向量积的物理背景

《向量数量积的物理背景与定义》知识清单一、向量数量积的物理背景在物理学中，我们常常会遇到力做功的问题。

当一个力作用在物体上，并使物体在力的方向上产生位移时，力就对物体做了功。

例如，一个水平向右的力 F 作用在一个物体上，使物体在水平方向上移动了一段距离 s，力 F 与位移 s 之间的夹角为θ。

那么力 F 所做的功 W 就可以表示为：W ＝｜F| ×｜s| × cosθ 。

这里的｜F| 表示力 F 的大小，｜s| 表示位移 s 的大小，cosθ 则反映了力的方向与位移方向之间的关系。

从这个物理模型中，我们可以抽象出向量数量积的概念。

力 F 和位移 s 都是向量，它们的数量积就与力做功的大小密切相关。

再比如，在电学中，电场强度 E 与电荷 q 移动的位移 s 的数量积，也可以表示电场力对电荷做功的大小。

通过这些物理实例，我们能够更加直观地理解向量数量积的实际意义，并且认识到它在描述物理现象和解决物理问题中的重要性。

二、向量数量积的定义1、定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则数量｜a| ×｜b| × cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b ，即 a·b ＝｜a| ×｜b| × cosθ 。

如果其中有一个向量为零向量，那么规定它们的数量积为 0 。

2、几何意义向量数量积 a·b 的几何意义是：数量积 a·b 等于 a 的长度｜a| 与 b 在 a 方向上的投影｜b|cosθ 的乘积，或者等于 b 的长度｜b| 与 a 在 b 方向上的投影｜a|cosθ 的乘积。

以 a·b 为例，假设向量 b 在向量 a 方向上的投影为向量 p ，则 p 的长度为｜b|cosθ ，那么 a·b ＝｜a| ×｜p| 。

3、性质（1）交换律：a·b ＝ b·a这意味着两个向量进行数量积运算时，其顺序不影响结果。

张喜林制2.3.1 向量数量积的物理背景与定义考点知识清单1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 、b ，作,,b a ==则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作（a ，b ），并规定其范围是 当2,π=b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作.b a ⊥2．向量在轴上的正射影：已知向量a 和轴L ，作,a =过点0，A 分别作轴f 的垂线，垂足分别为,,11A O 则11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量，即 ，其中l a 是a 在轴L 上正射影的数量． 3．向量的数量积（内积）定义： 4．向量内积的性质：(1)如果e 是单位向量，则=⋅=⋅a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即>=<b a ,cos )4( ||)5(b a ⋅ .||||b a要点核心解读1．向量数量积的物理背景——力做功的计算．如图2 -3 -1 -1．一个力F 使物体发生位移s 所做的功W 可以用下式计算．.cos ||||θF s W =其中θcos ||F 就是F 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F 在物体位移方向上正射影的数量． 2．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b （如图2 -3 -1 -2所示），作,,b a ==则AOB /称作向量a 和向量b 的夹角，记作),,(b a 并规定,),(0π≤≤b a在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有.,,>>=<<a b b a当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作,b a ⊥在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．3．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴L 如图2 -3 -1 -3.作,a =过点0、A 分别作轴L 的垂线，垂足分别为,11A O 、，则向量11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量．a =在轴L 上正射影的坐标记作,l a 向量a 的方向与轴L 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有.cos ||θa a l =4．向量的数量积（内积）定义><b a b a ,cos ||||叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ×b ，即.,cos ||||><=⋅b a b a b a5．平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则;,cos ||><=⋅=⋅e a a a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即;||a a a ⋅=;||||,cos )4(b a ba b a ⋅>=<.||||||)5(b a b a ≤⋅典例分类剖析考点1求数量积的问题[例1] 已知.3||,4||==b a 当b a b a b a 与③②①,,//⊥的夹角为60时，分别求a 与b 的数量积． [解析] ①当b a //时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角∴=,0 θ||a b a =⋅;120cos 34cos .||=⨯⨯= θb若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为,180o =θ;12)1(34180cos ||||-=-⨯⨯=⋅=⋅∴o b a b a②当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为,90;003490cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a③当a 与b 的夹角为60时．.6213460cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a [点拨] 若||||b a ⋅是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0变化到o180时，两向量的数量积从k 减到-k ，其图象恰好为从O 到霄的半个周期内的余弦图象，对于图形中的问题要注意区分图形中的角与向量的夹角．1．如图2—3 -1-4，在边长为1的等边三角形ABC 中，设,a BC =,,c AB bCA == 试求 a c c b b a ..++⋅的值．考点2 向量的夹角与垂直关系的运算[例2] 已知,9,1||,36||-=⋅==b a b a 则=),(b a ( )120.A 150.B 60.C 30.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 利用||||,cos b a ba b a ⋅>=<及,),(0π≤≤b a 求⋅),(b a解：⋅-=⨯-=⋅>=<231369||||,cos b a b a b a又.150,,180),(0 >=∴<≤≤b a b a [答案] B[点拨] 两个向量夹角的范围是⋅],0[π2．(1)向量a 、b 满足4222-=⋅--b a b a 且,4||,2||==b a 则=),(b a(2)若0是△ABC 所在平面内一点，且满足=-|||,2|-+则△ABC 的形状为( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点3 向量的投影问题[例3] 如图2-3 -1-5，在等腰三角形ABC 中，=AB D ABC AC ,30,2 =∠=是BC 的中点， 求：(1)C 在方向上的投影；(2)在D 方向上的投影．[解析] 如图2 -3 -1-5所示，连接AD ，在等腰三角形ABC 中，=∠==ABC AC AB ,2D ,30是BC的中点，所以⨯===⊥230cos ,AB BD CD BC AD .323=作CB 的延长线BE ，则与的夹角为-=∠180ABE .150=∠ABCCD BA =)1(方向上的投影是=-⨯=)23(2150cos || ;3- BA CD 在)2(方向上的投影是=-⨯=)23(3150cos || ⋅-23[点拨] 向量的投影是一个实数，它可正、可负、可为零，其性质符号取决于两向量之间的夹角，因此在正确理解向量投影定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键．b a a 与,4||.3=的夹角为,30 则a 在b 方向上的投影为考点4 内积性质的简单应用[例4] 已知,5||||==b a 向量a 与b 的夹角为,3π求.|||,|b a b a -+ [解析] 解法一：由数量积公式2||a a =求解．,25||,25||2222====b b a a,2253cos55cos ||||=⨯⨯==⋅πθb a b a .352525252)(222=++=⋅++=+=+∴b a b a b a b a同样可求 b a b a b a b a ⋅-+=-=-2)(||2.5252525=-+=解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使,3.5π=∠==DAB AD AB设,,b A a A ==如图2 -3 -1 -6．则,5||||||===-A B b a.355232||2||||=⨯⨯===+A b a[点拨] (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①22||a a a a =⋅=;||a a a ⋅=或.2)(||22b b a a b a b a +⋅±=±=±②由关系式=2a ,||2a 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求+a ||,b 可求),()(b a b a +⋅+将此式展开．由已知,5||||==b a 即b a b b a a ⋅=⋅=⋅,25 也可求得,225将上面各式的值代入，即可求得被求式的值． (2)利用向量线性运算的几何意义转化到求平面几何的长度的计算．4．(1)已知向量a ，b 满足==||,13||b a ,24||,19=+b a 求.||b a -(2)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为,60那么+a |=|3b ( )．7.A 10.B 13.C 4.D学业水平测试1．下列命题，正确的是( )．A ．若,0=⋅b a 则00==b a 或B ．若,0=⋅b a 则b a //C ．若,b a ⊥则0=⋅b a ||.a a aD >⋅对任意向量恒成立 2．已知,135,,4||,212 >=<=-=⋅b a a b a 则=||b （ ）12.A 3.B 6.C 33.D3．以下等式中恒成立的有( )．① b a b a ⋅=⋅ ② ;||;||22a a a a a ==⋅③④⋅+⋅-=-)2()2(222b a b a b aA.l 个B.2个 C ．3个 D.4个4．向量a 、b 满足,3||,2||==b a 且,7||=+b a 则=⋅b a5．已知,2||,1||==b a 且),2()(b a b a λλ-⊥+a 与b 的夹角为,60则=λ6．在△ABC 中，设,,,c AB b CA a BC ===若..a c c b b a ⋅=⋅=求证：△ABC 为正三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为1,3,==b a c b a 、、,30=∠C 则=B .343.A 323.B 343.-C 323.-D 2．△ABC 中，.A B A ⋅+⋅+一定是( )A ．小于0B ．大于0．C ．小于或等于零D ．大于或等于零3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的有( )．.(|;||||];0)()(b b a b a b a c c b a ③②①-≤-=⋅⋅-⋅⋅b a c a c ⋅⋅-⋅)()不与C 垂直；=-⋅+)23()23(b a b a ④.||4||922b a -A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．若,5||,4||,32041||==-=-b a b a 则a 与b 的数量积为( )．310.A 310.-B 210.C 10.D5．若四边形ABCD 满足,0)(,0=⋅-=+AC AD AB CD AB 则该四边形一定是( )．A ．直角梯形B ．菱形C ．正方形D ．矩形 6．（2009年福建高考题）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，|,|||,c a c a =⊥则||c b ⋅的值一定等于( )．A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 7．已知非零向量AC AB 与满足0)||||(=⋅+AC AC AB 且.||AB ⋅,21||=AC 则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．（2011年全国大纲理）设向量a ，b ，c 满足.,1||||a b a ==,21-=b ,60, >=--<c b c a 则∣C ∣的最大值等于( )．2.A3.B 2.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．（2008年江苏高考题）a ，b 的夹角为,3||,1||,120==b a则=-|5|b a10.（2010年天津高考题）如图2-3 -1 -7，在△ABC 中，,AB AD ⊥BC =,1||=AD 则=⋅.11．设向量a ，b ，c 满足.,)(,0b a c b a c b a ⊥⊥-=++若=||a 222||||||,1c b a ++则的值是 12.（2008年陕西高考题）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若,c a b a ⋅=⋅则;c b =②若//),6,2(),,1(a b k a -==;3,-=k b 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与b a +的夹角为.60 其中真命题的序号为____（写出所有真命题的序号）．三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-3 -1-8，已知正六边形,654321P P P P P P 求下列向量的数量积．;)2(;)1(41213121P P P P P P P P ⋅⋅.)4(;)3(61215121P P p p P P P P ⋅⋅14．已知,0||2||=/=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．15．已知向量,60,, =∠==AOB b O a 且.4||||==b a (1)求|;||,|b a b a -+(2)求b a +与a 的夹角及b a -与a 的夹角．16.已知),1,(),1,2(λ=--=b a 若a 与b 的夹角α为钝角，求A 的取值范围．。

平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。

就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。

想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。

你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。

数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。

简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。

比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。

这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。

再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。

这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。

如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。

数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。

这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。

说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。

它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。

拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。

这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。

想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。

但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。

再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。

想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。

而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。

这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。

再说计算机科学，这可是个神奇的领域。

机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。

平面向量数量积的物理背景及其含义【知识梳理】1．向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【常考题型】题型一、向量数量积的运算【例1】(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，求a ·b＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b 、b 与c 、c 与a 的夹角均为120°，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.【类题通法】向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．【对点训练】已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ·CD ；(2)AB ·AD ；(3)DA ·AC .解：(1)∵AB ，CD 的夹角为π，∴AB ·CD ＝|AB ||CD |cos π＝2×2×(－1)＝－4；(2)∵AB ，AD 的夹角为π2， ∴AB ·AD ＝|AB ||AD |cos π2＝2×2×0＝0； (或∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ⊥AD ，故AB ·AD ＝0) (3)∵DA ，AC 的夹角为3π4， ∴DA ·AC ＝|DA ||AC |cos 3π4＝2×22×⎝⎛⎫－22＝－4. 题型二、与向量的模有关的问题【例2】 (1)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．(1)[解析] 依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)．[答案] 3 2(2)[解] ∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a －b |，∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝ 4－2×2×4×cos π3＋16＝2 3. 【类题通法】向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a ·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝(a ±b )2＝ a 2±2a ·b ＋b 2.【对点训练】已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |.解：由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.(*)∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入(*)式得4＋2a ·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10.题型三、两个向量的夹角和垂直问题【例3】 (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．(1)[解析] 设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3. [答案] π3(2)[解] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0，∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3. 【类题通法】求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a ·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a ·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．【对点训练】已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝ma －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？解：由已知得a ·b ＝3×2×cos 60°＝3.由c ⊥d ，则c ·d ＝0，即c ·d ＝(3a ＋5b )·(ma －3b )＝3ma 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0，∴m ＝2914，即m ＝2914时，c 与d 垂直． 【练习反馈】1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )c ＝a (b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立；(3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( ) A.92B ．3C ．2 D.12解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92. 3．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：∵c ⊥a ，∴c ·a ＝0，∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋a ·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12. 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°.答案：120°4．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b＝ 25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12 ＝7.答案：75．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值：(1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝|n |.解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)．(1)因为m ⊥n ，所以(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0，解得λ＝529； (2)因为m ∥n ，所以(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0，解得λ＝－12； (3)因为|m |＝|n |，所以(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝72＋82， 解得λ＝2±21115.。