对数函数讲义

名思教育辅导讲义所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ＝0，则不等式f (18logx )>0的解集为________________．答案 ∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ＝0，得f ＝0. ∴f (18logx )>0?18log x <－或18log x >x >2或0<x <， ∴x ∈∪(2，＋∞)． 题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.B.C.D.(2)已知函数f (x )＝则f (f (1))＋f (log 3)的值是 ( )A ．5B ．3C ．－1D.思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))； f (log 3)可利用对数恒等式进行计算． 答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝， 2－x ＝，所以(2x －2－x )2＝()2＝.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 3<0，所以f (log 3)＝31log 231-+＝3log 23＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 3)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝则f (2＋log 23)的值为________．答案解析 因为2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝()323log +＝×()32log ＝×＝.题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (12log 3)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象； (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log3＝－log23＝－log49，12b＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)，12log47<log49,0.2－0.6＝35 ＝>＝2>log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)<f(log3)<f(log47)，即c<b<a.12思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为() A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a(2)已知函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b＝________.答案(1)A(2)2 2解析(1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b，故c<b<a.(2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a(－1＋b)＝0且f(0)＝log a(0＋b)＝1，∴，即.题型三对数函数的应用例3已知函数f(x)＝log a(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log a t为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝log a(3－a)，∴，即，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间[，2]上的值域．解(1)由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1，因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间[，2]上递增，又f()＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在[，2]上的值域为[0，log415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．a<b<cC．b<a<c D．a<c<b(2)已知a＝2log 3.45，c＝()3log0.3，则()5，b＝2log 3.6A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是()A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c . (2)c ＝()3log 0.3＝53log 0.3＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 23.4>log 3>log 43.6.方法二 ∵log 3>log 33＝1，且<3.4， ∴log 3<log 33.4<log 23.4. ∵log 43.6<log 44＝1，log 3>1， ∴log 43.6<log 3. ∴log 23.4>log 3>log 43.6. 由于y ＝5x为增函数，∴2log 3.45>5310log 3>5log 43.6.即2log 3.45>()3log 0.3>2log 3.65，故a >c >b .教研主任签字：________。

对数函数知识讲解一、对数1.定义：一般地，对于指数式b a N =，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作，即log a b N=（0a >且1a ¹），其中，数a 叫做对数底数，N 叫做真数．2.对数运算1）对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：i. log log log ()a a a M N M N +=⋅；（对数的和等于积的对数） ii. 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ iii. log log log a a aMM N N-=；（商的对数等于对数的差） iv. log log (R)a a M M ααα=∈ v. 1log log naa N N n=2）换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 3）关于对数的恒等式log a NaN =log n a a n = 1log log a b b a=log log n m a a mM M n= log log log log a b a b M MN N=二、对数函数1.定义：函数log a y x =（0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R ．2.对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质：3.根据图像比较对数函数底数的大小曲线1234C C C C ，，，分别是指函log log log log a b c d y x y x y x y x ====，，，的图像． 1）由图像得01a b d c <<<<<．2）当底数大于1时，底数越大图像越靠近x 轴，当底数小于1时，底数越小于靠近x 轴． 3）指数函数log a y x =与1log ay x =（0a >且1a ≠）的图像关于x 轴对称．4）函数值的大小比较①底数相同真数不同：当底数大于1数小于1时真数越大函数值越小．②指数相同真数不同：可采用函数图像法，底数大于1同底数越大函数值越小，底数小于1时，真数相同底数越小函数值越小．③底数不同真数不同：找中间值（一般为1值比较．经典例题一．选择题（共12小题）1．（2016秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，5） B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【解答】解：要使对数式b=log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则{a −2＞05−a ＞0a −2≠1，解得a ∈（2，3）∪（3，5），故选：C ．2．在M=log （x ﹣3）（x +1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，3] B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）【解答】解：由函数的解析式可得 {x +1＞0x −3＞0x −3≠1，解得3＜x ＜4，或x ＞4．故选：B ．3．（2017春•杭州期末）若a 2017=b （a ＞0，且a ≠1），则（ ） A ．log a b=2017 B ．log b a=2017C ．log 2017a=bD ．log 2017b=a【解答】解：若a 2017=b （a ＞0，且a ≠1），则2017=log a b ，故选：A．4．（2015秋•高密市期中）若0＜a＜1，实数x，y满足|x|=log a 1y，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由|x|=log a1y，得，∴y=1a|x|={a x，x≤0a−x，x＞0，又0＜a＜1，∴函数在（﹣∞，0]上递j减，在（0，+∞）上递增，且y≥1，故选：A．5．（2018•安庆二模）设x，y，z均大于一，且log√2x=log√3y=log√5z，令a=x12，b=y13，c=z14则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：法一：令log√2x=log√3y=log√5z=k，则x12=(214)k，y13=(316)k，z14=(518)k将它们分别24次方，得a 24=(x 12)24，b 24=(y 13)24=81k ，c 24=(z 14)24=125k ，法二：取特殊值法：取x=√2，y=√3，z=√5，符合题意， 易验证c ＞a ＞b ， 故选：D ．6．（2018•潮南区模拟）若log 2（log 3a ）=log 3（log 4b ）=log 4（log 2c ）=1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a【解答】解：由log 2（log 3a ）=1，可得log 3a=2，lga=2lg3，故a=32=9， 由log 3（log 4b ）=1，可得log 4b=3，lgb=3lg4，故b=43=64， 由log 4（log 2c ）=1，可得log 2c=4，lgc=4lg2，故c=24=16， ∴b ＞c ＞a ． 故选：D ．7．（2014•苏州校级学业考试）化简log 38log 32可得（ ） A ．log 34 B ．32C ．3D ．4【解答】解：log 38log 32=log 28=log 223=3．故选：C ．8．（2014秋•喀什地区月考）log29×log34=（）A ．14B ．12C ．2D ．4【解答】解：原式=2lg3lg2×2lg2lg3=4．故选：D ．9．（2016秋•南岗区校级期末）函数y =√x−1x−2+log 2(−x 2+2x +3)的定义域为（ ） A ．{x |1≤x ＜3}B ．{x |1＜x ＜2}C ．{x |1≤x ＜2或2＜x ＜3}D ．{x |1≤x ＜2}【解答】解：要使函数有意义，则{x −1≥0x −2≠0−x 2+2x +3＞0，即{x ≥1x ≠2x 2−2x −3＜0，∴{x ≥1x ≠2−1＜x ＜3解得1≤x ＜3且x ≠2，即1≤x ＜2或2＜x ＜3． ∴函数的定义域为{x |1≤x ＜2或2＜x ＜3}． 故选：C ．10．（2016秋•东莞市校级期末）函数y=log 5x 的定义域（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，0]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）【解答】解：根据题意，函数y=log 5x 的是对数函数， 则有x ＞0，即其定义域为（0，+∞）；故选：C ．11．（2017秋•南涧县校级月考）函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f(x +4)=1f(x)，且当x ∈[2，10）时，f （x ）=log 2（x ﹣1），则f （2010）+f （2011）的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．2【解答】解：由f （x +4）=1f(x)得f [（x +8）]=1f(x+4)=f （x ），T=8 ∵x ∈[2，10），f （x ）=log 2（x ﹣1） ∴f （2010）+f （2011）=f （2）+f （3） =log 21+log 2（3﹣1）=1． 故选：C ．12．（2014•陕西二模）函数g （x ）=log 22x x+1（x ＞0），关于方程|g （x ）|2+m |g（x ）|+2m +3=0有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，4﹣2√7）∪（4+2√7，+∞）B ．（4﹣2√7，4+2√7）C ．（﹣34，﹣23）D ．（﹣32，﹣43]【解答】解：∵2x x+1=2(x+1)−2x+1=2﹣2x+1，∴当x ＞0时，0＜2﹣2x+1＜2，即g （x ）＜1，则y=|g （x ）|大致图象如图所示，设|g （x ）|=t ，则|g （x ）|2+m |g （x ）|+2m +3=0有三个不同的实数解， 即为t 2+mt +2m +3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，当t=0时，2m +3=0，得m=﹣32，此时方程为t 2﹣32t=0，解得t=0或t=32，当t=0时，g （x ）=0有一个根x=1，当t=32时，由|g （x ）|=32，此时也只有一个根，此时方程共有2个根，不满足条件．设h （t ）=t 2+mt +2m +3， ①当有一个根为1时，h （1）=12+m +2m +3=0，解得m=﹣43，此时另一根为13，满足条件．②根不是1时，则满足{ℎ(0)＞0ℎ(1)＜0，∴{2m +3＞01+m +2m +3＜0，即{m ＞−32m ＜−43，∴﹣32＜m ＜−43．综上﹣32＜m ≤﹣43，即实数m 的取值范围为（﹣32，﹣43]，故选：D ．二．填空题（共4小题）13．（2016秋•曲阜市校级期末）若4x =9y =6，则1x+1y= 2 ．【解答】解：∵4x =9y =6，∴x=lg6lg4，y=lg6lg9．则1x +1y =lg4lg6+lg9lg6=lg62lg6=2． 故答案为：2．14．（2018•黑龙江模拟）设2x =5y =m ，且1x+1y=2，则m 的值是 √10 ．【解答】解：由2x =5y =m ， 得x=log 2m ，y=log 5m ，由1x +1y =2，得1log 2m +1log 5m =2， 即log m 2+log m 5=2， ∴log m 10=2， ∴m=√10． 故答案为：√10．15．（2015秋•汉阳区校级期末）已知log 23=t ，则log 4854=1+3t 4+t（用t 表示）【解答】解：log 23=t ，则log 4854=log 254log 248=1+3log 234+log 23=1+3t4+t．故答案为：1+3t4+t．16．（2013秋•缙云县校级期末）已知函数f （x ）=log a [mx 2+（m ﹣1）x +14]的值域为R ，则实数m 的取值范围是 [0，3−√52]∪[3+√52，+∞） ．【解答】解：令g （x ）=mx 2+(m −1)x +14的值域为A ，∵函数f(x)=log a [mx 2+(m −1)x +14]的值域为R ，∴（0，+∞）⊂A ，当m=0时，g （x ）=−x +14值域为R ，满足条件；当m ≠0时，{m ＞0(m −1)2−m ≥0，解得：m ∈（0，3−√52]∪[3+√52，+∞），故实数m 的取值范围是[0，3−√52]∪[3+√52，+∞），故答案为：[0，3−√52]∪[3+√52，+∞）．三．解答题（共2小题）17．已知函数f （x ）=lg [（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5]， （1）若函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求实数m 的取值范围．【解答】解：函数f （x ）=lg [（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5]， （1）∵f （x ）的定义域为R ，∴g （x ）=（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5的图象恒在x 轴上方， （m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5＞0恒成立， 当m=1时，5＞0恒成立， 当m=2时2x +5＞0不恒成立，当{m 2−3m +2＞0△＜0时，不等式恒成立．即m ＞94或m ＜1，所以实数m 的取值范围为：m ＞94或m ≤1，（2）∵f （x ）的值域为R ，∴g （x ）=（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5图象不能在x 轴下方， 当m=2时g （x ）=2x +5，符合题意，当{m 2−3m +2＞0△≥0时，即2＜m ≤94 实数m 的取值范围：2≤m ≤9418．（2015•湘西州校级一模）已知函数f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x +3）（0＜a ＜1）（1）求函数f （x ）的定义域；（2）求函数f （x ）的零点；（3）若函数f （x ）的最小值为﹣4，求a 的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有{1−x ＞0x +3＞0，解之得：﹣3＜x ＜1， 则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f （x ）=log a （1﹣x ）（x +3）=log a （﹣x 2﹣2x +3） 由f （x ）=0，得﹣x 2﹣2x +3=1，即x 2+2x ﹣2=0，x =−1±√3∵−1±√3∈(−3，1)，∴函数f （x ）的零点是−1±√3（3）函数可化为：f （x ）=log a （1﹣x ）（x +3）=log a （﹣x 2﹣2x +3）=log a [﹣（x +1）2+4] ∵﹣3＜x ＜1，∴0＜﹣（x +1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴a=4−14=√22。

对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。

2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。

3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。

二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。

-对数函数的值域为实数集，即y∈R。

2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。

- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。

- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。

-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。

-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。

5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。

- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。

三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。

-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。

2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。

第五节、对数函数 幂函数
一、基本概念
1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的
对数，记作：
N
x a log =
a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式
说明： 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
x N N a a x
=⇔=log ；
思考： 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ；
是否是所有的实数都有对数呢？ 两个重要对数：
常用对数：以10为底的对N lg 数；
自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．
对数式与指数式的互化 x N a =log ⇔N a x = 对数式
⇔
指数式
对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂
3．
对数的性质
对数的性质
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；
A. Q<T<P
B. T<Q<P
C. P<Q<T
D. P<T<Q X k
的定义域为
定义域为（
A. 2
B.
C.。

对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。

对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。

对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。

2.对数函数的值域是实数集R。

3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。

4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。

6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。

7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。

9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。

10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。

11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。

13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。

对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。

它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。

在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。

对数函数教学设计一、 问题情境1、情境：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =2x表示.2、问题：现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞？这个问题就相当于已知y =2x 中的y 求x ，我们将y =2x改写成对数式为y =log 2x ，对于每一个给定的y 值，都有唯一的x 值与之相对应。

把y 看作自变量，分裂次数x 就是细胞个数y 的函数。

这样就得到了一个新的函数。

习惯上，仍用x 表示自变量，用y 表示它的函数。

上面的这个函数就写成y =log 2x 。

二、 新授：1、对数函数概念： 一般地，函数x y alog =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数.思考1：函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）与函数xa y =（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域之间有什么关系？ （函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域分别是函数xa y =（a＞0且a ≠1）的值域和定义域）2、对数函数的图像与性质： ①学生自主活动探究 在同一坐标轴下画出对数函数x y 2log=与指数函数xy 2=的图像观察图像有什么特征？思考2：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数x y alog =与函数xa y =的图像有什么关系？（函数x y alog=与函数xa y =的图像关于直线y=x 对称）总结：我们发现函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域分别是函数xa y =（a ＞0且a ≠1）的值域和定义域，它们的图像关于直线y=x 对称。

这样我们把xa y =称为x yalog=的反函数，同样x y alog=称为xa y =的反函数。

一般地，如果函数)(x f y =存在反函数，那么它的反函数记作)(1x fy -=在同一坐标轴下画出对数函数x y 3log =与x y 31log=的图像，并观察函数图像，说说图像的特征。

一、教学目标：1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．二、教学重、难点：运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题三、命题规律：主要考察指数式ba N =与对数式log a Nb =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。

四、教学内容：【知识回顾】 1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。

即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。

自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。

3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（1）对数恒等式：①log Na a = (01,0a a N >≠>且②log N a a =(01,0)a a N >≠>且（2）换底公式：log a N =log log b b Na（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d4.对数的运算性质如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3）log n a M = ； （4）log na m M = 。

（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =1log b a5.对数函数函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。

对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =， 则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<； x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________； （2）y =__________________； （3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（ ）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+， D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===， ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【参考答案】➢ 知识点睛一、对数函数的定义log 01a y x a a =>≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-，3. B4. C5. D6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，， （3）(2)(02)+∞，，，13. A对数函数及其性质（随堂测试）1. 已知函数()f x =的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M ∩N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2. 若函数loga y x =（01a <<）在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143. 若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【参考答案】1. C2. B3. A。