2023北京十四中高一（上）期中数 学2023.11出题人：高一备课组 审核人：高一备课组注意事项1．本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．答题不得使用任何涂改工具.第一部分一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ）A. {}2x x ≤ B. {}1x x ≥- C. {}1x x >- D. {}x x >2. 方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）A.()(){}1,1,1,1--- B.()(){}1,1,1,1-C. ()(){}1,1,1,1-- D. ∅3. 已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（ ）A. 1x ∀>，210x ->B. 1x ∀>，210x -≤C. 1x ∃>，210x -≤ D. 1x ∃≤，210x -≤4. 设,,R a b c ∈，且a b >，则（ ）A. 22ac bc > B.11a b< C. 22a b > D. 33a b >5. 已知0x >，0y >，22x y +=，则xy 的最大值是（ ）A.14B. 12C.49D. 16. 已知11x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么()2f =（ ）A. -1B. 12-C. 12D. 17. 函数()21f x x x=-的零点个数是（ ）A.0B. 1C. 2D. 38. 已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设函数()24,4,1, 4.2x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞ B. []1,4 C. [)4,+∞ D. (][),14,-∞⋃+∞10. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A. 123x x x >>B. 132x x x >>C. 231x x x >>D. 321x x x >>第二部分二、填空题共5小题．11.函数1()f x x=+的定义域为________．12. 若关于x 的方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，则实数=a ______．13. 已知函数()3,0,1,0.1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩若()02f x =，则实数0x =______；函数()f x 的值域为______14. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1．能够说明“若()f x 在区间[]0,1上的最大值为()1f ，则()f x 是增函数”为假命题的一个函数是_________．15. 调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg ，则额外奖励x 分（x 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x =时，若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 的最大值为___________.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 设全集U =R ，集合{}250A x x x =+>，集合{}4B x x m =-<，其中R m ∈．（1）当2m =时，求A B ⋂，()U A B ð；（2）若BA ⊆，求m 的取值范围．17. 已知函数()226f x x ax a =-++，其中R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象与直线5y x =交点的坐标；（2）若函数()f x 有两个不相等的负实数零点，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 在()2,+∞上不单调，求a 的取值范围．18. 已知a ，b 都是正实数，（1）试比较33+a b 与22ab a b +的大小，并证明；（2）当1a b +=时，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．19. 已知函数()261xf x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数()f x 在()0,1上单调递增；（3）画出函数()f x 的图像，并直接写出函数()f x 的值域．20. 某机床厂今年年初用98万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （N x *∈，单位：年）之间的函数关系式为：2210t x x =+．该机床每年的生产总收入为50万元．设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）使用若干年后，对该机床的处理方案有两种：①当盈利额达到最大值时，以12万元价格再将该机床卖出．②当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格再将该机床卖出；研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．21. 设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．参考答案第一部分一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】利用并集的定义可求A B ⋃.【详解】[)1,A B =-+∞ ,故选：B 2. 【答案】C【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可.【详解】由2202x y x y +=⎧⎨+=⎩，消去x 得222y =，解得1y =±，所以方程组的解为11y x =⎧⎨=-⎩或11y x =-⎧⎨=⎩，所以方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集()(){}1,1,1,1--.故选：C 3. 【答案】B【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B 4. 【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，以及函数3y x =的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0c =时，可得22ac bc =，所以A 不正确；对于B 中，由11b a a b ab--=，因为a b >，则0b a -<，但ab 符号不确定，所以B 错误；对于C 中，例如1,2a b ==-，可得22a b <，所以C 错误；对于D 中，由函数3y x =为单调递增函数，所以33a b >，所以D 正确.故选：D.5. 【答案】B【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于0x >，0y >，22x y +=，所以22x y +=≥，故12xy ≤，当且仅当2x y =，即11,2y x ==时等号成立，故选：B 6. 【答案】D【分析】根据题意，令12x =，代入即可求解.【详解】由函数11x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，令12x =，可得()1221112f ==-.故选：D.7. 【答案】B【分析】令()0f x =求出方程的解，即可判断.【详解】令()0f x =，即210x x-=，解得1x =，所以函数()21f x x x=-有且仅有一个零点1.故选：B 8. 【答案】B【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.【详解】若()2f x x =，则()00f =，此时()f x 为偶函数，充分性不成立；若()f x 为奇函数，且其定义域为R ，则()00f =恒成立，必要性成立；∴函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.9. 【答案】D【分析】根据函数图象即可求解.【详解】作出函数的图象如下：当12a +≤时，即1a ≤，()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，当4a ≥时，()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，故a 的取值范围为(][),14,-∞⋃+∞，故选：D10. 【答案】C【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．【详解】依题意，有13350555x x x =+-=-，所以13x x <，同理，211302010x x x =+-=+，所以12x x <，同理，32230355x x x =+-=-，所以32x x <，所以132x x x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．第二部分二、填空题共5小题．11. 【答案】(,0)(0,2]-∞ 【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则200x x -≥⎧⎨≠⎩，故2x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为(,0)(0,2]-∞ ，故答案为：(,0)(0,2]-∞ .12. 【答案】1-【分析】设方程的两根分别为12,x x ，结合二次函数的性质得到1212,x x a x x a +==，且a<0或4a >，再由方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，列出方程，即可求解.【详解】设20x ax a -+=的两根分别为12,x x ，可得1212,x x a x x a +==，且22()440a a a a ∆=--=->，解得a<0或4a >，因为方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，所以2222121212()223x x x x x x a a +=+-=-=，解得1a =-或3a =（舍去），所以1a =-.故答案为：1-.13. 【答案】 ①. 1- ②. (],3-∞【分析】根据分段函数的性质，令032x +=、0121x =+解之即可；结合33(0)x x +≤≤和101(0)1x x <<>+即可求出函数的值域.【详解】当00x ≤时，032x +=，解得01x =-；当00x >时，0121x =+，解得012x =-（舍去），所以01x =-；当0x ≤时，33x +≤；当0x >时，1011x <<+，所以函数()f x 的值域为(,3]-∞.故答案为：1-；(,3]-∞.14. 【答案】()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈（答案不唯一）【分析】利用二次函数的性质写出一个函数即可【详解】对于函数()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()()1014f f ==，所以()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()1014f f ==，但是函数在[]0,1上不具有单调性，故命题“若()f x 在区间[]0,1上的最大值为()1f ，则()f x 是增函数”为假命题.故答案为：()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈（答案不唯一）15. 【答案】 ①. 13 ②. 36【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以0.1可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元，分0100t ≤<、100t ≥两种情况讨论，计算()f t 的表达式，结合()0.340.4f t t ≤⨯可求得x 的最大值.【详解】①若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，则该家庭月底的积分为12010130+=分，故该家庭该月积分卡能兑换1300.113⨯=元；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元.若0100t ≤<时，()0.10.340.40.136f t t t t =<⨯=恒成立；若100t ≥时，()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯，可得()min 0.3636x t ≤=.故x 的最大值为36.故答案为：①13；②36.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）{}06A B x x ⋂=<<，(){}56U A B x x ⋃=-≤<ð （2）{9m m ≤-或}4m ≥【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A ，解绝对值不等式求出集合B ，再根据集合的运算法则计算可得；（2）由B A ⊆，可得45m +≤-或40m -≥，解得即可.【小问1详解】由250x x +>，即()50x x +>，解得0x >或5x <-，所以{5A x x =<-或}0x >，则{}50U A x x =-≤≤ð，由4x m -<，即44x m -<-<，解得44m x m -<<+，所以{}44B x m x m =-<<+，当2m =时，{}26B x x =-<<，所以{}06A B x x ⋂=<<，(){}56U A B x x ⋃=-≤<ð.【小问2详解】因为{}44B x m x m =-<<+且B A ⊆，所以45m +≤-或40m -≥，解得9m ≤-或4m ≥，即m 的取值范围为{9m m ≤-或}4m ≥.17. 【答案】（1）()2,10，()3,15 （2）{}62a a -<<- （3）{}2a a >【分析】（1）由0a =得()265f x x x =+=，解方程即可；（2）利用转化的思想可知方程()0f x =有两个不相等的负实数根12,x x ，进而()21212Δ44606020a a x x a x x a ⎧=-+>⎪=+>⎨⎪+=<⎩，解之即可；（3）根据二次函数的性质可得2a >，即可求解.【小问1详解】当0a =时，()26f x x =+，由()265f x x x =+=，即2560x x -+=，解得12x =，23x =所以函数()f x 的图象与直线5y x =的交点为()2,10，()3,15；【小问2详解】若函数()f x 有两个不相等的负实数零点12,x x ，则方程()0f x =有两个不相等的负实数根12,x x ，有()21212Δ44606020a a x x a x x a ⎧=-+>⎪=+>⎨⎪+=<⎩，解得62a -<<-所以a 的取值范围是{}62a a -<<-；【小问3详解】依题意：二次函数()226f x x ax a =-++的对称轴方程为x a =，则2a >，即a 的取值范围是{}2a a >．18. 【答案】（1）3322a b ab a b +≥+，证明见详解 （2）证明见详解【分析】（1）利用做差法可得答案；（2）利用基本不等式可得答案．【小问1详解】结论：3322a b ab a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立.证明：()()()()33223232a baba b a ab b a b+-+=-+-()()()()22222a a b b b a a b a b =-+-=+-，因为a ，b 都是正数，所以()()20a b a b +-≥，当且仅当a b =时，等号成立，即3322a b ab a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立；【小问2详解】因为a ，b ，c 都是正数，且1a b +=，所以11111122a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5259b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立．19. 【答案】（1）()f x 是奇函数，证明见详解 （2）证明见详解 （3）图像见详解，[]3,3-【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）根据函数单调性的定义即可求解，（3）根据描点法即可求解.【小问1详解】函数()f x 是奇函数，证明如下：函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()2266()11x xf x f x x x ---===--++所以函数()f x 是奇函数．【小问2详解】任取1x ，()20,1x ∈且12x x <则()()()()()()211212122222121261661111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为1201x x <<<，所以210x x ->，1210x x -<，即()()()()2112221261011x x x x xx --<++从而()()12f x f x <所以函数()f x 在()0,1上单调递增【小问3详解】由于()()()()11212900,,13,2,32555f f f f f ⎛⎫=====⎪⎝⎭，故描点可得图象为，函数()f x 的值域为：[]3,3-20. 【答案】（1）224098,(N )y x x x *=-+-∈ （2）3（3）方案（2）比较合理，理由见详解【分析】（1）根据题意，即可得到使用x 年后数控机床的盈利额为y 的函数关系式；（2）由（1）中y 与x 之间的函数关系式，令0y >，列出不等式，即可求解；（3）根据题意，求得每种方案的总盈利，比较大小，即可得到结论.【小问1详解】解：由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和t 与使用时间x 之间的函数关系式为2210t x x =+，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元，可得y 与x 之间的函数关系式()22502109824098,(N )y x x x x x x *=-+-=-+-∈．【小问2详解】解：由（1）知：2*24098,()y x x x =-+-∈N令0y >，可得2240980x x -+->，解得1010x -<<+，因为N x *∈，所以317x ≤≤且N x *∈，故从第3年开始盈利.【小问3详解】解：由（1）知2*24098,()y x x x =-+-∈N 因为22240982(10)102102y x x x =-+-=--+≤，所以按第一方案处理总例如为10212114+=万元；又由98982404024012yx x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当982x x =时，即7x =时，等号成立，所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12730114⨯+=万元；由于第二方案使用的时间短，则选第二方案较为合理.21. 【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7 （3）不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
