三阶非线性两点边值问题的正解的存在性 吉林省公主岭市第三高级中学 张娜摘要：讨论了三阶非线性两点边值问题(,())0(0)(0)0,(1)0,(1)0u f tu t u u u u αβ'''-=⎧⎨''''-===⎩正解的存在性.利用锥上的不动点定理证明了该问题至少存在两个正解.关键词：三阶常微分方程；边值问题；正解的存在性；锥.Abstract ：The existence of a positive solution to two-point boundary value problemsare considered for third-order nonlinear differential equation (,())0u f t u t '''-=,is studied with (0)(0)0,(1)0,(1)0u u u u αβ''''-===.At least two positive solution exists by using the Fixed Point Theorem in cones.Key words: third-order nonlinear differential equation; boundary value problem;existence of a positive solution; cone.目录中文摘要Abstract1、引言 (1)1.1研究背景 (1)1.2研究问题 (1)2、基本理论 (2)2.1基本概念 (2)2.2基本引理 (2)3、主要结果 (5)4、致谢 (8)5、参考文献 (9)1、引 言1.1 研究背景常微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的,在十七世纪作为微积分的一部分,微分方程和微积分彼此不分,十八世纪由于天文学,力学,物理学的需要,同时也是由于解决许多复杂的问题需要专门的技术,这样微分方程开始成为了一门独立的学科,在数学及许多应用学科中,发挥着越来越大的作用,直到现在作用仍然有增无减.非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一个十分重要的研究领域.近几年来,人们在对三阶微分方程的两点边值问题正解的存在性研究方面做了许多工作,起到了举足轻重的作用,并且非线性边值问题在自然科学,生产实践以及工程技术领域中都有广泛的应用.最近,国内外许多学[39]-者相继用不动点定理,非线性抉择和迭合度理论等研究给出非线性边值问题正解的存在性的一些结果.文献[10],[11]中只在局部范围内对此类问题进行了研究,本文将在更广泛的范围内研究边值问题至少存在两个正解的情况,使其更具有实际意义. 1.2 研究问题本文研究如下三阶非线性两点边值问题(,())0(0)(0)0,(1)0,(1)0u f t u t u u u u αβ'''-=⎧⎨''''-===⎩(1)(2)正解的存在性.这里,αβ是非负常数,且0αβ+>.以下,我们总假定:1()H ([0,1][0,),[0,))(,)[0,1]f C f t u t ∈⨯∞∞∈且在的任何子区间上不恒为零; 2()H [0,1]0lim min ((,)/),t u f t u u ∈→+=∞[0,1]l i m m i n ((,)/);t u f t u u ∈→+∞=∞3()H 存在0,p >使得0,01,u p t ≤≤≤≤且则(,)f t u p η<, 110((0,))G s ds η-=⎰,其中102δ<<. 在第二部分我们给出了基本理论,包括基本概念和基本引理．第三部分我们给出了本文的主要结果及证明．2、基 本 理 论2.1 基本概念定义2.1.1 设E 是Banach 空间,P 是E 中的非空闭集．如果P 满足 ()i 任给,0,0,,≥≥∈βαP y x 有P y x ∈+βα； ()ii 若,,θ≠∈x P x 则P x ∉-， 则称P 是E 中的锥．定义2.1.2 设Y X ,是B 空间,设Y X A →:线性；称A 是紧算子，如果()1B A 在Y 中是紧集，其中1B 是X 中的单位球．定义2.1.3 连续算子2:A M E →,若A 把M 中的任一有界集映为2E 中的紧致集,则称A 为全连续算子.定义 2.1.4 所谓()t u 是边值问题(1),(2)的正解,是指()t u 是边值问题(1),(2)的解,且()()1,0,0∈>t t u . 2.2 基本引理引理2.1[1]边值问题0(0)(0)0,(1)0,(1)0y y y y y αβ'''=⎧⎨''''-===⎩(3)(4)有唯一解1()(,),y t G t s ds =⎰这里2221[(1)(1)(1)(1)],12(,)1[(1)(1)(1)(1)()],2t t s s t s G t s t t s s t s αβαβαβαβ+⎧--+--≤≤≤⎪+⎪=⎨+⎪--+--+-≤≤≤⎪+⎩ 0 0s t 1 是边值问题(3),(4)的Green 函数.引理2.2 (,)(0,),0, 1.G t s G s t s ≤≤≤ 证明 设2221(,):[(1)(1)(1)(1)],121(,):[(1)(1)(1)(1)()],2t t s t s s t s t t s t s s t s αβϕαβαβψαβ+=--+--≤≤≤++=--+--+-≤≤≤+ 0 0s t 1当1t s ≤≤≤0时,有(,)(1)0,t t t s s αβϕαβ+=-≤+ 故(,)(0,),t s G s ϕ≤当1s t ≤≤≤0时,有(,)(1)0,t s t s t αβψαβ+=-≤+ 故(,)(,)t s G s s ψ≤,从而(,)(0,),0, 1.G t s G s t s ≤≤≤引理2.3 (,)(),(0,)G t s q t G s ≥这里2(1)().2t q t βαβ-=+证明 当1t s ≤≤≤0时,有(1)(1)(1)(,)(,)(0,)(0,)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()2().t t s G t s t s G s G s s t t t s t t q t αβϕαββαβαβαββαβαβαβ+-+--+==+--++-+--+≥++-+≥+≥当1s t ≤≤≤0时,有222(1)(,)(,)(0,)(0,)(1)()(1)()(1)()(1)()2()s t G t s t s G s G s s s t s s s s t s q t αβψαββαβαββαβαβαβ+-+==-++-+=-++-+≥+≥引理2.3证毕.不难验证边值问题(1),(2)等价于积分方程1()(,)(,()):().u t G t s f s u s d s A u t ==⎰(5)记{}1[0,1]:()0,m i n ()()t K u C u t u t q t u δδ≤≤-=∈≥≥ (6)(在本文中仅用到sup 范数).这里{}21(1)0,(),:s u p(),01.22t q t u u t t βδαβ-<<==≤≤+显然K 是[0,1]C 中的一个锥.引理2.4 ()A K K ⊂. 证明 由引理2.3可知10111010min ()()min(,)(,())()(0,)(,())()max (,)(,())()()t t A u t G t s f s u s dsq t G s f s u s ds q t G t s f s u s dsq t A u δδδδ≤≤-≤≤-=≥==⎰⎰⎰ .注意到(,)0G t s ≥的事实,可得()A K K ⊂.证明完成.引理 2.5[2]设X 是一个Banach 空间，K 为X 中的一个锥.对于0p >,定义{}p K x K x p =∈≤.假设:p A K K→是一个全连续算子,对于{}px K x K x p ∈∂=∈≤,使得Fx x ≠. ()i 对于p x K ∈∂,如果x Ax ≤,那么(,,)0p i A K K =;()ii 对于p x K ∈∂,如果x Ax ≤,那么(,,)1p i A K K =.3、主 要 结 果定理3.1 假设(,)f t u 满足1()H ,2()H ,3()H ,则边值问题(1)和(2)至少有两个正解1x 和2x ,使得120x p x <<<.证明 任取0M >使得211(,)122M G s ds σσβσαβ->+⎰ (7)由2()H ,存在0r >,使得r p <,且当0u r ≤≤时,有(,)f t u Mu ≥.可断言,对于r u K ∈∂,()A u u >,事实上,对于r u K ∈∂,1011()()(,)(,())22A u G s f s u s ds =⎰101211(,)21(,)()21(,)22M G s u dsM G s ds q t uM G s ds uu σσσσσβαβ--≥≥⋅⋅≥⋅+>⎰⎰⎰ .由引理2.5得(,,)0r i A K K = (8)同样0M >满足2()H 及(7),存在10R >,使得(,)f t u Mu ≥.对于所有的1u R ≥,选取21max ,2R p R σβαβ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭.由R u K ∈∂,得到21min ()()2u t q t u u R σαβ≥≥=+.于是1012111()()(,)(,())221()(,)21(,)22A u G s f s u s dsq t G s M u dsM G s u ds u σσσσσβαβ--=≥≥+>⎰⎰⎰ .又由引理2.5得(,,)0p i A K K =(9)另一方面,又由3()H ,对于p u K ∈∂,1001111()max (,)(,())(0,)(,())(0,)(0,).t A u G t s f s u s dsG s f s u s dsG s u dsG s ds uu ηη≤≤=≤≤=<⎰⎰⎰⎰其中0η>,如3()H 得.因此,对于p u K ∈∂,()A u u <.显然,对于p u K ∈∂,()A u u ≠.再次由引理2.5得(,,)1p i A K K =.(10)由不动点指数的可加性和(8),(9),(10),有(,\,)1R P i A K K K =-且(,\,)1p r i A K K K =.因此,A 有一个不动点01\R P x K K ∈且有一个不动点02\p r x K K ∈.这两个都是边值问题(1)和(2)的解.对于(0,1)t ∈有1()0x t >和2()0x t >. 定理证毕.5、参考文献[1] Zhao Weili.Singular perturbations for third order nonlinear boundary valueproblems [J]. 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