导学先锋 高三数学答案

单元测试一、填空题（每小题4分，共40分） 1.化简：()3121133214(0.1)a b---⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⋅⋅________.2.化简21151********33a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果是________.3.计算：91log 2lg2lg503-++=________.4.若log 2a m =，log 3a n =，则2m n a +=________.5.已知lg 6a =，lg15b =，试用a 、b 表示lg 48=________.6.若lg lg(4)2lg(3)x y x y +=-，则x y -的值是________.7.如果11251111log log 33a +=，那么3a =________.8.若227x y A ==，且112x y+=，则A 的值是________. 9.方程()()22log 972log 31x x +=++的解为________. 10.若正实数a 、b 、c 均不为1，满足x y z a b c ==，且1110x y z++=，则abc 的值为________. 二、选择题（每小题4分，共16分） 11.下列各式中成立的一项是（ ）A.7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭34()x y +D.12.若102(32)(2)x x --+-有意义，则x 的取值范围是（ ）A.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.2,2(2,)3⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.2,2(2,)3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭13.若2log (2)log log a a a M N M N -=+，则的值为（ ）A.14B.4C.1D.4或114.若221x y +=，0x >，0y >，且log (1)a x m +=，1log 1a n x=-，则log a y 等于（ ） A.m n +B.m n -C.1()2m n +D.1()2m n - 三、解答题（15、16、17题每题5分，18题8分，19题9分，共32分） 15.已知17a a -+=，求下列各式的值： （1）33221122a a a a----；（2）1122a a-+；（3）22(1)a a a -->.16.设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=，若4log 11b c a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值.17.设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值. 18.已知不等式21212log 9log 902x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为M ，求当修正处x M ∈时，函数22log log 28x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值.19.已知2lg lg lg lg [lg()]0lg lg lg lg x y x y x y x y x y++-++=⋅，求2log ()xy 的值. 四、能力拓展题（本题12分） 20.设x 、y 、z 均为正数，且346x y z ==. （1）试求x 、y 、z 之间的关系；（2）求使2x py =成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的正整数）； （3）试比较3x 、4y 、6z 的大小.第4章 幂函数、指数函数与对数函数4.1 幂函数第1课时 幂函数的定义与图像一、填空题1.若一个函数为幂函数，又是二次函数，则该函数的表达式为________.2.若一个函数为幂函数，又是反比例函数，则该函数的表达式为________.3.若一个幂函数的图像过点(27,3)，则该函数的表达式为________.4.下列所给出的函数中，是幂函数的是________（填序号）. ①3y x =-；②3y x -=；③32y x =；④31y x =-5.若11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且图像关于原点成中心对称的所有a 的值为________________.二、选择题6.若幂函数a y x =的图像经过点⎛ ⎝⎭，则当4x =时的函数值为（ ） A.16B.2C.116D.127.函数43y x =的图像是（ ）8.下列命题中正确的是（ ）A.当0a =时，函数y x α=的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点C.幂函数32y x -=的定义域为[0,)+∞D.幂函数的图像不可能出现在第四象限 三、解答题9.已知函数()22211mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.10.已知函数()2221m m y m m x --=+，当m 取什么值时，这个函数是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）在第一象限内它的图像是上升曲线？11.已知幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确定函数的表达式.四、能力拓展题12.请把相应的幂函数图像代号填入表格.①23y x =；②2y x -=；③12y x =；④1y x -=； ⑤13y x =；⑥43y x =；⑦12y x -=；⑧53y x =.第2课时 幂函数的性质一、填空题 1.若幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 轴、y 轴无交点，且图像关于原点成中心对称，则m 的值为________.2.若一个幂函数的图像过点4(3,27)，则该函数的表达式为________.3.若幂函数249aa y x --=的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是严格减函数，则正整数a的值是________.4.直接比较下列组中两个值的大小：（1）6110.6________6110.7；（2）53(0.88)________53(0.89). 5.若幂函数()22231mm y m m x --=--在(0,)x ∈+∞时为严格减函数，则(0,)x ∈+∞________.二、选择题6.下列函数中在区间(0,3)上是严格增函数的是（ ）A.1y x =B.12y x =C.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2215y x x =--7.下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点(0,0)、(1,1)的是（ ） A.12y x =B.4y x =C.2y x -=D.13y x =8.若幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图像如图所示，则（ ） A.101n m -<<<< B.1n <-，01m << C.10n -<<，1m > D.1n <-，1m > 三、解答题9.已知幂函数()2732351t t y t t x+-=-+的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上为严格增函数，求函数的表达式.10.已知1133(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围.11.已知一个幂函数的图像经过点127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求该函数的表达式； （2）判断该函数的单调性. 四、能力拓展题 12.（1）求函数11x y x -=+的单调区间和对称中心； （2）求函数(0)x ay a b x b+=>>+的单调区间和对称中心；若此函数是由某个幂函数平移得到，求a 、b 满足的条件.4.2 指数函数第1课时 指数函数的定义与图像一、填空题 1.函数132xy -=的定义域是________.2.若函数()233x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为________.3.若函数2x y a -=（0a >，且2x y a -=），则该函数的图像恒过的定点坐标是________.4.若10.225x >，则实数x 的取值范围是________. 5.若函数()21xy a =-是严格减函数，则a 的取值范围是________. 二、选择题6.下列各式中，错误的是（ ） A.0.80.733> B.0.40.60.50.5>C.0.10.10.750.75-<D. 1.6 1.4>7.函数1x y a =+（0a >且1a ≠）的图像必经过点（ ） A.(0,1) B.(1,0)C.(2,1)D.(0,2)8.函数11312x y =+-的图像（ ） A.关于原点成中心对称 B.关于y 轴对称C.既关于原点成中心对称又关于y 轴对称D.既不关于原点成中心对称也不关于y 轴对称 三、解答题9.下列函数中哪些是指数函数，哪些是幂函数，哪些既不是指数函数也不是幂函数？（1）πx y =； （2）2y x =； （3）y =（4）y =（5）22x y =；（6）2x y =-.10.比较下列各组数中两个数的大小. （1） 2.61.2和 2.611.2；（2） 2.10.8-和 2.10.7-； （3）0.40.3和0.30.4.11.求函数()120.58xy -=-的定义域.四、能力拓展题12.已知函数23x y a -=（0a >，且1a ≠）. （1）求该函数的图像恒过的定点坐标； （2）指出该函数的单调性（不必证明）.第2课时 指数函数的性质一、填空题1.若函数(0,1)x y a a a =>≠的图像过点(-1,2)，则a =________.2.若函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点，则该定点坐标是________.3.若函数1xy a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________.4.若某地现有绿地2100km ，计划每年按1%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为________2km .5.若定义运算()*()a ab a b b a b ⎧=⎨>⎩，则函数1*2x y =的函数值的取值集合为________.二、选择题6.若0x >，函数()28xy a =-的值恒大于1，则实数a 的取值范围为（ ）A.(-2,2)B.(,2)(2,)-∞-⋃+∞C.(3,3)-D.(,3)(3,)-∞-⋃+∞7.若某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（ ）A.mB.12m C.121m - D.111m -8.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（2m ）与时间t （月）的关系：t y a =，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是（ ） A.①②③ B.①②③④C.②③④D.①②三、解答题9.已知函数21x b y a +=+（0a >且1a ≠，b 为实数）的图像恒过定点(1,2)，求b 的值.10.某地区脑卒中发病人数呈上升趋势.经统计分析，从2010年到2019年的10年间每两年上升2%，2018年和2019年共发病815人.如果按照这个比例下去，从2020年到2023年有多少人发病？11.已知函数221xxay+=+的图像关于原点对称.（1）求a的值；（2）判断函数的单调性（不需证明）.四、能力拓展题12.若函数22313x mxy+-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(1,1)-上是严格减函数，求实数m的取值范围.第3课时 指数函数的图像与性质一、填空题1.若函数()23xy a =-在0x <上的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________.2.若函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，则实数a 的值是________.3.方程||22x x +=的实根的个数为________.4.若函数141x y a =++的图像关于原点成中心对称，则实数a 的值为________. 5.若函数212x y a=-+（a 是常数），当1a =时，则函数的值域为________. 二、选择题6.若函数1221,0,0x x y x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩，当0x x =时函数值0x x =，则0x 的取值范围是（ ）A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D.(,1)(1,)-∞-⋃+∞7.若函数y =ax -（b +1）（0a >，1a ≠）的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ） A.1a >且0b >B.01a <<且0b <C.01a <<且0b >D.1a >且1b >8.若函数42x x y a a =-⋅+在(0,)x ∈+∞的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A.3aB.2a >C.04a <<D.4a <三、解答题9.已知[0,2]x ∈，求函数124325x x y -=-⋅+的最值.10.求函数2222xx y -++=的定义域和值域.11.已知对任意的x ∈R ，不等式22241122x mx m xx-+++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.四、能力拓展题12.已知函数11124x xy a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当1a=时，求函数在(,0)-∞上的值域；（2）若对任意[0,)y成立，求实数a的取值范围.x∈+∞，总有||3延伸阅读（9）——指数爆炸在延伸阅读（8）中，我们领略了两位伟人的数学故事.事实上，教科书第86页的引例，可以做更一般的探索.一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍；对折第二次，变为原来的2的2次方倍，即4倍；依次类推，假设纸的厚度为0.1mm ，则对折24次以后，高度超过1km ；对折39次高度达55000km ，超过地球赤道长度；对折42次高度达44万km ，超过地球至月球的距离；对折51次高度达22亿km ，超过地球至太阳的距离；对折82次高度为51113光年，超过银河系半径的长度.不过，这只是一个不符合实际的数学理论推理数字.那么在现实生活中，一张纸究竟能折多少次呢？如果纸为正方形，边长为a ，厚度为h ，当折叠一次的时候，折叠边长不变，厚度为2h ，折叠两次的时候，折叠边长为原边长的二分之一，厚度变为4h ，就这样折叠下去，可以推出一个公式：当折叠次数n 为偶数次时，折叠边长为0.512n ，厚度为2h ，当满足221log 13n h ⎛⎫>- ⎪⎝⎭时无法折叠.根据一般的纸张的状况，厚度大约为0.1mm ，边长为1m 时，根据上述公式，可以得出8.1918n >时无法折叠，这意味着对于厚度大约为0.1mm ，边长为1m 的正方形纸，只能折叠8次但折叠8次，人类是很难办到的，只能依靠机器.所以，一张纸最多能对折多少次，实际是一个变数，它取决于纸张的实际厚度与大小.在现实生活中，一张普通的A4纸，一般人可以折到6次，厉害的人可以折到7次，你能计算此时纸的厚度吗？杰米是百万富翁.一天，他碰到上一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月（31天）中每天给你1万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的2倍.”杰米答应了，合同开始生效，杰米欣喜若狂.第一天他支出1分钱，收入10万元；第二天，他支出2分钱收入10万元；到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出5元1角2分；到了第20天，米共得200万元，而韦伯才得5千元多.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变：第21天杰米支出1万多，收入10万.到第28天，杰米支出134万多，收入10万结果，杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时，共付给韦伯2100多万元！杰米破产了.最后，我们看细胞分裂：细菌个数每次增倍所需的时间是1小时，也就是说，如果设0时刻存在的细菌数量为1，则1小时后的细菌数量为2，于是一天（24h ）后的细菌数量是24.这串巨大的数字恰恰说明了指数增长的速度有多快，它还表明，我们需要小216777216心数学公式是否完全契合现实：1600万左右的细菌其实仍然很少（即使1万亿个细菌也才只有1g重），这个答案可能是精确的.但是，如果我们用公式计算6天后的细菌数量，我们得到的细菌质量将是地球质量的3700多倍；计算一周后的细菌数量，其质量将超过100000个太阳的质量.事实上，在几天内不断繁殖的细菌就能耗尽现有的所有食物，空间也越来越拥挤，没有足够的资源供细菌继续这样裂变，到最后细菌停止生长.由此可见，世界未覆灭于细菌王国，人类何其幸运！这就是指数爆炸！每周一练一、填空题1.若一个函数既是幂函数又是反比例函数，则该函数的表达式为________.2.方程210x x --=解的个数是________个.3.比较大小：（1）351.2________351. 3；（2）23(0.71)--________230.72-； （3）0.80.7________0.70.8.4.已知函数21x y =-，若函数在0x 的函数值都小于1，则0x 的取值范围是________.5.函数13x y a -=+恒过定点________.6.函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈-的值域为________.7.将函数231x y =-图像向上平移1个单位再向右平移1个单位，可得函数________的图像.8.若不等式23155xx x +-⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，则实数x 的取值范围是________. 9.若0x <时，()21xa -的值总是小于1，则实数a 的取值范围是________.10.若直线3y a =与函数11x y a +=-（0a >且1a ≠）的图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是________________.二、选择题11.若指数函数(2)x y a =-在x ∈R 上是严格减函数，则a 的取值范围是（ ） A .2a >B.3a <C.23a <<D.3a >12.若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（ ） A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限13.若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A.6B.8C. D.14.函数||2x y =的大致图像是（ ）三、解答题15.求下列函数的值域：（1）23113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）421x x y =++. 16.已知幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的草图.17.已知定义域为R 的函数122x x by a+-+=+的图像关于原点成中心对称.求实数a 、b 的值.18.已知函数x y a b =+（0a >且1a ≠）的定义域和值域都是修正处[1,0]-，求a b +的值.19.已知函数3131x x y -=+.（1）求函数的值域；（2）判断函数在(,)-∞+∞上的单调性（无需证明）. 四、能力拓展题 20.已知幂函数2232()p p y x p -++=∈Z 在R 上的图像关于y 轴对称，并在(0,)+∞为严格增函数（1）求p 的值，并写出此函数的表达式； （2）设函数232212p p y xqx q -++=-++，在（1）的条件下，问是否存在实数q ，使得此函数在区间[0,2]上有最小值为2-？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由.4.3 对数函数第1课时 对数函数的定义和图像一、填空题 1.函数()lg 821x y x -=-的定义域是________.2.若对数函数的图像过点(4,2)-，则此函数的表达式为________.3.若(1)log (1)k k +-有意义，则实数k 的取值范围是________.4.若函数2log (01)3xa y a ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________.5.若函数()22log 3y ax x a =++的定义域是R ，则a 的取值范围是________. 二、选择题6.若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图像不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限7.已知函数1log a y x =和2(2)y k x =-的图像如图所示，则不等式120y y 的解集是（ ）A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2)D.[1,2]8.如果log 2log 20m n <<，m 、n 为不等于1的正数，那么下列关系式中成立的是（ ） A.1n m << B.1m n << C.1m n <<D.1n m <<三、解答题9.（1）当3log (72)0x ->时，求实数x 的取值范围； （2）当13log (72)0x ->时，求实数x 的取值范围；（3）当3log (72)x x -恒取正值时，求实数x 的取值范围. 10.求函数()24log 32y x x =+-的最大值及相应x 的取值. 11.求下列函数的定义域：（1）12log y =（2）y ；（3）()log (0,1)x a y a a a a =->≠. 四、能力拓展题12.试求函数)2log 26y x x =++的定义域和值域.第2课时 对数函数的性质一、填空题 1.若4log 15x<，则x 的取值范围为________.2.函数y 的定义域是________.3.若集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{|lg(3)}B x y x ==-，则A B ⋂=________.4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =________.5.使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是________. 二、选择题6.与函数y x =为同一函数的是（ ）A.log x y x x =B.yC.log (0,1)a x y a a a =>≠D.log (0,1)x a y a a a =>≠7.方程()ln 9310x x +-=的根为（ ） A.1B.2-C.0D.0，1或2-8.若221log 01a a a+<+，则a 的取值范围是（ ）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.(1,)+∞C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题9.设函数11log 3x y =+，22log 2x y =，其中0x >且22log 2x y =，试比较1y 与2y 的大小. 10.已知函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ，求实数k 的取值范围.11.已知函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭. （1）求此函数的定义域；（2）若函数值都大于等于1-，求实数x 的取值范围. 四、能力拓展题12.已知函数()log 1(0,1)x a y a a a =->≠.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的单调性.复习与小结（1）一、填空题1.若0a >，1a ≠，则函数()23log 1a y x =++的图像恒过定点________. 2.函数32y x -=的定义域是________.3.若函数22313x mx y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(2,2)-上是严格减函数，则实数m 的取值范围是________.4.若函数142x x y m +=-⋅，存在实数0x ，0x x =和0x x =-的函数值相反，则实数m 的取值范围是________.5.若函数1231,(0),(0)x x y x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩在区间[1,]m -上的最大值是2，则m 的取值范围是________________.二、选择题6.若集合{}2|10A x x =->，{}2|log 0B x x =>，则A B ⋂等于（ ） A.{|}1x x > B.{|0}x x > C.{1|}x x <-D.11{|x x x <->或7.已知函数()2231m m y m m x +-=--是幂函数，且(0,)x ∈+∞时，若此函数是严格减函数，则m 的值为（ ）A.1-B.2C.1-或2D.38.若函数()23log 21y mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.[0,1] C.[1,)+∞ D.(,1)-∞三、解答题 9.已知函数223()mm y x m -++=∈Z 的图像关于y 轴对称，且3x =的函数值小于5x =的函数值，求m 的值，并确定该函数的表达式.10.求下列函数的定义域.（1）log (3)log (3)a a y x x =-++（0a >，且1a ≠）；（2）()2log 164x y =-.11.已知函数10101010x xx xy ---=+. （1）求函数的定义域； （2）求函数的值域. 四、能力拓展题12.已知函数()9log 91()x y kx k =++∈R 的图像关于y 轴对称. （1）求k 的值；（2）若此函数的图像在直线12y x b =+上方，求实数b 的取值范围.复习与小结（2）一、填空题1.若指数函数(12)x y a x =的最大值与最小值之和等于6，则2.若点(3,27)在幂函数(2)a y t x =-的图像上，则t a +=3.某食品的保鲜时间y （单位：h ）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx by e +=（ 2.718e =…为自然对数的底数，k 、b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间设计192h ，在22℃的保鲜时间是48h ，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.4.若函数()2lg 2y x ax =-+在区间(1,2)是严格减函数，则实数a 的取值集合是________.5.函数21(0,1)2x y x a a a =-->≠.若[1,1]x ∈-时，函数值均小于0，则实数a 的取值范围是________.二、选择题6.若0a >，0b >，且1ab =，1a ≠，则函数x y a =与函数log b y x =-在同一坐标系中的图像可能是（ ）7.设|1|3x y =-，c b a <<，若函数在x c =的函数值大于函数在x a =的函数值，函数在x a =的函数值大于x b =的函数值，则下列关系式中一定成立的是（ ）A.33c b >B.33b a >C.332c a +>D.332c a +<8.给出下列4个结论：①函数(0,1)x y a a a =>≠与函数log (0,1)x a y a a a =>≠的定义域相同 ②函数3(0)x y k k =⋅>（k 为常数）图像可由3x y =的图像平移得到③函数11(0)221x y x =+≠-的图像关于原点成中心对称且11212xy x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的图像关于y 轴对称④若幂函数a y x =的图像关于原点成中心对称，则a y x =是定义域上的严格增函数 则以上4个结论中正确结论的个数（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三、解答题9.求函数21144log 2log 5y x x =-+，[2,4]x ∈的最值.10.解不等式：1133(3)(12)a a ---<+.11.已知函数x y b a =⋅（其中a 、b 为常量，且0a >，1a ≠）的图像经过点(1,6)(3,24)A B 、.（1）求该函数的表达式；（2）若不等式110xxm a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围.四、能力拓展题12.（1）关于x 的方程1936(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]上有唯一解，求实数k 的取值范围；（2）已知关于x 的方程()2113(1)31(3)30x x x m m ++++---⋅=有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.单元测试一、填空题（每小题4分，共40分）1.若点⎝⎭在一个幂函数图像上，则这个幂函数的表达式是________.2.函数1lg 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是________.3.若函数(1)x y m =+在R 上是严格增函数，则实数m 的取值范围是________.4.若函数141x y a =+-的图像关于原点成中心对称，则实数a 的值为________. 5.若252222x x +-=，则()2lg 1x +=________.6.若实数x 满足不等式()222log 2log (4)x x x ->+，则实数x 的取值范围是________. 7.若函数()2lg 223y x ax a =-++的值域是R ，则实数a 的取值范围是________. 8.若直线y a =与函数21x y =-∣的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________. 9.无论a 为何值，函数(1)22x ay a =--恒过一定点，这个定点的坐标是________. 10.若函数0(3)4,0x a x y a x a x ⎧<=⎨-+⎩在(,)x ∈-∞+∞上严格单调递减，则实数a 的取值范围是________.二、选择题（每小题4分，共16分） 11.函数22log (1)y x x =+的值域为（ ） A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.[2,)+∞D.[3,)+∞12.方程1lg(2)2xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解的情况为（ ）A.两个正根B.一个正根一个负根C.一个正根D.无实数根13.不等式11log (21)log (1)a a x x --->-成立的充要条件是（ ） A.0x > B.0x >且2a > C.1x >且1a >D.x >1且2a >14.若函数()22log 217y x x =-+的值域为[,)m +∞，当正数a 、b 修正处满2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A.94B.1D.2三、解答题（15、16、17题每题5分，18题8分，19题9分，共32分） 15.已知m ∈Z ，函数28mmy x -=的图像关于原点对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求m的值.16.求121x y =-的值域. 17.银行一年定期储蓄年利率为2.25%，若存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%交纳利息税）转存一年定期储蓄.某人于年初存入银行5万元.（1）至少存几年，才可以得到大于2500元的利息？（2）若此人改为按三年定期储蓄存入银行5万元（三年定期储蓄的年利率为3.24%），三年后一次取出全部本息（利息按20%交税），问按哪一种方式能获得更多的利息？利息差是多少？（保留2位小数）18.已知关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有实数解，求实数a 的取值范围.19.已知x 满足222log 5log 60x x -+，求函数2124log log 2x y x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 四、能力拓展题（本题12分）20.已知函数3log ()y ax b =+的图像过点(2,1)A 和(5,2)B . （1）求此函数的表达式；（2）已知函数31log 2y t x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，若两个函数图像在区间[1,2)上有公共点，求t 的最小值.延伸阅读（10）——对数的故事教科书P75课后阅读《对数简史》，为我们展示了对数发展的脉络，而形成对数的数学思想，蕴含在对数的故事中.对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——约翰·纳皮尔（John Napier，1550-1617）.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔是一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？乘法转化为加法：在那个时代，计算多位数之间的乘积，是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：（1）0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…（2）1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的指数对应的幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算32512⨯的值，就可以先查第一行的对应数字：32对应于5，512对应于9；然后再把第一行中的对应数字相加：5914+=；再查第一行中的14，对应于第二行中的16384，所以有：3251216384⨯=.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了，这种“化乘除为加减”，达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年探索，纳皮尔于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了这项发明，并解释了这项发明的特点.改良与完善：该书的发表引起了另一位数学家亨利·布里格斯（Henry Briggs，1561—1630）的极大兴趣.1616年，他去拜访纳皮尔，建议将对数改良到以10为基底的对数表以方便使用，这就是后来常用对数了.约翰·纳皮尔本人也考虑过这个问题，遗憾的是，不久后（1617年春天）他便去世了.于是，布里格斯竭尽毕生精力完成了改良工作，以10为底列出一个很详细的对数表.第三位发现者：瑞士工程师兼钟表匠茱斯特·比尔吉（Joost Burg i，1552—1632）曾担任著名天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）的助手，因此常接触到复杂的天文计算，也产生了化简数值计算的强烈愿望.他早于纳皮尔创建了一种对数体系，但由于某些原因，直至1620年才在布拉格匿名发表.所以在对数体系发明这件事上，世人大多只记住了纳皮尔而鲜少提及比尔吉.因此，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣.恩格斯在《自然辩证法》中，曾把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分称为17世纪的三大数学发明.法国数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749—1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”广泛运用：利用对数这个工具，天文学家们就能够轻松地进行繁琐的大数相乘的运算，天文研究突飞猛进.连伽利略都说：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”除此之外，对数在经济学、统计学、生物学、化学等领域均得到广泛的应用.对数的发明和应用给了我们一个启示，数学理论的发展可以极大程度地推动社会生产、科学技术的进步.所以别再说学数学无用了——学好数学用处大大的！第5章 函数的概念性质及应用5.1 函数第1课时 函数一、填空题 1.函数1|2|1y x =+-的定义域是________.2.函数y =________.3.函数1(2)2y x x x =+>-的值域是________. 4.函数2121x x y -=+的值域是________.5.若(1)f x +的定义域为[1,2]，则()2log f x 的定义域是________. 二、选择题6.函数y =的定义域为（ ）A.(,1]-∞B.(,2]-∞C.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-⋃- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦7.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A.()f x x =，2()g x =B.()f x x =，()g xC.()f x ()g x =D.21()1x f x x -=+，()1g x x =-8.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A.()||f x x =，2()g x = B.()f x x =，11()g x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()f x x =，log ()a x g x a =D.()2ln ||f x x =，2()ln g x x =三、解答题9.求函数y =.10.求函数()222log 32y x ax a =-+的定义域.11.已知函数22()1x f x x =+，求：（1）1()f a f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）11(1)(2)(3)23f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）111(1)(2)(99)(100)23100f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、能力拓展题12.设函数()f x 的定义域为[0,1].（1）求函数()(21)F x f x =-的定义域；（2）设0a >，求函数()()()G x f x a f x a =++-的定义域.第2课时函数的表示方法一、填空题1.若函数2()1f x x=+，则[(1)]f f=________；[()]f f x=________.2.若21,0()2,0x xf xx x⎧+=⎨>⎩，则满足()10f x=的x=________.3.若1)2(1)f x x=-，则()f x=________.4.若()f x是一次函数，满足3(1)2(1)217f x f x x+--=+，则()f x=________.5.若13()24f x f xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x=________.二、选择题6.下列四个图像中，不是函数图像的是（）7.函数1yx a=+（常数0a<）的图像所经过的象限是（）A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限8.若x〈〉表示比x大且最接近x的整数，则函数y x=〈〉的图像与y x=的图像交点个数是（）A.0B.无数个C.1D.不确定三、解答题9.在同一平面直角坐标系中作出函数||y x=与|2|y x=-的图像..10.已知函数2(1) ()|1|x xf xx-=-；（1）作出该函数的图像；（2）写出该函数的值域.11.已知函数2()f x ax bx c=++，2()f x ax bx c=++，且(1)()1f x f x x+=++，试求()f x 的表达式.四、能力拓展题12.如图，已知动点P从边长为1的正方形ABCD顶点A开始沿边界绕一圈，若用x表示点P从A出发后的行程，y表示P A的长.求y关于x的函数解析式.5.2 函数的基本性质第1课时 函数的奇偶性（1）一、填空题1.函数311()4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的奇偶性是________.2.函数()31()4f x x x =+，[2,2)x ∈-的奇偶性是________. 3.函数42()f x x x =-的奇偶性是________；函数3()h x x x =-的奇偶性是________. 4.若函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a =________.5.若函数()f x 是R 的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++=________. 二、选择题6.函数(||1)(||3)y x x x =-的奇偶性是（ ） A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数7.若()f x 是定义在R 上的函数，则函数()()()F x f x f x =--在R 上一定是（ ） A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数8.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，若对任意x ∈R ，都有(4)()(4)f x f x f +=+成立，则(2022)f 的值为（ ）A.2022B.2020C.2018D.0三、解答题9.求证：函数2()2||f x x x =-+是偶函数. 10判断下列函数的奇偶性.（1）()f x =（2）11()312xg x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. 11.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且2()()231f x g x x x +=-+，求()f x 、()g x 的解析式.四、能力拓展题12.已知定义在R上的函数()f xy f x f y=+.f x满足()()()（1）求证：(1)(1)0=-=；f f（2）求证：()f x为偶函数第2课时 函数的奇偶性（2）一、填空题1.函数||y x =的图像关于对称________，函数的奇偶性是________.2.若()f x 在[-5,5]上是奇函数，且(3)(1)f f <，则(3)f -与(1)f -的大小关系是________.3.函数()f x ________.4.函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -⎧=⎨-+<⎩的奇偶性是________.5.若函数20192021()8bf x x a x x=+⋅--，(2)10f -=，则(2)f =________. 二、选择题6.“(0)0f =”是“()f x 是定义在R 上的奇函数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.下列命题中正确的是（ ） A.奇函数的图像一定过原点 B.21(44)y x x =+-<是偶函数 C.|1||1|y x x =-++是偶函数D.21x x y x -=-是奇函数8.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当()(1)f x x x =-时，()f x 等于（ ）A.(1)x x -+B.(1)x x +C.(1)x x -D.(1)x x --三、解答题9.判断下列函数的奇偶性： （1）(1)()1x x f x x +=+；（2）()f x10.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2(1)f x x x =+. 求：（1）当0x >时，()f x 的解析式；。

姓名，年级：时间：2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习综合试题（四)理科数学【p329】时间：60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题,每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{x｜－1<x<1｝，N＝｛x|x2<2，x∈Z｝，则（)A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝｛0} D．M∪N＝N【解析】解一元二次不等式x2<2，得－错误!<x<错误!，又x∈Z,所以N＝｛－1，0，1},所以M∩N＝｛0}．【答案】C2．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N）服从正态分布N(100，102),已知P（90≤ξ≤100）＝0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为( )A．20 B．10 C．14 D．21【解析】由题意知,P（ξ＞110)＝错误!＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×100＝20。

【答案】A3．《算数书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖"的术:置如其周,令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈错误!L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈错误!L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A.227B.错误!C.错误! D。

错误!【解析】设圆锥底面圆的半径为r,高为h，依题意，L＝2πr，13πr2h＝错误!（2πr）2h,所以错误!π＝错误!π2，即π的近似值为错误!.【答案】B4．设x，y满足约束条件错误!若z＝ax＋y仅在点错误!处取得最大值,则a的值可以为( ）A．4 B．2 C．－2 D．－1【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示，目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，其仅在点错误!处纵截距z取得最大值，得－a<－2，即a〉2，所以a的值可以为4。

第一章 三角函数 章末复习学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y=sin x ，y=cos x ，y=tan x 的图象.4.理解三角函数y=sin x ，y=cos x ，y=tan x 的性质.5.了解函数y=Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y=Asin(ωx＋φ)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=yx (x≠0). 2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α=1. (2)商数关系：tan α=sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠kπ＋π2，k∈Z .3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ=- 255，则y= .反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x ，y)，P 到原点的距离为r(r ＞0).则sin α=y r ，cos α=xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1.已知角α的终边在直线3x ＋4y=0上，求sin α，cos α，tan α的值.类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2.已知关于x 的方程2x 2- (3＋1)x ＋m=0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：(1)cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α=1及sin αcos α=tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cosαsin α.注意应用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.(2)诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2.已知f(α)=sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)=18，且π4<α<π2，求cos α- sin α的值；(3)若α=- 47π4，求f(α)的值.类型三 三角函数的图象与性质例3.将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y=3sin x 的图象. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g(x)的最小值和最大值.反思与感悟研究y=Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.跟踪训练3 函数f(x)=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值.类型四 三角函数的最值和值域命题角度1 可化为y=Asin (ωx＋φ)＋k 型例4.求函数y=- 2sin(x ＋π6)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.反思与感悟利用y=Asin(ωx＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4.已知函数y=asin(2x ＋π6)＋b 在x∈[0，π2]上的值域为[- 5，1]，求a ，b 的值.命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型例5.已知|x|≤π4，求函数f(x)=cos 2x ＋sin x 的最小值.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5.已知函数f(x)=- sin 2x- asin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为- 4，若实数a>0， 求a ，b 的值.类型五 数形结合思想在三角函数中的应用例6.已知方程sin(x ＋π3)=m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围.反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.跟踪训练6.设函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0).若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)=f(2π3)=- f(π6)，则f(x)的最小正周期为 .1.若一个α角的终边上有一点P(- 4，a)，且sin α·cos α=34，则a 的值为( ) A.4 3 B.±4 3 C.- 43或- 433D. 32.已知f(α)=sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f(- 31π3)的值为( )A.12B.- 13C.- 12D.133.函数y=|sin x|＋sin|x|的值域为( )A.[- 2，2]B.[- 1，1]C.[0，2]D.[0，1]4.函数f(x)=2sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.2，- π3B.2，- π6C.4，- π6D.4，π35.已知函数f(x)=- sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f(x)≤174对一切x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法. 课时作业 一、选择题1.已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.11π6 D.5π32.若sin(π- α)=- 53，且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α)等于( )A.- 53B.53C.- 23D.233.已知函数f(x)=12(sin x ＋cos x)- 12|sin x- cos x|，则f(x)的值域为( )A.[- 1，1]B.[-22，1] C.[- 1，22] D.[- 1，- 22]4.设函数f(x)=4sin(2x ＋1)- x ，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( ) A.[- 4，- 2] B.[- 2，0] C.[0，2] D.[2，4]5.将函数y=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增6.函数f(x)=Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)等于( )A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π67.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=π3对称；③在区间[5π6，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是( )A.y=cos(2x- π3)B.y=sin(2x- π6)C.y=sin(2x ＋5π6)D.y=sin(x 2＋π6)二、填空题8.设x∈(0，π)，则f(x)=cos 2x ＋sin x 的最大值是 .9.函数y=f(x)=Asin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于 .10.设函数f(x)=sin(2x ＋π3)，下列命题：①f(x)的图象关于直线x=π3对称；②f(x)的图象关于点(π12，0)对称；③把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数.其中正确命题的序号为 .11.已知函数f(x)=sin(2x ＋φ)，若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (π6)对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f(π)， 则f(x)的单调递增区间是 .三、解答题12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 1－sin α1＋sin α ＋ 1＋sin α1－sin α=22，求tan α.13.已知f(x)=3sin(2x ＋π4)- 1.(1)f(x)的图象是由y=sin x 的图象如何变换而来？(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值.四、探究与拓展14.将函数f(x)=2sin(ωx - π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[- π6，π4]上为增函数，则ω的最大值为 .15.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.答案解析例1答案为：- 8；解析： r=x 2＋y 2=16＋y 2，且sin θ=-255， 所以sin θ=y r =y 16＋y 2=- 255，所以θ为第四象限角，解得y=- 8.跟踪训练1.解：∵角α的终边在直线3x＋4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，- 3t)(t≠0)，则x=4t，y=- 3t.r=x 2＋y 2=(4t )2＋(－3t )2=5|t|.当t＞0时，r=5t，sin α=y r =－3t 5t =- 35，cos α=x r =4t 5t =45，tan α=y x =－3t 4t =- 34；当t＜0时，r=- 5t，sin α=y r =－3t －5t =35，cos α=x r =4t －5t =- 45，tan α=y x =－3t 4t =- 34.综上可知，sin α=- 35，cos α=45，tan α=- 34或sin α=35，cos α=- 45，tan α=- 34.例2.解：由根与系数的关系，得sin θ＋cos θ=3＋12，sin θcos θ=m2.(1)原式=sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ=sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ=sin 2θsin θ－cos θ- cos 2θsin θ－cos θ=sin θ＋cos θ=3＋12. (2)由sin θ＋cos θ=3＋12， 两边平方可得1＋2sin θcos θ=4＋234，1＋2×m 2=1＋32，m=32.(3)由m=32可解方程2x 2- (3＋1)x＋32=0，得两根12和32. ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0，2π)，∴θ=π6或π3.跟踪训练2.解：(1)f(α)=sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)=sin α·cos α.(2)由f(α)=sin α·cos α=18可知，(cos α- sin α)2=cos 2α- 2sin α·cos α＋sin 2α=1- 2sin α·cos α=1- 2×18=34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α- sin α<0，∴cos α- sin α=-32.(3)∵α=- 47π4=- 6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4 =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4 =cos π4·sin π4=22×22=12.例3.解：(1)函数y= 3 sin x的图象向下平移1个单位长度得y=3sin x- 1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y=3sin π3x- 1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y=3sin(π3x- π3)- 1的图象，∴函数y=f(x)的最小正周期为T=2ππ3=6.由2kπ- π2≤π3x- π3≤2kπ＋π2，k∈Z ，得6k - 12≤x≤6k＋52，k∈Z ，∴函数y=f(x)的单调递增区间是[6k - 12，6k＋52]，k∈Z .(2)∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y=f(x)的最值.∵当x∈[3，4]时，π3x- π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x- π3)∈[0，32]，∴f(x)∈[- 1，12].∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最小值是- 1，最大值为12.跟踪训练3解：(1)f(x)的最小正周期为π，x 0=7π6，y 0=3.(2)因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是， 当2x＋π6=0，即x=- π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6=- π2，即x=- π3时，f(x)取得最小值- 3.例4.解：∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈[π6，7π6]，∴- 12≤sin(x＋π6)≤1.当sin(x＋π6)=1，即x=π3时，y取得最小值1.当sin(x＋π6)=- 12，即x=π时，y取得最大值4.∴函数y=- 2sin(x＋π6)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.跟踪训练4.解：∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，76π]，sin(2x＋π6)∈[- 12，1].∴当a＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a＋b＝1，－a2＋b＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝4，b＝－3；当a＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b＝1，a＋b＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝－1.∴a，b的取值分别是4，- 3或- 4，- 1.例5.解：y=f(x)=cos 2x＋sin x=- sin 2x＋sin x＋1.令t=sin x，∵|x|≤π4，∴- 22≤sin x≤22.则y=- t 2＋t＋1=- (t- 12)2＋54(- 22≤t≤22)，∴当t=-22，即x=- π4时，f(x)有最小值，且最小值为- (- 22- 12)2＋54=1－22. 跟踪训练5.解：令t=sin x，则g(t)=- t 2- at＋b＋1=- ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a 22＋a 24＋b＋1，且t∈[- 1，1].根据对称轴t 0=- a2与区间[- 1，1]的位置关系进行分类讨论.①当- a2≤- 1，即a≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g (－1)＝a＋b＝0，y min ＝g (1)＝－a＋b＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2.②当- 1<- a2<0，即0<a<2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋b＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a＋b＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a＝－6，b＝－10(舍)，综上所述，a=2，b=- 2.例6.解：函数y=sin(x＋π3)，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x＋π3)=m2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1=sin(x＋π3)，y 2=m2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点， 所以32≤m2＜1，即3≤m＜2.跟踪训练6.答案为：π；解析：记f(x)的最小正周期为T.由题意知T 2≥π2- π6=π3.又f(π2)=f(2π3)=- f(π6)，且2π3-π2=π6，可作出示意图如图所示(一种情况)，∴x1=(π2＋π6)×12=π3，x2=(π2＋2π3)×12=7π12，∴T4=x2- x1=7π12-π3=π4，∴T=π.1.答案为：C；解析：由三角函数定义可知，r=a2＋16，sin α=aa2＋16，cos α=－4a2＋16，sin α·cos α=－4aa2＋16=34，得a=- 43或-433.2.答案为：C；解析：∵f(α)=sin αcos(－α)cos(π＋α)tan α=sin αcos α－cos α·sin αcos α=- cos α，∴f(-31π3)=- cos(-31π3)=- cos(10π＋π3)=- cosπ3=-12.3.答案为：C；解析：∵f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|sin x|＋sin x(x≥0)，|sin x|－sin x(x＜0)，∴0≤f(x)≤2.故选C.4.答案为：A；解析：从图象可得34T=5π12-⎝⎛⎭⎪⎫－π3=3π4，∴T=π=2πω，∴ω=2.又∵f⎝⎛⎭⎪⎫5π12=2sin⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ=2sin⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ=2，且-π2＜φ＜π2，∴φ=-π3.5.解：令t=sin x，则t∈[- 1，1]，则函数可化为f(t)=- t2＋t＋a=- (t-12)2＋a＋14.当t=12时，f(t)max=a＋14，即f(x)max=a＋14；当t=- 1时，f(t)min=a- 2，即f(x)min=a- 2.故函数f(x)的值域为[a- 2，a＋14].所以⎩⎪⎨⎪⎧a＋14≤174，a－2≥1，解得3≤a≤4.故实数a的取值范围为[3，4].课时作业1.答案为：D；解析：因为sin5π6=sin⎝⎛⎭⎪⎫π－π6=sinπ6=12，cos5π6=cos⎝⎛⎭⎪⎫π－π6=- cosπ6=-32，所以点⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，co s 5π6在第四象限. 又因为tan α=cos5π6sin5π6=- 3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3=tan 5π3， 所以角α的最小正值为5π3.故选D.2.答案为：C解析：∵sin(π- α)=- 53，∴sin α=- 53，又∵α∈(π，3π2)，∴cos α=- 1－sin 2α=- 1－59=- 23，∴sin(π2＋α)=cos α=- 23，故选C. 3.答案为：C；解析：f(x)=12(sin x＋cos x)- 12|sin x- cos x|=⎩⎪⎨⎪⎧sin x，sin x≤cos x，cos x，sin x＞cos x.函数f(x)的图象如图所示，由f(x)的图象，知f(x)的值域为[- 1，22].4.答案为：A；解析：由数形结合的思想，画出函数y=4sin(2x＋1)与y=x的图象，观察可知选A.5.答案为：B；解析：y=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向右平移π2个单位长度得到y=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象. ∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，则2x - 2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴y=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增. 6.答案为：A；解析：由图象知A=2，∵5π12- ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3=34T，∴T=π，∴ω=2.∵2×5π12＋θ=π2＋2kπ(k∈Z )，∴可取θ=- π3，∴f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 7.答案为：B解析：由T=2πω=π知，ω=2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x=π3时，函数值为最值，A错；由B的单调递增区间，可得- π2＋2kπ≤2x - π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，即为[- π6＋kπ，π3＋kπ](k∈Z )，当k=1时，[5π6，π]∈[5π6，4π3]，故选B.8.答案为：54；解析：∵f(x)=cos 2x＋sin x=- sin 2x＋sin x＋1=- ⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. 又∵x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，∴当sin x=12时，f(x)的最大值是54.9.答案为：2解析：由图知A=2，ω=π4，φ=0，∴f(x)=2sin π4x，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)=0.又f(x)的周期为8，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014).=f(1)＋f(2)＋…＋f(6)= 2.10.答案为：③解析：f(x)=sin(2x＋π3)的图象的对称轴方程满足2x＋π3=π2＋kπ(k∈Z )，解得x=π12＋kπ2(k∈Z )；f(x)=sin(2x＋π3)的图象的对称中心的横坐标满足2x＋π3=kπ(k∈Z )，解得x=- π6＋kπ2(k∈Z )；f(x)的周期为T=2π2=π，由(2x＋π3)∈[2kπ-π2，2kπ＋π2](k∈Z )，得f(x)的增区间为[kπ- 5π12，kπ＋π12](k∈Z )；把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到f(x)=sin[2(x＋π12)＋π3]=sin(2x＋π2)=cos 2x的图象，为偶函数.故只有③正确.11.答案为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z )； 解析：由题意可知，当x=π6时，f(x)取最值.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ=±1， ∴π3＋φ=π2＋kπ(k∈Z )，∴φ=π6＋kπ(k∈Z ). 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即- sin φ>sin φ， ∴sin φ<0.不妨取φ=- 5π6，则f(x)=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令- π2＋2kπ≤2x - 5π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，则π3＋2kπ≤2x≤4π3＋2kπ(k∈Z )，∴π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z )，∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z ). 12.解：∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，∴α是第二象限角，∴ 1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α= (1－sin α)21－sin 2α＋ (1＋sin α)21－sin 2α =2|cos α|=2－cos α=22， ∴cos α=-22，则sin α=22，tan α=- 1. 13.解：(1)将函数y=sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y=3sin(2x＋π4)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)=3sin(2x＋π4)- 1的图象.(2)最小正周期T=π，由2x＋π4=π2＋kπ(k∈Z )，得对称轴方程为x=π8＋kπ2(k∈Z ).当2x＋π4=π2＋2kπ(k∈Z )，即x=π8＋kπ(k∈Z )时，f(x)取得最大值2. 14.答案为：2； 15.解：(1)因为f(x)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x∈R ，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π. 由- π＋2kπ≤2x - π4≤2kπ(k∈Z )，得- 3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z )，故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z ). (2)因为f(x)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8=0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4=- 2cos π4=- 1， 所以函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x=π8；最小值为- 1，此时x=π2.。

第3章 概 率(B) (时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是________．(填序号) ①恰好有1件次品和恰好有两件次品； ②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品．2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．3．某班有50名学生，其中男、女各25名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率________碰到同性同学的概率．(填“大于”“小于”“等于”或“无法比较”)4．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．6．已知半径为a 的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．7．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________． 8．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为______________．9．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}的概率P (A )与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率P (B )大小关系为________．10．如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AC ＝BC ，AB 为圆O 的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC 内的概率是________．11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝25外的概率是________．12．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是__________．13．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．14．在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是__________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．16．(14分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．17．(14分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．18．(16分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．19．(16分)已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率；(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．20．(16分)如图所示，OA ＝1，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆孤上任取一点B ，求使△AOB的面积大于等于14的概率．第3章 概 率(B)1．①④ 2.133．大于解析 记“甲碰到同性同学”为事件A ，“甲碰到异性同学”为事件B ，则P(A)＝2449，P(B)＝2549，故P(A)<P(B)，即学生甲碰到异性同学的概率大． 4.13解析 在区间[－π2，π2]，0<cos x<12⇔x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2，其区间长度为π3，又已知区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2的长度为π，由几何概型知P ＝π3π＝13 5．0.25解析 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25.6.233π解析 因为球半径为a ，则正方体的对角线长为2a ，设正方体的边长为x ，则2a ＝3x ，∴x ＝2a3，由几何概型知，所求的概率P ＝V 正方体V 球＝x 343πa 3＝233π.7. π16解析 如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.8.25解析 可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41,42,43,45共4种；以5开头的：51,52,53,54共4种，所以P ＝820＝25.9．P(A)＝P(B)解析 横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的． 10.1π解析 连接OC ，设圆O 的半径为R ，记“所投点落在△ABC 内”为事件A ，则P(A)＝12·AB·OC πR 2＝1π. 11.712解析 本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的情况，可以用列表法，使x 2＋y 2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即2136＝712.12.49解析 可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4＝16(种)，而总的情况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得P ＝1636＝49.13.12 解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.14.23解析 由题意可知V S －APC V S －ABC >13，如图所示，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，因此V S －APCV S －ABC＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13(PM ，BN 为其高线)，又PM BN ＝AP AB ，故AP AB >13，故所求概率为23(长度之比)．15．解 a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b.因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225. 16．解 设A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件． 则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1， 设D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 是互斥事件，∴P(D)＝P(A ＋B ＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 17．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝512.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平．18．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P(M)＝618＝13.(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，所以P(N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P(N )＝1－16＝56.19．解 由于实数对(a ，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B.(1)若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，即满足条件的实数对(a ，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝416＝14.故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14.(2)若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则必须满足|b|a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1.若a ＝－2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b)有4种不同取值； 若a ＝－1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b)有2种不同取值； 若a ＝1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b)有2种不同取值，若a ＝2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b)有4种不同取值． ∴满足条件的实数对(a ，b)共有12种不同取值．∴P(B)＝1216＝34.故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34.20．解 如图所示，作OC ⊥OA ，C 在半圆弧上，过OC 中点D 作OA 的平行线交半圆弧于E 、F ，所以在EF 上取一点B，判断S △AOB ≥14.连结OE 、OF ，因为OD ＝12OC ＝12OF ，OC ⊥EF ，所以∠DOF ＝60°，所以∠EOF ＝120°，所以l EF＝120180π·1＝23π. 所以P ＝l EF π·1＝23ππ＝23.。

1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：① 不等式30x ->的解； ② 3的倍数；③ 方程2210x x -+=的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数；⑥ 周长为10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A .试试3： 设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ， －1 B .探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示 非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +； 整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ； 实数集：全体实数的集合，记作R .试试4：填∈或∉：0 N ，0R ，3.7 N ，3.7Z ， .探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：①15以内质数的集合；②方程2(1)0x x-=的所有实数根组成的集合；③一次函数y x=与21y x=-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x=的图象与二次函数2y x=的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A．某个村子里的高个子组成一个集合B．所有小正数组成一个集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D．1361,0.5,,,2242. 给出下列关系：①12R=；②Q；③3N+-∉；④.Q 其中正确的个数为（）.A．1个B．2个C．3个D．4个3. 直线21y x=+与y轴的交点所组成的集合为（）.A. {0,1}B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合. 2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.45复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 .复习2：集合2{21}A x x =++的元素是 ，若1∈A ，则x = .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※ 学习探究 思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法 ① {方程210x -=的根}； ② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合； （2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如 {|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别. （1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x=-.反思与小结：①描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x=-与2{|1}y y x=-不同.②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x>，{|3,}x x k k Z=∈.③集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.④列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数. 练 2. 已知集合{|33,}A x x x Z=-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A==+∈. 试用列举法分别表示集合A、B.三、总结提升※学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x=+与集合2{|1}y y x=+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x=∈≤<，则下列正确的是（）.A. 6A∈ B. 0A∈C. 3A∉ D. 3.5A∉2. 下列说法正确的是（）.A.不等式253x-<的解集表示为{4}x<B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k=C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x-=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x=-与2y x=-的图象的交点组成的集合是（）.A. {1,2}- B. {1,2}x y==-C. {(2,1)}- D.3{(,)|}2y xx yy x=-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x=∈≤<为.5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}，2{|650}B x x x=-+=，用∈或∉填空：4 A，4 B，5 A，5 B.1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N=+=∈∈，试用列举法表示集合A.（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A=-，集合2{|0}B x x ax b=++=，且A B=，求实数a、b.§1.1.2 集合间的基本关系学习目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用V enn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.学习过程一、课前准备（预习教材P 6~ P 7，找出疑惑之处）复习1：集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为： ()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ； （2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ； （3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.B A※典型例题例 1 写出集合{,,}a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x=->与{|250}B x x=-≥；（2）设集合A={0,1}，集合{|}B x x A=⊆，则A 与B的关系如何？变式：若集合{|}A x x a=>，{|250}B x x=-≥，且满足A B⊆，求实数a的取值范围.※动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x=-+=，B＝{1,2}，{|8,}C x x x N=<∈，用适当符号填空：A B ，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B⊆，则实数a的取值范围为.三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n21n-个.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列结论正确的是（）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x xB x x a=>=>，且A B⊆，则实数a的取值范围为（）.A. 1a< B. 1a≤C. 1a> D. 1a≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c=++=，则（）.A. 3,2b c=-= B. 3,2b c==-C. 2,3b c=-= D. 2,3b c==-4. 满足},,,{},{dcbaAba⊂⊆的集合A有个.5. 设集合{},{},{}A B C===四边形平行四边形矩形，{}D=正方形，则它们之间的关系是，并用V enn图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A⊆⊆⊆⊆试用V enn图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q=++=，2{|320}B x x x=-+=且A B⊆，求实数p、q所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用V enn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}；0 ∅；∅{x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S，{x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A=，{3,5,7,8}B=.（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：{|,}.A B x x A x B=∈∈I且Venn图如右表示. ②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A BU，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B=∈∈U或.Venn图如右表示.试试：（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝；（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝；（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝.（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？（3）A∩A＝；A∪A＝.A∩∅＝；A∪∅＝.※典型例题例1 设{|18}A x x=-<<，{|45}B x x x=><-或，求A∩B、A∪B.变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，{|45}B x x x=><-或，则A∩B= ；A∪B= . 小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.A例2 设{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|327}B x y x y=+=，求A∩B.变式：（1）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|43}B x y x y=+=，则A B=I ；（2）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|8212}B x y x y=+=，则A B=I.反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※动手试试练 1. 设集合{|23},{|12}A x xB x x=-<<=<<.求A∩B、A∪B.练2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A BI与B CI的含义.三、总结提升※学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.※知识拓展A B C A B A C=I U I U I（）（）（），A B C A B A C=U I U I U（）（）（），A B C A B C=I I I I（）（），A B C A B C=U U U U（）（），A AB A A A B A==I U U I（），（）.你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z xB x Z x=∈≤=∈>那么A BI等于（）.A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5} C．{2,3,4}D．{}15x x<≤2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（）.A. x=3, y=－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C===，则()A B CI U等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a=>，{|03}B x x=<<，若A B=∅I，求实数a的取值范围是.5. 设{}{}22230,560A x x xB x x x=--==-+=，则A BU= .课后作业1. 设平面内直线1l上点的集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试分别说明下面三种情况时直线1l与直线2l的位置关系？（1）12{}L L P=I点；（2）12L L=∅I；（3）1212L L L L==I.2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={13-}，求A BU.§1.1.3 集合的基本运算（2）学习目标1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用V enn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习过程一、课前准备1011复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 .若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：A B =I ； A B =U . 复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究 探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集. ① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ； （2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝ ；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A ð= ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求UC A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B U 、()()U U C A C B I .※ 动手试试练1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =I ，(){4,6,8}I C A B =I ，{2}A B =I . 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1） ； （2） ；（3） ； （4） .反思：结合V enn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A =I ，()U A C A =U ； （2）()U U C C A = .三、总结提升※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？ （1）()()()U U U C A B C A C B =U I ； （2）()()()U U U C A B C A C B =I U .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（ ） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）.A. {|02}x x x ≤≥或B. {|02}x x x <>或C. {|2}x x ≥D. {|2}x x > 3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =I ð（ ）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .课后作业1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =I ，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？A B =I ； A B =U ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ； A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；()U A C A =I ；()U A C A =U ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学※ 典型例题 例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =U ，A B ≠I ∅，(){1,2}U A C B =I ，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==U I 且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。

高三数学导数及其应用多选题知识点总结及答案一、导数及其应用多选题1．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．22sin 24x x x >+ D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()224x h x x =+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+， 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+ ()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t =， 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =单调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)xf e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin x f x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x -'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<.故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．设函数()ln x f x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥ D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈ 【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax =-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x m x +=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln x f x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln x f x x =在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立， 可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-， 则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln x a x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-， 由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点，当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1f g θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t fg θθ=+的最大值为2.【答案】ACD【分析】 依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos f θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t fg θθ=+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。

《算法初步》答案第一章第一节《算法的概念》【技能提炼】1.解：算法一：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水.第三步，洗刷茶具.第四步，沏茶.算法二：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具.第三步，沏茶.点评:解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法•上血的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学.【变式】算法：笫一步，从已知线段的左端点A出发，任意作一条与不平行的射线AF.第二步，在射线AF上任取一个不同于端点A的点C,得到线段AC.第三步，在射线AF上沿AC的方向截取线段CD = AC・第四步，在射线AF上沿AC的方向截取线段DE = AC.第五步，连结BE.第六步，过点C作BE的平行线，交线段于G,这样点G就是线段的一个3等分点.点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力，并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法，可谓一举多得，应多加训练.*2.算法一：第一步，计算1 + 2得到3・第二步，将第一步得到的运算结果3与3相加，得到6.第三步，将第二步得到的运算结杲6与4相加，得到10.第四步，将第三步得到的运算结果10与5相加，得到15.第五步，将第四步得到的运算结果15与6相加，得到21. 算法二第一步，输入比的值6 .第二步，计算s = + D・2第三步，输出S.算法三：第一步，输入比的值6 .第二步，令z = l , 5 = 0.第三步，判断“ i<n ff是否成立，若不是，输出S,结束算法；若是，执行下一步. 第四步，令S的值增加几仍用S表示，令i的值增加1,仍用i表示，返回第三步.*【变式】第一步，计算2x4得到8.第二步，将第一步得到的运算结果8与6相乘，得到48.第三步，将第二步得到的运算结杲48与8相乘，得到384. 第四步，将第三步得到的运算结果384与10相乘，得到3840.* 3 .算法一：第一步，任取2枚银元分别放在天平左右两边进行称量，如果天平不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第二步.第二步，取下右边的银元，放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一边就是假银元.算法二第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚.第二步，先将其中两组放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组; 如果天平左右平衡，则假银元就在未称量的那一组里.第三步，取出含假银元的那一组，从屮任取2枚银元分别放在天平左右两边进行称量，如果天平不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平平衡，则未称的那一枚就是假银元.*【变式】第一步，人带两只狼过河.第二步，人自己返冋.第三步，人带一只羊过河.第四步，人带两只狼返冋.第五步，人带两只羊过河.第六步，人自己返回.第七步，人带两只狼过河.第八步，人自己返回.第一步，人带一只狼过河.变式反馈1. 3 即(2) (3) (4) (6)；2.(1) (2) (4)* 3. (1)算法与技能提炼2类似.(2)算法与技能提炼2的变式类似.* 4.第一步，人带羊过河.第二步，人自己返冋.第三步，人带青菜过河.第四步，人带羊返回.第五步，人带狼过河.第六步，人自己返回.第七步，人带羊过河.【技能提炼】* 1.解法一：程序框图如下: 解法二：程序框图如下:【变式】解法类似技能提炼1的解法一2.算法:第一步, 输入a.b.h.第二步,2输出S •第三步，程序框图如右图所示:*【变式】解：程序桩图如右图所75：3. 解：用P 表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤: 2005 年 P=10 000x (1+3%) =10 300； 2006 年 P=10 300x (1+3%) =10 609；2007 年 P=10 609x (1+3%) =10 927.27； 2008 年 P=10 927.27x (1+3%) =11 255.09；因此，价格的变化情况表为： P=10 609x1.03=10 927.27y = -x结束*2. 解法一：⑴(a — I)2:(2)。

第3章 概 率3.1 随机事件及其概率课时目标 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．1．随机现象在一定条件下，____________________________，这种现象就是确定性现象．在一定条件下， ____________________________________________________________，这种现象就是随机现象．2．事件对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次________．而试验的每一种可能的结果，都是一个________．3．随机事件在一定条件下，______________的事件叫做必然事件．____________________叫做不可能事件．__________________叫做随机事件．4．随机事件的概率(1)定义：一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的________会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的________，记作________．(2)性质：对于任意一个随机事件A ，P (A )的范围是__________．(3)用Ω和Ø表示必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝____，P (Ø)＝____.一、填空题1．下列事件中：①如果a >b ，那么a －b >0；②将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；③三个小球全部放入两个盒中，其中一个盒子里有三个球；④若x ∈R ，则x 2<0.其中是随机事件的为________．(填序号)2．将一颗骰子抛掷600次，掷出点数大于2的次数大约是________次．3．一个口袋内装有大小相同且编号为1,2,3,4的四个乒乓球，从中任意摸出2球，则这一试验共有______种可能性．4．在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，事件A 发生的概率P (A )与m n的关系是______________．5．在一篇英文短文中，共使用了6 000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e ”共使用了900次，则字母“e ”在这篇短文中的使用的频率为________．6．同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜板更可能是下面哪种情况________．(填序号)①这100个铜板两面是一样的；②这100个铜板两面是不一样的；③这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的；④这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的．7．盒中装有4只白球5只黑球，从中任意取出1只球．(1)“取出的球是黄球”是________事件，它的概率是________；(2)“取出的球是白球”是________事件，它的概率是________；(3)“取出的球是白球或黑球”是________事件，它的概率是________．8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼．9．从12个同类产品(其中10个正品，2个次品)，任意抽取6件产品，下列说法中错误的是________．(填序号)①抽出的6件产品中必有5件正品，一件次品；②抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品；③抽取6件产品时逐个不放回抽取，前5件是正品，第6件必是次品；④抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，一件次品．二、解答题10．结果如下：从这100(1)事件A (6.92<d ≤6.94)的频率；(2)事件B (6.90<d ≤6.96)的频率；(3)事件C (d >6.96)的频率；(4)事件D (d ≤6.89)的频率．11．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率．能力提升12．掷一枚骰子得到6点的概率是16，是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点？13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)3．1 随机事件及其概率知识梳理1．事先就能断定发生或不发生某种结果某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果 2.试验事件 3.必然会发生肯定不会发生的事件可能发生也可能不发生的事件 4.(1)频率概率P(A)(2)0≤P(A)≤1(3)10作业设计1．②③解析 ①是必然事件，④是不可能事件，②、③是随机事件．2．400解析 N ＝46×600＝400. 3．6解析 可能出现以下情形：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．4．P(A)≈m n5．0.15解析 频率＝9006 000＝0.15. 6．①解析 一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100个铜板两面是一样的可能性最大．7．(1)不可能 0 (2)随机 49(3)必然 1 8．750解析 设池塘约有n 条鱼，则含有标记的鱼的概率为30n ，由题意得：30n×50＝2， ∴n ＝750.9．①③④解析 由于12个产品的正品率为1012＝56， 次品率为212＝16，故抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品． 10．解 (1)事件A 的频率f(A)＝17＋26100＝0.43. (2)事件B 的频率f(B)＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93. (3)事件C 的频率f(C)＝2＋2100＝0.04. (4)事件D 的频率f(D)＝1100＝0.01. 11．解 (1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A ，由题意知，A 为不可能事件，∴P(A)＝0.(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B ，由题意知P(B)＝50250＝15＝0.2. (3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C ，由题意知事件C 为必然事件，所以P(C)＝1.12．解 抛掷一枚骰子得到6点的概率是16，多次抛掷骰子，出现6点的情况大约占16，并不意味着掷6次一定得到一次6点，实际上，掷6次作为抛掷骰子的6次试验，每一次结果都是随机的．13．解 (1)这种鱼卵的孵化概率P ＝8 51310 000＝0.851 3. (2)30 000个鱼卵大约能孵化30 000×8 51310 000＝25 539(尾)鱼苗． (3)设大概需备x 个鱼卵，由题意知5 000x ＝8 51310 000. ∴x ＝5 000×10 0008 513＝5 900(个)．∴大概需备5 900个鱼卵．。

第十一节导数的应用知识点一利用导数研究函数的单调性函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，1．若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内是单调递增函数；2．若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内是单调递减函数；3．若恒有f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常函数．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．(√)(4)开区间上的单调连续函数无最值．(√)2．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(A)A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数解析：当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．3．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是(D)A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)解析：函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x ＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2.知识点二利用导数研究函数的极值函数极值的概念函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．4．(选修2—2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(A)A．1 B．2C ．3D ．4解析：由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．5．函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝1处有极值，则常数a ＝1.解析：∵f ′(x )＝1x －a ，∴f ′(1)＝1－a ＝0，∴a ＝1，经检验符合题意．知识点三 函数最值的求解步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值与最小值分别为4，－43.解析：由f (x )＝13x 3－4x ＋4，得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )>0，得x >2或x <－2；令f ′(x )<0，得－2<x <2.所以f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；在(－2,2)上单调递减，而f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，故f (x )在[0,3]上的最大值是4，最小值是－43.1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．3．注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．(1)若函数在开区间(a ，b )内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．(2)若函数在闭区间[a ，b ]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．第1课时 导数与函数的单调性考向一 利用导数讨论函数的单调性【例1】 (1)(2019·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是____________．(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0,2)上的单调性．【解析】 (1)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (2)因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k x 2(0<x <2，k >0)．①当0<k <2时，4k >k >0，且4k >2，所以x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，x ∈(k,2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k,2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0,2)上恒成立，所以f (x )在(0,2)上是减函数，③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 时，f ′(x )<0，x ∈4k ，2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，2上是增函数． 【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 (2)见解析在例1(2)中，将“(0,2)”改为“(0，＋∞)”，其他条件不变，求函数f (x )的单调区间．解：由例题知f ′(x )＝－(x －k )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k x 2(x >0，k >0)． ①当0<k <2时，k <4k ，f (x )的单调减区间为(0，k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，＋∞，增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k ，4k . ②当k ＝2时，k ＝4k ＝2，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数．③当k >2时，k >4k ，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 和(k ，＋∞)，增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，k .1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域.(2)求f ′(x ).(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.,2.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(1)函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( B ) A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 解析：由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选B. (2)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ，令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间．解：由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x .若a ≤0，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；若a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. 考向二 根据函数单调性求参数的范围【例2】 (1)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)内是减函数，则b的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)(分离参数法)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)内是减函数，则对任意x ∈(－1，＋∞)，f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0，只需b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)内恒成立，令y ＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，则在(－1，＋∞)内y >－1，∴b 的取值范围是b ≤－1.(2)∵函数f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a .∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a >0有解，即a <2x －e x 有解．令g (x )＝2x －e x ，g ′(x )＝2－e x ＝0，x ＝ln2，g ′(x )＝2－e x >0，x <ln2，g ′(x )＝2－e x <0，x >ln2，∴当x ＝ln2时，g (x )max ＝2ln2－2.∴a <2ln2－2.故实数a 的取值范围是(－∞，2ln2－2)．【答案】 (1)b ≤－1 (2)(－∞，2ln2－2)1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围.2.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.(1)设函数f (x )＝ln x x 在区间(a ，a ＋2)内单调递增，则实数a 的取值范围是[0，e －2]．(2)已知函数g (x )＝kx 3－x －2在区间(1,2)内不单调，则实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k 112<k <13. 解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln x x 2，由f ′(x )＝1－ln xx 2>0，解得0<x <e ，即函数的递增区间为(0，e)．若函数f (x )在区间(a ，a ＋2)内单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ，a ＋2≤e ，即0≤a ≤e －2. 故实数a 的取值范围是[0，e －2]．(2)依题意g ′(x )＝3kx 2－1.①当k ≤0时，g ′(x )＝3kx 2－1≤0，∴g (x )在(1,2)内单调递减，不满足题意；②当k >0时，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13k 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ，＋∞内单调递增．∵函数g (x )在区间(1,2)内不单调， ∴1<13k <2，解得112<k <13.综上所述，实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k 112<k <13. 考向三 函数单调性的简单应用方向1 比较大小【例3】 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则( )A ．4f (－2)<9f (3)B ．4f (－2)>9f (3)C ．2f (3)>3f (－2)D ．3f (－3)<2f (－2)【解析】 根据题意，令g (x )＝x 2f (x )，其导数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，又对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则当x >0时，有g ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))>0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)<g (3)，则有g (－2)<g (3)，即有4f (－2)<9f (3)．故选A.【答案】 A 方向2 解不等式【例4】 设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )>0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．【解析】 令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )，所以g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)，所以f (x )＝xg (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，g (x )<0，解得x >2或－2<x <0，故不等式f (x )>0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．【答案】 (－2,0)∪(2，＋∞)1．(方向1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( B )A ．4f (1)<f (2)B ．4f (1)>f (2)C ．f (1)<4f (2)D ．f (1)<4f ′(2)解析：设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2)，故选B.2．(方向1)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( D )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0) 解析：构造F (x )＝f (x )e x 形式，则F ′(x ) ＝e xf ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x， 导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则F ′(x )<0，F (x )在R 上单调递减，根据单调性可知选D.3．(方向2)已知函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 021，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2 017的解集为(C) A．(－2，＋∞) B．(－2,2)C．(－∞，－2) D．(－∞，＋∞)解析：令函数F(x)＝f(x)－x2－2 017，则F′(x)＝f′(x)－2x<0，则函数F(x)是减函数，且满足F(－2)＝f(－2)－4－2 017＝0，故不等式f(x)>x2＋2 017可化为F(x)>F(－2)，即原不等式f(x)>x2＋2 017的解集为{x|x<－2}．故选C.第2课时导数与函数的极值、最值考向一函数的极值方向1利用图象判断极值【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【答案】 D方向2求函数的极值【例2】(2019·深圳调研)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．【解】 f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x >－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0， 函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)．a ．当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．b ．当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12， 所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0， 可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点．③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0， 可得x 1<－1<x 2.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a >89时，函数f (x )有两个极值点． 方向3 根据极值求参数【例3】 (2019·陕西质量检测)若函数f (x )＝ax －x 2－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln2，则a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．[4，＋∞)【解析】 f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x ，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2－8≥0，显然当Δ＝0时，f (x )无极值，不合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 21－ln x 1)＋(ax 2－x 22－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a 22－(a 24－1)＋ln2≥4＋ln2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)，故选C.【答案】 C函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．1．(方向1)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( C )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误，故选C.2．(方向2)(2019·山西太原模拟)设函数f (x )＝13x 3－x ＋m 的极大值为1，则函数f (x )的极小值为( A )A ．－13B ．－1C.13D ．1解析：f ′(x )＝x 2－1，由f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1.所以f (x )在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，且f (－1)＝1，即m ＝13，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝13×13－1＋13＝－13.故选A.3．(方向3)(2019·江西八校联考)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1]．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax， 由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a ≤0， 所以a ∈(－∞，－1]． 考向二 函数的最值【例4】 已知函数f (x )＝x －m ln x －m －1x (m ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当m ≤2时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意x 2∈[－2,0]，f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)f (x )＝x －m ln x －m －1x (x >0)， ∴f ′(x )＝1－m x ＋m －1x 2 ＝(x －1)[x －(m －1)]x 2. 当m ≤2时，在[1，e]上有f ′(x )≥0，f (x )min ＝f (1)＝2－m ；当m ≥e ＋1时，在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )min ＝f (e)＝e －m －m －1e ； 当2<m <e ＋1时，若x ∈[1，m －1]，则f ′(x )≤0，若x ∈[m －1，e]，则f ′(x )≥0，f (x )min ＝f (m －1)＝m －2－m ln(m －1)． 综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－m ，m ≤2，m －2－m ln (m －1)，2<m <e ＋1，e －m －m －1e ，m ≥e ＋1.(2)由题知，条件等价于f (x 1)min ≤g (x 2)min . 由(1)知m ≤2时，在[e ，e 2]上有f ′(x )≥0， ∴f (x 1)min ＝f (e)＝e －m －m －1e .g ′(x )＝x ＋e x －(x ＋1)e x ＝x (1－e x )， 当x 2∈[－2,0]时，g ′(x 2)≤0，g (x 2)min ＝g (0)＝1.∴⎩⎨⎧m ≤2，e －m －m －1e ≤1，解得e 2－e ＋1e ＋1≤m ≤2.∴实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 2－e ＋1e ＋1，2.(1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得，上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值．如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点，则该点也是最值点．(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是－332. 解析：解法1：因为f (x )＝2sin x ＋sin2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4(cos x －12)(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，即2k π＋π≥x ≥2k π＋π3或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f (2k π－π3)＝2sin(2k π－π3)＋sin2(2k π－π3)＝－332.解法2：因为f (x )＝2sin x ＋sin2x ＝2sin x (1＋cos x )，所以[f (x )]2＝4sin 2x (1＋cos x )2＝4(1－cos x )(1＋cos x )3，设cos x ＝t ，则y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)，所以y ′＝4[－(1＋t )3＋3(1－t )(1＋t )2]＝4(1＋t )2(2－4t )，所以当－1<t <12时，y ′>0；当12<t <1时，y ′<0.所以函数y ＝4(1－t )(1＋t )3(－1≤t ≤1)在(－1，12)上单调递增，在(12，1)上单调递减，所以当t ＝12时，y max ＝274；当t ＝±1时，y min ＝0.所以0≤y ≤274，即0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.第3课时 导数与不等式问题考向一 导数法证明不等式方向1 “单变量”型不等式证明【例1】 (2019·长春市质量检测)已知函数f (x )＝e x －a . (1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．【解】 (1)f ′(x )＝e x ，因为函数f (x )的图象与直线y ＝x －1相切，所以令f ′(x )＝1，即e x ＝1，得x ＝0，即f (0)＝－1，解得a ＝2.(2)现证明e x ≥x ＋1，设F (x )＝e x －x －1，则F ′(x )＝e x －1，令F ′(x )＝0，则x ＝0，当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0，当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以F (x )min ＝F (0)＝0，即F (x )≥0恒成立，即e x ≥x ＋1，即e x －2≥x －1，同理可得ln x ≤x －1，所以e x －2>ln x ， 当a ≤2时，ln x <e x －2≤e x －a ， 即当a ≤2时，f (x )－ln x >0恒成立．当a ≥3时，存在x ，使e x －a <ln x ，即e x －a >ln x 不恒成立． 综上，整数a 的最大值为2. 方向2 “双变量”型不等式证明【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2. ①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递减．②若a >2，令f ′(x )＝0得， x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42. 当x ∈(0，a －a 2－42)∪(a ＋a 2－42，＋∞)时，f ′(x )<0；当x ∈(a －a 2－42，a ＋a 2－42)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a －a 2－42)，(a ＋a 2－42，＋∞)单调递减，在(a －a 2－42，a ＋a 2－42)单调递增． (2)证明：由(1)知，f (x )存在两个极值点时，当且仅当a >2.由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，所以x 1x 2＝1，不妨设x 1<x 2，则x 2>1.由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2<0.设函数g (x )＝1x －x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)单调递减，又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0.所以1x 2－x 2＋2ln x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.1.“单变量”型不等式的证明一般是通过构造差函数F (x )＝f (x )－g (x )解决，有时也可适当变形，再构造差函数．2．“双变量”型不等式的证明一般先通过题中关系找出两变量的关系(如例2)再转化为“单变量”型不等式解决．1．(方向1)已知函数f (x )＝ln x ＋(1－a )x 3＋bx ，g (x )＝x e x －b (a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数)，且曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1x .(1)求实数a ，b 的值； (2)求证：f (x )≤g (x )．解：(1)∵f ′(x )＝1x ＋3(1－a )x 2＋b ， ∴f ′(e)＝1e ＋3(1－a )e 2＋b ， 且f (e)＝1＋(1－a )e 3＋b e ，又曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1e ＋1x ，∴切点坐标为(e,1＋e)，∴⎩⎨⎧1e＋3(1－a )e 2＋b ＝1e ＋1，1＋(1－a )e 3＋b e ＝1＋e ，解得a ＝b ＝1.(2)证明：由(1)可知f (x )＝ln x ＋x ，g (x )＝x e x －1，且f (x )的定义域为(0，＋∞)，令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x －x e x ＋1，则F ′(x )＝1x ＋1－e x －x e x ＝1＋x x －(x ＋1)e x＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －e x .令G (x )＝1x －e x，可知G (x )在(0，＋∞)上为减函数，且G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－e>0，G (1)＝1－e<0，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得G (x 0)＝0，即1x 0－e x 0＝0.当x ∈(0，x 0)时，G (x )>0， ∴F ′(x )>0，F (x )为增函数； 当x ∈(x 0，＋∞)时，G (x )<0， ∴F ′(x )<0，F (x )为减函数． ∴F (x )≤F (x 0)＝ln x 0＋x 0－x 0e x 0＋1， 又∵1x 0－e x 0＝0，∴1x 0＝e x 0，即ln x 0＝－x 0，∴F (x 0)＝0，即F (x )≤0，∴f (x )≤g (x )． 2．(方向2)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋12x －m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2>1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )＝1x －1＝1－x x >0，得0<x <1， 令f ′(x )＝1x －1＝1－x x <0，得x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，函数f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明：根据题意，g (x )＝ln x ＋12x －m (x >0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x －m 的两个零点，所以ln x 1＋12x 1－m ＝0，ln x 2＋12x 2－m ＝0.两式相减，可得ln x 1x 2＝12x 2－12x 1，即ln x 1x 2＝x 1－x 22x 2x 1，故x 1x 2＝x 1－x 22ln x 1x2. 那么x 1＝x 1x 2－12ln x 1x 2，x 2＝1－x 2x 12ln x 1x2.令t ＝x 1x 2，其中0<t <1，则x 1＋x 2＝t －12ln t ＋1－1t 2ln t ＝t －1t 2ln t . 构造函数h (t )＝t －1t －2ln t ， 则h ′(t )＝(t －1)2t 2.对于0<t <1，h ′(t )>0恒成立， 故h (t )<h (1)，即t －1t －2ln t <0. 可知t －1t2ln t >1，故x 1＋x 2>1. 考向二 不等式恒成立问题【例3】 (2019·陕西西北九校联考)已知函数f (x )＝－ln x ＋t (x －1)，t 为实数．(1)当t ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若当t ＝12时，k x －12－f (x )<0在(1，＋∞)上恒成立，求实数k 的取值范围．【解】 (1)当t ＝1时，f (x )＝－ln x ＋x －1，x >0， ∴f ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x .由f ′(x )<0可得0<x <1， 由f ′(x )>0可得x >1，∴函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)当t ＝12时，f (x )＝－ln x ＋x 2－12，k x －12－f (x )＝k x －12－－ln x ＋x 2－12＝ln x －x 2＋k x ，当x >1时，k x －12－f (x )<0恒成立，等价于k <x 22－x ln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x 22－x ln x ，则g ′(x )＝x －(ln x ＋1)＝x －1－ln x . 令h (x )＝x －1－ln x ， 则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x .当x >1时，h ′(x )>0，函数h (x )＝x －1－ln x 在(1，＋∞)上单调递增，故h (x )>h (1)＝0，从而当x >1时，g ′(x )>g ′(1)＝0，即函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，故g (x )>g (1)＝12，因此当x >1时，若使k <x 22－x ln x 恒成立，必须k ≤12.∴实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I).(2)对∀x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.(2019·山西八校联考)已知函数f(x)＝x－1－a ln x(a∈R)，g(x)＝1 x.(1)当a＝－2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若a<0，且对任意x1，x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<4×|g(x1)－g(x2)|，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x－1＋2ln x，f′(x)＝1＋2x，f(1)＝0，切线的斜率k＝f′(1)＝3，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y－3＝0.(2)对x∈(0,1]，当a<0时，f′(x)＝1－ax>0，∴f(x)在(0,1]上单调递增，易知g(x)＝1x在(0,1]上单调递减，不妨设x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，f(x1)<f(x2)，g(x1)>g(x2)，∴f(x2)－f(x1)<4×[g(x1)－g(x2)]，即f(x1)＋4x1>f(x2)＋4x2.令h(x)＝f(x)＋4x，则当x1<x2时，有h(x1)>h(x2)，∴h (x )在(0,1]上单调递减，∴h ′(x )＝1－a x －4x 2＝x 2－ax －4x 2≤0在(0,1]上恒成立， ∴x 2－ax －4≤0在(0,1]上恒成立，等价于a ≥x －4x 在(0,1]上恒成立， ∴只需a ≥(x －4x )max .∵y ＝x －4x 在(0,1]上单调递增，∴y max ＝－3，∴－3≤a <0，故实数a 的取值范围为[－3,0)．考向三 不等式存在性问题【例4】 已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)(x －a )x 2. ①当a ≤1时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1<a <e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数；x ∈[a ，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数．所以f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)ln a －1.③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数．f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e .综上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1<a <e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－a e .(2)由题意知f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)知当a <1时f (x )在[e ，e 2]上单调递增，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e .g ′(x )＝(1－e x )x .当x ∈[－2,0]时g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－a e <1，即a >e 2－2e e ＋1， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.存在型不等式恒成立问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值，在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．(2019·河北五名校联考)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x .(1)若x ＝3是函数f (x )的一个极值点，求实数a 的值；(2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈[1e ，e]，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x. ∵x ＝3是函数f (x )的一个极值点，∴f ′(3)＝0，解得a ＝－6.经检验，当a ＝－6时，x ＝3是函数f (x )的一个极小值点，符合题意，故a ＝－6.(2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0，记F (x )＝x －ln x (x >0)，则f ′(x )＝x －1x (x >0)，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，F (x )单调递增．∴F (x )>F (1)＝1>0，∴a ≥x 20－2x 0x 0－ln x 0. 记G (x )＝x 2－2x x －ln x，x ∈[1e ，e]， 则G ′(x )＝(2x －2)(x －ln x )－(x －2)(x －1)(x －ln x )2＝(x －1)(x －2ln x ＋2)(x －ln x )2. ∵x ∈[1e ，e]，∴2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0，∴x －2ln x ＋2>0，∴当x ∈(1e ，1)时，G ′(x )<0，G (x )单调递减；当x ∈(1，e)时，G ′(x )>0，G (x )单调递增．∴G (x )min ＝G (1)＝－1，∴a≥G(x)min＝－1，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．解决e x，ln x与x的组合函数问题的二类技巧近几年高考压轴题常以x与e x，ln x组合的函数为基础来命制，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)．预计今后高考试题除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．1．分离ln x与e x典例1设函数f(x)＝a＋ln xx，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线e2x－y＋e＝0垂直．(1)若f (x )在(m ，m ＋1)上存在极值，求实数m 的取值范围；(2)求证：当x >1时，不等式f (x )e ＋1>2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1). 【思路点拨】 (1)求出f (x )的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a ＝1，利用导数求出函数f (x )的单调区间和极值，列出不等式，解不等式即可得到m 的取值范围；(2)所证不等式中同时含有e x 与ln x ，结构复杂，可考虑构造新函数g (x )，h (x )，通过求导，利用其单调性进行证明．【解】 (1)因为f ′(x )＝1－a －ln x x 2，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线斜率为－a e 2.又切线与直线e 2x －y ＋e ＝0垂直，可得f ′(e)＝－1e 2，所以－a e 2＝－1e 2，解得a ＝1，所以f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln x x 2(x >0)，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝1是函数f (x )的极大值点．又f (x )在(m ，m ＋1)上存在极值，所以m <1<m ＋1，即0<m <1.综上所述，实数m 的取值范围是(0,1)．(2)将不等式f (x )e ＋1>2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)变形为1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x >2e x －1x e x ＋1， 分别构建函数g (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x 和函数h (x )＝2e x －1x e x ＋1. 则g ′(x )＝x －ln x x 2，令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x .因为x >1，所以φ′(x )>0，所以φ(x )在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )>φ(1)＝1>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以x >1时，g (x )>g (1)＝2，故g (x )e ＋1>2e ＋1. h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，因为x >1， 所以1－e x <0，所以h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，所以x >1时，h (x )<h (1)＝2e ＋1. 综上所述，g (x )e ＋1>h (x )， 即f (x )e ＋1>2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1). 【点评】 若不分离e x 与ln x ，则难以求导，因此，对于形式复杂的函数，往往需要合理分拆与变形．高考为体现选拔功能，在解答题中不会单一考查某一初等函数，而是将不同增长速度的函数综合在一起考查，这就需要我们把已经糅合在一起的不同增长速度的函数进行分离，转化为我们熟悉的利于用导数工具求解的函数模型．2．借助e x ≥x ＋1和ln x ≤x －1进行放缩典例2 (2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知函数f (x )＝mx 2＋nx －x ln x (m >0)，且f (x )≥0.(1)求n m 的最小值；(2)当nm取得最小值时，若方程ex－1＋(1－2a)x－af(x)＝0无实根，求实数a的取值范围．【思路点拨】(1)利用导数，借助单调性求最值；(2)分离参数，利用放缩法确定函数值域．【解】(1)令g(x)＝f(x)x＝mx＋n－ln x，则f(x)≥0⇔g(x)≥0(x>0)，令g′(x)＝mx－1x>0，则x>1m，所以g(x)在(0，1m)上单调递减，在(1m，＋∞)上单调递增．此时g(x)min＝g(1m)＝1＋n－ln 1m≥0⇒1m＋nm－1m ln 1m≥0，即nm≥1m ln1m－1m，令h(t)＝t ln t－t(t>0)，令h′(t)＝ln t>0，则t>1，所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故h(t)min＝h(1)＝－1，则nm≥－1，即(nm)min＝－1.(2)由(1)知，当nm取得最小值－1时，t＝1m＝1，m＝1，n＝－1.e x－1＋(1－2a)x－af(x)＝0⇒a＝e x－1＋xx(x＋1－ln x)，记H(x)＝e x－1＋xx(x＋1－ln x)，则H′(x)＝(x－1)[(x－ln x)e x－1－x]x2(x＋1－ln x)2，由(1)知x－1－ln x≥0⇒ln x≤x－1，即e x－1≥x，则(x－ln x)e x－1－x≥e x－1－x≥0(当且仅当x＝1时取等号)，所以当x∈(0,1)时，H′(x)<0，所以H(x)在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，H ′(x )>0，所以H (x )在(1，＋∞)上为增函数．所以x ＝1时，H (x )取得最小值，为H (1)＝1.由ln x ≤x －1，自变量取1x 可得－ln x ≤1x －1⇒2≤x ＋1－ln x ≤x ＋1x ，即x (x ＋1－ln x )≤x 2＋1⇒1x (x ＋1－ln x )≥1x 2＋1， 由x －1≥ln x ，自变量取e x 3可得e x 3－1>x 3(x >0)，从而e x >(x ＋33)3，则可得e x －1>(x ＋2)327.当x >1时，H (x )＝e x －1＋x x (x ＋1－ln x )>(x ＋2)327(x 2＋1)>(x ＋1)327(x ＋1)2＝x ＋127，即H (x )无最大值，所以H (x )∈[1，＋∞)．故a <1时原方程无实根，即实数a 的取值范围为(－∞，1)．第4课时 导数与函数的零点问题考向一 求函数零点个数【例1】 设函数f (x )＝e x －ax ，a 是常数，讨论f (x )的零点的个数．【解】 当a >0时，f ′(x )＝e x －a ，由f ′(x )＝0得x ＝ln a .若x <ln a ，则f ′(x )<0；若x >ln a ，则f ′(x )>0.函数f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)的最小值为f(ln a)＝a(1－ln a)．①当0<a<e时，f(ln a)＝a(1－ln a)>0，f(x)无零点；②当a＝e时，f(ln a)＝a(1－ln a)＝0，f(x)只有一个零点；③当a>e时，f(ln a)＝a(1－ln a)<0，根据f(0)＝1>0与函数的单调性，可知f(x)在区间(－∞，ln a)和(ln a，＋∞)上各有一个零点，f(x)共有两个零点．当a＝0时，f(x)＝e x，f(x)无零点．当a<0时，由f(x)＝0，得e x＝ax，易知曲线y＝e x与直线y＝ax只有一个交点，所以f(x)只有一个零点．综上所述，当0≤a<e时，f(x)无零点；当a<0或a＝e时，f(x)有一个零点；当a>e时，f(x)有两个零点．根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想也是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x 轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”.已知函数f (x )＝ax 2e x (a ≠0)，h (x )＝x －1x .当a ＝1时，研究函数φ(x )＝f (x )－h (x )在(0，＋∞)上零点的个数．解：当a ＝1时，函数φ(x )＝f (x )－h (x )＝x 2e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，φ′(x )＝x (2－x )e x －1－1x 2.当x ≥2时，φ′(x )<0恒成立，当0<x <2时，x (2－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(2－x )22＝1， ∴φ′(x )＝x (2－x )e x －1－1x 2≤1e x －1－1x 2<1－1－1x 2<0， ∴φ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 故φ(x )在(0，＋∞)上单调递减． 又φ(1)＝1e >0，φ(2)＝4e 2－32<0，函数φ(x )＝f (x )－h (x )的图象在[1,2]上连续不间断，∴由函数零点存在性定理及φ(x )的单调性知，存在唯一的x 0∈(1,2)，使φ(x 0)＝0.所以，函数φ(x )＝f (x )－h (x )在(0，＋∞)上零点的个数为1.考向三 已知函数零点个数确定参数范围【例2】 已知函数f (x )＝－12ax 2＋(1＋a )x －ln x (a ∈R )． (1)当a >0时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)当a ＝0时，设函数g (x )＝xf (x )－k (x ＋2)＋2.若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两个零点，求实数k 的取值范围． 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f (x )的导数为f ′(x )＝－ax ＋1＋a －1x ＝－(ax －1)(x －1)x (a >0)， ①当a ∈(0,1)时，1a >1.由f ′(x )<0，得x >1a 或x <1.所以f (x )的单调递减区间为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞； ②当a ＝1时，恒有f ′(x )≤0， 所以f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)； ③当a ∈(1，＋∞)时，1a <1.由f ′(x )<0，得x >1或x <1a .所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，(1，＋∞)． 综上，当a ∈(0,1)时，f (x )的单调递减区间为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞；当a ＝1时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当a ∈(1，＋∞)时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，(1，＋∞)．(2)g (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两个零点，即关于x的方程k ＝x 2－x ln x ＋2x ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两个不相等的实数根．令函数h (x )＝x 2－x ln x ＋2x ＋2，x ∈12，＋∞，则h ′(x )＝x 2＋3x －2ln x －4(x ＋2)2，令函数p (x )＝x 2＋3x －2ln x －4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 则p ′(x )＝(2x －1)(x ＋2)x在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 上有p ′(x )≥0，故p (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． 因为p (1)＝0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，有p (x )<0，即h ′(x )<0，所以h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，有p (x )>0即h ′(x )>0，所以h (x )单调递增． 因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝910＋ln25，h (1)＝1，h (10)＝102－10ln1012>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤1，910＋ln25.通过函数的极值(最值)判断函数零点个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.设函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝(a －2)x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )有两个零点x 1，x 2，求满足条件的最小正整数a 的值．解：(1)f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－ax (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，此时f (x )无单调递减区间．当a >0时，由f ′(x )>0，得x >2a 2，由f ′(x )<0，得0<x <2a2，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 2. (2)由题意知F (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x ， ∴F ′(x )＝2x －(a －2)－a x＝2x 2－(a －2)x －a x ＝(2x －a )(x ＋1)x(x >0)． 因为函数F (x )有两个零点，所以a >0，此时函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递减．所以F (x )的最小值F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，即－a 2＋4a －4a ln a2<0. 因为a >0，所以a ＋4ln a2－4>0. 令h (a )＝a ＋4ln a2－4，显然h (a )在(0，＋∞)上为增函数，且h (2)＝－2<0，h (3)＝4ln 32－1＝ln 8116－1>0，所以存在a 0∈(2,3)，h (a 0)＝0.当a >a 0时，h (a )>0；当0<a <a 0时，h (a )<0. 所以满足条件的最小正整数a ＝3.又当a ＝3时，F (3)＝3(2－ln3)>0，F (1)＝0，所以a ＝3时，f (x )有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.考向三 函数零点性质研究【例3】 (2019·福建龙岩质检)已知函数f (x )＝x 2＋mx －2ln x ，m ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)<x 2－1. 【解】 (1)由f (x )＝x ＋mx －2ln x ，m ∈R ，得f ′(x )＝1－m x 2－2x ＝x 2－2x －mx 2，x ∈(0，＋∞)． 设函数g (x )＝x 2－2x －m ，x ∈(0，＋∞)，当m ≤－1时，Δ＝4＋4m ≤0，则g (x )≥0，f ′(x )≥0， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m >－1时，Δ＝4＋4m >0，令g (x )＝0得x 1＝1－1＋m ，x 2＝1＋1＋m ，x 1<x 2.当－1<m <0时，0<x 1<x 2，则在(0，x 1)∪(x 2，＋∞)上，g (x )>0，f ′(x )>0； 在(x 1，x 2)上，g (x )<0，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． 当m ≥0时，x 1≤0<x 2，则在(0，x 2)上，g (x )<0，f ′(x )<0； 在(x 2，＋∞)上，g (x )>0，f ′(x )>0.所以函数f (x )在(0，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增． 综上，当m ≤－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当－1<m <0时，函数f (x )在(0,1－1＋m )，(1＋1＋m ，＋∞)上单调递增，在(1－1＋m ，1＋1＋m )上单调递减；当m ≥0时，函数f (x )在(0,1＋1＋m )上单调递减，在(1＋1＋m ，＋∞)上单调递增．(2)证明：因为函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2, 所以g (x )＝x 2－2x －m ＝0有两个不同的正根x 1＝1－1＋m ，x 2＝1＋1＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝－m >0，Δ＝4＋4m >0，解得－1<m <0.欲证明f (x 2)＝x 2＋m x 2－2ln x 2<x 2－1，只需证2ln x 2－m x 2>1.因为m ＝x 22－2x 2，所以证明2ln x 2－mx 2>1成立，等价于证明2ln x 2－x 2>－1成立．因为m ＝x 2(x 2－2)∈(－1,0)， 所以x 2＝1＋1＋m ∈(1,2)． 设函数h (x )＝2ln x －x ，x ∈(1,2)，求导可得h ′(x )＝2x －1.易知h ′(x )>0在(1,2)上恒成立，即h (x )在(1,2)上单调递增，。

2021年湖南省湘潭市先锋中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】运用余弦定理，化简=，可得a2﹣c2=b2，再由a2﹣c2=2b，解方程即可得到b．【解答】解： =，即为3ccosA=acosC，即有3c?=a?，即有a2﹣c2=b2，又a2﹣c2=2b，则2b=b2，解得b=4．故选A．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．2. 若函数()，则是( )A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数参考答案：D略3. 已知集合，则（）A．(0,3) B．(0,3] C．(－1,0) D．(3,+∞)参考答案：A4. 若是非零实数，则“”是“”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A5. 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]参考答案：B【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．6. 函数的定义域为实数集，“是奇函数”是“是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件参考答案：A试题分析：为奇函数，则，所以，因此是偶函数，但当为偶函数时，也为偶函数，故由也为偶函数不能得出结论为奇函数，因此本题选A.考点：充分必要条件.7.若条件p：| x + 1|≤4，条件q：x2＜5x－6，则p是q的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：B8. “a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C9. 若实数满足，则函数的零点所在的区间是()A．(－2,－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)参考答案：B10. 函数y＝的定义域为()A．(－4，－1) B．(－4,1)C．(－1,1) D．(－1,1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式解集为(1, +∞), 则不等式的解集为___________.参考答案：12. 已知函数y=g（x）的图象由f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=．参考答案：分析：根据所给的图象，依据，y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，求得图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，根据φ=﹣求得结果．解答：解：f （x）=sin2x 的图象在y轴的右侧的第一个对称轴为2x=，x=，=，图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，故φ=﹣=，故答案为．13. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8，S4，S12，S8，S16，S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，_________，________，成等比数列.参考答案：，.通过类比，有等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4，成等比数列，故填，.14. 函数的最小正周期是参考答案：15. 已知，则的值为 .参考答案：16. 当无理数x= 时，代数式的值是整数．参考答案：17. 设i为虚数单位，复数，则|z|= ．参考答案：1【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

§1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念学习目标 1.了解算法的含义和特征.2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.知识点一算法的概念思考解决一个问题的算法是唯一的吗？答案不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分.梳理算法的概念知识点二算法的特征算法的五个特征(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的.(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列.(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题.(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法.特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征.知识点三算法的设计思考自然语言是唯一描述算法的语言吗？答案不是.描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图(流程图)、程序设计语言等.梳理(1)设计算法的目的设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.(2)设计算法的要求①写出的算法必须能解决一类问题.②要使算法尽量简单、步骤尽量少.③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.1.算法是解决一个问题的方法.(×)2.一个算法可以产生不确定的结果.(×)3.算法的步骤必须是明确的、有限的.(√)类型一算法概念的理解例1下列关于算法的说法，正确的个数有()①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果.A.1B.2C.3D.4考点算法的概念题点算法概念的辨析答案 C解析由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错.反思与感悟算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常用来解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想.跟踪训练1下列说法中是算法的有________.(填序号)①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；③求以A(1,1)，B(－1，－2)两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB的中点坐标，再求k AB及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程；④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24；⑤12x＞2x＋4.考点算法的概念题点算法的步骤问题答案①②③④解析①说明了从上海到拉萨的行程安排；②给出了解一元一次不等式这类问题的解法；③给出了求线段的中垂线的方法及步骤；④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.故①②③④都是算法.类型二算法的阅读理解例2下面算法要解决的问题是__________________________________________________. 第一步，输入三个数，并分别用a，b，c表示.第二步，比较a与b的大小，如果a<b，则交换a与b的值.第三步，比较a与c的大小，如果a<c，则交换a与c的值.第四步，比较b与c的大小，如果b<c，则交换b与c的值.第五步，输出a，b，c.考点算法的特点题点算法特点的辨析答案输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出解析第一步是给a，b，c赋值.第二步运行后a>b.第三步运行后a>c.第四步运行后b>c，所以a>b>c.第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列.反思与感悟一个算法的作用往往并不显而易见，这需要我们结合具体数值去执行一下才知道.跟踪训练2 下面给出了一个问题的算法： 第一步，输入a .第二步，若a ≥3，则执行第三步，否则执行第四步. 第三步，输出a ＋5. 第四步，输出3a ＋4.这个算法解决的问题是_________________________________________________________. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计答案 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ≥3，3x ＋4，x <3当x ＝a 时的函数值f (a ). 类型三 算法的设计与应用命题角度1 直接应用数学公式设计算法例3 有一个底面半径为3，母线为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法. 考点 算法的设计与应用 题点 数值型的算法设计解 如图，先给r ，l 赋值，计算h ，再根据圆锥体积公式V ＝13πr 2h 计算V ，然后输出结果.第一步，令r ＝3，l ＝5. 第二步，计算h ＝l 2－r 2. 第三步，计算V ＝13πr 2h .第四步，输出运算结果.反思与感悟 利用公式解决问题时，必须先求出公式中的各个量，在设计算法时，应优先考虑未知量的求法.跟踪训练3 已知一个等边三角形的周长为a ，求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题.考点 算法的设计与应用 题点 其它数值型的算法设计解 第一步，输入a 的值. 第二步，计算l ＝a3的值.第三步，计算S ＝34×l 2的值. 第四步，输出S 的值.命题角度2 非数值性问题的算法例4 所谓正整数p 为素数是指：p 的所有约数只有1和p .例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n (n ＞1)是否为素数的算法. 考点 算法的设计与应用 题点 循环型算法设计 解 算法如下：第一步，给出任意一个正整数n (n ＞1).第二步，若n ＝2，则输出“2是素数”，判断结束. 第三步，令m ＝1.第四步，将m 的值增加1，仍用m 表示.第五步，如果m ≥n ，则输出“n 是素数”，判断结束. 第六步，判断m 能否整除n ，①如果能整除，则输出“n 不是素数”，判断结束； ②如果不能整除，则转第四步.反思与感悟 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤 (1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法. (2)借助有关变量或参数对算法加以表述. (3)将解决问题的过程划分为若干步骤. (4)用简练的语言将这个步骤表示出来.跟踪训练4 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？ 考点 算法的设计与应用 题点 循环型算法设计解 第一步，给定大于2的整数n . 第二步，令i ＝2.第三步，用i 除n ，得到余数r .第四步，判断“r ＝0”是否成立.若是，则n 不是质数，结束算法；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.第五步，判断“i >(n －1)”是否成立.若是，则n 是质数，结束算法；否则，返回第三步.1.下列关于算法的说法正确的是( ) A.一个算法的步骤是可逆的 B.描述算法可以有不同的方式C.算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题D.算法只能用一种方式显示 考点 算法的概念 题点 算法概念的辨析 答案 B解析 由算法的定义知A ，C ，D 错.2.计算下列各式中S 的值，能设计算法求解的是( ) ①S ＝12＋14＋18＋ (12100)②S ＝12＋14＋18＋…＋12100＋…；③S ＝12＋14＋18＋…＋12n (n ≥1，n ∈N *).A.①②B.①③C.②③D.①②③ 考点 算法的特点题点 判断问题是否可以设计算法求解 答案 B解析 由算法的有限性知②不能设计算法求解，①③都能通过有限步输出确定结果. 3.已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步： (1)计算c ＝a 2＋b 2；(2)输入直角三角形两直角边长a ，b 的值； (3)输出斜边长c 的值. 其中正确的顺序是________. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计 答案 (2)(1)(3)解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.4.下面是解决一个问题的算法： 第一步：输入x .第二步：若x ≥4，转到第三步；否则转到第四步. 第三步：输出2x －1. 第四步：输出x 2－2x ＋3.当输入x 的值为________时，输出的数值最小值为________. 考点 算法的特点 题点 数值型的算法设计 答案 1 2解析 所给算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值问题，当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥2×4－1＝7；当x ＜4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，所以f (x )min ＝2，此时x ＝1.即输入x 的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.5.写出解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①2x ＋y ＝1②的算法.考点 算法的设计与应用 题点 解方程组的算法设计 解 第一步，①＋2×②得7x ＝1.③第二步，解③得x ＝17.第三步，②×3－①×2得7y ＝5.④第四步，解④得y ＝57.第五步，得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝17，y ＝57.1.算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性.2.算法设计的要求：(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用.(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少.(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.一、选择题1.下列可以看成算法的是()A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题B.今天餐厅的饭真好吃C.这道数学题难做D.方程2x2－x＋1＝0无实数根考点算法的概念题点算法概念的辨析答案 A解析A是学习数学的一个步骤，所以是算法.2.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是()A.这个算法可以求所有的零点B.这个算法可以求任何方程的零点C.这个算法能求所有零点的近似解D.这个算法可以求变号零点的近似解考点算法的特点题点判断问题是否可以设计算法求解答案 D解析二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值.3.有蓝、黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，现有空墨水瓶若干，解决这一问题最少需要的步骤数为()A.2B.3C.4D.5考点算法的设计与应用题点应用问题的算法设计答案 B解析第一步，将蓝墨水装到一个空墨水瓶中；第二步，将黑墨水装到黑墨水瓶中；第三步，将蓝墨水装到蓝墨水瓶中，这样就解决了这个问题，故选B.4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程.下列选项中最好的一种算法是()A.第一步，洗脸刷牙.第二步，刷水壶.第三步，烧水.第四步，泡面.第五步，吃饭.第六步，听广播B.第一步，刷水壶.第二步，烧水同时洗脸刷牙.第三步，泡面.第四步，吃饭.第五步，听广播C.第一步，刷水壶.第二步，烧水同时洗脸刷牙.第三步，泡面.第四步，吃饭同时听广播D.第一步，吃饭同时听广播.第二步，泡面.第三步，烧水同时洗脸刷牙.第四步，刷水壶考点算法的设计与应用题点应用问题的算法设计答案 C解析最好算法的标准是方便、省时、省力.A中共需5＋2＋8＋3＋10＋8＝36(min)，B中共需2＋8＋3＋10＋8＝31(min)，C中共需2＋8＋3＋10＝23(min)，D中共需10＋3＋8＋2＝23(min)，但算法步骤不合理，最好的算法为C.5.对于求18的正因数，给出下列两种算法：算法1：第一步，1是18的正因数，将1列出.第二步，2是18的正因数，将2列出.第三步，3是18的正因数，将3列出.第四步，4不是18的正因数，将4剔除.……第十八步，18是18的正因数，将18列出.算法2：第一步，18＝2×9.第二步，18＝2×32.第三步，列出所有的正因数1,2,3,32,2×3,2×32.则这两个算法()A.都正确B.算法1正确，算法2不正确C.算法1不正确，算法2正确D.都不正确考点算法的设计与应用题点数值型算法设计答案 A解析 算法1是用1～18的整数逐一验证，得出正因数.算法2是利用因数分解得到18的正因数.两种算法都正确.故选A.6.下列各式中T 的值不能用算法求解的是( ) A.T ＝12＋22＋32＋42＋…＋1002 B.T ＝12＋13＋14＋15＋…＋150C.T ＝1＋2＋3＋4＋5＋…D.T ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100 考点 算法的特点题点 判断问题是否可以设计算法求解 答案 C解析 根据算法的有限性知C 不能用算法求解. 7.一个算法步骤如下： 第一步，S 取值0，i 取值1.第二步，若i ≤9，则执行第三步；否则，执行第六步. 第三步，计算S ＋i 并用结果代替S . 第四步，用i ＋2的值代替i . 第五步，转去执行第二步. 第六步，输出S .运行以上算法，则输出的结果S 等于( ) A.16 B.25C.36D.以上均不对考点 算法的设计与应用 题点 循环型算法设计 答案 B解析 解本题关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S ＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 8.对于算法： 第一步，输入n .第二步，判断n 是否等于2，若n ＝2，则n 满足条件；若n ＞2，则执行第三步.第三步，依次从2到(n －1)检验能不能被n 整除，若不能被n 整除，则执行第四步；若能整除n ，则结束算法. 第四步，输出n . 满足条件的n 是( ) A.质数 B.奇数 C.偶数D.约数题点 循环型算法设计答案 A解析 此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n －1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数.9.结合下面的算法：第一步，输入x .第二步，判断x 是否小于0，若是，则输出x ＋2，否则执行第三步.第三步，输出x －1.当输入的x 的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )A.－1,0,1B.－1,1,0C.1，－1,0D.0，－1,1 考点 算法的概念题点 算法功能的判断与结果的求解答案 C解析 依据算法可知，当x ＝－1时，满足x <0，则输出x ＋2＝－1＋2＝1；当x ＝0时，不满足x <0，则输出x －1＝0－1＝－1；当x ＝1时，不满足x <0，则输出x －1＝1－1＝0.故选C.二、填空题10.下面给出了解决问题的算法：第一步：输入x .第二步：若x ≤1，则y ＝2x －1，否则y ＝x 2＋3.第三步：输出y .(1)这个算法解决的问题是________；(2)当输入的x 值为________时，输入值与输出值相等.答案 (1)求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，x 2＋3，x >1的函数值 (2)111.以下是解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6＝0， ①x ＋y ＋3＝0 ②的一个算法，请将该算法补充完整. 第一步，①②两式相加得3x ＋9＝0.③第二步，由③式可得________.④第三步，将④式代入①式得y ＝0.第四步，输出方程组的解为________.考点 算法的设计与应用答案 x ＝－3 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0 解析 该算法的流程实质是解二元一次方程组的过程，由消元法易得.12.下面是求15和18的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是________.第一步，先将15分解素因数：15＝3×5.第二步，然后将18分解素因数：18＝32×2.第三步，确定它们的所有素因数：2,3,5.第四步，计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.考点 算法的特点题点 具体问题的算法设计答案 第四步解析 素因数2,3,5的最高指数是1,2,1，算出它们的最小公倍数为2×32×5＝90.三、解答题13.某商场举办优惠促销活动.若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否则，不打折.请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x ，输出实际交款额y .考点 算法的设计与应用题点 应用问题的算法设计解 算法步骤如下：第一步，输入购物金额x (x >0).第二步，判断“x >800”是否成立，若是，则y ＝0.7x ，转第四步；否则，执行第三步. 第三步，判断“x >400”是否成立，若是，则y ＝0.8x ，转第四步；否则，y ＝x .第四步，输出y ，结束算法.四、探究与拓展14.如图所示，汉诺塔问题是指有3根杆子A ，B ，C ，杆子上有若干碟子，把所有的碟子从B 杆移动到A 杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面.把B 杆上的3个碟子全部移动到A 杆上，最少需要移动的次数是________.考点 算法的设计与应用题点 应用问题的算法设计答案 7解析直接进行分析，将最小的碟子命名为①，中间的碟子命名为②，最大的碟子命名为③，进行如下移动：①→A，②→C，①→C，③→A，①→B，②→A，①→A，此时按要求全部放好，移动7次.15.给出下列算法：第一步，输入x的值.第二步，当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步.第三步，计算y＝4－x.第四步，输出y.当输入x＝0时，输出y＝________.考点算法的特点题点具体问题的算法设计答案 2解析0＜4，执行第三步，y＝4－0＝2.。

3.3几何概型课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．1．几何概型的定义设D是一个________的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)．每个基本事件可以视为从________内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点，这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、________、________等)成正比，与d的形状和位置________．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．在几何概型中，事件A的概率计算公式为P(A)＝____________________.一、填空题1．用力将一个长为3米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为________．2．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是________．3．在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是________．4．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．5．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)＝______________________________________________________________.6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．二、解答题10．过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD<AC的概率．11．如图，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？能力提升12．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率为________．13．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一．实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题．为此可参考如下办法：(1)选择适当的观察角度；(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域；(3)把随机事件A转化为与之对应的几何区域；(4)利用概率公式计算；(5)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维．同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断．3．3 几何概型知识梳理1．可度量 区域D 面积 体积 无关2.d 的测度D 的测度作业设计1.13解析 P ＝2－13＝13. 2.π4解析 由题意，P ＝S 圆S 正方形＝π×122×2＝π4. 3.1100解析 取出10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P(A)＝取出种子的体积所有种子的体积＝101 000＝1100. 4．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4. 5.π4解析 如图，集合S ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y)与圆面x 2＋y 2<1内的点一一对应，∴P(A)＝π4. 6．①解析 ①中P 1＝38，②中P 2＝26＝13， ③中设正方形边长2，则P 3＝4－π×124＝4－π4， ④中设圆直径为2，则P 4＝12×2×1π＝1π. 在P 1，P 2，P 3，P 4中，P 1最大．7.815解析 P(A)＝4030＋5＋40＝815. 8.13解析 由几何概型知所求的P ＝1－02－(－1)＝13.9.334π解析 设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC＝3·12AC·OD ＝3·CD·OD ＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24， ∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π. 10.解 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE(如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD<AC.易知∠ACE ＝67.5°，∴AD<AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75. 11．解 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为S ＝16×16＝256 (cm 2)． 记“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为S A ＝π×62＝36π(cm 2)；事件B 所占区域面积为S B ＝π×42－π×22＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为S C ＝(256－36π)cm 2.由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝S A S ＝964π； (2)P(B)＝S B S ＝364π；(3)P(C)＝S C S ＝1－964π. 12.310解析 令x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x 轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x 0轴下方，即f(x 0)≤0的x 0的取值范围为x 0∈[－1,2]，∴P ＝2－(－1)5－(－5)＝310. 13．解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为15， 所以红色所占角度为周角的15， 即α1＝360°5＝72°. 同理，蓝色占周角的13， 即α2＝360°3＝120°， 所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.。

高三数学导数及其应用多选题知识点及练习题含答案一、导数及其应用多选题1．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.2．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.3．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为4C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ） A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞--⎪⎝⎭ D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.7．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=； 当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=，A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.8．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x <</()g x +-+()g x极大值 极小值极大值2(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x-= 当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。

智才艺州攀枝花市创界学校2021年高三数学第一轮总复习(二)第三章数列、极限与导数一、考试内容：〔一〕数列数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．〔二〕极限教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四那么运算．函数的连续性．〔三〕导数导数的概念．导数的几何意义．几种常见函数的导数．两个函数的和、差、积、商和导数．复习函数的导数．根本导数公式．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．二、考试要求：〔一〕数列〔1〕理解数列的概念，理解数列通项公式的意义，理解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．〔2〕理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题． 〔二〕极限 〔三〕导数（1） 理解导数概念的某些实际背景〔如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等〕；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．〔2〕熟记根本导数公式〔c,x m(m 为有理数)，sinx ，cosx,e x,a x,lnx,log a x 的导数〕；掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么．理解复合函数的求导法那么，会求某些简单函数的导数．〔3〕理解可导函数的单调性与其导数的关系；理解可导函数在某点获得极值的必要条件和充分条件〔导数在极值点两那么异号〕；会求一些实际问题〔一般指单峰函数〕的最大值和最小值．g021数列的概念1. 数列的定义〔一般定义，数列与函数〕、数列的表示法.2. 数列的通项公式.3. 求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n n n二、根本训练：1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是 A 、19B 、20C 、21D 、222、数列4，－１，，－，1649，…的一个通项公式是A 、1212)1(21-+-+n n n B 、1213)1(21++-+n n n C 、1212)1(21++-+n n n D 、1213)1(21-+-+n n n 3、数列{}n a 的通项公式为22log (3)2n a n =+-，那么2log 3是这个数列的4、*2()156nn a n N n =∈+，那么在数列{}n a 的最大项为____________. 5、在数列{}n a 中，11++=n n a n，且S ｎ＝9，那么n ＝_____________.6、〔04年卷.文理14〕定义“等和数列〞：在一个数列中，假设每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

云南省昆明市先锋中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，．①第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a1，a2，a3，…，a n．则a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n=（）A．n2 B．（n﹣1）2 C．n（n﹣1） D．n（n+1）参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】a k=．n≥2时，a k﹣1a k==n2．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵a k=．n≥2时，a k﹣1a k==n2．∴a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n=n2+…+==n（n﹣1）．故选：C．2. 复数的虚部是A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知椭圆为右焦点，A为长轴的左端点，P点为该椭圆上的动点，则能够使的P点的个数为 A、4 B、3 C、2 D、1参考答案：D4. 已知三点的坐标分别是，，，，若，则的值为A． B． C．2D．3参考答案：B5. 函数的定义域为( )A. B. (-2,1) C. D. (1,2)参考答案：D略6. 设，为单位向量，满足，非零向量，则的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：D7. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a=7，c=6,则b=（）A．10 B．9 C．8 D．5参考答案：D略8. 若等差数列{a n}的公差且成等比数列，则（）A．B． C. D．2参考答案：A9. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）A． B.C. D.参考答案：D略10. 若集合=A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{-1，0} 参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆的方程为，是它的一条倾斜角为的弦，且是弦的中点，则椭圆的离心率为_________参考答案：12. 若，则的值为参考答案：，，13. 有11个座位，现安排甲、乙2人就坐，甲、乙都不坐正中间的1个座位，并且这两人不相邻的概率是．参考答案：14. 已知曲线的参数方程为（t为参数），曲线的极坐标方程为，设曲线，相交于A、B两点，则的值为__________________．参考答案：15. 点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．参考答案：8略16. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，，其中____________.参考答案：因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，所以,又，所用,又,所以，即，所以，所以.17. 已知曲线y=x 在点（1，1）处的切线为直线l ，则l与两坐标轴所围成的三角形面积为．参考答案：考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；导数的概念及应用．分析： 求出函数的导数，求得在点（1，1）处的切线斜率，再由点斜式方程可得切线方程，再分别令x=0，y=0，再由三角形的面积公式，即可得到． 解答： 解：求导数可得y′=﹣，所以在点（1，1）处的切线斜率为﹣，切线方程为：y ﹣1=﹣（x ﹣1），令x=0，得y=；令y=0，得x=3． 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3=，故答案为：．点评： 本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

内蒙古自治区赤峰市先锋乡中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)＝x3＋lg x－18的零点所在的区间为A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)参考答案：C2.参考答案：A(白云苍狗：形容世事变化大。

B“笔走龙蛇”形容书法笔势雄健活泼。

C“撑场面”指维护表面的排扬，维护场面。

D“明珠暗投”比喻怀才不遇或好人失足参加坏集团，也泛指珍贵的东西得不到赏识。

)3. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填( )A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？参考答案：A考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出S的值为57，从而即可判断．解答：解：执行程序框图，可得k=2，S=4；k=3，S=11；k=4，S=26；k=5，S=57；根据题意此时，满足条件，退出循环，输出S的值为57．故判断框内应填k＞4．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到退出循环时k，S的值是解题的关键，属于基础题．4. 设是定义在R上的函数，且导函数为，若，且，则不等式为自然对数的底数）的解集为（）A． B． C． D．参考答案：D略5. 为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是( )A．40 B．400 C．4000 D．4400参考答案：C6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b﹣c=2acosC，sinC=，则△ABC的面积为（）A．B．C．或D．或参考答案：C【考点】三角形中的几何计算．【分析】2b﹣c=2acosC，利用正弦定理，求出A；sinC=，可得C=60°或120°，分类讨论，可得三角形面积．【解答】解：∵2b﹣c=2acosC，∴由正弦定理可得2sinB﹣sinC=2sinAcosC，∴2sin（A+C）﹣sinC=2sinAcosC，∴2cosAsinC=sinC，∴cosA=∴A=30°，∵sinC=，∴C=60°或120°A=30°，C=60°，B=90°，a=1，∴△ABC的面积为=，A=30°，C=120°，B=30°，a=1，∴△ABC的面积为=，故选：C．7. 已知向量满足，其夹角为，若对任意向量，总有，则的最大值与最小值之差为（）A．1 B、 C、 D、参考答案：B略8. i是虚数单位，若集合S=，则（）A． B． C． D．参考答案：B9. 任意画一个正方形，再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图X16－1所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形的概率是( )A.B.C.D.参考答案：C10. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 参考答案： A 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．参考答案：2812. △ABC 中，已知，则cosC=．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题．【分析】先根据条件判断A 、B 都是锐角，利用同角三角函数的基本关系求出cosA 和sinB 的值，由cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosA cosB+sinA sinB 运算求得结果．【解答】解：△ABC 中，已知，则sinB=，且B 为锐角； 则有sinB ＞sinA ，则B ＞A ；故A 、B 都是锐角，且cosA=，sinB=，则cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosA cosB+sinA sinB=﹣+=，故答案为．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，求出cosA 和sinB 的值，是解题的关键．13. 已知函数f （x ）（x∈R）满足f （1）=1，且f （x ）的导数f′（x ）＜，则不等式f （x 2）＜的解集为 ．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法． 【专题】压轴题；导数的概念及应用．【分析】设F （x ）=f （x ）﹣x ，根据题意可得函数F （x ）在R 上单调递减，然后根据f （x 2）＜可得f （x 2）﹣＜f （1）﹣，最后根据单调性可求出x 的取值范围．【解答】解：设F （x ）=f （x ）﹣x ，则F′（x ）=f′（x ）﹣∵f′（x ）＜，∴F′（x ）=f′（x ）﹣＜0即函数F （x ）在R 上单调递减而f （x 2）＜即f （x 2）﹣＜f （1）﹣∴F（x 2）＜F （1）而函数F （x ）在R 上单调递减 ∴x 2＞1即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题． 14. 函数的定义域为．参考答案：15. 命题“对，都有”的否定是 .参考答案：，使得；16. 在锐角中，则的取值范围为参考答案：略17. 设复数满足,其中为虚数单位，则．参考答案：-1+i三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

内蒙古自治区赤峰市先锋乡中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果等差数列中，，那么等于A．21 B．30 C．35 D．40参考答案：C略2. 设，则 ( )A. B. C. D.参考答案：A3. 正方体ABCD - A′B′C ′D′棱长为6，点P在棱AB上，满足PA=2PB，过点P的直线l与直线A′D′、CC ′分别交于E、F两点，则EF=（）A．B． C. 14 D．21 参考答案：D如图，过点与做平面分别与直线交于，连接与直线交于点，则可求,，，故选D. 4. 设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n?α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．①③参考答案：D【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选D【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．5. 己知角为锐角△ABC的三个内角，则是的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不是充分条件也不是必要条件参考答案：C6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，补形找出异面直线所成角，求解三角形得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：几何体是三棱锥A﹣BCD，满足面ACD⊥面BCD，且AD⊥CD，BC⊥CD．最短棱为CD，最长棱为AB．在平面BCD内，过B作BE∥CD，且BE=CD，∴四边形BEDC为正方形，可得AE=2，在Rt△AEB中，求得AB=，∴cos∠ABE=．即最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为．故选：A．7. 函数的定义域为A. B. C. D.参考答案：A略8. 在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是A．1 B．－1 C． D．－参考答案：D9. 方程的解所在的区间为（）A. (0.5,1)B. (1,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.5)参考答案：B【分析】令，由函数单调递增及即可得解.【详解】令，易知此函数为增函数，由.所以在上有唯一零点，即方程的解所在的区间为. 故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.10. 已知是三角形的内角，则“”是“”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x,y满足约束条件,若目标函数的最大值为12,则的最小值为______．参考答案：【分析】先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为y轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于a,b的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而．故答案为：．【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．12. 在数列{a n}种，a1=1，，记S n为{a n}的前n项和，则S2017= ．参考答案：﹣1007【考点】数列的求和．【分析】，可得a2n+1=a2n+1，a2n=﹣a2n﹣1﹣1．因此a2n+1+a2n﹣1=0，a2n+2+a2n=﹣2．利用分组求和即可得出．【解答】解：∵，∴a2n+1=a2n+1，a2n=﹣a2n﹣1﹣1．∴a 2n+1+a 2n ﹣1=0，a 2n+2+a 2n =﹣2．∴S 2017=a 1+（a 3+a 5）+…+（a 2015+a 2017）+（a 2+a 4）+…+（a 2014+a 2016） =1+0﹣2×504 =﹣1007．故答案为：﹣1007．【点评】本题考查了分类讨论方法、分组求和方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 已知，则的展开式中的常数项为参考答案：14. 函数的零点有 个．参考答案：3考点： 根的存在性及根的个数判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 题目中条件：“函数f （x ）=的零点个数”转化为方程lnx=x 2﹣2x 的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x 2﹣2x 左右两式表示的函数图象即得．解答： 解：当x ＞0时，在同一坐标系中画出y=lnx 与y=x 2﹣2x 的图象如下图所示： 由图象可得两个函数有两个交点． 又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点有3个故答案为：3点评： 函数的图象直观地显示了函数的性质．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．15. 如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层）， 第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推． （1）试问第层的点数为___________个；（2）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．参考答案：(1)(2)略16. 小明在学校组织了一次访谈，全体受访者中，有6人是学生，4人是初中生，2人是教师；5人 是乒乓球爱好者，2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知，此次访谈中受访者最少有_____人；最多 有______人.参考答案：考点：逻辑推理.17. 设实数满足，则的最大值为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。