弗莱登塔尔数学观点的文献综述

收稿日期:2003-02-17作者简介:李永杰(1970-),男,河南省柘城人,平顶山师专教师,教育硕士.弗赖登塔尔数学教育思想综述李永杰,毛凤梅(平顶山师专,河南平顶山467002)摘 要:介绍弗赖登塔尔数学教育思想———“再创造”及其对当前我国数学教育改革的措施意义.关键词:弗赖登塔尔;数学教育思想;再创造;数学教育改革中图分类号:G 40 文献标识码:A 文章编号:1008-5211(2003)05-0096-031　弗赖登塔尔及其数学教育思想1.1　弗赖登塔尔生平简介弗赖登塔尔(Hans.Freudthal ,1905-1990)是荷兰籍数学家和数学教育家.早在20世纪三、四十年代,他就以拓扑学和李代数方面的卓越成就而为世人所知.从20世纪50年代初起,他把主要精力放在数学教育方面,发表了大量著作,也开展了广泛的社会活动.在1967-1970年间任国际数学教育委员会(ICMC )的主席.召开了第一届国际数学教育大会(ICM E ),创办了《数学教育研究》(Educational Studies in Mathe 2matics )杂志,在国际范围内为数学教育事业做出了巨大的贡献.由于这些业绩,有人把他和伟大的几何学家克莱因(F.K lein )相提并论———对于数学教育,在上半世纪是克莱因作出了不朽的功绩,在下半世纪是弗赖登塔尔作出了卓越的成就.弗赖登塔尔关于数学教育的论述,主要收集在他下列三本巨著之中.1、《作为教育任务的数学》1973年版,2、《除草与播种———数学教育学的序言》1978年版,3、《数学结构的教学法现象》1983年版.弗赖登塔尔于1978年到华东师大和北京讲学,内容收集在《数学教育再探———在中国的三次讲学》一书中.于1990年去世,享年85岁.1.2　弗赖登塔尔的数学教育思想弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学的认识而产生的.在他看来“数学是系统化了的常识.这些常识是可靠的,不像某些物理现象会把人引入歧途”.[1](序P2)而常识并不等于数学,“常识要成为数学,它必须经过提炼和组织,而凝聚成一定的法则,这些法则在高一层里又成为常识,再一次被提炼、组织,……如此不断地螺旋上升,以至于无穷.”[1](序P2)这就是我们今天所说的抽象与逐级抽象,亦即数学的发展过程具有层次性.在此认识的基础上,他结合自己对以往教育家的研究“教一个活动的最好方法是演示”.———夸美纽斯的教学论原理.进一步发展为:“学一个活动的最好方法是做.”[1](P103)尽管他很谦虚地说:“这个提法与夸美纽斯的追求也许没有太多区别,只是重点从教转向学,从教师转向学生活动.”而这些转变正是教育应该做而没有做到的,是对教学活动最本质的认识的改变,是对传统的教学方法、教学模式的批评.他反复强调:学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来:教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生.他说:“将数学作为一个现成的产品来教,留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用,其实就是做问题.”[1](P109)他指出:“这不可能包含真正的数学,强有力作问题的只是一种模仿的数学.”[1](P109)他指出,不仅在数学教学中很少将数学作为一种活动,在教育研究中将数学作为一种活动分析的也很少.以至于不能深刻揭示学习数学的本质特性.那么,什么是学习数学的最本质的特性呢?弗赖登塔尔指第18卷第5期2003年10月 平顶山师专学报Journal of Pingdingshan Teachers College Vol.18No.5Oct.2003出:学一个活动最好的方法是做,学数学的最好的方法是做数学.数学学习不是一个被动接受的过程,而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程,他指出:“教数学活动不是教数学活动的结果,而是教教学活动的过程,而且从某种程度上讲,教过程比教结果更重要.”他反对教现成的数学.提倡教做出来的数学,因为通过数学再创造获得的能力,要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持.他针对当时一些数学教师以自己给学生做问题,而认为是让学生做数学,弗赖登塔尔指出“做数学不等于做习题”,做数学“必须通过数学化来教数学、学数学”.他说:“与其说让学生学数学不如说让学生学习数学化…….”根据他这一思想,有研究者将数学化进一步分为水平的数学化和垂直的数学化,用弗赖登塔尔的话说“水平的数学化意味着从生活的世界到符号的世界,垂直的数学化是在水平数学化之后进行的数学化是从符号的世界到数学的世界.”[2]2　弗赖登塔尔对我国中小学数学教育改革的指导意义弗赖登塔尔的数学教育思想产生的背景是:二次世界大战后急需培养大批具有数学基础知识的技术工人以供社会物质生产需要,教师要在有限的时间内尽可能多地讲授新知识等.而今天,这种情况已不复存在.然而,现在我国由于教育资源严重不足,不能保证大多数学生进入高一级学校接受教育;同时,又由于家长望子成龙,因而高考就成为决定数学教育内容的主要因素,在这方面看来,可以说我国目前的情况与他所处的时代也有相似之处.目前,我国基础教育改革正红红火火地开展起来.弗赖登塔尔的数学教育思想对数学教育改革具有一定的指导意义:2.1　加强对教师变量的研究:以往的数学教学改革往往侧重于课堂教学模式的研讨,而对教师和学生这两个教学活动中最重要的因素有所忽视.现在,在经济较落后的地区,师资还比较缺乏.以至于初中毕业教小学、高中毕业教初中.在这些教师眼中,教学是件容易不过的事情.事实上,除个别具有教学天赋的人能够胜任教学工作之外,大部分这样的教师的教学效果并不理想.在教师培养方面,弗赖登塔尔给出了中小学数学教师培训的最低要求:2.1.1　教师能自信地使用现代数学的基本方法.[1](P156)现在中学数学课程改革更多地强调渗透现代数学思想,如集合与对应思想、概率与统计思想等.这就要求在进行教师培训时,必须结合高等数学具体知识介绍现代数学的基本方法,并结合初等数学内容解释这些方法,以使他们能在将来的数学教学中灵活运用.2.1.2　提供为理解现代数学结构所必需的基本知识.[1](P156)教师必须掌握他所教课程的整体结构,结构主义学派将现代数学各个分支建立在序结构、代数结构和拓扑结构这三个母结构之上;又进一步分化为布尔代数、分析结构、序拓扑结构等子结构.大学生在学习期间可以说学习了涉及各个结构的知识.而由于各任课教师在授课过程中没有特别强调结构观点,尤其是各学科在数学大结构中的地位,以至于学生学到的知识不可避免地表现为条块分割的状态,因此学生在从事数学教学中往往只见树木、不见森林.因此,高师院校可以考虑设置综合课程,概览现代数学的整体结构,使学生不仅能理解数学的知识(教材知识),又能理解关于数学的知识(数学知识的来源、演变).2.1.3　发展有关如何应用数学的某些概念.[1](P156)许多数学知识来源与物理、化学有着密切的关系,因此弗赖登塔尔认为数学教师应主动在数学知识教学中介绍有关定理、公式在物理、化学中的应用,而不能要求物理、化学老师去讲授数学知识.这就要求数学老师去应用数学知识解决有关的问题.2.1.4　对如何进行数学研究作初步介绍.[1](P156)现代教育理论认为教师不再是单纯的“传道、授业、解惑”的角色,教师还应该是研究者.这里的研究一方面是数学研究,一方面是教学研究.其中数学研究并不单指发现新的数学结论,建立新的数学理论,还包括研究在当时的历史条件下如何得出这些数学知识,如何让学生自己去发现这些知识.另外,关于教师培训时间,弗赖登塔尔认为:“学习应该是延续一个比较长的时期:第一次短期培训,以后常规的重复补充,以更新知识并适应新的发展.”[1](P157).当前,师范学生在校学习、教师资格的获得过程即为弗赖登塔尔所说的第一次.因此,目前应着手研究如何对在岗教师进行培训,这在新课程标准实验及推广阶段更有其重要意义.2.2　加快新课程标准和新教材体系建设过去的教学大纲在确定培养目标时,总是过多地强调运算能力、逻辑推理能力、形象思维能力,而新的・79・第5期 李永杰,毛凤梅:弗赖登塔尔数学教育思想综述课程标准则着眼于“培养学生的创造性思维和创造意识”,这就对传统教材提出挑战.传统教材注重知识体系的严密、推理过程的严谨,而缺少知识产生的背景知识,弗赖登塔尔称之为“教学法的颠倒”,并加以批判.在新的课程标准要求下,中小学数学教材也必将发生重大变化,新教材体系将打破过去的过于注重逻辑上的严密,而转向展示产生、数学理论的建构过程(事实上,小学数学教材在这方面已作了不少有益的尝试),给学生创设学习的情境,增加教材的可读性;同时,学生看到的不再是具体的结论,而是产生结论的部分过程(或思路),学生就必须通过自己的再创造活动来发现结论.不直接给学生展示数学结果,而是尽可能让学生自己去发现结论.另外,还要注意初等数学与高等数学在思维上加以衔接,避免学生造成升入高校后因思维方式差异过大,而不适应新的学习需要.2.3　加大教学法研究力度弗赖登塔尔的数学教育思想的主旨可以说在于数学课堂教学改革,他在批评教师授课中使用“所谓的创造法、谈话法”的同时,提出“再创造”的模式:提出问题、创设情境、帮助和引导学生自己去完成数学知识发现的过程.给学生更大的活动空间,让学生主动再创造,去发现,这和我们目前所倡导的启发式教学有着相似之处.在这点上,或许有的教师认为:学生没有足够的知识、时间和能力来发明数学,和数学本身悠久的历史比较,给学生发明数学的时间太短了.美国数学教育家J.W.A.Y oung 说:数学能提供独立发现的早期机会,数学教学中应该给学生一些发现数学的可能性.弗赖登塔尔研究所的研究认为:学生所经历的有意义的问题情境构成数学学习的主要资源,与之相应的数学上的提高靠的是从问题情境出发的数学化的过程,此即水平的数学化,这一过程只能由学生自己去完成;不可能由其他人包办.可以说学生有许多发明数学的机会,而没有这种信念的老师却让学生失去了做他们自己的数学的机会.因此,有必要向教师灌输这样的信念;数学能够通过教师给学生适当的问题情境和相关的辅助而让学生创造它.越来越多的研究认为:数学是一种固有的社会活动.在这一活动中,训练有素的实践者(数学家)以观察、研究和实践为基础,进行各种系统尝试,从事模式科学.因此,让学生学习数学也必须重视数学化和抽象过程,发展运用数学工具的能力,以形成数学意识.美国NCTM 在《人人都会算》中指出:数学是一门富有活力的学科,他寻求理解遍及我们周围的物质世界以及我们思想中的各种模式.尽管教学语言必须以人们学会的规则为基础,但是激发学生超越这些规则,并能用数学语言表达的动机,是很重要的.我们应集中力量做好以下几项工作:探寻解法,不单是记忆步骤;探索模式,不单是记忆公式;形成猜测,不单是做些习题.[3](P336)这一点,在当前我国中学数学教育改革中应该是首要的.其原因是:一、中学生数学考试由过去的侧重知识,逐步转向侧重数学能力.因此,也就有必要研究如何培养新型教师以适应这一需要;二、升入高校的新生往往不适应高等学校数学教师的研究型讲课方法,使得对高等数学的学习感到吃力.这一点,对高校教师的教学方法也提出了新的要求,在一定程度上来说,高师院校教师的教学方法改革也当属于教学改革研究的范围.参考文献:[1]弗赖登塔尔著,陈昌平,唐瑞芬译.作为教育任务的数学[M ].上海:上海教育出版社,1995.[2]芳丹霍佛著,史炳星译.现实数学教育中模型的运用[J ].数学通报,2002,(3):36-39.[3]D.A.格劳斯主编,陈昌平等译.数学教与学研究手册[M ].上海:上海教育出版社,1999.A revie w of Frenduthal ’s thought of mathematics educationL I Y ong -jie ,MAO Feng -mei(Pingdingshan Teachers College ,Pingdingshan Henan 467002,China )Abstract :In this paper ,the author introduces Hans.Frenduthal ’s thought of mathematics education ,“recreation ”and its significance to the reformation of mathematics education measures in our country.K ey w ords :Hans.Frenduthal ;thought of mathematics education ;recreate ;reformation of mathematics education ・89・平顶山师专学报 2003年。

学号：201010777辽宁师范大学期末论文题目弗赖登塔尔与其教育思想学生何晓頔导师吴华教授年级2010级专业课程与教学论系别数学系学院研究生院弗莱登塔尔一、引言1.1 弗莱登塔尔教育思想提出的背景弗莱登塔尔的数学教育思想产生的背景是：二次世界大战后急需培养打拼具有数学基础知识的技术工人以供社会物质生产需要，教师要在有限的时间内尽可能多低讲授新知识等。

由于教育资源严重不足们不能保证大多数学生进入高一级学校接受教育；同时，由于家长王子成龙，因而学生的有效学习就成为了当时教育面临的一大问题，这时，荷兰数学家弗莱德塔尔开始对数学教育进行了研究，在随后的研究中，他以其独特的视角提出了“数学现实”、“数学化”、“反思”的数学思想和基础其经验与拟经验的数学哲理观与建构主义教学观的“再创造：数学教育思想。

1.2 荷兰和我国在其数学教育思想下的教育情形从60年代末起荷兰就开始了传统数学教育向弗莱登塔尔的数学教育模式的改变，呈现了下列两个特点：a)教师有充分的权威，他们可以不经学校管理人员的批准自己决定教学，教师的建议对学生的未来远比学生的考试制度更为重要，学生和家长都乐意接受教师的建议。

b)教育的自有度非常大，政府不干预学校的教学，对于每一科需要教和学什么，完全由学校和教师决定，在这样的状况下，荷兰教育还是那么井然有序。

再来看我国的教育情况，从1989年国家教委出版的8套教材来看，不难发现他们除了吸收近十年多的数学教育改革的成功经验和国外教材的优点之外，还加上去一些提高学生数学素质的体系，新教材融入了力求使学生听、看并用，手脑齐动，思维徐循渐进，把课堂变成师生共同活动的场所，重视学生的认识发展，广泛通过举例、试验、想象、分析、归纳等方法引导学生得出相关结论，从而理解、掌握数学知识，培养和发展学生的数学能力。

这些都在一定程度上体现了弗莱登塔尔的数学思想的价值和意义。

二、人物简介弗赖登塔尔(Hans Freudenthal,1905-1990)是荷兰籍世界著名的数学家和数学教育家。

1.弗赖登塔尔教育思想综述。

弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学的认识而产生的．在他看来“数学是系统化了的常识．这些常识是可靠的，不像某些物理现象会把人引入歧途”[2]而常识并不等于数学，“常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则，这些法则在高一层里又成为常识，再一次被提炼、组织⋯⋯如此不断地螺旋上升，以至于无穷。

”[2]这就是我们今天所说的抽象与逐级抽象，亦即数学的发展过程具有层次性。

在此认识的基础上，他结合自己对以往教育家的研究“教一个活动的最好方法是演示”的教学论原理．进一步发展为：“学一个活动的最好方法是做” 尽管他很谦虚地说：“这个提法与夸美纽斯的追求也许没有太多区别，只是重点从教转向学，从教师转向学生活动。

”而这些转变正是教育应该做而没有做到的，是对教学活动最本质的认识的改变，是对传统的教学方法、教学模式的批评．他反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．他说“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是做问题” 他指出：“这不可能包含真正的数学，强有力作问题的只是一种模仿的数学” 他指出，不仅在数学教学中很少将数学作为一种活动，在教育研究中将数学作为一种活动分析的也很少。

以至于不能深刻揭示学习数学的本质特性．那么，什么是学习数学的最本质的特性呢?弗赖登塔尔指出：学一个活动最好的方法是做，学数学的最好的方法是做数学。

数学学习不是一个被动接受的过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，他指出：“教数学活动不是教数学活动的结果，而是教数学学活动的过程，而且从某种程度上讲，教过程比教结果更重要．”他反对教现成的数学，提倡教做出来的数学，因为通过数学再创造获得的能力，要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持。

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。

30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独特的观点。

第一节关于现代数学特性的论述弗赖登塔尔认为现代数学的特性可以归结为以下几个方面。

1．数学表示的再创造与形式化活动。

如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现其变化主要是它的外表形式，而不是它的实质内容。

这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐渐渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一，也是现代数学的标志之一。

微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。

根据某些实际需要，对它们进行各种描述，以及各种运算，经过了一段很长的历史，才逐渐形成了极限的概念，才有了—形式的定义，于是微积分才有严密、精确而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果。

形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的数学含义，不容许混淆，也不容许矛盾。

换句话说，数学需要有自己特定的语言，严密、精确、完整而且相容。

随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。

但这种数学语言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的构造不同的形式化语言。

根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于各种课程、教材之中。

因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心理发展规律，也必须要求以直观的具体内容作为抽象形式的背景与基础，可是最终达到的目的也应该使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达的形式体系。

著名特级教师王永“小学数学课堂教学的数学化”探讨实录这里所说的“数学化”更注重生活数学化，课程内容数学化，还是教学方法数学化，或者其他？“数学化”是数学教学手段、目的，还是特征？王永：“数学化”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心。

今天我们看到以数学活动为载体的小学数学课程，强调“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。

数学作为人类的一种活动，它的主要特征是数学化。

数学的根源在于普通的常识，在于学生已有的生活经验。

数学教学要通过数学活动让学生亲身经历对现实进行数学化的过程，使数学变成是他们自己“再创造”的产物，而不是成人强加给他们的东西。

所以，数学化是学生自己的活动，不是教师的活动；数学化的对象是学生熟悉的现实，不是成人的现实。

教师的责任首先是创设适合于学生进行数学化活动的具体的现实的情境，并有效地指导他们参与到数学化的各个方面中去。

例如，小学一年级学生怎样学习加法呢？首先要向学生提供熟悉的现实情境：笑笑左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，她一共有几支铅笔？（用两幅图呈现这个实际问题）其次，指导学生参与如下的数学活动：①笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；②笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈；③数一数你的本子上一共画了几个小圆圈？④想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义？让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获得一个数学事实：2支铅笔与3支铅笔合起来一共有5支铅笔。

在这个基础上，教师才把这个数学事实加以形式化，写出加法算式：2＋3＝5或3＋2＝5，并指导学生结合具体情境运用语言描述或解释算式中每一个数字或符号的意义。

进而让学生在新的情境中尝试应用加法算式，表示现实生活中大量存在的加法结构。

这就是课程标准强调的：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，也就是经历数学化的过程。

试论弗赖登塔尔的数学素养观及对数学课堂教学的启示[摘要] 新一轮数学课程改革后,学生数学素养的培养进一步得到重视。

从弗赖登塔尔的教育理论出发,对数学素养进行界定,进一步给出新课改下数学课堂教学的实施建议。

[关键词] 弗赖登塔尔数学素养数学课程改革数学课堂教学弗赖登塔尔是荷兰著名的数学教育家,它的研究成果和实践经验改变了荷兰数学教育的面貌,同时也极大推动了国际数学教育的发展。

尤其是弗赖登塔尔在他的著作《REVISITING MATHEMATICS EDUCATION》提到了学习过程本身不是学习的目的,从中培养的素养才是孩子们一生的方法和技能。

这与中国数学新课程改革中强调的“使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所需要的数学知识”的教学目标是一致的。

但是,在阅读了相关的研究论文及论著后,发现对于什么是数学素养,目前还没有明确的界定。

本文通过剖析弗赖登塔尔的数学素养观,从五个方面界定数学素养,进一步探讨它对我国新课改下数学课堂教学的启示。

一、弗赖登塔尔的数学素养观1.表达数学语言是以数学符号为主要词汇,表达数学思维的一种科学语言。

弗赖登塔尔认为,每一个数学符号都不是干巴巴的,而是富有生命情趣,蕴含丰富的文化意义的。

通过对数学文化知识的学习,发现数学的美,“用它特定的符号、词汇和句法去认识世界。

”理解数学的思想方法才是数学语言的真谛。

具体来说,数学语言表达分为两方面。

第一,符号表达。

例如,学习集合时,就要学会用图形语言(Venn图)、集合语言(列举法或描述法)描述不同的集合问题;学习函数时,要学会根据不同的需要选择用图像法、列举法或解析法表示函数;学习算法时,要学会用程序框图及程序语句表示算法过程等。

第二,交流。

弗赖登塔尔认为,语言这种工具是为了交流的需要而产生的。

交流的开展,使参与者不得不反思自己语言的准确性,从而加深了对数学本身的理解。

2.现实数学来源于现实,也必须扎根于现实,并且应用于现实,这是弗赖登塔尔的基本思想。

弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则参考资料弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者．在他担任国际数学教育委员会( ICMI ) 主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME —1) ，并创办了《Educa — tional Studies in Mathematics 》杂志，现任ICMI 主席( 巴黎十一大学校长) 加亨(Kahane) 教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein 做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal 做出了巨大的贡献．”作为一位数学家，弗赖登塔尔30 年代就享有盛誉，从50 年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点．他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”( 或“心理学”) 加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处．弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性，特别是数学的严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实现一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法．弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了、对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的；因而学校的教学必须由被动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来主动获取知识．这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在不断前进，人们就必须不断学习．因此，教育中更重要的一个问题，并不是教的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法，那是更根本的东西．根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了“数学现实”原则．数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想；确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结．根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的．数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”．另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系．因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构．弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教给所有人．这是很重要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西．可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的．为此，弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”．如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害．70 年代“新数学”运动的失败就是个明证．如何理解“现实”？不同的社会需要是否就是“现实”？将“现实”等同于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解．根据英国的Cockcmft 报告，他们在进行了比较广泛的调查、分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平．第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的．第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要，从工程技术人员、农业技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同部分．第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包括范围很大，差别也很大，未来的科学家、企业家、管理学家等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容．数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需求．数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题．为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构．这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”．从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”．大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert 空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等．数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围．通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律．一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等．由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平：第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题．在这里，具体的现实问题起着核心作用．第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而解决问题．这里需要运用数学作为工具来组织现实问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用．第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从通常的具体客观世界中抽象出来．综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴．首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体，并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入，然后做几个应用题就算完事．所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识．我们习惯于把课本上的知识笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当的．其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行．学生的“实际”知识有多少? 学生的“数学水平”有多高? 学生的“日常生活常识”有多广? 这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将“课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘．例如，在荷兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向，而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离(s) 与时间(t) 的关系图表示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根据自己上学的情形来画草图，定函数．再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论”第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关．弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力．【返回参考资料列表】。

弗赖登塔尔数学教育思想评述摘要：弗赖登塔尔的数学教育思想主要体现在对数学的认识和对数学教育的认识上。

他认为数学教育的目的应该是与时俱进的，并应针对学生的能力来确定；数学教学应遵循创造原则、数学化原则和严谨性原则。

关键词：弗赖登塔尔；数学教育思想；评述一、弗赖登塔尔对数学的认识弗赖登塔尔强调：“数学起源于实用，它在今天比以往任何时候都更有用！但其实，这样说还不够，我们应该说：倘若无用，数学就不存在了。

”从其著作的论述中我们可以看到，任何数学理论的产生都有其应用需求，这些“应用需求”对数学的发展起了推动作用。

弗赖登塔尔强调：数学与现实生活的联系，其实也就要求数学教学从学生熟悉的数学情景和感兴趣的事物出发，从而更好地学习和理解数学，并要求学生能够做到学以致用，利用数学来解决实际中的问题。

1.数学的表达。

弗赖登塔尔在讨论现代数学的特征的时候首先指出它的现代化特征是：“数学表达的再创造和形式化的活动。

”其实数学是离不开形式化的，数学更多时候表达的是一种思想，具有含义隐性、高度概括的特点，因此需要这种含义精确、高度抽象、简洁的符号化表达。

2.数学概念的构造。

弗赖登塔尔指出，数学概念的构造是从典型的通过“外延性抽象”到实现“公理化抽象”。

现代数学越来越趋近于公理化，因为公理化抽象对事物的性质进行分析和分类，能给出更高的清晰度和更深入的理解。

3.数学与古典学科之间的界限。

弗赖登塔尔认为：“现代数学的特点之一是它与诸古典学科之间的界限模糊。

”首先现代数学提取了古典学科中的公理化方法，然后将其渗透到整个数学中；其次是数学也融入于别的学科之中，其中包括一些看起来与数学无关的领域也体现了一些数学思想。

二、弗赖登塔尔对数学教育的认识弗赖登塔尔围绕数学教育的目的进行了研究和探讨，他认为数学教育的目的应该是与时俱进的，而且应该针对学生的能力来确定。

他特别研究了以下几个方面。

1.应用。

弗赖登塔尔认为：“应当在数学与现实的接触点之间寻找联系。