转后的三角形恢复到原点附近，即将每个顶点的坐标相对于原来的质心进行平移。

三、缩放缩放是指通过增大或减小图形的各个部分之间的距离，改变图形的大小。

下面是一个练习题：练习题3：将一个矩形的长和宽分别缩放为原来的一半。

解答：假设矩形的长为L，宽为W，我们可以通过以下步骤进行缩放：1. 将矩形的每个顶点相对于矩形的中心进行平移，使得中心位于原点；2. 根据缩放因子为0.5，将每个顶点的坐标分别乘以0.5，即可得到缩放后的矩形的顶点坐标；3. 将缩放后的矩形恢复到原来的位置，即将每个顶点的坐标相对于原来的中心进行平移。

四、对称对称是指通过某个中心轴将图形中的每个点对应到另外一个点，使得图形关于中心轴具有对称性。

旋转练习题带答案旋转是数学中的一个重要概念，它涉及到图形在平面或空间中的转动。

下面是一些关于旋转的练习题，以及它们的答案。

练习题1：在平面直角坐标系中，点A(3, 4)绕原点O(0, 0)顺时针旋转90度后，求点A的新坐标。

答案：点A绕原点O顺时针旋转90度后，其坐标变为(-4, 3)。

练习题2：如果一个正方形的四个顶点在平面直角坐标系中分别位于(1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1)，求这个正方形绕其中心点旋转180度后的顶点坐标。

答案：正方形绕其中心点(0, 0)旋转180度后，顶点坐标变为(-1, -1), (-1, 1), (1, 1), (1, -1)。

练习题3：一个圆心位于(2, 2)的圆，半径为3，求这个圆绕原点O(0, 0)顺时针旋转45度后，圆上任意一点P(x, y)的新坐标。

答案：由于圆的旋转不改变其形状和大小，只是位置发生变化，所以具体点P(x, y)的新坐标取决于其在圆上的位置。

但可以确定的是，圆心的新坐标会发生变化。

通过计算，圆心的新坐标为(1, 2 + √2)。

练习题4：在三维空间中，一个立方体的一个顶点位于(1, 1, 1)，求这个立方体绕通过(1, 1, 1)且与x轴成30度角的直线旋转90度后，该顶点的新坐标。

答案：这个问题较为复杂，需要使用三维空间旋转矩阵来解决。

但一般来说，通过适当的旋转矩阵变换，我们可以找到新的坐标。

具体计算需要用到三角函数和矩阵乘法。

练习题5：考虑一个由四个点组成的矩形，其顶点坐标分别为A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3)。

求矩形绕点A旋转60度后，各顶点的新坐标。

答案：矩形绕点A旋转60度后，可以使用旋转矩阵来计算新坐标。

新坐标分别为：- A点不变，坐标仍为(0, 0)。

- B点新坐标为(2√3, -2)。

- C点新坐标为(2√3, 2)。

- D点新坐标为(-2√3, 2)。

请注意，这些练习题的答案需要根据具体的旋转公式和几何知识来计算得出。

中考内容中考要求A B C图形的旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题180⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪︒⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值一、旋转1、定义把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．Q'P'QPO【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）共顶点旋转中考大纲知识精讲知识网络图（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）3、作图的重要条件由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件（1）旋转中心（2）旋转方向及旋转角度．4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）ADOCB【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180︒）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．2、中心对称的性质关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．3、中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）ADOCB4、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．5、关于原点对称的点的坐标特征两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．6、中心对称图形与旋转对称图形的比较名称定义区 别 联 系 旋转对称图形如果一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于周角）后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形旋转角度不一定是180︒旋转对称图形只有旋转180︒才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形中心对称图形 如果一个图形绕某一点旋转180︒后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形必须旋转180︒7、中心对称图形与轴对称图形比较 名称定义基本图形 区别 举例 中心对称图形如果一个图形绕着某点旋转180︒后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形绕某一点旋转180︒线段、平行四边形、矩形、菱形、圆轴对称图形如果一个图形沿某一条直线翻折180︒后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形180沿某一条直线翻折180︒（对折）线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆三、共顶点旋转1、共顶点旋转三角形有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．【例题】如图，等边三角形ABC∆与等边DEC∆共顶点于C点．求证：AE BD=．DECBA【答案】∵ABC∆是等边三角形，∴60ACB∠=︒，AC BC=．∴60BCD DCA∠+∠=︒，同理60ACE DCA∠+∠=︒，DC EC=．∴BCD ACE∠=∠在BCD∆与ACE∆中，BC ACBCD ACEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE∆∆≌，∴BD AE=．四、费马点与最值1、三线共点问题图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．2、OA与OB共用顶点O，固定OA将OB绕点O旋转过程中的，会出现AB的最大值与最小值，如图．最大值位置最小值位置BOA3、费马点的定义到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题4、费马点的结论（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA PB PC++，当点P为费马点时，距离之和最小．（2）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形1ABC1ACB,1BCA,然后连接1AA,1BB,1CC,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点．（3）若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．（4）当ABC∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合【例题】下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．P'C'PCBA【解析】如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP = PP ′，P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++= PP ′+ PB + P ′C ′．点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长 ，所以当B 、P 、P ′、C ′四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小． 这时∠BPA =180°-∠APP ′=180°-60°=120°， ∠APC =∠A P ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°， ∠BPC =360°-∠BPA -∠APC =360°-120°-120°=120°因此，当ABC ∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．1、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形． （2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角． 2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）解题方法技巧（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）（5）正方形共顶点旋转3、旋转秘籍（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．（1）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转60︒角后与另一边重合．（2）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转90︒角后与另一边重合． 4、正方形等面积结论（1）=ABC CDE S S △△（2）G 为AB 中点，则12CG DE =（3）G 为AB 中点，CG DE ⊥ EDGABC5、等边三角形手拉手共线的结论（ABC △和BDE △均为等边三角形，A B D 、、三点共线）（1）ABE CBD ≌△△ （2）=CD AE（3）ABF CBG ≌△△ （4）DBG EBF ≌△△ （5）BF BG =（6）AF CG =，EF DG = （7）FBG △为等边三角形 （8）HB 平分AHD ∠ （9）60CHA ∠=︒ABCDE FHG6、等腰直角三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰直角三角形 结论：BD AC =，BD AC ⊥DABCO（2）变式一：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFABCO（3）变式二：在上面模型的基础上连接OE 、OF ，则OEA △和OFD △均为等腰直角三角形，如下图去掉别的线段结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFAO（4）变式三：在上面模型的基础上分别取OA 、OD 的中点M 、N ，分别以ON 、OM 为边作正方形结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFHIMNAO7、等边三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰三角形 结论：BD AC =，BD 与AC 所夹锐角为60︒DCBAO（2）变式：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，=120EGF ∠︒GFEDCBAO实用文案标准文档 8、等腰三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰三角形，BOA COD ∠=∠ 结论：BD AC =，BD 与AC 的夹角等于AOB ∠DOCB A（2）变式：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，=2EGF BAO ∠∠GEFD OC BA9、终极模型提炼：只要OAB △和OCD △相似，且BOA COD ∠=∠，OBA OCD ∠=∠ 结论：BG CG =，=2BGC BAO ∠∠GDOB CA1、 找旋转中心时是对应点连线垂直平分线的交点，要注意和对称中心相区别．2、 找共顶点全等三角形时，要注意找旋转图形的对应点．3、 遇到正方形的共顶点旋转，基本上都可以转化成等腰直角三角形的共顶点旋转． 易错点辨析。

探索平面几何的旋转变换练习题旋转变换在平面几何中是一种常见的操作，它可以将图形围绕某一点旋转一定角度，从而产生新的图形。

本文将介绍一些旋转变换的练习题，帮助读者更好地理解和掌握平面几何旋转变换的概念和方法。

1. 题目一：给定一个正方形ABCD，顺时针旋转90度，分别求旋转后各个顶点的坐标。

解答：设正方形ABCD的中心点为O，顺时针旋转90度后，可以发现旋转后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD具有相同的边长和形状。

首先求旋转后的顶点A'的坐标。

根据旋转变换的定义，点A'是点A 绕着点O逆时针旋转90度后的位置。

设点A的坐标为(x, y)，则点A'的坐标可以通过如下公式计算得出：A'的x坐标 = O的x坐标 + (A的y坐标 - O的y坐标)A'的y坐标 = O的y坐标 - (A的x坐标 - O的x坐标)同理，可以求出旋转后其他顶点的坐标：B'的x坐标 = O的x坐标 + (B的y坐标 - O的y坐标)B'的y坐标 = O的y坐标 - (B的x坐标 - O的x坐标)C'的x坐标 = O的x坐标 + (C的y坐标 - O的y坐标)C'的y坐标 = O的y坐标 - (C的x坐标 - O的x坐标)D'的x坐标 = O的x坐标 + (D的y坐标 - O的y坐标)D'的y坐标 = O的y坐标 - (D的x坐标 - O的x坐标)2. 题目二：给定一个三角形ABC和一条直线L，顺时针旋转三角形ABC，使旋转后的三角形的一个顶点与直线L重合，求旋转后的其他两个顶点的坐标。

解答：设直线L与三角形ABC的某一顶点A重合，旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC具有相同的边长和形状。

首先求旋转后的顶点B'的坐标。

根据旋转变换的定义，点B'是点B 绕着点A逆时针旋转后的位置。

几何变换练习题进行平移旋转对称与缩放的几何变换几何变换练习题：进行平移、旋转、对称与缩放的几何变换在几何学中，平移、旋转、对称与缩放是常见的几何变换方式。

通过这些变换，我们可以改变图形的位置、方向、形状和大小。

本文将为您提供一些练习题，帮助您巩固对平移、旋转、对称和缩放的理解与应用。

平移变换练习题：1. 给定一个三角形ABC，将其平移使得顶点A到达点D(2,3)，顶点B到达点E(5,8)，请写出平移前后三角形的坐标，并计算平移向量的横纵坐标分量。

2. 给定一个矩形DEFG，将其平移使得顶点D到达原点O(0,0)，顶点E到达点A(2,4)，请写出平移前后矩形的坐标，并计算平移向量的横纵坐标分量。

旋转变换练习题：1. 给定一个正方形ABCD，以点A为中心，顺时针旋转90度，计算旋转后各顶点的坐标。

2. 给定一个长方形PQRS，以点P(2,3)为中心，逆时针旋转45度，计算旋转后各顶点的坐标。

对称变换练习题：1. 给定一个三角形ABC，以边BC为对称轴，求三角形的对称图形A'B'C'的坐标。

2. 给定一个矩形DEFG，以点D为对称中心，求矩形的对称图形D'E'F'G'的坐标。

缩放变换练习题：1. 给定一个三角形ABC，以点A为中心，缩放比例为2，求缩放后各顶点的坐标。

2. 给定一个长方形PQRS，以点P(3,5)为中心，缩放比例为0.5，求缩放后各顶点的坐标。

解答：平移变换练习题：1. 平移前的三角形ABC的坐标为：A(0,0)，B(1,2)，C(3,1)。

平移向量的横纵坐标分量为dx=2，dy=3。

平移后的三角形的坐标为：A(2,3)，B(3,5)，C(5,4)。

2. 平移前的矩形DEFG的坐标为：D(1,2)，E(3,2)，F(3,4)，G(1,4)。

平移向量的横纵坐标分量为dx=-1，dy=-2。

平移后的矩形的坐标为：D(0,0)，E(2,0)，F(2,2)，G(0,2)。

几何变换练习题几何变换是数学中常见的一种操作，通过对几何图形进行平移、旋转、镜像和缩放等变换，可以得到新的几何图形。

这些变换不仅在数学中有着重要的应用，也广泛应用于计算机图形学、建筑设计、艺术等领域。

本文将为读者提供一些几何变换的练习题，帮助读者巩固和加深对几何变换的理解和应用。

1. 平移变换练习题平移是将一个几何图形沿着平行于某个方向的轴线上各点同时移动相等的距离，保持各点之间的相对位置不变。

现有一个正方形ABCD，坐标如下：A(1, 2), B(3, 2), C(3, 4), D(1, 4)请将这个正方形向右平移2个单位并向下平移3个单位，求平移后正方形的新坐标。

2. 旋转变换练习题旋转是将一个几何图形绕着某个点或某个轴线进行旋转，使得旋转后的图形与原图形相似。

现有一个三角形ABC，坐标如下：A(2, 3), B(5, 2), C(4, 5)请将这个三角形以点A为中心顺时针旋转45°，求旋转后三角形的新坐标。

3. 镜像变换练习题镜像是将一个几何图形关于某个轴线或某个点进行对称，保持形状和大小不变。

现有一个四边形ABCD，坐标如下：A(1, 2), B(4, 2), C(4, 5), D(1, 5)请将这个四边形关于x轴进行镜像，求镜像后四边形的新坐标。

4. 缩放变换练习题缩放是通过改变几何图形的各边长度的比例，进行放大或缩小的变换。

现有一个矩形ABCD，坐标如下：A(2, 3), B(6, 3), C(6, 6), D(2, 6)请将这个矩形以点C为中心进行放大，并使长边放大为原来的2倍，短边放大为原来的3倍，求缩放后矩形的新坐标。

通过完成以上几何变换练习题，读者可以加深对几何变换的理解和应用。

这些练习题涵盖了平移、旋转、镜像和缩放这四种常见的几何变换操作，帮助读者熟悉和掌握每种变换的规律和技巧。

在解答这些练习题的过程中，读者可以通过计算和推导得到每种变换的具体变换公式，从而更好地理解和运用几何变换。