1-4高等数学同济大学第六版本

高等数学同济教材第六版高等数学是大学数学重要的一门课程，对于理工科学生来说是必修内容。

同济大学出版社出版的高等数学同济教材第六版是一本经典教材，被广大学生和教师广泛使用。

本文将对该教材进行全面分析和评价。

一、教材概述高等数学同济教材第六版于20xx年出版，是在前五版的基础上进行了更新和修订的版本。

该教材内容全面、系统，逻辑清晰，覆盖了大部分高等数学的主要内容，包括数列与极限、连续函数与导数、定积分与反常积分等。

该教材的编写团队由同济大学数学系的教授和专家组成，他们在教学和研究领域积累了丰富的经验。

因此，该教材不仅准确地反映了高等数学的理论与实践，而且融入了许多实例和习题，以帮助学生巩固所学知识。

二、教材特点1. 知识点详细全面：高等数学同济教材第六版在每个章节中详细介绍了各个知识点，并结合实例进行讲解。

每个知识点都给出了定义、必要条件和相关定理，能够满足学生对于理论知识的要求。

2. 题目丰富多样：该教材提供了大量的习题和例题，在不同难度层次上进行了分级，从基础到提高，充分满足了学生的不同需求。

习题形式多样，有选择题、填空题、计算题等，可以培养学生的各种解题能力。

3. 理论与实践结合：高等数学同济教材第六版注重将理论与实践相结合，通过例题和习题的设计，引导学生将所学的知识应用到实际问题中。

这有助于学生更好地理解和掌握知识，并提升解决实际问题的能力。

三、教材优势1. 难度适中：高等数学同济教材第六版的难度设置适中，能够满足大多数理工科学生的学习需求。

教材章节之间难度递进，有利于学生渐进地学习和掌握知识。

2. 理论严谨性：教材中的理论推导和证明过程准确严谨，能够帮助学生建立起扎实的数学基础和严密的逻辑思维能力。

3. 重点突出：高等数学同济教材第六版对于重点知识点进行了重点突出，以加深学生对于重要概念和定理的理解。

同时，在对应关键知识点下辅以大量的习题，以帮助学生加深对该知识点的掌握。

四、教材不足1. 缺乏应用示例：尽管教材在理论与实践结合方面有很大的优势，但有时缺乏具体的实际应用示例，这对于一些学生来说可能不够直观。

同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

高等数学教材六版同济大学高等数学是大学阶段数学教育的重要组成部分，其教材的选择对于学生的学习和掌握数学知识具有至关重要的影响。

同济大学出版社出版的《高等数学》教材第六版是在前几版的基础上进行了全面的修订和更新。

本文将从教材在内容设计、语言表达和教学方法等方面的特点进行探讨，以及对于教学效果的评价。

一、内容设计《高等数学》教材六版同济大学在内容设计上力求科学系统、结构完整、层次清晰。

教材按照数列与极限、微积分、多元函数与微积分、曲线积分与曲面积分、常微分方程等模块进行划分，每个模块下又有多个章节，以确保学生可以按照系统的顺序学习和掌握知识。

同时，教材还减少了一些难度较大或过于专业的内容，根据当前数学教育的需求和学生的实际情况进行了适度的精简。

二、语言表达教材的语言表达是影响学生理解和掌握知识的重要因素。

《高等数学》教材六版同济大学在语言表达上力求准确简明、通俗易懂。

教材使用了通俗的语言，避免过多的数学符号和专业名词，力求让学生能够轻松理解和消化知识。

同时，教材还合理设置了很多例题和习题，通过具体实例的引导，帮助学生更好地理解和应用所学的数学知识。

三、教学方法《高等数学》教材六版同济大学在教学方法上强调理论联系实际、因材施教。

教材在每个章节都融入了大量的实际问题和应用背景，旨在帮助学生理解数学知识与现实生活的联系。

此外，教材还提供了一些解题技巧和思维方法，帮助学生培养良好的数学思维和解决问题的能力。

同时，教材还针对不同学生的学习特点和水平，设置了不同难度和类型的习题，以巩固和提高学生对于知识的掌握程度。

评价《高等数学》教材六版同济大学作为一种教学工具，在教学实践中受到了广大师生的肯定。

教材的内容设计合理，覆盖了高等数学的各个重要知识点，层次清晰，条理清楚。

同时，教材的语言表达简明通俗，容易理解，符合学生的接受水平。

教材提供的大量例题和习题，为学生的巩固和提高提供了可行的途径。

此外，教材还注重培养学生的数学思维和问题解决能力，增强了学生对数学学科的兴趣和掌握能力。

高等数学教材同济第六版同济大学高等数学教材第六版近年来，随着高等教育的普及和数学科学的不断发展，高等数学教材也逐渐得到了更新和改进。

其中，同济大学《高等数学》教材第六版作为一部经典教材，以其全面、准确和易于理解的特点，被广大师生所喜爱和推崇。

一、总体结构和特点同济大学《高等数学》教材第六版采用了模块化的教学方式，将数学知识划分为不同的章节和单元，以便学生更好地理解和应用。

教材以数学的逻辑性为主线，分为微积分、常微分方程、多元函数微分学、多重积分学、曲线积分与曲面积分以及无穷级数六个模块。

该教材注重培养学生的数学思维能力，突出解决实际问题的能力培养，通过大量的例题和习题，引导学生理解和运用数学知识。

同时，教材还注重数学的应用，将数学与实际生活和其他学科有机结合，提供丰富的实例和应用案例，培养学生的实际应用能力。

二、微积分模块《高等数学》教材第六版的微积分模块从极限、连续、导数和不定积分等基本概念开始，循序渐进地引导学生理解微积分的基本理论和方法。

在介绍微积分的基本概念后，教材详细讲解了一元函数微分学、一元函数积分学以及微分方程，其中又以一元函数微分学为重点。

三、常微分方程模块在解析几何学和代数学的基础上，常微分方程模块引入了常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及解法。

教材中给出了丰富的例题和习题，帮助学生掌握不同类型的常微分方程的求解方法，并应用到实际问题中。

四、多元函数微分学模块多元函数微分学模块主要介绍了二元函数及其极限、偏导数、全微分和二元函数的极值问题。

通过引入隐函数和参数方程，教材进一步拓宽了学生对多元函数微分学的理解，并引导学生运用所学知识解决实际问题。

五、多重积分学模块多重积分学模块对二重积分和三重积分进行了系统讲解，包括积分的概念、计算方法以及重要的应用。

通过大量的实例引导，学生能够灵活运用多重积分解决几何、物理、概率等领域的问题。

六、曲线积分与曲面积分模块曲线积分与曲面积分模块是《高等数学》教材第六版的重点难点内容，对曲线积分与曲面积分的概念、计算方法以及物理意义进行了详细讲解。

《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
第六版同济大学高等数学上册课后答案详解
《高等数学第六版上册》是2007年高等教育出版社出版的图书。

本书是同济大学数学系编《高等数学》的第六版，依据最新的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，为高等院校工科类各专业学生修订而成。

本次修订时对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带*号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了凋整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整,将微分方程作为一元函数微积分的应用移到上册,更有利于学生的学习与掌握。

本书分上、下两册出版,上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容,书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示
高等数学是大学必修数学科目之一，当然这对于非数学专业的同学而言，简直就是难上加难，但是对于数学专业同学而言，这就是基础课，必须踏踏实实的学好，否则对于以后的学习真的就是难上加难，牧边我就是深有体会啊。

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1?11? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ?B ?[?10? ?5)?A \B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)?2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明 因为x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ?3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明(1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明 因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B ) ? y ?f (A )?f (B )?所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )?4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g =ο? Y I g f =ο? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1?证明 因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射?又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射?对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射?5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ?(2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ?证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))? 所以 f ?1(f (A ))?A ?(2)由(1)知f ?1(f (A ))?A ?另一方面? 对于任意的x ?f ?1(f (A ))?存在y ?f (A )? 使f ?1(y )?x ?f (x )?y ? 因为y ?f (A )且f 是单射? 所以x ?A ? 这就证明了f ?1(f (A ))?A ? 因此f ?1(f (A ))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)23+=x y ?解 由3x ?2?0得32->x ? 函数的定义域为) ,32[∞+-?(2)211xy -=?解 由1?x 2?0得x ??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)211x x y --=?解 由x ?0且1?x 2?0得函数的定义域D ?[?1? 0)?(0? 1]? (4)241x y -=? 解 由4?x 2?0得 |x |?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)x y sin =?解 由x ?0得函数的定义D ?[0? ??)? (6) y ?tan(x ?1)?解 由21π≠+x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?(7) y ?arcsin(x ?3)?解 由|x ?3|?1得函数的定义域D ?[2? 4]?(8)xx y 1arctan 3+-=?解 由3?x ?0且x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? 3)? (9) y ?ln(x ?1)?解 由x ?1?0得函数的定义域D ?(?1? ??)? (10)x e y 1=?解 由x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? ??)?7? 下列各题中? 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )?lg x 2? g (x )?2lg x ? (2) f (x )?x ? g (x )?2x ? (3)334)(x x x f -=?31)(-=x x x g ?(4)f (x )?1? g (x )?sec 2x ?tan 2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?(2)不同? 因为对应法则不同? x ?0时? g (x )??x ? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?8? 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x ? 求)6(πϕ? )4(πϕ? )4(πϕ-? ?(?2)? 并作出函数y ??(x )的图形? 解 21|6sin |)6(==ππϕ? 22|4sin |)4(==ππϕ? 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ? 0)2(=-ϕ? 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)x x y -=1? (??? 1)?(2)y ?x ?ln x ? (0? ??)?证明 (1)对于任意的x 1? x 2?(??? 1)? 有1?x 1?0? 1?x 2?0? 因为当x 1?x 2时? 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ? 所以函数x x y -=1在区间(??? 1)内是单调增加的?(2)对于任意的x 1? x 2?(0? ??)? 当x 1?x 2时? 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ? 所以函数y ?x ?ln x 在区间(0? ??)内是单调增加的?10? 设 f (x )为定义在(?l ? l )内的奇函数? 若f (x )在(0? l )内单调增加? 证明f (x )在(?l ? 0)内也单调增加?证明 对于?x 1? x 2?(?l ? 0)且x 1?x 2? 有?x 1? ?x 2?(0? l )且?x 1??x 2?因为f (x )在(0? l )内单调增加且为奇函数? 所以f (?x 2)?f (?x 1)? ?f (x 2)??f (x 1)? f (x 2)?f (x 1)?这就证明了对于?x 1? x 2?(?l ? 0)? 有f (x 1)? f (x 2)? 所以f (x )在(?l ? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l ? l )上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?证明 (1)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?(2)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?[?f (x )][?g (x )]?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果f (x )是偶函数? 而g (x )是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )[?g (x )]??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y ?x 2(1?x 2)? (2)y ?3x 2?x 3?(3)2211x x y +-=? (4)y ?x (x ?1)(x ?1)? (5)y ?sin x ?cos x ?1?(6)2x x a a y -+=? 解 (1)因为f (?x )?(?x )2[1?(?x )2]?x 2(1?x 2)?f (x )? 所以f (x )是偶函数? (2)由f (?x )?3(?x )2?(?x )3?3x 2?x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-? 所以f (x )是偶函数? (4)因为f (?x )?(?x )(?x ?1)(?x ?1)??x (x ?1)(x ?1)??f (x )? 所以f (x )是奇函数? (5)由f (?x )?sin(?x )?cos(?x )?1??sin x ?cos x ?1可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----? 所以f (x )是偶函数?13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y ?cos(x ?2)?解 是周期函数? 周期为l ?2?? (2)y ?cos 4x ?解 是周期函数? 周期为2π=l ?(3)y ?1?sin ?x ?解 是周期函数? 周期为l ?2? (4)y ?x cos x ?解 不是周期函数? (5)y ?sin 2x ?解 是周期函数? 周期为l ??? 14? 求下列函数的反函数? (1)31+=x y ?解 由31+=x y 得x ?y 3?1? 所以31+=x y 的反函数为y ?x 3?1? (2)xx y +-=11?解 由x x y +-=11得y yx +-=11? 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11?(3)dcx b ax y ++=(ad ?bc ?0)?解 由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=? 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=?(4) y ?2sin3x ?解 由y ?2sin 3x 得2arcsin 31yx =? 所以y ?2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =?(5) y ?1?ln(x ?2)?解 由y ?1?ln(x ?2)得x ?e y ?1?2? 所以y ?1?ln(x ?2)的反函数为y ?e x ?1?2?(6)122+=xxy ? 解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2? 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2?15? 设函数f (x )在数集X 上有定义? 试证? 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界?证明 先证必要性? 设函数f (x )在X 上有界? 则存在正数M ? 使|f (x )|?M ? 即?M ?f (x )?M ? 这就证明了f (x )在X 上有下界?M 和上界M ?再证充分性? 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2? 即K 1?f (x )? K 2 ? 取M ?max{|K 1|? |K 2|}? 则 ?M ? K 1?f (x )? K 2?M ? 即 |f (x )|?M ?这就证明了f (x )在X 上有界?16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值?(1) y ?u 2? u ?sin x ? 61π=x ? 32π=x ?解 y ?sin 2x ? 41)21(6sin 221===πy ?43)23(3sin 222===πy ?(2) y ?sin u ? u ?2x ? 81π=x ?42π=x ?解 y ?sin2x ? 224sin )82sin(1==⋅=ππy ?12sin )42sin(2==⋅=ππy ? (3)u y =? u ?1?x 2? x 1?1? x 2? 2?解 21x y +=? 21121=+=y ? 52122=+=y ? (4) y ?e u ? u ?x 2? x 1 ?0? x 2?1? 解 2x e y =? 1201==e y ? e e y ==212?(5) y ?u 2 ? u ?e x ? x 1?1? x 2??1?解 y ?e 2x ? y 1?e 2?1?e 2? y 2?e 2?(?1)?e ?2?17? 设f (x )的定义域D ?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f (x 2)?解 由0?x 2?1得|x |?1? 所以函数f (x 2)的定义域为[?1? 1]? (2) f (sin x )?解 由0?sin x ?1得2n ??x ?(2n ?1)? (n ?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n ?? (2n ?1)?] (n ?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f (x ?a )(a >0)?解 由0?x ?a ?1得?a ?x ?1?a ? 所以函数f (x ?a )的定义域为[?a ? 1?a ]? (4) f (x ?a )?f (x ?a )(a ?0)?解 由0?x ?a ?1且0?x ?a ?1得? 当210≤<a 时? a ?x ?1?a ? 当21>a 时? 无解? 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ? 1?a ]? 当21>a 时函数无意义?18? 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f ? g (x )?e x ? 求f [g (x )]和g [f (x )]? 并作出这两个函数的图形? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10001)]([x x x x g f ? ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g ?19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时? 求湿周L (L ?AB ?BC ?CD )与水深h 之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37解 ο40sin h DC AB ==? 又从)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅-=ο40cot 0? 所以h h S L οο40sin 40cos 20-+=? 自变量h 的取值范围应由不等式组h ?0?040cot 0>⋅-h hS ο确定? 定义域为ο40cot 00S h <<?20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元? (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数? (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数? (3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0?x ?100时? p ?90?令0?01(x 0?100)?90?75? 得x 0?1600? 因此当x ?1600时? p ?75? 当100?x ?1600时?p ?90?(x ?100)?0?01?91?0? 01x ? 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p ? (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P ?(3) P ?31?1000?0?01?10002?21000(元)?习题1?21? 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势? 写出它们的极限? (1)nn x 21=?解 当n ??时? nn x 21=?0? 021lim =∞→n n ? (2)nx n n 1)1(-=?解 当n ??时? n x n n 1)1(-=?0? 01)1(lim =-∞→nn n ?(3)212nx n +=?解 当n ??时? 212n x n +=?2? 2)12(lim 2=+∞→n n ? (4)11+-=n n x n ?解 当n ??时? 12111+-=+-=n n n x n ?0? 111lim =+-∞→n n n ?(5) x n ?n (?1)n ?解 当n ??时? x n ?n (?1)n 没有极限?2? 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π=? 问n n x ∞→lim ?? 求出N ? 使当n ?N 时? x n 与其极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N ? 解 0lim =∞→n n x ?n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π? ?? ?0? 要使|x n ?0|?? ? 只要ε<n 1? 也就是ε1>n ? 取]1[ε=N ? 则?n ?N ? 有|x n ?0|?? ?当? ?0?001时? ]1[ε=N ?1000?3? 根据数列极限的定义证明?(1)01lim 2=∞→n n ?分析 要使ε<=-221|01|n n ? 只须ε12>n ? 即ε1>n ? 证明 因为???0? ?]1[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-|01|2n ? 所以01lim 2=∞→n n ?(2)231213lim =++∞→n n n ?分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|? 只须ε<n41? 即ε41>n ? 证明 因为???0? ?]41[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-++|231213|n n ? 所以231213lim =++∞→n n n ?(3)1lim22=+∞→na n n ?分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|? 只须ε2a n >?证明 因为???0? ?][2εa N =? 当?n ?N 时? 有ε<-+|1|22n a n ? 所以1lim 22=+∞→n a n n ?(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n ? 分析 要使|0?99 ? ? ? 9?1|ε<=-1101n ? 只须1101-n ?? ? 即ε1lg 1+>n ? 证明 因为???0? ?]1lg 1[ε+=N ? 当?n ?N 时? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n ? 4? a u n n =∞→lim ? 证明||||lim a u n n =∞→? 并举例说明? 如果数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限?证明 因为a u n n =∞→lim ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有ε<-||a u n ? 从而||u n |?|a ||?|u n ?a |?? ?这就证明了||||lim a u n n =∞→?数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限? 例如1|)1(|lim =-∞→n n ? 但n n )1(lim -∞→不存在?5? 设数列{x n }有界? 又0lim =∞→n n y ? 证明? 0lim =∞→n n n y x ?证明 因为数列{x n }有界? 所以存在M ? 使?n ?Z ? 有|x n |?M ?又0lim =∞→n n y ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有M y n ε<||? 从而当n ?N 时? 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|?所以0lim =∞→n n n y x ?6? 对于数列{x n }? 若x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 证明? x n ?a (n ??)?证明 因为x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 所以???0? ?K 1? 当2k ?1?2K 1?1时? 有| x 2k ?1?a |?? ? ?K 2? 当2k ?2K 2时? 有|x 2k ?a |?? ?取N ?max{2K 1?1? 2K 2}? 只要n ?N ? 就有|x n ?a |?? ? 因此x n ?a (n ??)?习题1?31? 根据函数极限的定义证明? (1)8)13(lim 3=-→x x ?分析 因为|(3x ?1)?8|?|3x ?9|?3|x ?3|? 所以要使|(3x ?1)?8|?? ? 只须ε31|3|<-x ?证明 因为???0? ?εδ31=? 当0?|x ?3|??时? 有|(3x ?1)?8|?? ? 所以8)13(lim 3=-→x x ?(2)12)25(lim 2=+→x x ?分析 因为|(5x ?2)?12|?|5x ?10|?5|x ?2|? 所以要使|(5x ?2)?12|?? ? 只须ε51|2|<-x ?证明 因为?? ?0? ?εδ51=? 当0?|x ?2|??时? 有 |(5x ?2)?12|?? ? 所以12)25(lim 2=+→x x ?(3)424lim22-=+--→x x x ? 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ? 所以要使ε<--+-)4(242x x ? 只须ε<--|)2(|x ? 证明 因为?? ?0? ?εδ=? 当0?|x ?(?2)|??时? 有ε<--+-)4(242x x ? 所以424lim22-=+--→x x x ? (4)21241lim 321=+--→x x x ? 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ? 所以要使ε<-+-212413x x ? 只须ε21|)21(|<--x ? 证明 因为?? ?0? ?εδ21=? 当δ<--<|)21(|0x 时? 有ε<-+-212413x x ?所以21241lim 321=+--→x x x ?2? 根据函数极限的定义证明?(1)2121lim 33=+∞→x x x ? 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+? 所以要使ε<-+212133x x ? 只须ε<3||21x ? 即321||ε>x ? 证明 因为?? ?0? ?321ε=X ? 当|x |?X 时? 有ε<-+212133x x ? 所以2121lim 33=+∞→x x x ? (2)0sin lim =+∞→xx x ?分析 因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-?所以要使ε<-0sin x x ? 只须ε<x1? 即21ε>x ?证明 因为???0? ?21ε=X ? 当x ?X 时? 有ε<-0sin xx ?所以0sin lim =+∞→xx x ?3? 当x ?2时? y ?x 2?4? 问?等于多少? 使当|x ?2|<?时? |y ?4|<0?001？ 解 由于当x ?2时? |x ?2|?0? 故可设|x ?2|?1? 即1?x ?3? 要使|x 2?4|?|x ?2||x ?2|?5|x ?2|?0?001? 只要0002.05001.0|2|=<-x ?取??0?0002? 则当0?|x ?2|??时? 就有|x 2?4|?0? 001?4? 当x ??时? 13122→+-=x x y ? 问X 等于多少? 使当|x |?X 时? |y ?1|?0?01? 解 要使01.034131222<+=-+-x x x ? 只要397301.04||=->x ? 故397=X ?5? 证明函数f (x )?|x |当x ?0时极限为零?证明 因为|f (x )?0|?||x |?0|?|x |?|x ?0|? 所以要使|f (x )?0|??? 只须|x |???因为对???0? ????? 使当0?|x ?0|??? 时有 |f (x )?0|?||x |?0|??? 所以0||lim 0=→x x ?6? 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x ?0时的左﹑右极限? 并说明它们在x ?0时的极限是否存在?证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ?11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ?)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-?所以极限)(lim 0x f x →存在?因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ?1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ?)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-?所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在?7? 证明? 若x ???及x ???时? 函数f (x )的极限都存在且都等于A ? 则A x f x =∞→)(lim ?证明 因为A x f x =-∞→)(lim ? A x f x =+∞→)(lim ? 所以??>0??X 1?0? 使当x ??X 1时? 有|f (x )?A |?? ??X 2?0? 使当x ?X 2时? 有|f (x )?A |?? ?取X ?max{X 1? X 2}? 则当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ? 即A x f x =∞→)(lim ?8? 根据极限的定义证明? 函数f (x )当x ?x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等?证明 先证明必要性? 设f (x )?A (x ?x 0)? 则??>0? ???0? 使当0<|x ?x 0|<? 时? 有 |f (x )?A |<? ?因此当x 0??<x <x 0和x 0<x <x 0?? 时都有 |f (x )?A |<? ?这说明f (x )当x ?x 0时左右极限都存在并且都等于A ? 再证明充分性? 设f (x 0?0)?f (x 0?0)?A ? 则??>0? ??1>0? 使当x 0??1<x <x 0时? 有| f (x )?A <? ? ??2>0? 使当x 0<x <x 0+?2时? 有| f (x )?A |<? ?取??min{?1? ?2}? 则当0<|x ?x 0|<? 时? 有x 0??1<x <x 0及x 0<x <x 0+?2 ? 从而有 | f (x )?A |<? ? 即f (x )?A (x ?x 0)?9? 试给出x ??时函数极限的局部有界性的定理? 并加以证明?解 x ??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f (x )当x ??时的极限存在? 则存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ?证明 设f (x )?A (x ??)? 则对于? ?1? ?X ?0? 当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ?1? 所以 |f (x )|?|f (x )?A ?A |?|f (x )?A |?|A |?1?|A |?这就是说存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ? 其中M ?1?|A |? 习题1?41? 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之? 解 不一定?例如? 当x ?0时? ?(x )?2x ? ?(x )?3x 都是无穷小? 但32)()(lim0=→x x x βα? )()(x x βα不是无穷小?2? 根据定义证明?(1)392+-=x x y 当x ?3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x ?0时为无穷小?证明 (1)当x ?3时|3|39||2-=+-=x x x y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?3|??时? 有 εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ?所以当x ?3时392+-=x x y 为无穷小? (2)当x ?0时|0||1sin |||||-≤=x xx y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?0|??时? 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ?所以当x ?0时xx y 1sin =为无穷小?3? 根据定义证明? 函数xx y 21+=为当x ?0时的无穷大? 问x 应满足什么条件? 能使|y |?104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ? 要使|y |?M ? 只须M x >-2||1? 即21||+<M x ?证明 因为?M ?0? ?21+=M δ? 使当0?|x ?0|??时? 有M xx >+21?所以当x ?0时? 函数xx y 21+=是无穷大?取M ?104? 则21014+=δ? 当2101|0|04+<-<x 时? |y |?104? 4? 求下列极限并说明理由? (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20? 解 (1)因为xx x 1212+=+? 而当x ?? 时x 1是无穷小? 所以212lim =+∞→x x x ?(2)因为x xx +=--1112(x ?1)? 而当x ?0时x 为无穷小? 所以111lim 20=--→x x x ?解 函数y ?x cos x 在(??? ??)内无界?这是因为?M ?0? 在(??? ??)内总能找到这样的x ? 使得|y (x )|?M ? 例如y (2k ?)?2k ? cos2k ??2k ? (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? 就有| y (2k ?)|?M ?当x ??? 时? 函数y ?x cos x 不是无穷大?这是因为?M ?0? 找不到这样一个时刻N ? 使对一切大于N 的x ? 都有|y (x )|?M ? 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?对任何大的N ? 当k 充分大时? 总有N k x >+=22ππ? 但|y (x )|?0?M ?7? 证明? 函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 但这函数不是当x ?0+时的无穷大?证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 这是因为?M ?0? 在(0? 1]中总可以找到点x k ? 使y (x k )?M ? 例如当221ππ+=k x k (k ?0? 1? 2? ? ? ?)时? 有22)(ππ+=k x y k ?当k 充分大时? y (x k )?M ?当x ?0+ 时? 函数xx y 1sin 1=不是无穷大? 这是因为?M ?0? 对所有的??0? 总可以找到这样的点x k ? 使0?x k ??? 但y (x k )?M ? 例如可取πk x k 21=(k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? x k ??? 但y (x k )?2k ?sin2k ??0?M ? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ?(3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→?(6))112(lim 2xx x +-∞→? 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ? 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→?解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→? 解 2211)21(1lim )2141211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ?(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→?解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ? 解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ? (3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→? (6))112(lim 2x x x +-∞→?解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ?解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2xx x -+∞→? 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→?解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ? (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→? 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同? 极限为 最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ?解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题 1?71? 当x ?0时? 2x ?x 2 与x 2?x 3相比? 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ?所以当x ?0时? x 2?x 3是高阶无穷小? 即x 2?x 3?o (2x ?x 2)?2? 当x ?1时? 无穷小1?x 和(1)1?x 3? (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和1?x 3是同阶的无穷小? 但不是等价无穷小?(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和)1(212x -是同阶的无穷小? 而且是等价无穷小?3? 证明? 当x ?0时? 有? (1) arctan x ~x ?(2)2~1sec 2x x -? 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示? 令y ?arctan x ? 则当x ?0时? y ?0)? 所以当x ?0时? arctan x ~x ?(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x ? 所以当x ?0时? 2~1sec 2x x -? 4? 利用等价无穷小的性质? 求下列极限? (1)xx x 23tan lim 0→?(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n ? m 为正整数)?(3)x x x x 30sin sin tan lim -→? (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x ?解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x ?(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00? (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x ? (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x ?0)?23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x ?0)? x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x ?0)? 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x ?5? 证明无穷小的等价关系具有下列性质? (1) ? ~? (自反性)?(2) 若? ~?? 则?~?(对称性)? (3)若? ~?? ?~?? 则?~?(传递性)? 证明 (1)1lim =αα? 所以? ~? ?(2) 若? ~?? 则1lim =βα? 从而1lim=αβ? 因此?~? ? (3) 若? ~?? ?~?? 1lim limlim =⋅=βαγβγα? 因此?~?? 习题1?81? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ?解 已知多项式函数是连续函数? 所以函数f (x )在[0? 1)和(1? 2]内是连续的? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ? 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ?所以1)(lim 1=→x f x ? 从而函数f (x )在x ?1处是连续的?综上所述，函数f (x )在[0? 2]上是连续函数?(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f ?解 只需考察函数在x ??1和x ?1处的连续性? 在x ??1处? 因为f (?1)??1? 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ?)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ?所以函数在x ??1处间断? 但右连续? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x ?f (1)? 11lim )(lim 11==++→→x x x f ?f (1)?所以函数在x ?1处连续?综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在x ??1处间断? 但右连续?2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?(1)23122+--=x x x y ? x ?1? x ?2? 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y ? 因为函数在x ?2和x ?1处无定义? 所以x ?2和x ?1是函数的间断点?因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x ? 所以x ?2是函数的第二类间断点?因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x ? 所以x ?1是函数的第一类间断点? 并且是可去间断点? 在x ?1处?令y ??2? 则函数在x ?1处成为连续的?(2)x x y tan =? x ?k ? 2ππ+=k x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?解 函数在点x ?k ?(k ?Z)和2ππ+=k x (k ?Z)处无定义? 因而这些点都是函数的间断点?因∞=→x x k x tan lim π(k ?0)? 故x ?k ?(k ?0)是第二类间断点?因为1tan lim0=→x x x ? 0tan lim2=+→xx k x ππ(k ?Z)? 所以x ?0和2 ππ+=k x (k ?Z) 是第一类间断点且是可去间断点?令y |x ?0?1? 则函数在x ?0处成为连续的?令2 ππ+=k x 时? y ?0? 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的?(3)xy 1cos 2=? x ?0?解 因为函数x y 1cos 2=在x ?0处无定义? 所以x ?0是函数x y 1cos 2=的间断点? 又因为xx 1cos lim 20→不存在? 所以x ?0是函数的第二类间断点?(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y ? x ?1?解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x ?2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1是函数的第一类不可去间断点?3? 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性? 若有间断点? 判别其类型? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n ? 在分段点x ??1处? 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ? 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ? 所以x ??1为函数的第一类不可去间断点?在分段点x ?1处? 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ? 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1为函数的第一类不可去间断点?4? 证明? 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)?0? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0?证明 不妨设f (x 0)>0? 因为f (x )在x 0连续? 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ? 由极限的局部保号性定理? 存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο? 使当x ?)(0x U ο时f (x )>0? 从而当x ?U (x 0)时? f (x )>0? 这就是说? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0? 5? 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子?(1)x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?是f (x )的所有间断点? 且它们都是无穷间断点?解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?处是间断的?且这些点是函数的无穷间断点?(2)f (x )在R 上处处不连续? 但|f (x )|在R 上处处连续?解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续? 但|f (x )|?1在R 上处处连续?(3)f (x )在R 上处处有定义? 但仅在一点连续?解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义? 它只在x ?0处连续?习题1?91? 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间? 并求极限)(lim 0x f x →? )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →? 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ? 函数在(??? ??)内除点x ?2和x ??3外是连续的? 所以函数f (x )的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)?在函数的连续点x ?0处? 21)0()(lim 0==→f x f x ?在函数的间断点x ?2和x ??3处? ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ? 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x ?2? 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续? 证明函数?(x )?max{f (x )? g (x )}? ?(x )?min{f (x )? g (x )} 在点x 0也连续?证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→? )()(lim 00x g x g x x =→?可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ?因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ?因为] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++=??(x 0)?所以?(x )在点x 0也连续?同理可证明?(x )在点x 0也连续? 3? 求下列极限? (1)52lim 20+-→x x x ?(2)34)2(sin lim x x π→?(3))2cos 2ln(lim 6x x π→?(4)xx x 11lim 0-+→?(5)145lim 1---→x x x x ?(6)a x a x a x --→sin sin lim ?(7))(lim 22x x x x x --++∞→?解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数? f (x )在点x ?0有定义? 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x ?(2)因为函数f (x )?(sin 2x )3是初等函数? f (x )在点4π=x 有定义? 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x ?(3)因为函数f (x )?ln(2cos2x )是初等函数? f (x )在点6π=x 有定义? 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x ?(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x ?(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x ? (6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=--⋅+=→→? (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x x x x ?4? 求下列极限? (1)xx e 1lim∞→?(2)x x x sin ln lim 0→?(3)2)11(lim xx x +∞→? (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→?(5)21)63(lim -∞→++x x xx ? (6)xx x xx x -++-+→2sin 1sin 1tan 1lim?解 (1) 1lim 01lim 1===∞→∞→e ee xx x x ?(2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x xx x x ?(3) []e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim)11(lim ?(4) []33tan 3120cot 2022)tan 31(lim)tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→?(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xx x ? 因为 e x x x =+-+-+∞→36)631(lim ? 232163lim -=-⋅+-∞→x x x ?所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x ?(6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(limsin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→ 21)2(2lim 320=⋅=→xx x x ? 5? 设函数⎩⎨⎧≥+<=0 0)(x x a x e x f x ? 应当如何选择数a ? 使得f (x )成为在(??? ??)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(??? ??)内连续? 只须f (x )在x ?0处连续? 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0?因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f ? a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00? 所以只须取a ?1?习题1?101? 证明方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?证明 设f (x )?x 5?3x ?1? 则f (x )是闭区间[1? 2]上的连续函数?因为f (1)??3? f (2)?25? f (1)f (2)?0? 所以由零点定理? 在(1? 2)内至少有一点? (1???2)? 使f (?)?0? 即x ?? 是方程x 5?3x ?1的介于1和2之间的根? 因此方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?2? 证明方程x ?a sin x ?b ? 其中a ?0? b ?0? 至少有一个正根? 并且它不超过a ?b ? 证明 设f (x )?a sin x ?b ?x ? 则f (x )是[0? a ?b ]上的连续函数? f (0)?b ? f (a ?b )?a sin (a ?b )?b ?(a ?b )?a [sin(a ?b )?1]?0?若f (a ?b )?0? 则说明x ?a ?b 就是方程x ?a sin x ?b 的一个不超过a ?b 的根?若f (a ?b )?0? 则f (0)f (a ?b )?0? 由零点定理? 至少存在一点??(0? a ?b )? 使f (?)?0? 这说明x ?? 也是方程x =a sin x ?b 的一个不超过a ?b 的根?。

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=; (4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

高等数学第六版教材同济大学高等数学是一门重要的基础学科，对于大学理工类专业的学生来说，掌握高等数学的知识非常重要。

同济大学的高等数学第六版教材是我国国内知名的数学教材之一，本文将对该教材进行简要的介绍和评述。

一、教材概述《高等数学（第六版）》是同济大学数学系主编的一本教材，适用于理工科各专业的大学生。

该教材内容全面，结构严谨，从基础概念开始，逐步引入高等数学的各个分支，包括数列与极限、微分学、积分学、级数、常微分方程等内容。

教材中的例题和习题设计合理，有助于帮助学生巩固理论知识，并提升解题能力。

二、教材特点1. 严谨的逻辑结构：该教材按照数学知识的逻辑顺序编排，内容层层递进，各章节之间相互联系，使学生能够较为顺利地掌握高等数学的各个概念和定理。

2. 全面的内容涵盖：教材内容全面，包括数列与极限、函数与极限、连续函数、导数与微分、积分、常微分方程等多个方面的知识，基本涵盖了高等数学的核心内容。

3. 详细的讲解与例题：教材对重要的概念和定理进行详细的解释和推导，配有大量的例题进行说明，帮助学生理解和掌握数学的基本方法和思维。

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5. 注重理论与实践结合：教材在讲解理论知识的同时，注重将数学与实际问题相结合，引导学生将数学知识应用到实际问题的解决中，培养学生的应用能力。

三、教材优势1. 知名高校编写：该教材由同济大学数学系编写，借助该校数学学科优势，教材体现了高水平的学术水准，符合当前高等数学教学的发展趋势。

2. 经典权威之选：该教材已经发行了多个版本，得到了广大教师和学生的认可和推崇，被许多高校列为高等数学课程的教材之一。

3. 专业性强：教材内容系统全面，适合专业学生深入学习高等数学，并为后续的专业课程打下坚实的数学基础。

四、教材问题与改进1. 部分章节过于繁琐：在某些章节中，教材的讲解显得过于冗长，容易让学生产生疲劳感，建议编辑部在后续版本中对这些内容进行精简。