复矩阵的Jordan标准形的性质及应用

对角矩阵约当标准型介绍对角矩阵约当标准型是线性代数中一个重要的概念。

在本文中，我们将详细讨论对角矩阵以及约当标准型的定义、性质和应用。

对角矩阵对角矩阵是指所有非对角元素为零的方阵。

具体地说，如果一个n阶方阵A的第i行第j列元素满足i≠j时A[i, j]=0，则A为对角矩阵。

对角矩阵可以用一个简洁的方式表示，即将对角元素列出来形成一个向量。

例如一个3阶对角矩阵可以表示为[a, b, c]，其中a、b、c是对角线上的元素。

对角矩阵具有许多特殊的性质，其中一些是： 1. 对角矩阵的特征值即为其对角线上的元素。

2. 对角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积。

3. 对角矩阵的乘法仍为对角矩阵，乘法结果的对角线元素等于相应位置的乘积。

对角矩阵的应用十分广泛。

在数值分析中，对角矩阵的乘法和求逆运算非常高效。

在图论中，对角矩阵可以用来表示图的邻接矩阵，便于处理与图相关的问题。

对角矩阵还在信号处理、物理学和工程学等领域中有重要应用。

约当标准型约当标准型是一个与给定矩阵相似的矩阵，具有特殊的形式。

设A是一个n阶方阵，存在一个可逆矩阵P，使得[P^{-1}AP = J]，其中J是约当形矩阵。

约当形矩阵是一个分块对角矩阵，每个对角块由一个特征值和一些1构成。

例如，对于一个3阶矩阵，其对应的约当形矩阵可能具有以下形式： [] 其中[_1, _2, _3]为矩阵的特征值。

约当标准型是一种重要的矩阵形式，因为它使得研究矩阵的性质和求解线性系统变得更加简单。

对于一个给定的矩阵，通过求取其约当标准型，我们可以得到关于特征值和特征向量的重要信息。

约当标准型的计算计算一个矩阵的约当标准型是一个复杂且困难的过程。

幸运的是，存在许多有效的算法可以用来计算约当标准型。

其中一种常见的方法是使用Jordan分解。

Jordan 分解将矩阵分解为一个对角矩阵和一个Jordan块（由特征值和1构成的矩阵块）之和。

通过计算特征向量和特征矩阵，我们可以得到矩阵的Jordan标准型。

数学写作论文题目:浅谈矩阵Jordan标准形及其应用专业代码:作者姓名:学号:单位: 级班指导教师:年月日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录第一章引言 (1)第二章基本概念 (1)2.1若尔当标准形的定义 (1)2.2若尔当标准形的性质 (3)第三章若尔当标准形的应用 (5)3.1矩阵分解论中的应用 (5)3.2解矩阵方程中的应用 (6)3.3解线性递推关系式中的应用 (7)3.4哈密顿—凯莱定理的证明 (11)第四章结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要矩阵在高等代数中占有举足轻重的作用.而且矩阵有很多形式,本文主要介绍Jordan标准形的定义、性质及其应用,例如:每个n级复数都与一个若尔当形矩阵相似、复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的不变因子没有重根等,对于今后的高等代数的进一步研究学习有很大的帮助.关键词：若尔当标准形; 矩阵分解; 线性递推; 哈密顿—凯莱定理AbstractMatrix is very import in high level mathematic. There are many kinds of matrix. This paper describes several equivalent definitions of mathematic, and then focused on the properties of Jordan matrix and application of the Jordan matrix such as every n level plural is similar for a Jordon matrix, plural A is similar to diagonally matrix on the base of the unconverted factor without two same resultsKey words Jordan matrix; matrix resolve; analysis linearly; Hamilton-Caylay浅谈矩阵Jordan标准形及其应用第一章引言在学习与代数相关的知识中,矩阵的学习是必须的,在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具.在研究矩阵相似问题时,若尔当块、若尔当标准形的定义及简单性质比较容易给出,但对若尔当标准形一些具有规律性的性质研究却很少,而正是这些性质使得若尔当标准形具有极其重要的理论和应用价值.对于若尔当标准形的性质及其应用,大多都是从相似的角度提及.但在大量实际应用中不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到简化.为此,本文将围绕若尔当标准形的应用,从四个大方面:若尔当标准形在矩阵分解论中的应用、若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用、若尔当标准形在矩阵方程中的应用、以及用若尔当标准形证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay）定理,来对若尔当标准形的应用进行归纳总结.本文以例题的形式给出了若尔当矩阵在这四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,不难得出,矩阵的若尔当标准形对于我们求解某些矩阵的幂、行列式的值以及证明都是很有用的.总的来说,本文从若尔当标准形的定义及简单性质出发,对若尔当标准形的应用做了系统的梳理.第二章 Jordan标准形基本概念2．1定义形式为0 (000)1 (000)(,)00 (10)00 (01)t t J tλλλλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵为若尔当（Jordan ）块，其中λ是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵为若尔当形矩阵,其一般形式如12s J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中1=11i i i ii ii k k J λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,并且12,,......,s λλλ中有一些可以相等.特别地，一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当矩阵包括对角矩阵.在复数域范围内,对任意方阵A 总存在可逆矩阵P ,使11k J P AP J -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,其中11ii i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为若尔当块()1,2,,i k =.而1k J J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为A 的若尔当标准形.2.2性质性质1 n 级的复矩阵A 的若尔当标准形除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的.性质2 n 级的复矩阵A 的若尔当标准形J ，主对角线上的元素正是A 的特征多项式的全部的根，即A 的全部特征值（重根按重数计算）.性质3 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，A 的若尔当标准形全由1级的若尔当块构成.性质4 设n nA C ⨯∈,()[]f x C x ∈，若12,,,nλλλ为A 的全部特征值,则()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ,即11()()()n f P f A P f λλ-⎛⎫⎪=⎪ ⎪*⎝⎭.证明 设110n P AP λλ-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的若尔当标准形,再设10()m m f x a x a x a =+++,则111100()n n f A f P P PfP λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110000mm m n n P a a a E Pλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11()0()n f P P f λλ-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪*⎝⎭，可见()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ.性质5 在复数域范围内,对任意方阵A 总存在可逆矩阵P , 使11k J P AP J -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,则11K J A P P J -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭11m m m k J A P P J -⎛⎫⎪∴=⎪ ⎪⎝⎭.其中m i J111111mi m m i m mmm m m m m m i i C C C C C λλλλ----⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i k =.证明 设011iii i i J E A λλλλ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭,0110A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭注意到：001010i nA ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200001100i n A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,100100i i n n A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，0(0)i i nn A =.于是11110000()m m m m m m mi i i m i m i J E A E C A C A A λλλλ---=+=++++111111mi m m i m mmm m m m m m i i C C C C C λλλλ----⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第三章 若尔当标准形的应用3.1 若尔当标准形在矩阵分解论中的应用（V oss 定理）设()n n A Mat C ⨯∈，证明：A 可以分解成两个对称矩阵之积，并且其中至少有一个是可逆的.例1设()n n A Mat C ⨯∈，矩阵P 和矩阵B 都是11n n ⨯矩阵，记111()1P n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 11111111(,)1B n λλλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则有A PB =.证明 矩阵P 和矩阵B 都是对称的11n n ⨯矩阵，且1()P n 是可逆的，并有11111(,)()(,)J n P n B n λλ=又()n n A Mat C ⨯∈，则A 相似于一个若尔当矩阵，即存在()n n C Mat C ⨯∈，使得1A CJC -=,其中1122((,),(,),,(,))s s J diag J n J n J n λλλ=取12((),(),,())T s P Cdiag P n P n P n C =111122()((,),(,),,(,))T s s B C diag B n B n B n C λλλ--=即满足B ，P 都是对称的，P 是可逆的，并且A PB =.3.2 若尔当标准形在矩阵方程中的应用我们以“设()n n A Mat C ⨯∈，求矩阵X ,使得AX XA =”为例，说明Jordan 标准形在解矩阵方程中的应用.为了描述结果，我们引进下面的记号.记(){((0,))()[]}T n n g J n g x C x ⨯=∈如果121210()n n n n g x t x t x t x t ----=++++则 01201210((0,))n n n t t t g J n t t t t t t ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上面的矩阵也称为下三角形Toepliz 矩阵。

jordan标准形Jordan标准形。

Jordan标准形是指矩阵的一种特殊形式，它可以将任意矩阵通过相似变换转化为Jordan标准形。

Jordan标准形在线性代数和矩阵理论中有着重要的应用，对于矩阵的特征值和特征向量的研究具有重要意义。

本文将介绍Jordan标准形的定义、性质以及如何将一个矩阵转化为Jordan标准形。

首先，我们来定义什么是Jordan标准形。

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D，其中D是一个Jordan块对角矩阵，那么我们称D是矩阵A的Jordan标准形。

Jordan块是指形如λI+N的矩阵，其中λ是矩阵的特征值，I是单位矩阵，N是上三角的特殊矩阵。

Jordan标准形的存在性是线性代数中一个重要的结论，它告诉我们任意一个n阶矩阵都可以通过相似变换转化为Jordan 标准形。

接下来，我们来看一下Jordan标准形的性质。

首先，Jordan标准形是唯一的，即对于一个矩阵A，它的Jordan标准形是唯一确定的。

其次，Jordan标准形的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。

最后，Jordan标准形的非对角线上的元素对应着矩阵A的特征向量。

这些性质使得Jordan标准形成为了研究矩阵特征值和特征向量的重要工具。

最后，我们来看一下如何将一个矩阵转化为Jordan标准形。

假设我们有一个n阶矩阵A，我们首先需要求出矩阵A的特征值和特征向量。

然后，我们构造出一个可逆矩阵P，它的列向量是矩阵A的特征向量。

接下来，我们可以得到P^{-1}AP，它的对角化矩阵D就是矩阵A的Jordan标准形。

这个过程可以通过线性代数中的特征值分解和相似对角化的理论来实现。

总之，Jordan标准形是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们研究矩阵的特征值和特征向量。

通过相似变换，我们可以将任意矩阵转化为Jordan标准形，从而更好地理解和分析矩阵的性质。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解Jordan标准形的定义、性质和转化过程。

Jordan标准形定理及证明
Jordan标准形定理的主要内容是：每个n阶的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被矩阵A唯一确定的，它称为矩阵A的若尔当标准型。

这个定理可以通过初等因子理论来证明。

具体来说，设a是复数域上的n 维线性空间上的线性变换，在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被唯一决定的。

此外，复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，矩阵的初等因子全为一次的，不变因子都没有重根。

以上内容仅供参考，建议查阅数学专业书籍或咨询专业数学研究人员获取更准确的信息。

关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中一个非常重要的概念，特别是在代数学和线性代数中经常会涉及到。

它的概念和性质在数学教学中有着非常重要的地位，因此本文将对Jordan标准形进行教学探讨，包括其基本概念、性质和相关的教学方法。

一、Jordan标准形的基本概念Jordan标准形是线性代数中对于方阵进行相似对角化的一种形式，它的基本定义是：如果一个矩阵A的特征多项式可分解成线性因子的乘积，即\[|A - \lambda I| = ( \lambda_1 - \lambda)^{m_1}( \lambda_2 -\lambda)^{m_2} ...( \lambda_k - \lambda)^{m_k},\]其中每个\( \lambda_i\)是A的不同特征根，而\(m_i\)是对应的特征根\( \lambda_i\)的重数。

那么A就可以相似对角化成Jordan标准形。

具体来说，一个n阶方阵A相似对角化成Jordan标准形的表示为：\[P^{-1}AP = J,\]其中P是可逆矩阵，J是Jordan标准形，它的形式为：\[J = \begin{pmatrix}J_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & J_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & J_k\end{pmatrix},\]其中每个J_i是形如下面的Jordan块：\[J_i = \begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda_i & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_i\end{pmatrix},\]特别地，如果\(m_i = 1\)，那么对应的Jordan块就是一个\(1 \times 1\)的矩阵，即只有一个特征值。

Jordan标准形与Jordan分解Jordan标准形和Jordan分解是线性代数中非常重要的概念，在矩阵理论和线性变换研究中有着广泛的应用。

本文将介绍Jordan标准形以及Jordan分解的定义、性质、计算方法和应用。

1. Jordan标准形Jordan标准形是一个矩阵的特征值表达形式，它是一个对角矩阵，每个对角块都是由相同的特征值组成。

对于一个n阶矩阵A，如果它的特征多项式可以分解为f(x)=(x-λ₁)^(k₁)(x-λ₂)^(k₂)...(x-λₙ)^(kₙ)其中λ₁,λ₂,...,λₙ是A的特征值，k₁,k₂,...,kₙ是它们的代数重数，则存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=J其中J是Jordan标准形矩阵。

Jordan标准形的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。

(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块，其形式为：J(λᵢ)=[λᵢλᵢ ... λᵢ][ λᵢλᵢ ...][... λᵢ...](3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。

2. Jordan分解Jordan分解将一个n阶可逆矩阵分解为一个特殊的形式，其中矩阵的上三角部分是Jordan标准形矩阵，而下三角部分为0矩阵。

对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹Jordan分解的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。

(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块。

(3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。

(4) 计算可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹。

3. Jordan标准形和Jordan分解的应用Jordan标准形和Jordan分解在数学和工程领域有广泛的应用。

其中一些重要的应用包括：(1) 系统稳定性分析：可以使用Jordan标准形来分析线性时不变系统的稳定性。

矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。

在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。

一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。

Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。

首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。

其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。

这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。

Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。

例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。

二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。

首先，我们需要计算矩阵的特征值。

特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。

通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。

特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。

接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。

特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。

通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。

在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。

这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。

三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。

关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中的一个重要概念，特别在线性代数中扮演了重要的角色。

它是矩阵理论中的一个标准矩阵形式，可以将一个线性变换矩阵简化为一种特殊的形式。

本文将对Jordan标准形进行教学探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及其在矩阵理论和线性代数中的应用。

我们来看Jordan标准形的定义。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP的形式为Jordan方阵，那么A被称为具有Jordan标准形。

具体来说，一个Jordan方阵是由多个Jordan块组成的矩阵，它是一个上三角矩阵，主对角线上的元素是矩阵的特征值，而对角线上方的元素表示Jordan块的大小和结构。

接下来，我们来讨论Jordan标准形的性质。

Jordan标准形是唯一的，也就是说，对于任意一个矩阵A，它都存在唯一一个Jordan标准形。

Jordan标准形对于相似变换是不变的，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的Jordan标准形也是相似的。

Jordan标准形还具有一些其他的重要性质，比如Jordan块的大小等于其特征值的重数，Jordan块的个数等于矩阵A的线性无关的特征向量的个数。

那么，如何计算一个矩阵的Jordan标准形呢？计算Jordan标准形的方法主要有两种，一种是使用线性代数的理论方法，一种是采用计算机的数值算法。

对于小规模的矩阵，理论方法可以直接求解Jordan标准形，但是对于大规模的矩阵，数值算法更加高效和实用。

常用的计算Jordan标准形的数值算法有Givens旋转法、Householder变换法和幂法，它们分别侧重于不同的矩阵计算问题和复杂性。

我们来讨论Jordan标准形在矩阵理论和线性代数中的应用。

Jordan标准形的计算和分析是矩阵理论的核心内容之一，它在矩阵相似性、特征值和特征向量的计算、线性微分方程和差分方程的求解等方面都有广泛的应用。

在实际问题中，Jordan标准形也常常被用来简化线性变换的计算和分析，找到线性变换的规律和性质。

§8 若尔当(Jordan)标准形介绍由前面的讨论可知，并不是对于每一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵成为对角形.下面先介绍一下，在适当选择的基下，一般的一个线性变换能化简成什么形状.定义8 形式为tt t J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ1000010000010000),(的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中λ是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A A 21 (1) 其中ii kk i iiii A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλ111, 并且s λλλ,,,21 中有一些可以相等.例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 10,0100001000010000,210021002都是若尔当块，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410000041000004000000400000011000001 是一个若尔当形矩阵.一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵.在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角线上的元素正是特征多项式的全部的根（重根按重数计算）.定理13 设A 是复数域上线性空间V 的一个线性变换，则在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.引理 n 维线性空间V 上的一个线性变换B 满足B k =ℴ,k 是某正整数，就称B 为V 上幂零线性变换.对幂零线性变换B ，V 中必有下列形式的一组元素作为基)0()0()0(,,211211121212121===---s k k k s k k k ss s s B B B B B B B B B αααααααααααα(2)于是B 在这组基下的矩阵)3(01010010100101021⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s k k k上述结果用矩阵表示就是：定理14 每个n 级复矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似.。

Jordan 标准形及其应用摘要： 关于矩阵的Jordan 标准形最常见的求法是通过初等因子来求解，本文介绍了有关矩阵Jordan 标准形的基本概念，包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan 块、Jordan 标准形，同时介绍了Jordan 标准形的相关定理．还主要介绍了Jordan 标准形的三种求法：初等因子法、计算 的方法以及幂零矩阵的Jordan 标准形的求法． 关键词： 初等因子；Jordan 块；Jordan 标准形．The Jordan canonical form and its applicationAbstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common ．This article introduces several basic concepts about the matrix Jordan canonical form ，including polynomial matrix ，the canonical form of polynomial matrix,，Jordan block and the Jordan canonical form ．In the meantime ，it introduces the related theories of the Jordan canonical form ．3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced ：elementary divisor method ，method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix ．Keywords: Elementary divisor ；Jordan block ；Jordan canonical form定义1 设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ1..................00 (10)00 0100...00 （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）.当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k B B B 0021（ 2 ） 这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rkk r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设i V =ker V ir i ∈=-ξλσ{)(｜0)(=-ξλσi ri }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块.令|σσ=i i V ，那么i σ=i λ+i τ，于是对于i V 加上基来说，i σ的矩阵是 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i is i i is i i i iii J J J N N N B 0000002121λλλ 这里iis i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块.对于每一子空间i V ，按以上方式选取一个基，凑起来成为V 的基，那么σ关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i 块B ，是|σσ=i i V 的矩阵.而子空间k V V ,...,1 显然由σ唯一确定，而出现在每一i B 里的若尔当块iis i i J J J ,...,,21里由i σ唯一确定的，因而是由σ唯一确定.定义2 形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m J J J 0021的n 阶矩阵，其中每一J 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2001000001000001100002,2001000001000001000002,1101100001000002100002 都是若尔当标准形式.定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.定理3 （1）设V 为K 上的n 维线性空间，线性变换T ：V →V 的特征多项式分解为K 上的一次式的积.rr T n r n T a t a t a t a t t υυμγλ)...()(,)...()()(1111--=--=，K a a r ∈,...,1，.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这里，V 是弱特征空间)(~i a V 的直和V =)(~...)(~1r a V a V ⊕⊕，又})(|{)(~O X aI T V x a V I v i =-∈=υ，dim )(~i a V =i n ,T 在)(~i a V 上的限制T |)(~i a V 的特征多项式和最小多项式为.)(,)(ii i n i a t a t υ--（2）设矩阵A ∈（n ，n ，K ）的特征多项式分解为K 上一次式的积.detKa a a t a t a t a t A tE r r A nr nn r r ∈--=--=-,...,,)...()(,)...()()(1111υυμ,.1),(i i j i n j i a a ≤≤≠≠υ这时，存在正则矩阵P ),,(K n n ∈，)(...)(11r a J a J AP P⊕⊕=-个以上个以上个至少001)1,(...)1,()1,(...)1,(),(...),()(i i i i i i i i i i i a J a J a J a J a J a J a J ⊕⊕⊕-⊕⊕-⊕⊕⊕=υυυυ方阵J )(i a 的结束等于i n ，构成J )(i a 的若尔当的个数等于属于i a 的特征空间多项式的维数).1(r i ≤≤若尔当块矩阵1-PA P 称为矩阵A 的若尔当.注意 )(...)(1r q a J a J AP P ⊕⊕=-中的J )(i a ，其j 阶若尔当块的个数又A 唯一确定.例1 证明对A ，B ∈（n ，n ，C ），存在正则矩阵P ，使1-P A P =B ⇔A 和B 具有相等的若尔当标准型.证 设A 和B 具有相等的若尔当标准型J ，则存在正则矩阵1P ，2P ，使11-P A 1P =J ，12-P B 2P =J ，令1P 12-P =P ，则P 正则接1-P A P =B .反之，设已存在正则矩阵P ，使1-PA P =B ，设J AQ Q=-1是若尔当标准型，则J PQ A PQ =-)()(1，故A 的若尔当标准型也是J .例2 求矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--601151104，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=603622845131352013D 的若尔当标准型，求实矩阵Q 使DQ Q1-成为若尔当矩阵.解 （1）3233)5(1257515||-=-+-=-t t t t C tE ，rank 1)5(3=-E C ,故特征空间V （5）的维数是3 – rank (C -53E )=2，于是机若尔当块的个数为2，C 的若尔当标准型为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5515. (2)).2()3(1834||2233+-=+--=-t t t t t D tE 方程（D +23E ）x =0的通解为1p =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111u .例如，令u =1，得1p =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111，dim=V （-2）=1，（D -33E ）x =0，的通解是1q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47070v v v ，所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.例如，令v =1，得1q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛170，方程（D -33E ）x =1q 的通解是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-ωω74721例如，令10=ω，得2q =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6101，D 1p = - 21p ，D 2q = 31q ，D 2q =1q +32q .故若令=Q （1p 1q 2q ），则D Q =（D 1p D 1q D 2q ）=（-21p 31q 1q +32q ）=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3132， 所以Q =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6411070101，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-01221AQ Q .参考文献：[ 1 ] 张禾瑞 、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版. [ 2 ] 有马哲 、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.。

线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型与Jordan分解是两个重要的概念。

它们在矩阵理论、线性变换以及微分方程等领域都有着广泛的应用。

本文将对Jordan标准型与Jordan分解进行详细介绍和解析。

一、Jordan标准型在线性代数中，Jordan标准型是一种将方阵矩阵分解成特殊形式的表达方式。

对于一个n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P逆乘以A乘以P得到的矩阵(J)具有如下形式：J = [J1 0 ... 0][ 0 J2 ... 0][......][ 0 0 ... Jk]其中，J1、J2、...、Jk是Jordan块，每个Jordan块对应一个特征值。

Jordan块的形式如下：Ji= [λi1 1 0 ... 0][ 0 λi1 1 ... 0][ ][ 0 0 ... λij]其中，λij为特征值λi对应的代数重数j。

同时，对于同一个特征值，其对应的Jordan块数目表示几何重数。

Jordan标准型的出现是为了解决非对角矩阵难以求解特征值和特征向量的问题。

通过将矩阵转化为Jordan标准型，可以方便地求解特征值和特征向量，进而得到矩阵的一些重要性质。

二、Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和一个幂零矩阵的形式。

对于一个n阶矩阵A，Jordan分解可以表示为：A = T + N其中，T是上三角矩阵，N是幂零矩阵。

上三角矩阵的对角线上的元素为矩阵A的特征值，幂零矩阵的幂次越高则元素越小。

Jordan分解的意义在于将复杂的矩阵分解成两个比较简单的矩阵，从而便于求解和研究。

三、Jordan标准型与Jordan分解的关系Jordan标准型和Jordan分解有着紧密的联系。

具体来说，对于一个有限维向量空间V上的线性变换T，如果它的特征多项式的根覆盖整个复数域，即任何一个复数都是特征多项式的根，那么就存在一个V 的基，使得这个基下T的矩阵表示形式为Jordan标准型。

矩阵Jordan标准型是线性代数中非常重要的概念，它在矩阵理论以及特征值与特征向量的研究中有着重要的应用。

在考研数学中，矩阵Jordan标准型也是一个高频考点，掌握矩阵Jordan标准型对于考研数学的学习和备考至关重要。

一、矩阵Jordan标准型的定义矩阵Jordan标准型是一种特殊的矩阵形式，它具有一些特定的性质。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP为Jordan标准型，那么称矩阵A相似于Jordan标准型。

二、矩阵Jordan标准型的性质矩阵Jordan标准型具有以下性质：1. 对角线上的元素是矩阵A的特征值；2. 对角线上出现的不止一个数表示A不是对角化的；3. 每一个Jordan块对应一个特征值以及其代数重数；4. 每一个Jordan块的大小对应于其几何重数。

三、矩阵Jordan标准型的计算方法计算矩阵的Jordan标准型是线性代数中的一个重要内容。

通常有以下方法：1. 先求出矩阵A的特征值和对应的特征向量；2. 根据特征值和特征向量构造特征向量矩阵P；3. 利用P^-1AP的形式求得矩阵A的Jordan标准型。

四、矩阵Jordan标准型的应用矩阵Jordan标准型上线性代数以及其他数学领域有着广泛的应用。

对于一些特定的矩阵求解矩阵的高次幂、求解矩阵的指数函数等问题时，常常需要用到矩阵的Jordan标准型。

在控制理论、量子力学等领域中，矩阵Jordan标准型也有着重要的应用价值。

五、考研考纲中与矩阵Jordan标准型相关的知识点矩阵Jordan标准型作为线性代数中的重要概念，在考研数学的考纲中也有明确的要求。

考研数学中与矩阵Jordan标准型相关的知识点主要包括：1. 矩阵的特征值与特征向量；2. 矩阵的相似对角化；3. 矩阵的Jordan标准型及其计算方法；4. 矩阵Jordan标准型的应用。

六、如何有效地学习和掌握矩阵Jordan标准型针对矩阵Jordan标准型这一知识点，考生可以采取以下学习方法：1. 掌握矩阵的特征值与特征向量的求解方法；2. 熟练掌握矩阵的对角化与相似对角化的理论与计算方法；3. 了解矩阵Jordan标准型的定义和性质，熟悉其计算方法；4. 深入理解矩阵Jordan标准型的应用场景，例如上线性方程组、微分方程、控制理论等方面的应用。

特征根(按重数计Jordan 标准形定理 每个n 阶复数矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似：121;00s J J P AP J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭除了Jordan 块的排列次序可以改变外，Jordan 矩阵J 是唯一的， 称它为A 的Jordan 标准形.注意 A 的Jordan 标准形J 的主对角元就是A 的全部 例1 求矩阵2111213211011122 A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪----⎝⎭的Jordan 标准形J .解 求出A 的特征多项式()31I A λλλ-=+，全体特征值为 0,1,1,1 ---.若A 与相似于Jordan 标准形J ： A ∽J ，则它们有相同的特征值，从而有0111J ⎛⎫ ⎪-* ⎪= ⎪-* ⎪-⎝⎭其中的*等于1或0.特别注意 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由相似关系A I+∽100J I ⎛⎫⎪*⎪+= ⎪* ⎪⎝⎭可得秩数1111232()()21111121 2 1 r J I r A I rank ----⎛⎫ ⎪ ⎪+=+== ⎪ ⎪----⎝⎭可知J I +中的2个*只有一个等于1，另一个为0，因此011101J ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭或010111J ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭这两个J 本质上是相同的(都含有3个Jordan 块)，只是Jordan 块的排列次序不同.注意 如果两个Jordan 矩阵只是Jordan 块的次序不同，则认为它们本质上相同. 在这个意义上，本题中的J 由A 唯一决定.可写A∽01111 J ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭.另外，可找到一个可逆阵1011310010102101P -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭使得01111AP P PJ ⎛⎫⎪- ⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭即1P AP J-=.例2 设 110430102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1)求Jordan 标准形J ，并判断A 可否对角化；(2)求相似变换阵P ，使1P AP J -=.解 A 的特征多项式为：2||(2)(1)I A λλλ-=--,特征值为2,1,1 .所以A∽ 200011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注意， 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由于J 含有2阶Jordan 块，可知A 不能对角化.令123(,,)P X X X =，(1,2,3)i X i =为列向量，则 AP=PJ ，即123123200(,,)(,,)011001A X X X X X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即 11223232,,AX X AX X AX X X ===+.所以1X 为A 的关于2λ=的特征向量；2X 为A 的关于1λ=的特征向量；3X 是非齐次方程32()A I X X -=的解（广义特征向量）.由1(2)0I A X -= 解出1(0,0,1)T X =， 由2()0I A X -= 解出2(1,2,1)T X =-，由32()A I X X -= 解出3(1,1,0)T X =--，或3(0,1,1)T X =-令123011(,,)021110P X X X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，或010021111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭可知 200011 001AP P P J ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭即 1P AP J -=.例3 试证：每个Jordan 块k J 都相似于它的转置T k J . 证 计算可知11001011111001001λλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 注 由此例可知，每个Jordan 矩阵J 都相似于它的转置：J ∽T J (下三角矩阵).利用此例3与Jordan 标准形定理可得：推论3 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .例4 设k 为自然数，0kA =，试证：||1A I +=证 由0kA =知A 的特征值全为零， 从而Jordan 标准形J 的主对角线元素全为零. 利用1A PJP -=，可知 11||||||||||1A I PJP I P J I P --+=+=+=.小结 两个看上去很不相同的矩阵可以相似，因此，一条确定两个矩阵是否相似的途径是，设想有某个具有指定简单形式的矩阵集合，然后看这两个已知矩阵是否可以通过相似化成这些简单形式中的一个.如果它们能做到，那么它们必定是相似的（因为相似关系是传递的和对称的），Jordan 标准形就是符合这个要求的简单形式. 本节的主要结果是，每个复矩阵都相似于一个实质上是唯一的Jordan 矩阵.Jordan 标准形定理可以说是矩阵相似理论的一个制高点. 有了Jordan 标准形许多问题就很清楚了.注 相应于每个单独的Jordan 块()m J λ，恰好有矩阵J 的一个特征向量：它是属于矩阵J 中每个()m J λ的第一个对角元素. 从而J 中Jordan 块的个数就是A 的线性无关特征向量个数.补充若干论断和应用利用参考书：R .Horn and C.Johnson. Matrix Analysis, 1985 . 我们不加证明给出下列补充结论.(1) 给定Jordan 标准形J ，可以得到如下几点结论： (2).每个Jordan 块()k J λ恰好对应着属于λ的一个特征向量；(3) 每个值λ，其对应Jordan 块()k J λ的个数等于它的几何重数：()n r A I λ--； (3).Jordan 块的总数(按重复计)等于J 的线性无关特征向量个数利用相似关系 A ∽J 对应的秩数公式: ()()k k rank A bI rank J bI -=-， 可建立以下差分格式，求出方阵A 的Jordan 标准形J. 给定特征值λ(1) 计算秩数 ：()kr A I λ- 1, 2,k =规定 0r n = ， 1()r r A I λ=-， 22()r r A I λ=-，(2) 计差：1k k k d r r +=-，0, 1, 2,k =01d n r =-， 112d r r =-， 223d r r =- ，(3) 计差：1k k k l d d -=-，1, 2,k =101l d d =-，212l d d =-，323l d d =-，则(1) J 中含有λ的Jordan 块共有 0()d n r A I λ=-- 个； (2) J 中含λ的k 阶Jordan 块恰有 k l 个，1, 2,k= .注1 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 注2 可以证明：必有一个自然数k 使得，1()()kk r A I r A I λλ+-=-==常数.从而有 10k k d d +===.补充例子例5 用求秩法求以下矩阵的Jordan 标准形3411451100320021A --⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-⎪-⎝⎭. 解 特征多项式为：223432||(1)(1)4521I A λλλλλλλ---==+--+-+.计算秩数令1:λ=-()3r A I +=，2()2r A I +=，3()2r A I +=. 令 01234, 3, 2, 2r r r r ====，按差分格式，有124103 1 1202l l •== 得知，1λ=-恰有1个2阶Jordan 块1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭； 同理可知，含有1λ=的Jordan 块为1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭，从而可得A∽ 1100010000110001J -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭.习 题 1. 如果A 与B 相似，C 与D 相似，试证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛C O O A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O O B 相似. 2. 若A 与B 都是方阵，证明 00 A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭与00 B A ⎛⎫⎪⎝⎭相似.3. n 阶矩阵A 叫做幂零的，如果存在一个自然数m 使A m =0. 证明: (1) A 是幂零矩阵当且仅当它的特征多项式的根全是0；(2) 如果一个幂零矩阵A 可以对角化，那么A 一定是零矩阵； (3) 如果A 是幂零阵，且0A ≠，则A 不能对角化；(4) 如果A 是幂零阵，则 ||1A I +=.4. 证明: 每个阶数大于1的Jordan 块都不能对角化.5. 设0ε>，证明：下列两个矩阵A 与B 不能相似101011100b b A bb ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 10101110b bB bb ε⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ . 6. 求下列矩阵的Jordan 标准形J 及其相似变换阵P .(1) 301121103⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) 170250109013-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(3)120020221⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦(4) 460350361⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(5) 211212112--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7. 用求秩方法求下列矩阵的Jordan 标准形.(1) 1231123123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2)3131131331311313 --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎪--⎝⎭ (3)3411451100320021--⎛⎫⎪--⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭(4) 111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ (5)308316205⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(6) 142034043⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7) 211221121-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(8)131011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (9) 126103114--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. (10)4000040030400304⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(11)1110110100240012-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭，(12)(0)n na a a a a aa A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭8. 试写出两个矩阵，它们的Jordan 标准形都是200011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 9. 设1221A --⎛⎫=⎪-⎝⎭，求00A B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0A I C A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的Jordan 标准形.10. 利用Jordan 标准形证明： 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .11. 已知A 的Jordan 标准形J ，b 为复数. 证明：()()k k rank bI A rank bI J -=-. 12. 已知5阶方阵A 适合条件223, 2, ()4, ()3rankA rankA rank A I rank A I ==+=+=.求A 的Jordan 标准形J . 13. 已知n 阶方阵A 满足10nn A A-=≠，求其Jordan 标准形为J .14. 利用方阵A 的Jordan 标准形证明：如果1()()k k rank A rank A r +==，则对任何自然 数l 必有 ()k l rank A r +=.15. 设b 是n 阶方阵A 的k 重特征值，证明：()k rank A bI n k -=-.16. 设n 阶上三角阵0A ≠，且主对角元都是0.则A 的Jordan 标准形不是对角阵.∽∽∽例 已知8阶方阵A 适合：23(2)4, (2)1, (2)0rank A I rank A I A I -=-=-=， 求A 的Jordan 标准形J .解 按差分格式， 有 1284143 211l l •==2100210022102210202J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.另外可知100001000012,00010000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦200100000000(2)00000000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 3(2)0J I -=例 求以下矩阵的Jordan 标准形，并求变换阵P ，使1P AP J -=.111111201232011212202A ⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 特征多项式为5||(1)(2)I A λλλ-=-- 令2λ=1111110012300112012000A I -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭， 2111033000120000()000000A I --⎛⎫⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3111021000000000()000000A I ---⎛⎫⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)4r A I -=， 2(2)2r A I -=， 3(2)1r A I -=， 4(2)1r A I -=令 012346, 4, 2, 1, 1r r r r r =====，按差分格式，有 123620421 21111l l l •===得知2λ=共有2个Jordan 块（1个2阶块，1个3阶块）： 2102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 210021002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭另外1λ=是单根，它对应1阶的Jordan 块为 1(1) J =，可知Jordan 标准形为 1210212212J ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 另外可求得变换矩阵为 131040034010003033003000000102000201P --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭， 它满足AP JP =，即 1P AP J -=。