非共振奇异m点边值问题的正解

一类奇异二阶边值问题的多重解石金娥;崔国忠;黄振友【摘要】利用变分方法得到了一类非线性奇异二阶边值问题多重解的个数至少是2n,并应用该结论说明了一个具体的边值问题至少有14个解.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2010(028)003【总页数】4页(P258-261)【关键词】奇异二阶边值问题;变分原理;临界点【作者】石金娥;崔国忠;黄振友【作者单位】信息工程大学,理学院数理系,郑州,450001;信息工程大学,理学院数理系,郑州,450001;南京理工大学,理学院,南京,210094【正文语种】中文【中图分类】O175.8AMS(2000)34B15;O34G99本文研究如下奇异二阶边值问题多重解的存在性：我们称u是（1）的古典解，如果u∈C［0，1］∩C2（0，1），且满足（1）．近年来，非线性常微分方程边值问题受到广泛关注[1-4]，文献［1］在f（u）≥0的前提下利用变分原理得到了上述奇异问题（1）正解的存在条件；文献［2］利用变分原理得到了如下奇异问题多重解的个数至少是2n的条件：受上述文献启发，本文利用变分原理得到了奇异边值问题（1）多重解的至少个数定理．下面给出本文使用的记号和引用的结论．由文献［1］我们知道（其中p（t）≥0，p∈L（0，1），p∈C（0，1］）为赋范空间，其上范数为空间 H10（0，1）上的范数记为对，其范数记为；对u∈L［20，1］，其范数记为引理 1[1] 设 p（t）可以分解为 p=p1+p2，其中，而且分别满足①那么可以紧嵌入到以上引理1是文献［1］中的命题1．1，根据文献［1］对此命题的证明，可以选择p（t）使得引理1的条件成立，从而可以紧嵌入到为后面讨论方便，我们引入如下条件：（P）p（t）∈C（0，1］，p（t）≥α＞0，p（t）在t＝0可以奇异，p（t）∈L1（0，1），p（t）适合引理1的条件；（H1）f∶R→R连续且是奇函数；（H3）∃ω＞0，当u≥ω时，f（u）≤0．定义1如果x0∈X满足f′（x0）=θ，则x0称为f的临界点，f（x0）称为f的临界值，不是f的临界点的点称为f的正则点．设c是实数，如果f－1（c）中不含临界点，则c称为f的正则值．记K=｛x∈X│f′（x）=θ｝，K称为 f的临界集．记 fc=｛x∈X│f（x）≤c｝，fc称为 f的水平集．定义2设f∈C1（X，R），如果｛xn｝⊂X，f（xn）有界蕴涵｛xn｝有收敛子列，则称f满足Palais－Smale 条件，简称 P．S．条件．定义3[2]设X是实Banach空间，令Σ=｛A│A⊂E\｛θ｝是对称闭集｝，定义如下：则称γ是Σ上的Z2群的不变指标，简称亏格．定义4称为 Clark 量．引理2[2]设X是实Banach空间，f∈C1（X，R），满足P．S．条件，又是偶函数，f（θ）=0，则①若有 m 维线性子空间，使得②若有j维线性子空间使得的正交补，则i2（f）≤j；③若m≥j，①与②都成立，则f至少有2（m－j）个不同的临界点．定义 5 设（P），（H1），（H2），（H3）成立，在上，对可以定义泛函其中则（Iθ）=0，且（Iu）是偶泛函．容易证明下面的引理3是正确的．引理3I（u）在H10（0，1）中的临界点是边值问题（1）的弱解，且是古典解．引理 4 设（P），（H1），（H2），（H3）成立，则 I是 H10（0，1）上的 C1泛函，I的 Frechet导数为证明由（H2）知，∃c＞0，使得其余证明完全类似于文献［1］中引理2．1的证明．证毕．定理设（P），（H1），（H2），（H3）成立，若α，λ，ε，n 满足则边值问题（1）至少有2n个解．证明根据引理3，只须证明泛函I至少有2n个临界点．证明分3步：第1步：证明I（u）有下界．由已知条件可得所以由引理2，i2（I）=0，j=0．第2步：证明I（u）满足P．S．条件．由第1步和Poincare不等式可见，所以若｛un｝为 P．S．序列，则｛I（un）｝有界，从而｛un｝在 H10（0，1）中有界，｛u｝n在 H10（0，1）中有弱收敛的子列，不妨设为unw→eaku；而根据关于函数 p（t）的紧嵌入假设（P），可设un→u按L2P成立；另外由于H10（0，1）中的弱收敛蕴涵un→u 在 C［0，1］中成立[5]，由控制收敛定理可得（fun）→（fu）按L2P成立．类似于文献［1］中的引理2．2的证明，由即可得到un→u在H10（0，1）中成立．第3步：证明引理2中的条件①，③成立．记则定义n维线性空间，则En是关于θ的对称集．设ρ＞0，记λ［g（u）＋u］，且由已知条件知对t∈［0，1］一致成立．对已知条件中的0＜ε＜1，由（4）得∃δ＞0，当│u│≤δ时，取0＜ρ＜δ，当u∈En∩Sρ时，有所以由（5）得进一步由（3），（6），并注意到条件（P）中 p（t）≥α＞0，有由已知条件知α，λ，ε，n 满足，故I（u）＜0，从而由引理2知i（1I）≥n，泛函I至少有2n个临界点，即边值问题（1）至少有2n个解．证毕．考虑如下奇异边值问题：首先奇异，p（t）∈C（0，1］，取p（1t）=p（t），p（2t）=0，p=p1＋p2适合引理1的条件，从而p（u）满足条件（P）；其次，易验证上面定义 f（u）的满足条件（H1），（H2），（H3），且最后，取，可以得到至此可见定理条件全部满足，方程（7）至少有2×n=2×7=14个解．上述奇异边值问题（7）说明了定理的可行性．【相关文献】［1］刘嘉荃．一类奇异二阶边值问题的正解［J］．曲阜师范大学学报，2002，4（28）：1－7．［2］舒小保，徐远通，黎永锦．一类二阶常微分方程奇异边值问题多重解的至少个数［J］．应用数学学报，2006，6（29）：1004－1016．［3］孙彦，刘立山．三阶奇异边值问题的正解［J］．应用数学学报，2009，32（1）：50－59．［4］邹玉梅，崔玉军．含有一阶导数的二阶边值问题的正解［J］．应用数学学报，2009，32（1）：106－111．［5］ mawhin J，Willem M．Critical point theory and hamiltonian systems［M］．New York：Springer－verlag，1989．［6］钟承奎，范先令，陈文塬．非线性泛函分析引论［M］．兰州：兰州大学出版社，1998．［7］郭大均．非线性泛函分析［M］．济南：山东科学技术出版社，2005．。

非共振奇异边值问题正解存在的充要条件
王鑫;刘笑颖;刘春晗
【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(028)002
【摘要】利用上下解方法,研究了非共振奇异边值问题,得到了C1[0,1]正解存在的充要条件.
【总页数】6页(P5-10)
【作者】王鑫;刘笑颖;刘春晗
【作者单位】徐州师范大学,科文学院,江苏,徐州,221116;徐州师范大学,数学科学学院,江苏,徐州,221116;山东教育学院,山东,济南,250013
【正文语种】中文
【中图分类】O175.91
【相关文献】
1.椭圆方程奇异非线性问题与奇异边值问题正解的存在性 [J], 李建章
2.超线性非共振奇异边值问题的正解 [J], 刘文虎;马立新
3.非共振奇异Dirichlet边值问题两个正解的存在性 [J], 庞常词
4.非共振奇异Dirichlet边值问题的正解 [J], 张新光;姚宗江;王新华
5.一类非共振奇异半正边值问题正解的存在性 [J], 李兴昌; 赵增勤
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奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解的开题报告开题报告：奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解1. 研究背景和意义Neumann问题是常见的偏微分方程边值问题之一，在许多领域都有广泛应用，如流体力学、电磁学、弹性力学等。

在Neumann问题中，给出一定的边界条件后，需要求解满足该条件的解。

然而，当边界有奇异性时，求解Neumann问题变得很困难，因为经典的解析方法往往不适用。

而此时，多重正解的出现给了我们新的思路，可以通过将多个正解叠加在一起来得到满足边界条件的解。

因此，研究奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解，对于深入了解边界问题的解析方法、解的结构和性质等具有重要意义。

2. 研究内容和方法本文将主要研究奇异与非奇异Neumann边值问题的多重正解，包括以下内容：(1) Neumann问题、奇异Neumann问题和非奇异Neumann问题的定义和基本概念；(2) 多重正解的概念和基本性质，包括狄利克雷绿函数和极限矩阵的应用；(3) 奇异Neumann问题和非奇异Neumann问题的多重正解的存在性和唯一性，包括用分离变量法构造的一些典型的多重正解；(4) 奇异Neumann问题和非奇异Neumann问题的多重正解的结构和性质，包括用极限矩阵的方法研究多重正解的收敛性和相容性；(5) 奇异Neumann问题和非奇异Neumann问题的多重正解在应用中的一些具体问题，如流体力学中的应用等。

研究方法主要包括理论分析和数值计算两种方法。

对于理论分析，将采用分离变量法、极限矩阵、奇异积分等方法进行分析；对于数值计算，将采用有限元等方法进行求解和验证。

3. 研究计划和进度本研究计划采用以下时间进度表：阶段计划内容时间进度一研究背景和意义第1周研究内容和方法二 Neumann问题、奇第2-3周异Neumann问题、非奇异Neumann问题的定义和基本概念三多重正解的概念和第4-5周基本性质四奇异Neumann问题和第6-8周非奇异Neumann问题的多重正解的存在性和唯一性五奇异Neumann问题和第9-11周非奇异Neumann问题的多重正解的结构和性质六奇异Neumann问题和第12周非奇异Neumann问题的多重正解在应用中的具体问题七论文写作和论文第13-15周答辩准备计划中的时间进度表并不一定是最终的时间安排表，可能还会有一定的调整。

奇异三阶微分方程m点边值问题的正解随着科学技术的不断发展，微分方程在各个领域中的应用也越来越广泛。

其中，奇异微分方程是一类非常重要的微分方程类型，因其特殊的解法和广泛的应用而备受关注。

本文将探讨奇异三阶微分方程m点边值问题的正解，希望能为相关领域的研究者提供一些帮助。

首先，我们来介绍一下什么是奇异微分方程。

奇异微分方程是指在某些点上，方程的系数或解本身出现无穷大、无界或不连续等异常情况的微分方程。

这种微分方程的解法相对于一般的微分方程来说更为复杂，需要特殊的方法进行求解。

而奇异三阶微分方程则是指三阶微分方程中存在某些奇异点的微分方程。

这种微分方程在工程、物理、数学等领域中都有广泛的应用。

但是，由于其解法比较困难，所以在实际应用中往往需要借助计算机等工具进行数值求解。

接下来，我们来探讨一下奇异三阶微分方程m点边值问题的正解。

这里的m点边值问题指的是，在某些特定点上，方程的解需要满足一些特殊的条件。

对于这种问题，我们可以采用分段求解的方法。

具体地，我们将边界点附近的区域分成若干个小区间，在每个小区间内分别求解微分方程，并利用边界点处的条件将各个小区间的解拼接起来，从而得到整个区间上的解。

在实际求解过程中，我们还需要借助一些特殊的技巧来处理奇异点。

例如，我们可以采用Frobenius方法将奇异点附近的解表示成幂级数的形式，从而得到解的通解表达式。

同时，我们还可以借助变量代换等方法将奇异点转化为正常的普通点，从而简化问题的求解。

总之，奇异三阶微分方程m点边值问题的正解是一个比较复杂的问题，需要借助多种数学工具和技巧进行求解。

但是，通过合理的分段求解和特殊的技巧处理，我们仍然可以得到准确的解析解。

这种解法不仅可以帮助我们更好地理解奇异微分方程的性质和规律，还可以为相关领域的研究者提供重要的参考和指导。

Banach空间非线性二阶奇异微分方程m点边值问题谭静静;张克梅【摘要】应用非紧性测度的性质和广义凝聚映像的Sadovskii不动点定理,获得了Banach空间中一类含有一阶导数的非线性二阶奇异微分方程m点边值问题解的存在性结果. 首先给出一些定义和引理, 然后定义两个新的Banach空间和不动点算子, 通过证明算子A的连续有界,以及证明((AV)(t))/(1+t), (AV)′(t)是等度连续的,该文得到边值问题(5)至少存在一个解.【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(036)002【总页数】12页(P23-34)【关键词】边值问题;不动点定理;锥;非紧性测度【作者】谭静静;张克梅【作者单位】曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市;曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市【正文语种】中文【中图分类】O175.8;O175.15非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一类重要问题.特别地,多点边值问题在物理、生物等领域有着广泛的应用,其解的存在性引起了许多学者的关注,见文献[1-3]及其所附文献.文献[4]研究了二阶三点边值问题的解的存在性,其中f∈C([0,∞),[0,∞)),b(t)∈C([0,1],[0,∞))且ϖt0∈[0,1],使得b(t0)>0.作者主要利用该问题相应的Green函数,将其转化为Hamm erstein型积分方程,借助锥上的不动点指数理论,得到了边值问题正解的存在性与多重性的结果.文[5]研究了二阶m点边值问题的正解的存在性,其中f∈C([0,1]×[0,∞)×R,[0,∞)),0<ξ<ξ2<…<ξm-2<1,βiΕ0(i=该文主要是应用格林函数及其性质和不动点定理[5],得到了边值问题(2)至少存在3个正解的结果(当边界条件为此结果仍然成立).近些年来,在抽象空间中研究常微分方程边值问题成为一个新的重要理论分支,就笔者所知,在抽象空间中研究多点边值问题解的存在性的文献尚不多见.最近,文献[6]在抽象空间中研究了边值问题的正解的存在性,其中θ是E的零元,非线性项f不依赖于一阶导数项x′(t),f在t=0,x=θ处是奇异的.作者通过构造一个特殊的锥,利用严格集压缩算子的不动点指数理论,得到了其正解的存在性结果.对于这个问题,文献[7]应用M˚nch不动点定理,也得到了同样的结果.文献[8]研究了边值问题的解的存在性,f∈C[I×E×E,E],I=[0,1],0<α<1,1<η<本文考虑非线性项非奇异的情况.受以上文献的启发,本文主要研究Banach空间E中二阶m点边值问题非平凡解的存在性,其中θ是E的零元,f∈C[I×E×E,E],f(t,θ,θ)≠θ,I=[0,1],h:(0,1)→R连续且h(t)在t=0,1两点奇异.显然本文所讨论的边值问题比上述问题更加广泛,在纯量空间中,此结果仍然成立.为了证明本文主要结果,下面给出一些定义和引理.定义1.1 (对偶锥)令P是Banach空间E中的一个锥,f是E上的有界线性泛函,如果对于Πx∈P, f(x)Ε0,称f(x)是非负的,把所有的非负的f的集合记作P3,P3就是P的对偶锥.定义1.2 (非紧性测度)设E是实Banach空间,使每个Si的直径d(Si)Φδ},称α(S)是S的非紧性测度.定义1.3 (严格集压缩映像)设E1和E2是实Banach空间,D<E1,设A:D→E2连续,有界,(i)如果存在常数kΕ0,使对任何有界集S<D,都满足α(A(S))Φkα(S),则称A为D上的k2集压缩映像.特别k <1时的k2集压缩映像称为严格集压缩映像.(ii)如果对任何非相对紧的有界集S<D,都满足α(A(S))< α(S),则称A是D上的凝聚映像. 显然若A是严格集压缩映像,则A一定是凝聚映像.引理1.1[7] 若H<C[I,E]有界且等度连续,那么α(H(t))在I上连续,并且这里I=[a,b],H(t)={x(t);x∈H},t∈I,αc(·),α(·)分别表示H在C[I,E]和E中的非紧性测度.引理1.2 (Sadovskii)令D是Banach空间E中的有界凸闭集(D不一定有内点),A:D→D是凝聚映像,则A在D中必具有不动点.关于锥的定义及性质可参见文献[15].显然,C1[I,E]<C[I,E],DC1[I,E]<FC[I,E].本文分别记空间E,C[I,E],FC[I,E],DC1[I,E]中的有界子集的非紧性测度为αE(·),αC(·),αF(·),αD(·).为方便起见,我们列出下面几个条件.事实上,由(H1)知(1)‖f(s,u(s),u′(s))‖Φ[(1+s)a(s)+b(s)]‖u‖D+c(s).(2)a(t),b(t),c(t)∈C[0,1]且非负,所以它们在[0,1]上有界.令a(t)ΦM1,b(t)ΦM2,c(t)ΦM3,对Πt∈I,取?M=m ax{M1,M2,M3}.又V有界,ϖM′>0,Πu∈V满足‖u‖DΦM′,有因为t是任意的,所以所以由引理2.4和(24)-(25),得到A是Ω到Ω的严格集压缩映像,显然A是凝聚映像.由引理1.2知A在Ω中至少有一个不动点,即边值问题(5)在DC1[I,E]上至少有一个非平凡解.参考文献:[1]L iu B,W uW,L iu L,etal.Positive so lution for singu lar second order three2pointboundary value p roblem s[J].Non linearA 2nalysis,2007,66:275622760.[2]L iu B.Positive so lutionsof non linear r2pointboundary valueproblem[J].App lM ath Comput,2004,155:1792203.[3]Chen SH,Hu H,Chen L,etal.Existence resu lts for n2pointboundary value problem of second ordero rdinary differentialequa2 tions[J].ComputApp lM ath,2005,180:4252432.[4]王淑丽,刘进生.二阶三点边值问题的正解[J].数学物理学报,2008,28A(2):3732382.[5]Yang L iu,Shen Chun2fang,L iu X i2ting.Existence of three postive so lutions for som e second order M 2pointboundary value p rob2 lem[J].A ctaM athm aticalApp lication Sinica,English Series,2008,24(2):2532264. [6]刘衍生.Banach空间中非线性奇异微分方程边值问题的正解[J].数学学报,2004,47(1):.[7]Cui Yujun,Zou Yum ei.Positive so lution of non liner singu lar boundary value problem s in abstract spaces[J].Non linerAnalysis 2008,69:2872294.[8]Chen Haibo,L i Peiluan.Existence of so lutionsof three2point boundary value p roblem s in Banach spaces[J].M athem atical and ComputerM odelling,2009,49:7802788.[9]Lakshm ikantham V,Leela S.NonlinearD ifferen tial Equations in Abstract Spaces[M].Pergamon,Oxford,1981.[10]Guo D,Lakshm ikantham V,L in X.Nonlinear Integral Equations inAbstractSpaces[M].KluwerA cadem ic,Dord recht,1996.[11]L iu B.Positive so lutionsof a non linear three2pointboundary value problem[J].App lM ath Comput,2002,132:11228.[12]L iu Y.Boundary value problem s for second order differential equations on unbounded dom ains in a Banach space[J].App l M ath Comput,2003,135:5692584.[13]Guo D,Lakshm ikantham V.Nonlinear Problem s in AbstractCones[M].New York:A cadem ic Press,1988.[14]Deim ling K.Non linear FunctionalAnalysis[M].Berlin:Sp ringer,1985.[15]郭大钧.非线性泛函分析[M].第2版.济南:山东科技出版社,2001.[16]杨义涛,孟凡伟.抽象空间中二阶三点边值问题正解的存在性[J].曲阜师范大学学报(自然科学版),2009,35(3): 15218.。

254Vol.25No.4200210ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICAOct.,2002∗(264005)y =q (t )f (t,y ),y (0)=a>0,b 1y (1)+b 2y (1)=0q (t )f (t,y )≥0qt =0fy =0y =q (t )f (t,y ),t ∈(0,1),y (0)=a >0,b 1y (1)+b 2y (1)=0(1)b 1,b 2≥0,b 1+b 2>0.q (t )f (t,y )≤0(positone )[1−4].q (t )f (t,y )≥0(semi-positone),[5][6]b 1=1,b 2=0,q (t )f (t,y )y =0q (t )f (t,y )≥0,qt =0fy =0(1)b 1=1,b 2=0[5]q (t )f (t,y )y =0[5]qt =0f y =0t =1q,f(C 1)q :(0,1)→[0,∞)Q (t )=sup s ∈(t,1)q (s )<∞,t ∈(0,1).(C 2)1sq (s )d s <∞, 10d s <∞.(C 3)f :(0,1)×(0,∞)→(−∞,∞)(0,1)×(0,a ]f ≥0,x ∈(0,a ),sup (t,y )∈(0,1)×[x,a ]f (t,y )<∞.(C 4)a 0sup y ∈[x,a ]M (y )d x <∞,M (y )=sup t ∈(0,1)f (t,y ).200043200285∗(10071066,10251002)(Y2002A10)4675δ∈(0,a),fδ(t,y)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩f(t,a),y>a,f(t,y),δ(1−t)≤y≤a,2y−δ(1−t)δ(1−t)minf(t,y),f(t,δ(1−t)),δ(1−t)/2<y<δ(1−t), 0,y≤δ(1−t)/2,(C3)fδ(t,y)fδ:(0,1)×(−∞,∞)→[0,∞),(2) t∈(0,1),y∈(0,a],0≤fδ(t,y)≤f(t,y),(3)t∈(0,1),y∈[δ(1−t),a],fδ(t,y)=f(t,y),(4)t∈(0,1),y≤δ(1−t)/2,fδ(t,y)=0.(5)(1)δ∈(0,a),y =q(t)fδ(t,y),t∈(0,1),y(0)=a,b1y(1)+b2y (1)=0(6)1(C1)–(C4)δ∈(0,a),10sq(s)supy∈(−∞,∞)fδ(s,y)d s<∞.(7)M(x)=supy∈[x,a]M(y),fδs∈(0,1),0≤supy∈(−∞,∞)fδ(s,y)≤supy∈[δ(1−s),a]f(s,y)≤supy∈[δ(1−s),a]M(y)= Mδ(1−s),M Q1/20sq(s) Mδ(1−s)d s≤ M(δ/2)1/2sq(s)d s,11/2sq(s) Mδ(1−s)d s≤Q(1/2)11/2M δ(1−s) d s=(1/δ)Q(1/2)δ/2M(x)d x.(C1)–(C4)2(C1)–(C4)δ∈(0,a),(6)C[0,1]∩C1(0,1]∩C2(0,1)67625δ∈(0,a ),BanachC [0,1]T δT δ(y )(t )=a [b 1(1−t )+b 2][b 1+b 2]−10k (t,s )q (s )f δ s,y (s )d s,k (t,s )=sb 1(1−t )+b 2 [b 1+b 2],0≤s ≤t ≤1,t b 1(1−s )+b 2 [b 1+b 2],0≤t <s ≤1,k [0,1]×[0,1](C 1),(2)0≤k (t,s )≤k (s,s )≤s ,δ∈(0,a ),1T δ:C [0,1]→C [0,1]supy ∈C [0,1]max t ∈[0,1]T δ(y )(t ) ≤a +1sq (s )supx ∈(−∞,∞)f δ(s,x )d s <∞.Leary-Schaudery δ∈C [0,1],y δ=T δ(y δ).y δ∈C 2(0,1),t ∈(0,1),y δ(t )=−ab 1/[b 1+b 2]+ts b 1/[b 1+b 2] q (s )f δ s,y δ(s )d s− 1t [b 1(1−s )+b 2]/[b 1+b 2] q (s )f δ s,y δ(s ) d s≤10s b 1/[b 1+b 2] q (s )f δ s,y δ(s )d s.1y δ≥0y δ∈C 1(0,1],y δ(1)=−ab 1/[b 1+b 2]+1s b 1/[b 1+b 2] q (s )f δ s,y δ(s )d s.T δy δ(6)1(C 1)–(C 4) 1q (s )ds <∞,δ∈(0,a ),(6)C 1[0,1]∩C 2(0,1)3(C 1)–(C 4)δ(0,a )y ∈C [0,1]∩C 1(0,1]∩C 2(0,1)(6)δ(1−t )/2≤y (t )≤a,(8)y (t )≤0.(9)t ∈(0,1).y (1)≥0,y (1)<0,y (0)=a >0,r =sup {t :y (t )≥0}.(r,1)y (t )≤0,(5)(r,1)y(t )=0.y (r )=0[r,1]y (t )≡y (1)/(1−r ),y (1)=y (1)/(1−r )<0,b 1y (1)+b 2y (1)=0y (1)≥0.y (0)=a y (1)≥0,(5)δ(1−t )/2≤y (t ),t ∈(0,1).(10)4677τ∈(0,1)y (τ)>0,y ≥0t ∈[τ,1]y (t )≥y (τ)>0.y (1)>0,(10)y (1)≥y (τ)≥δ(1−τ)/2>0.b 1y (1)+b 2y (1)=0(9)(9),(10)y (0)=a (8)4(C 1)–(C 4)δ(0,a )y ∈C [0,1]∩C 1(0,1]∩C 2(0,1)(6)max y (1),−y (1)≥δy (1)y (1)≥δ,(9)δ≤y (t )≤a .−y (1)≥δ,y ≥0−y ≥δ,(8)a ≥y (t )≥y (t )−y (1)=1t−y (s )d s ≥δ(1−t ).(4)y(1)(1)1(C 1)–(C 4)auM (x )d x −1/2d u >12Q (s )d s,(11)(1)C [0,1]∩C 1(0,1]∩C 2(0,1)2(11) a 0 u 0M (x )d x −1/2d u =∞Lebesgue ε>0auM (x )d x +ε−1/2d u >12Q (s )d s,δ∈(0,a )aδuM (x )d x +ε −1/2d u >12Q (s )+ε−1δ2d s.(12)δ∈(0,a ),23(6)(8)(9)y .y(1)C [0,1]∩C 1(0,1]∩C 2(0,1)(2),(3),(8)(9)y (t ) −y (t ) =q (t )f δ t,y (t ) −y (t ) ≤q (t )M y (t ) −y (t ),t ∈(0,1).s ∈(0,1),t (s,1)0≤y (1)≤y (s )≤ay (s ) 2− y (1) 2≤21sq (t )M y (t ) −y (t )d t ≤2Q (s )1s M y (t ) −y (t ) d t=2Q (s )y (s )y (1)M (x )d x ≤2Q (s )y (s )M (x )d x +ε.−y(s )y (s )M (x )d x +ε−1/2≤ 2Q (s )+ε−1 y (1) 2,s ∈(0,1).67825(0,1)ay (1)uM (x )d x +ε−1/2d u ≤12Q (s )+ε−1[y (1)]2d s.(13)(12),(13),y (1)≤00≤y (1)≤a max y (1),−y (1)≥δ,4δ∈(0,a ),y (1)1(1)b 1=1,b 2=0q (t )f (t,y )≥0y (t )≤a (1−t )12q (C 1)(C 2),f(C 5) f:[0,1)×(0,∞)→(−∞,∞)t ∈[0,1),y ∈(0,a (1−t )] f(t,y )≥0;(C 6) a 0sup y ∈[x,a ]M (y ) d x <∞, M(y )=supt ∈[0,1−y/a ]f(t,y ).auM(x )d x −1/2d u > 1d s (14)y =q (t ) f (t,y ),t ∈(0,1),y (0)=a,y (1)=0(15)C [0,1]∩C 1(0,1]∩C 2(0,1)f (t,y )=⎧⎪⎨⎪⎩ f (0,a ),y >a,f (1−y/a,y ),0<y ≤a,1−y/a <t ≤1,f (t,y ),0<y ≤a,0≤t ≤1−y/a,(C 5),(C 6)f :[0,1]×(0,∞)→[0,∞),(16)x ∈(0,a ),sup(t,y )∈[0,1]×[x,a ]f (t,y )≤sup(t,y )∈[0,1−x/a ]×[x,a ]f(t,y ),(17)M (y )=sup t ∈(0,1)f (t,y )= M(y ),y ∈(0,a ).(18)f(C 3)(C 4).(14)(18),1y =q (t )f (t,y ),t ∈(0,1),y (0)=a,y (1)=0(19)C [0,1]∩C 1(0,1]∩C 2(0,1)y .y ≥0,y (0)=a y (1)=0y (t )≤a (1−t ),t ≤1−y (t )/a .ff (t,y (t ))= ft,y (t ) ,y (15)46791µ≥0,b 1,b 2≥0,b 1+b 2>0,α>−2,γ>−1.y=µt αy γ,t ∈(0,1),y (0)=1,b 1y (1)+b 2y (1)=0.(20)q (t )=µt α,f (t,y )=y γ,Q (t )=µt min {0,α},M (y )=y γ,1γ≥1,(20)γ∈(−1,1),(1−γ) < 2+min {0,α}(20)2µ≥0,α>−2,min {0,β}+γ>−1.y=µt α(1−t )βy γ,t ∈(0,1),y (0)=1,y (1)=0(21)q (t )=µt α, f (t,y )=(1−t )βy γ,Q (t )=µt min {0,α}, M(y )=y min {0,β}+γ,2min {0,β}+γ≥1,(21)min {0,β}+γ∈(−1,1),1−γ−min {0,β} < 2+min {0,α}1+γ+min {0,β}(21)321[5]q ≡1, f(t,y )≡g (y ),g(0,∞)0< ag (x )d x <∞[5]a a 0g (x )d x −1/2>√2y =g (y ),y (0)=a ,y (1)=02 a 0 ug (x )d x −1/2d u >√2 a 0 u 0g (x )d x −1/2d u <√2(21),α≥0[7]1,2000,23(1):122–129(Cheng Jiangang.Nonlinear Singular Boundary Value Problems.Acta Mathematicae ApplicataeSinica ,2000,23(1):122–129)2Agarwal R P,O’Regan D.Nonlinear Superlinear Singular and Nonsingular Second Order BoundaryValue Problems.J.Differential Equations ,1998,143:60–953Ha K S,Lee Y H.Existence of Multiple Positive Solutions of Singular Boundary Value Problems.Nonlinear Analysis ,1997,28:1429–14384Lan K,Webb J R L.Positive Solutions of Semilinear Differential Equations with Singularties.J.Differential Equations ,1998,148:407–4215Agarwal R P,O’Regan D.A Note on Existence of Nonnegative Solutions to Singular Semi-positone Problems.Nonlinear Analysis ,1999,36:615–6226Bobisud L E,O’Regan D,Royalty W D.Existence and Nonexistence for a Singular Boundary Value Problem.Appl.Anal.,1988,28:245–2567Semi-positone ,2001,44(4):673–678(Cheng Jiangang.Positive Ssolutions of Singular Semi-positone Problems.Acta Mathematica Sinica ,2001,44(4):673–678)68025 POSITIVE SOLUTIONS OF SINGULARBOUNDARY V ALUE PROBLEMS WITHNONHOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONSCHENG Jiangang(Department of Mathematics,Yantai University,Yantai264005)Abstract We consider the existence of positive solutions to singular boundary value prob-lems y =q(t)f(t,y),y(0)=a>0,b1y(1)+b2y (1)=0,where q(t)f(t,y)≥0,q may be singular at t=0and f may be singular at y=0.Key words Boundary value problem,positive solution,existence。