弗赖登塔尔数学教育思想整理稿

摘要本文为弗赖登塔尔数学教育思想的文献综述。

首先我们阐述了弗赖登塔尔数学教育思想的研究意义以及弗赖登塔尔数学教育思想的具体内容。

接着，我们对弗赖登塔尔数学教育思想本身内容的研究现状和弗赖登塔尔数学教育思想应用的研究现状进行了总结。

最后，我们针对现有的研究内容作出了总结级建议。

关键词：弗赖登塔尔的数学教育思想再创造数学化数学现实反思一、研究背景1、弗赖登塔尔的数学教育思想的研究意义弗赖登塔尔是20世纪最伟大的数学教育家，他生于1905年，专长李群的研究。

1950年代后关注数学教育，并迅速成为国际数学教育界的领袖。

他的一系列数学教育著作，影响遍及全球。

在我国对数学教育的理解仍然肤浅的时候，是弗赖登塔尔的访华行动为我们打开了通往世界数学教育领域的一扇窗户。

领会并贯彻弗赖登塔尔的教育思想对于今天的课堂教学仍然具有现实意义。

弗赖登塔尔的数学教育思想的符合数学内容本身的发展规律，符合学生学习心理发展的规律，符合传统数学教育改革的要求。

而对弗赖登塔尔数学教育思想的研究有助于我们开阔思路、得到启示，从更高更宽的层面上审视和思考当前的数学教育研究现状并探寻解决当前存在问题的方法和途径。

2、弗赖登塔尔的数学教育思想弗赖登塔尔强调数学教育要以解决现实生活中的问题为目的，必须与日常生活的实际问题相联系，提倡教授现实的数学，以数学化为桥梁，将现实生活与抽象的数学知识紧密联系，注重培养和发展学生用数学知识解决客观现实问题的能力；不论是教还是学，都要采用再创造的方法，学习过程是主观地再创造过程，而不是教师灌输式的讲授和学生的死记硬背。

弗赖登塔尔的现实数学教育理论突破了传统的在课堂中学习数学的思维禁锢，将现实生活中的实际问题抽象成数学问题，又将数学延伸到学生所处的现实世界中，学习现实中的数学问题，并用数学知识解决现实中遇到的问题。

弗赖登塔尔所认识的数学教育有五个特征：情景问题是数学的平台；数学化是数学教育的目标；学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；互动是主要的学习方式；学科交织是数学教育内容的呈现方式。

弗赖登塔尔的数学教育思想综述作者：田甜来源：《学校教育研究》2015年第13期荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔及其数学教育思想，一直深深地影响着世界各国的数学教育，尤其是其“数学现实论”“数学化”和“再创造”的思想，为此弗赖登塔尔及其数学教育思想一直倍受各国研究者的关注。

进入新世纪，我国新一轮数学课程改革更是处处渗透了弗赖登塔尔数学教育思想，这使得它再次成为我国数学教育研究者注目的焦点之一，本文将在前人研究的基础上，进一步展开对其更深入、更细致的思考与研究。

一、弗赖登塔尔的数学教育思想（一）现实的数学数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实。

这是弗赖登塔尔“现实的数学”的基本出发点。

根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。

数学来源于现实，因而也必须扎根于现实，并且应用于现实。

数学如果脱离了那些丰富多彩而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”。

另一方面，数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学本身内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。

（二）数学化所谓数学化，是用数学的方法观察世界，分析研究具体现象并加以组织整理，以发现规律，简言之，“数学化即是数学地组织现实世界的过程”。

弗赖登塔尔运用了埃德里安，特雷弗斯关于数学化的理论，将数学化分为水平和垂直的两种成分。

比如，从现实中找出数学的特性，用不同的方式将同一个问题形式化或直观化，在不同问题中识别其同构的方面以及将一个现实问题转化为数学问题或已知的数学模型等，都是将同一个问题在水平方向扩展。

而用公式表示出某个关系，证明了一个定律，采用不同的模型或对模型进行加强或调整，以及形成一个新的数学概念或建立起由特殊到一般化的理论等，则是将某一问题垂直地加以深入。

弗赖登塔尔数学教育思想在“情境——问题”教学中的应用探索1、引言汉斯•弗赖登塔尔（Hans·Freudentha1905-1990）是荷兰著名数学家、数学教育家，21世纪国际数学教育权威，曾为国际数学教育作出极大贡献。

鉴于他在数学教育方面的巨大贡献，人们把他和伟大的几何学家F·克莱因相提并论，认为对于数学教育，在20世纪上半叶是F.克莱因做出了不朽的功绩；在下半叶则是弗赖登塔尔做出了卓越的成就。

本文将在简要介绍其思想的基础上，展开对其思想在数学“情境——问题”教学中应用的一些探讨。

2、弗赖登塔尔数学教育思想简述弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学本质、今日数学特征、数学教育的用处、目的和任务的特殊认识而产生的。

在他看来,数学教育具有以下特征[4] P166情境问题是教学的平台；数学化是数学教育的目标；学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；“互动”是主要的学习方式；学科交织是数学教育内容的呈现方式。

这些特征可概括为------数学现实,数学化,再创造,具体如下:2.1 数学现实（Realistic mathematics）弗赖登塔尔认为：“数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实”[1]。

数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结，是由于现实世界的实际需要而形成，是“现实的数学”。

他强调数学应该属于所有人，必须将数学教给所有人，而每个人都有自己的“数学现实”，即“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学知识。

”[3]P201其中既含有客观世界的现实情况,也包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。

为此数学教育应以这些不同的数学现实为基础构建课程体系,并通过这些课程不断地扩展每个人的“数学现实”,使每个人在数学上都获得最大的发展。

２.２数学化（Mathematization）弗赖登塔尔认为：数学化就是数学地组织现实世界的过程。

收稿日期:2003-02-17作者简介:李永杰(1970-),男,河南省柘城人,平顶山师专教师,教育硕士.弗赖登塔尔数学教育思想综述李永杰,毛凤梅(平顶山师专,河南平顶山467002)摘 要:介绍弗赖登塔尔数学教育思想———“再创造”及其对当前我国数学教育改革的措施意义.关键词:弗赖登塔尔;数学教育思想;再创造;数学教育改革中图分类号:G 40 文献标识码:A 文章编号:1008-5211(2003)05-0096-031　弗赖登塔尔及其数学教育思想1.1　弗赖登塔尔生平简介弗赖登塔尔(Hans.Freudthal ,1905-1990)是荷兰籍数学家和数学教育家.早在20世纪三、四十年代,他就以拓扑学和李代数方面的卓越成就而为世人所知.从20世纪50年代初起,他把主要精力放在数学教育方面,发表了大量著作,也开展了广泛的社会活动.在1967-1970年间任国际数学教育委员会(ICMC )的主席.召开了第一届国际数学教育大会(ICM E ),创办了《数学教育研究》(Educational Studies in Mathe 2matics )杂志,在国际范围内为数学教育事业做出了巨大的贡献.由于这些业绩,有人把他和伟大的几何学家克莱因(F.K lein )相提并论———对于数学教育,在上半世纪是克莱因作出了不朽的功绩,在下半世纪是弗赖登塔尔作出了卓越的成就.弗赖登塔尔关于数学教育的论述,主要收集在他下列三本巨著之中.1、《作为教育任务的数学》1973年版,2、《除草与播种———数学教育学的序言》1978年版,3、《数学结构的教学法现象》1983年版.弗赖登塔尔于1978年到华东师大和北京讲学,内容收集在《数学教育再探———在中国的三次讲学》一书中.于1990年去世,享年85岁.1.2　弗赖登塔尔的数学教育思想弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学的认识而产生的.在他看来“数学是系统化了的常识.这些常识是可靠的,不像某些物理现象会把人引入歧途”.[1](序P2)而常识并不等于数学,“常识要成为数学,它必须经过提炼和组织,而凝聚成一定的法则,这些法则在高一层里又成为常识,再一次被提炼、组织,……如此不断地螺旋上升,以至于无穷.”[1](序P2)这就是我们今天所说的抽象与逐级抽象,亦即数学的发展过程具有层次性.在此认识的基础上,他结合自己对以往教育家的研究“教一个活动的最好方法是演示”.———夸美纽斯的教学论原理.进一步发展为:“学一个活动的最好方法是做.”[1](P103)尽管他很谦虚地说:“这个提法与夸美纽斯的追求也许没有太多区别,只是重点从教转向学,从教师转向学生活动.”而这些转变正是教育应该做而没有做到的,是对教学活动最本质的认识的改变,是对传统的教学方法、教学模式的批评.他反复强调:学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来:教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生.他说:“将数学作为一个现成的产品来教,留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用,其实就是做问题.”[1](P109)他指出:“这不可能包含真正的数学,强有力作问题的只是一种模仿的数学.”[1](P109)他指出,不仅在数学教学中很少将数学作为一种活动,在教育研究中将数学作为一种活动分析的也很少.以至于不能深刻揭示学习数学的本质特性.那么,什么是学习数学的最本质的特性呢?弗赖登塔尔指第18卷第5期2003年10月 平顶山师专学报Journal of Pingdingshan Teachers College Vol.18No.5Oct.2003出:学一个活动最好的方法是做,学数学的最好的方法是做数学.数学学习不是一个被动接受的过程,而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程,他指出:“教数学活动不是教数学活动的结果,而是教教学活动的过程,而且从某种程度上讲,教过程比教结果更重要.”他反对教现成的数学.提倡教做出来的数学,因为通过数学再创造获得的能力,要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持.他针对当时一些数学教师以自己给学生做问题,而认为是让学生做数学,弗赖登塔尔指出“做数学不等于做习题”,做数学“必须通过数学化来教数学、学数学”.他说:“与其说让学生学数学不如说让学生学习数学化…….”根据他这一思想,有研究者将数学化进一步分为水平的数学化和垂直的数学化,用弗赖登塔尔的话说“水平的数学化意味着从生活的世界到符号的世界,垂直的数学化是在水平数学化之后进行的数学化是从符号的世界到数学的世界.”[2]2　弗赖登塔尔对我国中小学数学教育改革的指导意义弗赖登塔尔的数学教育思想产生的背景是:二次世界大战后急需培养大批具有数学基础知识的技术工人以供社会物质生产需要,教师要在有限的时间内尽可能多地讲授新知识等.而今天,这种情况已不复存在.然而,现在我国由于教育资源严重不足,不能保证大多数学生进入高一级学校接受教育;同时,又由于家长望子成龙,因而高考就成为决定数学教育内容的主要因素,在这方面看来,可以说我国目前的情况与他所处的时代也有相似之处.目前,我国基础教育改革正红红火火地开展起来.弗赖登塔尔的数学教育思想对数学教育改革具有一定的指导意义:2.1　加强对教师变量的研究:以往的数学教学改革往往侧重于课堂教学模式的研讨,而对教师和学生这两个教学活动中最重要的因素有所忽视.现在,在经济较落后的地区,师资还比较缺乏.以至于初中毕业教小学、高中毕业教初中.在这些教师眼中,教学是件容易不过的事情.事实上,除个别具有教学天赋的人能够胜任教学工作之外,大部分这样的教师的教学效果并不理想.在教师培养方面,弗赖登塔尔给出了中小学数学教师培训的最低要求:2.1.1　教师能自信地使用现代数学的基本方法.[1](P156)现在中学数学课程改革更多地强调渗透现代数学思想,如集合与对应思想、概率与统计思想等.这就要求在进行教师培训时,必须结合高等数学具体知识介绍现代数学的基本方法,并结合初等数学内容解释这些方法,以使他们能在将来的数学教学中灵活运用.2.1.2　提供为理解现代数学结构所必需的基本知识.[1](P156)教师必须掌握他所教课程的整体结构,结构主义学派将现代数学各个分支建立在序结构、代数结构和拓扑结构这三个母结构之上;又进一步分化为布尔代数、分析结构、序拓扑结构等子结构.大学生在学习期间可以说学习了涉及各个结构的知识.而由于各任课教师在授课过程中没有特别强调结构观点,尤其是各学科在数学大结构中的地位,以至于学生学到的知识不可避免地表现为条块分割的状态,因此学生在从事数学教学中往往只见树木、不见森林.因此,高师院校可以考虑设置综合课程,概览现代数学的整体结构,使学生不仅能理解数学的知识(教材知识),又能理解关于数学的知识(数学知识的来源、演变).2.1.3　发展有关如何应用数学的某些概念.[1](P156)许多数学知识来源与物理、化学有着密切的关系,因此弗赖登塔尔认为数学教师应主动在数学知识教学中介绍有关定理、公式在物理、化学中的应用,而不能要求物理、化学老师去讲授数学知识.这就要求数学老师去应用数学知识解决有关的问题.2.1.4　对如何进行数学研究作初步介绍.[1](P156)现代教育理论认为教师不再是单纯的“传道、授业、解惑”的角色,教师还应该是研究者.这里的研究一方面是数学研究,一方面是教学研究.其中数学研究并不单指发现新的数学结论,建立新的数学理论,还包括研究在当时的历史条件下如何得出这些数学知识,如何让学生自己去发现这些知识.另外,关于教师培训时间,弗赖登塔尔认为:“学习应该是延续一个比较长的时期:第一次短期培训,以后常规的重复补充,以更新知识并适应新的发展.”[1](P157).当前,师范学生在校学习、教师资格的获得过程即为弗赖登塔尔所说的第一次.因此,目前应着手研究如何对在岗教师进行培训,这在新课程标准实验及推广阶段更有其重要意义.2.2　加快新课程标准和新教材体系建设过去的教学大纲在确定培养目标时,总是过多地强调运算能力、逻辑推理能力、形象思维能力,而新的・79・第5期 李永杰,毛凤梅:弗赖登塔尔数学教育思想综述课程标准则着眼于“培养学生的创造性思维和创造意识”,这就对传统教材提出挑战.传统教材注重知识体系的严密、推理过程的严谨,而缺少知识产生的背景知识,弗赖登塔尔称之为“教学法的颠倒”,并加以批判.在新的课程标准要求下,中小学数学教材也必将发生重大变化,新教材体系将打破过去的过于注重逻辑上的严密,而转向展示产生、数学理论的建构过程(事实上,小学数学教材在这方面已作了不少有益的尝试),给学生创设学习的情境,增加教材的可读性;同时,学生看到的不再是具体的结论,而是产生结论的部分过程(或思路),学生就必须通过自己的再创造活动来发现结论.不直接给学生展示数学结果,而是尽可能让学生自己去发现结论.另外,还要注意初等数学与高等数学在思维上加以衔接,避免学生造成升入高校后因思维方式差异过大,而不适应新的学习需要.2.3　加大教学法研究力度弗赖登塔尔的数学教育思想的主旨可以说在于数学课堂教学改革,他在批评教师授课中使用“所谓的创造法、谈话法”的同时,提出“再创造”的模式:提出问题、创设情境、帮助和引导学生自己去完成数学知识发现的过程.给学生更大的活动空间,让学生主动再创造,去发现,这和我们目前所倡导的启发式教学有着相似之处.在这点上,或许有的教师认为:学生没有足够的知识、时间和能力来发明数学,和数学本身悠久的历史比较,给学生发明数学的时间太短了.美国数学教育家J.W.A.Y oung 说:数学能提供独立发现的早期机会,数学教学中应该给学生一些发现数学的可能性.弗赖登塔尔研究所的研究认为:学生所经历的有意义的问题情境构成数学学习的主要资源,与之相应的数学上的提高靠的是从问题情境出发的数学化的过程,此即水平的数学化,这一过程只能由学生自己去完成;不可能由其他人包办.可以说学生有许多发明数学的机会,而没有这种信念的老师却让学生失去了做他们自己的数学的机会.因此,有必要向教师灌输这样的信念;数学能够通过教师给学生适当的问题情境和相关的辅助而让学生创造它.越来越多的研究认为:数学是一种固有的社会活动.在这一活动中,训练有素的实践者(数学家)以观察、研究和实践为基础,进行各种系统尝试,从事模式科学.因此,让学生学习数学也必须重视数学化和抽象过程,发展运用数学工具的能力,以形成数学意识.美国NCTM 在《人人都会算》中指出:数学是一门富有活力的学科,他寻求理解遍及我们周围的物质世界以及我们思想中的各种模式.尽管教学语言必须以人们学会的规则为基础,但是激发学生超越这些规则,并能用数学语言表达的动机,是很重要的.我们应集中力量做好以下几项工作:探寻解法,不单是记忆步骤;探索模式,不单是记忆公式;形成猜测,不单是做些习题.[3](P336)这一点,在当前我国中学数学教育改革中应该是首要的.其原因是:一、中学生数学考试由过去的侧重知识,逐步转向侧重数学能力.因此,也就有必要研究如何培养新型教师以适应这一需要;二、升入高校的新生往往不适应高等学校数学教师的研究型讲课方法,使得对高等数学的学习感到吃力.这一点,对高校教师的教学方法也提出了新的要求,在一定程度上来说,高师院校教师的教学方法改革也当属于教学改革研究的范围.参考文献:[1]弗赖登塔尔著,陈昌平,唐瑞芬译.作为教育任务的数学[M ].上海:上海教育出版社,1995.[2]芳丹霍佛著,史炳星译.现实数学教育中模型的运用[J ].数学通报,2002,(3):36-39.[3]D.A.格劳斯主编,陈昌平等译.数学教与学研究手册[M ].上海:上海教育出版社,1999.A revie w of Frenduthal ’s thought of mathematics educationL I Y ong -jie ,MAO Feng -mei(Pingdingshan Teachers College ,Pingdingshan Henan 467002,China )Abstract :In this paper ,the author introduces Hans.Frenduthal ’s thought of mathematics education ,“recreation ”and its significance to the reformation of mathematics education measures in our country.K ey w ords :Hans.Frenduthal ;thought of mathematics education ;recreate ;reformation of mathematics education ・89・平顶山师专学报 2003年。

弗赖登塔尔关于数学化的演讲稿内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）弗赖登塔尔关于“数学化”的演讲稿《数学教育再探--在中国的讲学》 [荷兰] 弗赖登塔尔1.3 数学化在讨论了数学的前后关系和内外结构之后，我们再回过头来把数学当成一种活动，来看看它的一个主要特征：数学化。

是谁最先使用这个术语，用以描述根据数学家的需要和兴趣整理现实性的这种过程呢这种术语通常是先出现在非正式的谈话和讨论中，而后才出现在文献着作里，因此没有人能说出是谁的发明。

不管怎么说，数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着，这些因素也包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸收。

以前用的术语，诸如公理化、形式化、图式化等也许是在数学化之前提出的，其中公理化也许是在数学的行文中出现得最早。

公理和公式古已有之，尽管在岁月的长河中，"公理"（或"公设"）的意义及公式的形式有所改变.过去几个世纪里，人们认为欧几里得的几何原本不是完美推导的典范，其原意也并非如此，看来今天有人仍这么认为。

我们现在使用的公理体系这个术语，是一种现代思想，把它归为古希腊人的功劳（虽然他们是先驱）是一种时代的错误。

然而，重新组合某一领域的知识，以至于结论被当作出发点，以及相反地把已证明的性质作为定义来证明原始的定义--这种颠倒的构造是一种久远的数学活动，它和古希腊数学一样古老，或许更古老；尽管只是到了近代，人们才像热衷于知识的组织和重组的古希腊人那样，有意识地、有条理地、热切地运用它。

今天雨后春笋似的公理体系是人们试图重新组织数学研究领域的结果。

这种技术就叫公理化。

它被现代的数学家深刻地理解和掌握。

它早期显着的例子是群。

18世纪以来，数学家们遇到了集合到自身映射的问题，映射通常由一些不变性质去限制，从而导致去构造这种映射。

这样他们开始熟悉了变换的集合，在构造之下自动地满足一些熟知的假设，这种假设是后来群所需要的。

1.弗赖登塔尔教育思想综述。

弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学的认识而产生的．在他看来“数学是系统化了的常识．这些常识是可靠的，不像某些物理现象会把人引入歧途”[2]而常识并不等于数学，“常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则，这些法则在高一层里又成为常识，再一次被提炼、组织⋯⋯如此不断地螺旋上升，以至于无穷。

”[2]这就是我们今天所说的抽象与逐级抽象，亦即数学的发展过程具有层次性。

在此认识的基础上，他结合自己对以往教育家的研究“教一个活动的最好方法是演示”的教学论原理．进一步发展为：“学一个活动的最好方法是做” 尽管他很谦虚地说：“这个提法与夸美纽斯的追求也许没有太多区别，只是重点从教转向学，从教师转向学生活动。

”而这些转变正是教育应该做而没有做到的，是对教学活动最本质的认识的改变，是对传统的教学方法、教学模式的批评．他反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．他说“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是做问题” 他指出：“这不可能包含真正的数学，强有力作问题的只是一种模仿的数学” 他指出，不仅在数学教学中很少将数学作为一种活动，在教育研究中将数学作为一种活动分析的也很少。

以至于不能深刻揭示学习数学的本质特性．那么，什么是学习数学的最本质的特性呢?弗赖登塔尔指出：学一个活动最好的方法是做，学数学的最好的方法是做数学。

数学学习不是一个被动接受的过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，他指出：“教数学活动不是教数学活动的结果，而是教数学学活动的过程，而且从某种程度上讲，教过程比教结果更重要．”他反对教现成的数学，提倡教做出来的数学，因为通过数学再创造获得的能力，要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持。

弗赖登塔尔的主要数学教育思想弗赖登塔尔的数学教育思想主要有：（1）情景问题是教学的平台；（2）数学化是数学教育的目的；（3）学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；（4）“互动”是主要的学习方式；（5）学科交织是数学教育内容的呈现方式。

强调数学教育面向社会现实，必须联系生活实际，注重培养和发展学生从客观现象发现数学问题的能力；用再创造的方法去进行教学，反对灌输式和死记硬背；提倡讨论式、指导式的教学形式，反对传统的讲演式的教学形式．1987年，已经80多高龄的弗赖登塔尔到我国访问，他在华东师范大学数学系演讲，走上讲台的第一句话就说：“在荷兰，中学教室里的桌椅摆法都是围成一圈，教师在学生中间活动．如果有一个学校的教室象今天这样摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅，那么这所中学的校长大概要被撤职了!”这时教室发出一阵笑声，同时也引起人们的思索．他的演讲为我国数学教育改革提供了新的思路，他的思想对我国数学教育研究产生了积极而深远的影响。

弗赖登塔尔把自己的一生献给了数学与数学教育事业。

作为20世纪最伟大、最具有影响的数学教育家，他的许多观点将会影响着世界数学教育的改革与发展。

弗赖登塔尔谈数学学习方法作为著名的数学家和数学教育家，弗赖登塔尔在谈到数学学习方法时，反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。

他认为这是一种最自然的、最有效的学习方法。

说它最自然，是因为生物学上“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学学习上也是成立的，即；数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合人的认识规律。

数学在其发展中，走过漫长而曲折的道路，它不断地修正过自己的进程，避开过弯路，绕过死胡同，重新明确前进的方向。

像这样的历程是不必让它在学生身上重现的。

弗赖登塔尔说，他所说的“再创造”是指应该使学生体验到：如果当时的人有幸具备了我们现在有了的知识，他们是怎样把那些知识创造出来的。

参考资料弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者．在他担任国际数学教育委员会( ICMI ) 主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME —1) ，并创办了《Educa — tional Studies in Mathematics 》杂志，现任ICMI 主席( 巴黎十一大学校长) 加亨(Kahane) 教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein 做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal 做出了巨大的贡献．”作为一位数学家，弗赖登塔尔30 年代就享有盛誉，从50 年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点．他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”( 或“心理学”) 加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处．弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性，特别是数学的严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实现一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法．弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了、对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的；因而学校的教学必须由被动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来主动获取知识．这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在不断前进，人们就必须不断学习．因此，教育中更重要的一个问题，并不是教的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法，那是更根本的东西．根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了“数学现实”原则．数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想；确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结．根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的．数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”．另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系．因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构．弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教给所有人．这是很重要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西．可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的．为此，弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”．如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害．70 年代“新数学”运动的失败就是个明证．如何理解“现实”？不同的社会需要是否就是“现实”？将“现实”等同于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解．根据英国的Cockcmft 报告，他们在进行了比较广泛的调查、分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平．第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的．第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要，从工程技术人员、农业技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同部分．第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包括范围很大，差别也很大，未来的科学家、企业家、管理学家等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容．数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需求．数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题．为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构．这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”．从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”．大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert 空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等．数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论”第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关．弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力．【返回参考资料列表】。