紊流理论(紊流模型)
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北航水力学 第六章 层流紊流及其水头损失
非均匀流：当流动截面大小、 形状和方位沿流向有急剧改变 时，如突扩、突缩、弯管等区 域，流动截面上运动参数也随 流程而急剧变化的流动。 局部阻力：非均匀流在局部区域 内产生的阻力。 局部损失：局部阻力所引起流体 能量损失。
局部阻力系数
6.2.2 沿程水头损失与切应力的关系
边界面上切应力 ---------
和流体密度
成反比,而与流体的动力 粘
为比例常数,其值视流动的边界条件而定。 干扰的情况有关。
还与水流流动受外界
是个无量纲数，称为雷诺数Re c 称为下临界雷诺数Re 称为上临界雷诺数
雷诺数是判别流动形态的准则。对于同一边界形状的流动，下临界 雷诺数是一个固定的常数。
上临界雷诺数Re’cr：层流 －> 紊流
当B管中平均流速达到某一值时，层流开始转变紊流 —— 临界状态(临界区)。 临界状态：流束发生动荡、分散、个别地方出现中断。
(c) 再稍开大阀门C：B管中流速超过临界值VK’，则有色液体不再呈 现流束动荡和分散中断，而破碎掺混变成一种紊乱的流动状态，有色流 体质点布满B管中—紊流。 紊流：流体质点既有轴向运动，又有瞬息变化的径向运动，流体质点有大 量的交换混杂，破坏了流线运动。
速度场和压力场都是随机的 紊流的运动不能作为时间和空间坐标的函数描述 可以用统计的方法得出速度、压力、温度等量的平均值
2 紊流扩散
6-3-2湍流输运 1 6-3-3湍流输运 2
分子扩散 ------分 子 热 运 动
有限大小的流体 的扩散 ------湍 流 脉 动
层流
湍流
紊流扩散性是所有紊流运动的另一重要特征 紊流混掺扩散增加了动量、热量和质量的传递率，例如紊 流中沿过流断面上的流速分布，就比层流情况下要均匀的多。
局部阻力系数
6.2.2 沿程水头损失与切应力的关系
边界面上切应力 ---------
和流体密度
成反比,而与流体的动力 粘
为比例常数,其值视流动的边界条件而定。 干扰的情况有关。
还与水流流动受外界
是个无量纲数，称为雷诺数Re c 称为下临界雷诺数Re 称为上临界雷诺数
雷诺数是判别流动形态的准则。对于同一边界形状的流动，下临界 雷诺数是一个固定的常数。
上临界雷诺数Re’cr：层流 －> 紊流
当B管中平均流速达到某一值时，层流开始转变紊流 —— 临界状态(临界区)。 临界状态：流束发生动荡、分散、个别地方出现中断。
(c) 再稍开大阀门C：B管中流速超过临界值VK’，则有色液体不再呈 现流束动荡和分散中断，而破碎掺混变成一种紊乱的流动状态，有色流 体质点布满B管中—紊流。 紊流：流体质点既有轴向运动，又有瞬息变化的径向运动，流体质点有大 量的交换混杂，破坏了流线运动。
速度场和压力场都是随机的 紊流的运动不能作为时间和空间坐标的函数描述 可以用统计的方法得出速度、压力、温度等量的平均值
2 紊流扩散
6-3-2湍流输运 1 6-3-3湍流输运 2
分子扩散 ------分 子 热 运 动
有限大小的流体 的扩散 ------湍 流 脉 动
层流
湍流
紊流扩散性是所有紊流运动的另一重要特征 紊流混掺扩散增加了动量、热量和质量的传递率，例如紊 流中沿过流断面上的流速分布，就比层流情况下要均匀的多。
总结紊流模型
总结紊流模型引言紊流模型是研究流体力学中的一种重要模型。
紊流是流体运动中的一种不规则且无序的状态，其对流体的输运和混合过程具有重要影响。
紊流模型是为了研究和描述紊流行为而开发的一套数学模型和数值方法。
在本文中，我们将对紊流模型进行总结和介绍。
紊流模型的背景紊流是指流体运动中出现的一种混乱、不规则且无序的状态。
紊流行为对于理解和描述自然界中很多现象具有重要意义。
例如，在地球大气层中，气象学家需要研究和预测风场的紊流行为，以便预测天气和气候变化。
此外，在工程领域中，了解和控制液体和气体的紊流行为对于设计有效的流体输运系统和减小能量损耗也是至关重要的。
紊流模型的发展可以追溯到19世纪。
著名的物理学家奥斯特里奇尔首先提出了紊流的描述方法，他认为紊流是由无数个不同尺度的涡旋组合而成的。
随后，许多学者对紊流进行了深入研究，并提出了不同的理论和模型。
这些模型主要包括雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程模型、大涡模拟（LES）模型和直接数值模拟（DNS）模型等。
雷诺平均纳维-斯托克斯方程模型雷诺平均纳维-斯托克斯方程模型是最常用的紊流模型之一。
该模型基于平均流动场的假设，将流场分解为平均部分和涨落部分。
该模型利用雷诺应力项来描述涨落部分的影响，并采用一系列经验公式来计算涨落部分的动力学行为。
尽管RANS 模型已经广泛应用于各个领域，但由于其对涡旋的统计特性进行了平均化处理，因此无法准确描述流体中小尺度涡旋的空间和时间演化。
大涡模拟模型大涡模拟模型是一种介于RANS模型和DNS模型之间的紊流模型。
该模型利用滤波方法将流体运动分解为大尺度运动和小尺度运动，并采用过滤后的雷诺平均纳维-斯托克斯方程对大尺度运动进行求解，对小尺度运动进行模型化处理。
大涡模拟模型具有较好的精度和计算效率，因此在工程领域中得到了广泛应用。
直接数值模拟模型直接数值模拟模型是对紊流行为进行最准确描述的一种模型。
该模型通过离散化流体运动方程，并采用数值方法对其进行求解，可以直接获得流体中各个尺度的涡旋的空间和时间演化。
冯卡门大气紊流模型推导
冯卡门大气紊流模型推导介绍大气紊流是指地球大气中的湍流现象。
冯卡门大气紊流模型是描述大气中的湍流现象的模型。
冯卡门方程冯卡门方程是描述大气紊流的微分方程组。
它包括三个方程：连续性方程、Navier-Stokes方程和状态方程。
连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原则，可以表示为：∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0其中，ρ是空气密度，u是速度矢量。
Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程描述了动量守恒的原则，可以表示为：∂u ∂t +u⋅∇u=−1ρ∇P+ν∇2u+g其中，P是压力，ν是动力粘性系数，g是重力加速度。
状态方程状态方程描述了气体物理性质与状态之间的关系，通常可以表示为：P=ρRT其中，R是气体常数，T是温度。
大气边界层大气边界层是指大气中靠近地表的一层区域，受到地表摩擦力和大气条件的影响。
在大气边界层中，湍流是主要的运动形式。
大气边界层可以分为三个不同的区域：大气表面层、颠簸层和波动层。
大气表面层大气表面层是距离地表几百米的一层区域。
在大气表面层中，湍流强度较大，主要受到地表摩擦力的影响。
这个区域的湍流可以通过冯卡门大气紊流模型来描述。
颠簸层颠簸层是距离地表几百米到几千米的一层区域。
在颠簸层中，湍流强度逐渐减弱，主要受到大气条件的影响。
波动层波动层是距离地表几千米以上的一层区域。
在波动层中，湍流强度较小，主要受到大气条件和地形等因素的影响。
大气紊流模拟方法大气紊流模拟是通过数值模拟方法来研究大气中的湍流现象。
目前常用的大气紊流模拟方法包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和雷诺平均Navier-Stokes 方程模拟（RANS）等。
直接数值模拟（DNS）直接数值模拟是一种通过求解Navier-Stokes方程来模拟湍流的方法。
它可以精确地模拟湍流的细节，但需要消耗大量的计算资源。
大涡模拟（LES）大涡模拟是一种通过分解湍流流场为尺度较大的大涡和尺度较小的小涡来模拟湍流的方法。
高等流体力学-第四讲
uuj uuj p(u , uj )duduj i i i i
1）同一点上的两脉动速度相关系数（correlation coefficient）
Qij u ( x , t )uj ( x , t ) i
Rij
Qij u 2 uj 2 i
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
6
第四讲
紊（湍）流运动基础
二、基于统计理论的紊流运动方程
1、基本统计量 对不可压缩流动问题，基本未知量ui，p可认为是具有一定统计规律 的随机变量，即：可表示为
ui ui u i
p p p
其中上划线表示平均值，上ui’ 、p’表示脉动值，称为“涨落” （Fluctuation）。 （1）系综平均与时间平均 1）系综平均（ensemble average）
空间相关图示
R22 (r ) g (r )
u ( x1 )u ( x1 r ) 2 2
u 2 2
f(r) 、g(r )曲线
其中f(r) 、g(r) 存在关系
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
4
第四讲
紊（湍）流运动基础
（4）充分发展的紊流研究 紊流的发生：剪切层的存在—产生涡。（剪切层的类型图示）
对充分发展的紊流研究分类： 1）自由剪切紊流：剪切层由流速间断面引起，紊动发展 不受边壁的限制； 2）边壁剪切紊流：剪切层由边壁附着引起，紊动发展受 边壁限制。 3）均匀各向同性紊流：作为理论研究的假想模型。流动 中无速度梯度，也无剪切应力。
u i 0 x i
可得：
ui 0 x i
北京工业大学市政学科部——马长明
紊流基本方程及零、单方程模型
du du dy dy
数学模型 单方程模型（K模型）
u K K uj uiu j i t x j x j x j
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x j x j x j
ux
u y x
u y
u y y
uz
u y z
Fi
p 2u y y
uz u u u p ux z u y z uz z Fi 2uz t x y z z
运动方程
ui ui 2ui p u j Fi t x j xi x j x j
u p gh i x xi j
压能和位能的迁移变化率
u u j u i u j ui i ui x j xi x j x j xi
脉动动能变化率 产生项
ui ui p K u j K x x j x j j
扩散项 耗散项
ui Fi
浮力项
K Ck Dk Pk Bk t
紊流数学模型
零方程•单方程
运动方程
紊流时均的运动方程 雷诺方程（Reynolds equation）
基本方程
u u p i u j i F i t x j xi x j
Ⅰ
Ⅰ 动量的时间变化率 Ⅱ 动量的空间对流变化率 Ⅲ 质量力引起的动量变化率 Ⅳ 压强梯度引起的动量变化率 Ⅴ 分子粘性力引起的动量变化率
f g f g
af af
f g f g
第十章紊流
2017/9/30
西安交通大学流体力学课程组
8
时均法运算性质
设 f,
f ，g g 为紊流时均参数，
脉动参数， f ， g 为瞬时参数
(1)
f f
1 f T
T 2 T t 2 t
1 fd f T
T 2 T t 2 t
d f
时均值的时均值仍为原时均值
(2) f g f g
ui ui ui ui 2ui 1 p uj uj uj uiuj t x j x j x j x j xi x j x j
2017/9/30 西安交通大学流体力学课程组 21
脉动速度方程
瞬时量方程
ui ui 2 ui 1 p uj t x j xi x j x j
ui u 1 p uj i t x j xi x j ui u u i j x j
fg f g f g
f f x x
u j x j 0
ui ui ui 2 ui 1 p uj uj t x j x j xi x j x j
ui uj ( uiuj ) ui (u iuj ) x j x j x j x j
f f f
如
2017/9/30
u u u
p p p
7
西安交通大学流体力学课程组
紊流的时间平均法
严格来说，时均平均法只适用定常紊流，实际上已推广 用于非定常紊流 定常紊流是指时均特性不随时间变化的紊流流动 将紊流流动分为两部分，即：时均流动和脉动运动
时均流动代表主流，关注的重点是时均流动特性 脉动流动反映紊流的实质，对时均流动一切特性都产生 影响
紊流理论(紊流模型)
ui 0 – 根据 xi
u v 0 x y
2
– v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
du u v l dy
' ' 2
du 2 du du l t u v l dy dy dy
' '
d ( u) 2 du t m ,m l l u2 dy dy
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比： l ky ，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图） – 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
带入可得12121212121412ckkcck57ransu方向v方向58rans对于k方程如果第一内结点设臵在粘性底层内贴近壁面的地方k0但按壁面函数法的要求将第一内结点布臵在对数规律层那里k的产生与耗散都比向壁面的扩散大得多取壁面上k1153020040059rans为了克服壁面函数法和低re数模型的缺陷近年来发展了区域模型法
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
du dy
d u d u l, 2 2 dy 1 dy
2
1
2
d u 1 l 3 dy 2
2
3
– 卡门在分析时只取上式的第一项
du l dy
d u dy 2
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。 – 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。 – 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
u v 0 x y
2
– v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
du u v l dy
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雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比： l ky ，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图） – 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
带入可得12121212121412ckkcck57ransu方向v方向58rans对于k方程如果第一内结点设臵在粘性底层内贴近壁面的地方k0但按壁面函数法的要求将第一内结点布臵在对数规律层那里k的产生与耗散都比向壁面的扩散大得多取壁面上k1153020040059rans为了克服壁面函数法和低re数模型的缺陷近年来发展了区域模型法
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
du dy
d u d u l, 2 2 dy 1 dy
2
1
2
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3
– 卡门在分析时只取上式的第一项
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d u dy 2
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。 – 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。 – 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
紊流计算理论公式
湍流量的指定方法湍流强度I定义为相对于平均速度u_avg的脉动速度u^'的均方根。
小于或等于1%的湍流强度通常被认为低强度湍流，大于10%被认为是高强度湍流。
从外界，测量数据的入口边界，你可以很好的估计湍流强度。
例如：如果你模拟风洞试验，自由流的湍流强度通常可以从风洞指标中得到。
在现代低湍流风洞中自由流湍流强度通常低到0.05%。
.对于内部流动，入口的湍流强度完全依赖于上游流动的历史，如果上游流动没有完全发展或者没有被扰动，你就可以使用低湍流强度。
如果流动完全发展，湍流强度可能就达到了百分之几。
完全发展的管流的核心的湍流强度可以用下面的经验公式计算：例如，在雷诺数为50000是湍流强度为4%湍流尺度l是和携带湍流能量的大涡的尺度有关的物理量。
在完全发展的管流中，l被管道的尺寸所限制，因为大涡不能大于管道的尺寸。
L和管的物理尺寸之间的计算关系如下：l07L=.0其中L为管道的相关尺寸。
因子0.07是基于完全发展湍流流动混合长度的最大值的，对于非圆形截面的管道，你可以用水力学直径取代L。
如果湍流的产生是由于管道中的障碍物等特征，你最好用该特征长度作为湍流长度L而不是用管道尺寸。
注意：公式Ll07=并不是适用于所有的情况。
它只是在大多.0数情况下得很好的近似。
对于特定流动，选择L和l的原则如下：对于完全发展的内部流动，选择强度和水力学直径指定方法，并在水力学直径流场中指定L=D_H。
对于旋转叶片的下游流动，穿孔圆盘等，选择强度和水力学直径指定方法，并在水力学直径流场中指定流动的特征长度为L 对于壁面限制的流动，入口流动包含了湍流边界层。
选择湍流强度和长度尺度方法并使用边界层厚度d_99来计算湍流长度尺度l，在湍流长度尺度流场中输入l=0.4d_99这个值湍流粘性比m_t/m直接与湍流雷诺数成比例(Re_t?k^2/(e n))。
Re_t在高湍流数的边界层，剪切层和完全发展的管流中是较大的(100到1000)。
第五章 紊流基础
u = u + u′
p = p + p′
时间平均法运算性质
(1) f = f 1 f = T ( 2)
∫
T 2 T t− 2 t+
1 fdτ = f T
T 2 T t− 2 t+
∫
T 2 T t− 2 t+
dτ = f
f +g= f +g 1 f +g= T
∫
1 ( f + g )dτ = T
∫
T 2 T t− 2 t+
单位时间通过dA面上单位 面积流体的质量为：
′ ρ u1dA / dA
u′1 dA U
单位时间通过dA面上单位面 积流体的动量为：
′ ′ ρ u1 (U + u1 )dA / dA
′ ′ ρ u1 u2dA / dA
′ ′ ρ u1 u3dA / u1u1 ′ ′ ρ u1u2 ′ ′ ρ u1u3
湍流统计理论：
时间平均法 对任一物理量f (x，y，z，t)
1 f ( x, y , z , t ) = T f = f + f′
∫
T 2 T t− 2 t+
f ( x, y , z,τ )dτ
时间周期比流脉动周期大 得多，以便包含大量涨落 比宏观流动特征时间小得多，以便充分描述 时间值 f 随t的变化
（3）扩散性：流体的动能、动量及含有物浓度等通过紊动 向各个方向传递。 （4）三维有涡性：紊流是由各种不同尺度的大小涡旋组成 的三维复杂运动。 （5）大雷诺数 （6）连续性 （7）耗散性：机械能的粘性耗损
2 紊流的时间平均
湍流量的统计平均却有确定性的规律可循， 平均值在各次试验中可重复实现。 湍流脉动频率： 1～105 Hz 湍流脉动振幅： <10％ 平均速度
紊流
1 9 3 0 年 ， T. v o n 卡 门 提 出 了 紊 动 局 部 相 似 假 说 ， 他 假 定 ： 除 紧 靠 壁 面 区 域 外 ， 紊 动 的 机 理 和 流 体 的 粘 性 无 关 ， 在统计意义上，脉动流速场各点附近的局部范围内是彼此相似的，相互间只有长度和时间的尺度不同。由这两点 出发，他得出混合长紊流的统计理论 除可由纳维－斯托克斯方程出发研究紊流以外，还可以用处理随机现象的 统计方法来研究紊流。G.I.泰勒最早应用此法，他于1921年提出了同一空间点不同时刻脉动流速的相关概念，并 称其为拉格朗日相关或自相关。1935年他又提出了同一时刻不同空间点脉动流速相关的概念，也称为欧拉相关或 互相关。这两个相关系数分别表示如下：自相关系数式中，i、j可以为同一点的两个不同方向，也可以是不同点的 两个不同方向或相同方向。除了上述脉动流速间的二阶相关以外，还有脉动流速与脉动压强间的相关和脉动 流......
方程式组
对于充分发展的紊流特性的研究，大多数学者还是由纳维－斯托克斯方程式出发，将式中各量表示成为时均 量与脉动量之和（参见雷诺方程式），对该式取时间平均后可得。该式与纳维－斯托克斯方程的差别在于式中多 了雷诺应力产U′U′一各项；这是一种紊动交换所形成的“表观应力”，是个未知量，因而使由雷诺方程及连续方 程组成的方程组无法封闭，故紊流理论中的一个中心问题是寻求使方程组封闭的途径。一种是利用半经验理论来 建立雷诺应力与时均流速的关系，而不增加基本方程的数目；另一种是建立新的紊流模型，增加方程式的数目， 而使方程组封闭。
分类
紊流按其流动特点可分为：①各向同性均匀紊流，是一种假想的紊流模型，其紊动特征（如紊动强度）在各 空间点是一样的（均匀性），在各方向也是一样的（各向同性）。在这种紊流中没有流速梯度，因而没有剪切应 力。局部各向同性紊流是只考虑小尺度涡旋为各向同性的一种紊流模型。②剪切紊流，是指有时均流速梯度，因 而有剪切应力的紊流，它又可分为自由紊流（紊动发展不受固体壁面限制）和壁面紊流（流速梯度是由固体边壁 引起的）。研究紊流可方程的封闭，考虑因素愈来愈多的各种紊流模型相继出现。高速、大容量电子计算 机的发展，使紊流基本方程的数值计算工作有了很大的进展。
方程式组
对于充分发展的紊流特性的研究，大多数学者还是由纳维－斯托克斯方程式出发，将式中各量表示成为时均 量与脉动量之和（参见雷诺方程式），对该式取时间平均后可得。该式与纳维－斯托克斯方程的差别在于式中多 了雷诺应力产U′U′一各项；这是一种紊动交换所形成的“表观应力”，是个未知量，因而使由雷诺方程及连续方 程组成的方程组无法封闭，故紊流理论中的一个中心问题是寻求使方程组封闭的途径。一种是利用半经验理论来 建立雷诺应力与时均流速的关系，而不增加基本方程的数目；另一种是建立新的紊流模型，增加方程式的数目， 而使方程组封闭。
分类
紊流按其流动特点可分为：①各向同性均匀紊流，是一种假想的紊流模型，其紊动特征（如紊动强度）在各 空间点是一样的（均匀性），在各方向也是一样的（各向同性）。在这种紊流中没有流速梯度，因而没有剪切应 力。局部各向同性紊流是只考虑小尺度涡旋为各向同性的一种紊流模型。②剪切紊流，是指有时均流速梯度，因 而有剪切应力的紊流，它又可分为自由紊流（紊动发展不受固体壁面限制）和壁面紊流（流速梯度是由固体边壁 引起的）。研究紊流可方程的封闭，考虑因素愈来愈多的各种紊流模型相继出现。高速、大容量电子计算 机的发展，使紊流基本方程的数值计算工作有了很大的进展。
紊流理论基础
紊流理论基础一、紊流的特点无序性：流体质点相互混掺，运动无序，运动要素具有随机性。
耗能性：除了粘性耗能外，还有更主要的由于紊动产生附加切应力引起的耗能。
扩散性：除分子扩散外，还有质点紊动引起的传质、传热和传递动量等扩散性能。
二、紊流切应力表达式1.紊流运动要素的脉动及其时均化时间平均流速：流体质点的瞬时速度始终围绕着某一平均值而不断跳动（即脉动），这一平均值就称作时间平均流速（图6-7）。
（6-14）或图6-7 紊流度N 可以表示紊动的程度：§ 脉动量的特点：脉动量的时均值为零，即。
各脉动量的均方值不等于零，即2.紊流切应力紊流流态下，紊流切应力：。
（6-15）矩形断面风洞中测得的切应力数据如图6-8：图6-8 说明：1）在雷诺数较小时，脉动较弱，粘性切应力占主要地位。
2）雷诺数较大时，脉动程度加剧，紊流附加切应力加大，在已充分发展的紊流中，粘性切应力与紊流附加切应力相比忽略不计。
3）沿断面切应力分布不同，近壁处以粘性切应力为主（称粘性底层）。
a.粘性切应力τv：从时均紊流的概念出发，各液层之间存在着粘性切应力：式中: b.紊流附加切力τt: ——时均流速梯度。
液体质点的脉动导致了质量交换，形成了动量交换和质点混掺，从而在液层交界面上产生了紊流附加切应力τt：的推导观看动画>> 由动量定律可知：动量增量等于紊流附加切应力△T 产生的冲量（图6-9），即：由质量守恒定律得：符号相反图6-9 由此可得二元紊流切应力表达式（6-16）注意：紊流附加切应力是由微团惯性引起的，只与流体密度和脉动强弱有关，而与流体粘性无直接关系。
3.紊流动量传递理论——普兰特混合长度理论紊流附加切应力中，脉动流速均为随机量，不能直接计算，无法求解切应力。
所以1925 年德国力学家普兰特比拟气体分子自由程的概念，提出了混合长理论。
a.普兰特假设：（1）不可压缩流体质点在从某流速的流层因脉动uy'进入另一流速的流层时，在运动的距离L（普1 兰特称此为混合长度）内，微团保持其本来的流动特征不变。
多相流模拟知识讲解
多相流模拟知识讲解多相流模拟多相流模拟介绍自然界和工程问题中会遇到大量的多相流动。
物质一般具有气态、液态和固态三相，但是多相流系统中相的概念具有更为广泛的意义。
在多项流动中，所谓的“相”可以定义为具有相同类别的物质，该类物质在所处的流动中具有特定的惯性响应并与流场相互作用。
比如说，相同材料的固体物质颗粒如果具有不同尺寸，就可以把它们看成不同的相，因为相同尺寸粒子的集合对流场有相似的动力学响应。
本章大致介绍一下Fluent中的多相流建模。
多相流动模式我们可以根据下面的原则对多相流分成四类：气-液或者液-液两相流：o气泡流动：连续流体中的气泡或者液泡。
o液滴流动：连续气体中的离散流体液滴。
o活塞流动：在连续流体中的大的气泡o分层自由面流动：由明显的分界面隔开的非混合流体流动。
气-固两相流：o充满粒子的流动：连续气体流动中有离散的固体粒子。
o气动输运：流动模式依赖诸如固体载荷、雷诺数和粒子属性等因素。
最典型的模式有沙子的流动，泥浆流，填充床，以及各向同性流。
o流化床：由一个盛有粒子的竖直圆筒构成，气体从一个分散器导入筒内。
从床底不断充入的气体使得颗粒得以悬浮。
改变气体的流量，就会有气泡不断的出现并穿过整个容器，从而使得颗粒在床内得到充分混合。
液-固两相流o泥浆流：流体中的颗粒输运。
液-固两相流的基本特征不同于液体中固体颗粒的流动。
在泥浆流中，Stokes数通常小于1。
当Stokes 数大于1时，流动成为流化（fluidization）了的液-固流动。
o水力运输：在连续流体中密布着固体颗粒o沉降运动：在有一定高度的成有液体的容器内，初始时刻均匀散布着颗粒物质。
随后，流体将会分层，在容器底部因为颗粒的不断沉降并堆积形成了淤积层，在顶部出现了澄清层，里面没有颗粒物质，在中间则是沉降层，那里的粒子仍然在沉降。
在澄清层和沉降层中间，是一个清晰可辨的交界面。
三相流 (上面各种情况的组合)多相系统的例子气泡流例子：抽吸，通风，空气泵，气穴，蒸发，浮选，洗刷液滴流例子：抽吸，喷雾，燃烧室，低温泵，干燥机，蒸发，气冷，刷洗活塞流例子：管道或容器内有大尺度气泡的流动分层自由面流动例子：分离器中的晃动，核反应装置中的沸腾和冷凝粒子负载流动例子：旋风分离器，空气分类器，洗尘器，环境尘埃流动风力输运例子：水泥、谷粒和金属粉末的输运流化床例子：流化床反应器，循环流化床泥浆流例子: 泥浆输运，矿物处理水力输运例子：矿物处理，生物医学及物理化学中的流体系统沉降例子：矿物处理多相建模方法计算流体力学的进展为深入了解多相流动提供了基础。
紊流模型理论的发展与现状
１２ １ 雷诺 应 力输 运 方程 模 型 （ Ｍ） ．． ＲＳ
１ 紊流 基本 模型
１１ 涡 黏 性 模 型 ． １１１ 基 本 概 念 ．．
Ｒ Ｍ放弃 了涡黏性假设 ， 两方程模 型相 比， Ｓ 与 在理论 上 具有更好 的通用性 和精度。 但模型要求解雷诺 应力的所有分
量 所 满 足 的 微 分 方 程 ， 时 还 要 求 解 ｋ、 程 ， 而 使 求 解 同 方 从
型的基础。
１１２ 零 方 程 模 型 ．．
Hale Waihona Puke 在雷诺应力方程模 型的基础上 ， 雷诺 应力 的代数关 系 用 取代其微 分方 程 ， ｋ 方程构成 Ａ Ｍ。 Ｓ 和 、 Ｓ Ａ Ｍ在一定程度上 综合 了标 准 ｋ ｓ模 型的经济性和 Ｒ Ｍ的通用性 。在 有必要 、 Ｓ 计 及体 积力效应 （ 浮力 、 流线 弯 曲 、 旋转 等 ） ， Ｓ 的优 点 时 ＡＭ
的模 型方 程数 大大增 加 ， 对计算机容 量和计算费用 的要求 也
大大增加 。
１２２ 代 数 应 力模 型 （ Ｍ ） ．． ＡＳ
Ｂ ｕｓ ｅｑ于 ｌ７ ｏｓｉ ｓ ｎ ８ ７年提 出， 假设紊动应力可类 比于层 流 的黏性应力 ， 其并未构 成紊流模 型 ， 只是提供 了构造紊 流模
大量 涌现 。本 文仅 对 紊 流 模 型进 行 了简 要 回 顾 、 述 与展 望 。 评
１ 二 阶 矩 封 闭 模 型 ． ２
为了考虑雷诺应力各分量 的不同发展 ， 正确计算复杂水 流 中雷诺应力 的输运 ， 紊流模型采用雷诺 应力各个分量及 紊
动热（ 或物质） 通量各 分量 的输 运方 程 ， 称其 为二 阶封 闭格式 。
列所 谓 半 经验 理论 ，其 巾包 括普 朗特 混 合 长 理 论 、 ．泰 勒 的 ＧＩ
１ 紊流 基本 模型
１１ 涡 黏 性 模 型 ． １１１ 基 本 概 念 ．．
Ｒ Ｍ放弃 了涡黏性假设 ， 两方程模 型相 比， Ｓ 与 在理论 上 具有更好 的通用性 和精度。 但模型要求解雷诺 应力的所有分
量 所 满 足 的 微 分 方 程 ， 时 还 要 求 解 ｋ、 程 ， 而 使 求 解 同 方 从
型的基础。
１１２ 零 方 程 模 型 ．．
Hale Waihona Puke 在雷诺应力方程模 型的基础上 ， 雷诺 应力 的代数关 系 用 取代其微 分方 程 ， ｋ 方程构成 Ａ Ｍ。 Ｓ 和 、 Ｓ Ａ Ｍ在一定程度上 综合 了标 准 ｋ ｓ模 型的经济性和 Ｒ Ｍ的通用性 。在 有必要 、 Ｓ 计 及体 积力效应 （ 浮力 、 流线 弯 曲 、 旋转 等 ） ， Ｓ 的优 点 时 ＡＭ
的模 型方 程数 大大增 加 ， 对计算机容 量和计算费用 的要求 也
大大增加 。
１２２ 代 数 应 力模 型 （ Ｍ ） ．． ＡＳ
Ｂ ｕｓ ｅｑ于 ｌ７ ｏｓｉ ｓ ｎ ８ ７年提 出， 假设紊动应力可类 比于层 流 的黏性应力 ， 其并未构 成紊流模 型 ， 只是提供 了构造紊 流模
大量 涌现 。本 文仅 对 紊 流 模 型进 行 了简 要 回 顾 、 述 与展 望 。 评
１ 二 阶 矩 封 闭 模 型 ． ２
为了考虑雷诺应力各分量 的不同发展 ， 正确计算复杂水 流 中雷诺应力 的输运 ， 紊流模型采用雷诺 应力各个分量及 紊
动热（ 或物质） 通量各 分量 的输 运方 程 ， 称其 为二 阶封 闭格式 。
列所 谓 半 经验 理论 ，其 巾包 括普 朗特 混 合 长 理 论 、 ．泰 勒 的 ＧＩ
流体力学5.1紊流ppt课件
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
4
第四讲
紊（湍）流运动基础
（4）充分发展的紊流研究 紊流的发生：剪切层的存在—产生涡。（剪切层的类型图示）
对充分发展的紊流研究分类： 1）自由剪切紊流：剪切层由流速间断面引起，紊动发展 不受边壁的限制； 2）边壁剪切紊流：剪切层由边壁附着引起，紊动发展受 边壁限制。 3）均匀各向同性紊流：作为理论研究的假想模型。流动 中无速度梯度，也无剪切应力。
稳定流动性图示
（3）紊流是否有规律—紊流结构的实验研究 1）壁面剪切紊流的拟序结构（Quasi-order Structure） 猝发（Burst）过程：低速带，上升马蹄涡，喷射，清扫。
拟序结构图片
拟序图示1 轴对称射流
拟序图示2 尾流
2）自由紊流的相干结构（Coherent Structure）
二维差混合层
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
6
第四讲
紊（湍）流运动基础
二、基于统计理论的紊流运动方程
1、基本统计量 对不可压缩流动问题，基本未知量ui，p可认为是具有一定统计规律 的随机变量，即：可表示为
u u u i i i
p p p
其中上划线表示平均值，上ui’ 、p’表示脉动值，称为“涨落” （Fluctuation）。 （1）系综平均与时间平均 1）系综平均（ensemble average）
北京工业大学市政学科部——马长明 高等流体(水）力学讲稿
3
第四讲
紊（湍）流运动基础
3、紊流问题研究分类
理论上要求回答：紊流的发生、发展物理机理和结构。 应用上要求回答：紊流的平均流场、阻力、能耗与扩散的定量确定。 （1）N-S方程是否能用于描述紊流运动？ （2）紊流的发生——流动稳定性研究（仅有几个线性流动解） 在给定边界条件的小扰动值下，求解线性化后的N-S方程，对不同的 雷诺数，由扰动是否衰减，来确定临界雷诺数。
冯卡门大气紊流模型推导
冯卡门大气紊流模型推导
冯卡门大气紊流模型是用来描述大气中运动物质的流动、扩散和
混合的一种数学模型。
该模型基于统计物理学中的随机过程理论，结
合了强度和尺度学说，用于模拟大气中大规模气流的统计性质。
该模型的推导过程可以简述如下：
1. 假设大气运动是一个随机过程。
即，对于任何一个时刻和位置，大气中的运动速度和方向都是随机的，无法精确预测。
2. 基于概率分布函数，可以描述这个随机过程的基本性质。
如运
动速度和方向的概率密度函数、相关函数等。
3. 进一步，可以利用基本的物理原理和数学工具来推导出这些概
率分布函数的表达式，以描述大气中有关的运动物质的统计性质。
例如，通过偏微分方程和统计物理学中的Langevin方程，可得到大气中
扩散性和相关性等统计特征。
4. 最后，将这些概率分布函数和统计特征代入到海拔高度、时间
和空间坐标的数学函数中，就可以建立起冯卡门大气紊流模型。
总的来说，冯卡门大气紊流模型是一个非常复杂的数学模型，需
要掌握多种数学和物理技术，同时也需要有对大气物理过程的深刻理
解和精确测量数据的支持。
它被广泛应用于气象、天气预报、空气质
量预测等领域。
CFD第五章
t
y
V div(VU) div(v'u ' ) 1 P vdiv(gradV )
t
y
W div(WU) div(w'u ' ) 1 P vdiv(gradW )
t
y
计算流体动力学课程
西安 2005年4
XJTU
3.紊流对时均NS方程的影响
雷诺方程组
U
div(UU)
1
P
vdiv(gradU )
(u 'v' x
)
(u 'v' y
)
(u 'w' z
)
S Mx
(V ) div(V
t (W ) div(W
t
U)＝ U)＝
P y
div(gradV )
(u 'v' x
)
( v '2 y
)
( v ' w ' z
)
S My
P z
div(gradW
)
(u 'w' x
)
( v ' w ' y
y
w div(wu) 1 p v div grad w
t
z
计算流体动力学课程
西安 2005年4
XJTU
3.紊流对时均NS方程的影响
u U u' v V v' w W w' p P p'
U div(UU) div(u 'u ' ) 1 P vdiv(gradU )
计算流体动力学课程
西安 2005年4
XJTU
2.层流到紊流的转换
几种主要紊流模型的应用特性比较
杂， 常与流 动的类 型有关 。但必须 指出混合 长度 理论是基 于紊流 局部 平衡 的假定 基础 上 的 ，在物 理概 念上 有一定
的不足 。
融
ａ ＝
吉＋ １ 一］［ ＇ Ｄ 妄票 ｌ ｌｌ一］ 罢 ［一 ＋ 雾 ＋Ｔ 一 ∽ｍｍ 暑 ｌ ］ ｜ ｎ １ 昙罢ｔ ∞∞ｄ １＇ Ｗ １
后， 计算紊流流动 的关键 就在于如何确定 。所谓紊 流模
型也就是把 与紊流 时均参数联 系起来 的关系式 。 根据
确定 方法 的不 同 ， 以将紊流模 型区分 为所谓 的零方程 可
模型、 一方程模 型及 两方程模 型等。
２１１ 方 程 模 型 零
所谓零 方程 模型 ，是指不需 要微分方程而是用 代数关
上式 中 为紊 流粘性 系数 。引入 Ｂ ｕｓ ｅｑ假 设 以 ｏｓｉ ｓ ｎ
值计算 ， 必须采用很小 的时 间与空 间步长 ， 才能分辨出紊流 中详细的空间结 构及变化 剧烈 的特 性。现代计算 机的存储 能力和运算 速度 尚不足求解 任何一个 实际的紊 流问题 ， 应
用 时甚为 困难。 求取流场内所有 尺度 涡的细节对 于水力学工程应用 而 言， 往往是不经济的 ， 大部分情况下 只关心 流场 内运 动要 素
维普资讯
。 淮水科研院办 科 论 】 萎利学究协 ｌ 技 坛 【 ｌ
几种主要紊流模型响应用特性比较
施 奇
（ 安徽省水利水资源重点实验室
【 摘
安徽省水利科学研究院
蚌埠
２ ３０ ） ３ ００
要】 紊流的数值模拟始 于上世 纪 ５ 年代 ， ０ 先后发展 了 ｋ －￡模型 、 二阶矩模型和代数 应力模型 ， 在工程 实际中得 到 了 紊流模型 二阶矩模 型 代 数应力模型
的不足 。
融
ａ ＝
吉＋ １ 一］［ ＇ Ｄ 妄票 ｌ ｌｌ一］ 罢 ［一 ＋ 雾 ＋Ｔ 一 ∽ｍｍ 暑 ｌ ］ ｜ ｎ １ 昙罢ｔ ∞∞ｄ １＇ Ｗ １
后， 计算紊流流动 的关键 就在于如何确定 。所谓紊 流模
型也就是把 与紊流 时均参数联 系起来 的关系式 。 根据
确定 方法 的不 同 ， 以将紊流模 型区分 为所谓 的零方程 可
模型、 一方程模 型及 两方程模 型等。
２１１ 方 程 模 型 零
所谓零 方程 模型 ，是指不需 要微分方程而是用 代数关
上式 中 为紊 流粘性 系数 。引入 Ｂ ｕｓ ｅｑ假 设 以 ｏｓｉ ｓ ｎ
值计算 ， 必须采用很小 的时 间与空 间步长 ， 才能分辨出紊流 中详细的空间结 构及变化 剧烈 的特 性。现代计算 机的存储 能力和运算 速度 尚不足求解 任何一个 实际的紊 流问题 ， 应
用 时甚为 困难。 求取流场内所有 尺度 涡的细节对 于水力学工程应用 而 言， 往往是不经济的 ， 大部分情况下 只关心 流场 内运 动要 素
维普资讯
。 淮水科研院办 科 论 】 萎利学究协 ｌ 技 坛 【 ｌ
几种主要紊流模型响应用特性比较
施 奇
（ 安徽省水利水资源重点实验室
【 摘
安徽省水利科学研究院
蚌埠
２ ３０ ） ３ ００
要】 紊流的数值模拟始 于上世 纪 ５ 年代 ， ０ 先后发展 了 ｋ －￡模型 、 二阶矩模型和代数 应力模型 ， 在工程 实际中得 到 了 紊流模型 二阶矩模 型 代 数应力模型
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切细节，但在实际工程中具有重要意义的并不是紊 流的一切细节，而是紊流对于时间的平均效应。 – 雷诺（Osborne Reynolds）建议用统计方法将N －S方程取时间平均。但取平均的过程产生了新问 题：方程增加了新未知项，时均方程组不再封闭， 因此各种类型的紊流模型应运而生。 – 紊流模型可定义为一组方程，这组方程确定时均流 方程中的紊动输运项，从而封闭时均流动方程组（ 零方程、单方程、双方程）。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 将上式i方向乘以u’j，j方向乘以u’i，然后相加， 进行时间平均得
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 令i=j，将k带入，可得
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 可见二者相同。
雷诺方程数值模拟（RANS）
紊流理论(紊流模型)
概述
• 紊流运动的瞬时连续方程和运动方程 • 连续方程 • 运动方程
概述
• 直接求解连续方程和运动方程，即 DNS(Direct Numerical Simulation)。
• 原则上讲，DNS并无理论上的困难。
– 一方面，描述紊流运动的精确的微分方程已经得出 ，即N－S方程；从数学观点看来，紊流就是N－S 方程的通解。
概述
• 紊流模型分类
– 直接数值模拟（DNS）。直接求解N－S方程，必 须采用很小的时间步长与空间步长。
– 大涡模拟（LES）。 DNS模拟大尺度运动，亚网格 上模拟小尺度运动。
– Reynolds时均方程法（RANS）。将N－S方程对 时间平均，并通过一些假定建立模型，是目前工程 中所采用的基本方法。根据对雷诺应力的处理方式 不同，分为基于涡粘性假设的模型和应力输运模型 两类，根据引入方程的数量，前者又分为零方程、 单方程和双方程模型。
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比
：
，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图）
– 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
–则
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。卡门假定：（1）除了在周界外， 紊流现象与水流的粘性无关；（2）水流中各点紊 动的基本格局彼此相似，所不同的只是时间和长度 尺度。
– 引入一个涡粘度 ，将紊流中的雷诺应力与流场 中的时均流速梯度建立下述关系：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力
– 紊流涡粘度与层流中的粘度相对应，也可称为表观 粘度。粘度是流体本身的物理特性，与流动情况无 关。但是涡粘度则不是流体的物理性质，而是紊流 的一种流动特性，决定于流动的时均流速场和边界 条件。
– 假定水层y1和y2处的流速分别为u1和u2，则在其附 近，流速变化可以用泰勒级数表示：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。既然水流中各点紊动的基本格局彼 此相似，则影响流速变化的各个因素之间应该成一 定比例：
– 因此
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
一致。这一运动距离l，相当于微团的生命跨度，称
为紊流的掺混长度。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 定义 根据泰勒展开
的平均流速差为脉动，则
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 根据 – v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 在气体运动中，气体分子以随机的方式运动，气体 分子运动一个平均分子自由程后与其他气体分子发 生碰撞，并产生动量交换。
– 普朗特（1925年）提出混掺长度理论：假设在紊流 运动中，与气体分子运动相似，流体微团在运动过 程中保持原有的运动特征不变，直到运行某一距离 后与周围其它微团相混掺，失去原有的运动特征（ 动量、热量、含沙量等），与当地的平均性质取得
– 另一方面，数值计算方法的发展，已足以求解N－S 方程。
– 但是，现代计算机的储存的能力和运算速度尚不足 以求解任何一个实际的紊流问题。
概述
• DNS实际应用中的困难
– 紊流运动所包含的单元，比流动区域的尺度要小得 多。为了用数值计算方法求解紊动单元的运动要素 ，数值计算的网格必须比紊动单元的尺度更小。如 此之多的网格点贮存各种变量，远远超过了现代计 算机的内存容量，而且，随着网格点的增加，算术 运算的次数显著增多，所需计算的时间令人望而却 步。
– 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾经预言，大 约在本世纪末，高度发展的计算机将有足够的能力 用数值计算方法求解紊流的精确方程，但在较近的 未来，精确地求解紊流问题无疑是不可能的。
– 到现在，DNS算法已有很大发展。
概述
• DNS之外的其他方法
– 求解时均N－S方程（即雷诺方程）。 – 作为紊流的通解， N－S方程描述了流体运动的一
• 零方程模型——自由剪力层模型
– 普朗特在1942年提出了只能用于自由剪力层的模型 ，比混合长假设更为简单。
– 他假设在剪力层的任何截面上均为常数，紊动常数 比尺正比于宽度，速度比尺正比于横截面上的最大 速度差：
– 模型中的经验常数：
流 型
平面 混合 层
在静止 介质中Βιβλιοθήκη 平面 圆形 扇形 射流 射流 射流
概述
• DNS之外的其他方法
– 大涡模拟LES。 – DNS可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却
无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。 – 大涡模拟的思路是： DNS模拟大尺度紊流运动，而
利用亚网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度 紊流运动的影响。 – LES较DNS拟占计算机的内存小，模拟需要的时间 也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 写成紊动粘性系数的形式
– 如此则封闭了雷诺方程。
– 混掺长度l由实验确定，它不是流体的一种物理性质
，而是与流动情况有关的一个量度。 – 紊流切应力主要是动量交换产生，则动量交换系数
：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。
– 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型
– 介绍三种比较简单的紊流模型（常数模型，混合长 模型，自由剪力层模型），均采用紊动粘性概念， 均不包含紊动量的微分输运方程。
• 确定紊动粘性系数的方法
– 一是直接根据实验资料，用尝试法建立经验公式； 主要是常数模型。
– 二是将紊动粘性系数与时均速度的分布建立联系。 主要指混合长模型，自由剪力层模型。
流切应力为零的错误结论；②均未考虑紊动量的对 流和扩散输运；③缺少通用性，对于不同形式的水 流需采用不同的经验常数。 – 一般说来，混合长模型可用以计算许多简单的剪力 层型的流动，因为这种情况下可用经验方法确定； 对于紊动输运过程占有重要地位的复杂的水流，很 难确定，混合长模型将不再适用。
雷诺方程数值模拟（RANS）
– 1945年，Prandtl 提出一个涡粘性依赖于紊动能k 的模型，建议使用一个偏微分方程的模型对精确的 k方程进行近似，得到了单方程模型，即k方程模型
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1895年，Reynolds发表对紊流研究结果的文章。
– 1897年，Boussinesq((布辛涅司克))涡粘性假定。
– 他们都没有尝试对雷诺方程进行系统的求解，许多 粘性流动的机理尚未清楚。
– 1925年，Prandtl 提出了混合长度理论来计算涡粘 性，为早期的研究奠定了基础。早期贡献最为显著 的还有von Karman，1930 年提出相似性假定。此 类模型并没有引入微分方程，称为零方程或者代数 模型。
– 引入涡粘性假设并未构成紊流模型，只是提供了构 造紊流模型的基础，但使模拟紊动应力问题转化为 确定的分布。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 紊动扩散概念
– 将紊动热(或质量)输运与紊动动量输运直接类比， 假设热(或质量)输运与被输运的量有关：
– 对于热输运问题,称为紊动普朗特数；对于质量输 运问题，称为紊动施密特(Schmidt)数。实验表明, 在流场中各点，甚至在不同型式的水流中，紊动普 朗特数几乎不变。
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
– 卡门在分析时只取上式的第一项
– k为卡门常数，一般为0.4。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 由混掺长度理论和卡门相似理论，即
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 还存在其他混掺长度计算方法，不一一叙述。 – 缺陷： – ①对于速度梯度为零的点，零方程模型给出该点紊
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 将上式i方向乘以u’j，j方向乘以u’i，然后相加， 进行时间平均得
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 令i=j，将k带入，可得
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 可见二者相同。
雷诺方程数值模拟（RANS）
紊流理论(紊流模型)
概述
• 紊流运动的瞬时连续方程和运动方程 • 连续方程 • 运动方程
概述
• 直接求解连续方程和运动方程，即 DNS(Direct Numerical Simulation)。
• 原则上讲，DNS并无理论上的困难。
– 一方面，描述紊流运动的精确的微分方程已经得出 ，即N－S方程；从数学观点看来，紊流就是N－S 方程的通解。
概述
• 紊流模型分类
– 直接数值模拟（DNS）。直接求解N－S方程，必 须采用很小的时间步长与空间步长。
– 大涡模拟（LES）。 DNS模拟大尺度运动，亚网格 上模拟小尺度运动。
– Reynolds时均方程法（RANS）。将N－S方程对 时间平均，并通过一些假定建立模型，是目前工程 中所采用的基本方法。根据对雷诺应力的处理方式 不同，分为基于涡粘性假设的模型和应力输运模型 两类，根据引入方程的数量，前者又分为零方程、 单方程和双方程模型。
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比
：
，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图）
– 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
–则
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。卡门假定：（1）除了在周界外， 紊流现象与水流的粘性无关；（2）水流中各点紊 动的基本格局彼此相似，所不同的只是时间和长度 尺度。
– 引入一个涡粘度 ，将紊流中的雷诺应力与流场 中的时均流速梯度建立下述关系：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力
– 紊流涡粘度与层流中的粘度相对应，也可称为表观 粘度。粘度是流体本身的物理特性，与流动情况无 关。但是涡粘度则不是流体的物理性质，而是紊流 的一种流动特性，决定于流动的时均流速场和边界 条件。
– 假定水层y1和y2处的流速分别为u1和u2，则在其附 近，流速变化可以用泰勒级数表示：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。既然水流中各点紊动的基本格局彼 此相似，则影响流速变化的各个因素之间应该成一 定比例：
– 因此
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
一致。这一运动距离l，相当于微团的生命跨度，称
为紊流的掺混长度。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 定义 根据泰勒展开
的平均流速差为脉动，则
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 根据 – v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 在气体运动中，气体分子以随机的方式运动，气体 分子运动一个平均分子自由程后与其他气体分子发 生碰撞，并产生动量交换。
– 普朗特（1925年）提出混掺长度理论：假设在紊流 运动中，与气体分子运动相似，流体微团在运动过 程中保持原有的运动特征不变，直到运行某一距离 后与周围其它微团相混掺，失去原有的运动特征（ 动量、热量、含沙量等），与当地的平均性质取得
– 另一方面，数值计算方法的发展，已足以求解N－S 方程。
– 但是，现代计算机的储存的能力和运算速度尚不足 以求解任何一个实际的紊流问题。
概述
• DNS实际应用中的困难
– 紊流运动所包含的单元，比流动区域的尺度要小得 多。为了用数值计算方法求解紊动单元的运动要素 ，数值计算的网格必须比紊动单元的尺度更小。如 此之多的网格点贮存各种变量，远远超过了现代计 算机的内存容量，而且，随着网格点的增加，算术 运算的次数显著增多，所需计算的时间令人望而却 步。
– 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾经预言，大 约在本世纪末，高度发展的计算机将有足够的能力 用数值计算方法求解紊流的精确方程，但在较近的 未来，精确地求解紊流问题无疑是不可能的。
– 到现在，DNS算法已有很大发展。
概述
• DNS之外的其他方法
– 求解时均N－S方程（即雷诺方程）。 – 作为紊流的通解， N－S方程描述了流体运动的一
• 零方程模型——自由剪力层模型
– 普朗特在1942年提出了只能用于自由剪力层的模型 ，比混合长假设更为简单。
– 他假设在剪力层的任何截面上均为常数，紊动常数 比尺正比于宽度，速度比尺正比于横截面上的最大 速度差：
– 模型中的经验常数：
流 型
平面 混合 层
在静止 介质中Βιβλιοθήκη 平面 圆形 扇形 射流 射流 射流
概述
• DNS之外的其他方法
– 大涡模拟LES。 – DNS可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却
无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。 – 大涡模拟的思路是： DNS模拟大尺度紊流运动，而
利用亚网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度 紊流运动的影响。 – LES较DNS拟占计算机的内存小，模拟需要的时间 也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 写成紊动粘性系数的形式
– 如此则封闭了雷诺方程。
– 混掺长度l由实验确定，它不是流体的一种物理性质
，而是与流动情况有关的一个量度。 – 紊流切应力主要是动量交换产生，则动量交换系数
：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。
– 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型
– 介绍三种比较简单的紊流模型（常数模型，混合长 模型，自由剪力层模型），均采用紊动粘性概念， 均不包含紊动量的微分输运方程。
• 确定紊动粘性系数的方法
– 一是直接根据实验资料，用尝试法建立经验公式； 主要是常数模型。
– 二是将紊动粘性系数与时均速度的分布建立联系。 主要指混合长模型，自由剪力层模型。
流切应力为零的错误结论；②均未考虑紊动量的对 流和扩散输运；③缺少通用性，对于不同形式的水 流需采用不同的经验常数。 – 一般说来，混合长模型可用以计算许多简单的剪力 层型的流动，因为这种情况下可用经验方法确定； 对于紊动输运过程占有重要地位的复杂的水流，很 难确定，混合长模型将不再适用。
雷诺方程数值模拟（RANS）
– 1945年，Prandtl 提出一个涡粘性依赖于紊动能k 的模型，建议使用一个偏微分方程的模型对精确的 k方程进行近似，得到了单方程模型，即k方程模型
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1895年，Reynolds发表对紊流研究结果的文章。
– 1897年，Boussinesq((布辛涅司克))涡粘性假定。
– 他们都没有尝试对雷诺方程进行系统的求解，许多 粘性流动的机理尚未清楚。
– 1925年，Prandtl 提出了混合长度理论来计算涡粘 性，为早期的研究奠定了基础。早期贡献最为显著 的还有von Karman，1930 年提出相似性假定。此 类模型并没有引入微分方程，称为零方程或者代数 模型。
– 引入涡粘性假设并未构成紊流模型，只是提供了构 造紊流模型的基础，但使模拟紊动应力问题转化为 确定的分布。
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• 紊动扩散概念
– 将紊动热(或质量)输运与紊动动量输运直接类比， 假设热(或质量)输运与被输运的量有关：
– 对于热输运问题,称为紊动普朗特数；对于质量输 运问题，称为紊动施密特(Schmidt)数。实验表明, 在流场中各点，甚至在不同型式的水流中，紊动普 朗特数几乎不变。
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
– 卡门在分析时只取上式的第一项
– k为卡门常数，一般为0.4。
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• 零方程模型——混掺长度模型
– 由混掺长度理论和卡门相似理论，即
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 还存在其他混掺长度计算方法，不一一叙述。 – 缺陷： – ①对于速度梯度为零的点，零方程模型给出该点紊
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型