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课程编号：A071001复旦大学2020-2021学年第一学期数值分析期末试题A一.解下列各题（每小题6分）1.求极限n n nn )111(lim 2++∞→.2..已知f 是可导函数,且x x f dx d 11(arctan =，求4(πf '.微分法，可以补用考虑微分次数，不断向下推。
导数法，比需两边对同一变量求导。
3.求出23||ln )(2+-=x x x x f 的间断点，并指出是第几类间断点.4.已知2)13(lim 2=++-+∞→bx ax x x ,试确定其中常数b a ,.二.解下列各题（每小题7分）1.设⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x ,求22dx y d .2.试确定常数b a ,的值,使点)3,1(是曲线34bx ax y +=的拐点,并求出曲线的凹凸区间.3.求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数.4.已知2112sin )(1lim30=--+→x x e x x f ，求)(lim 0x f x →.复合函数与函数求导公式可以一起用。
三.(9分)设数列}{n x 满足010<<-x ,),2,1,0(221 =+=+n x x x n nn ,证明}{n x 收敛,并求n n x ∞→lim .四.(9分)设)(x f 有二阶连续导数,0)0(=f ,⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x g ，求)(x g '并讨论)(x g '的连续性.五.(9分)一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱,顶部是一个半球形,如果顶部单位面积的造价是侧面单位面积造价的二倍,问圆柱的底半径r 与高h 分别为多少时可使总造价最低?六.(8分）证明，当1>x 时，11ln +-≥x x x .七.(9分）(1)已知当0→x 时,2cos x e x -与k cx 是等价无穷小,求c 与k 的值;(2)求极限222sin )(cos 112lim 2xe x x x x x -+-+→.八.(4分)设)(xf 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,0)(≠'x f ,证明存在),(,b a ∈ηξ,使ηηξ---=''e ab e e f f a b )()(.最后一道题一定要会拼与凑。
09复旦数学分析考研试题一、 数学分析(90)1. 计算(每个6分)（1） 设∑为：2224(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑⎰⎰=_______。
（2） 1320(1)(1)x dx x x ++⎰=_______。
（3）ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。
（4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠，'()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。
（填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k απ∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。
2. 证明（每个15分）（1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ⨯上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-=证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续。
（2）21sin()n n n a a a n-=-求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d()()bd d ba c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+⎰⎰⎰⎰ （4）()f x 定义在区间(,)ab 上，对任一(,)x a b ∈0()()lim0y f x y f y y→+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。
二、 常微分方程（30）已知2(,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*]（1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。
复旦大学数学科学学院2015～2016学年第一学期期末考试试卷 《高等数学A （I ）》（）试题答案1．（本题满分40分，每小题5分）（1）16±；（2）23； （3）在1(1,e 1]---上单调减少，在1e 1)--+∞[，上单调增加；11(e 1)e f ---=-为极小值；（4）21arcsin 22x C +；（5）221e 1e -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（6）收敛；（7）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1232583814；（8）20x y z -+=。
2．（本题满分10分）3个。
3．（本题满分104．（本题满分10分）（1）6()28f x x cx =+（c 为任意常数）；（2）无拐点； （3）不存在。
5．（本题满分10分）2=A ，1=B ，45=C 。
6．（本题满分10分）（1）证；由2sin πx x ≥（π02x ≤≤）知sin π2x x ≥（01x ≤≤），所以()()11111000π1211sin d 1d =1211n n n n x x x x x n n ++-⎛⎫+≥++= ⎪++⎝⎭⎰⎰。
（2）由于()11100221π1sin d 11d 2112nn n n n x x x n n +-⎛⎫<≤+≤+= ⎪++⎝⎭⎰⎰， 利用极限的夹逼性可得110πlim 1sin d =22n nn x x →∞⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰。
（装订线内不要答题）7．（本题满分10分）（1）L 的方向向量可取为22112(1)(1)1c c c c c c=+--+-i j kj j k ， 因此L 的对称式方程为221211x y c z c c c c +--==---。
（2）在以上方程中令z t =，得22222(1),12(1),1ct c x A Bt c c c t y At B c-+-==-++-==++ 其中2211c A c-=+，221c B c =+。
