山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末数学试题及答案

2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．若()1,2,3AB =-，()1,1,5BC =--，则AC =（ ）A B C ．5 D ．10 【答案】A【分析】先求出AC ,再利用向量的模长计算公式即可【详解】因为(1,2,3)(1,1,5)(0,1,2)AC AB BC =+=-+--=-所以2||0AC =故选:A2．直线420x ay -+=与直线2x －y +7=0平行，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据直线平行可得方程4(1)()2a ⨯-=-⨯，即可得到答案.【详解】两直线平行，所以有4(1)()22a a ⨯-=-⨯⇒=,故选：B.3．在等比数列{}n a 中，且3944a a a =，则8a =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 【答案】C【分析】利用等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，即可计算出8a 的值.【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；所以483944a a a a a ==，因为40a ≠，所以84a =.故选：C.4．已知{},,a b c 是空间向量的一个基底，{,,}a b a b c +-是空间向量的另一个基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．(4,0,3)B ．(1,2,3)C ．(3,1,3)D ．(2,1,3)【答案】C【分析】设出p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，利用对照系数，得到方程组，求出结果.【详解】∵p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)∴=423p a b c ++设p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(),,x y z则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+ 对照系数，可得：423x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得：313x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为()3,1,3故选：C5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根极值与导函数的关系确定()f x '在2x =-附近的正负，得()xf x '的正负，从而确定正确选项．【详解】由题意可得()20f '-=，而且当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，此时()0xf x '>，排除B 、D ； 当()2,0x ∈-时，0f x ，此时，()0xf x '<，若()0,x ∈+∞，()0xf x '>，所以函数()y xf x '=的图象可能是C ．故选：C6． 如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是A ．277B ．52C ．72D ．7【答案】C【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒，可得222214962c a a a =+-⨯， 2247c a =，所以双曲线的离心率为：72e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．7．若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．()1,4-C ．()1,0-D ．[)0,4【答案】B 【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆221:(1)1C x y m -+=+与圆222:(2)4C x y m ++=-恰有2条公切线，所以10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨< 解得1 4.m -<<故选：B ．8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”.如取3m =，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得7n =.则下列命题错误的是（ ）A ．若2n =，则m 只能是4B ．当17m =时，12n =C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若7n =，则m 的取值集合为{}3,20,21,128【答案】C【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可判定.【详解】对于A ，2n =，逆推124→→，m 只能是4，故A 对；对于B ，17m =时，175226134020105168421→→→→→→→→→→→→，12n =，故B 对；对于C ，3m =时，7n =，4m =时，421→→，2n =，故C 错，对于D ，7n =时，逆推128326421124816205103⎧⎧→→⎨⎪⎪⎩→→→→→⎨⎧⎪→→⎨⎪⎩⎩，故D 对. 故选：C.二、多选题9．两个学校1W ，2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()1W t ，()2W t 与时间t （天）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．1W 比2W 节能效果好B ．1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大【答案】AB【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项.【详解】由图象可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()1W t W =在1=t t 处的切线比曲线()2W t W =在1=t t 处的切线要“陡”，所以1W 比2W 节能效果好，A 正确，C 错误； 由图象可知，()()()()1012020000W t W W t W t t --<， 则1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 选项正确； 由于曲线()1W t W =和曲线()1W t W =不重合，D 选项错误．故选：AB10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1333AB AD AA ===，点P 为线段1A C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．当112AC A P =时，1B ，P ，D 三点共线 B ．当1AP AC ⊥时，1AP D P ⊥C ．当113AC A P =时，1//D P 平面1BDC D ．当115AC A P =时，1A C ⊥平面1D AP 【答案】ACD【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点P 的坐标，根据空间向量公式，可得答案.【详解】由题意，如图建系：则1(0,0,0)3,0)(0,0,1)D C D ，，，11(1,0,0)(1,0,1)(13,0)3,1)A A B C ，，，，设11AC k A P =，1(13,1)AC =--，则1131A P k k ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 可得11111311D P D A A P k k ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，11131AP AA A P k k ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 对于A ：当112AC A P =时，则点P 为对角线1A C 的中点， 根据长方体性质可得1,,B P D 三点共线，故A 正确；对于B ：当1AP AC ⊥时， ∴113110AP AC k k k⋅=++-=，解得5k =， 所以13455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，143155D P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭则113443143405555252525AP D P ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1AP D P ⊥不正确，故B 错误；对于C ：当113AC A P =时，12133D P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，1(1,3,0),(0,3,1)DB DC ==，∴0n DB x ⋅==，130n DC y z ⋅=+=，当1y =-时，x =z =(3,n =-，∴121033n D P ⋅==，∴1n D P ⊥， 又1D P ⊄平面1BDC ，∴1//D P 平面1BDC ，故C 正确；对于D ：当115AC A P =时，可得1455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1(1,01)D A =-， 设平面1D AP 的法向量为(,,)m a b c =，则14055m AP a c ⋅=-++=，10m D A a c ⋅=-=，取1a =-，则1b c ==-，∴(1)m =--，而1(11)AC =--，∴1//AC m ，∴1A C ⊥平面1D AP ，故D 正确． 故选：ACD11．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为F ，准线为l ，PQ 是过焦点F 的一条弦，点)(2,2A ，则下列说法正确的是（ ）A ．焦点F 到准线l 的距离为2B ．焦点)(1,0F ，准线方程:1l x =-C ．PA PF +的最小值是3D ．以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切【答案】ACD【分析】对A ：由抛物线方程及焦点F 到准线l 的距离为p 即可求解；对B ：由抛物线方程即可求解；对C ：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解； 对D ：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【详解】解：对B ：由抛物线2:4C x y =，可得()0,1F ，准线 :1l y =-，故选项B 错误；对A ：由抛物线2:4C x y =，可得24p =，即2p =，所以焦点F 到准线l 的距离为2p =，故选项A 正确；对C ：过点P 作PP l '⊥，垂足为P '，由抛物线的定义可得PF PP ='， 所以PA PF PA PP +=+'≥3d =（d 为点)(2,2A 到准线l 的距离），当且仅当A 、P 、P '三点共线时等号成立， 所以PA PF +的最小值是3，故选项C 正确；对D ：过点P 、Q 分别作PP l '⊥，QQ l '⊥，垂足分别为P '、Q '，设弦PQ 的中点为M ，则弦PQ 为直径的圆的圆心为M ，过点M 作MM l '⊥，垂足为M '，则MM '为直角梯形PP Q Q ''的中位线，()12MM PP QQ '''=+， 又根据抛物线的定义有PP PF '=，QQ QF '=，所以()1122MM PF QF PQ '=+=， 所以以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切，故选项D 正确；故选：ACD.12．函数()()1cos 02f x x x x =+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ，设n S 是{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．4176a π=C ．3a 为函数()f x 的极小值点D ．20211sin 2S = 【答案】BD【分析】首先求出函数的导函数，令()0f x '=，根据正弦函数的性质即可求出函数的极值点，再求出2021S ，利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为()()1cos 02f x x x x =+>，所以1sin 2f x x ， 令()0f x '=，即1sin 2x =可得26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 易得函数的极值点为26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 从小到大为6π，56π，136π…，不是等差数列，A 错误； 4517266a πππ=+=，B 正确； 函数()f x 在区间513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在区间1317,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，所以3a 为函数()f x 的极大值点，C 错误；2021122021513171010266666S a a a ππππππ⎛⎫=+++=++++++⨯ ⎪⎝⎭， 1351751010210092666666ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⨯+++++⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 则根据诱导公式得2021sin s 16in2S π==，D 正确； 故选：BD ．三、填空题13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130a a +=，721S =，则公差d =__________.【答案】32【分析】根据题意列出方程，即可求得答案.【详解】由题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，130a a +=，721S =，可得10a d +=，且172121a d +=，则1a d =-，且133a d +=，解得32d =， 故答案为：3214．一条直线l 经过)3P-，并且倾斜角是直线y =的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________．【答案】y =【分析】先求出直线3y x =的倾斜角，从而可求得直线l 的倾斜角，则可求出直线l 的斜率，进而可求出直线l 的方程 【详解】因为直线3y x =的斜率为3， 所以直线3y x =的倾斜角为3π， 所以直线l 的倾斜角为23π， 所以直线l 的斜率为2tan33π=-， 因为直线l 经过()3,3P -， 所以直线l 的方程为33(3)y x +=--，即3y x =-，故答案为：3y x =-15．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以A 为坐标原点, 射线,,AB AD AQ 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系．令两正方形边长均为2．则()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2A E F M ,()()1,1,2,2,1,0EM AF ∴=-=,21030cos ,3065EM AF EM AF EM AF⋅-++∴〈〉===-⨯⋅,设异面直线EM 与AF 所成的角为θ,30cos cos ,30EM AF θ∴=〈〉=． 【解析】异面直线所成的角．四、双空题16．如图，圆O 与离心率为32的椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d1，d2，则2212d d +的最大值是_________；此时P 点坐标为_________．【答案】163； 4213⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【详解】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得2212d d +的数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果. 详解：由题意知：22231,c b c b a a ==+=解得2,1,3a b c === 可知：椭圆C 的方程为2214x y +=，圆O 的方程为221x y +=.设()00,P x y ，因为12l l ⊥,则()2222212001d d PM x y +==+-, 因为220014x y +=，所以()2222212000116441333d d y y y ⎛⎫+=-+-=-++ ⎪⎝⎭, 因为011y -，所以当031y =-时，2212d d +取得最大值为163,此时点421()3P -. 点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.五、解答题17．已知函数()ln a x f x bx=+在1x =处的切线方程为220x y --=. (1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值. 【答案】(1)()2ln xf x x=；【分析】（1）由题可得()()21ln a x f x x -'=，然后利用导数的几何意义即求； （2）由题可得切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，即得.【详解】（1）∵函数()ln a xf x b x =+，∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x x -'=， ∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =， ∴()f x 的解析式为()2ln xf x x=； （2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln xf x x=在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为d ==，故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=18．已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前三项．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n a n =+，12n n b +=(2)2(21)24n n S n +=-⋅+【分析】（1）设公差为d ，由23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列，利用“1,a d ”法和“1,a q ”法求解；（2）由（1）得到1(21)2n n n n c a b n +==+⋅，利用错位相减法求解.【详解】（1）解：因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==， 即得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+，又因为21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前三项， 所以()()()2324311a a a a +=-⋅+，即64(6)(14)d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去）， 所以132743a a d =-=-=，所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故得21n a n =+，由题意得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，故11422n n n b -+=⋅=.（2）设1(21)2n n n n c a b n +==+⋅，则2341325272(21)2(21)2n n n n n S +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅①，在上式两边同时乘以2得，341223252(21)2(21)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，②，-①②得，()23412322222(21)2++-=⋅+++⋅⋅⋅+-+⋅n n n S n ，24(12)2+=-+-⋅n n ,所以2(21)24n n S n +=-⋅+．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ，B ，C 坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ．(1)当E 点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭时，求过点E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；(2)求BOE 与ABE △面积之和S 的最小值． 【答案】(1)30x y -=或20x y +-=或10x y -+=；(2)【分析】（1）根据给定条件，分直线过原点与不过原点，结合直线方程的截距式求解作答. （2）设点E 的横坐标为t ，根据给定条件求出t 的范围，再将S 表示为t 的函数，并求出最小值作答.【详解】（1）令过点13(,)22E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l ，当直线l 过原点时，直线l 在x ，y 轴上的截距都为0，其方程为3y x =，当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a +=或1x y a a+=-，于是得13221a a +=或13221a a +=-，解得=2a 或1a =-，直线l 的方程为2x y +=或1x y -=-， 所以所求方程为：30x y -=或20x y +-=或10x y -+=.（2）依题意，直线:122x yBC +=，因点E 在线段BC 上，则设点(,2)E t t -，02t ≤≤，设00(,0),0A x x <，0(,1),(,1)PE t t PA x =-=-，由//PE PA 得：0(1)x t t -=-，显然1t ≠，则01tx t=--，有01t <<， 111||(2)2,||(2)(2)(2)2221BOE ABE t SOB t t S AB t t t =⋅-=-=⋅-=+--， 1(2)112(2)(2)2(2)2[3(1)]212(1)21t t t S t t t t t t t -=-++-=-+=+-+---22≥=+当且仅当13(1)1t t -=-，即1t =时取等号，所以BOE 与ABE △面积之和S 的最小值20．如图，四棱锥P ABCD -中，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点.（1）证明：//CE 平面PAB ； （2）求直线CE 与平面PAB 间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）55. 【分析】（1）取PA 的中点M ，连接BM ､EM ，易证四边形BCEM 为平行四边形，故//CE BM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由//CE 平面PAB ，知点E 到平面PAB 的距离即为所求.设1BC =，取AD 的中点N ，连接BN ､PN ，可证PNAD ，BN AD ⊥，进而推出BC ⊥平面PNB ；于是以B 为原点，BC ､BN 分别为x ､y 轴，在平面PNB 内，作Bz ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，可证BC PB ⊥，从而求得3PB =，120PNB ∠=︒，写出点P ､E 的坐标，根据法向量的性质求得平面PAB 的法向量n ，由点E 到平面PAB的距离·n BE d n=即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点M ，连接BM ､EM ，E 为PD 的中点，//EM AD ∴，12EM AD BC ==， ∴四边形BCEM 为平行四边形，//CE BM ∴，CE ⊄平面PAB ，BM ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB .（2）//CE 平面PAB ，∴点E 到平面PAB 的距离即为所求. 设222PC AD DC CB ====，取AD 的中点N ，连接BN ､PN ，则四边形BCDN 为矩形，1BN CD ==PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PN AD∴⊥，112PN AD==，BN AD⊥，PN BN N，PN､BN⊂平面PNB，AD∴⊥平面PNB，//BC AD，BC∴⊥平面PNB，BC ⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PNB，以B为原点，BC､BN分别为x､y轴，在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B，()1,1,0A-，()1,1,0DBC ⊥平面PNB，BC PB∴⊥，在Rt PBC△中，PB==1BN PN==，120PNB∴∠=，30,2P⎛∴⎝⎭，15,24E⎛⎝⎭30,2BP⎛=⎝⎭，()1,1,0BA=-，15,24BE⎛=⎝⎭，设平面PAB的法向量为(),,n x y z=，则·0·0n BPn BA⎧=⎨=⎩，即32yx y⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，令1x=，则1y=，z=∴(1,1,n=-，∴点E到平面PAB的距离152n BEdn+⋅====，故直线CE与平面PAB【点睛】方法点睛：求空间中点P到平面α的距离，向量方法:先在平面α内选一点A，确定PA的坐标，在确定平面α的法向量n，最后代入公式n PAdn⋅=求解.也通常采用三棱锥等体积求解.21．已知双曲线221.416x y-=(1)过点(1,4)N的直线与双曲线交于,S T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；(2)直线l：(2)y kx m k=+≠±与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程. 【答案】(1)30.x y -+= (2)221(0)10025x y y -=≠.【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案； （2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ， 两式相减得22221212416x x y y --=，即121212124y y x x x x y y -+=⨯-+， 因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯， 即直线ST 的斜率为1，所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3yx ,联立方程组2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>， 故直线ST 的方程为30.x y -+=（2）联立方程组22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=， 因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ， 根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩ ，得224(4)m k =-， 则244M km k x k m ==--,则4(16)Mk m y k mm =⨯+=--, 所以M 的坐标为416(,)k m m--，其中0km ≠， 因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()ky x m k m+=-+， 令0y =，得020kx m =-，令0x =，020y m=-，所以222202224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+，故点00(,)P x y 的轨迹方程为：221(0)10025x y y -=≠. 【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解. 22．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点.(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)P 为矩形场地AD 边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP 的距离为23，且直线FP 与点M 的轨迹没有公共点，求P 点横坐标的取值范围.【答案】(1)224164()0393x y x ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭43127a【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME vv=，利用两点间的距离公式可得答案.(2)由题意可得点M 的轨迹所在圆的圆心到直线FP 的距离14,23d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，点M 的轨迹与y 轴的交点N到直线FP 的距离223d ≥，从而可得答案.【详解】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()(0,2),0,4E F ， 设成功点(,)M x y ，可得2MF ME vv=2222(2)(4)x y x y +-+-化简得22416()39x y +-=因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤故所求轨迹方程为224164()0393x y x ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭（2）设(),0P a ，直线FP 方程为14xy a+=直线FP 与点M 的轨迹没有公共点,则圆心403（，）到直线FP 的距离大于43r =依题意，动点P 需满足两个条件：点M 的轨迹所在圆的圆心403（，）到直线FP 的距离14,23d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即1244432316a a d a -<=<+,43127a <②点M 的轨迹与y 轴的交点80,3N ⎛⎫⎪⎝⎭到直线FP 的距离223d ≥即228423316a a d a -+,解得43a 综上所述，P 43127a <。

2021-2022学年山东省潍坊市高密第一中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．参考答案：A2. 已知非常数数列｛a｝，满足 a-a a+a=0且a≠a, i=1、2、3、…n,对于给定的正整数n,a=a,则等于（）A 2B -1C 1D 0参考答案：D3. 如图，已知边长为a的正三角形ABC内接于圆O，D为BC边中点，E为BO边中点，则为（）A. B. C. D.参考答案：B【详解】如图，是直角三角形，是等边三角形，，，则与的夹角也是30°，∴，又，∴．故选B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题时可通过平面几何知识求得向量的模，向量之间的夹角，这可简化运算．4. （）A. B. C. D.参考答案：C【分析】把角及函数名称变换为可用公式的形式．【详解】．故选C．【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，解题关键是把函数名称和角变换成所用公式的形式．不同的变换所用公式可能不同．5. 已知，，，则等于A. B. C.D.参考答案：D略6. 下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（）A．y=x+1 B．y=﹣x3 C．y=﹣D．y=x|x|参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象的特点，减函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，奇函数的定义，二次函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找到正确选项．【解答】解：A．根据y=x+1的图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误；B．x增大时，﹣x3减小，即y减小，∴y=﹣x3为减函数，∴该选项错误；C.在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=x|x|为奇函数，；y=x2在[0，+∞）上单调递增，y=﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，且y=x2与y=﹣x2在x=0处都为0；∴y=x|x|在定义域R上是增函数，即该选项正确．故选：D．7. 在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25参考答案：A【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A8. 下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？(1) y=()2 ; (2) y= ; (3)y=; (4)y=.参考答案：C略9. 已知角为第四象限角，且，则（A）（B）（C）（D）参考答案：A略10. “”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为▲ ．参考答案：12.（5分）已知直线l⊥平面α，直线m ?平面β，则下列四个命题： ①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l∥m； ③l∥m ?α⊥β； ④l⊥m ?α∥β其中正确命题的序号是 ．参考答案：①③考点： 平面的基本性质及推论． 专题： 计算题．分析： 直线l⊥平面α，直线m ?平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m 或l 与m 异面或相交，当l∥m 有α⊥β，当l⊥m 有α∥β或α∩β，得到结论 解答： 直线l⊥平面α，直线m ?平面β， 当α∥β有l⊥m，故①正确当α⊥β有l∥m 或l 与m 异面或相交，故②不正确 当l∥m 有α⊥β，故③正确，当l⊥m 有α∥β或α∩β，故④不正确，综上可知①③正确， 故答案为：①③点评： 本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是看出在所给的条件下，不要漏掉其中的某一种位置关系，本题是一个基础题．13. 函数的定义域是 ．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x 的不等式，解出即可． 【解答】解：由题意得：（x+2）（x ﹣2）＞0， 解得：x ＞2或x ＜﹣2，故函数的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 14. 如右图，棱长为的正方体中，为线段上的动点(不含端点)，下列结论： ①与平面所成角为 ② ③二面角的大小为④的最小值为其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）参考答案：②③④15. 已知集合A={x| -3x-10≦0},B={x|m+3≦x≦2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围___________________。

山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有( ) A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条〖解 析〗如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有：BC ，CD ，11C D ，11B C ． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若向量//a b ，//b c ，则//a c B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．方向不同的两个向量不可能是共线向量D ．若向量(3,6)a =--，则a 分别在x 轴，y 轴上的投影的数量之和为9-〖解 析〗A ．若a 与c 不共线，0b =，满足//a b ，//b c ，则得不出//a c ，A 错误； B ．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B 错误； C ．方向相反的两个向量共线，C 错误；D.(3,6)a =--在x 轴上的投影为3-，在y 轴上的投影为6-，D 正确．〖答 案〗D3．下列各式化简结果为12的是( ) A ．212cos 75-︒ B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan20tan25tan20tan25︒+︒+︒︒〖解 析〗对于A ，原式1(1cos150)cos150cos30=-+︒=-︒=︒=，故错误； 对于B ，原式1111sin302224=︒=⨯=，故错误；对于C ，原式1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin302=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故正确； 对于D ，原式tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan25=︒+︒-︒︒+︒︒tan45(1tan20tan25)tan20tan251tan20tan25tan20tan251=︒-︒︒+︒︒=-︒︒+︒︒=，故错误．〖答 案〗C4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式1()n n z f z +=，n N ∈，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，⋯，n z ，⋯．若2()f z z =，01z i =-，当3n 时，(n z = ) A ．122n -B ．22nC ．122n +D ．14n -〖解 析〗依题意，21(1)2z i i =-=-，22(2)4z i =-=-，243(4)2z =-=， 当3n 时，0n z >，由21n n z z +=，得：212log 2log n n z z +=，而23log 4z =，则2122n nlog z log z +=，当4n 时，252622422323242521n n n log z log z log z log z log z log z log z log z log z log z -=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯31422n n --=⨯=， 23log 4z =满足上式，∴当3n 时，12log 2n n z -=，122n n z -=．〖答 案〗A5．在ABC ∆中，若3AB =，4BC =，30C =︒，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定〖解 析〗3AB =，4BC =，AB BC <，C A ∴<，A ∴必为大于30︒的角，故A 可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解．〖答 案〗B 6．若tan 2θ=-，则sin cos2(sin cos θθθθ=- )A ．65-B ．25-C ．25D ．65〖解 析〗因为tan 2θ=-，所以sin cos2sin cos θθθθ-22sin ()sin cos cos sin θθθθθ-=-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ+-=-2sin cos sin θθθ=--222sin cos sin sin cos θθθθθ--=+22tan 1tan tan θθθ--=+2441-=+25=-． 〖答 案〗B7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，且AF CE G =，则( )A ．12AF AD AB =-B ．2133AG AD AB =- C ．1()2EF AD AB =+D ．3BG GD =〖解 析〗E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，∴12EF AC =， AC AD AB =+，∴1()2EF AD AB =+，故选项C 正确； 12AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 错误； 221333AG AF AD AB ==+，故选项B 错误； 2BG GD =，故选项D 错误．〖答 案〗C8．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．725(,]26C ．814(,]33D ．28(,]33〖解 析〗函数()cos (0)2cos()3f x x x x πωωωω=>=+，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，(33x ππω+∈，)3πωπ+， 353ππωππ∴<+，求得81433ω<． 〖答 案〗C二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )A ．正四棱台的高为2BC ．正四棱台的表面积为20+D〖解 析〗对于A ，正四棱台上下底面对角线长为，∴正四棱台的高h ==错误；对于B ，正四棱台的斜高h '==B 正确；对于C ，正四棱台侧面积为14(24)2⨯⨯+4，16，∴正四棱台的表面积41620S =++=+C 正确；对于D ，正四棱台的体积1(416)3V =D 正确．〖答 案〗BCD10．设1z ，2z ，3z 为复数，且30z ≠，则下列命题正确的是( ) A ．若12||||z z =，则12z z =± B ．若1323z z z z =，则12z z = C ．若2313||z z z =，则13z z =D ．若21z z =，则1323||||z z z z =〖解 析〗当11z =，2z i =时，12||||z z =，但12z z ≠±，故选项A 错误；1323z z z z =，且30z ≠，12z z ∴=，故选项B 正确；当1z i =，3z i =-时，2313||z z z =，但13z z ≠，故选项C 错误； 若21z z =，则1313||||||z z z z =⋅，23231313||||||||||||||z z z z z z z z =⋅=⋅=⋅， 故选项D 正确． 〖答 案〗BD11．已知函数()cos(2)12f x x π=+，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点7(,0)24π-对称D ．函数()f x 在(0,)4π上单调递减〖解 析〗对于函数()cos(2)12f x x π=+，对于A ：函数的最小正周期为22ππ=，故A 错误； 对于B ：当1124x π=时，1124()cos 12424f ππ==-，故B 正确； 对于C ：当724x π=-时，7142()cos()cos()02424242f ππππ--=+=-=，故C 正确； 对于D ：当(0,)4x π∈时，72(,)121212x πππ+∈，故函数在该区间上单调递减，故D 正确．〖答 案〗BCD12．在ABC ∆中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC =，BQ QC λ=，BD DP μ=，AD mDQ =，则下列结论正确的为( )A ．若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B ．若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C ．若121tλ-=时，则121t μ-=D ．(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++ 〖解 析〗由题意得：1t AC AP t +=，1m AQ AD m+=，BQ QC λ=， ()AQ AB AC AQ λ-=-，即111AQ AC AB λλλ=⋅+⋅++， 即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅⋅+⋅++， 所以111111t m mAD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为B ，D ，P 三点共线，所以1111111t m mt m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =，且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得23m =，1BP BD μμ+=，1BC BQ λλ+=，AP tPC =， ∴()BP BA t BC BP -=-，即111t BP BC BA t t=⋅+⋅++， 即11111t BD BC BA t t μλμλ++=⋅⋅+⋅++，所以111111t BD BC BA t t λλλλλλ+++=⋅⋅+⋅++，因为A ，D ，Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++， 当12t =，且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得9μ=，故A 正确； 若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，，113112t t t λλ+⋅+=++，解得12λ=，13t =，故B 错误； 1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为1111t t t t λλλμ++=+++①， 若121t λ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得1111t μ-=+， 假设1111t μ-=+成立，则121t t=+，解得2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错，同理可得1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t m μμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以111111(1)(1)t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，111111(1)(1)m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++， 所以(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++．故D 正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡的相应位置． 13．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin a c b B +-=，则B = ．〖解析〗因为222sin a c b B +-=，所以由余弦定理可得2cos sin ac B B =，所以可得tan B =， 又(0,)B π∈，则3B π=．〖答 案〗3π14．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为 ． 〖解 析〗如图，设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面中心分别为E ，F ，则由正三棱柱与球的对称性可知EF 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球心， OA ∴即为外接球的半径R ，设正三角形ABC 的截面小圆半径为r ，又正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，∴由正弦定理可得12sin 60r =︒，∴r =，又12EF AA ==，1OF ∴=，在Rt AOF ∆中由勾股定理可得222r OF R +=，∴2113R +=，∴243R =，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24164433R πππ=⨯⨯=． 〖答 案〗163π 15．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A ，B 两点间的距离），现取与A ，B 两点在同一平面内的两点C ，D ，测得C ，D 间的距离为1500米，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为 米．〖解 析〗由题意可知在ADC ∆中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 则1801501515DAC ∠=︒-︒-︒=︒，故1500AD DC ==， 在BDC ∆中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故1801351530DBC ∠=︒-︒-︒=︒，故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠得1500sin 21sin 2CD DCB BD DBC ∠===∠，在ADB ∆中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，22215002150051500=++⨯⨯=⨯，故AB =)． 〖答案〗16．在平面直角坐标系xOy 中，给定1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设O ，A ，B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出OAB ∆的面积为12211||2S x y x y =-．已知三点(1,1)A ，(3,4)B -，2(,8)1tC t +，则ABC ∆面积的最大值为 ． 〖解 析〗依题意，在ABC ∆中，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ， 则ABC ∆的面积为12211||2S x y x y =-， 当(1,1)A ，(3,4)B -，2(1t C t +，8)时，(4,3)AB =-，2(11t AC t =-+，7) 则ABC ∆面积22113|3(1)28||25|2121ABC t t S t t ∆=-+=+++， 显然ABC ∆面积取最大值时，必有0t >，因此，当0t >时，213131353(25)(25)(25)1212242ABC t S t t t t ∆=+=+=++⨯， 当且仅当1t =时取“=”， 所以ABC ∆面积的最大值为534． 〖答 案〗534四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知(3,)A m ，(2,1)B ，(2,1)C -，(,2)D n -是复平面内的四个点，其中m ，n R ∈，且向量AC ，BD 对应的复数分别为1z ，2z ，且1262z z i -=-+． （1）求1z ，2z ； （2）若复数12z tz z +=，t R ∈，在复平面内对应的点Z 在第四象限，求实数t 的取值范围． 解：（1）由已知可得(5,1)AC m =--，(2BD n =-，3)-， 则15(1)z m i =-+-，223z n i =--，所以123(4)62z z n m i i -=--+-=-+，则3642n m -=-⎧⎨-=⎩，解得2m =，9n =，所以15z i =--，273z i =-， （2）因为125(5)(73)(327)(223)73(73)(73)58z t i t t i i t t iz z i i i +--+-+-+-++-+====--+ 在复平面内对应的点在第四象限，则32702230t t -+>⎧⎨-+<⎩，解得322273t <<，即实数t 的范围为3222(,)73． 18．（12分）已知向量(1,2)a =，(2,5)b =-，2()c a tb t R =+∈． （1）若c b ⊥，求t 的值；（2）若c 与a 的夹角为锐角，求t 的取值范围． 解：（1）c b ⊥，(22,45)c t t =-+，∴2(22)5(45)0c b t t ⋅=--++=，∴1629t =-； （2）c 与a 的夹角为锐角，∴0c a ⋅>，且c 与a 不共线，∴222(45)0452(22)0t t t t -++>⎧⎨+--≠⎩，解得54t >-且0t ≠，t ∴的取值范围为：504t t t ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭且．19．（12分）在ABC ∆中，点P 在边BC 上，3C π=，4AP =，记AC 的长为m ，PC 的长为n ，且16mn =． （1）求APB ∠；（2）若ABC ∆的面积为sin PAB ∠． 解：（1）在APC ∆中，由于3C π=，AC m =，PC n =，16AC PC mn ⋅==，所以利用余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，整理得：22216()3m n mn m n mn =+-=+-，解得8m n +=，故4m n ==， 则：AC PC AP ==，所以APC ∆为等边三角形，所以23APB π∠=． （2）由ABC S ∆=，所以1sin 2AC BC ⋅⋅⋅=7BC =，则3BP =；如图所示：作AD BC ⊥交BC 于点D ，由（1）可知：在等边三角形APC 中，AD =2PD =，在Rt ABD ∆中，AB = 在ABP ∆中，利用正弦定理：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，整理得：3sin74PAB ∠==．20．（12分）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1)．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2)．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据： 3.14)π≈；（2）若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点)S ，从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：618339.12S rl ππ==⨯⨯≈， 需要的鲜花为：339.125016956⨯=（朵)； （2）圆锥的侧面展开图如图：122183ASC ππ∠==，18SA =，6SC =，在SAC ∆中，AC ==即灯光带的最小长度为米．21．（12分）已知函数5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 解：（1）5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++ sin 2cos cos2sin 2cos()sin()6644x x x x ππππ=-+++12cos2sin(2)22x x x π=-++12cos2cos22x x x =-+12cos22x x =+sin(2)6x π=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，所以36k x k ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：[3k ππ-+，]6k ππ+，k Z ∈．（2）函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点， 即曲线sin(2)6y x π=+与直线y k =在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个交点， 由11[,]612x ππ∈-，可得2[66x ππ+∈-，2]π， 当11[,]612x ππ∈-时，()sin(2)[16f x x π=+∈-，1]， 设26t x π=+，则sin y t =，[6t π∈-，2]π，当(1k ∈-，1)(02-⋃，1)时，曲线sin y t =与直线y k =区间[6t π∈-，2]π上有且仅有两个交点．22．（12分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，()f x 图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，3x π=-是()f x 的一条对称轴，且()(1)6f f π>． （1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()t x 的图像，若存在1x ，2x ，⋯，m x 满足1205m x x x π<<⋯<，且1223|()()||()()|t x t x t x t x -+-+⋯+1|()()|20(2m m t x t x m --=，*)m N ∈，求m 的最小值；（3）令()()cos2h x f x x =-，()[()]g x h h x =，若存在[,]123x ππ∈使得2()(2)()30g x a g x a +-+-成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意，周期22T ππ=⨯=，故22,()sin(2)f x x πωϕπ===+， 且2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈， 因为||ϕπ<，故766ππϕπ=-=或75266ππϕπ=-=-， 故()sin(2)6f x x π=+或5()sin(2)6f x x π=-．当()sin(2)6f x x π=+时，()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯+==+<， 故()sin(2)6f x x π=+成立；当5()sin(2)6f x x π=-时， 55()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯-=-=->-．综上有()sin(2)6f x x π=+； （2）由题意，()sin[2()]sin 2126t x x x ππ=-+=，根据题意，要使m 的值尽量小， 则1|()()|m m t x t x --要尽量大．又1|()()|2m m t x t x --，结合()sin 2t x x =的图象可得，当12345673579110,,,,,,444444x x x x x x x ππππππ=======， 8910111213151719,,,,54444x x x x x πππππ=====时， m 的取值最小为12，（3）由（1）()2sin(2)6f x x π=+，所以1()()cos2sin(2)cos2cos2cos262h x f x x x x x x x π=-=+-=+-12cos2sin(2)26x x x π=-=-， 当[,]123x ππ∈时，0262x ππ-， 0()1h x ∴，所以，2()2666h x πππ---，所以，1()[()]sin[2()][,sin(2)]626g x h h x h x ππ==-∈--， ∴1()1[,1sin(2)]26g x π+∈+-，2223ππ<<，∴2362πππ<-<sin(2)16π<-<， 由2()(2)()30g x a g x a +-+-，可得2()2()3[()1]g x g x a g x +++，所以，22()2()3[()1]22()1()1()1()1g x g x g x a g x g x g x g x ++++==+++++，由基本不等式可得2()12[()()1g x g x g x ++++，当且仅当1()1[,1sin(2)]26g x π++-时，等号成立，所以，22a ．即a ∈)+∞．。

2021-2022学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝07．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4 10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为011．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为.（注：写出一个满足条件的即可）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A【分析】解出集合A再做判断．解：因为A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，所以ACD选项均错误，故选：B．2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴a+b＞b+b，即a+b＞2b，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴，即，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＜0，即，故D正确．故选：D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．解：对于A，函数y＝x2，定义域为R，y＝x＝x|x|，定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数y＝＝|x|，定义域为R，y＝＝x，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y＝＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y＝x+1，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y＝＝x，定义域为R，y＝x，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，故选：C．5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．解：把四个图象分别叫做A，B，C，D．若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴有可能，所以此时a＝﹣1成立．若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1，此时对称轴，矛盾，所以不成立．故图象为第三个，此时a＝﹣1．故选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）是减函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），故选：C．7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r【分析】利用公式P2＝U2I和，表示出滑动变阻器消耗的电功率，然后利用基本不等式求解即可．解：根据公式P2＝U2I和可得，滑动变阻器消耗的电功率，因为，当且仅当U2＝E﹣U2，即时，此时时，R2消耗的电功率P 最大．故选：B．8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数【分析】根据f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，分别对各个选项进行判断即可．解：由题意函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则f（x+a）﹣b＝﹣f（﹣x+a）+b，则f（x+a）+f（﹣x+a）＝2b，对于A：f（x）＝2x+1，a＝，b＝0，则f（x+）+f（﹣x+）＝2（x+）+1+2（﹣x+）+1＝4≠2b＝0，故A错误；对于B：f（x）＝x3﹣3x2＝x2（x﹣3），a＝1，b＝2，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝（x+1）2（x+1﹣3）+（﹣x+1）2（﹣x+1﹣3）＝﹣4≠2b＝4，故B错误；对于C：若f（x）关于x＝a对称，则f（x）＝f（2a﹣x），令x＝t+a，则f（t+a）＝f（a﹣t），用x替换t，则f（x+a）＝f（a﹣x），故f（x+a）是偶函数，若f（x+a）是偶函数，则f（x+a）＝f（﹣x+a），令h＝x+a，则f（h）＝f（2a﹣h），故f（h）关于h＝a对称，用x替换h，则f（x）关于x＝a对称，故C正确；对于D：f（x﹣1）＝x2﹣4x+8，f（﹣x﹣1）＝x2+4x+8，f（x﹣1）≠f（﹣x﹣1），故f （x﹣1）不是偶函数，故D错误，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，A：由，得．即a2+b2，当且仅当a＝b时取等号，A正确；B：由ab≤（）2＝，得，≥4，当且仅当a＝b时取等号，B错误，C 正确；D：＝＝2+＝4，当且仅当a＝b时取等号，D正确；故选：ACD．10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0【分析】利用根与系数关系与判别式计算判断即可．解：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0中△＝（m﹣3）2﹣4m＝m2﹣10m+9、两根和为3﹣m、两根积为m．若方程有一个正根一个负根，则，解得m＜0，∴A对；若方程有两个正根，则，解得0＜m≤1，∴B对；若方程无实根，则△＝m2﹣10m+9＜0，解得m＜1或m＞9，∴C错；当m＝3时，关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0为x2+3＝0无解，∴D错．故选：AB．11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值【分析】根据函数奇偶性判断A；化简f（x）解析式，根据f（x）的单调性判断B；根据f（x）≠0判断C；根据奇偶性和单调性判断D．解：对于A，函数f（x）＝的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，且f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故A正确；对于B，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）时，f（x）＝＝﹣，当x∈[0，2）∪（2，+∞）时，f（x）＝＝，所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，+∞），故B错误；对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误；对于D，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝﹣为增函数，f（x）＜f（0）＝﹣，当x∈[0，2）时，f（x）＝为减函数，f（x）≤f（0）＝﹣，所以当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝﹣，故D正确．故选：AD．12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．【分析】由条件可知C（A）＝2，根据A*B＝1，可得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，然后分析方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0根的情况，即可得出a的可能取值．解：根据题意，已知A＝{1，2}，则C（A）＝2，又A*B＝1，则C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，若（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0，若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0或﹣，所以①需要x2+ax+2＝0有两根且根不为0或﹣，当△＝0时，a＝±2，当a＝2，此时B＝{0，﹣2，﹣}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣2，此时B＝{0，2，}，C（B）＝3，符合题意，②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3，当a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题题意，综上所述，a可取的值为0，±3，±，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝1．【分析】由{2，m}＝{2m﹣1，2}得m＝2m﹣1．解：∵{2，m}＝{2m﹣1，2}，∴m＝2m﹣1，解得，m＝1，故答案为：1．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为2．【分析】由题意得f（3）＝f（5）＝f（7），故f（7）为所求．解：∵f（x）＝，则f（3）＝f（5）＝f（7）＝7﹣5＝2，故答案为2．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3.（注：写出一个满足条件的即可）【分析】根据题意，将f（x）≤g（x）变形可得b≤x++1，由基本不等式的性质求出b的取值范围，即可得“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件，由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），即﹣x2+bx≤x+，变形可得b≤x++1，又由x∈（0，+∞），则x++1＝+++1≥3+1＝+1，当且仅当x＝时等号成立，若“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），必有b≤+1，即“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件为b≤+1，故满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3，故答案为：b≤3，（答案不唯一）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为[2，4]．【分析】根据题意，分析y＝|x2﹣x﹣2|的单调区间，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，y＝|x2﹣x﹣2|＝，在区间（﹣1，）、[2，+∞）上为增函数，若函数是定义在R上的增函数，则有，解可得2≤a≤4，即a的取值范围为[2，4]；故答案为：[2，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）由x+x＝3结合完全平方公式可求出x+x﹣1的值，进而求出x﹣x﹣1的值，代入所求式子即可求出结果．（2）解方程组，用x表达出y，z的值，代入所求式子化简，即可求出结果．解：（1）∵x+x＝3，∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，∴x2+x﹣2＝47，又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，∴x﹣x﹣1＝，∴＝＝＝＝．（2）由，得，∴＝＝．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交并补运算即可求解；（2）根据所选条件，进行转化，然后结合集合包含关系可求．解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；若选②B∩∁R A＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁R A＝{x|x＜1或x＞7}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）【分析】（1）由矩形的长为xm，求出矩形的宽，中间区域的长，宽，得到定义域，表示出总造价y即可；（2）利用基本不等式求解最值，比较即可得到答案．解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，所以定义域为x∈（4，50），故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；（2）因为x+＝20，当且仅当，即x＝时取等号，所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．【分析】（1）利用奇函数的定义以及奇函数的性质，得到f（0）＝0，结合f（1）＝，求出a，b的值，验证即可；（2）将问题转化为证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，又f（1）＝，所以，解得b＝0，a＝9，所以，经检验，f（x）为奇函数，所以；（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，用定义证明如下：设﹣3≤x1＜x2≤3，则＝＝，因为﹣3≤x1＜x2≤3，所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．【分析】（1）求得二次函数的对称轴，考虑单调性，可得最值；（2）求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，可得最大值，解方程可得a．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝，所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5；（2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]，对称轴为x＝，当≤，即a≤时，f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣；当x＝＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．综上可得a＝﹣．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0以及函数f（x）的最小值为0，列出关于a，b的方程组，求解即可；（2）求出g（x）的解析式，然后确定函数的对称轴，由二次函数的单调性，列出不等式，求解即可；（3）利用函数为偶函数，求出f（x）和F（x）的解析式，由题意得到|m|＞|﹣n|，表示出F（m）+F（n），即可得到答案．解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①，又f（x）的最小值为0，则a≠0，且b2﹣4a＝0②，由①②解得，a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+2x+1，则；（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝，当或，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则，因为mn＜0，由于m，n的对称性，不妨设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，则m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0，所以F（m）+F（n）能大于零．。

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线x -y +1=0的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【详解】直线10x y -+=的斜率1k =，设其倾斜角为0180θθ︒≤︒（＜），tan 1θ∴=，得45θ=︒．故选B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．在二项式()412x +的展开式中，含3x 的项为（ ） A ．332x B ．316x C ．38x D ．34x【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含3x 的项．【详解】解：二项式()412x +的展开式的通项公式为142r r rr T C x +=⋅⋅，令3r =，故开式中含3x 项为33334232x C x =⋅⋅， 故选：A3．已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列一定能得到l α⊥的是（ ） A ．l m ∥，m α⊥ B ．l m ⊥，m α∥C ．αβ⊥，l β∥D ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定BCD 错误.【详解】A. 若m α⊥，则直线m 与平面α内的所有直线都垂直，又l m ∥，∴l 与平面α内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l α⊥，故A 正确；B.若m α∥，设过m 的平面β与α交于n ，则根据线面平行的性质定理可得//m n ，在平面α内，作直线l n ⊥,则l m ⊥，而此时l 在平面α内，故B 错误；C. 若αβ⊥，设=a αβ，在平面α内作直线l a //，则l β⊄，由线面平行的判定定理可得l β∥，而此时l 在平面α内，故C 错误；D.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，l 与平面α可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D 错误. 故选：A.4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．35种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.【详解】从7人中选3人,有3735C =种选法，其中甲、乙都不入选的有3510C =种选法，所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有351025-=种, 故选：C5．已知直线()()1:2220l m x m y +--+=，直线()2:3250l x m y ++-=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2或－5 B ．－2或－5C ．2或5D ．－2或5【答案】D【分析】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=，根据题意即可得到：()()()32220m m m +--+=，然后解得结果即可 【详解】根据题意，由12l l ⊥，则有： ()()()32220m m m +--+= 解得：2m =-或5m = 故选：D6．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为264cm π和236cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接AB ，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD 41cm【答案】A【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为R 和r ,则22464,436R r ππππ==,解得4,3R r ==, 当B 在大球的过A 的半径上时AB 的长最小， ∴AB 长度的最小值是()1R r cm -=, 故选：A7．过等轴双曲线()2220x y a a -=>的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若FMN 的面积为2，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】求出过右焦点F 与y x =垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M 的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN 的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为22221x y a a-=，右焦点()2,0Fa ，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x =， 则过右焦点F 与y x =垂直的直线为2y x a =-+， 联立2y x y x a =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2222x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨取22,22M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则根据对称性得22,22N a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2222221222FMNa a Sa a ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 解得2a = 故选：B.8．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 二、多选题9．已知圆221:1O x y +=的半径为1r ，圆222:3440O x y x y +--+=的半径为2r ，则（ ）A ．12r r >B ．12r r <C ．圆1O 与圆2O 外切D ．圆1O 与圆2O 外离【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.【详解】解：圆221:1O x y +=的半径为11r =，圆()22239:224O x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的半径为232r =，故12r r <,故B 对，A 错；圆心距1252d r r ===+，故圆1O 与圆2O 外切，故C 对，D 错；故选：BC. 10．若()20222202201220221x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．展开式中所有的二项式系数之和为20222B ．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C ．01a =D ．12320220a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为01202220222022202220222C C C ++⋯+=,故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a ++⋯+=,∴1202201a a a +⋯+=-=-,故D 错误. 故选：ABC11．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，1BF =，则（ ）A ．2BD =B ．32p =C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点【答案】ABD【分析】作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，计算得到32p =，逐项分析，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，直线的斜率为3，所以tan 3,HFB ∠=∴,3HFB π∠=所以6BDE π∠=，故||2||2||2DB BE BF ===，故A正确； 又∵1BF =，∴1313,,222p HF HB B ⎛==- ⎝⎭代入抛物线，得32p =（12p =-舍去），故B 正确； 对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：333y x = 2590216x x -+=，即91044x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故94A x =,故点A 到准线的距离为32A px +=，故C 错误； 对于D, 由C 选项得,3AF FD ==, 点F 为线段AD 的中点, 故D 正确. 故选：ABD ．12．如图，点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上运动，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于E ，F 两点．设BP x =，()EF f x =，则（ ）A ．动点E 5B ．线段EF 6C ．324f =⎝⎭ D 33x <<())263f x x =【答案】ABD【分析】作出线段EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可． 【详解】线段EF 运动形成的图形如图所示： 动点E 运动形成的轨迹长度为112154BE ED +=+=A 正确； 线段EF 运动形成的图形为平行四边行1BED F 其面积为1136222222BEFS SEF BP ==⨯⋅=⨯=B 正确； 当3BP =31222f =⎝⎭，故C 错误； 33x <<332x -=())263f x EF x ==，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．计算：2344A C +=______． 【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】234443416A C +=⨯+=故答案为：16.14．已知向量()1,2,3a =-，()1,3,6b λλ=---，若a b ∥，则实数λ=______． 【答案】1- 【分析】由题意可知136123λλ--==--，解方程，即可求出结果. 【详解】因为a b ∥，所以136123λλ--==--，所以1λ=-. 故答案为：1-.15．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答） 【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有336A =种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有1122228A A A =种，故共有6814+=种， 故答案为：14．16．如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．【答案】8 17【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面α也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面α分别交两个球于点1F 和点2F ，则可得：点1F 和点2F 是椭圆的两个焦点当且仅当2G 在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，2G C 为圆柱的高，11O F 为球的半径，则12F F 为2c ，12G G 为2a ，然后建立以1A 为坐标原点，以11A E 为x 轴，以12AG 为y 轴的平面直角坐标系， 易知：21835G A ，113O F圆1O 的方程为：()2239x y -+=设直线12G G 的斜率为k ，则该直线的方程为：5y kx =+ 根据相切可知：点1O 到直线12G G 的距离为32531k k解得：815k =-故直线12G G 的方程为：8515y x则有：196,5G 则123425G G a因1112O F G G ，则直线11O F 的方程为：1538yx联立直线12G G 和直线11O F 的方程：()85151538y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得：17545,1717F 则1195G F a c解得：85c =故椭圆的最大离心率为：817c e a故答案为：817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题. 四、解答题17．已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．(1)求C 的离心率和渐近线方程； (2)若15MF =，求2MF ．【答案】(1)2e =，y = (2)29MF =【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -. (1)由题知：b =4c =所以222a c b =-=所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为3y x =±. (2)由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF =29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18．如图所示，在Rt AOB △中，6OAB π∠=，斜边4AB =．现将Rt AOB △以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=，点D 是线段AB 的中点．(1)求直线CD 与OA 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离． 【答案】63【分析】（1）取OB 中点M ，连接DM ，则可得CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，在CDM 中计算其余弦值即可；（2）过B 作BN OD ⊥交OD 于N ，通过证明BN ⊥面OCD 可得线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，在ODM △中计算BN 的长度即可. (1)取OB 中点M ，连接DM ，CM ,因为D ,M 分别为BA ，BO 的中点，则//DM AO 则CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角， 因为AO ⊥面O ,则DM ⊥面O ， 又CM ⊂面O ，则DM CM ⊥,2BOC π∠=，222215CM OC OM ∴=+=+=，又11343222DM AO ==⨯⨯=, 228CD CM DM ∴=+=36cos 48DM CDM CD ∴∠===, 即直线CD 与OA 所成角的余弦值为64； (2)过B 作BN OD ⊥交OD 于N ， ,,CO OB CO OA OB OA O ⊥⊥=，CO ∴⊥面OAB ，又BN ⊂面OAB ， CO BN ∴⊥，又,BN OD CO OD O ⊥=，BN ∴⊥面OCD ，则线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，232OBDSBN =⨯=，3BN ∴=.即点B 到平面OCD 的距离为3.【点睛】19．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件()1,2,3i A i =表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．(1)分别求()1P BA ，()2P BA ，()3P BA 和()P B 的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1)()1112P BA =，()216P BA =，()313P BA =，()P B 712=.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【分析】（1）利用条件概率公式()()(|)i i i P BA P A P B A =,计算即可求得()1P BA ，()2P BA ，()3P BA ；三式求和即得()P B ；（2）利用条件概率公式分别计算()1|P A B ，()2|P A B ，()3|P A B ，最大者即为所求箱号. (1)由已知可得()()()12313P A P A P A ===,()()()123123|,|,|443P B A P B A P B A ===,∴()111111()(|)3412P BA P A P B A ==⨯=，()222121()(|)346P BA P A P B A ==⨯=，()333131()(|)333P BA P A P B A ==⨯=，∴()P B ()()()1231117126312P BA P BA P BA =++=++=. (2)()()()111112|7712P A B P A B P B ===，()()()22126|7712P A B P A B P B ===，()()()33143|7712P A B P A B P B ===，()3|P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,M p p -在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，且MFN △的面积为3，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；1x =- (2)2340x y -+=或240x y +-= 【分析】（1）将点M 代入计算即可；（2）设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，与抛物线方程联立，消去x ，可求出0y ，再求出直线与x 轴交点坐标，再利用0122MFN S y FQ =-△列方程求解即可. (1)由已知得()221p p p =-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-; (2)由（1）得()1,2M ，()1,0F ，设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，联立()2421y x x k y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得24840y ky k -+-=，024y k ∴+=，则042y k =-又直线l 与x 轴交点坐标为()21,0Q k -+，()0112242211322MFN S y FQ k k ∴=-=--⋅-+-=△ 解得32k或12k =- 所以直线l 的方程为()3212x y =-+或()1212x y =--+， 即2340x y -+=或240x y +-=.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析 21 (3)存在，1AP =【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC ⊥CD ,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD ⊥平面ACEF ,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. (1)∵AD BC ∥，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形， 又∵1AB BC ==，∴∠BAC =45°，AC 2∴∠CAD =45°， 又∵AD =2,∴CD 2222?·cos 4222222AD AC AD AC CAD +-∠=+-⨯⨯⨯= ∴222AC CD AD +=,∴AC CD ⊥,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD ⊥平面ACEF , 又∵AF ⊂平面ACEF , ∴CD ⊥AF(2)∵四边形ACEF 为矩形，∴AF ⊥AC ,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,AF ⊂平面ACEF , ∴AF ⊥平面ABCD ,CE ⊥平面ABCD ∴AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF ⊥平面ABCD ,AF //CE ,∴CE ⊥平面ABCD ， 又∵30EDC ∠=︒，∴CE =CDtan 30°, ∴A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE), DF ⎛=- ⎝⎭,由AC ⊥CE ,AC ⊥CD ,CE ∩CD =C ,∴AC ⊥平面CDE , ∴平面CDE 的法向量为()1,1,0AC =,∴直线DF 与平面CDE所成的角的正弦值为··4AC DFAC DF==(3)若ACEF 为正方形，则与（2）同理可得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.∴A(0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE 设()0,0,(0P t t <,平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()2,0,,2,1,0PD t BD =-=-,则2020x tz x y -=⎧⎨-=⎩,令x t =,则2,2y t z ==,(),2,2n t t =,平面ABD 的法向量为()0,0,1m =, ∴22cos ,3m n t ==+,解得1t =， 在线段AF 上存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23，线段AP 的长为1.22．如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQMD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)2212516x y +=(2)是定值，为15.【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y - ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQMD DQ-即可得答案. (1)设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ， 则由已知2PF r =，110PF r =-， 消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；(2)设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=， 21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+- 令0y =， 得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+， 即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQDQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQMD DQ -∴是定值，且为15.。

2021-2022学年山东省德州市齐河县八年级（上）期末数学试卷试题数：26，总分：1501.（单选题，4分）国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.（单选题，4分）下列计算正确的是（）A.x2•x2=2x4B.（-2a）3=-6a3C.（a3）2=a6D.m3÷m3=m3.（单选题，4分）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A.中线B.角平分线C.高D.中位线4.（单选题，4分）下列变形属于因式分解的是（）A.x2-5x+6=x（x-5）+6B.x2-5x+6=（x-2）（x-3）C.（x-2）（x-3）=x2-5x+6D.x2-5x+6=（x+2）（x+3）的值为0，则x的值为（）5.（单选题，4分）若分式x2−4x+2A.2B.-2C.±2D.46.（单选题，4分）如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=25°，分别以点A和点C为圆心，大于1AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于D，连接AD，则∠BAD的度2数是（）A.50°B.60°C.65°D.75°是完全平方式，那么k的值是（）7.（单选题，4分）要使x2+kx+ 14A.k=±1B.k=1C.k=-1D.k=± 128.（单选题，4分）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE || AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（）A.10B.7C.5D.49.（单选题，4分）已知x+y=5，xy=3，则x 2+y 2=（ ）A.25B.-25C.19D.-1910.（单选题，4分）如图，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，过点P 作PR⊥AB 于点R ，作PS⊥AC 于点S ，若AQ=PQ ，PR=PS ，则下面三个结论： ① AS=AR ； ② QP || AR ； ③ △BRP≌△CSP ，正确的是（ ）A. ① ③B. ② ③C. ① ②D. ① ② ③ 11.（单选题，4分）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（ ） A. 10000x - 9000x−5 =100 B. 9000x−5 -10000x =100 C. 10000x−5- 9000x =100 D.9000x - 10000x−5 =100 12.（单选题，4分）如图，点M 在等边△ABC 的边BC 上，BM=8，射线CD⊥BC ，垂足为点C ，点P 是射线CD 上一动点，点N 是线段AB 上一动点，当MP+NP 的值最小时，BN=9，则AC 的长为（ ）A.无法确定B.10C.13D.1613.（填空题，4分）点P （3，-4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是___ ．14.（填空题，4分）如图，AB 、CD 相交于点O ，AD=CB ，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB ，你补充的条件是___ ．15.（填空题，4分）计算x+4y=5，则，2x •16y =___ ．16.（填空题，4分）一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是___ ．17.（填空题，4分）若关于x 的分式方程 3x x−2 = m2−x +5的解为正数，则m 的取值范围为___ ．18.（填空题，4分）如图，点P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PN⊥OB 于点N ，点M 是线段ON 上一点．已知OM=3，ON=5，点D 为OA 上一点，若满足PD=PM ，则OD 的长度为 ___ ． 19.（问答题，10分）因式分解：（1）ab-a 3b ；（2）（x+1）（x-3）+4．20.（问答题，10分）解方程：（1） x x−3=x+1x−1 ．（2） x+1x−1−4x 2−1=1 ．21.（问答题，8分）先化简，再求值（1- 4a+3）÷ a2−2a+1a2−9，其中a=-2．22.（问答题，8分）已知：如图，∠B=∠C=90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．23.（问答题，10分）如图，格点△ABC在网格中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于直线MN的对称△A'B'C'；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 ___ ；（3）在直线MN上找一点P，使PA+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）．24.（问答题，10分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．25.（问答题，10分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？26.（问答题，12分）（1）方法呈现：如图① ：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC 边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E 使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图② ，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③ ，在四边形ABCD中，AB || CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．2021-2022学年山东省德州市齐河县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：26，总分：1501.（单选题，4分）国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据轴对称图形的定义和图案特点即可解答．【解答】：解：A、是轴心对称图形，故选项符合题意；B、不是轴心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴心对称图形，故选项不符合题意；D、不是轴心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】：本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．2.（单选题，4分）下列计算正确的是（）A.x2•x2=2x4B.（-2a）3=-6a3C.（a3）2=a6D.m3÷m3=m【正确答案】：C【解析】：根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答】：解：A、结果是x4，故本选项不符合题意；B、结果是-8a3，故本选项不符合题意；C、结果是a6，故本选项符合题意；D、结果是1，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．3.（单选题，4分）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A.中线B.角平分线C.高D.中位线【正确答案】：A【解析】：根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】：解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选：A．【点评】：本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并灵活应用．4.（单选题，4分）下列变形属于因式分解的是（）A.x2-5x+6=x（x-5）+6B.x2-5x+6=（x-2）（x-3）C.（x-2）（x-3）=x2-5x+6D.x2-5x+6=（x+2）（x+3）【正确答案】：B【解析】：依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式判断即可．【解答】：解：A、x2-5x+6=x（x-5）+6，右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、x2-5x+6=（x-2）（x-3）是因式分解，故此选项符合题意；C、（x-2）（x-3）=x2-5x+6，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故此选项不符合题意；D、x2-5x+6=（x-2）（x-3），原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】：本题主要考查的是因式分解的意义，掌握因式分解的定义是解题的关键．的值为0，则x的值为（）5.（单选题，4分）若分式x2−4x+2A.2B.-2C.±2D.4【正确答案】：A【解析】：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【解答】：解：要使分式由分子x2-4=0，解得：x=±2．而x=2时，分母x+2=2+2=4≠0；x=-2时分母x+2=0，分式没有意义．所以x=2．故选：A．【点评】：要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．6.（单选题，4分）如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=25°，分别以点A和点C为圆心，大于1AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于D，连接AD，则∠BAD的度2数是（）A.50°B.60°C.65°D.75°【正确答案】：B【解析】：利用基本作图得到MN垂直平分AC，利用线段垂直平分线的性质得DA=DC，所以∠DAC=∠C=25°，则根据三角形外角性质计算出∠ADB，然后利用三角形内角和计算∠BAD的度数．【解答】：解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∴∠ADB=∠DAC+∠C=25°+25°=50°，在△ABD中，∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-50°=60°．故选：B．【点评】：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．是完全平方式，那么k的值是（）7.（单选题，4分）要使x2+kx+ 14A.k=±1B.k=1C.k=-1D.k=± 12【正确答案】：A【解析】：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【解答】：解：∵x2+kx+ 14是完全平方式，x2+kx+ 14=x2+kx+（12）2，∴kx=±2•x• 12，解得k=±1．故选：A．【点评】：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．8.（单选题，4分）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE || AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（）A.10B.7C.5D.4【正确答案】：D【解析】：作DG⊥AC，根据DE || AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°x2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．【解答】：解：如图所示，作DG⊥AC，垂足为G，∵DE || AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°，∴ED=AE=8，DE=4，在Rt△DEG中，DG= 12∴DF=DG=4．故选：D．【点评】：本题主考查了三角形的外角性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟练掌握性质．9.（单选题，4分）已知x+y=5，xy=3，则x2+y2=（）A.25B.-25C.19D.-19【正确答案】：C【解析】：先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【解答】：解：∵x+y=5，xy=3，∴x2+y2=（x+y）2-2xy=52-2×3=19，故选：C．【点评】：本题考查了完全平方公式的应用，能正确根据公式进行变形是解此题的关键．10.（单选题，4分）如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：① AS=AR；② QP || AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ②D. ① ② ③【正确答案】：C【解析】：根据角平分线的判定，先证AP 是∠BAC 的平分线，再证△APR≌△APS （HL ），可证得AS=AR ，QP || AR 成立．【解答】：解：连接AP ，∵PR=PS ，∴AP 是∠BAC 的平分线，∴△APR≌△APS （HL ）∴AS=AR ， ① 正确．∵AQ=PQ∴∠BAP=∠QAP=∠QPA ，∴QP || AR ， ② 正确．BC 只是过点P ，并没有固定，明显△BRP≌△CSP ③ 不成立．故选：C ．【点评】：本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．11.（单选题，4分）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（ ）A. 10000x - 9000x−5=100 B. 9000x−5 -10000x =100 C. 10000x−5- 9000x =100D. 9000x - 10000x−5 =100 【正确答案】：B【解析】：直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【解答】：解：设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为：9000x−5 -10000x =100． 故选：B ．【点评】：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．12.（单选题，4分）如图，点M 在等边△ABC 的边BC 上，BM=8，射线CD⊥BC ，垂足为点C ，点P 是射线CD 上一动点，点N 是线段AB 上一动点，当MP+NP 的值最小时，BN=9，则AC 的长为（ ）A.无法确定B.10C.13D.16【正确答案】：C 【解析】：】根据等边三角形的性质得到AC=BC ，∠B=60°，作点M 关于直线CD 的对称点G ，过G 作GN⊥AB 于N ，交CD 于P ，则此时，MP+PN 的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BN=18，求得MG=10，于是得到结论．【解答】：解：∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，∠B=60°，作点M 关于直线CD 的对称点G ，过G 作GN⊥AB 于N ，交CD 于P ，则此时，MP+PN 的值最小，∵∠B=60°，∠BNG=90°，∴∠G=30°，∵BN=9，∴BG=2BN=18，∴MG=10，∴CM=CG=5，∴AC=BC=13，故选：C．【点评】：本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．13.（填空题，4分）点P（3，-4），则点P关于y轴对称的点的坐标是___ ．【正确答案】：[1]（-3，-4）【解析】：根据关于y轴对称的点的特点解答即可．【解答】：解：∵两点关于y轴对称，∴横坐标为-3，纵坐标为-4，∴点P关于y轴对称的点的坐标是（-3，-4），故答案为（-3，-4）．【点评】：考查关于y轴对称的点的特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．14.（填空题，4分）如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是___ ．【正确答案】：[1]∠A=∠C或∠ADO=∠CBO【解析】：本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一角，所以只要再添加一组对应角或边相等即可．【解答】：解：添加条件可以是：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．∵添加∠A=∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，添加∠ADC=∠ABC根据AAS判定△AOD≌△COB，故填空答案：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．【点评】：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．15.（填空题，4分）计算x+4y=5，则，2x•16y=___ ．【正确答案】：[1]32【解析】：利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入相应的值运算即可．【解答】：解：当x+4y=5时，2x•16y=2x•24y=2x+4y=25=32．故答案为：32．【点评】：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．16.（填空题，4分）一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：设这个多边形的边数是n，先求出多边形的内角和，再根据内角和公式得出关于n的方程，求出方程的解即可．【解答】：解：∵一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，∴这个多边形的内角和为4×360°=1440°，设这个多边形的边数是n，则（n-2）•180°=1440°，解得：n=10，即边数为10，故答案为：10．【点评】：本题考查了多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°，边数为n 的多边形的内角和公式为（n-2）•180°．17.（填空题，4分）若关于x 的分式方程 3x x−2 = m 2−x +5的解为正数，则m 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]m ＞-10且m≠-6【解析】：先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到m 的取值范围．【解答】：解： 3x x−2=m 2−x +5 ，3x=-m+5（x-2），3x=-m+5x-10，3x-5x=-m-10，-2x=-m-10，x= m+102 ， ∵x -2≠0，∴x≠2，∴ m+102≠2， ∴m≠-6．∵方程的解为正数，∴ m+102＞ 0， ∴m ＞-10．∴m 的取值范围为：m ＞-10且m≠-6．故答案为：m ＞-10且m≠-6．【点评】：本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验．18.（填空题，4分）如图，点P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PN⊥OB 于点N ，点M 是线段ON 上一点．已知OM=3，ON=5，点D 为OA 上一点，若满足PD=PM ，则OD 的长度为 ___ ．【正确答案】：[1]3或7【解析】：过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN=PE，即可求OE=ON=5，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长．【解答】：解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，∴PE=PN，∵PE=PN，OP=OP，∴△OPE≌△OPN（HL），∴OE=ON=5，∵OM=3，ON=5，∴MN=2，若点D在线段OE上，∵PM=PD，PE=PN，∴△PMN≌△PDE（HL），∴DE=MN=2，∴OD=OE-DE=3，若点D在射线EA上，∵PM=PD，PE=PN，∴△PMN≌△PDE（HL），∴DE=MN=2，∴OD=OE+DE=7．故答案为：3或7．【点评】：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．19.（问答题，10分）因式分解：（1）ab-a3b；（2）（x+1）（x-3）+4．【正确答案】：【解析】：（1）先提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将原式进行整式的混合运算计算，然后利用完全平方公式进行因式分解．【解答】：解：（1）原式=ab（1-a2）=ab（1+a）（1-a）；（2）原式=x2-3x+x-3+4=x2-2x+1=（x-1）2．【点评】：本题考查利用公式法因式分解，掌握完全平方公式的结构是解决此题关键．20.（问答题，10分）解方程：（1）xx−3=x+1x−1．（2）x+1x−1−4x2−1=1．【正确答案】：【解析】：（1）方程两边同时乘以（x-1）（x-3）去分母化成整式方程，解整式方程，检验后即可得出原分式方程的解；（2）方程两边同时乘以（x-1）（x+1）去分母化成整式方程，解整式方程，检验后即可得出原分式方程的解．【解答】：解：（1）方程两边同时乘以得（x-1）（x-3）：x （x-1）=（x+1）（x-3），解得：x=-3，检验：当x=-3时，（x-1）（x-3）≠0，∴原分式方程的解为x=-3；（2）方程两边同时乘以（x-1）（x+1）得：（x+1）2-4=（x+1）（x-1），解得：x=1，检验：当x=1时，（x-1）（x+1）=0，∴x=1是分式方程的增根，原分式方程无解．【点评】：本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化成整式方程是解题的关键．21.（问答题，8分）先化简，再求值（1- 4a+3 ）÷ a 2−2a+1a 2−9 ，其中a=-2．【正确答案】：【解析】：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】：解：（1- 4a+3 ）÷ a 2−2a+1a 2−9=a+3−4a+3•(a+3)(a−3)(a−1)2 =a−11•a−3(a−1)2 = a−3a−1， 当a=-2时，原式=−2−3−2−1 = 53 ．【点评】：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22.（问答题，8分）已知：如图，∠B=∠C=90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．【正确答案】：【解析】：求出BE=CF，根据SAS推出△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】：证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，{AF=DEBF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AB=DC．【点评】：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．23.（问答题，10分）如图，格点△ABC在网格中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于直线MN的对称△A'B'C'；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 ___ ；（3）在直线MN上找一点P，使PA+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）．【正确答案】：72【解析】：（1）分别作出三个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；（3）连接A′C，与直线MN的交点即为所求．【解答】：解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．（2）△A'B'C'的面积为3×3- 12 ×2×3- 12×1×2- 12×1×3= 72，故答案为：72；（3）如图所示，点P即为所求．【点评】：本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．24.（问答题，10分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．【正确答案】：【解析】：（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD-45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．【解答】：（1）△ABE≌△ACD．证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．即∠BAE=∠CAD，在△ABE与△ACD中，{AB=AC∠BAE=∠CAD AE=AD，∴△ABE≌△ACD；（2）证明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABE=45°，又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∴DC⊥BE．【点评】：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．25.（问答题，10分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【正确答案】：【解析】：（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【解答】：解：（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据题意得：（ 1x + 11.5x ）×15+ 5x =1．解得：x=30．经检验x=30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（ 130 + 11.5×30 ）=18（天），则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．答：该工程的费用为180000元．【点评】：本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．26.（问答题，12分）（1）方法呈现：如图 ① ：在△ABC 中，若AB=6，AC=4，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE=AD ，再连接BE ，可证△ACD≌△EBD ，从而把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图② ，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③ ，在四边形ABCD中，AB || CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得出AB-BE＜AE＜AB+BE，即6-4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF=FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB=CG，即可得到结论．【解答】：解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴B E=AC=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．证明：（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图② 所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如图③ ，延长AE，DF交于点G，∵AB || CD，∴∠BAG=∠G，在△ABE和△GCE中，CE=BE，∠BAG=∠G，∠AEB=∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG=AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠GAF，∴∠FAG=∠G，∴AF=GF，∵FG+CF=CG，∴AF+CF=AB．【点评】：本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．。

绝密★启用前山东省潍坊(安丘市、诸城市、高密市)普通高中 2021-2022学年高二年级上学期期中联考质量检测数学试题2021年11月本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班级和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I 卷(共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x+y+1=0的倾斜角为 A.4π B.34π C.3π D.23π 2.已知直线l 不在平面α内，则“l //α”是“直线l 上存在两个点到平面α的距离相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.绕它与x 轴的交点A 按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是C.x-3y+3=0D.x-3y+33=04.若直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0垂直，则a= A.-23 B.-6 C.32 D.235.半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为 A.233π B.433π C.833π D.1633π 6.圆C 上的点(1，2)关于直线x+y=0的对称点仍在圆C 上，且该圆的半径为5，则圆C 的方程为A.x 2+y 2=5B.(x+1)2+(y-1)2=5C.x 2+y 2=5或(x-1)2+(y+1)2=5D.x 2+y 2=5或(x+1)2+(y-1)2=57.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖。

2021-2022学年山东省青岛市青岛第九中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．集合{}21,20,1U R A x x x B x y x ⎧⎫==--<==⎨⎬-⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}12xx ≤≤∣ B ．{12}x x <<∣ C ．{12}x x ≤<∣ D ．{12}xx <≤∣ 【答案】C【分析】先将集合化简，阴影部分表示()AA B ，然后求解即可.【详解】因为{}2,20,1U R A x x x B x y x ⎧==--<==⎨-⎩，得{}12A x x =-<<，{}1B x x =<，图中阴影部分表示()AA B ,所以得(){}12AA B x x ⋂=≤<故选：C2．已知Z k ∈，则“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“22k πθπ=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求θ；必要性判断：应用诱导公式化简()f x 并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f x x θ=+为偶函数时sin(2)sin(2)x x θθ-=+，则2sin 2cos 0x θ=恒成立，即2k πθπ=+，Z k ∈；当2,Z 2k k πθπ=+∈时，()sin(2)cos 22f x x x π=+=为偶函数； 综上，“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“22k πθπ=+”的必要不充分条件.故选：B3．设0.73a =，0.81()3b -=，0.7log 0.8c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数单调性即可判断【详解】因为0.73a =，0.80.81()33b -==，且3x y =在定义域内单调递增，所以00.70.81333=<<，即1a b <<， 因为0.70.7log 0.8log 0.71c =<=， 所以c a b << 故选：D4．圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M ，N 同时从点(10,0)P 出发，沿圆周运动，点M 按逆时针方向旋转，速度为π6弧度/秒，点N 按顺时针方向旋转，速度为π3弧度/秒，则它们第三次相遇时点M 转过的弧度数为（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．3π【答案】C【分析】根据两点相遇一次转过弧度之和为2π即可求解.【详解】由题意，动点,M N 第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：32π6π⨯=， 设从点(10,0)P 出发t 秒后点,M N 第三次相遇，则ππ6π63t t +=，解得12(t =秒)，此时点M 转过的弧度数为π122π(6⨯=弧度).故选：C 5．设函数12()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．(1)2y f x =-- B ．(1)2y f x =-+ C ．(1)2y f x =+- D ．(1)2y f x =++【答案】B【分析】利用代入法求出函数解析式，利用函数奇偶性的定义进行判断即可． 【详解】12()1xf x x-=+的定义域为{|1}x x ≠-， ∴(1)f x -的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，12(1)323(1)211x x y f x x x x---=-===-+-，对于A, ()3(1)24g x f x x =--=-，()3(1)24g x f x x-=--=--,()()0g x g x +-≠,所以()g x 不是奇函数，对于B, ()3(1)2,h x f x x =-+=又()()()3,0h x h x h x x-=-+-=，故()h x 为奇函数，12()1xf xx-=+的定义域为{|1}x x≠-，∴(1)f x+的定义域为{|2}x x≠-，定义域不关于原点对称，所以CD均不为奇函数，故选：B6．某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间2T以速度a匀速跑，后一半时间2T以速度b匀速跑；选手乙前半程2S以速度a匀速跑，后半程2S以速度b匀速跑；若a b，则（）A．甲先到达终点B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点【答案】A【分析】设乙选手总共用时T'，根据题意表示出T'，然后与T作差，比较大小，即可得到结果.【详解】由题意可知对于选手甲，22T Ta b S+=，则2STa b=+设选手乙总共用时T'，则对于选手乙，22S STa b'+=，则2Sb SaTab+'=()()()()22442222S ab a bSab S a bS Sb SaT Ta b ab ab a b ab a b⎡⎤-+-++⎣⎦'-=-==+++()()22S a bab a b--=<+即T T'<，即甲先到达终点故选:A.7．已知函数()()()sin0,f x xωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，若存在120x xπ≤<≤，满足()()1234f x f x==，则()12cos x x-=（）A．7B7C．34D．34-【答案】C【解析】利用图象求得函数()f x的解析式为()sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()()1234f x f x==结合正弦函数()f x 的对称性得出2123x x π=-，且有13sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，将2123x x π=-代入()12cos x x -结合诱导公式可求得()12cos x x -的值.【详解】由图象知函数()f x 的最小正周期为137622121212T ππππ⎛⎫=⨯-=⨯=⎪⎝⎭，22T πω∴==， 又7135121226πππ+=， 且555sin 2sin 1663f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πϕπ-<<，257333πππϕ∴<+<， 所以，5332ππϕ+=，6πϕ∴=-，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，当0x π≤≤时，112666x πππ-≤-≤， 因为存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==， 即12226622x x πππ-+-=，则1223x x π+=，可得2123x x π=-，且13sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()121123cos cos 2cos 2sin 236264x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.8．已知函数()y f x =的定义域为R ，且函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，对于任意的x ，总有(2)(2)f x f x -=+成立，当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =-+，函数2()g x mx x =+（x ∈R ），对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()>f x g t 成立，则满足条件的实数m 构成的集合为（ ）A ．1{|}4≤m mB ．1{|}4<m mC ．1{|0}4<≤m mD ．1{|}4>m m【答案】A【分析】由(1)=-y f x 的特性结合函数图象平移变换可得()f x 是奇函数，由(2)(2)f x f x -=+可得函数()f x 的周期，由此探讨出()f x 的值域，再将所求问题转化为不等式21mx x +≤-在R 上有解即可.【详解】由函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称知函数()y f x =的图象关于原点对称，即函数()y f x =是奇函数，由任意的x ，总有(2)(2)f x f x -=+成立，即(4)()f x f x +=恒成立，于是得函数()y f x =的周期是4， 又当(0,2)x ∈时，2()21f x x x =-+，则当(0,2)x ∈时，0()1f x ≤<，而()f x 是奇函数，当(2,0)x ∈-时，1()0f x -<≤，又(2)(2)f f -=，f (-2)=-f (2)，从而得(2)(2)(0)0-===f f f ，即[2,2)x ∈-时，1()1f x -<<， 而函数()y f x =的周期是4，于是得函数()y f x =在R 上的值域是(1,1)-，因对任意x ∈R ，存在t ∈R ，使得()()>f x g t 成立，从而得不等式()1g x ≤-，即21mx x +≤-在R 上有解，当0m ≤时，取2x =-，4221m -≤-<-成立，即得0m ≤，当0m >时，210mx x ++≤在R 上有解，必有140m ∆=-≥，解得14m ≤，则有104m <≤， 综上得14m ≤， 所以满足条件的实数m 构成的集合为1{|}4≤m m .故选：A二、多选题9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A ．Z x ∃∈，220x x --=B ．至少有个x ∈Z ，使x 能同时被3和5整除C ．R x ∃∈，20x <D ．每个平行四边形都是中心对称图形 【答案】AB【分析】AB 选项，可举出实例；C 选项，根据所有实数的平方非负，得到C 为假命题；D 选项为全称量词命题，不合要求.【详解】A 中，当=1x -时，满足220x x --=，所以A 是真命题; B 中，15能同时被3和5整除，所以B 是真命题;C 中，因为所有实数的平方非负，即20x ≥，所以C 是假命题;D 是全称量词命题，所以不符合题意.故选：AB ．10．下列运算中正确的是（ ） A ．373log 7log 4log 4= B ．lg21ln(ln e)210-⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．当0a >116a = D ．若114a a -+=，则2121a a -+=【答案】BC【分析】根据换底公式、对数运算法则，根式与分数指数幂的互化及幂的运算法则判断．【详解】334log 7log log 47=，A 错；lg2lg21ln(ln e)10ln120210-⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，B 正确； 当0a >11311333262a a a a +⋅==，C 正确；114a a -+=时，112122()216a a a a --+=++=，所以11224a a -+=，D 错．故选：BC ．11．已知函数()()22log 21f x mx x m =++-，m R ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为R ，则实数m的取值范围是⎫⎪⎝+⎭∞⎪ B ．若函数()f x 的值域为[)1,-+∞，则实数2m =C ．若函数()f x 在区间[)2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是()0,∞+D ．若0m =，则不等式()1f x <的解集为32x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】ABC【分析】根据对数型复合函数的性质分别判断.【详解】A 选项：因为()f x 的定义域为R ，所以2210mx x m ++->恒成立，则()0Δ4410m m m >⎧⎨=--<⎩，解得：m >B 选项：因为()f x 的值域为[)1,-+∞，所以21212mx x m ++-≥，所以20112m m m m >⎧⎪⎨--=⎪⎩，解得2m =，故正确；C 选项：因为函数()f x 在区间[)2,+∞上为增函数，由复合函数的单调性可知：0124410m m m m >⎧⎪⎪-≤⎨⎪++->⎪⎩，解得0m >，故正确；D 选项：当0m =时，()()2log 21f x x =-12x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由()1f x <，可得0212x <-<，解得：1322x <<，故错误； 故选：ABC.12．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（ ）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果. 【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =， 由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117x x -+⇒， 由2234151512t x x x x -+=-=--⇒=所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，，22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=，因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>，即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，； 当20()t f x ==，得1213x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.三、填空题13．已知函数2,0()31,0x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩，则(2)(2)f f -+的值为________【答案】－3【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围． 【详解】(2)3(2)17f -=⨯--=-，2(2)24f ==， ∴(2)(2)743f f -+=-+=-． 故答案为：3-．14．写出一个同时具在下列性质①②③，且定义域为实数集R 的函数()f x ：___________. ①最小正周期为1；②()()f x f x -=；③无零点.【答案】此题答案不唯一，只要满足条件都可以，例如()cos22f x x π=+【分析】结合周期性和奇偶性，可以取cos2π=y x ，再根据③可以取()cos22f x x π=+. 【详解】()cos22π=+f x x 的定义域为R ，最小正周期为212T ππ==， ()()()cos 22cos22ππ-=-+=+=f x x x f x因为1cos21π-≤≤x ，所以()13f x ≤≤， 所以()f x 无零点，综上，()cos22π=+f x x 符合题意故答案为：()cos22π=+f x x （答案不唯一）15．若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y+=，则213x y+的最小值为__________．【详解】分析：由对数运算和换底公式，求得x y 、 的关系为22x y +=，根据基本不等式确定 详解：因为0x >，0y >所以422222log 3log 3log 3log 4xy+=()24221log 33log 32x y ⨯=22333x y ⨯=，所以22x y += ，即()1212x y += 所以()211212323x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1242233y x x y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1823⎛≥+ ⎝1823⎛≥⎝⎭≥当且仅当43y x x y =，即4322y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，此时61x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．四、双空题16．已知a 为正数，函数()sin f x x =在区间[0,]a 和[,2]a a 上的最大值分别记为1M 和2M，若122M ≥，则1M =___________，a 的取值范围为___________.【答案】 1 27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】122M ≥得出a 大致范围，从而求出1M 的值，再根据2M 的范围即可求出a 的取值范围.【详解】由于函数()sin f x x =在区间[0,]a 和[,2]a a 上的最大值分别记为1M 和2M122M ≥，则2a π>，否则12M M <，与条件矛盾.所以1M =1.于是得2M ≤所以sin 2a a ≤≤22a a ππ⎧>⎪⎨⎪<⎩，所以27,233a a ππ≥≤,所以2736a ππ≤≤. 故答案为：1；27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.五、解答题17．已知集合2111x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，(){}2220B x x m x m =+--<． (1)当1m =时，求A B ⋂；(2)x A ∈是x B ∈的必要条件，求m 的取值范围．【答案】(1)112A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭(2)24m -≤≤【分析】（1）当1m =时，求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂； （2）分析可知B A ⊆，对2m-、1的大小关系进行分类讨论，根据B A ⊆检验或得出关于实数m 的不等式，综合可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）解：由2111x x +<-可得2121011x x x x ++-=<--，解得2<<1x -，即{}21A x x =-<<， 当1m =时，{}2121012B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，此时，112A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭. （2）解：由题意可知B A ⊆，且()(){}210B x x m x =+-<， 当12m ->时，即当2m <-时，12m B x x ⎧⎫=<<-⎨⎬⎩⎭，不满足B A ⊆，不符合题意； 当12m -=时，即2m =-时，B =∅，符合题意； 当12m -<时，则12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，得212m -≤-<，解得24m -<≤. 综上，24m -≤≤．18．已知tan 3.θ=(1)求2sin (sin 2cos )cos 1θθθθ--的值； (2)求32sin (π)tan(3π)sin()π3πcos()cos()22θθθθθ+--+-的值． 【答案】(1)13- (2)275-【分析】（1）由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可；（2）利用诱导公式进行化简，然后由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可【详解】（1）222sin (sin 2cos )sin 2sin cos cos 1sin θθθθθθθθ--=--2cos 221111;sin tan 33θθθ=-+=-+=-+=- （2）332sin (π)tan(3π)sin()(2sin )(tan )(sin )π3π(sin )(sin )cos()cos()22θθθθθθθθθθ+-----=--+-22222226sin 6tan 54272sin tan 6sin sin cos tan 1105θθθθθθθθ=-=-=-=-=-=-++ 19．已知函数()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎭的某一周期内的对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式；（2）根据（1）的结果，若函数()()0y f nx n =>的最小正周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f nx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()2sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）)1,3. 【解析】（1）先根据()f x 的最小正周期求出1ω=，再根据函数的最值求出A,B 的值，解方程()5262k k ππωϕπ⋅+=+∈Z 得到ϕ的值，即得函数()f x 的解析式； （2）先根据函数的最小正周期求出n 的值，再通过数形结合分析得到实数m 的取值范围.【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ，则11266T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，由2T πω=得1ω=. 又由31B A B A +=⎧⎨-=-⎩，解得21A B =⎧⎨=⎩. 令()5262k k ππωϕπ⋅+=+∈Z ， 即()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，解得()23k k πϕπ=-+∈Z . 2πϕ<，3ϕπ∴=-， ()2sin 13f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭. （2）函数()2sin 13y f nx nx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，且0n >，3n ∴=. 令33t x π=-，0,3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，2,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦， 由2sin 1t m +=，得1sin 2m t -=， 故sin y t =的图象如图.若1sin 2m t -=在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，则12m ⎫-∈⎪⎪⎣⎭，112m -<13m ≤<，∴方程()f nx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解时，)1,3m ∈，即实数m 的取值范围是)1,3.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，考查三角方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知函数22()log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，1()2x g x +=-． (1)求证：()f x 为奇函数；(2)若()22()x f k g x -恒成立，求实数k 的取值范围；(3)解关于a 的不等式()(2)22g a g a a ---．【答案】(1)证明见解析(2)(],7-∞(3)[)1,+∞【分析】（1）求得()f x 的定义域，计算()f x -，与()f x 比较可得；（2）原不等式等价为()2322121x x k ≤++--对0x >恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围；（3）原不等式等价为()()()22g a a g a a -≤---，设()()h x g x x =-，判断其单调性可得a 的不等式，即可求出.【详解】（1）函数2221()log 1log 11x f x x x +⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭， 由101x x +>-解得1x <-或1x >，可得定义域()(),11,-∞-⋃+∞，关于原点对称， 因为()2211()log log 11x x f x f x x x -+-==-=-+-， 所以()f x 是奇函数；（2）由21x <-或21x >，解得0x >，所以()()22()0x f k g x x ->恒成立，即221log 12122x x x k ++--≥-，则121221x x x k ++---，即()1212232212121x x x x x k +++=++---对0x >恒成立，因为()23221322721x x ++-+⨯=-，当且仅当()222121x x =--，即1x =时等号成立， 所以7k ≤，即k 的取值范围为(],7-∞；（3）不等式()(2)22g a g a a ---即为()(2)(2)g a a g a a ----，设()()h x g x x =-，即1()2x h x x +=--，可得()h x 在R 上递减，所以()(2)h a h a -，则2a a ≥-，解得1a ≥，所以不等式的解集为[)1,+∞.21．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，2AB =，1AD =，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG ，其底边EF AB ⊥，点E 在半圆上.（1）设6EOC π∠=，求三角形木块EFG 面积；（2）设EOC θ∠=，试用θ表示三角形木块EFG 的面积S ，并求S 的最大值.【答案】（1）EFG 633S 8∆+=；（2）1sin cos sin cos 2S θθθθ+++=,EFG ∆的面积最大值为3224+ 【分析】（1）构造垂线，将EF 、GH 的长度进行转化，EF 的长度即为EM MF +的值，GH 的长度即为DO OM +的值，从而求解出EFG S ∆；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出EFG S ∆的表达式，然后将sin cos θθ+看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点G 作GH EF ⊥交EF 于点H ，设EF 交CD 于点M ，所以311?cos 16GH DM DO OM π==+=+=+,311?sin 62EF EM MF π=+=+=，所以113222EFG S EF GH ∆=⨯⨯=⨯； （2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性， 所以可只分析[0,]2πθ∈时的情况， 11?cos 1cos GH DM DO OM θθ==+=+=+，11?sin 1sin EF EM MF θθ=+=+=+， 所以11(1cos )(1sin )22EFG S EF GH θθ∆=⨯⨯=⨯+⨯+ 1sin cos sin cos 2θθθθ+++=， 令sin cos t θθ+=，[0,]2πθ∈， 故21sin cos 2t θθ-=，sin cos )4t πθθθ=+=+， [0,]2πθ∈ 3[,]444πππθ∴+∈，sin()4πθ∴+∈， t ∴∈，221121224EFG t t t t S ∆-++++==， 函数2214t t y ++=在单调递增， 所以当t 时，EFG∆【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中sin cos θθ±与sin cos θθ的联系等等，考查了学生综合应用能力.22．已知函数()33x x a f x b+=+. (1)当5a =，3b =-时，求满足()3x f x =的x 的值；(2)当1b =时，若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()g x 满足()()(31)3x x g x f x -=++ ①求()f x 及()g x 的表达式；②若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式()()210g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.【答案】(1)3log 5x =(2)①()3131-=+x x f x ，()331x x g x -=+-；②2【分析】（1）代入5a =，3b =-得到()234350x x -⋅-=，再因式分解求解即可； （2）①由定义在R 上的奇函数满足()00f =可得1a =-，进而得到()f x 及()g x ； ②化简可得()()233333110x x x x m --+-≥+--，令33x x t -=+，再参变分离根据基本不等式求解范围即可【详解】（1）因为5a =，3b =-时，()3533x x f x +=-， 又因为()3x f x =，所以()234350x x -⋅-=（1x ≠） 所以()()35310x x -+=，所以35x =，即3log 5x =；（2）①因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，10a ∴+=，1a =-，所以()3131-=+x x f x 所以()331x x g x -=+-，②由①可得()()2222331333x x x x g x --=+-=+-， 因为()()210g x m g x ≥⋅-对任意0x ≠恒成立，所以()()233333110x x x x m --+-≥+--对任意0x ≠恒成立， 令33x xt -=+（()2,t ∈+∞），所以271t m t +≥-， 又因为()()()2212187812111t t t t t t t -+-++==-++---由对勾函数8y x x=+（1x >）的单调性可知，x =y 有最小值所以)272,1t t +⎡∈+∞⎣-，所以(2m ⎤∈-∞⎦，所以m 的最大值为2.。

2021-2022年高三上学期期末考试数学（文）试题 含答案(III)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分 注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ）A B [-1,1] C D (-1,1]3、抛物线的准线方程是 ( )A B C D4、若,使得-成立是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D {3}5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A． B． C． D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）第Ⅱ卷二、填空题.（20分）13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___14．已知直线L 经过点P （﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L 的方程是 ．15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为 ．16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b •c 的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，现将Rt △AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；19.（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；的取值范围；（2）求点M的纵坐标yM（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

山东省枣庄市2021-2022学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1,-1)，b=(4,-2,x)，若a与b共线，则实数x的值为（）1．已知向量a=(-2,A．-2B．-1C．1D．2y22．双曲线-x2=1的渐近线方程是（）4A．x±2y=0C．2x±y=0B．2x±y=0D．x±2y=03．已知等差数列{an}，若a3=4，a5=10，则a1=（）A．1B．-1C．-2D．34．设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（）A．12B．24C．30D．325．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0，l2:x+ay+2=0，若l1⊥l2，则实数a的值是（）A．0B．2或1C．0或3D．36．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足EG1=，若SA=a，SB=b，SC=c，则SG=（）GF2111A．a-b+c326111C．a-b+c632111B．a-b+c362111D．a+b+c3667．已知直线l:x+y-m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为原点，且OA⋅OB=2，则实数m等于（）x2y28．已知点A,B在椭圆2+2=1(a>b>0)上，M与A关于原点对称，∠MAB=90，a bMB交y轴于点Q，O为坐标原点，OM⋅OQ=2OQ，则椭圆的离心率为（）2A．二、多选题12B．22C．32D．639．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=3，S3=-9，则有（）A．a1=-5B．a4<0C．S6=0D．S3<S4 10．下列选项正确的是（）A．直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,3)B．直线3x+y+1=0的倾斜角为150°C．圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离都等于1D．与圆(x-2)+y2=2相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线只有一条11．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90︒，AB=AC=AA1=2，E,F分别是BC,A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面说法中正确的有（）2A．EF//平面AA1B1BB．若D是B1C1上的中点，则BD⊥EFC．直线EF与平面ABC所成角的正弦值为255D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为322x2212．已知双曲线C:2-y2=1(a>0)，若圆(x-2)+y2=1与双曲线C的渐近线相切，a则（）．A．双曲线C的实轴长为6B．双曲线C的离心率e=233C．点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2=34D．直线y=k1x+m与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1k2=三、填空题13．过点A(-2,1),B(3,-3)的直线方程（一般式）为___________.114．已知抛物线方程为y=-x2，则其焦点坐标为__________．41315．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是棱AA1、A1D1的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为______.四、双空题16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk表示，由题意知3πR2S1=，S2=，则S4=________；如果对折n次，则∑Sk=________.42k=1πR2n五、解答题17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S6=36．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn=1n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．(anan+118．已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线y=3x对称，与x轴相切，被直线y=x截得的弦长为27.(1)求圆C的方程；(2)若点P(-2,1)，求过点P的圆的切线方程.19．如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，P A＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离．20．已知数列{an}中a1=1，数列{an}的前n项和为Sn满足Sn+1=2Sn+n+1.(1)证明：数列{an+1}为等比数列；(2)在ak和ak+1(k∈N)中插入k个数构成一个新数列{bn}：a1，2，a2，4，6，a3，*8，10，12，a4，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列{bn}的前50项和T50.21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点.(1)求证：AN ∥平面PBC ；1(2)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是.若存3在，求出DM的值，若不存在，说明理由.DPx 2y 222．已知椭圆E :2+2=1(a >b >0)的左焦点F 1与抛物线y 2=-4x 的焦点重合，椭a b 3⎫⎛2圆E 的离心率为，过点M (m ,0) m >⎪作斜率不为0的直线l ，交椭圆E 于A ,B 两4⎭⎝2⎛5⎫点，点P ,0⎪，且PA ·PB 为定值．⎝4⎭（1）求椭圆E 的方程；（2）求OAB 面积的最大值．参考答案：1．D【解析】【分析】根据空间向量共线有b=λa，λ∈R，结合向量的坐标即可求x的值.【详解】⎧-2λ=4⎧λ=-2⎪.由题设，有b=λa，λ∈R，则⎨λ=-2，可得⎨x=2⎩⎪-λ=x⎩故选：D2．C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程.【详解】y2⊥双曲线的标准方程为-x2=1，4⊥双曲线的焦点在y轴，a=2，b=1，且双曲线的渐近线方程为y=±2x±y=0.ax=±2x，即b故选：C.3．C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式进行求解.【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为a3=4，a5=10，⎧a1+2d=4所以⎨，⎩a1+4d=10⎧a 1=-2.解得⎨⎩d =3故选：C.4．D 【解析】【分析】5根据已知条件求得q 的值，再由a 6+a 7+a 8=q (a 1+a 2+a 3)可求得结果.【详解】2设等比数列{a n}的公比为q ，则a 1+a 2+a 3=a 11+q +q =1，()a 2+a 3+a 4=a 1q +a 1q 2+a 1q 3=a 1q (1+q +q 2)=q =2，567525因此，a 6+a 7+a 8=a 1q +a 1q +a 1q =a 1q 1+q +q =q =32.()故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5．C 【解析】由l 1⊥l 2，结合两直线一般式有A 1A 2+B 1B 2=0列方程求解即可.【详解】由l 1⊥l 2知：a +a (a +2)=0,解得：a =0或a =-3故选：C .6．D 【解析】【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】11由题意可得SG =SE +EG =SE +EF =SE +SF -SE33()=21211SE +SF =SE +⋅SB +SC 33332()211111=⋅SA +SB +SC =a +b +c .326366()故选：D7．A 【解析】【分析】根据给定条件求出∠AOB ，再求出圆O 到直线l 的距离即可计算作答.【详解】圆x +y =4的圆心O ，半径r =2，因OA ⋅OB =2，则cos ∠AOB =22OA ⋅OB OA OB=12，而0≤∠AOB ≤π，则∠AOB =因此，d =m 2π3，即AOB 是正三角形，点O 到直线l 的距离d =3，=3，解得m =±6，所以实数m 等于±6.故选：A 8．B 【解析】【分析】由OM ⋅OQ =2OQ ，得到t =-得k AB ⋅k MB 【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (0,t )，则M (-x 1,-y 1)，由OM ⋅OQ =2OQ ，可得-y 1t =2t ，所以t =-因为∠MAB =90，可得k AB=-222x 1y 1y1k =-,k =，结合∠MAB =90，得到AB ，进而求MB y 12x 12b 2b 21=-2，得出-2=-，结合离心率的定义，即可求解.a a 2y1，2x y 1=-1,k MB =k MQ =1，k OA y 12x12222x 12y 12x 2y 2x 12-x 2y 12-y 2+=0，又由2+2=1,2+2=1，两式相减得a 2b 2a b a b 2y 1-y 2y 1+y 2b 2b ⋅=-2，即k AB ⋅k MB =-2，即x 1-x 2x 1+x 2a a又因为kAB⋅kMB=-22222x1y11⋅=-，所以-b=-1，即b=1y12x12a22a22a2-c21c2.=又由b=a-c，所以，解得e==2a2a2故选：B.9．ACD【解析】【分析】先由S3=-9，以及等差数列的性质可得a2=-3，d=公式，求和公式依次判断即可.【详解】由S3=a1+a2+a3=3a2=-9，得a2=-3，设等差数列{an}的公差为d，则有a5=a2+3d，所以d=a5-a23-(-3)==2，33a5-a2=2，然后根据等差数列通项3所以an=a2+(n-2)d=-3+(n-2)⨯2=2n-7，所以a1=2-7=-5，a4=8-7=1>0，S6=6⨯(-5)+6⨯5⨯2=0，2由S4-S3=a4=1>0，得S4>S3，故选：ACD.10．AC【解析】【分析】根据直线过定点、直线的倾斜角、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，(3+m )⨯(-3)+4⨯3-3+3m =-9-3m +12-3+3m =0，A 选项正确.B 选项，直线3x +y +1=0的斜率为-3，对应的倾斜角为120︒，B 选项错误.C 选项，圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径为2.圆心到直线x -y +2=0的距离为22=1，所以圆x 2+y 2=4上有且仅有3个点到直线l :x -y +2=0的距离都等于1，C 选项正确.D 选项，圆(x -2)+y 2=2的圆心为(2,0)，半径为2.2直线y =x 的横纵截距相等，圆心(2,0)到直线x -y =0的距离为2=2，所以y =x 与圆2(x -2)2+y 2=2相切.2=2，所以y =-x 与2直线y =-x 的横纵截距相等，圆心(2,0)到直线x +y =0的距离为圆(x -2)+y 2=2相切.所以D 选项错误.故选：AC 11．ACD 【解析】【分析】2由题意写出空间中的点的坐标，利用EF 与平面AA 1B 1B 法向量的数量积等于零可判断A ；根据BD ⋅EF 可判断B ；求出平面ABC 的一个法向量，利用空间向量数量积求线面角可判断C ；利用异面直线所成角的空间向量求法可判断D.【详解】由题意可得A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(0,2,2)，E (1,1,0)，F (0,1,2)，设D (x ,2-x ,2)，EF =(-1,0,2)，BD =(x -2,2-x ,2)，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90︒，可得AC 为平面AA 1B 1B 的一个法向量，AA 1为平面ABC 的一个法向量，对于A ，AC =(0,2,0)，EF ⋅AC =0，即EF ⊥AC ，又EF ⊄平面AA 1B 1B ，所以EF //平面AA 1B 1B ，故A 正确；对于B ，若D 是B 1C 1上的中点，则BD =(-1,1,2)，所以EF ⋅BD =1+4=5，所以EF 与BD 不垂直，故B 不正确；对于C ，由AA 1为平面ABC 的一个法向量，AA 1=(0,0,2)，设直线EF 与平面ABC 所成角为θ，则sin θ=cos EF ,AA 1=EF ⋅AA1EF AA1=425=C 5，故正确；5⨯2对于D ，设B 1D =λB 1C 1=(-2λ,2λ,0)，(0≤λ≤1)则BD =BB 1+B 1D =(-2λ,2λ,2)，∴BD ⋅EF =2λ+4∴cos BD ,EF =BD ⋅EF BD EF=2+λ5⨯2λ2+1=14⎫2⎛35 -⎪+⎝λ+23⎭9∴当341=时，即λ=时，cos BD ,EF 取最大值，4λ+23⎛11⎫即直线BD 与直线EF 所成角最小，此时BD = -,,2⎪，⎝22⎭∴BD =BD =32，故D 正确.2故选：ACD 12．BCD 【解析】【分析】先求C 的渐近线方程，由点到直线的距离可得圆心到渐近线的距离为半径解得a ，进而可判断A ；离心率定义可判断B 是否正确；设P (x 0,y 0)，求出d 1,d 2，即可判断C ；利用点差法可判断D.【详解】由题意知C 的渐近线方程为x ±ay =0，所以21+a 2=1，解得a =3，所以半焦距c =2，所以e =223=，故A 错误，B 正确；33，d 2=设P (x 0,y 0)，所以d 1=x 0-3y2x 0+3y2，所以d 1d 2=x 0-3y2⋅x 0+3y2=22x 0-3y 043=，故C 正确；4设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，2x 12x 222=1，所以-y 1=1，-y 233(x +x )(x -x )两式相减，得1212-(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0，3x 1+x 2y 1-y 2-y +y =0，x 1+x 2-(y 1+y 2)⋅k 1=0，()所以123x 1-x 232x +x (y +y )所以⨯12-12⨯2k 1=0，3222所以x D-y D ⋅2k 1=0，32y D ⨯2k 1=0，所以2-k 2⋅2k 1=0，所以-3x D3所以k 1k 2=1，故D 正确，3故选：BCD ．【点睛】22关键点点睛：（1）点在曲线上，进而点的坐标满足曲线方程，即x 0-3y 0=3；（2）利用“点差法”解决中点弦问题.13．4x +5y +3=0【解析】【分析】利用两点式方程可求直线方程.【详解】⊥直线过点A(-2,1),B(3,-3)，⊥化简得4x+5y+3=0.故答案为：4x+5y+3=0. 14．(0,-1)【解析】【分析】y-1x-(-2)y-1x+2==，⊥，-3-13-(-2)-45先将抛物线的方程转化为标准方程的形式x2=-4y，即可判断抛物线的焦点坐标为⎛p⎫0,⎪，从而解得答案.⎝2⎭【详解】12解：因为抛物线方程为y=-x，即x2=-4y，4所以2p=-4，p=-1，2所以抛物线的焦点坐标为(0,-1)，故答案为：(0,-1).15．5【解析】【分析】取BC中点G，证明平面AD1G//平面BEF确定点P的轨迹，再计算作答.【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取BC中点G，连接AG,AD1,D1G，如图，因E 、F 分别是棱AA 1、A 1D 1的中点，则EF //AD 1，而EF ⊂平面BEF ，AD 1⊄平面BEF ，则有AD 1//平面BEF ，因BC //AD //A 1D 1，则BG //D 1F ，而BG =D 1F ，则有四边形BGD 1F 为平行四边形，有D 1G //BF ，又BF ⊂平面BEF ，D 1G ⊄平面BEF ，于是得D 1G //平面BEF ，而AD 1⋂D 1G =D 1，AD 1,D 1G ⊂平面AD 1G ，因此，平面AD 1G //平面BEF ，即线段AG 是点P 在底面ABCD 内的轨迹，AG =AB 2+BG 2=22+12=5，所以点P 的轨迹长度为5.故答案为：516．115⎛⎫πR 2πR 2 k +k -1⎪216⎝⎭【解析】【分析】12⎛首先根据题意得到S k=πR 1-k⎝2⎫⎪，再计算S 4即可；根据题意得到⎭∑Sk =1n k⎡⎛1⎫⎛1⎫1⎛=πR 2⎢ 1-⎪+ 1-2⎪+……+ 1-k⎝2⎣⎝2⎭⎝2⎭⎫⎤⎪⎥，再利用分组求和法求和即可.⎭⎦【详解】3πR 2因为S 1=，S 2=，42πR 21⎛1⎫1-k ⎪ 1⎫122⎭⎛11⎛所以S k =πR 2 +2+……+k ⎪=πR 2⋅⎝=πR 2 1-k12⎭⎝22⎝21-21⎫152⎛2所以S 4=πR 1-4⎪=πR .⎝2⎭16⎫⎪，⎭∑Sk =1n k⎡⎛1⎫⎛1⎫1⎛=πR 2⎢ 1-⎪+ 1-2⎪+……+ 1-k ⎝2⎣⎝2⎭⎝2⎭⎫⎤⎪⎥⎭⎦⎡⎢1⎫⎤⎛112⎡2=πR ⎢k - +2+……+k ⎪⎥=πR ⎢k -2⎭⎦⎢⎣⎝22⎢⎣1⎛⎫=πR 2 k +k -1⎪.2⎝⎭115⎛⎫πR 2；πR 2 k +k -1⎪故答案为：216⎝⎭17．(1)a n=2n -1；(2)T n =1⎛11- 2⎝2k11-2⎫⎤⎪⎥⎭⎥⎥⎥⎦n.2n +1【解析】【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，根据已知条件可得出关于a 1、d 的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列{a n}的通项公式；1⎛11⎫-（2）求得b n = ⎪，利用裂项相消法可求得T n .2⎝2n -12n +1⎭(1)⎧⎧a 1+d =3⎧a 1=1⎪a 2=3⎪⇒⎨⇒解：设等差数列{a n }公差为d ，⎨，⎨6⨯5S =36d =26a +d =36⎩⎪6⎪12⎩⎩∴a n=1+2(n -1)=2n -1.(2)解：b n=1⎛11⎫= -，(2n -1)(2n +1)2⎝2n -12n +1⎪⎭+211⎛111T n = 1-+-+2⎝335211⎫-⎪=2n -12n +1⎭1⎛1⎫n. 1-⎪=2⎝2n +1⎭2n +118．(1)(x -1)+(y -3)=9(2)x =-2或5x +12y -2=0【解析】【分析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得a ,b ,r ，由此求得圆C 的方程.（2）根据过P 的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.(1)由题意，设圆C 的标准方程为：(x -a )+(y -b )=r 2,(a >0,b >0)，圆C 关于直线y =3x 对称，∴b =3a 圆C 与x 轴相切：∴r =b =3a …⊥点C (a ,b )到y =x 的距离为：d1=22a -b12+12=2a=2a ，2圆C 被直线y =x 截得的弦长为27，∴r 2=d 12+结合⊥有：9a 2=2a 2+7，∴a 2=1，又a >0，()7，2a 1，r =b =3a =3，22∴圆C 的标准方程为：(x -1)+(y -3)=9.(2)当直线l 的斜率不存在时，x =-2满足题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y -1=k (x +2).又圆C 的圆心为(1,3)，半径r =3，由3k -2k +12=3，解得k =-5.125(x +2)，即5x +12y -2=012所以直线方程为y -1=-即直线l 的方程为x =-2或5x +12y -2=0.19．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得MN 、ND 、PD 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面MND 、平面PCD 的法向量分别为m =(-2，-1，1)和n =(0，1，1)，算出m ⋅n =0，可得m ⊥n ，从而得出平面MND ⊥平面PCD ；263（2）由（1）中求出的平面MND 法向量m =(-2，-1，1)与向量PD =(0，2，-2)，利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点P到平面MND的距离．【详解】（1）证明：PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1)，∴MN=(0，1，1)，ND=(-1，1，-1)，PD=(0，2，-2)设m=(x，y，z)是平面MND的一个法向量，⎧m⋅MN=y+z=0可得⎨，取y=-1，得x=-2，z=1，⎩m⋅ND=-x+y-z=0∴m=(-2，-1，1)是平面MND的一个法向量，同理可得n=(0，1，1)是平面PCD的一个法向量，m⋅n=-2⨯0+(-1)⨯1+1⨯1=0，∴m⊥n，即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD；（2）解：由（1）得m=(-2，-1，1)是平面MND的一个法向量，PD=(0，2，-2)，得PD⋅m=0⨯(-2)+2⨯(-1)+(-2)⨯1=-4，∴点P到平面MND的距离d=|m⋅PD|426==．|m|34+1+120．(1)证明见解析；(2)2735.【解析】【分析】(1)利用给定的递推公式结合“当n ≥2时，a n=S n-Sn -1”计算推理作答.(2)插入的所有项构成数列{c n}，c n=2n ，再确定数列{b n}的前50项中含有数列{a n}和{c n}的项数计算作答.(1)依题意，S n +1=2S n +n +1，当n ≥2时，S n =2S n -1+n ，两式相减得：a n +1=2a n +1，则有a n +1+1=2(a n +1)，而a 1=1，即a 1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公式的等比数列.(2)n n 由(1)知，a n+1=2，即a n =2-1，插入的所有项构成数列{c n}，c n =2n ，数列{b n }中a 9前插入数列{c n }的项数为：1+2+3+4+5+6+7+8=36，而a 10前插入数列{c n}的项数为45，因此，数列{b n}的前50项中包含数列{a n }前9项，数列{c n}前41项，所以T 50=41(2+82)2+21-291-2()-9=2735.21．(1)证明见解析(2)存在，且【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得AN //平面PBC .（2）设(1)设E 是CD 的中点，连接AE ，由于AB //CE ,AB =CE ,AB ⊥BC ，所以四边形ABCE 是矩形，所以AE ⊥AB ，由于PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ,PA ⊥AE ，DM=t ，利用直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值列方程，化简求得t .DPDM 1=DP 2以A 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，11⎫⎛P (0,0,1),B (0,1,0),C 22,1,0,D 22,-1,0，N 2,-,⎪，22⎭⎝()()PB =(0,1,-1),PC =22,1,-1，()设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z )，⎧⎪n ⋅PB =y -z =0则⎨，故可设n =(0,1,1).⎪⎩n ⋅PC =22x +y -z =0AN ⋅n =0，且A ∉平面PBC ，所以AN //平面PBC .(2)DP =-22,1,1，设()DM =t (0≤t ≤1)，DP则DM =tDP =-22t ,t ,t ，AM =AD +DM =22-22t ,t -1,t ，CM =AM -AC =-22t ,t -2,t ，()()()设直线CM 与平面PBC 所成角为θ，n ⋅CMn ⋅CM1，3则sin θ==2t -22⋅(-22t )2+(t -2)+t221=，3两边平方并化简得4t 2-16t +7=0，解得t =17或t =（舍去）.22DM 11=.所以存在M ，使直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是，且3DP 2x 2222．(1)+y 2=1（2）22【解析】【分析】（1）由抛物线焦点可得c ，再根据离心率可得a ，即得b ；（2）先设直线方程x=ty +m ，根据向量数量积表示PA ⋅PB ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得PA ⋅PB 为定值的条件，解出m ；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于t 的函数，最后根据基本不等式求最值【详解】试题解析：解：（1）设F 1（﹣c ，0），⊥抛物线y 2=﹣4x 的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E 的左焦点F 与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，⊥c =1，又椭圆E 的离心率为2222，得a=2，2x 2于是有b =a ﹣c =1．故椭圆Γ的标准方程为：+y 2=1．2（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 的方程为：x =ty +m ，⎧x =ty +m由⎨2整理得（t 2+2）y 2+2tmy +m 2﹣2=0，2⎩x +2y =2-2tm m 2-2，y 1+y 2=2,y 1y 2=2t +2t +255PA =(x 1-,y 1),PB =(x 2-,y 2)，4455525PA ⋅PB =(x 1-)(x 2-)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)++y 1y2444165525=（t 2+1）y 1y 2+（tm ﹣t ）（y 1+y 2）+m 2﹣m +21645(-m 2+m )t 2+(m 2+2)572=+m 2-m -2t +221652-m 2+m m 2+2要使PA ⋅PB 为定值，则，解得m =1或m =（舍）2=31222(1+t 2)当m =1时，|AB |=1+t |y 1﹣y 2|=，2t +21点O 到直线AB 的距离d =，1+t 22t 2+112⨯2=2⨯⊥OAB 面积S =t +21+t +11+t 2≤22．⊥当t=0，⊥OAB面积的最大值为2.2答案第16页，共16页。