②作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()
()()0112≠x f x f x f ，并变形， ③判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较
()()12x f x f 与1的大小， ④根据定义作出结论．
（2）图象法；借助图象直观判断．
（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈
若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增，
若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减．
3．常见结论
若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；
若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)
(1x f 在其定义域内为减函数．
二、例题精讲
题型1：单调性的判断
1．写出下列函数的单调区间
（1）,b kx y += （2）x k
y =， （3）c bx ax y ++=2．
2．求函数22||3y x x =-++的单调区间．
３．判断函数f （x ）＝1
x 2－4x 的增减情况．
题型2：用定义法证明单调性
1.证明函数y=2x+5的单调性
5．判断函数f （x ）＝x x 1+
在（1,2）上的增减情况．
题型3：单调性的应用：
1．已知2
()(34)21f x k k x k =-+++-在R 上是增函数,则k 的取值范围 ．
2．函数2()(1)2f x x m x =+-+在(,4]-∞上是减函数,则求m 的取值范围 ．
3．已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-上是单调函数，a 的取值范围是 ． 4．函数f （x ）是R 上的减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34
）的大小关系 ．
题型4：抽象函数的单调性及其应用：
1.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是 ．
2．设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ）
求证：（1）f （1）＝0；
（2）f （ 1x
）＝－f （x ）； （3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数．
三、巩固练习
1．函数2y x
=-的单调递_____区间是______________________． 2．函数221y x x =+-的单调递增区间为_______________________．
3．已知()(21)f x k x b =++在R 上是增函数，则k 的取值范围是______________．
4．下列说法中，正确命题的个数是______________．
①函数2y x =在R 上为增函数； ②函数1y x
=-在定义域内为增函数； ③若()f x 为R 上的增函数且12()()f x f x >，则12x x >； ④函数1y x
=的单调减区间为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 5．函数()1f x x =+的增区间为 ．
6．函数1()1
f x x =+的单调减区间为 ． 7．函数14)(2+-=mx x x f 在]2,(--∞上递减，在),2[+∞-上递增，则实数m ＝ ．
8．已知函数)y f x =（在R 上是增函数，且f (m 2)＞f (-m )，则m 的取值范围是: __________．
9．函数()f x =的单调减区间 ．
10．若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范
为 ；
11．函数1||22+-=x x y 的单调增区间为 ．
12．求证函数1()f x x x
=-
在()0,+∞是单调增函数．
