指数函数与对数函数(讲义)

2018届高三第一轮复习讲义【12】-指数函数与对数函数一、知识梳理：1.指数函数的概念、图像和性质 （1）指数的运算性质()()()()()0,,;0,,;0,0,.m n m n nm mn nn n a a a a m n R a a a m n R a b a b a b n R ⋅⋅=>∈=>∈⋅=⋅>>∈（2）指数函数：一般地，函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．（3）指数函数的图像与性质【注意】（1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如()f x y a =(0a >且1a ≠)函数的单调性；（2）会根据x y a = (0a >且1a ≠)的单调性求形如(),f x y ax D =∈，(),x y f a x D=∈（1）定义域：x R ∈（2）值域：(0,y ∈的值域；（3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用。

2．对数的概念及其运算 （1）对数的定义：如果=ba N （>0a ，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作=a log N b ．读作“以a 为底N 的对数”，其中a 叫做底数，N 叫做真数．必须注意真数0N >，即零与负数没有对数．（2）指数式与对数式的关系：=ba N ⇔=a log Nb （>0a ，1a ≠，0N >）．两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化． （3）对数的性质：① log a N 中0(0,1)N a a >>≠，零和负数没有对数，即0N >； ② 底数的对数等于1，即log =1a a ，log a NaN =，()0,1,0a a N >≠>③ 1的对数0，即log 1=0a ． （4）对数的运算性质：① ()=+a a a log MN log M log N （0M >，0N >，>0a ，1a ≠）；② =aa a Mlog log M log N N-（0M >，0N >，>0a ，1a ≠） ③ =n a a log M nlog M ；log a NaN =（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）④ 对数换底公式：log =log a b a Nlog N b（>0a ，1a ≠，>0b ，1b ≠，0N >）【提醒】（1）注意真数0N >，即零与负数没有对数.（2）底数满足>0a ，1a ≠ 3．对数函数：对数函数的图像与性质二、基础检测：1. 设16log 27a =, 则用a 表示6log 16=_______________.2. 函数222xxy +=的单调递增区间是_____________, 值域是____________. 3. 函数|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间是_____________, 值域是____________.4. 函数20.1log (62)y x x =+-的单调递增区间是________________.5. 若2log 13a<, 则实数a 的取值范围是________________________. 6. 不等式2(21)1x a -<的解集为(,0)-∞, 则实数a 的取值范围是______________.三、例题精讲：【例1】指数函数①x y a =，②x y b =，③x y c =，④xy d =在同一坐标系内的图像如图所示，则,,,a b c d 的大小顺序是（）．A ．b a d c <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．b c a d <<< 【参考答案】A ．【例2】若不论a 取何正实数，函数12x y a +=-的图像都通过同一定点，则该点坐标是____________． 【参考答案】()1,1--【例3】不等式()2211xa -<的解集为(),0-∞，则实数a 的取值范围是．【参考答案】()(),11,-∞-+∞【例4】根据统计资料，在A 小镇，当某件信息发布后，t 小时之内听到该信息的人口是全镇人口的100(12)%kt--，其中k 是某个大于0的常数，今有某信息，假设在发布后3小时之内已经有70%的人口听到该信息．又设最快要T 小时后，有99%的人口已听到该信息，则T =_______小时．（保留一位小数） 【参考答案】11．5【例5】已知22124x x x-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求函数22x xy -=-的值域．解：222242122224414x x xxxx x x x x -++-+⎛⎫≤⇔≤⇔+≤-+⇔-≤≤ ⎪⎝⎭，而函数22xxy -=-在区间[]4,1-上是增函数，所以，函数22xxy -=-的值域为2553,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例6】已知函数[)1423,2,x x y a x --=-⋅-∈-+∞的最小值是4-，求实数a 的值． 解：设2xu -=由于[)2,x ∈-+∞，所以(]0,4u ∈，()2124233x x y a u a a --=-⋅-=---①_x0001_(]0,4a ∈时，()()2min 34,1,f x a a =--==此时u a =，即0x =；②_x0001_当(),0a ∈-∞时，()()223g u u a a =---在(]0,4上是增函数，()f x 无最小值； ③_x0001_当()4,a ∈+∞时，()()223g u u a a =---在(]0,4上是减函数，()174,8a =∉+∞舍去． 综上所述，实数a 的值为1．【例7】若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：()x x f 21log 2=，()()22log 2f x x =+，232log f x =,42log (2)f x =则“同形”函数是（ ） A 1()f x 与2()f x B 2()f x 与3()f x C 2()f x 与4()f x D 1()f x 与4()f x【参考答案】C【例8】函数221()log (2)2ax f x x x -=+-+在[1,3]x ∈上恒有意义，则实数a 的取值范围是_________．【参考答案】(2)-+∞【例9】函数20.3log (2)y x x =-的单调递减区间为．解：先求定义域：由220x x ->得(2)0x x ->0x ∴<或2x >．∵函数0.3log y t =是减函数，故所求单调减区间即22t x x =-在定义域内的增区间， 又22t x x =-的对称轴为1x =，∴所求函数的单调递减区间为(2,)+∞． 【例10】已知函数2()log (01)2axf x a x+=<<-（1）试判断()f x 的奇偶性； （2）解不等式()log 3a f x x ≥． 解：（1）20222xx x+>⇒-<<-故()f x 的定义域关于原点对称， 且122()log log ()()22aa x x f x f x x x--+-===-+-∴()f x 是奇函数． （2）2()log 3log log 3.012a aa xf x x x a x+≥⇔≥<<-，故2220221(32)(1)230322xx x x x x x x x x+⎧-<<>⎧⎪⎪⎪-⇔⇔≤≤--⎨⎨+≥⎪⎪≤-⎩⎪-⎩，即原不等式的解集为2{|1}3x x ≤≤．【例11】设不等式211222(log )9(log )90x x ++≤的解集为M ，求当x M ∈时，函数22()(log )(log )28x xf x =的最大、最小值． 解：211222(log )9(log )90x x ++≤1122(2log 3)(log 3)0x x ∴++≤1233log 2x ∴-≤≤-即3333221112221111log ()log log (),()()2222x x ----≤≤∴≤≤∴8x ≤≤即{|M x x =∈又2222222()(log 1)(log 3)log 4log 3(log 2)1f x x x x x x =--=-+=--∵8x ≤≤∴23log 32x ≤≤ ∴当2log 2x =即4x =时min 1y =-；当2log 3x =，即8x =时，max 0y =． 【例12】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是0lg lg M A A =-，其中，A 是被测地震最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅，M 为震级．则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__倍．解：7050(lg lg )(lg lg )752A A A A ---=-=，即75lg 2A A =，75100AA =．【例13】已知函数()|lg |f x x =，若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是________．解：如图，由()()f a f b =得|lg ||lg |a b =设0a b <<则lg lg 0a b +=∴1ab =∴22a b ab +>=，答案：(2,)+∞【例14】已知函数()log (01).a f x x x b a a =+->≠，且当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),,=x n n n N n ∈+∈则．解：方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ，即函数log (23)a y x a =<<的图像与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ， 且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图像,因为当(23)x a a =<<时,1y =，此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈；当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图像上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图像上点的横坐标(5,6)x ∈．故所求的2n =．四、难题突破： 例1. 已知函数1()log 1axf x x-=+(0, 1a a >≠). (1) 讨论函数()f x 的奇偶性和单调性;(2) 设函数()f x 的定义域为[,)a b , 值域为[1,)+∞, 求实数a , b 的值. (1)解: 函数的定义域为区间(1,1)-, 关于原点对称,任取(1,1)x ∈-, 111()log log log ()111a a ax x x f x f x x x x +--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭, 即()f x 是奇函数.任取12,(1,1)x x ∈-, 12x x <, 则12011x x <+<+, 故有121211221111x x x x >⇔>++++, 因此1212121122111111x x x x x x ---+>-+⇔>++++, 当01a <<时, 由log a y x =在(0,)+∞上单调递减, 得121211log log 11a ax x x x --<++, 此时()f x 在(1,1)-上单调递增;当1a >时, 由log a y x =在(0,)+∞上单调递增, 得121211log log 11a ax x x x -->++, 此时()f x 在(1,1)-上单调递减.(2)解: 由题意, [,)(1,1)a b ⊆-, 故11a b -<<≤, 即01a b <<<,由(1)可知()f x 在(1,1)-上单调递增, 故有11()1log 111a a af a a a a--=⇔=⇔=++, 解得1a =;当1b <时, 由单调性得1()log 1a bf x b-<+, 不合题意, 故1b =;综上有1, 1a b =.例2. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++(其中a 为实常数). (1) 若函数的定义域为, 求实数a 的取值范围; (2) 若函数的值域为, 求实数a 的取值范围.(1)解: 即不等式22(1)(1)10a x a x -+++>的解集为,当1a =时, 不等式为210x +>, 不合题意;当1a =-时, 不等式为10>恒成立, 符合题意;当21a ≠时, 则有22210(1)4(1)0a a a ⎧->⎪⎨∆=+--<⎪⎩, 解得5(,1)(,)3a ∈-∞-⋃+∞; 综上所述, 5(,1](,)3a ∈-∞-⋃+∞;(2)解: 即函数22(1)(1)1y a x a x =-+++的值域包含+,当1a =时, 函数为21y x =+, 符合题意; 当1a =-时, 函数为1y =, 不合题意;当21a ≠时, 则有22210(1)4(1)0a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩, 解得5(1,]3a ∈, 综上所述, 5[1,]3a ∈.例3. 已知函数2()log ()a f x ax x =-(0, 1a a >≠)在区间[2,4]上是增函数, 求实数a 的取值范围.解: 令210(1)0(,0)(,)ax x x ax x a->⇔->⇒∈-∞⋃+∞给出,函数在[2,4]有定义, 则1122a a <⇒>, 令2t ax x =-, 其图像对称轴为直线12x a=, 当1a >时, 外层函数单调递增, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递增, 得11224a a ≤⇔≥, 结合定义域要求, 即1a >; 当01a <<时, 外层函数单调递减, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递减, 因此11428a a ≥⇒≤, 结合定义域要求, 无解; 综上所述, 1a >. 五、课堂练习：1. 函数||3x y -=的值域是____________.2. 已知01a <<, 1b <-, 则函数x y a b =+的图像不会经过第______象限.3. 函数y =_________________.4. 若()log (0, 1)a f x x a a =>≠在[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍, 则实数a 的值为_____.5. 函数lg100xy =的图像与函数10010x y =⋅的图像关于直线______________对称; 函数lg100x y =的图像与函数0.1log 100x y =的图像关于直线______________对称. 6. 函数3()log |2|f x x a =+的图像的对称轴是直线2x =, 则实数a =__________. 7. 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是_____________. 8. 设223()2(1)xx f x x -+=≥, 则其反函数1()f x -=_______________________.9. 求2211()log ()log ()24f x x x =⋅, 当[2,8]x ∈时的最小值和最大值.10. 求函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--(其中p 为常数, 且1p >)的值域.11. 已知0a >, 1a ≠, 21(log )()1a a f x x a x=--, (1) 判断()f x 的定义域内的奇偶性及单调性, 并加以证明; (2) 若()40f x -<的解集为(,2)-∞, 求a 的值.12. 已知函数()lg()x x f x a b =-(其中a , b 为常数, 且01b a <<<). (1) 求函数()f x 的定义域;(2) 在函数()y f x =的图像上是否存在两个不同的点, 使得过它们的直线平行于x 轴? 若存在, 求出这样的点; 若不存在, 说明理由;(3) 当a , b 满足什么条件时, 不等式()0f x >对一切(1,)x ∈+∞都成立?六、回顾总结：1.主要方法:①指数函数、对数函数的单调性决定于底数a ，要分1a >与01a <<来分类讨论.②熟练掌握对、指数公式的使用和化简计算；2.易错、易漏点:①解决与对数函数有关的问题，要特别注意定义域(对数的底数和真数应满足的条件)；注意区别log (1)a b +与log 1a b +的区别；②不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算.七、课后作业：1．幂函数)(x f y =图像经过点)21,41(，则=)(x f ． 2．已知幂函数a x y =的图像，当10<<x 时，在直线x y =的上方，当1>x 时，在直线x y =的下方，则a 的取值范围是．3．函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =． 4．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m xy m nk ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为．5．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） AB ． C． D ．6．已知函数|lg|)(x x f =,若b a <<0,且)()(b f a f =,则b a 2+的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．7．设函数)(x f =若)()(a f a f ->,则实数a 的取值范围是 ( )A ．（-1，0）∪（0，1）B ．（-∞，-1）∪（1,+∞）C ．（-1，0）∪（1,+∞）D ．（-∞，-1）∪（0,1）8．函数的值域为 A ． B ． C ． D ．9．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（）1a >()log a f x x =[]2a a ，12a =24)+∞)+∞(3,)+∞[3,)+∞()212log log x x ⎧⎪⎨-⎪⎩0,0x x ><()()2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞⎡⎣()1,+∞)1,+∞⎡⎣3lg 10x y +=lg y x =()y g x =x y e =y x =()y f x =()y g x =y ()1f m =-mA ．B ．C ．D ． 11．函数的图象大致是( )12．若在上是减函数,则的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．13．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的范围是__________． 14．函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上最大值比最小值大2a ，则_________=a ． 15．已知函数),0[,)(+∞∈+⋅=x cb a x f x 的值域为)3,2[-，则)(x f 的一个可能的解析式为__________．【思考题】1．设函数()121,x f x x R -=-∈e -1e -e 1elg ||x y x=)2(log ax y a -=]1,0[a )1,0()2,0()2,1(),2(+∞（1）分别作出()y f x =和()y f x =的图像；（2）求实数a 的取值范围，使得方程()fx a =与()f x a =都有且仅有两个实数解．2.已知2()lg x f x ax b =+，(1)0f =，当0x >时，恒有1()lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.⑴求()f x 的解析式；⑵若方程()lg()f x m x =+的解集是∅，求实数m 的取值范围.3.已知函数2()log (1)f x x =-，222x t g x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭R ，.⑴求()y g x =的解析式；⑵若1t =，求当[2,3]x ∈时，()()g x f x -的最小值；⑶若在[2,3]x ∈时，恒有()()g x f x ≥成立，求实数t 的取值范围.。

高一数学指数函数对数函数知识点导语：在高中数学中，指数函数与对数函数是一个非常重要的数学概念和知识点。

它们在不同领域的应用非常广泛，比如金融、科学等。

本文将深入探讨高一数学中的指数函数和对数函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。

一、指数函数的基本概念与性质1. 指数函数的定义指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的函数，表示为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1，x为实数。

举例来说，函数f(x) = 2^x就是一个指数函数，其中以2为底。

2. 指数函数的性质①指数函数的定义域为实数集, 即所有实数x。

②指数函数的值域为正数集, 即所有大于0的实数。

③指数函数是递增函数，即当x1 < x2时，a^x1 < a^x2。

④当a > 1时，指数函数的图像是递增的；当0 < a < 1时，指数函数的图像是递减的。

二、对数函数的基本概念与性质1. 对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数。

以常数e为底的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。

举例来说，函数g(x) = log2(x)就是一个以2为底的对数函数。

2. 对数函数的性质①对数函数的定义域为正数集，即只有正实数才有对数。

②对数函数的值域为实数集。

③对数函数是递增函数，即当x1 < x2时，log(x1) < log(x2)。

④对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x。

三、指数函数与对数函数之间的关系注意：以下的例子仅为了便于理解，具体数值仅供参考。

1. 自然对数与指数函数的关系e^x = a 可以转化为 ln(a) = x。

例如，e^2 = 7.39 可以转化为 ln(7.39) = 2。

2. 对数函数的性质与指数函数的性质对数函数的一些基本性质与指数函数的一些基本性质是相互关联的，如：① loga(xy) = loga(x) + loga(y)② loga(x/y) = loga(x) - loga(y)③ loga(x^y) = y * loga(x)④ loga(b) = logc(b) / logc(a)3. 指数函数与对数函数的实际应用指数函数与对数函数在实际中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：①金融领域：在复利计算、投资分析等方面，指数函数与对数函数被广泛应用。

指数函数与对数函数(讲义)指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。

指数函数的一般形式是$y=a^x$，其中$a$是底数，$x$是指数。

当$01$时，函数图像是上升的。

对数函数的一般形式是$y=\log_a x$，其中$a$是底数，$x$是真数。

当$01$时，函数图像是下降的。

指数函数和对数函数有许多重要的性质，例如它们的定义域和值域，单调性等。

比较大小时，可以利用指数函数和对数函数的单调性。

对于同底指数函数，可以直接比较大小。

对于异底指数函数，可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。

对于同底数对数函数，可以直接利用单调性求解，但如果底数是字母，需要分类讨论。

对于异底数对数函数，可以采用化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，1），或者借助图象高低数形结合来比较大小。

换底公式是比较常用的公式之一，可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。

常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$，$log_a b^m=m\log_a b$，$a^{\log_a b}=b$等。

练题：1.若$3a=4b=6c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（B）。

2.计算：1）若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$，则$\log_8(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$；2）设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x&(x>1)\end{cases}$，则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$；3）若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq 6)\end{cases}$，则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。

3.（1）函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数；2）设函数$f(x)$在定义域上是奇函数，则$f(0)=0$。

专题十一指数函数与对数函数知识精讲一知识结构图二.学法指导1.正确区分na n与(na)n：(1)(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；(2)na n中的a可以是全体实数，na n的值取决于n的奇偶性．2. 带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3．指数幂运算的常用技巧（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.4.判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.5．求指数函数的解析式常用待定系数法．6.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．7．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.8.性质alog a N＝N 与log a a b ＝b 的作用 (1)a log a N＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式．(2)log a a b ＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数．9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，底数不同时，利用换底公式把底数换成相同，再找真数间的联系． 10.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. 11.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．13．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．三.知识点贯通知识点1 根式运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n例题1.(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．【答案】(1)－1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.【解析】(1)∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.](2)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.知识点二 利用分数指数幂的运算性质化简求解1.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)2.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)3.幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 例题2：化简求值：知识点三 指数函数的概念1.一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 例题3 .已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. 【答案】19【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19知识点四 指数函数的性质及运用 1.指数函数的性质R例题4．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.【解析】(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 例题5. 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1； (4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．【解析】(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，因为函数y ＝0.6x 在R 上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1， 所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3； 当0<a <1时，y ＝a x 在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3. 知识点五 对数运算性质的应用 对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 例题6.计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.【解析】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12(lg 2＋lg 9－lg 10)lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.知识点六 对数的换底公式1.若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .例题7.(1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解析】(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.(2)∵18b ＝5，∴b ＝log 185. 又log 189＝a ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .知识点七 对数函数的概念1.函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 例题8.若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.知识点八 对数函数的图象与性质(0，＋∞)例题9.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； 【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． 例题10.比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54. 五 易错点分析易错一 指数幂运算中的条件求值例题11.已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【解析】(1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194. 误区警示已知条件求值时，注意把条件作为整体，找条件与所求结论的关系，根据关系利用合适的公式求解。

（一）基础知识回顾：1．二次函数：当¹a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。

，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反。

情况相反。

3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-¹}和空集Æ，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和Æ.f (x )图象与x 轴无公共点。

共点。

当a <0时，请读者自己分析。

时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。

高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。

无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。

熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。

一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。

相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方,这里的n为正整数。

从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。

一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a b=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

a b=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。

当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。

指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaM n=nloga M(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a logax；m logan=n logam4．负数和零没有对数；1的对数是零,即loga1=0；底的对数是1,即logaa=15．对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：loga m N n=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。

指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。

2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。

3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。

二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。

2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。

3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。

常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。

（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。

自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。

三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。

对数函数与指数函数的基本概念与性质一、对数函数的基本概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，用来描述指数运算的反向过程。

对数函数的基本概念与性质如下：1. 对数的定义对于任意正数a（a>0）且a≠1，对数函数y=logₐx表示以a为底数，x为真数的对数，其中x是正数。

对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。

2. 对数的性质（1）对数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。

（2）对数的真数必须是正数，即x>0。

（3）对数函数的图像是一条曲线，称为对数曲线。

（4）对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于logₐ1=0。

（5）对数函数的图像在y轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于logₐa=1。

3. 对数函数的性质（1）对数函数的单调性：当0<a<1时，对数函数是递减的；当a>1时，对数函数是递增的。

（2）对数函数的奇偶性：当a>1时，对数函数是奇函数；当0<a<1时，对数函数是偶函数。

（3）对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即x>0。

（4）对数函数的值域：对数函数的值域是实数集。

二、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个固定的正数为底数，自变量为指数的函数。

指数函数的基本概念与性质如下：1. 指数的定义指数函数y=aˣ表示以a为底数，x为指数的指数函数，其中a是正数且a≠1，x是实数。

指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。

2. 指数的性质（1）指数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。

（2）指数函数的图像是一条曲线，称为指数曲线。

（3）指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于a⁰=1。

（4）指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于1ˣ=1。

3. 指数函数的性质（1）指数函数的单调性：当0<a<1时，指数函数是递减的；当a>1时，指数函数是递增的。

指数函数与对数函数比较大小的解析指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学研究中起着重要的作用。

本文将探讨指数函数和对数函数之间的比较大小关系。

一、指数函数指数函数是以指数为变量的函数。

一般形式为 f(x) = a^x，其中a 是一个正实数，x 是指数。

指数函数的特点是随着 x 的增加，函数值呈现指数增长的趋势。

例如，当 a 大于 1 时，函数曲线向上增长；当 a 在 0 和 1 之间时，函数曲线向下增长。

二、对数函数对数函数是指指数和底数之间的关系，表示为 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数，x 是对数函数的值。

对数函数的特点是随着x 的增加，函数值呈现对数增长的趋势。

例如，当 a 大于 1 时，函数曲线向上增长；当 a 在 0 和 1 之间时，函数曲线向下增长。

三、比较大小要比较指数函数和对数函数的大小，我们可以观察它们的性质。

当指数函数的底数 a 大于 1 时，随着 x 的增加，函数值呈现指数级增长，因此指数函数的值会快速超过对数函数的值。

相反地，当指数函数的底数 a 在 0 和 1 之间时，函数值呈现指数递减的趋势，因此对数函数的值会快速超过指数函数的值。

综上所述，无论指数函数和对数函数的底数是大于 1 还是在 0和 1 之间，当 x 取较大值时，指数函数的值的增长速度快于对数函数的值。

相应地，对数函数的值的增长速度在较小的 x 值时快于指数函数的值。

因此，我们可以根据底数的大小以及 x 的取值范围来比较指数函数和对数函数的大小。

总结：指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，根据底数的大小以及 x 的取值范围，我们可以比较它们的大小关系。

无论底数是大于 1 还是在 0 和 1 之间，当 x 取较大值时，指数函数的值的增长速度快于对数函数的值；当 x 取较小值时，对数函数的值的增长速度快于指数函数的值。

参考文献：。

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。

精选文档指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的观点，理解指数函数的单一性，掌握指数函数图象经过的特别点；理解对数的观点及其运算性质，理解对数函数的观点，理解对数函数的单一性，掌握对数函数图象经过的特别点。

认识指目标数函数y=a x与对数函数ylog a x 互为反函数〔a0,且a1〕。

认识幂函数的概11念。

联合函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y ，y x 2的图象，认识它们的变化状况。

x要点指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用；幂函数图像的应用。

难点 指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用，幂函数图像的应用。

方法建议第一回首指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质等根底知识。

再经过经典例题的解析，帮助学生理解根底知识，加深对知识的认识和记忆。

再通过精题精练，使学生形成能力。

在例题和习题的选择上能够依据学生的实质状况进 行。

讲堂精讲例题 搭配讲堂训练题 课后作业程度及数目A 类 〔4 〕道 〔4 〕道 〔11 〕道B 类 〔3 〕道 〔3 〕道 〔10 〕道C 类 〔0〕道 〔0〕道 〔0〕道理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的观点，理解指数函数的单一性，掌握指数函数图象经过的特别点。

理解对数的观点及其运算性质。

理解对数函数的观点， 理解对数函数的单一性，掌握对数函数图象经过的特别点。

认识指数函数 y=a x 与对数函数y log a x 互为反函数〔 a 0,且a 1〕。

认识幂函数的观点。

联合函数 y=x ，y=x 2，y=x 3，1y1，yx 2的图象，认识它们的变化状况。

指数函数、对数函数在高中数学中据有十x分重要的地位，是高考要点考察的对象， 热门是指数函数、 对数函数的图象与性质的综合应用．同时考察分类议论思想和数形联合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其余知识联合在知识交汇点处命题。

指数函数与对数函数全面解析与总结随着数学的发展，指数函数与对数函数成为高中数学中重要的概念。

本文将全面解析和总结指数函数与对数函数的相关知识，并探讨其在数学和实际问题中的应用。

一、指数函数（Exponential Function）指数函数是以常数e为底数的幂函数，其一般公式为y = a * e^x，其中a为常数，e是自然对数的底数。

指数函数具有以下特点：1. 指数函数的导数等于函数本身的值，即f'(x) = f(x)。

这一性质使得指数函数在数学和科学领域中具有广泛的应用。

2. 指数函数具有不断增长的特性。

当x趋于正无穷时，指数函数的值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，指数函数的值趋于0。

3. 指数函数有严格的单调性，即当x1 < x2时，f(x1) < f(x2)。

这使得指数函数在比较大小和求解不等式方程时非常有用。

二、对数函数（Logarithmic Function）对数函数是指数函数的逆运算，其一般公式为y = log(a, x)，其中a为底数，x为取对数的值。

对数函数具有以下特点：1. 对数函数的定义域为正实数，值域为实数。

对数函数的底数决定了其特定的性质和应用。

2. 对数函数与指数函数是互为逆运算的关系。

即y = log(a, b) 等价于 b = a^y。

这种关系在求解指数方程和应用中发挥重要作用。

3. 对数函数具有不断增长但增速趋缓的特性。

当x趋于正无穷时，对数函数的值趋于正无穷但增速变慢；当x趋于0+时，对数函数的值趋于负无穷但增速也变慢。

三、指数函数与对数函数的性质与运算1. 指数函数的性质指数函数具有指数之间的乘法性质，即a^m * a^n = a^(m+n)。

这一性质使得指数函数的计算更为便捷。

2. 对数函数的性质对数函数具有对数之间的加法性质，即log(a, m) + log(a, n) = log(a, m * n)。

这一性质在求解指数方程和简化计算中起着重要作用。

指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=a x x=log a y y=log a x.问题1:指数函数y=a x的值域与对数函数y=log a x的定义域是否相同?答案相同.问题2:指数函数y=a x的定义域与对数函数y=log a x的值域相同吗?答案相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有①唯一的x与之对应,那么②x是③y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在④反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数y=f(x)的反函数通常用⑤y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x⑥互为反函数.(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线⑦y=x对称.探究一求函数的反函数例1 求下列函数的反函数.(1)y=;(2)y=x2(x≤0).解析(1)由y=,得x=lo y,且y>0,所以f-1(x)=lo x(x>0).(2)由y=x2得x=±.因为x≤0,所以x=-.所以f-1(x)=-(x≥0).1.(1)已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则( )A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2×lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)(2)求函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数.答案(1)D解析(1)由题意知函数y=e x与函数y=f(x)互为反函数,y=e x>0,∴f(x)=lnx(x>0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0).(2)由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).∵原函数中x≤1,∴y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).探究二指数函数与对数函数图像之间的关系例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=a x与y=log a x的图像只能是( )(2)当a>1时,函数y=a-x与y=log a x在同一平面直角坐标系中的图像是( )答案(1)C (2)A解析(1)y=a x与y=log a x的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确.(2)因为当a>1时,0<<1,所以y=a-x=是减函数,其图像恒过(0,1)点,y=log a x为增函数,其图像恒过(1,0)点,故选A.思维突破互为反函数的两个函数图像的特点(1)互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.2.(1)已知函数f(x)=a x+b的图像过点(1,7),其反函数f-1(x)的图像过点(4,0),则f(x)的表达式为( )A.f(x)=4x+3B.f(x)=3x+4C.f(x)=5x+2D.f(x)=2x+5(2)若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为.答案(1)A (2)-1解析(1)∵f(x)的反函数的图像过点(4,0),∴f(x)的图像过点(0,4),又f(x)=a x+b的图像过点(1,7),故有方程组解得故f(x)的表达式为f(x)=4x+3,选A.(2)由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,解得a=-1. 探究三指数函数与对数函数的综合应用例3 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.解析(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(x)+f(-x)=+=+=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y==1-,所以2x=(-1<y<1),所以f-1(x)=log2(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,所以化简得所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.3.(变结论)本例中的条件不变,判断f-1(x)的单调性,并给出证明.解析f-1(x)为(-1,1)上的增函数.证明:由原题知f-1(x)=log2(-1<x<1).任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,令t(x)===-1+,则t(x1)-t(x2)=-=-==.因为-1<x1<x2<1,所以1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,所以t(x1)-t(x2)<0,t(x1)<t(x2),所以log2t(x1)<log2t(x2),即f-1(x1)<f-1(x2),所以函数f-1(x)为(-1,1)上的增函数.1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( )A.log2xB.C.lo xD.2x-2答案 A y=a x的反函数为f(x)=log a x,又f(2)=1,所以1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x.2.若函数y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点( )A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5)答案 C 原函数的图像与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).3.若函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )A.(0,+∞)B.RC.(-∞,0)D.(0,1)答案 A 由原函数与反函数的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点Q(5,2),则b= .答案 1解析由f-1(x)的图像过点Q(5,2),得f(x)的图像过点(2,5),即22+b=5,解得b=1.数学抽象——指数函数和对数函数关系的理解和应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.素养探究:方程根的问题可以借助图像转化为两个函数的图像的交点问题,进而形象、直观地解决问题,过程中体现数形结合的思想和数学抽象核心素养.解析将两个方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x的图像及直线y=-x+3,如图.由图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3的交点B的横坐标.因为函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,易知A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标可设为A(a,b),B(b,a).因为点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.实数x、y满足x+lnx=8,y+e y=8,求x+y的值.解析由x+lnx=8,得lnx=8-x,由y+e y=8,可得e y=8-y,在同一平面直角坐标系中作出直线y=8-x及函数y=lnx,y=e x的图像,如图所示,联立y=8-x与y=x,解得x=y=4,所以点C的坐标为(4,4),方程x+lnx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx图像的交点B的横坐标,方程y+e y=8的根可视为直线y=8-x与函数y=e x图像的交点A的横坐标,由图像可知,点A、B关于直线y=x对称,因此,x+y=8.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=log3x的反函数是( )A.y=lo xB.y=3xC.y=D.y=x3答案 B ∵y=log3x,∴3y=x,∴函数y=log3x的反函数是y=3x,故选B.2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)=( )A.log2xB.lo xC. D.x2答案 B 因为y=a x的反函数为y=log a x,且函数f(x)的图像经过点(,a),所以log a=a,解得a=,所以f(x)=lo x.3.(2019山东沂水第一中学高一期中)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为( )A.(1,+∞)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 C y=f-1(x)的定义域即为其原函数的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.故选C.4.函数y=e x+1的反函数是( )A.y=1+lnx(x>0)B.y=1-lnx(x>0)C.y=-1-lnx(x>0)D.y=-1+lnx(x>0)答案 D 由y=e x+1得x+1=lny,即x=-1+lny,所以所求反函数为y=-1+lnx(x>0).故选D.5.已知函数y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则下列结论正确的是( )A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)·f(2)C.f=f(x)+f(2)D.f(2x)=2f(x)答案 A y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则f(x)=log a x,f(x2)=log a x2=2log a|x|=2f(|x|),A中结论正确;log a(2x)≠log a x·log a2,B中结论错误;log a≠log a x+log a2=log a(2x),C中结论错误;log a(2x)≠2log a x,D中结论错误.故选A.6.已知函数f(x)=1+log a x,y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图像过点(2,4),则a的值为.答案 4解析因为y=f-1(x)的图像过点(2,4),所以函数y=f(x)的图像过点(4,2),又因为f(x)=1+log a x,所以2=1+log a4,即a=4.7.如果函数f(x)=的反函数为g(x),那么g(x)的图像一定过点.答案(1,0)解析函数f(x)=的反函数为g(x)=lo x,所以g(x)的图像一定过点(1,0).8.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则实数a= .答案 3解析函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则2=log2(1+a),解得a=3.9.(多选)已知函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(4,2),则下列说法中正确的是( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.函数f(x)的反函数为g(x)=2x答案ACD 由题意得2=log a4,解得a=2,故f(x)=log2x,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数,故A正确,B错误.当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确.f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,故D正确.故选ACD.10.将函数y=2x的图像,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度答案 D 将函数y=2x的图像向下平移一个单位长度得到y=2x-1的图像,再作关于直线y=x对称的图像即可得到函数y=log2(x+1)的图像.故选D.11.函数y=log a(2x-3)+过定点,函数y=lo x的反函数是.答案;y=()x解析∵对数函数y=log a x过定点(1,0),∴函数y=log a(2x-3)+过定点.函数y=lo x的反函数是y=()x.12.若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)= . 答案解析∵f(27)=3,∴log a27=3,解得a=3.∴f(x)=log3x,∴f-1(x)=3x,∴f-1(log92)===.13.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).解析(1)要使函数有意义,必须满足a x-1>0,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,任取x1,x2,且0<x1<x2,则1<<,故0<-1<-1,∴log a(-1)<log a(-1),∴f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增.(3)令y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1),∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1),∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.14.已知函数f(x)=,函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称.(1)若g(mx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a).解析(1)由题意得g(x)=lo x,∵g(mx2+2x+1)=lo(mx2+2x+1)的定义域为R,∴mx2+2x+1>0恒成立,所以解得m>1.故实数m的取值范围是(1,+∞).(2)令t=,则t∈,y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,当a>2时,可得t=2时,y min=7-4a;当≤a≤2时,可得t=a时,y min=3-a2;当a<时,可得t=时,y min=-a.∴h(a)=。

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。

另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。

整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。

其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。

例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。

二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。

例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。

例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。

二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。

当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。

规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。

知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：（１）log a（M·N）＝log a M＋log a N，（２）log a错误!＝log a M—log a N，（３）log a M n＝n log a M（n∈R）．错误!对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log２[（—３）·（—５）]＝log２（—３）＋log２（—５）是错误的．知识点二对数换底公式log a b＝错误!（a＞0，a≠１，c＞0，c≠１，b＞0）．特别地：log a b·log b a＝１（a＞0，a≠１，b＞0，b≠１）．错误!对数换底公式常见的两种变形（１）log a b·log b a＝１，即错误!＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .（２）log N n M m＝错误!log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的错误!倍．[教材解难]换底公式的推导设x＝log a b，化为指数式为a x＝b，两边取以c为底的对数，得log c a x＝log c b，即x log c a＝log c b.所以x＝错误!，即log a b＝错误!.[基础自测]１．下列等式成立的是（）Ａ．log２（8—４）＝log２8—log２４Ｂ．错误!＝log２错误!Ｄ．log２（8＋４）＝log２8＋log２４解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C２．错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：原式＝log３9＝２．答案：B３．２log５１0＋log５0．２５＝（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：原式＝log５１0２＋log５0．２５＝log５（１0２×0．２５）＝log５２５＝２．答案：C４．已知ln ２＝a，ln ３＝b，那么log３２用含a，b的代数式表示为________．解析：log３２＝错误!＝错误!.答案：错误!题型一对数运算性质的应用[教材P１２４例３]例１求下列各式的值：（１）lg 错误!；（２）log２（４7×２５）．【解析】（１）lg错误!＝lg １0015＝错误!lg １00＝错误!；（２）log２（４7×２５）＝log２４7＋log２２５＝7×２＋５×１＝１9．利用对数运算性质计算．教材反思１．对于同底的对数的化简，常用方法是：（１）“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；（２）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．２．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg ２＋lg ５＝１在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练１（１）计算：lg错误!＋２lg ２—错误!—１＝________.（２）求下列各式的值．１log５３＋log５错误!２（lg ５）２＋lg ２·lg ５0３lg ２５＋错误!lg 8＋lg ５·lg ２0＋（lg ２）２.解析：（１）lg错误!＋２lg ２—错误!—１＝lg ５—lg ２＋２lg ２—２＝（lg ５＋lg ２）—２＝１—２＝—１．（２）１log５３＋log５错误!＝log５错误!＝log５１＝0．２（lg ５）２＋lg ２·lg ５0＝（lg ５）２＋（１＋lg ５）lg ２＝（lg ５）２＋lg ２＋lg ２·lg ５＝lg ５（lg ５＋lg ２）＋lg ２＝lg ５＋lg ２＝lg １0＝１．３原式＝lg ２５＋lg 823＋lg错误!·lg（１0×２）＋（lg ２）２＝lg ２５＋lg ４＋（lg １0—lg ２）（lg １0＋lg ２）＋（lg ２）２＝lg １00＋（lg １0）２—（lg ２）２＋（lg ２）２＝２＋１＝３．答案：（１）—１（２）见解析利用对数运算性质化简求值．题型二对数换底公式的应用[经典例题]例２（１）已知２x＝３y＝a，错误!＋错误!＝２，则a的值为（）Ａ．３6 Ｂ．6Ｃ．２错误!Ｄ．错误!（２）计算下列各式：１log89·log２7３２．２２lg ４＋lg ５—lg 8—错误!2 -3.３6４错误!＋lg ４＋２lg ５．【解析】（１）因为２x＝３y＝a，所以x＝log２a，y＝log３a，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log a２＋log a３＝log a6＝２，所以a２＝6，解得a＝±错误!.又a＞0，所以a＝错误!.（２）１log89·log２7３２＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!.２２lg ４＋lg ５—lg 8—错误!2-3＝lg １6＋lg ５—lg 8—错误!＝lg错误!—错误!＝１—错误!＝错误!.３6４错误!＋lg ４＋２lg ５＝４＋lg（４×５２）＝４＋２＝6．【答案】（１）D （２）见解析错误!１．先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．２．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳（１）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底．（２）换底公式的派生公式：log a b＝log a c·log c b；log an b m＝错误!log a b.跟踪训练２（１）式子log9１6·log88１的值为（）Ａ．１8 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（log４３＋log8３）（log３２＋log98）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．以上都不对解析：（１）原式＝log３２２４·log２３３４＝２log３２·错误!log２３＝错误!.（２）原式＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!log３２＝错误!.答案：（１）C （２）B利用换底公式化简求值．题型三用已知对数表示其他对数例３已知log１89＝a,１8b＝５，用a，b表示log３6４５．解析：方法一因为log１89＝a，所以9＝１8a.又５＝１8b，所以log３6４５＝log２×１8（５×9）＝log２×１8１8a＋b＝（a＋b）·log２×１8１8．又因为log２×１8１8＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以原式＝错误!.方法二∵１8b＝５，∴log１8５＝b.∴log３6４５＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.错误!方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：（１）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；（２）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；（３）注意一些派生公式的使用．跟踪训练３（１）已知log6２＝p，log6５＝q，则lg ５＝________；（用p，q表示）（２）１已知log１４7＝a,１４b＝５，用a，b表示log３５２8．２设３x＝４y＝３6，求错误!＋错误!的值．解析：（１）lg ５＝错误!＝错误!＝错误!.（２）１∵log１４7＝a,１４b＝５，∴b＝log１４５．∴log３５２8＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.２∵３x＝３6,４y＝３6，∴x＝log３３6，y＝log４３6，∴错误!＝错误!＝错误!＝log３6３，错误!＝错误!＝错误!＝log３6４，∴错误!＋错误!＝２log３6３＋log３6４＝log３6（9×４）＝１．答案：（１）错误!（２）１错误!２１（１）利用换底公式化简．（２）利用对数运算性质化简求值．课时作业２２一、选择题１．若a＞0，a≠１，x＞y＞0，下列式子：１log a x·log a y＝log a（x＋y）；２log a x—log a y＝log a（x—y）；３log a错误!＝log a x÷log a y；４log a（xy）＝log a x·log a y.其中正确的个数为（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个解析：根据对数的性质知４个式子均不正确．答案：A２．化简错误!log6１２—２log6错误!的结果为（）Ａ．6错误!Ｂ．１２错误!Ｃ．log6错误!Ｄ．错误!解析：错误!log6１２—２log6错误!＝错误!（１＋log6２）—log6２＝错误!（１—log6２）＝错误!log6３＝log6错误!.答案：C３．设lg ２＝a，lg ３＝b，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：C４．若log３４·log8m＝log４１6，则m等于（）Ａ．３Ｂ．9Ｃ．１8 Ｄ．２7解析：原式可化为log8m＝错误!，错误!＝错误!，即lg m＝错误!，lg m＝lg ２7，m＝２7．故选Ｄ．答案：D二、填空题５．lg １0 000＝________；lg 0．00１＝________.解析：由１0４＝１0 000知lg １0 000＝４,１0—３＝0．00１得lg 0．00１＝—３，注意常用对数不是没有底数，而是底数为１0．答案：４—３6．若log５错误!·log３6·log6x＝２，则x等于________．解析：由换底公式，得错误!·错误!·错误!＝２，lg x＝—２lg ５，x＝５—２＝错误!.答案：错误!7．错误!·（lg ３２—lg ２）＝________.解析：原式＝错误!×lg错误!＝错误!·lg ２４＝４．答案：４三、解答题8．化简：（１）错误!；（２）（lg ５）２＋lg ２lg ５0＋２11+log25 2.解析：（１）方法一（正用公式）：原式＝错误!＝错误!＝错误!.方法二（逆用公式）：原式＝错误!＝错误!＝错误!.（２）原式＝（lg ５）２＋lg ２（lg ５＋１）＋２１·２2log ＝lg ５·（lg ５＋lg ２）＋lg ２＋２错误!＝１＋２错误!.9．计算：（１）log １6２7log 8１３２；（２）（log ３２＋log 9２）（log ４３＋log 8３）． 解析：（１）log １6２7log 8１３２＝错误!×错误! ＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!. （２）（log ３２＋log 9２）（log ４３＋log 8３） ＝错误!错误!＝错误!错误! ＝错误!log ３２×错误!log ２３＝错误!×错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知２x ＝３y ＝6z ≠１，求证：错误!＋错误!＝错误!. 证明：设２x ＝３y ＝6z ＝k （k ≠１），∴x ＝log ２k ，y ＝log ３k ，z ＝log 6k ，∴错误!＝log k ２，错误!＝log k ３，错误!＝log k 6＝log k ２＋log k ３， ∴错误!＝错误!＋错误!.。