当前位置：文档之家 › 弹塑性力学第二章 矢量和张量

弹塑性力学第二章 矢量和张量

  • 格式：ppt
  • 大小：467.00 KB
  • 文档页数：41

下载文档原格式

  / 41

合集下载

弹塑性力学-02(张量初步)

弹塑性力学-02(张量初步)


S jkm Aijk B im
17
对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。
R ijl Aijk B lk S jkm
点积 是最常用的一种内积，它是前张量A的最后指标与后 张量B的第一指标缩并的结果，记为 A B 。其指标符号为：
A B = Aijk B km
两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。 线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的 特例
i 1 3
i i i
abc i
i
i
若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明 对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以 示不计其数。 例如方程 c i a ib i d i
i
是自由指标
11
综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
'Байду номын сангаас
x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 j x j ;
'
x 3 a 3 1 x1 a 3 2 x 2 a 3 3 x 3 a 3 j x j ;
'
再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：
x i a ij x j
'
这里 j 是哑标， i 是自由指标。自由指标可以轮流取该指 标范围内的任何值，关系式将始终成立。
例如， R i Tijj 是一个保留了 i 方向性的矢量，而上述 S j Tiji 是一个保留了 j 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的 例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 j 代 表的是截面上应力的分解方向。 内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积 表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例 如：
弹塑性力学第二章PPT课件

弹塑性力学第二章PPT课件


面力平均集度：
p S
[力][长度] -2
一点面力的集度：
p lim S 0 S
pS
Ps方向：与ΔP的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
西南科技大学 力学教研室
力和应力的概念
2. 内力
物 体 在外力作用下
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
附加 的内 力场
当内力场足以和外 力平衡时，变形不 再继续
平衡
西南科技大学 力学教研室
二、应力的定义
应力：单位面积上的内力： lim p
S Sc 0
c
单位：帕（Pa)
反映了P点内力的强弱程
度，是度量内力分布强弱
程度的物理量。
应力二要素： 点的位置：不同点的应力不同 截面方位：同一点不同方位截面上的应力不同
yx
yz
力和应力的概念
一点的应力状态 ：
x yx
xy y
xz 坐标变换 yz
x yx
xy y
xz yz
zx zy z
zx
zy
z
西南科技大学 力学教研室
应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量， 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
平衡微 分方程
考虑物体内部任 意一个微分平行 六面体的平衡
静力边 界条件
考虑物体表面任 意一个微分四面 体的平衡
西南科技大学 力学教研室
边界条件
边界条件建立了边界上的物理量与内部物理 量间的关系，是力学计算模型建立的重要环节。
三种边界条件 （1）应力边界条件：在边界上给定内力。 （2）位移边界条件：在边界上给定位移。 （3）混合边界条件：在边界上部分给定面力，部分给定位移。
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)

第二章 张量(清华大学弹塑性力学)

利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
哈工大弹塑性力学02_张量概念

哈工大弹塑性力学02_张量概念

哈工大 土木工程学院
……

12 / 48
02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。

哈工大 土木工程学院
2 / 48
02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
弹塑性力学PPT课件

弹塑性力学PPT课件


早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为
Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移
面概念； • 1903年Kötter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
.
5
1.1 基本概念
• 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是 研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门科学。 应用于机械、土木、水利、冶金、采矿、建 筑、造船、航空航天等广泛的工程领域。
• 目的：（1）确定一般工程结构受外力作用时 的弹塑性变形与内力的分布规律；（2）确定 一般工程结构物的承载能力；（3）为进一步 研究工程结构物的振动、强度、稳定性等力 学问题打下必要的理论基础。
在加载过程中必须对其历史进行记录。
.
18
1.4 塑性力学的研究方法
• 宏观塑性理论 • 以若干宏观实验数据为基础，提出某些假设
和公设，从而建立塑性力学的宏观理论。特 点是： • 数学上力求简单，力学上能反映试验结果的 主要特性。 • 实验数据加以公式化，并不深入研究塑性变 形过程的物理化学本质。
.
.
6
弹塑性力学的基本假设
• （1）物体是连续的，其应力、应变、位移 都可用连续函数表示。
• （2）变形是微小的，忽略变形引起的几何 变化。
• 即连续介质和小变形假设。
.
7
弹性和塑性变形的特点
弹性变形的特点:
• 应力－应变之间具有一一对应的关系，
弹塑性力学名词解释

弹塑性力学名词解释

弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。

2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。

一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。

3.体积力：作用在物体每一点的外力。

比如每一点都有的重力。

4.面力：作用在物体表面的外力。

比如水给大坝表面的压力。

5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。

物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。

6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。

8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。

变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。

9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。

直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。

10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。

直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。

11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。

12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。

13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。

弹塑性力学2

弹塑性力学2

1 ω′ = − e : ω 2 1 ωi′ = − eijk ω jk 2
− ω21 0
ω32
− ω31 − ω32 0
′ ω1 ω32 ′ ωi′ = ω2 = ω13 ω ′ ω 3 21
(PQ)= (ds )
2
2
= δ jk dX j dX k
(ds ) − (ds )
* 2
2
= (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k )dX j dX k = 2 E jk dX j dX k
1 (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k ) 2
Green应变张量(二阶对称)
x X1, x1
第二章 运动与变形
一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
刚度分析
强度分析
元线段的相对伸长 两元线段的夹角变化
第二章 运动与变形 一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
X3 Q*
P: X
dx
P*
u+du
Q dX P
P*: x=X+u dx=dX+du Q*: x+dx =X+u+dX+du
（3）
等倾面
O
ωε
eicosωε
ωε
eicos(ωε-2π/3)
OP和1 轴之间的夹角， 称为应变形式指数或应 变状态的特征角。
第二章 运动与变形 二、应变张量
应变张量的其它特性和图形表示
（4）
应变星圆
第二章 运动与变形 二、应变张量
转动张量与转动矢量
1 ε = (u∇ + ∇u) 2
弹塑性力学

弹塑性力学


张量场的右梯度
S∇ = T
Tijk = Sij,k
2→3
16
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 几个常用的积分公式
Vu
Sn
u 在V+S上连续可微
∫V ∇ ⋅udV = ∫S n ⋅udS ∫ ∫ V ui,idV = S niuidS
∫V ∇ o UdV = ∫S n o UdS
广义Gauss公式
8
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 张量的不变量
笛卡儿张量简介(II)
3. 二阶张量 • 二阶对称张量的主方向和主值
三维二阶对称张量的独立不变量只有3 个，
三维二阶反对称张量的独立不变量只有1 个
9
10
笛卡儿张量简介(II)
4. 各向同性张量
T = αδ ij ei e j
⎜⎛α 0 0 ⎟⎞ ⎜0 α 0⎟ ⎜⎝ 0 0 α ⎟⎠
n个指标，n个坐标转换系数，n阶张量
2
笛卡儿张量简介(II)
商法则：如果它与一个矢量点积得到的是一个 n - 1阶张量，则该指标符号表示的是一个n 阶 张量。也可表示成，如果它连续和n 个矢量点 积得到一个标量，则该量是一个n 阶张量。
3
笛卡儿张量简介(II)
• 三、张量 2. 张量代数
4
笛卡儿张量简介(II)
பைடு நூலகம்
0 →1 1→ 0
矢量场的旋度 curlu = ω = eieijk ∂ juk = ∇ × u ωi = eijk ∂ juk
1→1
12
2
笛卡儿张量简介(II)
四、笛卡儿张量场 • 标量场与矢量场的微分
∇ ⋅ u = (ei∂i ) ⋅ (u j e j ) = (ei ⋅ e j )∂iu j = ∂iui = ui,i ∇ × u = (ei∂i ) × (u j e j ) = (ei × e j )∂iu j = ek ekij∂iu j = ek ekiju j,i
应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解答Revised on November 25, 2020应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。

解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。

解求出后，可求出及，再利用关系可求得。

最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。

如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。

解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。

解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。

解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。

由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。

解特征方程为记，则其解为，，。

对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。

解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。

解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。

解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。

如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。

02应变分析(弹塑性力学讲义)

02应变分析(弹塑性力学讲义)

2 2 d x d y 2 + d y d z 2 + d z d x 2 + 3 d xy + d 2 + d zx yz 2
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy

yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
塑性力学第二章

塑性力学第二章

2 3 2 n
令 则
2 n
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
τ + (σ n − σ2 +σ3
) ≥(
2
σ2 −σ3
2 2 σ 3 + σ1 2 σ 3 − σ1 2 2 ) ≤( ) τ n + (σ n − 2 2 σ1 + σ 2 2 σ1 − σ 2 2 2 ) ≥( ) τ n + (σ n − 2 2 主剪应力 τ
τ n = t (n) − σ n n
一点处坐标面上的应力矢量分量 记为 第一下标：面元方向 σ ij (i, j = 1, 2,3) 第二下标：应力方向
过一点所有面上的应力决定了该点处的应力状态
σ ij 已知，可求出任意方向面上应力
-- 微元体的平衡
σ 22 σ 21
σ ij 整体是个张量
对于二维情况已证明
yi = Aij x j
上式可以理解为张量 A 将矢量空间中的一个矢量变换 成矢量空间中的另一个矢量。并且这种变换是线性的。 在此意义下，A 定义了一个线性变换。
线性变换（张量）的特征矢量和特征值（主值） 若
A⋅ x = λ x
Aij x j = λ xi
x 为 A 的特征矢量； λ 为 A 的特征值（主值）
设P 为该曲面上一点
x3
σ ⋅x
x
x2
x = oP
x1
P 点处曲面法向为
∂f 1 ∂ =2 (σ jk x j xk ) = σ ik xk ni = ∂xi ∂xi
σ ⋅x
x
或
σ ⋅ x = grad f ( x )
即 σ ⋅ x 方向是二次曲面在P 点的法线方向
σ ⋅ x 方向恰好与 x 方向相同为主方向

弹塑性力学第二章


n 定理： r过P点以 单位外法线截面上的应
力矢量
t ( n )
是作用在通过P点坐标平面的应力矢
量t(1) t(x)、t(2) t(y) 、t(3) t(z)
x3
f
的线性函数、其系 数是 n的方向余弦，
C
-t(2)
-t(1) n
t(n)
n1 nx l n2 ny m
P
x2
B
n3 nz n
A
-t(3)
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
rr r t(x)lt(y)m t(z)n
2020/3/31
12
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
证：
-t(2)
设 ABCS,
P
则 PBCn1S,
A x1
PACn2S, PABn3S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
2020/3/31
13
§2-2 应力矢量和应力张量 x3
其中 Fx , Fy , Fz为沿三个坐标轴分量。
2020/3/31
5
§1-1 内力和外力
1.2 内力： 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。
在材力和结力中以N、M、Q形式出现，
但在弹力中常以应力来描述。
2020/3/31
6
§2-2 应力和应力张量
2.1 应力矢量 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时

弹性与塑性力学第2,3章习题答案

第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000（应力单位） 求出：（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。

解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nT i ，得n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 nT 3=σ3j n j =157.31所以，应力矢量nT 的大小为=nT [(nT 1 )2+(nT 2 )2+(nT 3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。

从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。

将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， 0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。

(d ）由式（2.96），可算σotc =1/3（0+100+300）=133.3τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。

弹塑性力学课件


任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. Albert Einstein
可以证明坐标转换矩阵具有正交性：βik βjk = βki βkj = δij 。
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
坐标变换
将向量看作 1 阶张量
u∗ j = ui βij
2 阶张量 T 的坐标分量满足 T∗ ij = βik βjl Tkl n 阶张量 R 满足下述坐标转换方程 R∗ i1 ······in = βi1 j1 · · · · · · βin jn Rj1 ······jn 而上述方程，在很多教科书中当作 n 阶张量的定义。
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
张量的并乘（张量积）

弹塑性力学第二章 矢量和张量


2、求和约定（缩略表示）
求和约定是为了简练表达求和关系式所采用的一种表示法。 即在同一项中指标重复两次，且求和项数不引起误解时 ，重复 的指标可以任意选择符号，且求和号可以省略 （Einstein求和 约定），如矢量U和V的内积可以表示为
3
U • V u1v1 u2v2 u3v3 ui vi uivi uk vk i 1
i 1
i 1
再如， 若n为单位矢量，p为常数， 则下列关于矢量r的方程代表一个平面
rgn p
在直角坐标系下可表示成
ax by cz p
在用直角坐标表示方 程时，数量关系更加 明确，但有时不够简 练！！
p r
平面方程rgn p
2.4 标量和矢量场
温度和密度等标量只取决于所考察的点所处的空间位置， 可以表示成位置坐标的函数 f (x1, x2 , x3 ) 。而方程
(w1, w2, w3) (u1 v1,u2 v2,u3 v3)
以下标表示
wi ui vi
2.3标量积和矢量积
有两类矢量乘积，标量积（又称点积或内积）和矢量 积（或差积），下面分别讨论。 1、标量积
矢量U和V的标量积定义为
U •V U V cos
这里 U 表示矢量的长度或模， 表示两矢量之间的夹角
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新
矢量，即(w1, w2 , w3 ) (u1 v1, u2 v2 , u3 v3 )
但下列表达式是不正确的
ui vi u1 v1 u2 v2 u3 v3
或

x' y'

塑性力学-第二章

lτ xy + m(σ y − σ ) + nτ zy = 0 lτ xz + mτ yz + n(σ z − σ ) = 0
(2-20)
(2-20) ′
由上述方程可求出一点应力状态的三个主应力值和对应的相互垂 直的三个主方向余弦。
弹塑性理论——塑性力学
<v> 主应力方程： 由
⎛σ x − σ ⎜ ⎜ τ xy ⎜ τ ⎝ xz σ x −σ 方程有非零解，必须有：
第二章 屈服条件和加载条件
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 基本假设 屈服条件概念 屈服曲面 Tresca和Mises屈服条件 屈服条件的实验验证 加载条件和加载曲面 Mohr-Coulomb和Drucker-Prager屈服条件
2.1 基本假定
弹塑性理论——塑性力学
对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设：
讨论：On线上任一点都对应一个球形应力状态，或静水应力状 态，其应力偏量的分量： s1 = σ 1 − σ m = 0 s2 = σ 2 − σ m = 0 s3 = σ 3 − σ m = 0
弹塑性理论——塑性力学
一、主应力空间
某一点的应力状态，可设想用应力空间一点P(σ1,σ2,σ3)来表示， 如图。OP为该点应力矢量，矢量OP可分解为沿等倾面法线On及 平行于等倾面的两个矢量 OQ及 r r OP=OQ+OS r r r r r OS： r r **OP = σ1i + σ 2 j + σ 3k = S1i + S2 j + S3k + (σ mi + σ m j + σ mk ) = OS + OQ σ3 若σ1= σ2= σ3= σm，该点的应力状态为 静水压力情况，则OP必沿On线方向， Q(σm,σm,σm) 此时OQ=OP，OS=0。故一般情况下， P(σ1,σ2,σ3) 把应力状态分界为静水压力及应力偏 量状态时，分矢量OQ代表静水压力部 σ2 分，而OS代表应力偏量部分，也就是 S(S1,S2,S3) 确定材料是否屈服的有关部分。

弹塑性力学及其应用02


=
∂u ∂x
dx
+
1 2

∂u ∂y
+
∂v ∂x
dy
+
1 2

∂u ∂z
+
∂w ∂x
dz
刚体转动，不引起应变 +
1 2

∂u ∂y
−
∂v ∂x
dy
+
1 2

∂u ∂z
−
∂w ∂x
dz
y ∂u
∂y
dv = ε yxdx + ε ydy + ε yzdz dw = ε zxdx + ε zydy + ε zdz
z
判变根断形据。整投个影平的行变六形面规体律的来
y o
x 行为以标阶由面一认面的于的个为上微变投投两的量形影影，个投微面面因平影小。可而，行只以两面相所合个在差以并平坐高可
2-1 一点的应变状态，应变与位移的关系
z C
C’
D’
D
在x轴上投影的伸长量
u1
−
u
=
∂u ∂x
dx
A’ A
B’ 沿x轴的伸长线应变
设某一物体发生如下的位移： u = a0 + a1x + a2 y + a3z, v = b0 + b1x + b2 y + b3z
试证明： 均为常数 w = c0 + c1x + c2 y + c3z ai ,bi ,ci 各应变分量在物体内为常数（即所谓均匀变形）； 物面面体保体内持变的为成平平斜面行平保面行持，六为平面平行体面线，，保圆直持球线为面保平变持行成为线椭直，球线正面，平。平行行六 证明： ①各应变分量在物体内为常数
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为了表示方便，可约定采用通用的单一下标来表示，即用 vi
来表示矢量的三个分量，这里很容易理解下标i取值是1到3。 如，式 xi 0 表示矢量X的各分量为零或X是零矢量。类似有
f ( X ) f (xi ) f (x j ) f (x1, x2 , x3 )
下标可以自由选取，xi 和 x j在上式中表示相同的矢量。
或以标量的坐标形式表示 V （v1, v2, v3)
两矢量U和V相等当且仅当对应分量相等，即 vi ui (i 1,2,3)
矢量的数乘和加减运算 数乘
U V
加减
W U V (u1 v1)e1 (u2 v2)e2 (u3 v3)e3
以分量的形式可以表示成
矢量点积的另外一种表达形式为
U •V u1e1 u2e2 u3e3 (v1e1 v2e2 v3e3 )
u1v1 u2v2 u3v3
3
uivi i 1
2 矢量积
利用右手坐标系，矢量U和V的矢量积可以定义一个新矢量 W.该矢量的长度为，如果U 和V位于纸平面, 那么 矢量W将和 纸平面垂直,且正向按右手螺旋法则确定.用叉积表示为:
例，三元一次齐次方程的缩略表示。
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
缩略表示第一步，方程组可以写成
a1 j x j b1
a2 j x j b2
a3 j x j b3
另一类量，除需要知道大小外还需要说明它的方向，
例如力、速度、加速度和位移等，这一类量称为矢量 （或向量）
表示矢量大小的数值称为矢量的模。
矢量可以用一条有向线段表示，使它的正方向指向矢 量的方向，它的长度等于矢量的模。表示矢量的记号一 般用带箭头的拉丁字母或黑体字表示,也可以用矢量的起 点和终点两字母表示。
u1 u2 u3 U • (V W ) v1 v2 v3
w1 w2 w3
(2.15b)
3）、 4）、
U (V W ) (U •W )V (U •V )W (U V ) W (U •W )V (V •W )U
U (V W ) (U V )W
矢量方程
(2.16) （2.17）
如果 ， 及V的偏导数存在，下列结果很容易得到证明
1、
• 2 2 2 2
x12 x22 x32
2

2 x12
2
x22
2
x32
称为拉普拉斯算子
2、 () （这里 和 是标量场）
3、 • (V ) •V V •
•V divV v1 v2 v3 x1 x2 x3
注： V • 没有意义。
3、矢量的旋度（Curl of a Vector）
梯度算子 和矢量V的叉积形成一个新矢量称为矢量的旋度
e1 e2 e3 V curlV
x1 x2 x3 v1 v2 v3
jj 11 22 33 3
ij 可以当成一个算子或函数来应用，如
i1v1 i2v2 i3v3 vi
或更一般地，有
ij v j vi
另外，可以很容易验证
ij ji ii 11 22 33 3
坐标的平移和转动
i 1
i 1
再如， 若n为单位矢量，p为常数， 则下列关于矢量r的方程代表一个平面
rgn p
在直角坐标系下可表示成
ax by cz p
在用直角坐标表示方 程时，数量关系更加 明确，但有时不够简 练！！
p r
平面方程rgn p
2.4 标量和矢量场
温度和密度等标量只取决于所考察的点所处的空间位置， 可以表示成位置坐标的函数 f (x1, x2 , x3 ) 。而方程
通过方程来表示（矢量）物理量的关系或几何事实
如，一个质点受力 F (1) , F (2) ,..., F (n) 作用，质点的平衡
条件为
F (1) F (2) ... F (n) 0
在直角坐标系Oxyz中，用投影表示
n
n
n
Fxi 0,
Fyi 0,
Fzi 0
i 1
易见有下列关系式
U V (V U )
混合积:
(2.13)
三个矢量U,V和W的混合积有下面的性质
1）、(U •V )W U (V •W ) (一般不相等)
(2.14)
2） U • (V W ) V • (W U ) W • (U V )
(2.15a)
（等于U、V和W三矢量组成的平行六面体的体积）也可以用 矩阵形式表示为
ds2 dx2 dy2 dz2
或

x' y'

x y
h k
若原点保持不动,新坐标系由Ox和Oy沿逆时针方向旋转角得到
则这类转换称为转动，坐标系转动后新老坐标系下的点P之间
满足
y
P
x x 'cos y 'sinY’

y

x
'
sin

y
' cos
x ' x cos y sin
W U V
(2.11)
几何上两矢量的叉积的大小表示该两矢量组成的平行四边 形的面积.矢量的叉积还可以用坐标系的单位矢量和行列式的形 式表示为
e1 e2 e3
W U V u1 u2 u3 v1 v2 v3
(2.12)
e1 (u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3 (u1v2 u2v1 )
f (x1, x2 , x3 ) c 表示三维空间的一个曲面，称为标量场。而流体中质点的 速度随位置的改变关系可以表示为矢量场 V (x1, x2 , x3 )。
1、标量场的梯度（gradient）
假设标量场Φ定义于一指定的空间区域，则其对各坐标
的导数为

Gi xi
（i=1,2,3）
这里的三个导数可以看成是矢量的三个分量，即
(w1, w2, w3) (u1 v1,u2 v2,u3 v3)
以下标表示
wi ui vi
2.3标量积和矢量积
有两类矢量乘积，标量积（又称点积或内积）和矢量 积（或差积），下面分别讨论。 1、标量积
矢量U和V的标量积定义为
U •V U V cos
这里 U 表示矢量的长度或模， 表示两矢量之间的夹角
在直角坐标系中，用ei (i 1, 2, 3) 表示起点在坐标
原点分别和各坐标轴平行的单位矢量。
坐标为 Vi (i=1,2,3)的空间任意一点可以用矢量OP 或V表示.矢量V也可以用其分量 Vi
（i=1，2，3）表示。即
V V1 V2 V3 或以单位矢量表示为 V v1e1 v2e2 v3e3
规律3：在表达式或一个方程中同一项中的下标重复多于 两次以上是错误的。
3 微分的表示
在指标表示中用逗号（comma）表示偏导数，如矢量V的散
度可以表示为
vi,i
v1,1 v2,2
v3,3
vi xi
•V
标量函数 的梯度可以方便地表示成
,ixi ( , , )
但要注意，非重复指标与重复指标的不同含义，如 ui vi 表示的是两个矢量的和（对应分量求和），得到的也是一个新
矢量，即(w1, w2 , w3 ) (u1 v1, u2 v2 , u3 v3 )
但下列表达式是不正确的
ui vi u1 v1 u2 v2 u3 v3
第2章 矢量和张量
2.1 引言
应力、应变、位移和本构方程的矢量与张量表示， 在许多文献和参考书中是很常见的。 对一些基本物理量的矢量和张量表示代替其分量的展开 形式表示，使得我们在描述这些物理量之间的关系时有 很大的优点。
因为其数学表达特别简练，因此可以帮助我们把注 意力集中于理解这些原理所表达的物理内涵而不是花更 多的精力在数学方程本身。
G grad ( , , )
这里 ( , , )
x1 x2 x3 表示梯度算子。
x1 x2 x3
需要强调指出， 是垂直于空间曲面 (x1, x2 , x3 ) c
的一矢量，且是曲面上的最大梯度（证明这里略）。
2、 矢量的散度（Divergence of a Vector） 一个梯度算子和一个矢量的点积称为矢量的散度（标量）
4、 cur lg rad () 0
5、 divcurlV • ( V ) 0
2．5 指标表示与求和约定
前面已经讨论，一个矢量V可以用多种方式表示，如
V (v1, v2 , v3 ) v1e1 v2e2 v3e3
在三维空间中，一个矢量有三个分量，要用三个下标。
其中
( ji ) (ij )T (ij )1
坐标变换矩阵,其逆矩阵为
三维空间
上述关系很容易推广到三维
类似地，有下面两个关系式
ij a ji aii a11 a22 a33
ei • e j ij
在三维欧氏空间，笛卡尔坐标系x,y,z下具有分量
dx, dy, dz的线元。线元长度的平方为
x1 x2 x3
的散度可以表示为
• 2 ,11 ,22 ,33 ,ii
4、克龙克勒符号 ij （Kronecker delta）
克龙克勒 ij 是单位矩阵的一种简单表示，即