第九章 真空中的静电场

4
【解】 ：通过 x＝a 处平面 1 的电场强度通量
1 = -E1 S1= -b a3
通过 x = 2a 处平面 2 的电场强度通量
y 1 a 2 2a
2 = E2 S2 = b a3
其它平面的电场强度通量都为零． 因而通过该高斯面的 总电场强度通量为
E1 O
E2 x
=1+2 = b a -b a = b a =1 N·m /C
E3
i j 4 0 R
由场强叠加原理，O 点合场强为： E E1 E 2 E 3
y a O z a a a x



i j 4 0 R
2（基础训练 20） 真空中一立方体形的高斯面,边长 a＝0.1 m， 位于图中所示位置． 已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0． 常量 b＝1000 N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．
3 3 3 2
（基础训练 21） 带电细线弯成半径为 R 的半圆形， 电荷线密度为=0sin， 式中0 为一常数， 3 为半径 R 与 x 轴所成的夹角，如图所示．试求环心 O 处的电场强度．
y R dE x
x
y R
dq

O
d
x

dE
O dE y
【解】 ：在处取电荷元，其电荷为
5（基础训练 24） 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为 R1，外 表面半径为 R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．
【解】: 由高斯定理可知空腔内 E＝0，故带电球层的空腔是等势区， 各点电势均为 U。 在球层内取半径为 r→r＋dr 的薄球层．其电荷为 dq = 4r2dr 该薄层电荷在球心处产生的电势为
q2 R q1 O q3
8 R
1
0
2q1 q 2 q1 q3 2q 2 q3 ．

【提示】 ：参见辅导书例题 9－7.或利用公式： W
1 3 qiVi ，其中 2 i 1
图 9-46
Vi 为除第 i 个点电荷外的所有其它电荷在该点出的电势。
三． 计算题
1 （基础训练 18） 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧 AB 的半径为 R，试求圆心 O 点的场强．
(C)
i j ． i ． (D) 4 0 a 4 0 a
1 ，方向如图。 2 2 0 a
【提示】 ：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小 E＋、E－大小为：
E E
E+
y (0, a) + O
E (A) O E (C) O R E∝1/r r R E∝1/r r E (B) O E (D) O R E∝1/r r R E∝1/r r

r R 时，有： E 2 rL=
S
EdS= i
qi
0
r 2 L ，即： E = r 0 2 0 R 2 L R2 ，即： E = 0 2 0 r
a d b A q
r R 时，有： E 2 rL=
［ C ］ 3（基础训练 3） 如图所示，一个电荷为 q 的点电荷 位于立方体的 A 角上，则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于：
的零点。则 O 点电势 Uo＝
P l O A l
A a O Q a
3 ln ；P 点电势 Up＝___0___． 4 0 4
B
l
C
l 【提示】 ： 题中棒的中点 B 为电势的零点与远处为电势的零点是 一致的。根据对称性及电势叠加原理，易知 P 点电势为 0，O 点电势为：

2l
l
3l dx dx 4 0 x 2l 4 0 x
∞
∞ y
E2
A O
∞
A O B
E3
E1
x ∞
B
【解】 ：在 O 点建立坐标系如图所示。 半无限长直线 A∞在 O 点产生的场强：
E1
i j 4 0 R i j 4 0 R
半无限长直线 B∞在 O 点产生的场强： E2 四分之一圆弧段在 O 点产生的场强：
【提示】 ：A、B、C 三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量 叠加。
3（基础训练 17） AC 为一根长为 2l 的带电细棒，左半部均 匀带有负电荷， 右半部均匀带有正电荷。 电荷线密度分别为－ 和 ＋ ，如图所示。O 点在棒的延长线上，距 A 端的距离为 l．P 点 在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为 l．以棒的中点 B 为电势
q
0
。再据对称性可知，通过侧面 abcd 的电场强度通量等于
q 。 24 0
+q a P a M
］ 4（基础训练 6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中 P 点处为电势零点 ， 则 M 点
q ． (A) 4 0 a
q (C) ． 4 0 a
【提示】 ： VM
q (B) ． 8 0 a
V ER 。
Q 。联立两式知： 0 4 R 2 0
+ +2 B C
2（基础训练 13） 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分
如图所示， 则 A、 B、 C 三个区域的电场强度分别为： EA＝ 别为＋和＋2，
3 ， A 2 0
EB＝
3 ，EC＝ (设方向向右为正)． 2 0 2 0
q (D) ． 8 0 a
Q2 Q1 R2 r O R1

P
M
a E dl
q 4 0 r
2
2a
dr
q 8 0 a
P
［ B ］ 5（自测提高 6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为 R1、带电荷 Q1，外球面半径为 R2、带有电荷 Q2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为 r 处的 P 点的电势 U 为：
矢量叠加后，合场强大小为：
E合
-
E合
，方向如图。 2 0 a
Ex
［ B ］ 2（基础训练 2） 半径为 R 的“无限 长 ” 均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的 大小 E 与距轴线的距离 r 的关系曲线为： 【提示】 ：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半 径为 r，高度为 L）为高斯面。 据 Guass 定理：
【提示】 ：作场强矢量叠加图知，要使 P 点处场强方向垂直于 OP，必须满足： 5（自测提高 14）一半径为 R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为 d (d<<R)环上均匀带有正电，电荷为 q，如图 9-43 所示。则圆心 O 处的 场强大小 E＝
Q 2 。 2 0 a 4 0 a 2

U p r / 4 0 r 3
R A
p
U A p / 4 0 R 2
B
5
U B p / 4 0 R 2
q 从 A 移到 B 电场力作功(与路径无关)为
p p
A qU A U B qp / 2 0 R 2
λ
a P
4（自测提高 13）、如图 9-42 所示，一电荷线密度为 的无限长带电 直线垂直通过图面上的 A 点；一带有电荷 Q 的均匀带电球体，其球心处于 O 点。△AOP 是边长为 a 的等边三角形。为了使 P 点处场强方向垂直于 OP，则
图 9-42
和 Q 的数量之间应满足 Q a 关系，且 与 Q 为__异___号电荷。Biblioteka A-qO D
图 9-38
B C
＋q R 2R
-3q Q
(A)
Qq 4 0 R
．
(B)
Qq 2 0 R
．
(C)
Qq ． 8 0 R
(D)
3Qq ． 8 0 R
【提示】 ：静电力做功 QU AB Q (VA VB ) 等于动能的增加。其中：
VA
q 4 0 R

3q q q 3q 2 q ； VB 4 0 2 R 8 0 R 4 0 2 R 4 0 2 R 8 0 R
dq =dl = 0Rsind
它在 O 点产生的场强为
dE
在 x、y 轴上的二个分量
sin d dq 0 2 4 0 R 4 0 R
dEx=－dEcos dEy=－dEsin
对各分量分别求和：
0 sin cos d ＝0 4 0 R 0 0 Ey sin 2 d 0 4 0 R 0 8 0 R
Ex
∴
E Exi E y j 0 j 8 0 R
4 （基础训练 23）如图所示，在电矩为 p 的电偶极子的电场中，将一电荷为 q 的点电荷从 A

点沿半径为 R 的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到 B 点，求此 过程中电场力所作的功． 【解】 ：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 式中 r 为从电偶极子中心到场点的矢径． 于是知： A、B 两点电势分别为





V· m ， 则点 a(3,2)和点 b(1,0)
-1

b
a
(1,0) (1,0) E dl (400i 600 j )(dxi dyj ) 400dx 600dy ＝－2×103 V
(3,2) (3,2)
7（自测提高 20）有三个点电荷 q1、q2 和 q3，分别静止于圆周上 的三个点，如 9-46 图所示。设无穷远处为电势零点，则该电荷系统的 相互作用电势能 W＝