高等数学辅导资料一

第一章 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。

§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。

通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。

若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。

注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。

2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。

中在点；为我校的学生；须有此性质。

如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。

以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。

显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。

5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。

高等数学复习资料大全1概述高等数学是大学数学中的一门重要课程，它是许多工科和理科专业的基础课程之一。

为了帮助大家更好的掌握高等数学知识和应对考试，本文将提供一些高等数学复习资料，供大家参考。

参考书籍1.《高等数学（下）》（同济大学数学系主编），高等教育出版社，2004年出版。

该书是我国一流大学同济大学的本科教材，《高等数学（下）》系统全面地介绍了高等数学的主要概念、理论和方法，并以对学科发展的最新认识为指导，为读者提供了丰富的例题和习题，帮助学生更好地掌握和应用高等数学知识。

2.《高等数学》（第7版）（周远贵、陈思民主编），高等教育出版社，2015年出版。

该书是一本全面介绍高等数学的教材，既涵盖了理工科的基础知识，又具有与实际应用相关的内容，内容全面而又深入浅出，是高等数学学习者的良师益友。

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2.高等数学梳理+串讲（曾科峰）该视频是著名数学教育网红曾科峰进行的一次高等数学全面复习，在视频中对高等数学知识点进行了重点梳理和串讲，每个知识点均有相关的例题进行实践操作。

高等数学1复习资料高等数学1是大学本科数学一门重要的基础课程。

本篇文章提供一些高等数学1的重要知识点和复习方法，帮助同学们更好地复习和备考。

一、函数与极限函数是高等数学1的重要概念，其余的内容都是建立在函数的基础之上。

在复习函数时，需要掌握函数的定义和一些基本性质（如奇偶性、单调性、周期性等）。

此外，要学习反函数、复合函数和初等函数的定义和性质。

为了理解函数的极限这个概念，需要了解极限的定义和一些基本性质（（如唯一性、保号性等）。

在复习时，需要掌握常见函数的极限（（如正弦函数、余弦函数、指数函数等），以及利用夹逼准则和L'Hospital法则计算极限的方法。

二、导数与微分导数是函数的重要性质，它刻画了函数在某一点的局部变化率。

在复习导数时，需要掌握导数的定义和计算方法，还需要掌握相关定理和性质（如导数的代数运算法则、中值定理、极值定理等）。

微分是导数的应用，它主要用于计算函数在一点的局部变化量。

在复习微分时，需要了解微分的定义和计算方法，以及相关定理和性质（如微分的线性性、微分的逆运算等）。

三、积分与应用积分是函数的另一种性质，它表示函数在一段区间上的总变化量。

在复习积分时，需要掌握积分的定义和计算方法，还需要掌握相关定理和性质（（如积分的线性性、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法等）。

积分的应用非常广泛，如计算面积和体积、求解微分方程、求解曲线的弧长和曲率等。

在复习积分的应用时，需要了解基本概念和计算方法，以及掌握具体的问题求解技巧。

四、矩阵与行列式矩阵和行列式是高等数学1中的代数工具，主要用于向量、线性方程组和本征值问题的求解。

在复习矩阵和行列式时，需要掌握它们的定义和基本性质，以及常见的矩阵变换和行列式计算方法。

五、向量与空间解析几何向量和空间解析几何是高等数学1中的几何工具，主要用于计算平面和空间向量的坐标、距离和夹角，以及平面和空间中的图形方程。

在复习向量和空间解析几何时，需要掌握它们的定义和基本性质，以及常见问题的计算方法和解题技巧。

第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。

解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。

成人高等学校招生考试专升本高等数学（一）（适合2022年及往后的成考复习）函数、极限与连续本章内容一、函数二、极限三、连续本章约13%，20分选择题、填空题、解答题第一节函数知识点归纳●函数的概念、性质●反函数●复合函数●基本初等函数●初等函数考试要求1、理解概念会求函数包括分段函数的定义域、表达式及函数值，并会作出简单的分段函数图象。

2、掌握判断掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性定义，会判断所给函数的相关性质。

3、理解函数理解函数与它的反函数之间的关系，会求单调函数的反函数。

4、掌握过程掌握函数四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

5、掌握性质掌握基本初等函数的简单性质及其图象。

6、掌握概念掌握初等函数的概念。

第一节函数一、函数的概念定理设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x).y是因变量，x是自变量。

函数值全体组成的数集W={y|y=f(x),x∈D} 称为函数的值域。

函数概念的两个基本要素对于给定的函数y=f(x)，当函数的定义域D确定后，按照对应法则f，因变量的变化范围也随之确定，所以定义域和对应法则就是确定一个函数的两个要素。

两个函数只有在它们的定义域和对应法则都相同时，才是相同的。

例：研究函数y=x和y=2是不是表示相同的函数。

解：y=x是定义在(−∞,+∞)上的函数关系，y=2是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数关系，它们定义域不同，所以这两个函数是不同的函数关系。

例：研究下面这两个函数是不是相同的函数关系f(x)=x,g(x)=2解：f(x)=x和g(x)=2是定义在(−∞,+∞)上的函数关系，f(x)的值域在(−∞,+∞)上的函数，g(x)的值域在[0,+∞)，它们定义域相同，值域不同函数。

函数的定义域（1）在分式中，分母不能为零；（2）在根式中，负数不能开偶次方根；（3）在对数式中，真数必须大于零，底数大于零且不等于１；（4）在反三角函数式中，应满足反三角函数的定义要求；（5）如果函数的解析式中含有分式、根式、对数式和反三角函数式中的两者或两者以上的，求定义域时应取各部分定义域的交集。

山东广播电视大学开放教育高等数学基础课程辅导资料（1）第一章 函数一、学习目标（一）理解函数的概念；掌握函数)(x f y =中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等．两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同． （二）了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性． 若对任意x ，有)()(x f x f =-，则)(x f 称为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称． 若对任意x ，有)()(x f x f -=-，则)(x f 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．（三）熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形． 基本初等函数指以下几种类型： 1.常数函数：c y =2．幂函数：)(为实数ααx y = 3．指数函数：)1,0(≠>=a a a y x4．对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a5．三角函数：x x x x cot ,tan ,cos ,sin6．反三角函数：x x x arctan ,arccos ,arcsin（一）了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数． 如函数xy 2arctane =可以分解uy e =，v u arctan =，21wv =，x w 2=．分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积．（四）会列简单的应用问题的函数关系式． 二、典型例题解析 （一）填空题⒈设x x x f 2)1(2-=-，则f x ()= ．解：设t x =-1，则1+=t x ，得1)1(2)1()(22-=+-+=t t t t f故1)(2-=x x f ．⒉函数y x x =-+-124ln()的定义域是 ．解：对函数的第一项，要求02>-x 且0)2ln(≠-x ，即2>x 且3≠x ；对函数的第二项，要求04≥-x ，即4≤x ．取公共部分，得函数定义域为]4,3()3,2( ．⒊设f x ()的定义域为(,)-∞+∞，则函数f x f x ()()+-的图形关于对称．解：设)()()(x f x f x F -+=，则对任意x 有)()()())(()()(x F x f x f x f x f x F =+-=--+-=-即)(x F 是偶函数，故图形关于y 轴对称．（二）单项选择题⒈下列各对函数中，（ ）是相同的． A.f x xg x x ()(),()==2；B.f x xg x x ()ln ,()ln ==22；C.f x xg x x ()ln ,()ln ==33；D.f x x xg x x (),()=-+=-2111解：A, B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，而选项C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C 正确．⒉设函数f x ()的定义域为(,)-∞+∞，则函数f x f x ()()－-的图形关于（）对称．A.x y =；B.x 轴；C.y 轴；D.坐标原点解：设)()()(x f x f x F --=，则对任意x 有)())()(()()())(()()(x F x f x f x f x f x f x f x F -=---=--=----=-即)(x F 是奇函数，故图形关于原点对称．选项D 正确． 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（）．A.单调减函数；B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数解：A, B, D 三个选项都不一定满足。

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分，我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。

导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若极限存在，且该极限与 x0 的取值无关，我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。

记为：f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。

运算法则：1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分，我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。

微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分，记作 dy。

微分近似：对于函数 y=f(x) 在点 x0 处，若已知 f'(x0)，我们可以利用微分进行近似计算。

1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分，我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。

定积分的定义：设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn}，选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn}，当最大的分割长度max(Δxi)→0 时，若极限存在，且与样本点的选取无关，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。

记为：∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。

性质：1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分，我们将介绍一些常见的定积分计算方法。

1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分，我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。

第一章函数1.1 预备知识1.1.1 初等代数的几个问题1.一元二次方程关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式.（1）求根公式：当△＞0时，方程有两个不同的实根：当△＝0时，方程有一个二重实根：当△＜0时，方程有一对共轭复根：（2）根与系数的关系（韦达定理）：（3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.对称轴顶点坐标例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根. 解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.当时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组（1）若方程组有无穷多解，求a的值；（2）当a＝6时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以,解得a＝4.（2）当a＝6是，原方程组变为,解得3.不等式（1）一元二次不等式考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知：当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}；当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}.用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≣0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≢0.例3.解不等式x2－5x＋6≣0.解：令x2－5x＋6＝0,（x－2）（x－3）＝0,得x＝2或x=3,∴ 解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）.例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0.解：令x2＋（1－a）x－a＝0,（x－a）（x＋1）＝0,得x＝a或x＝－1,①若a＜－1，解集为（a，－1）,②如a＝－1，解集为Φ,③若a＞－1，解集为（－1，a）.（2）绝对值不等式不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a；不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a.例5.解下列含有绝对值符号的不等式：（1）│2x－3│≢5 （2）│3x－1│≣7解：（1）原不等式等价于－5≢2x－3≢5解得：－1≢x≢4.所以解集为[－1，4].（2）原不等式等价于3x－1≢－7或3x－1≣73x－1≢－7的解集为x≢－2，3x－1≣7的解集为x ≣,所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）.例6.解不等式│x2－2x－5│＜3.解：原不等式等价于x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞），x2－2x－5＜3的解集为（－2，4），所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）.4.数列（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即a n＋1－a n＝d，d称为公差.通项公式：a n＝a1＋（n－1）d前n项和公式：当m＋n＝k＋l时，a m＋a n＝a k＋a l特别地有例7.设{a n}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12解：因为 2＋11＝3＋10＝13所以a2＋a11＝a3＋a10＝32,又因为 6＋7＝13，所以a6＋a7＝32,S12＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192.（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比.通项公式：a n＝a1q n-1前n 项和公式：当m＋n＝k＋l时，a m a n＝a k a l特别地有例8.设{a n}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值.解：所以q＝±2a10＝a5·q5＝48×（±2）5＝±1536因为2＋6＝3＋5＝8所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576.1.1.2 集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类：N——自然数集Z——整数集Q——有理数集R——实数集C——复数集合2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为a A.3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A.若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B.例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.所以C＝{1，2}，从而A＝C.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集.例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ5.集合的表示方法：列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间：[a，b]＝{x│a≢x≢b，x∈R}；开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}；半开半闭区间：左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≢b，x∈R}，左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≢x＜b，x∈R}；（－∞，b]＝{x│x≢b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≣a，x∈R}；点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U a表示；点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为N a.6.集合之间的运算（1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B.A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A.例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B.解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}.例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≢2}，求：A∪B.解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}.（2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B.A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}，求：A∩B.解：A∩B＝{2，4}.例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≢3}，求：A∩B.解：A∩B＝{x│1＜x≢3}.（3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A－B.A－B＝{x│x∈A但x B}.例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B.解：A－B＝{1，3}.7.一些逻辑符号p能推出q，记为p q，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果p q，q p同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作p q.1.2 函数的概念与图形1.2.1 函数的概念1.定义设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x∈D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D.也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0∈D时，称f（x0）为函数在点x0处的函数值.数集D 叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数W＝{y│y＝f（x），x∈D}称为函数的值域.例1.已知：，求：y的定义域、值域.解：令1－x2≣0，解得：－1≢x≢1,所以定义域为[－1，1].因为0≢1－x2≢1，所以0≢≢1，所以值域为[0，1].例2.已知：，求：y的定义域、值域.解：根据题意，得，解得－1＜x＜1，所以定义域为（－1，1），因为 0＜≢1，从而，所以值域为[1，＋∞）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例3.判断下列两个函数是否相等，（1）y＝x＋3；（2）.例4.求函数的定义域.解：根据题意，得解得:2≢x＜3或3＜x＜5，所以定义域为[2，3）∪（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.1.2.2 函数的图形1.函数图形的概念函数y＝f（x），x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}.常见的几个幂函数的图形：2.函数的性质（1）有界性函数f（x），x∈D，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有的x都有不等式m≢f（x）≢M，则称函数f（x）在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，（1）y=sin x，（2）.（2）单调性设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调增加，称f（x）是D上的单调增加函数，称D是函数f（x）的单调增加区间.设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调减少，称f（x）是D上的单调减少函数，称D是函数f（x）的单调减少区间.例6.求y＝x2的单调性.解：任取x1＜x2＜0，x12－x22＝（x1－x2）（x1＋x2）＞0,所以y＝x2在（－∞，0）上单调减少.同理可得：y＝x2在（0，＋∞）上单调增加.例7.求y ＝sin x的单调性.解： y＝sin x的图像如图，y=sin x在（2kπ－，2kπ＋）上单调增加，在（2kπ＋，2kπ＋）上单调减少.（3）奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝f（x），称f（x）为偶函数；设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝﹣f（x），称f（x）为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性（1）（2）解：（1）因为，所以定义域为R.所以f（x）为奇函数.（2）因为a x－a-x≠0，故x≠0，所以定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.所以f（x）为奇函数.（4）幂函数的性质形如y＝xα的函数为幂函数，其中α为任意常数.性质：对任意实数α，曲线y＝xα都通过平面上的点（1，1）；α＞0时，y＝xα在（0，+∞）单调增加；α＜0时，y＝xα在（0，+∞）单调减少；α为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）；α为偶数时，y＝xα为偶函数；α为奇数时，y＝xα为奇函数；α为负整数时，幂函数的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）.幂函数y＝xα（α是常数）的图形：1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形：例10.画出下面分段函数的图形：例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数1.3.1 三角函数1.三角函数的定义三角函数的定义可以在一个圆心在原点、半径为r的圆上给出，如图1.3.1—1所示.图1.3.1—1定义1.7 正弦函数；余弦函数；正切函数；余切函数；正割函数；余割函数.2.常见三角函数关系式（1）同角公式：1）倒数关系：sin x·csc x＝1，cos x·sec x＝1，tan x·cot x＝12）商的关系：，3）平方关系：sin2x＋cos2x＝1，1＋tan2x＝sec2x，1＋cot2x＝csc2x.（2）和角公式：sin（x±y）＝sin x cos y±cos x sin ycos（x±y）＝cos x cos y sin x sin y（3）倍角公式：sin2x＝2sin x cos xcos2x＝cos2x－sin2x（4）半角公式（降幂公式）：（5）正弦定理：（6）余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.例1.利用降幂公式，将下列各式变形，（1），（2）cos23x，（3）sin45x.解：（1）原式＝（2）原式＝（3）原式例2.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值.（1）已知tan x＝3求其他的三角函数值；（2）已知sec x＝5，求其他的三角函数值.解：（1）（2）3.三角函数的图像及简单性质（1）正弦函数y＝sin x正弦函数sin x是定义域为（－∞，＋∞），值域为[－1，1]的奇函数；图1.3.1—2（2）余弦函数y＝cos x余弦函数cos x是定义域为（－∞，＋∞），值域为[－1，1]的偶函数；图1.3.1—3（3）正切函数y＝tan x正切函数tan x是定义域为{x│x∈R，x≠kπ＋}（k是整数），值域为（－∞，＋∞）的奇函数；图1.3.1—4（4）余切函数y＝cot x余切函数cot x是定义域为{x│x∈R，x≠kπ}（k是整数），值域为（－∞，＋∞）的奇函数；图1.3.1—54.特殊角的三角函数值5.周期函数从三角函数的定义域可以看出，当θ的值增加2π后，点P又回到了原来的位置，所以sin（θ＋2π）＝sinθ，cos（θ＋2π）＝cosθ，tan（θ＋2π）＝tanθ，cot（θ＋2π）＝cotθ，sec（θ＋2π）＝secθ，csc（θ＋2π）＝cscθ.这种函数值重复出现的性质就是函数的周期性.定义1.8 设函数f（（x））的定义域为R.若存在正数T＞0，使得对于任意的x∈R都有f（x＋T）＝f（x），则称f （x）是一个周期函数，T称为f（x）的周期.如果T是函数f（x）的一个周期，则2T，3T等也是f（x）的周期，一般说的周期指的是最小正周期.如sin x，cos x 的最小正周期是2π，通常就说sin x，cos x是以2π为周期的周期函数.类似地，tan x，cot x是以π为周期的周期函数.例3.判断下列函数是否是周期函数，如果是，则求出最小正周期.（1）y＝sin2x，（2）y＝sin（2x＋3），（3）y＝sin3x＋tan x，（4）y＝sin3x＋x2.解：（1）π；（2）π；（3）2π；（4）不是周期函数.例4.设函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）内的周期为3的周期函数，且f（－1）＝－1，f（0）＝1，f（1）＝2，则＝（）.A.－2B.0C.2D.4答案：C解析：因为周期为3，所以f（23）＝f（－1）＝－1，f（－3）＝f（0）＝1，f（4）＝f（1）＝2所以原式＝，选C.1.3.2 指数函数函数y＝a x（a＞0，a≠1）称为以a为底的指数函数，常用的是以无理数e为底的指数函数y＝e x.函数y＝a x（a＞0，a≠1）的定义域是（－∞，＋∞）值域是（0，﹢∞），当a＞1时是单调增函数，当0＜a＜1时是单调减函数.图1.3.2—1给出了底数a分别取2，3，和时函数y＝a x的图形.图1.3.2—1指数函数的一些基本运算规则：a x a y＝a x＋y，（a x）y＝a xy，a xb x＝（ab）x，a0＝1，a－x ＝例5.复利问题：设银行存款的年利率是r，且按复利计算.若某人在银行存入10000元，经过10年的时间，此人最终的存款额是多少？解：经过1年的时间，存款额变成10000＋10000r＝10000（1＋r）；经过2年的时间，存款额变成10000（1＋r）＋10000（1＋r）r＝10000（1＋r）2；经过3年的时间，存款额变成10000（1＋r）2＋10000（1＋r）2r＝10000（1＋r）3；类似地算下去，经过10年的时间，存款额会变成10000（1＋r）10.一般地，经过n年的时间，存款额会变成10000（1＋r）n.1.3.3 反函数1.反函数的概念定义1.9 设f（x）是定义在D上的一一对应函数，值域为Z，若对应关系g使得对任意的y∈Z，都有唯一的x∈D 与之对应，且f（x）＝y，则称g是f的反函数.反函数也记作x＝g（y）＝f－1（y）.由单调函数的定义可以知道，在一个区间上单调（增或减）的函数必有反函数.函数的定义域和值域分别与其反函数的值域和定义域一致.判断g与f是否互为反函数，就是要判断f（g（y））＝y且g（f（x））＝x是否成立.习惯上将自变量用x表示，因变量用y表示.根据反函数的定义，y＝f（x）与x＝f－1（y）的图形是一样的，而y ＝f－1（x）是将x＝f－1（y）中的x与y对换，由于点（x，y）与点（y，x）关于直线y＝x对称，所以y＝f（x）与y ＝f－1（x）的图形关于直线y＝x对称（图1.3.3—1）.图1.3.3—1例6.求下列函数的反函数：（1）y＝2x＋1；（2）解：（1）由y＝2x＋1，得x ＝（y－1）.交换x与y的位置，得y ＝（x－1）.由于函数y＝2x＋1的值域为（－∞，＋∞），所以其反函数为y ＝（x－1），x∈（－∞，＋∞）.（2）有，得 .交换x与y 的位置，得 .由于函数（x＞1）的值域为（0，1），所以其反函数为，x∈（0，1）.2.反三角函数（1）反正弦函数：y＝arcsin x，x∈[－1，1]，值域为[－， ]图1.3.3—2（2）反余弦函数：y＝arccos x，x∈[－1，1]，值域为[0，π]图1.3.3—3（3）反正切函数：y＝arctan x，x∈（－∞，＋∞），值域为（－，）图1.3.3—4例7.计算，（1）arcsin；解：（2）arccos；解：（3）arctan；解：（4）tan arcsin；解：（5）sin arc cot5解：例8.已知arccos，求x的取值范围.解：令－1≢≢1，解得－1≢x≢3所以x的取值范围为[－1，3].1.3.4 对数函数：1.定义：当a＞0且a≠1时，指数函数y＝a x在其定义域（－∞，＋∞）内是单调的，因此它是一个一一对应的函数，于是存在反函数.函数y＝a x的反函数称为以a为底的对数函数，记作y＝log a x，其定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）.常见的对数函数：常用对数y＝lg x，自然对数y＝ln x当a＞1时，y＝log a x在定义域内是单调增加的；当0＜a＜1时，y＝log a x在定义域内是单调减少的.2.对数的运算法则：设a，b，x，y都是大于零的实数，则log a（xy）＝log a x＋log a ylog a x r＝r log a xlog a a＝1，log a1＝0例9.设银行存款的年利率是3%，且按复利计算.若某人在银行存入10000元，问经过多少年，此人的最终存款额是15000元？解：设经过x年，此人的最终存款额是15000元.由于10000×（1.03）x＝15000所以x＝log1.031.5≈13.71.4 函数运算1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f（x），g（x）都在D上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下：（1）加法运算（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x），x∈D .（2）数乘运算（kf）（x）＝kf（x），x∈D.（3）乘法运算（fg）（x）＝f（x）g（x），x∈D .（4）除法运算 g（x）≠0，x∈D.其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f（x）=ln（1＋x），g（x）=1－cosx ，求 .解因为函数f（x）=ln（1＋x）的定义域为（－1，+∞），函数g（x）=1－cosx 的定义域为（－∞，+∞），且当x=2 kπ（k为整数）时，g（x）=0，所以，，x∈（－1，+∞）\{2kπ}（k为整数）1.4.2复合函数如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为D f和D g，值域分别是 Z f和Z g..当Z g D f时，对于任意x∈D g,都有唯一的g（x）∈Z g D f,，从而有唯一的f（g（x））∈Z f与x∈D g对应，这样就确定了一个从D g到Z f的函数，此函数称为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。

高等数学一对一辅导教材第一章推导与证明1.1 推理与直觉在学习高等数学过程中，我们经常会遇到一些公式和定理，这些公式和定理通常是通过推导和证明得出的。

本章将介绍一些常见的推导和证明方法，帮助学生培养推理和直觉能力。

1.2 数学归纳法数学归纳法是一种非常重要的证明方法，它常常用来证明一些数学结论成立。

本节将介绍数学归纳法的基本原理和应用，帮助学生掌握这种证明方法。

1.3 逻辑与命题逻辑是数学推理的基础，而命题是逻辑推理的基本单位。

本节将介绍逻辑的基本概念和方法，以及命题的性质和运算规则，帮助学生理解数学推理的基本原理。

第二章函数与极限2.1 函数的概念与性质函数是高等数学中一个非常重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。

本节将介绍函数的基本概念、性质和分类，帮助学生建立对函数的准确理解。

2.2 极限的定义与性质极限是函数研究的核心概念之一，它描述了函数在某一点趋于的值。

本节将介绍极限的定义、性质和计算方法，帮助学生掌握极限的概念和应用。

2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是极限研究中的重要概念，它们描述了函数在某一点的趋势。

本节将介绍无穷小量和无穷大量的定义和性质，帮助学生理解它们在函数研究中的作用。

第三章导数与微分3.1 导数的定义与性质导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化率。

本节将介绍导数的定义、性质和计算方法，帮助学生掌握导数的概念和应用。

3.2 高阶导数与导数的几何应用高阶导数是导数的推广，它描述了函数变化的更高阶特性。

本节将介绍高阶导数的定义和计算方法，以及导数在几何中的应用，帮助学生深入理解导数的几何意义。

3.3 泰勒公式与导数的应用泰勒公式是函数在某一点展开的一种表示形式，它在函数近似计算和优化问题中有广泛应用。

本节将介绍泰勒公式的原理和应用，帮助学生掌握泰勒公式的使用方法。

第四章积分与微积分基本定理4.1 不定积分与定积分积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。

《高等数学》辅导材料1第一章、 函数与极限1、函数的定义、函数的二要素——表达式和定义域，两个函数相等的条件；2、函数的分类:分段函数、反函数、复合函数—他们的特点和要点；3、函数的极限的定义、性质和要点，特别是0x x →时的情况；4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较p23 (10)；5、函数极限的运算；6、极限存在定理；7、两个重要极限；结构和使用方法 p238、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间断（两类） 9、初等函数的连续性——5个性质连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理；—————————————————————————————————— 第二章、 导数与微分1、 导数的定义0limx y dy xdx∆→∆=∆、导数的意义、2、 函数的连续性与可导性的关系3、函数的求导法则导数的四则运算法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程函数求导法则、高阶导数 4、 微分的定义、几何意义 5、 微分的求法、微分形式不变性 6、近似计算'()(0)(0)f x f f x=-和'000()()()()f x f x f x x x =--___________________________________________________________________________________________第三章、 导数的应用1、中值定理—罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理；注重他们的使用条件和特点 2、 罗比达法则两个无穷小量之比的极限、两个无穷大量之比的极限、 未定型的极限 0010∞∞∞-∞∞3、函数性态的研究2个定义、5个定理、三条渐近线极值的定义、拐点的定义、1单调性定理、2极值的判断定理、3两个极值的判定定理、凹凸性的判定定理。

一、 填 空 题（5×3分）1、12、x 2cos 23、()x e x 2+4、05、2二、选 择 题（5×3分）6、A7、C8、D9、B 10、B三、 解 答 题（7×8分）：11、原式=()x x x x ---+→11)11(lim 0 ----------3分 = ()x x -+→11lim 0 ----------3分 =2 --------- 2分12、原式=xe e xx x -→-0lim ----------3分 1lim 0xx x e e -→+= ----------3分 =2 --------- 2分13、()'++++=22111x x xx dx dy ----------4分 222111111x x x x x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= ----------4分 14、令tdt dx t ，x x t =+=-=,21122 -----------3分 原式C x C t dt tt +-=+==⎰12 ----------5分 15、原式=dx e xe de x x x x ⎰⎰-=101010| ----------5分 1|10=-=x e e ----------3分16、解：所给方程的特征方程为0432=--r r ----------2分特征根为 11-=r ，42=r ， ----------2分 因此所求通解为x x e C e C y 421+=- ----------4分 17、分离变量得 x x dy d 2-=, ----------2分 两边积分得C x y +-=2, ----------2分 将初始条件12==x y 代入通解得5=C ，即特解为52+-=x y -----4分四、应用题（2×7分）18、所围图形的面积为313103102==⎰x dx x ----------7分 19、解：设截掉的小正方形边长为x cm ，则做的容器的底边长为x 21-cm ，故容积为：()()300,212<<-=x x x y ----------3分 令0='y ，得驻点5.0,6121==x x 舍掉。