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高等数学第五版辅导教程

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高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数

高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
2
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
机动
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
机动
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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+

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.4 反常积分

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.4 反常积分
解
0
计算反常积分‫׬‬−∞ − 。
0
‫׬‬−∞

−
0 −
‫ ׬‬
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分‫׬‬−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分‫׬‬−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分‫׬‬0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
‫׬‬0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
‫׬‬0

2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+

2
3
2
‫ ׬‬2
=
2 1
(

−
1
).

2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2

‫׬‬
2
=
2
‫׬‬

→+∞ 2
=
2 1
(

→+∞
1
− ).

1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =

数学分析讲义第五版

数学分析讲义第五版

)x
f
' y
(x0
,
y0
)y
涉及函数
f
(x,
y)
在点
p0 (x0 ,
y0 ) 邻域内所有的函数值，而偏导数
f
' x
(
x0
,
y0
)
与
f
' y
(
x0
,
y0 )
仅涉及二元函数 f (x, y) 在过点 p0 (x0 , y0 ) 的直线 x x0 与 y y0 上的函数值.因此，仅仅
两个偏导数
f
' x
由全微分的定义不难看到全微分的两个性质： dz 是 x 与 y 的线性函数； dz 与 z 之 差比 是高阶无穷小.
显然，若函数 f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）可微，则函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 连续.
如果二元函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 可微，全微分（2）中的常数 A,B 与二元函数 f (x, y) 有
x lim k Q
xk 0
xk
由此可见，多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数。因此，
求多元函数的偏导数可按照一元函数的求导法则和求导公式进行。
u u
例 1 设 u x y (x 0) ，求
,
.
x y
解 u yx y1 （y 看作常数）。 x u x y ln x （x 看作常数）。 y
o(x)
= A lim
A.
x0 x
dz
f
' x
(x0
,
y0
)dx
f
' y

同济大学第五版高数第3章4节

同济大学第五版高数第3章4节

64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 27
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
31
小结
1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立.
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式.
32
2、极值是函数的局部性概念: 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
33
3、注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
16
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
11
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )

高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限

高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限
第二节 数列的极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1

则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则

高等数学同济第五版共17页

高等数学同济第五版共17页
返回
注意 1
在运用牛顿—莱布尼兹公式求定积分时，
必须指明被积函数是否连续，如果被积
函数在积分区间上不连续，则不能用牛
顿—莱布尼兹公式进行计算． 例如
显然是1错1x12误d的x ，1x原11因在2.于 1
上不连续．
x2
在[-1，1]
注意 2
如果函数 f (x) 的原函数不是初等函数,
定了一个函数，记作 (x) ，即
x
(x)a f(x)dx
或
x
(x) f(t)dt
a
定理1 如果 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则定
积分上限函数 (x) 并且它的导数是xaf
(t)dt
在 [a, b] 上可导，
'(x)d
x
f(t)d t f(x)
dxa
(axb )
b
af(x )d x F (b ) F (a ).
返回
三、变上限的函数及其导数
设 f (x)在[a, b]上连续，x[a,b] ，由于x在 [a, x]
上仍然连续，故定积分
x
a
f
(x)dx存在，于
是，如果上限 x在区间 [a, b] 上任意变
动，则对于每一个取定的 x值，定积
分有一个对应值，所以在区间[a, b]上确
n n3 6
lim1(11)(21) n6 n n
1
3
返回
二、变速直线运动中位置函数与速度函数
之间的联系
若一物体作变速直线运动，设时刻 t时，物体所
在位置为s(t ) ，其速度为连续函数 v (t ), 则由定积
分可来的以表定用示义 速 ；可v (得t ) 在物区体间在时[T1间,T2间]上隔的[T定1,T积2]分内，TT12经v(过t)d路t 程

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0

‫ ׬‬
±

‫ ׬‬
→0

性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即

‫)( ׬‬
总有下式成立：



‫ )( ׬ = )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
例如，若 < < ，则

‫ ׬‬

=

‫ ׬‬
+

‫ ׬‬




，
故 ‫ )( ׬ = )( ׬‬− ‫)( ׬‬
= ‫ )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得

‫ ׬‬


≤ ‫ ׬ ≤ )( ׬‬,

又‫ = ׬‬− ,

故( − ) ≤ ‫ ( ≤ )( ׬‬− ).
性质6(积分中值定理)
∈

[, ]，使‫)( ׬‬
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点

高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法

高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法

例1 求 න
解
‫) ( ׬ = ׬‬′ = − ‫)(׬‬′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2

න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+ ‫׬‬

2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴ ‫ ׬‬

= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
‫( ׬‬2 + 1) = (2 + 1)-‫( ׬‬2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
‫ ׬‬2 = ‫ ׬‬2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − ‫) ׬‬
= − + .
例3 求‫ ׬‬
解 令 = , = =
2
,
2

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
而2 ∈ [− 5, 5]，所以 5 − 2 = 5 − 22 = 1。
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)

−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .


2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)

−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限
则若有函数()在0 的某邻域内恒有
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−

=
=
，

所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，

→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3

→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1

→∞

→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=


→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）






→0

=

高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则

高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
() = 时的特例.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2

2
→0+

=
=
(
−
→0+ 2

1
)2
1
2
−
=
= .

2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类

微积分(第五版)教案8

微积分(第五版)教案8

《微积分》教案
编号：
（或∆
x>
式又可写成
《微积分》教案
编号：
《微积分》教案
编号：
0()U x 内的任0(,U x δ
《微积分》教案
编号：
《微积分》教案
编号：
微积分教案
编号：
,()tan tan tan ,tan tan ().m m m f x Ey Ey x Ex Ex y f x A Ey A AB OA Ex ααααθθθθθθθ==-==又平均函数为因而,若考虑弹性的绝对值，则如果我们知道了一条函数所示的曲线，则在曲线上任一点处对应的弹性，通过
作曲线的切线和线段，就可得夹角和，进而就可得
四、经济学中常见的弹性函数
1. 需求弹性
1)需求的价格弹性
需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为0d lim .d P p Q P Q P E P Q P Q
∆→∆=⨯=⨯∆ 注：因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。

另外，在实际应用中，也常用符号 η 表示。

需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系
当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入；此时，需求变动的幅度大与价格变动的幅度，边际收益小于0，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；
当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销售收入；此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，边际收益大于0，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；
当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时，总收益不变．
2. 供给弹性。

数学高等代数第五版精品PPT课件

数学高等代数第五版精品PPT课件
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则

高中数学培优教程(第五版)

高中数学培优教程(第五版)

1.2 韦达定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 不动点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.5 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.6 习题参考答案及提示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 习题参考答案及提示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Math173 | The journey of mathematics
高中数学培优教程
第五版
兰琦
2017 年 5 月 8 日
2
高中数学培优教程（第五版） 兰琦 著
⺫录
第一章 函数与方程
7
1.1 函数的零点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

高等数学(第五版)同济大学主编_1-3函数的极限

高等数学(第五版)同济大学主编_1-3函数的极限
x→0
例如, 例如
x<0 x≥0
y = 1− x
y
1
y = x2 + 1
o
x
分x > 0和x < 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 − 0; 从左侧无限趋近 x从右侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 + 0; 从右侧无限趋近
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左极限
记作 lim f ( x) = A 或
先看一个例子
x
2
问题: 过程中,对应 问题: 函数 y = f (x) 在 x → x0 的过程中 对应 无限趋近于 趋近于确定值 函数值 f (x) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小;
0 < x − x0 < δ 表示 x → x0的过程 .
满足不等式 f ( x ) − A < ε , 那末常数 A 就叫函数
f ( x ) 当 x → x 0 时的极限, 记作 时的极限,
x → x0
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A(当x → x 0 )
"ε − δ"定义 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时,
n→ ∞
y = sin
1 x
1 取 {x ′ } = , lim xn = 0, 且 xn ≠ 0; ′ ′ n 4n + 1 n→ ∞ π 2 1 而 lim sin = lim sin nπ n→ ∞ x n n→ ∞ 1 4n + 1 = lim 1 = 1, 而 lim sin = lim sin π n→ ∞ n→ ∞ x ′ n→ ∞ 2 n 1 二者不相等, 二者不相等 故 lim sin 不存在. x→0 → x

高等代数第五版第二章 多 项 式

高等代数第五版第二章 多 项 式

第二章 多 项 式§2.1 一元多项式的定义和运算2.1.1 教学目的2.1.1.1 掌握多项式、多项式相等、多项式次数的概念。

2.1.1.2 掌握多项式加法、减法与乘法的法则和性质。

2.1.2 教学重点多项式的概念，多项式的运算法则和性质。

2.1.3 教学难点对多项式形式表达式的理解。

2.1.4 教学过程本节所说的R ，指的是含1的数环。

一、一元多项式的一些基本概念Def 1： 数环R 上文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式 n n 2210x a x a x a a ++++ （1） 这里n 是非负整数，0a ，1a ，…，a n 是R 中的数。

在（1）中0a 叫零次项或常数项，i i x a 叫i 次项，i a 叫i 次项的系数， 一元多项式常用f(x)、g(x)表示.Def 2： 若是数环R 上两个多项式f(x)和g(x)有完全相同的项或者只差一些系数为零的项，则称f(x)=g(x).如 1+0x+5x 2+0x 3=1+0x+5x 2=1+5x 2 ，3+1x+2x 2=3+x+2x 2≠3+x+x 2 Def 3：在多项式中n n 2210x a x a x a a ++++ ，若a n ≠0，n n x a 叫多项式的最高次项，非负整数n 叫多项式的次数多项式f(x)的次数记作0∂（f(x)）. 零多项式记为0且是唯一不定义次数.所以以后谈到多项式)x (f 的次数时总假定0)x (f ≠。

非零常数是零次多项式，它的次数为0，有次数。

二、多项式的运算 （一）运算的定义设nn x a x a x a a x f ++++= 2210)(， 或∑==ni ii x a x f 0)(mm x b x b x b b x g ++++= 2210)(, 或∑==mj j j x b x g 0)(； 是数环R 上两个多项式，并且m ≤n ，则定义：一）加法f(x)+g(x)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+…+(a m +b m )x m +…+(a n +b n )x n当m<n 时取b m+1=…=b n =0，或∑=+=+ni ii i x b a x g x f 0)()()(. 二）减法设f(x)=a 0+a 1x+…+a n x n ，把－f(x)=－a 0－a 1x －…－a n x n 叫f(x)的负多项式，则定义：f(x)－g(x)=f(x)+(－g(x))，或∑=-=-n i ii i x b a x g x f 0)()()(1）在Def1中文字x 不一定代表“数”，可以是一个矩阵A ，或一个变换等，因此不能把x 当作“未知数”2）“n 为非负整数”说明表达式x 1x ,x 1+等都不是多项式。

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高等数学第五版辅导教程
是一本为高等数学学习者所编写的教材。

本书内容丰富，归纳总结了高等数学的各个分支，例如微积分、线性代数、概率论与数理统计等。

同时，在每章结尾处都设有课后习题，可供学习者用来巩固知识点和提高解题能力。

在微积分部分，本书详细阐述了极限、导数和积分等概念。

其中，初等函数的导数和积分的计算方法是学习的基础。

在此基础上，本书又介绍了微积分的应用，如曲线的切线和法线的求解、极值点和拐点的判定以及定积分的计算应用等。

这些应用题目的难度从简单到复杂逐渐递进，可帮助学习者深入理解微积分原理。

线性代数是高等数学的另一个重要分支，本书也有详尽的讲解。

矩阵运算是其中的重点，包括加法、乘法、秩、逆和转置等。

矩阵运算在矩阵方程的解法和向量组的线性相关性等问题中都有广泛的应用。

本书对这些问题也有细致的讲解和解题思路的介绍。

概率论与数理统计是数学中的一门重要课程，也是本书的一个分支。

在这一章节中，本书涵盖了随机事件的概念、概率分布的性质、随机变量的概念和性质、概率分布的常见类型以及常用分布公式和统计方法等。

此外，本书还详细介绍了假设检验、方差分析、回归分析和贝叶斯统计等高级统计方法。

这方面内容对统计学专业的学生来说尤其重要，因为它们是学习和研究各种现象，在研究中需要经常使用的数学方法。

在为数不多的高等数学教材中，本书是一本经典之作，其深入浅出的
授课风格，以及精准完备的理论阐述和计算方法的指导，较好地满足
了当前高等数学教学的需求。

此外，本书还特别注意了应用数学方向
的发展前沿，例如金融和应用统计学等领域的数学方法，为学习者提
供了实用性工作方向的信息和思路。

总之，对于想要提高高等数学能力的学生们，是一本不容错过的教材，曾经帮助许多学生成功地应对了学业上的各种难题。

希望每位学习者
都能充分利用本书的力量，不断拓展自己的数学知识和能力。