《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案及说明

6．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ， 使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b= |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.但是a⋅b = b⋅ca = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a 与c不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为|b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）° ° ° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） 33.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______.7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.。

平面向量数量积的物理背景及其含义教案章节：一、向量数量积的定义及计算公式【教学目标】1. 了解平面向量数量积的定义及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用向量数量积解决实际问题。

【教学内容】1. 向量数量积的定义：两个向量相乘的结果称为向量数量积，记作a·b，其中a、b为平面向量。

2. 向量数量积的物理意义：表示两个向量在空间中的投影长度乘积。

3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|、|b|分别为向量a、b的长度，θ为向量a、b之间的夹角。

【教学过程】1. 引入新课：通过讲解物理中力的作用效果，引导学生思考力的方向和大小对作用效果的影响，从而引出向量数量积的概念。

2. 讲解向量数量积的定义：结合图形，解释向量数量积的含义，让学生理解它是两个向量在空间中的投影长度乘积。

3. 推导向量数量积的计算公式：引导学生利用向量的长度和夹角，推导出向量数量积的计算公式。

4. 应用实例：让学生运用向量数量积的计算公式，解决实际问题，如力的合成与分解。

【课堂练习】1. 已知两个向量a、b，长度分别为|a|=3，|b|=4，夹角为θ=60°，求向量a与向量b的数量积。

2. 如图，在直角坐标系中，向量OA=(2,3)，向量OB=(4,6)，求向量OA与向量OB的数量积。

教案章节：二、向量数量积的性质及运算规律【教学目标】1. 掌握向量数量积的性质；2. 熟悉向量数量积的运算规律。

【教学内容】1. 向量数量积的性质：（1）交换律：a·b = b·a；（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；（3）数乘律：k·a = a·k（k为实数）。

2. 向量数量积的运算规律：（1）结合律：(a·b)·c = a·(b·c)；（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。

平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学目标 1、知识与技能：理解平面向量数量积的含义及其物理意义；应用数量积的性质和运算律进行相关的判断和运算。

2、过程与方法：通过物理中功的计算方式引入向量数量积的概念；通过对定义的理解与拓展，得到向量数量积的性质及运算律；应用“引”“动”“展”“评”“考”的教学方法对向量数量积的习题的灵活掌握。

3情感、态度与价值观：培养学生类比迁移的能力。

二、教学重难点1、重点：向量数量积德相关运算2、难点：向量数量积的性质和运算律的综合应用 三、教学过程（一）、复习引入。

两个非零向量 和 ，作OA a,OB b ==，则AOB ∠=θ叫做向量 和 的夹角 注意：向量的夹角，两向量必需共起点。

（二）、新课讲解1、物理中，一个物体在力 的作用下产生位移 ，则力所做的功w 计算，cos w F S θ=，其中θ是 与 的夹角。

像这样功w ，由力 和位移 ，和夹角θ确定的数量称为力 与 的数量积。

2、数量积的定义！ 已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作a b ⋅。

cos a b a b θ⋅=即， 其中，θ为 与 的夹角。

规定：零向量与任一向量的数量积为0，注意：向量的数量积为一个实数，不是向量。

（老师提示，学生完成）.5,4,120.a b a b a b θ===⋅练习已知与的夹角，求 cos 54cos120154()10.2a b a b θ⋅==⨯⨯=⨯⨯-=-解： a b a b ,.a b <>记作b aA B O θF s F sF s F s a b cos a b θab a b a b3、向量数量积的性质设 与 是非零向量@2||||.a a a a a a ⋅==⋅(1)或 (2)0.a b a b ⊥⇔⋅= 4、投影的概念（1）cos b θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影.（2）数量积的几何意义a 与b 的数量积等于 a 与b 在a 方向上投影 cos b θ的积.'5、向量数量积的运算律 12()()()(3)().a b b a a b a b a b a b c a c b c λλλ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅（）；（）；注意：()(),=a b c a b c a c b c a b ⋅⋅≠⋅⋅⋅=⋅(1) ；(2)不能得2222.||6,||4,60,(2)(-3).236||6||||||||cos606||36129672.a b a b a b a b a b a b a a a b b ba ab b a a b b ==+⋅+⋅-=⋅-⋅-⋅=-⋅-=--=--=-例1已知与的夹角为°求解：（）（）°（注：教师讲解，重点强调易错点）（三）课堂训练：（注：学生小组完成，让学生“动”“展”，教师完成“评”） cos a b a b θ⋅=o22||3,||2,()(2).·223cos302933224217oa b a b a b a ba b a b a a a b a b b ba ab b==+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=++=+⨯⨯⨯+⨯=+已知与的夹角为30，求解：（+）(+2)=2222234,()()0.39,416,9160.3.43.4a b a b ka kb a kba kb a kba kb a kba bkkk a kb a kb==+-+⊥-∴+⋅-=====∴-=∴=±=±+-例2：已知，，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？解：（）（）又即时，与互相垂直（教师提示：向量的垂直可以转化为向量的数量积为零，由学生小组共同完成）（四）、课堂检测：（提示：由学生独立完成，限时5分钟，学生上交检测题，教师批改）…o22||1,||2,()(2).·22cos602111122482oa b a ba b a ba b a b a a a b a b b ba ab b==+⋅-⋅⋅-⋅+⋅-⋅=--=-⨯⨯⨯-⨯=-已知与的夹角为60，求解：（+）(-2)=（五）、课堂小结1.向量的数量积的定义cosa b a bθ⋅=2.向量数量积的性质2||||0.(2).a a a a a a b a b a ⋅==⋅⊥⇔⋅=(1)，或3.向量数量积的运算律、（六）、作业布置：课本108页 A 组第1题、五、课后思考题 ()()48.1|42|2k (2)(k )?o a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→⊥已知＝，＝，与的夹角是120计算－；当为何值时，＋－六、教学反思：我作为高一数学组的代表,非常荣幸能够参加这次赛课，通过这次活动,我收获很多,在教学上进步很多.著名教育家布卢姆说:“教会学生思考,我们就给了他们自己教育自己的能力.”在新课标课程背景下衡量课堂教学效果好坏的一个重要标志就是学生的思维能力在多大程度上得到挖掘和培养.下面我将正式上课的主要环节做个反思：1、问题情景引入如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力所做的功是多少能否把“功”看成是两个向量的一种运算的结果呢为此,我们可以引入“向量数量积”的概念.但由于高一学生在物理上还没有学习到力与位移夹角不为零时功的计算公式，所以这里有一定的遗憾。

《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一．教学目标：1.知识与技能⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律；⑶平面向量数量积几何意义应用。

2.过程与方法本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习数量积概念，随后探究数量积的性质，通过让学生练习计算数量积及公式变形应用并引导学生由力在位移上的分力值得出投影的概念及数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，设置例题与变式，夯实基础，提升能力。

3.情感态度与价值观通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。

二、教学重难点重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角。

难点：平面向量数量积概念，平面向量数量积的性质及平面向量数量积的几何意义的应用。

三．教学过程（一）导入新课前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加、减、数乘运算,并且两个向量的和、差、数乘仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？情景:观察小车的运动，讨论功的计算公式．提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？（2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？（3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？（二）新课讲授1.物理背景：如图，物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功W =||||cos W F S F S θ=⋅= .其中，力F 在位移S 方向分力的大小为||cos F θ （请在下图中画出来），力是向量，位移是向量，功是数量，θ是F S 与的夹角.提问：类比功的计算公式，数学中两个向量乘法的计算公式是什么？2.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把||||cos a b θ 称为a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即a b ⋅ =||||cos a b θ ，其中，|b |cos θ叫做b 在a 方向的投影（请在下图中画出来），规定：0 ⋅a =0.3.回归物理背景，归纳几何意义提问：物理中，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小，类比猜想，平面向量数量积的几何意义是什么？预设互动回答：a b ⋅ =b 在a 方向的投影||cos b θ ×||a 平面向量数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向的投影||cos b θ 的乘积.4.回顾向量的夹角，强调前提条件问题：投影也是一个数量还是向量？是否为正？当[0,)2πθ∈时，投影为正；当(,]2πθπ∈时，投影为负；当2πθ=时，投影为零。

平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。

教学重点：1. 平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 平面向量数量积的计算公式。

教学难点：1. 平面向量数量积的理解和应用；2. 平面向量数量积的计算公式的推导和运用。

教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量数量积的物理背景和计算公式；2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用向量数量积解决实际问题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT或黑板，展示一些物理场景，如力的作用、位移等，引导学生思考向量数量积的物理背景；2. 学生分享自己对向量数量积的理解和疑问。

二、向量数量积的概念及其物理意义（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，介绍向量数量积的概念，即两个向量的点积；2. 教师解释向量数量积的物理意义，如力的作用、位移等；3. 学生跟随教师一起回顾向量数量积的定义和物理意义。

三、向量数量积的计算公式（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，推导出向量数量积的计算公式，即两个向量的点积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积；2. 教师解释计算公式的推导过程和含义；3. 学生跟随教师一起推导计算公式，并理解其含义。

四、向量数量积的运用（15分钟）1. 教师提出一些实际问题，如力的合成、位移的计算等，引导学生运用向量数量积解决实际问题；2. 学生分组讨论，尝试解决实际问题；3. 各组汇报解题过程和结果，教师进行点评和指导。

2. 学生分享自己的学习收获和反思。

教学延伸：1. 教师可以引导学生进一步学习向量数量积的应用，如力的分解、动量的计算等；2. 教师可以组织学生进行小组讨论或研究，深入研究向量数量积的性质和应用。

教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，包括教学内容的掌握情况、学生的参与程度、教学方法的适用性等，以便于改进教学策略，提高教学质量。

平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 了解平面向量数量积的物理背景；2. 掌握平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 理解平面向量数量积的几何意义；4. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。

教学重点：1. 平面向量数量积的物理背景；2. 平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 平面向量数量积的几何意义。

教学难点：1. 平面向量数量积的计算公式的推导；2. 平面向量数量积的几何意义的理解。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 教学用具（如直尺、三角板等）；3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入物理背景：以力的合成与分解为例，说明平面向量数量积的重要性；2. 引导学生思考：如何量化两个力的合力的大小和方向？二、平面向量数量积的定义及其计算公式（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的定义：两个向量的数量积是它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；2. 推导平面向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ；3. 讲解计算公式的含义：数量积表示两个向量共线的程度，正值表示共线同方向，负值表示共线反方向，零值表示不共线。

三、平面向量数量积的几何意义（15分钟）1. 解释平面向量数量积的几何意义：数量积等于两个向量夹角的余弦值，表示两个向量之间的夹角的余弦值；2. 绘制图示：通过图示解释数量积的计算公式及几何意义；3. 讲解数量积的性质：交换向量a和b，数量积不变；数量积为零，表示两个向量垂直。

四、平面向量数量积的运算律（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的运算律：交换律、分配律、结合律；2. 通过示例讲解运算律的应用：解决实际问题，如力的合成与分解。

五、练习与巩固（10分钟）1. 出示练习题：让学生独立完成，检验对平面向量数量积的理解；2. 讲解答案：解析学生答案，解答疑问，巩固知识点。

教学反思：本节课通过引入物理背景，引导学生了解平面向量数量积的重要性，接着讲解其定义、计算公式、几何意义、运算律，通过练习题进行巩固。

第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b ，即有a⋅b = |a||b |cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e ⋅a = a ⋅e =|a |cos ；2 a b a ⋅b = 03当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = |a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4cos =||||b a ba ⋅ ；5|a ⋅b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为，则a ⋅ b = |a ||b |cos ，b ⋅ a = |b ||a |cos∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos() =λ|a ||b |(cos) =λ|a ||b |cos，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos() =λ|a ||b |(cos) =λ|a ||b |cos.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos= |a | cos1+ |b | cos2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos 1+ |c | |b | cos2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a 2b 垂直，求a 与b 的夹角.解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 ⇒ 7a 2+ 16a ⋅b 15b 2= 0 ①(a4b )(7a 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 30a ⋅b + 8b 2= 0 ②两式相减：2a ⋅b = b 2代入①或②得：a 2= b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222==⋅||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =AD AB + ∴|AC |2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222而BD =AD AB - ，∴|BD |2=AD AB AD AB AD AB ⋅-+=-2||222∴|AC |2 + |BD |2= 2222AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：。

平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。

2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a·b=b·a(交换律);②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.图3(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e·a=a·e=|a|cosθ.2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a •. 4°cosθ=||||b a b a •. 5°|a ·b |≤|a ||b |. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动). ②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.（三）应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1, |CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠AC B=90°,从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC =60°,∠BAC =30°.∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°.故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0. ∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例 1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,=c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵AB +BC +CD +DA =0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,∴ABCD 是平行四边形. 故= ,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,ABCD 是矩形. 点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角. 活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,CB =b ,则CA =a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC =60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --•作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --• 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=•b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21 )=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m-4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业。

.1平面向量数量积的物理背景及其含义【学情分析】本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用．但是，学生作为初学者不清楚向量的数量积数数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然．通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容．利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆．利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点．由向量的线性运算迁移，引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望．【教学目标】（1）懂得平面向量数量积的含义及其物理背景；（2）会进行平面向量数量积的运算；（3）会用数量积判定两个向量的垂直关系；（4）能运用数量积求两个向量夹角的余弦值．【教学重点】平面向量数量积的概念和性质及运算律的探究和应用．【教学难点】平面向量数量积的定义及对运算律的探究、理解，平面向量数量积的灵活应用．cosθb叫做的数量积（或内积），a b（其记作：a b,cosθ与b的夹b）叫（cosθ方向上（b在方向上）的投影．）a b符号不能写b（a与=都是非零向量）；b，则向=至少有一个是类比a,b属于实ab=0等价于a=0．而且此性质在解=b a b；共线反b a b．=-22a a a==2a a a(==质类比)，这是求向量长度的又一方法．a b a b1得出性质≤b 和数量积的几何意义．学生通过自主阅读，总结并发=b b a ； )()()λλ==a b a b a b )+=+a b c a c b c对向量数量积的运算律进一步研究．）()()=a b c a b c 成立吗？显然，等式左边与向量a 共线，右边与向量c 共线，而不一定共线，因此结论不一定成立；=b b c 能否推出？（反例：当a =0，时，有0==a b b c ，但不能得到c =0）．结合实数0),有ab=bc ⇒a=c 进行类比，辨析．与法则之间的区别与联系．注意利用学生的错误这一重要资源，和易混点，掌握知识．多项式乘法运算进行类比． 1.【教学反思】本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算，使得学习内容直观、生动，抓住重点．使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力．在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开．但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出项的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导．。