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二、图形的平移、旋转与轴对称1.图形的平移●平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定距离的图形运动。
●平移两要素：平移的方向、平移的距离●平移前的图形：画虚线；箭头：表示平移的方向；平移后的图形：画实线。
●注意：平移几格不是原图形与平移后图形之间的格数，而是指图形的对应点之间的格数。
●关键点：一般是图形的各顶点或线段的交点。
●注意：平移前后，图形的大小、形状、方向都不变，只是位置变了。
●画平移后图形的方法：①找关键点②定平移方向、距离③找对应点④依次连线。
2.图形的旋转●旋转的定义：旋转是指在平面内，将某个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度的图形运动。
这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。
●旋转三要素①旋转中心：点/轴②旋转方向：顺时针方向/逆时针方向③旋转角度●怎样描述图形的旋转：将某图形绕某点沿某时针方向旋转某度到某位置。
●画旋转后图形的方法：①找旋转中心②找准关键线段③旋转关键线段④画出旋转后的图形●旋转中心：一般是两个图形的公共点●关键线段：过旋转中心的线段。
为了保证旋转角度，一般选与方格纸重合的线段作为关键线段。
●注意：旋转前后，图形的大小、形状都不发生改变，但位置和方向一般会发生变化。
3.轴对称图形●定义：轴对称图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴（对称轴画虚线，画超出图形）。
●轴对称图形至少有一条对称轴。
●轴对称图形中每一组对称点到对称轴的距离相等。
●轴对称图形中对称点的连线与对称轴互相垂直。
●轴对称图形和对称轴的数量：①正方形（4条对称轴）②长方形（2条对称轴）③等腰三角形（1条对称轴）④等边三角形也叫正三角形（3条对称轴）⑤菱形（2条对称轴）⑥圆形（无数条对称轴）⑦等腰梯形（1条对称轴）⑧五角星（5条对称轴）⑨正五边形（5条对称轴）●生活中的轴对称图形或轴对称现象：京剧脸谱、剪纸、国徽、天坛、北京故宫、凯旋门、蝴蝶、空调、人的五官和身体等●画对称轴的方法：①找一组对应点②画对应点间线段的中垂线③画虚线●画轴对称图形另一半的方法：①找关键点②定对称点③依次连线（一般画虚线）4.设计图案●利用平移设计图案的方法：①选好基本图形②确定平移的方向③确定平移的距离④进行多次平移●利用旋转设计图案的方法：①选和基本图形②确定旋转方向和角度③确定旋转中心④依次画出每次旋转后的图形●利用轴对称设计图案的方法：①选好基本图形②确定对称轴③画出基本图形的另一半5.探索规律●观察图形变化时，先确定变化方式（平移、旋转或轴对称），再确定位置变化的规律。
平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质平移、旋转和对称是几何学中重要的概念和操作。
它们是描述和变换图形位置和形状的基本工具。
本文将详细介绍平移、旋转和对称的定义及其性质。
一、平移的定义与性质平移是指将一个图形沿着一定方向移动一定距离，而不改变其形状和方向。
下面是平移的定义与性质：定义：平移是指将一个图形中的所有点，按照同样的方向和距离，同时保持相对位置的变换操作。
性质：1. 平移不改变图形的大小、形状和方向。
2. 平移后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 平移是一个向量运算，可以用向量表示平移的方向和距离。
4. 任意两个平移可以合成为一个平移。
二、旋转的定义与性质旋转是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定角度，使得旋转后的图形与原图形相似但方向和位置发生变化。
下面是旋转的定义与性质：定义：旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，使得旋转前后图形中的对应点的距离保持不变。
性质：1. 旋转不改变图形的大小、形状和方向。
2. 旋转后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。
4. 旋转是一个变换操作，可以用旋转中心和旋转角度来描述。
三、对称的定义与性质对称是指将一个图形分割成两个部分，使得两个部分关于某条直线、点或中心对称。
下面是对称的定义与性质：定义：对称是指将一个图形按照某个轴线或点进行折叠或旋转，使得折叠或旋转后的图形与原图形重合。
性质：1. 对称不改变图形的大小、形状和方向。
2. 对称后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 图形关于对称轴对称时，对称轴上的点不动；图形关于对称中心对称时，对称中心不动。
4. 对称操作是可逆的，即对称两次会得到原来的图形。
综上所述，平移、旋转和对称是几何学中常用的图形变换操作。
它们各自有着特定的定义和性质，可以描述和变换图形的位置和形状。
理解和掌握平移、旋转和对称的定义与性质，将有助于我们在解决几何问题和应用几何知识时进行准确的操作和分析。
图形旋转定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
图形旋转性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转对称中心把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
（旋转角大于0°小于360°）平移定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移是图形变换的一种基本形式。
平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。
平移基本性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（3）多次连续平移相当于一次平移。
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向和距离决定的。
这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
平移的三个要点1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2 平移的方向。
（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3 平移的距离。
（长度，如7厘米，8毫米等）平移作用：1.通过简单的平移可以构造精美的图形。
也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。
2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。
《平移、旋转和轴对称》教案第一章节：平移1.1 学习目标：了解平移的定义和特点，学会用平移的方法进行图形的变换。
1.2 教学内容：1.2.1 平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动称为平移。
1.2.2 平移的特点：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
1.3 教学步骤：1.3.1 引入：通过展示图片，让学生观察图片中物体的运动，引导学生发现平移的现象。
1.3.2 讲解：讲解平移的定义和特点，让学生理解平移的概念。
1.3.3 实践：让学生动手进行图形的平移操作，巩固对平移的理解。
1.3.4 总结：通过实例总结平移的特点，加深学生对平移的理解。
1.4 作业布置：让学生运用平移的方法，设计一个图形变换的图案。
第二章节：旋转2.1 学习目标：了解旋转的定义和特点，学会用旋转的方法进行图形的变换。
2.2 教学内容：2.2.1 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形运动称为旋转。
2.2.2 旋转的特点：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置和方向。
2.3 教学步骤：2.3.1 引入：通过展示图片，让学生观察图片中物体的运动，引导学生发现旋转的现象。
2.3.2 讲解：讲解旋转的定义和特点，让学生理解旋转的概念。
2.3.3 实践：让学生动手进行图形的旋转操作，巩固对旋转的理解。
2.3.4 总结：通过实例总结旋转的特点，加深学生对旋转的理解。
2.4 作业布置：让学生运用旋转的方法，设计一个图形变换的图案。
第三章节：轴对称3.1 学习目标：了解轴对称的定义和特点，学会用轴对称的方法进行图形的变换。
3.2 教学内容：3.2.1 轴对称的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3.2.2 轴对称的特点：轴对称图形对称轴两侧的部分完全相同。
3.3 教学步骤：3.3.1 引入：通过展示图片，让学生观察图片中物体的对称现象，引导学生发现轴对称的概念。
图形变换：平移旋转对称位似初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。
这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。
其中前四种变换还不改变图形的大小。
下面，让我们逐一回顾与归纳。
▲一、平移1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。
）2、平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。
（提示：平移的性质也是平移作图的依据。
）3、用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a（a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b（b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。
▲二、轴对称变换1、轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。
）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。
2、轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。
（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
图形的基本变换——平移、旋转和轴对称一、教学目标：（1）能借助图形识别平移、旋转和轴对称三种基本变换的异同；（2）能利用平移、旋转和轴对称三种变换认识基本图形并解决图形中的问题。
二、教学重点与难点重点：利用变换认识图形的能力训练； 难点：应用变换找规律的能力训练。
三、教学过程： 1、借助图形，识别变换如图，长方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ，那么△ABD可以看作是由△__________旋转得到，旋转中心是_______，△DEC 可以看作是由△__________经过 变换得到；有没有与△DEC 成轴对称的三角形？中心对称呢？图中还有没有其它类似的图形变换？ 通过回顾图形的三种变换，归纳总结如下ABCE（意图：通过改编教材中的一道练习题，以题引入，借助图形帮助学生回顾图形的三种变换以及识别变换的异同）2、训练与探索环节1：动手练习，明确变换1. 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．右图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心【】．(A)顺时针旋转60°得到(B)顺时针旋转120°得到(C)逆时针旋转60°得到(D)逆时针旋转120°得到2.下列各图中，不是中心对称的是【】．3. 将一张正方形纸片沿一对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，把得到的图形(如图)沿虚线剪开，打开阴影部分并铺平，此图形有条对称轴。
4．如图（1），将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分A ′C =2cm ，则它移动的距离AA ′等于________cm ．（意图：设置简单的新颖的直接反映某一知识点的题目，让学生通过训练，达到对知识点回顾的目的，明确变换的观点） 环节2：更上层楼，运用变换1．如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A ＇P ＇B ，且BP =2，那么PP ＇的长为____________.2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝35°，以直角顶点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A'B'C 的位置，其中A'、B' 分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A'B'上，则∠A'CB 的度数是_______.3. 如图（1），将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个纸片绕点B 顺时针旋转30°，则重叠部分的面积为_______cm 2．（意图：题目难度就环节1略有提高，用变换来识别图形，力求通过题目反映利用图形变换解题技巧和优势。
什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的的方向什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的的方向和距离？如何确定旋转角度和旋转中心？（1）什么是平移、旋转、轴对称？平移：一个图形在平面内沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。
旋转：一个图形在平面内绕着一个固定点转动一定角度，这样的图形运动叫旋转，这个固定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角度。
轴对称：如果一个平面图形，沿着某一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线叫对称轴。
互相重合的点叫对称点。
（2）如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？在学习中，学生可能会问到摩天轮的运动、窗帘的拉动、门的转动、荡秋千、钟摆等生活现象算不算旋转。
回答这些具体的问题，教师首先需要理解轴对称、平移和旋转的概念——在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，也叫做合同变换。
如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，即原来的图形中，任意两点的距离假设是l的话，经过变换后的两点之间的距离仍是l，所以全等变换是一个保距变换，而且由于距离保持不变，图形整体的形状、大小，都可以证明仍然是保持不变的。
全等变换有几种方式。
我们可以想象一下两个完全一样的图形，要由一个图形的运动得到另一个图形，可以作怎样的运动呢？可以是平移。
除此以外呢？比如两个三角形有一顶点重合，那么有两种情况：一种是这两个三角形的三个顶点顺序是一致的，这时其中一个经过旋转就能与另一个重合；还有一种是顶点的顺序相反，这时将其中一个反射（翻折）就能得到另一个。
上面的变换就是平移、旋转和反射变换，它们是三种基本的全等变换。
反射变换也叫做轴对称变换，即一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形成轴对称。
一、选择题1. （2015江苏徐州，6，3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A.直角三角形B.正三角形C.平行四边形D.正六边形【答案】B【解析】：A.直角三角形不是轴对称图形也不是中心对称图形；B.正三角形只是轴对称图形；C.平行四边形只是中心对称图形； D.正六边形是轴对称图形也是中心对称图形.故选B2. （2015省市，3，分）一张菱形纸片按图1-1、图1-2一次对折，再按图1-3打出1个圆形小孔．展铺平后的图案是（ ）【答案】C【解析】解：打孔时，小孔距离铅垂对角线近，水平对角线远，且由折纸知道是对称的，因此C 选项正确，故选C ．3. （2015河北省，15，2分）如图7，点A 、B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对于下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是（ ） A ．②③ B ．②⑤ C ．①③④ D ．④⑤ 【答案】B【解析】解：①线段MN 是△PAB 的中位线，所以MN 的长度是AB 的一半；②点P 移动过程中，PA 、PB 的长度都会发生变化，因此△PAB 的周长也会发生改变；③△PMN 的面积始终是△PAB 的14，不会发生变化；④MN 与AB 之间的距离始终等于△PAB 的高的一半，不会变化；⑤∠APB 会发生变化，故会发生变化的有②⑤，故选B ．4. （2015山东省莱芜市，6，3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是A．B．D．【答案】D 【解析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义即可知5. （2015湖南省邵阳市，10题，3分）如图（七），在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A. 2015πB. 3019.5πC. 3018πD. 3024π图（七）【答案】D【解析】旋转4次是一个循环，其中前三次旋转，第四次是绕A 点旋转，点A 不移动距离，每一个循环，所转过的弧长之和是904905903180180180πππ⨯⨯⨯++= 9012180π⨯= 6π，2015=4×503＋3，因此 连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是503×6π＋6π=3024π，答案选择D.6（2015四川省雅安市，4，3分）下列大写英文字母既可以看成是轴对称图形又可以看成是中心对称图形的是（ ） l图7【答案】A【解析】解：根据轴对称图形、中心对称图形的定义判断.故选A.7.（2015哈尔滨市，3，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】D【解析】A是轴对称图形，不是中心对称图形；B是轴对称图形，不是中心对称图形；C中心对称图形，不是轴对称图形；D既是轴对称图形又是中心对称图形8.（2015哈尔滨市，9，3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'(点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C')，连接CC'，若∠CC'B'=32°，则∠B的大小是( ).(A) 32°(B) 64°(C) 77°(D) 87°【答案】C【解析】由旋转的性质可知：AC=AC′，∠CAC′=90°,∠B=∠B′∴∠ACC′=∠AC′C=45°∴∠B′=∠ACC′+∠CC'B'=45°+32°=77°.∴∠B=77°.9（2015北京，4，3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A B C D【答案】D【解析】解：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，以上四个选项只有D符合．故选D．.10.(2015年山西省)晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图案但不是轴对称图形的是（）答案：B11. (2015广东省，5，3分)下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形【答案】A【解析】本题既考查了中心对称图形、轴对称图形概念的掌握，也考查了矩形、平行四边形、正五边形和正三角形相关性质的理解。
解答这类问题时，需要对各个支项逐一加以分析、讨论。
显然，平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。
因此，本题选A。
12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39二、填空题1.（2015四川省攀枝花市，15，4分）如图5，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为.【答案】7【解析】解：将△ABC沿着AC对称，B点对称点为B’，则四边形ABCB’为菱形，连接DB’，则DB’即为BE+DE 的最小值.再通过勾股定理可以求得.2.（2015湖北武汉，16，3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________【解析】分别作点M关于OB的对称点M’,点N关于OA的对称点N’,则线段M’N’的长就是MP＋PQ＋QN的最小值，因为OM’=1，ON’=3，∠M’ON’=90°,所以M’N’3.（2015河南省，15，3分）如图，正方形ABCD的边长为16，点E在边AE上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠.点B落在B'处，若△CD B'恰为等腰三角形，则D B'的长为.【答案】164.（2015广西省河池市，12，3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(-2，5)的对应点A′的坐标是第17题图【答案】（5，2）【解析】分别过点A作y轴的垂线，垂足为点C；过点A′作x轴的垂线，垂足为点C′，如图所示，易知△OAC≌△OA′C′，∴A′(5，2)第17题答案图5. (2015年山西省)如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D’，点C6(2015湖北随州市，16，3分)在□ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在□ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为________．【答案】6或4【解析】按△AB′D中的直角分类:①当∠B′AD＝90°时，如答图1，∵∠B′DA＝∠DAC＝∠B＝30°，AB′＝AB=∴BC＝AD＝6．如答图2，∵∠AB′D＝∠B＝30°，AB′＝AB=∴BC＝AD＝2．②当∠AB′D＝90°时，如答图3，∵∠B′AD＝∠B＝30°，AB′＝AB=∴BC＝AD＝4．③当∠ADB′＝90°时，如答图4，∵∠DAB′＝∠AB′C＝∠B＝30°，AB′＝AB=∴BC＝AD＝3．∵AB＜BC，∴BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形．故答案为：6或4．答图1 答图2 答图3 答图47.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39三、解答题1.（2015福建省厦门市，18，7分）在平面直角坐标系，已知点A（-3,1），B（-2,0），C（0,1），请在图7中画出△ABC，并画出△ABC关于原点O对称的图形。
【答案】略【解析】画图略2. (2015湖北随州市，24，10分)(本题满分10分)问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图(1)证明上述结论．[类比引申]如图(2)四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足________关系时，仍有EF＝BE＋FD．[探究应用]如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长( 1.73)．第24题图【答案】(1)EF＝BE＋FD；(2)∠EAF＝12∠BAD；(3)109【解析】(1)将△ABE绕点A顺时针方向旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AC，BE＝DG，在正方形ABCD中，∠B＝∠ADF＝90°，∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即点G、D、F在一条直线上，在△EAF和△GAF中45AG AE EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△GAF ，∴EF ＝GF ，又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD ．(2)∠EAF ＝12∠BAD ，理由如下： 将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转∠DAB 至△ADG ，使AB 与AD 重合，∴△ABE ≌△ADG ，∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，AE ＝AC ，BE ＝DG ， 在四边形ABCD 中，∠B ＋∠ADF ＝180°，∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上，在△EAF 和△GAF 中12AG AE EAF GAF BAD AF AF=⎧⎪⎪∠=∠=∠⎨⎪=⎪⎩，∴△EAF ≌△GAF ， ∴EF ＝GF ，又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD ．(3)连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ，Rt △AOD 中，∠ODA ＝60°，∠OAD ＝30°，AD ＝80，∴AO＝OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋1)＝∴AO ＝OF ，∴∠OAF ＝45°，∴∠DAF ＝45°－30°＝15°，∴∠EAF ＝90°－15°＝75°，∴∠EAF ＝12∠BAD ． 由[类比引申]的结论可得EF ＝BE ＋DF ＝1)≈109．3.4.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39。
