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A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
11 Cm
垂线的性质（ 垂线的性质（1）
问题: 问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l 或外)的一点A ,作 的垂线,可以作几条? 的垂线,可以作几条? 能作一条,而且只能作一条. 能作一条,而且只能作一条. 结论: 结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意: 注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就 是画这条线段(或射线)所在直线的垂线. 是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
解：如图、AD⊥BC于 解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F CF⊥AB于
F C D M A P N B
B E
2、如图，过P分别作OA、 、如图，过P分别作OA、 OB的垂线。 OB的垂线。 O 解：如图、PM⊥OA于 解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于 PN⊥OB于N
11 Cm
1.垂线的画法： 1.垂线的画法： 如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线. 的一点A ,作 的垂线.
请同学们 画一下
A
则所画直线AB是过点 则所画直线AB是过点 A的直线l的垂线. 的直线l的垂线.
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
如图，当直线AB与CD相交于O点， ∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足 为O。
A O
D
二、例题
如图，直线AB CD相交于点 AB、 相交于点O OE⊥AB， 例1 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， 1=55° EOD的度数 的度数. ∠1=55°,求∠EOD的度数.
解: ∵ AB⊥OE （已知） AB⊥
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∠EOB=90° 垂直的定义) A ∵ ∠BOD= ∠1=55° ∠BOD= 1=55° （对顶角相等）
C 1 (
E O D B
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD =90 °+55 °=145 °
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF， 如图,直线AB CD相交于点O,OE⊥AB于 AB、 相交于点O,OE OB平分 DOF， 平分∠ DOE=50° AOC、 EOF、 COF的度数 的度数. ∠DOE=50°,求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数.
解:
E
∵ AB⊥OE （已知） AB⊥ ∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∠EOB=90° 垂直的定义) ∵ ∠DOE= 50° （已知） ∠DOE= 50° B A O ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) ∠DOB=40° 互余的定义) C F ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） ∠AOC= DOB=40° 又∵OB平分∠DOF OB平分∠ ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） ∠BOF= DOB=40° ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∠EOF= BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100° ∠COF=∠COD－ DOF=180° 80°=100° (邻补角定义) 邻补角定义)
练习一、 练习一、
E E
E 注意:画线段(或射线) 注意:画线段(或射线)的 垂线时, 垂线时,有时要将线段延 长(或将射线反向延长)后 或将射线反向延长) 再画垂线. 再画垂线.
练习二、 练习二、
1、如图，分别过A、B、C 、如图，分别过A 作BC、AC、AB的垂线。 BC、AC、AB的垂线。 A
观察与思考
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 ，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 们的交点叫垂足。 例如、如图，a 例如、如图，a、b互相垂直,O 互相垂直,O b 叫垂足.a叫 的垂线，b也叫a 叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的 O 垂线。 从垂直的定义可知， 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。 一个角是直角。
你能再举出其他例子吗? 你能再举出其他例子吗?
3.垂直的书写形式： 3.垂直的书写形式： 垂直的书写形式
书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O， 那么，∠AOD=90°。 书写形式： AB⊥CD （已知） ∵ ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, b b b 当b的位置变化时,a、b所 b b 成的角α也会发生变化. α =90° ,a与 垂直. 当α =90°时,a与b垂直. α ） a ≠90° ,a与 当α ≠90°时,a与b不垂 叫斜交. 直，叫斜交. 斜交 两条直线相交 垂直 垂直是相交的特殊情况
新人教版-七年级（下）数学-第五章
5 .1.2 垂线（1） 垂线（ ）
一、学习目标
1、了解垂直的概念； 2、能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的 一条垂线，并且只能画出一条垂线”； 3、会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线； 4、会用几何语言准确表达能力。
二、重点和难点
重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 难点：垂线的性质
小结： 小结： 1、垂线的定义 2、垂线的画法
一、放；二、靠；三、移；四、画线
3、垂线的性质（1）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
祝同学们学习进步
D
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°,求 如图，直线AB、CD相交于点O OE⊥AB， 1=125° AB 相交于点 COE的度数 的度数. ∠COE的度数.
C
E
A
1 O D
B
垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
1.垂线的画法： 1.垂线的画法： 垂线的画法
工具：直尺、三角板 如图，已知直线 l,作l的垂线。 l,作
2.垂直的表示： 2.垂直的表示： 垂直的表示 用“⊥ 用“⊥”和直线字母表示垂直
a O
α
b
例如、如图，a 例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 互相垂直, 垂足为O 则记为： a⊥b或 a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为： 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O. 垂足为O.
日常生活中, 日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常 见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条. 说出图5.1- 中的一些互相垂直的线条.
问题： 这样画l 这样画l的 垂线可以 画几条？ 无数条
0 1 2 3 4 5
A
O
6 7 8 9 10
l
1放、 2靠、 3画线、
1Hale Waihona Puke Cm孝感市文昌中学学生专用尺
1.垂线的画法： 1.垂线的画法： 垂线的画法
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 的一点A ,作 的垂线.
B
则所画直线AB是过 则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线. 的直线l的垂线.
