一个奇异双曲型方程整体光滑解的存在性

值 问题 （ ． ） （ ． ） （ ． ） １ １ ， １ ２ ， １ ３ 的解 的 Ｃ 模 估 计 ，
令 （ ｔ ， ）一 一 “（ ， ） ｔ， ＞ ０ ｔ＞ ０， （ ． ） ， ２ １
性 （ 文献 ［］ ［］ ， 见 １ ， ３ ） 因此 寻 找 一 类 条 件 使 其 存 在 整 体 光 滑 解 是 十 分 重 要 且 有 意 义 的 ． 于 没 有 奇 性 对 的 双 曲 型 方 程 或 ２× ２的双 曲 型 方 程 组 ， 研 究 已 其 经 比较 完 好 （ 文 献 ［ ］ ［ ］～ ［ ］ ， 对 具 有 奇 见 １ ，３ ５ ）但 性 的方 程 （ ） 其 研 究 却 很 少 ． 这 篇 文 章 中 ， 们 组 ， 在 我
（ １ Ａ ） 一 “ｏ ） ∈ Ｃ Ｒ ）， （ （
ｆ ＋
（ ， ）一 ｏ ） 一 一 “ （ ） ０ （ ｏ ， 【（ ｔ ０， ）一 ０，
≥ ０， ｔ≥ ０ ．
（ ．２） ２
（ ） Ａ２
０≤ ０≤ （
“（ ｏ ）≤ Ｍ ｏ ， “（ ） 。 ｚ） ≤ Ｍ １ ．
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第 ３ ６卷 第 ３期
２０ ０ ２年 ９月
华 中师 范大 学学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲＮＡ Ｉ Ｏ ＯＦ ＣＥＮＴＲＡ Ｉ ＣＨ Ｉ ＮＡ ＮＯＲＭ ＡＬ Ｕ Ｎ Ｉ ＶＥＲＳＩ ＴＹ （ ｔ Ｓｃｉ Ｎａ ．）
．
Ｖ ｏ１ ．３６ Ｎ ｏ．３
Ｓｅ ． ２００ ｐｔ ２
文 章 编 号 ：１ ０ — １ ０ ２ ０ ） ３ ０ ７ ～ ３ ０ ０ １ （ ０ ２ ０ — ２ ３ ０ ９
一
个 奇 异 双 曲型 方 程 整 体 光 滑 解 的 存 在 性
高 永 东 ，皮 上 超 。
（ ． 宁师 范高 等 专科学 校 数 学 系 ，湖 北 咸宁 ４ ７ ０ ；２ 中原工 学 院 数 学 系 ，郑 州 ４ ０ ０ ） １咸 ３０ ５ ． ５ ０ ７
０十
０≤ （ 以
我 们 知 道 ， 一 阶 拟 线 性 双 曲 型 方 程 ， 使 初 边 值 对 即 充 分 光 滑 且 充 分 小 ， 解 在 有 限 时 间 一 般 将 产 生 奇 其
２ 定 理 １ １的 证 明 ．
在 这 一 节 中 ， 们 将 给 出定 理 １ １的 证 明 ， 我 ． 其 关 键 是 通 过 函 数 变 换 将 （ ． ） 成 一 个 没 有 奇 性 的 １１化 双 曲 型方 程 ， 后 应 用 文 献 ［ ］ ［ ］ 立 的 关 于 一 然 ４ ，５ 建 阶 拟 线 性 双 曲型 方 程 组 极 值 原 理 的结 果 ， 获得 初 边
中图 分类 号 ： ． ７ Ｏ１ ５ ２ ７ 文献标 识 码 ： Ａ
１ 引 言
在 这 篇 文 章 中 ， 们 考 虑 如 下 在 一 ０处 具 有 我
注
存 在 许 多 满 足 条 件 （ ） （ ）的 函 数 Ａ 、 Ａ
Ｕ（ ， Ｕ（ Ｏ ） 如 Ｏ ）一 ， “ （ ０ ）一 ｘ ｒ ｔｘ ａ ｃｇ ．
将 研 究 具 有 奇 性 的 双 曲 型 方 程 （ ． ）具 有 初 边 界 １１
则
（ ｆ满 足 如 下 初 边 值 问 题 ： ，）
一 一 ２ ， ｖ ＞ ０， ｔ＞ ０，
条 件 （ ． ） （ ． ）的 整 体 光 滑解 的存 在 性 ． １２ ，１３
在 这 篇 文 章 中 ， 们 将 假 设 我
（ ．４） １
且 边 界 条 件是
］
０≤ （ （ ，） ｔ ）一 ０ ≥ ０ ，ｔ ．
（１ ３） ．
一 ０＋ ［ Ｚ
“ ， ）≤ Ｍ ０ （ ｔ ， “（ ｆ ） Ｍ １ ， ） ≤ ． 一
（． ） １ ５ （． ） １ ６
ｌ ｉ ｍ 一 “（ ，）＝ ｌ ｔ ＝ ｉ ＝ ｍ
显 然 ， 了 证 明定 理 １ １ 我 们 仅 需 证 明 如 下 引 理 ． 为 ． ，
收 稿 日期 ：２ ０ ～ ２ １ ． ０ ２ ０ — ９ ． 基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ Ｏ １ ３ ） １１ ０ ７． ７ 作 者 简 介 ：高 永 东 （ ４ ） 男 ， 北 蕲 春 人 ， 教 授 ， 要 从 事 非 线 性 偏 微 分 方 程 研 究 ． １６ 一 ， 湖 ９ 副 主
一
奇 性 的 双 曲型 方 程 的 初 边 值 问题 ：
“＋ｆ “ 一 ， ， 百 １ １一 ＞０ ＞０ （ １ ， ， １） ｆ ．
Ｉ 厶 ／Ｊ 工
初 始 条 件 是
“（ ， ）一 “０ ） ０ （ ， ≥ ０， （． １ ２）
且
“（ ， ） ∈ Ｃ Ｒ＋× Ｒ ＋）， ｔ （
摘
要 ：考 虑 了 在 ３ ＝ ０处 具 有 ｆ
、
１
／
、
． ２
“＋ ｆ “Ｊ 一一 ， ÷
ｒ
工
（） １
的 初 边 值 问 题 整 体 光 滑 解 的 存 在 性 ， 用 一 个 函 数 变 换 ， （ ）转 化 成 一 个 没 有 奇 性 的 双 曲 型 方 利 将 １ 程 ， 后 应 用 文 献 ［ ］ ［ ］建 立 的 关 于 一 阶 拟 线 性 双 曲 型 方 程 组 的 极 值 原 理 的 结 果 ， 得 相 应 问 题 然 ４ ，５ 获 解 的 ｃＬ模 估 计 ， 而 得 到 了初 边 值 问 题 整 体 光 滑 解 的存 在 性 ． 从 关 键 词 ：双 曲 型 方 程 ； 边 值 问 题 ；极 值 原 理 ；整 体 光 滑 解 初
在假设 （ ）（ Ａ。 ， Ａ ）下 ， 们 有 如 下定 理 ． 我 定 理 １ １ 在 假 设 （ ， Ａ ． Ａ ） （ ）下 ， 边 值 问 题 初 （ ． ） （ ． ） （ ． ）在 ｔ ０上 存 在 唯 一 的 整 体 光 １ １ ， １ ２ ，１ ３ ＞
滑 解 “ ，） 足 （ ｆ满