非线性微分方程奇异边值问题的正解(韦忠礼)思维导图

奇异Emdeen—Fowler型方程边值问题的正解
姚姚新
【期刊名称】《西北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1990(026)003
【摘要】讨论有界区域Ω上奇异 Emden-Fowler 型方程边值问题正解的存在性和唯一性.
【总页数】4页(P1-4)
【作者】姚姚新
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.奇异超线性Emden-Fowler方程m-点边值问题的正解 [J], 何韬;沈文国
2.带脉冲的正指数Emden-Fowler方程奇异边值问题的正解 [J], 代丽美
3.次线性Emden-Fowler方程奇异m-点边值问题的正解 [J], 沈文国;何韬;张明新
4.负指数的脉冲EMDEN-FOWLER方程奇异边值问题的正解 [J], 代丽美
5.正指数Emden-Fowler方程脉冲奇异边值问题的PC^1([0,1],R_+)正解 [J], 代丽美
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一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性白杰;祖力【摘要】利用非线性Leray-Schauder抉择定理和锥不动点定理,在假设条件下证明一维非线性奇异p-Laplacian三点边值问题解的存在性.结果表明,在区间(O,1]上至少存在一个正解.%By means of nonlinear Leray-Schauder alternative theorem and fixed point theorem in cones, thernauthors proved the existence of the solutions for one-dimensional singular p-Laplacian three-point boundaryrnvalue problems under assumptive conditions. There is at least one positive value in the interval from zero tornone.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)004【总页数】7页(P621-627)【关键词】Leray-Schauder抉择定理;锥不动点定理;奇异边值问题;正解的存在性【作者】白杰;祖力【作者单位】东北师范大学人文学院信息技术学院,长春130117;长春大学理学院,长春130022;东北师范大学数学与统计学院,长春130024【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言关于一维p-Laplacian边值问题的研究目前已有许多结果[1-10]. 翁世有等[8]利用Schauder不动点原理和非线性Leray-Schauder抉择定理建立了一维p-Laplacian奇异边值问题解的一些存在性原则; Agarwal等[11-12]利用Leray-Schauder抉择定理得到了p=2时正解的存在性.考虑如下奇异边值问题:(1)其中: Φ(s)=s; p>1; q(t)在t=0处有奇性; 非线性项f可能在u=0 处有奇性. 本文应用文献[11-12]的方法, 证明p>1时问题(1)存在正解.1 预备知识假设：(H1) q(t): (0,1)→(0,∞)连续, 并且存在0≤α<p-1, 使得tαq(t)dt<∞成立;(H2) f(u)=g(u)+h(u), 其中: g>0在(0,∞)上连续且单调不增; h≥0在[0,∞)上连续; 且h/g在(0,∞)上单调不减;(H3) 存在一个常数r>0, 使得(2)成立, 其中Φ-1(u) ∶=sgn u是Φ(u)的反函数.例如, 当α∈(a-1,p-1)∩[0,p-1)时, 函数q(t)=t-a(0<t<1, 0≤a<p)满足条件(H1). 注1 容易验证条件(H1)表明若函数u(t)满足下列条件, 则u(t)是问题(1)的一个正解:1) u∈C[0,1]∩C1(0,1];2) 对任意的t∈(0,1], 有u(t)>0, 并且u(0)=0, u(1)=u(ξ), 0<ξ<1;3) Φ(u′(t))在(0,1)上一致绝对连续, 且(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1.定义1[13] 设X为实Banach空间, K是X中的闭凸子集, 若K满足下列条件, 则称K是X中的闭锥(简称锥):1) 若x∈K, λ≥0, 则λx∈K;2) 若x∈K, -x∈K, 则x=0.引理1(非线性Leray-Schauder抉择定理)[14] 假设K为Banach空间E的一个凸集, Ω为K的一个相对开子集, 0∈Ω, 映射为一个紧算子, 则下列条件必有一个成立:1) A在上有一个不动点;2) 存在x∈∂Ω和0<λ<1, 使得x=λA(x).定义C[0,1]中锥K为: K ∶={u∈C[0,1]: u(t)是非负的凹函数}.引理2 令h(t): (0,1)→(0,∞)连续, 且存在0≤α<p-1, 使得tαh(t)dt<∞, 则(3)存在唯一的正解V∈C[0,1]∩C1(0,1].证明：先证解的存在性.当0<t≤1时, 设显然, 由注1知, y(t)在(0,1]上连续严格增, 且y(ξ)<0<y(1). 因此, y(t)在(0,1)上只有一个零点. 令σ是y(t)在(0,1)上的唯一零点. 则令(4)则V在(0,1]上有定义, 且在(0,1]上V(t)>0. 进一步, 有(5)由(H2)知, 对0<t≤σ, 有则V(0)=0.类似可得V(1)=V(ξ). 因此, V(t)在[0,1]上连续, 且V(0)=0, V(1)=V(ξ); [Φ(V′(t))]′=-h(t), t∈(0,1).由比较原理易证唯一性. 证毕.令n≥4是一个固定的自然数. 对每个u∈K, 考虑如下问题:(6)其中F(u)=g*(u)+h(u), 满足注2 g*(u)≤g(u), ∀u∈(0,∞).由引理2, 可得:引理3 对每个固定的u∈K, 边值问题(6)存在唯一的解:w(t)=(Ψu)(t), w∈K,其中(7)σu∈(0,1)为如下方程在0≤τ≤1时的唯一解:对u∈K, 由w和Ψ的定义知:1)2) 在(0,1)中, (Φ(w′(t)))′=-q(t)F(u(t)), 且w(0)=1/n, w(1)=w(ξ);3) w=Ψu∈K, ‖w‖=w(σu).表明w(t)是问题(6)的一个解, 且为定义在[0,1]上的凹函数.类似文献[7]中引理2.6～引理2.9的证明方法, 可得下列引理.引理4 令wi(t)是F=Fi(i=1,2)时问题(6)的一个解. 如果F1≤F2, 则w1(t)≤w2(t).引理5 设[a,1]⊂(0,1]是一紧区间, 且令w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w′(t)≤C(a,M), a≤t≤1.其中: M是一个正常数; C(a,M)是一个与a,M有关的正常数.注3 设w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w(t)≤1/n+VM(t), 即(Ψu)(t)≤1/n+VM(t).注4 设w(t)是F(u)≥m时问题(6)的一个解, 则w(t)≥1/n+Vm(t), 即(Ψu)(t)≥1/n+Vm(t).引理6 对任意有界闭子集Ω⊂K, 集合Ψ(Ω)在[0,1]上等度连续.引理7 对任意的有界闭子集Ω⊂K, 映射Ψ: Ω→K是连续的.综合引理3～引理7, 可得:引理8 Ψ: K→K是全连续的.2 主要结果定理1 假设条件(H1)～(H3)成立, 则在区间(0,1]上, 系统(1)至少存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 满足u>0, 且‖u‖<r.证明: 先用引理1证明解的存在性. 选择ε>0, 且ε<r, 使得(9)选择n0∈{1,2,…}, 使得1/n0<ε. 令N+={n0,n0+1,…}.下面证明边值问题:(10)在(0,1]上有一个解: 且‖un‖<r.∀n∈N+, 为证式(10)有一个解, 需考虑如下边值问题:(11)其中F的定义见式(6).固定n∈N+. 定义为式(7), 式(7)中σu∈(0,1)为如下方程的唯一解:由引理8, 可得是全连续的.下面证明u≠λΨu, λ∈(0,1), u∈∂Ωr.(12)假设式(12)不成立, 即存在一个λ∈(0,1)和u∈∂Ωr, 使得u=λΨu, 则有(13)显然存在σn∈(0,1), 使得在(0,σn)上, u′(t)≥0; 在(σn,1)上, u′(t)≤0, 且u(σn)=‖u‖=r. 再注意到F(u(t))≤g(u(t))+h(u(t)), t∈(0,1),则当z∈(0,1)时,(14)对式(14)从t(0<t≤σn)到σn积分, 得(15)则有(16)再从0到σn积分得(17)即(18)因此(19)这与条件(9)矛盾, 于是式(12)成立.由引理1可知Ψ有一个不动点即1/n≤‖un‖≤r(注意到, 如果‖un‖=r, 则与式(14)～(19)的证明同理可得矛盾). 因为un≥1/n, 所以un(t)也是问题(10)的一个解. 由(H2), 当r>0时,g(un(t))≥g(r), f(un)=h(un)+g(un)≥g(r).则由注4, 可得(20)注5 注意到在区间(0,1]上, Vg(r)(t)>0, 则un(t)>0, t∈(0,1].下面证明{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续. 由式(14)(用un代替u), 可得(21)因为在[0,1]上, un(t)≥1/n, 则在(0,σn)上存在σn∈(0,1), 使得而在(σn,1)上, 且un(σn)=‖un‖≤r.对式(21)从t(0<t<σn)到σn积分得(22)下面证明存在a0>0, 使得a0<inf{σn: n∈N+}≤1.(23)如果式(23)不成立, 则存在N+的子列S, 使得当S中的n→∞时, σn→ 0. 对式(22)从0到σn积分得(24)其中n∈S. 因为当n→∞时, σn→ 0, 则由式(24)可得, 当n→∞时, un(σn)→ 0. 又因为un在[0,1]上σn处取得最大值, 所以当n→∞时, C[0,1]中的函数un→ 0. 这与式(20)矛盾. 表明(25)其中W(t)=q(z)dz. 由注2知, Φ-1(W)∈L1[0,1].对式(21)从σn(σn<t<1)到t积分得当σn≤t≤1时, 有(26)则式(25),(26)表明, 当t∈(0,1)时,(27)定义I: [0,∞)→[0,∞)为I(z) 注意到I: [0,∞)→[0,∞)是单调增的映射, 且I(∞)=∞, 这是因为g(u)>0在(0,∞)上单调不减, 且对任意的B>0, I在[0,B]上连续.{I(un)}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续, 其等度连续性可从下式得到(这里t,s∈[0,1]):由不等式(28)、 I-1的一致连续性及un(t)-un(s)=I-1(I(un(t)))-I(un(s))可知{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续.由Arzela-Ascoli定理, N+存在一个子列N⊂N+, 使得当n∈N, n→∞时, 存在u∈C[0,1], 使得un在[0,1]上一致收敛于u. 则由式(20)知, 在[0,1]上,un(t)≥Vg(r)(t). 特别地, 在(0,1]上, u(t)>0.固定t∈(0,1], 有(29)由式(26), 有则有一个收敛子列; 为方便, 仍用表示该子列, 并且令r0∈R表示其极限. 则对上面固定的t∈(0,1], 在N上, 令n→∞(注意到q f在紧子区间[t,1]×(0,r]上一致连续)得(30)t取遍(0,1]可得因此r0=u′(1), 从而有(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1, u(0)=u(1)-u(ξ)=0.最后易证‖u‖<r(注意到如果‖u‖=r, 与式(14)～(19)的证明同理可推出矛盾). 从而证明了问题(1)至少有一个正解u(t)∈C[0,1]∩C1(0,1], 且‖u‖<r. 证毕.3 应用实例考虑奇异边值问题:(31)其中: 0≤m<p; σ>0; α>0; β>p-1.设则b0=σ1/(p-1)b1.应用定理1可知, 如果存在r>0满足(32)则问题(31)存在一个正解.设则选择r=x0, 则式(32)成立. 显然, 定理1中的(H1)～(H3)成立. 因此, 问题(31)存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 使得在(0,1]上, u>0且‖u‖<r=x0.参考文献【相关文献】[1] XU Xian. Multiplicity Results for Positive Solutions of Some Semi-position Three-Point Boundary Value Problems [J]. J Math Anal Appl, 2004, 291(2): 673-689.[2] SUN Jing-xian, XU Xian, O’Regan D. Nodal Solutions for m-Point Boundary Value Problems Using Bifurcation Methods [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2008, 68(10): 3034-3046.[3] Gupta C P. Existence and Uniqueness Theorems for the Bending of an Elastic Beam Equations [J]. Appl Anal, 1988, 26(4): 289-304.[4] Gupta C P. Solvability of a Three-Point Nonlinear Boundary Value Problem for a Second Order Ordinary Differential Equation [J]. J Math Anal Appl, 1992, 168(2): 540-551.[5] KONG Ling-bin, WANG Jun-yu. Multiple Positive Solutions for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2000, 42(8): 1327-1333. [6] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Sin gular Dirichlet Problems [J]. J Math Anal Appl, 1999, 240(2): 433-445.[7] JIANG Da-qing, XU Xiao-jie. Multiple Positive Solutions to a Class of Singular Boundary Value Problems for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Comput Math Appl, 2004,47(4/5): 667-681.[8] WENG Shi-you, GAO Hai-yin, ZHANG Xiao-ying, et al. Existence Principles for Singular Boundary Value Prolems of One Dimension p-Laplacian [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2006, 44(3): 351-356. (翁世有, 高海音, 张晓颖, 等. 一维p-Laplacian奇异边值问题的存在性原则 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2006, 44(3): 351-356.)[9] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan, MENG Qing-yuan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions of Fourth-Order Nonlinear Singular Discrete Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Northeast Normal University: Natural Science Edition, 2010, 42(1): 5-9. (苑成军, 文香丹, 孟庆元. 奇异四阶p-Lapacian差分方程边值正解的存在唯一性 [J]. 东北师大学报: 自然科学版, 2010, 42(1): 5-9.)[10] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Fourth-Order Nonlinear Singular Continuous Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2009, 26(2): 190-193. (苑成军, 文香丹. 奇异四阶p-Lapacian微分方程边值正解的存在惟一性 [J]. 黑龙江大学自然科学学报， 2009, 26(2): 190-193.)[11] Agarwal R P, O’Regan D. Existence Theory for Single and Multiple Solutions to Singular Positone Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 2001, 175(2): 393-414.[12] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Singular Boundary Value Problems [J]. Proc Amer Math Soc, 2000, 128: 2085-2094.[13] 钟承奎, 范先令, 陈文源. 非线性泛函分析引论 [M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1998.[14] Agarwal R P, O’Regan D. Nonlinear Superlinear Singular and Nonsingular Second Order Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 1998, 143(1): 60-95.。

摘要分数阶微积分已有很长的历史. 早在1695年，在Leibniz 和L’Hospital 的往来书信中就已经提到了分数阶微分的概念. 在近三个世纪内，人们对分数阶微积分理论的研究主要集中在数学的纯理论领域. 然而在最近几十年内，许多学者纷纷指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，这些性质在经典模型中是常常被忽视的．如今，分数阶微分方程模型越来越多地被用于描述声学、热学系统、材料力学、信号处理、系统辨识、控制理论、机器人科学以及其它应用领域中的问题．本文的工作如下：第一部分是绪论，主要简要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的研究历史和发展现状，以及分数阶微分方程正解存在性方面的研究工作.第二部分研究了一类奇异的非线性semipositone Sturm-Liouville 边值问题正解的存在性. 我们的主要方法是对非线性部分()f y 进行重新定义，使其转化成非奇异的p ositone 边值问题， 然后应用锥上的不动点定理以及泛函分析的知识证明该奇异非线性s emipositone Sturm-Liouville 边值问题的正解的存在性.第三部分讨论了一类奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题正解的存在性. 我们的主要思想是重新研究非线性部分0(,(),())f t x t D x t β+，使其转化为非奇异的分数阶微分方程边值问题，然后再对每一个重新定义的非线性部分为0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈)的边值问题，证明其存在正解n x ，最后通过紧集上函数列极限的性质给出原奇异非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题的正解的存在性.关键词：微分方程，分数阶微分方程，边值问题，正解，奇异性，不动点.AbstractFractional calculus has a long history. As early as in 1695, the concept of fractional differential was already mentioned in the correspondence of Leibniz and L'Hospital. During the past three centuries, the research of fractional calculus theory was mainly concentrated in the pure theoretical field of mathematics. However, in the recent several decades many scholars in succession pointed out that fractional calculus is very suitable to characterize materials and processes with memory and hereditary properties, which were often neglected in the classical models ．Nowadays, fractional differential equation models are increasingly used to describe the problems in acoustics, thermal systems, material mechanics ，signal processing, system identification, control theory, robotics and other applied fields ．This thesis is divided as follows:The first part is an introduction, briefly presents the research history and development status of the fractional calculus and fractional differential equations, and some past research works about the existence of positive solutions of the fractional differential equations.The second part studies a singular nonlinear semipositone Sturm-Liouville boundary value problem. We redefine the nonlinear part ()f y , and make the singular boundary value problem transform into a nonsingular positone boundary value problem, and then prove the existence of a positive solution for the original singular nonlinear boundary value problem by using the cone fixed point theorem as well as knowledge of functional analysis.The third part discusses the positive solution existence for Dirichlet boundary value problem of a singular nonlinear fractional differential equation. We study itsnonlinear part 0(,(),())f t x t D x t β+, and have it transform into a nonsingular boundaryvalue problem, and then prove the existence of a positive solution n x for eachboundary value problem with redefined nonlinear part 0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈), andfinally we give the existence of a positive solution for the original Dirichlet boundary value problem via the limit properties of a sequence of functions on compact sets. Keywords: Differential equation, fractional differential equation, boundary value problem, positive solution, singularity, fixed point.目录摘要 (1)Abstract........................................................................................................I I 第一章绪论 (1)1.1分数阶微积分的历史 (1)1.2分数阶微分方程的研究现状 (2)第二章带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville边值问题解的存在性52.1 引言 (5)2.2 预备知识 (6)2.3 主要结果 (7)第三章带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet边值问题正解的存在性 173.1 引言 (17)3.2 预备知识 (19)3.3 主要结果 (29)参考文献 (31)攻读硕士期间发表的论文 (34)后记 (35)第一章 绪论1.1分数阶微积分的历史牛顿和莱布尼茨发明的微积分是现代数学和古典数学的分水岭，数学的发展和应用自此发生了根本性的变化，分析、几何和代数一同成为数学的三个基本研究方向和工具.对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是一个新奇的概念和数学工具，但它实际上早在300多年前就已被提出，和传统的整数阶微积分有着一样久远的历史.莱布尼茨最先引入/n n d y dx 来表示导数，也正是因为这个符号的出现，促使了L’Hospital 对分数阶导数问题的思考.1695年9月，L’Hospital 在写给莱布尼茨的信中问到：“一个函数()f x 的n 阶导数可以表示为()n n d f x dx ，如果当12n =时会有怎样的结果.” 莱布尼茨在回信中写道：“这显然是一个悖论，但总有一天会得出有用的结论.”由此，分数阶微积分诞生了，在之后300多年的学习研究过程中，莱布尼茨的这句话已经得到了验证，至少他说对了一半,尤其是在二十世纪，大量有关分数阶微积分的应用被人们所发现.尽管分数阶微积分有了这些应用以及一些数学背景，然而它的物理意义却很难把握，分数阶微积分的定义也不像整数阶微积分那样完善.历史上，莱布尼茨、欧拉、拉普拉斯、Lacroix 和傅里叶都曾对分数阶导数做出过重要贡献，其中,欧拉迈出了关键的第一步.他注意到，当n 时非整数时，幂函数a x 的导数na n d x dx在数学上有意义.1812年，拉普拉斯提出了积分形式的的函数()x T t t dt -⎰的分数阶导数的思想.1819年，Lacroix 第一次给出了1/21/21/2d x dx =1823年，Abel 在求解等时曲线的积分方程时，第一次使用分数阶算子并用分数阶微积分来表示该方程的解.1832年，Liouville 成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题，此后，Liouvile 发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的创始人.19世纪末，物理学家Heaviside发表的一系列文章表明，分数阶算子可以应用于求解特定的整数阶微分方程，从数学角度看，他的方法并不严格，但被证明对电缆中电流的传输这类问题非常有效.后来Heaviside的结果被证明是正确的，但他的处理过程在数学上并不完善，直到1919年Bromwich才把这一工作完善，Heaviside的想法极大的促进了分数阶算子的发展，但当时分数阶微积分还没有被应用于科学和工程的物理和力学建模.20世纪40年代，力学家Scott和Gerasimov分别独立的提出了介于牛顿流体和胡克定律表征的分数阶导数模型.地理学家Caputo和Mainardi将分数阶微积分方法运用到复杂黏弹性和流变介质，发展了若干的力学模型，更为重要的是，Caputo发展了一个不同于传统的Riemann-Liouville分数阶导数的新定义（被人们称为Caputo定义），克服了前者的强奇异性，并且自然的将初始条件含在定义中，在解决实际问题时得到了非常广泛的应用.1965年，美国耶鲁大学的Mandelbrot教授提出分形的概念，并首次指出自然界和工程中存在大量分数维的事实，并且整体与部分之间存在自相似现象，他认为分数阶布朗运动与Riemann-Liouville提出的分数阶微积分定义有紧密的内在联系.从此，作为分形几何和分形动力学的基础，分数阶算子理论特别是分数阶微分方程的研究开始得到广泛关注，分数阶微积分的研究重点也逐渐从纯数学领域转移到其它学科领域.20世纪末至今，由于反常扩散、多孔介质力学、非牛顿流体力学、黏弹性力学等研究的需要，分数阶导数的研究和应用再度引起广泛重视，成为多个领域学者研究的热点.1.2分数阶微分方程的研究现状现实的世界本质上是分数阶的.过去用整数阶微积分描述自然界中的事物，但自然界中许多现象依靠传统的整数阶微积分是不能精确描述的，必须对传统的微积分进行拓展才能更好的描述与研究这样的现象.分数阶微分方程是扩展传统微积分学的一种直接方式，即允许微分方程中对函数的导数阶次选择分数，而不是现有的整数.目前，分数阶算子的定义主要有Riemann-Liouville型、Caputo型、Grunwald-Letnikov型，Weyl型、Erdelyi-Kober型、Riesz型以及Marchaud-Hadamard型分数阶微积分[]23，前面三种定义用的最为广泛，同时这三种定义还存在着一定关系:Riemann-Liouville型分数阶微分定义和Caputo型分数阶微分定义都是在Grunwald-Letnikov型分数阶微分定义的基础上进行改进而得到的，但是它们同时又有各自的侧重点，其中对于Riemanna-Liouville 型定义是从数学角度出发，在计算时初始条件是必要的，但这个定义在应用方面缺乏物理背景，是得它在很大程度上不能适用于具体模型;而对于Caputo 型定义，它正好弥补了Riemanna-Liouville 型定义可以很好的应用到数学模型中去，因为此时的初始条件恰好是整数阶的导数，这样连带的初始条件就可以很好的描述一些物理现象的特征，并能准确的对它进行计算，它还比较适用于拉普拉斯变换，有利于分数阶微分方程的进一步讨论随着分数阶微积分定义的出现，分数阶微分方程的求解就成为数学家至今仍在研究的主要课题,在分数阶微分方程的解析解研究方面：Agarwal []26,29,30研究了分数常微分方程解的存在性、唯一性；Miller 和Ross []21给出了一种分数阶微分方程的求解方法；Wyss []36等人给出了分数阶Black-Scholes 方程的一个完整解；Zhanbin Bai []40,41, Chuanzhi Bai []11等研究了分数微分方程正解的存在性;然而，由于分数阶微分方程的解析解以及基本解大多带有特殊函数(如多变量的Mittag-Lemer 函数)，这些特殊函数的计算是相当困难的，而且并非所有的分数阶微分方程都能得到其解析解.因此，建立分数阶微分方程的数值方法是非常必要的，在分数阶微分方程的数值解研究方面：Diethelm []1314，等人对于Adams类型的分数阶微分方程，提出用预测校正法来得到微分方程的数值解并且讨论了分数阶非线性微分方程的求解问题，在特定初值和Riemann-Liouville 型分数阶微积分定义的条件下求解分数阶微分方程的数值解；Diethelm 和Ford []15在分数阶微积分的Caputo 定一下给出了给出了一种求解分数阶微积分的数值算法；Sayed []33等人对于线性分数阶微分方程给出了一种计算其近似的数值解的算法，该算法需要很大的计算量来得到计算权数；Agrawal []4等人在Caputo 型分数阶微积分的基础上，求解了分数阶漫射波方程，数值解在实际问题中得到了广泛的应用，数学家们给出了自己的解法，每种解法都随着计算机技术的快速发展得到了验证.在最近的十多年里，有关分数阶微分方程的论文和著作相继出现，在这些论文和著作当中，也有很大一部分文章是关注不同边值条件和不同阶数取值范围下的分数阶微分方程正解存在性和唯一性问题，在不同的边值条件和阶数条件范围下，可以采用不同方法来求解分数阶微分方程的解以及证明其正解的存在性.已知的求解方法中较多是采用各种推广的特殊函数来直接求解，其中Green 函数是研究的重点内容，不同的边值条件和阶数的取值范围会产生不同的Green函数以及相应的Green函数值的有所不同，进而导致在后续估计分数阶微分方程正解的存在的条件以及在证明正解存在性的方法上出现显著差别.本文主要利用非线性泛函分析中的不动点理论,把解的存在性转化为某个非线性算子不动点的存在性.研究了一类分数阶微分方程在边值条件下正解的存在性.第二章 带有奇异的非线性SemipositoneSturm-Liouville 边值问题解的存在性2.1 引言近年来，带有奇异的或非奇异的positone 问题(其中非线性项()f y 为非负值)的研究已引起了很多的学者的关注，详见文献[17，25,26,28].最近，文章[19,20]开始讨论了Semipositone 非奇异问题. 这里Semipositone 问题指的是非线性项()f y 可能在0y =处奇异并且f 可以取负值.本章主要研究了带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.0μ>这里是常数，1[0,1],q L ∈:(0,)f R ∞→连续并且在0y =处奇异, ,,,0:0.αβγδργβαγαδ≥=++>及在文献[27]中作者研究了带有奇异的Semipositone Dirichlet 边值问题 ()()(())0,01(0)(1)0;y t q t f y t t y y μ''+=<<⎧⎨==⎩解的存在性.受以上文献启发，本文讨论了带有奇异的Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.本章主要利用锥上的不动点理论来建立边值问题解的存在性，本章第二部分首先介绍了一些基本定义和引理,给出我们后面用到的基本定理，第三部分是我们的主要定理并给出了(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ特殊情形时的一个例子，边值问题(1)0,01(0)(1)0,0,0p q y y y t y y p q μ-''⎧++-=<<⎨==>>⎩ 当μ充分小时，有一个解()2[0,1](0,1),()0,0,1y C C y t t ∈⋂>∈且有()()(())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t y y y y μαβγδ''+=<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩2.2 预备知识定理 2.2.1[]27(,)E E K E =⋅∈设是一个Banach 空间，是一个锥，,r R 都是常数且有r R <<0.{}(=:)R R A K K x E x R Ω⋂→Ω∈<假设:这里，A 是一个连续的紧映射并且假设下列条件成立：(1) (),[0,1)E r x A x x K λλ≠∈∈∂Ω⋂且， (2) ,E R Ax x x K >∈∂Ω⋂， 那么算子{}:A K x E r x R ⋂∈≤≤在集合上有一个不动点.引理 2.2.1[]27设{}[0,1]()0,[0,1]()[0,1]K y C y t t y t ∈≥∈＝:并且是上的凸函数，如果y ,K ∈那么 01()(1),[0,1];=max ()t y t t t y t y y t ≤≤≥-∈这里. 引理2.2.2 1[0,1],()0,(0,1),q L q t t ∈>∈假设那么边值问题()()=0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t t y y y y αβγδ''+<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩(2.2.1) 的解0()(),[0,1]w t w t G t t C t ≤∈满足(,);G t t 其中(,)为边值问题 =0,(0)(0)0,(1)(1)0;y y y y y αβγδ''⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩其中1()(),01,1()(),01,t s s t G t s s t t s γδγβαργδγβαρ⎧+-+≤≤≤⎪⎪⎨⎪+-+≤≤≤⎪⎩(,)= 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 记 ():,():,01t t t t t ϕγδγψβα=+-=+≤≤.证明：因为(2.2.1)式的解Green G t s 的函数(,)当t=s 的情形,1011()()()()()()()t t w t t s q s ds s t q s ds γδγβαγδγβαρρ=+-+++-+⎰⎰10()()1()()()()t t t t s q s ds s q s ds ϕψβαγδγρρρ=+++-⎰⎰ 10()()()()()()t t t t t t q s ds q s ds ϕψϕψρρ≤+⎰⎰ 所以有00()()()(,)t t w t C G t t C ϕψρ≤=. 引理2.2.3 :(0,)f R M ∞→>设的连续函数并且存在一个常数0,使得 ()0,f u M +≥(0,)u ∀∈∞，若边值问题*()()(()())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t t y y y y μφαβγδ''⎧+-=<<⎪'-=⎨⎪'+=⎩（2.2.2） 211[0,1](0,1)()(),(0,1),y C C y t t t φ∈⋂>∈有一解且 ()=(),t Mw t φμ这里 *()(),0f v f v M v =+>.1()()()u t y t t φ=-那么 为(1.1.1).式的一个非负解证明：因为1()()()u t y t t φ''''''=-=*1()(()())()q t f y t t Mq t μφμ--+ []1()(()())()q t f y t t M Mq t μφμ=--++1()(()())()(())q t f y t t q t f u t μφμ=--=-所以有()u t ''=()(())q t f u t μ-，即1()()()u t y t t φ=-是(2.1.1).式的一个非负解2.3 主要结果假设下列条件成立:(H1):(0,)f R M ∞→>的连续函数并且存在一个常数0,使得()0,f u M +≥ (0,)u ∀∈∞.(H2)()()()f u M g u h u +=+,(0,)u ∀∈∞，其中0g ∞为（，）上正的连续递减函数 并且存在000()()(),0,0K g ab K g a g b a b >≤∀>>使得. h ∞为[0,）上的连续非负函数并且有0hg∞为（，）上的递增函数. (H3) 存在常数,(,)(1),L G t t Lt t ≤-使得 存在0,r MLC μ>使得00001,()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 1021002max 2(1)(),2(1)(),b t t q t dt t t q t dt ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭⎰⎰其中，100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰. (H4)11((1))(0,),()(,)2()((1))((1))a a Rg a a R a R r q s G s ds g R g a a R h a a R εμσεε--∈>≤-+-⎰存在有这里 00MLC Rμεε>≥是任意常数且满足1-，11[0,1]01()(,)sup ()(,)a aaat q s G s ds q s G t s ds ξξ--∈≤≤=⎰⎰满足.定理2.3.1 假设条件(H1)、(H2)、(H3)和 (H4)成立，那么边值问题(2.1.1) 式有一个解2[0,1](0,1)(0,1)()0.y C C t y t ∈⋂∈>且有当时证明：记0*0001:(1)m N m N a a R m ηηε⎧⎫=∈<<-⎨⎬⎩⎭且. 我们首先证明边值问题0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.1） 对0m N ∀∈有一个解m y ，()0,()(),[0,1],,m m m y t y t t t r y R φ≥≥∈≤≤这里1()()(),()11()(),0.m f v M g v h v v mf vgh v v mm ⎧+=+≥⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩欲证（2.3.1）式，我们接下来看下式*0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.2） *1()()(),11()()(),01()(0),0.m f v M g v h v v m f v g h v v mm g h v m ⎧+=+≥⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩这里所以我们有*()0,(,).m f v v ≥∀∈-∞∞0,([0,1],){[0,1]()0,[0,1]()[0,1]}.m N E C y C y t t y t ∈=∈≥∈固定并且Ｋ＝:且是上的凸函数()():[0,1]y t y t A K C →是边值问题（2.3.2）式的解当且仅当是算子1*01()()(()())(()())m Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ=-++⎰(,) （2.3.3）的不动点.:[0,1]A K C →由文献[27]知算子是连续的并且是全连续算子.:A K K →接下来验证*()0,(,)()0.m u K f v v Au t ∀∈≥∀∈-∞∞≥对,因为，所以有同时也容易看出()0A u t ''≤，(0,1),.t ∈ {}{}12=[0,1]:,[0,1]:.u C u r u C u R Ω∈<Ω=∈<设1,[0,1).y Ay y K λλ≠∈∈⋂∂Ω我们首先证明且=0.(0,1)=y Ay y Ay λλλλ≠∈当时，显然成立当时，假设成立，我们有*()()(()())0,01m y t q t f y t t t λμφ''+-=<< （2.3.4）00[0,1](0,1),(0,)()0,y t t t y t '∈∈≥由是凸函数可知，在区间上存在点使得当时有000(,1)()0,().t t y t t y t y r '∈≤==时有并且在处有0(,)()(1)=()(1)()(,),0,1(1)G t t y t t t y y t t t r w t G t t C L t t t ≥-≥-≤≤∈-因为以及,（）0()()()=()1()1()MLC Mw t y t t y t y t y t r μμφ⎡⎤⎡⎤--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以 0,r MLC μ>由于所以有0()()()10,0,1MLC y t t y t t r μφ⎡⎤-≥->∈⎢⎥⎣⎦（） （2.3.5） *11()=()()()0m v f v g v h v v v m m≥+∞≤≤当时，，因为g 在(0,)上递减，所以当时，*1()()()()()m f v g h v g v h v m=+≤+，*(()())(()())(()()),(0,1)m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈故有(0,1)(2.3.4)x ∈因此当时，由式我们有()()(()())(()())y x q x g y x x h y x x μφφ''≤-+--(()())()(()())1(()())h y x x q x g y x x g y x x φμφφ⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭(2.3.5)由式，我们有0(()())()()()11(()())MLC h y x x y x q x g y x r g y x x μφμφ⎧⎫-⎡⎤''≤-+⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭-（） 00()1)1()())(MLC h r K gq x g y x rg r μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭（（） （2.3.6） 不等式00()t t t t ≤两边从到积分得，00()()(())1)1()(t t MLC h r y t K g y t g q x dx rg r μμ⎧⎫'≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） （2.3.7） =y Ay λ由知，1*01()()(,)()(()())(()())m y t Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤=-++⎰ 1*1(,)()(()())(()())m G t t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤-++⎰1*1(1)()(()())(()())m Lt t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤--++⎰ 因此++(0)(1)y y m mγδβαδβρρ++≤≤有，. 取++=max ,m mm γδβαδβηρρ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭0(2.3.7)t ，对式两边从0到积分,以及由分部积分得00+00()1)1()()(rt mMLC duh r K g xq x dx g u r g r γδβρμμ+⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰⎰（） 有 0000()11)11)()()(1mrt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬-⎩⎭⎰⎰（（）000(2.3.6()1t t t t t ≥类似的，如果我们对）式两边先从到积分，然后再对不等式两边从到积分得m1000()11)11)()()(rt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭⎰⎰（（）有 000()1)1()(mrMLC duh r K b g g u r g r ημμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） （2.3.8） 其中0b 为条件（H3）中所定义，又因为由条件（H3）有00001()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 所以当η充分小时有0001()11()r du K b gu MLC h r g r g r ημμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 与（2.3.8）式产生矛盾.接下来我们证明，当 2y K Ay y ∈⋂∂Ω>时，有，2K ⋂∂Ω因为当时， 有()(1),[0,1]y t t t R t ≥-∈.0(0,1)()()()1()(1)MLC t y y t t y t y t t t R r μφεε⎡⎤∈∈-≥-≥≥-⎢⎥⎣⎦当时, [],1t a a ∈-因此，当时，我们有 ()()(1),y t t a a R φε-≥-1()()(1)y t t a a R m φε-≥->由 有 []*(()())=(()())(()()),,1mf y t tg y t th y t t t a a φφφ--+-∈- 1*01()()(()())(()())m Ay G s q s f y s s ds mξμξφϕξψξρ=-++⎰(,) 1*()(()())a m a G s q s f y s s dsμξφ-≥-⎰(,)1(()())()(()())1(()())a ah y s s G s q s g y s s ds g y s s φμξφφ-⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭⎰(,)1((1))()1()((1))aa h a a R g R G q s ds g a a R εμξε-⎧⎫-≥+⎨⎬-⎩⎭⎰(,s)(),(2.9).Ay R y ξ≥=由条件(H4)知因此式成立211.2.1(\),(1),[0,1]m m m A y r y R y t t r t ∈ΩΩ≤≤≥-∈由定理知有不动点并且有.0(1)(1)()()m y t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=因为m y 所以是边值问题(2.3.1)式的解.{}0[0,1].m m N y ∈下证是定义在区间上的有界，等度连续的函数族因为 *(()())(()())(()()),(0,1).m m m m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈(()())()()(()())1(()())m m m m h y t t y x q x g y t t g y t t φμφφ⎧⎫-''≤-+⎨⎬-⎩⎭所以我们有-00()()1)1()())()m m MLC h R y x K g q x gy x rg R μμ⎧⎫''≤-+⎨⎬⎩⎭-（（ （2.3.9） 0(),()()()1()1,(0,1)()m m m m m MLC Mw s r y R y s s y s y s s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤≤≤-=-≥-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又因为，(0,1),(0,)()0,(,1)()0,m m m m m t t y t t y t ''∈≥≤同时存在使得在区间上在区间上 (2.3.9)()m m t t t t ≤对式两边从到积分得00()()1)1()())(mt m t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（） （2.3.10）(2.1.9)()m m t t t t ≥另一方面式两边从到积分得00()()1)1()())(m tm t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫-≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（）（2.3.11） 由（2.3.10）、（2.3.11）式可知'00()()1)1(),(0,1)())(m m y t MLC h R K g v t t g y t rg R μμ⎧⎫≤-+∈⎨⎬⎩⎭（（）（2.3.12） 其中{}{}10max ,min ,()()t a t a v t q x dx =⎰，{}{}00010inf :sup :1m m a t m N t m N a <<∈≤∈<<.注：这里0,1()0m m m t y t '=是区间（）上唯一的一点，满足,有{}0inf :0m t m N ∈>. 倘若不成立，那么存在0N 的子列，使得0m m t →∞→当时，有. 对（2.3.10）式两边从0m t 到积分可得()00000()1)1()()(()m m m m y t t MLC duh R du K g xq x dx g u r g R g u ημμ⎧⎫≤-++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰（） （2.3.13） 因为0,0m m m t η→∞→→当时，有，由（2.3.13）式可知m →∞当时有()0m m y t →，然而因为()m m y t 在区间[0,1]的最大值在m t 处取得，所以当0m m y →∞→当时，有这与()(1),[0,1]m y t t t r t ≥-∈矛盾 故有{}0:m 0m inf t N ∈>.类似的可以证明{}0sup :1m t m N ∈<. 定义映射0:[0,)[0,),()()y duI I y g u ∞→∞=⎰，显然{}0)m m N I y ∈（是有界的.(())(())m m I y t I y s -()()()()(())m m y t t my s sm y x dudx g u g y x '==⎰⎰00()1)1()(ts MLC h R K g v x dx rg R μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） 可知{}0)m m N I y ∈（是等度连续的. 由，[]1()I I R -在区间0,上的一致连续性以及11())(()=((()))((()))m m m m y t I y s I I y t I I y s ----知{}0[0,1]m m N y ∈是定义在区间上的有界，等度连续的函数族.由Arzela Ascoli -定理知，存在0[0,1],N N y C ∈的子列以及函数 m →∞当时m y y 有在区间[0,1]上一致收敛到同时有(0)(0)0y y αβ'-=(1)(1)0y y γδ'+=，r y R ≤≤，()(1),[0,1]y t t t r t ≥-∈，且有0()(1)(1)()()y t t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=. 固定(0,1)t ∈，不失一般性，我们假设12t >，固定(0,1),x x t ∈>满足，对1[,]2s x ∀∈ 0()()()()1()1()MLC Mw s y s s y s y s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤-=-≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦00(1)(1)112MLC MLC x s s r r r r μμ-⎡⎤⎡⎤≥--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦选择0001(1)12MLC x n N r n r μ-⎡⎤∈<-⎢⎥⎣⎦使得，，设{}10:.N m N m n =∈≥ 当1,m y m N ∈时，由泰勒公式有12111()()()222x m m m y x y y x f s x s ds⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰=[]12111()(()())(()()()222x m m m m y y x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'+-+-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰因为(1)()m rs s y s R -≤≤，所以11,2my m N ⎧⎫⎛⎫'∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为有界序列，[]0,1s ∈. 故112m m N y ∈⎧⎫⎛⎫'⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭有一个收敛的子列，不妨设子列的极限收敛到0r R ∈， 在1N 中当m →∞时，我们有，[]10211()()(()())(()()()22x y x y r x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（2.3.14）对（2.3.14）式两边求二阶导有[]()()(()())(()())0y x q x g y x x h y x x μφφ''+-+-=所以有 [][]()()(()())(()())0,0,1y t q t g y t t h y t t t μφφ''+-+-=∈*()()(()())0,01y t q t f y t t t μφ''+-=<<.因此y 为（2.2.2）式的解并且有()()y t t φ>，(0,1)t ∈. 下面我们通过一个实例来给出了定理2.3.1的一个应用. 例：考虑边值问题(1)0,01(0)(1)0,p q y y y t y y μ-''⎧++-=<<⎨==⎩ (2.3.15) 这里0(0,)μμ∈且满足()100(1)12pp μμ++≤. (2.3.16)那么边值问题(1.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.我们将应用定理 2.3.1来证明，边值问题(2.3.15)式是(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ的特殊情形. 设01,(),(),1p q M g y y h y y K -====,1L =，14a =，其中 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰10[0,1]111max 112t t t sds sds t t ∈⎧⎫=+-=⎨⎬-⎩⎭⎰⎰. 11210021max 2(1),2(1)6b t t dt t t dt ⎧⎫=--=⎨⎬⎩⎭⎰⎰.01122r MLC r μμμ==<≤=取时有，，()1001112121121()11()ppp r p q du r gu r rp p MLC h r g r g r μμμ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪+++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (2.3.16)由式有()()00000011122222121()11()p pr du K b p p gu MLC h r g r g r μμμμμμ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<≤≤=++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 取01111222MLC R R R μμε=>=-≥,当时有，1- . 最后当,1R q →∞>时有，13((1))320()((1))((1))333232pq p qp qR Rg a a R g R g a a R h a a R Rεεε-+-+⎛⎫⎪-⎝⎭=→-+-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此定理2.3.1的条件（H1）、（H2）、（H3）、（H4）均满足，故边值问题(2.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.第三章 带有奇异的非线性分数阶微分方程D i r i c h 边值问题正解的存在性3.1 引言近年来，人们开始并越来越多的关注、研究分数阶微分方程，主要是因为分数阶微积分自身理论的发展以及在多种学科中的应用，例如物理学，化学，工程学等等，详见文献[8,23,30,31].分数阶微分方程的Dirichlet 边值问题是很多学者研究是的焦点，在文献[40]中作者研究了边值问题()(),()0(0)(1)0D y t f t y t y y α+===正解的存在性和多解性，这里[][]()12,0,1,0,f C α<≤∈∞为非负函数，Bai Zhanbin 通过Krasnosel’skii 不动点定理和Leggett-Williams 不动点定理得到了相关结论.在文献[32]中，Zhang 研究了边值问题()(2)()(),,0,01,1n D u t q t f u u u t n n αα-'+=<<-<≤， (3.1.1)(2)(2)(0)(0)(0)(1)0,n n u u u u --'===== (3.1.2)这里0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数，q 可能在t=0处奇异，f 可能在(2)0,0,0n u u u -'===处奇异.在此基础上Goodrich 在文献[42]中研究了边值问题()0(),(),01,1,vD y t f t y t t n v n +-=<<-<≤ (3.1.3) ()0,02,i y i n =≤≤-（0） (3.1.4)00()0,12,t D y t n αα+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (2.1.5)这里的3n >,可以看出边值条件(3.1.2)式是边值条件(3.1.4)和(3.1.5)式的特殊情形，文献[42]在Zhang 研究的基础上进一步阐述了Green 函数的有关性质Harnack-like 不等式，这是在锥上寻找正解存在性的一个重要性质.文献[28]中Agarwal 等研究了边值问题()(),(),()0,D u t f t u t D u t αμ+= (3.1.6) (0)(1)0,u u == (3.1.7)正解的存在性，这里12,0,1αμαμ<<>-≥，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.f 是正的Caratheodory 函数并且(,,)0f t x y x =在处奇异，通过锥上的不动点定理以及函数列的相关性质证明了边值问题(3.1.6)、(3.1.7)式正解的存在性.本章主要在文献[28,42]的基础上研究下面的带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题00()(,(),())0,01D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.8) ()(0)0,02i x i n =≤≤- (3.1.9)01()0,02t D x t n μμ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (3.1.10)正解的存在性.这里1n n α-<≤，01βα<≤-，f 是正的Caratheodory 函数并且在[0,1],(0,)B B ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件(([0,1]f C a r B ∈⨯，(,,)0f t x y x =在处奇异，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.我们说函数f 在集合[0,1],(0,)B B R ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件，如果函数f 满足下面三个条件：[]()(,,):0,1(,)a f x y x y B →∀∈是可测函数，成立， [](b)(,,):0,1f t B t →∈是连续的，a.e.成立， []1()0,1,c B L κκϕ∈对中的任一紧集，存在函数使得[](,,),0,1(,)f t x y t x y B κϕ≤∈∀∈a.e.，成立，函数[]0,1u C ∈称为边值问题(2.1.8)-(2.1.10)的一个正解，如果x 在区间(0,1)上有0x >，[]00,1D x C β+∈，[]100,1D x L μ+∈且满足边值条件(3.1.9)、(3.1.10)式和等式(3.1.8),对几乎所有的[]0,1t ∈成立.本文中假设函数f 满足下列条件：[]()1():0,1,(0,),H f Car C B B ∈⨯=∞⨯[]0lim (,,),..0,1,x f t x y a e t y +→=∞∈∀∈(3.1.11)并存在正整数m 满足(,,)(1)f t x y m t μ≥-，[]..0,1,(,)a e t x y ∈∈∀∈(3.1.12)()[]2():(,,)()()()(),..0,1,(,)H f t x y t q x p x y a e t x y B γω≤++∈∈∀∈这里[]()[)1()0,1,0,1,,0,1t L q C p C γω∈∈∈都是正的函数，其中q 单调递减，,p ω单调递增，且有[]10()((1))s q K s s ds αγ-<∞⎰，()1mK α=Γ+ (3.1.13)()()lim0x p x x xω→∞+= (3.1.14)因为(3.1.8)式是一个奇异方程，故我们定义1(,,)11(,,)0n f t x y x n f f t y x n n⎧≥⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩有[]()[)**0,1,0,n f Car C B B ∈⨯=∞⨯，n ∈，由条件1()H 和2()H 可得[]*1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭ (3.1.15)[]1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭(3.1.16)接下来我们首先讨论一般的分数阶微分方程00()(,(),())0,01n D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.17) 3.2预备知识定义2.1[]40空间[]0,1C 上的范数[]{}max ():0,1x x t t =∈，空间[]10,1L 上的 的范数1()Lxx t dt =⎰.定义 3.2[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶积分由以下公式给出：1001I ()()()()ty t t s y s ds ααα-+=-Γ⎰ (3.2.1) 上式右端在(0,)∞上有定义，其中10()s e s ds αα∞--Γ=⎰.定义3.3[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶微分由以下公式给出：0101()()()()n tn d y s D y t ds n dt t s ααα+-+⎛⎫= ⎪Γ--⎝⎭⎰ (3.2.2)上式右端在(0,)∞上有定义，其中[]1n α=+，[]α表示实数α的整数部分.引理3.1[]28关于分数阶微积分有如下性质：（1）00I ()()D y t y t αα++=，..(0,1]a e t ∈, 1(0,1)y L ∈, 0α>（2）如果0α>，0λ>，那么110()()D ttαλλαλλα---+Γ=Γ- (3) []10()(,1),0,1tt s s ds t B t βααβαβ----=-∈⎰,其中B 为Beta 函数1110(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --=->>⎰，()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+(4) [][]1()(),0,1,()0,1.I I f t I f t t f t L αβαβ+=∈∈ 由性质(4)可知()111()()()(,)()()t s tt s s f d ds B t s f s ds αβαβττταβ+-----=-⎰⎰⎰引理3.2[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂，那么分数高阶微分方程0()0D y t α+=有唯一解1212()N N y t C t C t C t ααα---=+++，,1,2,,i C R i N ∈=,其中N 是大于或等于α的最小整数.引理 3.3[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂且关于α的分数阶导数0()(0,1)(0,1)D yt C L α+∈⋂，那么120012I ()()N N D u t u t C tC t C t ααααα---++=++++ (3.2.3)其中，,1,2,,i C R i N ∈=，N 是大于或等于α的最小整数.引理3.4[]42设[]0,1f L ∈，那么边值问题0()()0,01,1D u t f t t n n αα++=<<-<≤， ()(0)0,02i u i n =≤≤-01()0,02t D u t n ββ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦有唯一的解1()(,)()y t G t s y s ds =⎰，其中11111(1)(),01()(,)=(1),01()t s t s s t G t s t s t s ααμαααμαα-------⎧---≤≤≤⎪Γ⎪⎨-⎪≤≤≤⎪Γ⎩证明：由引理2.3知，边值问题的解为12120()I ()n n u t C t C t C t f t αααα---+=+++- (3.2.4)由边值条件（1.4）式知230n C C C ====，对上式两边求μ阶导数，由引理2.1以及边值条件(2.1.5)式知11010()1()()()()()tD u t C t t s y s ds μαμαμααμαμ----+Γ=--Γ-Γ-⎰ 当1t =时有，1110()10(1)()()()C s y s ds αμααμαμ--Γ=--Γ-Γ-⎰，故有 11101(1)()()C s y s ds αμα--=-Γ⎰ 1111001()(1)()()()()()t t y t s y s ds t s y s ds ααμααα----=---ΓΓ⎰⎰111111011((1)())()(1)()()()t tt s t s y s ds t s y s ds ααμαααμαα-------=---+-ΓΓ⎰⎰ 设[][]{}0,1:0,1X x C D x C β=∈∈，给空间X 赋以范数{}*max ,x x D x β=，由文献[14]知X 是Banach 空间.定义空间X 中的锥P ，[]{}:()0,0,1.P x X x t t =∈≥∈为了证明边值问题(3.1.9)、（3.1.10）、(3.1.17)有一个正解，我们首先通过公式定义锥上的算子n T ，10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰ (3.2.5)引理3.5如果条件1()H 和2H （）成立，那么:n T P P →是一个全连续算子. 证明：设x P ∈，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以[]10,1n f L ∈，故有10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰1110(1)(,(),())()n t s f s x s D x s ds ααμβα---=-Γ⎰ 101()(,(),())()t n t s f s x s D x s ds αβα---Γ⎰ []10()(,(),())0,1(,)0tn t s f s x s D x s ds C G t s αβ--∈≥⎰由以及，可知()()[]()()0,1,0n n T x t C T x t ∈≥ (3.2.6)接下来由引理3.1的性质（3）、（4）可知()()()()()()101nn tn n d D T x t t s T x s ds n dt βββ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰()()()111(,)(,(),())nn t nd t s G s f x D x d ds n dt ββτττττβ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰⎰=()()1111001s (1)(,(),())()nn tn d t s f x D x d ds n dt αβαμβτττττβα-----⎛⎫-- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()110011()(,(),())()nn t s n d t s s f x D x d ds n dt βαβτττττβα---⎛⎫--- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()111101s (1)(,(),())()nn t n d t s ds f x D x d n dt βααμβττττταβ-----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰⎰ ()()()+101,(,(),())()nn t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰()()1+1101,(1)(,(),())()nn n d t B n f x D x d n dt αβαμβαβττττταβ----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()()+101,(,(),())()n n t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()(11101,(1)(,(),())()i n n B n it f x D x d n αβαμβαβαβττττταβ----≤≤--∏-+=-ΓΓ-⎰()10(,(),())tn t f x D x d αββτττττ--⎫--⎪⎭⎰所以有()()()(11101(1)(,(),())i n nn iD T x t ts f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ--⎫--⎪⎭⎰ (3.2.7)因此有[]0,1,:n n D T x C T P P β∈→.为了证明n T 是一个连续算子，设{}m x P ⊂是一个收敛序列而且有*lim 0m m x x →∞-=,可知*,m x M m ≤∀∈对，M 是一个正的常数，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，我们有[]lim (,(),())(,(),()),..0,1n m m n m f t x t D x t f t x t D x t a e t ββ→∞=∈由(2.1.15)、(2.1.16)式可知，10(,(),())()()()()n m m f t x t D x t t q p M M n βγω⎛⎫<≤++ ⎪⎝⎭(3.2.8)由Lebesgue 控制收敛定理有1lim (,(),())(,(),())0n m m n m f t x t D x t f t x t D x t dt ββ→∞-=⎰ (3.2.9)()10()()()()(,)(,(),())(,(),())n m n n m m n T x t T x t G t s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ-=-⎰ ()1(1,)(,(),())(,(),())n m m n G s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰10(,(),())(,(),())n m m n f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰()()()11101()()()()(1)(,(),())(,(),())i n n m n n m m n iD T x t D T x t ts f s x s D x s f s x s D x s dsn ββαβαμββαβαβ----≤≤-∏-+-≤--Γ+-⎰()()()101(,(),())(,(),())ti n nmm n it s f s xs D x s f s x s D x s dsn αβββαβαβ--≤≤-∏-++--Γ+-⎰()1012(,(),())(,(),())i n n m m n if s x s D x s f s x s D x s ds n ββαβαβ≤≤-∏-+≤-Γ+-⎰故有lim 0n m n m T x T x →∞-=，所以n T 是连续算子.最后，设P X Ω⊂是中的有界集，*,x x L ∀∈Ω≤有，L 是一个正的常数，由于[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以存在[]10,1L ϕ∈使得()[]0(,(),())..0,1,n f t x t D x t t a e t x βϕ<≤∈∀∈Ω对[],0,1x t ∀∈Ω∈有，11()()(,)(,(),())(,(),())n n n L T x t G t s f s x s D x s ds f s x s D x s ds ββϕ=≤≤⎰⎰()11101()()(1)(,(),())i n n n iD T x t t s f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ----⎰()012i n L i n αβϕαβ≤≤-∏-+≤Γ+-故()n T Ω是X 中的有界集，下证n T 是等度连续的,设1201t t ≤<≤，1111212101()()()()()(1)(,(),())()n n n T x t T x t t t s f s x s D x s ds αααμβα-----=--Γ⎰111120(()())(,(),())t n t s t s f s x s D x s dsααβ--+---⎰2112()(,(),())t n t t s f s x s D x s dsαβ---⎰1111111211201()(1)()(()())()()t t t s s ds t s t s s ds αααμααϕϕα------≤--+---Γ⎰⎰。

奇异半正微分系统边值问题正解的存在性黄明明;刘琦;路慧芹【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(011)019【摘要】By using the fixed point theorem,multiple positive solutions for second-order two-point singular semi-positone differential systems with boundary value problems are investingaled. The nonlinearf1) (t,u,v) ,f2(t,u,v) may be singular att -0,t = 1 ,u =0,and v =0,also may be negative for some values of t,u,v.%利用不动点定理,考虑了二阶两点奇异半正微分系统边值问题的多个正解的存在性.该微分系统的非线性项f1(t,u,v),f2(t,u,v)可能在t=0,t=l,u=0,v=0奇异并且可能在某些t,u,v处为负.【总页数】3页(P4550-4552)【作者】黄明明;刘琦;路慧芹【作者单位】山东师范大学数学科学学院,济南250014;山东师范大学数学科学学院,济南250014;山东师范大学数学科学学院,济南250014【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.一类半正奇异分数阶边值问题正解的存在性 [J], 张福珍2.一类带有积分边值问题的奇异半正分数阶微分方程组正解的存在性 [J], 贾艳丽3.高阶非局部奇异半正边值问题正解的存在性问题 [J], 沈文国4.非线性项依赖于导数的奇异半正非局部边值问题正解的存在性 [J], 赵宇; 于秀洁5.一类分数阶奇异半正脉冲微分方程边值问题正解的存在性 [J], 仝荣;胡卫敏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

第六章 非线性微分方程教学目的：使学生重点掌握二维自治系统奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性；了解周期解和极限环的概念．教学内容：1、存在唯一性定理、稳定性2、相平面相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性． 3、Liapunov 第二方法 Liapunov 第二方法． 4、极限圈 周期解、极限环．教学重难点：奇点的分类与相应零解的稳定性 教学过程：§6.1 稳定性6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理本章讨论非线性常微分方程组n R Y Y t G dtdY∈=),;( （6.1）的解的性态.设给定方程组（6.1）的初值条件为00)(Y t Y =， （6.2） 考虑包含点),,,;(),(02010000n y y y t Y t =的某区域 b Y Y a t t R ≤-≤-00,:. 在这里Y 的范数Y 定义为∑==ni i y Y 12. 所谓),(Y t G 在域G 上关于Y 满足局部利普希茨条件是指：对于G 内任一点),(00Y t ，存在闭邻域G R ⊂，而),(Y t G 于R 上关于Y 满足利普希茨条件，即存在常数0>L ，使得不等式Y Y L Y t G Y t G -≤-~);()~;( （6.3）对所有R Y t Y t ∈),(),~,(成立. L 称为利普希茨常数.存在唯一性定理 如果向量函数),(Y t G 在域R 上连续，且关于Y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解),;(00Y t t Y ϕ=，它在区间h t t ≤-0上连续，而且0000),;(Y Y t t =ϕ 这里);(max ),,min(),(Y t G M Mba h G Y t ∈==.解的延拓与连续定理 如果向量函数),(Y t G 在域G 内连续，且关于Y 满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解),;(00Y t t Y ϕ=)),((00G Y t ∈可以延拓，或者延拓到∞+（或∞-）；或者使点)),;(,(00Y t t t ϕ任意接近区域G 的边界. 而解),;(00Y t t ϕ作为00,;Y t t 的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理 如果向量函数),(Y t G 及),,2,1,(n j i y G ji∂∂在域G 内连续，那么方程组（6.1）由初值条件（6.2）确定的解),;(00Y t t Y ϕ=作为00,;Y t t 的函数，在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2 李雅普诺夫稳定性考虑一阶非线性方程2By Ay dtdy-= （6.4）其中B A ,为常数且0>⋅B A ，初值条件为0)0(y y =.为研究方程组（6.1）的特解)(t Y ϕ=邻近的解的性态，通常先利用变换)(t Y X ϕ-= （6.6） 把方程组（6.1）化为);(X t F dtdX=， （6.7） 其中))(;())(;()();();(t t G t X t G dtt d Y t G X t F ϕϕϕ-+=-=. 此时显然有 0)0;(=t F （6.8） 而把方程组（6.1）的特解)(t Y ϕ=变为方程组（6.7）的零解0=X . 于是，问题就化为讨论方程组（6.7）的零解0=X 邻近的解的性态.驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6.4）的特解)(),(21t y t y . 微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解.考虑微分方程组（6.7），假设其右端函数),(X t F 满足条件（6.8）且在包含原点的域G 内有连续的偏导数，从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性定理的条件.定义1 如果对任意给定的0>ε，存在)(00有关和一般与t εδδ>，使当任一0X 满足δ≤0X 时，方程组（6.7）的由初值条件00)(X t X =确定的解)(t X ，对一切0t t ≥均有ε<)(t X .则称方程组（6.7）的零解0=X 为稳定的.如果（6.7）的零解0=X 稳定，且存在这样的00>δ使当00δ≤X 时，满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为渐近稳定的.如果零解0=X 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D X ∈时满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则域0D 称为（渐近）稳定或吸引域. 若稳定域为全空间，即+∞=0δ，则称零解0=X 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.当零解0=X 不是稳定时，称它是不稳定的. 即是说：如果对某个给定的0>ε不管0>δ怎样小，总有一个0X 满足δ≤0X ，使由初值条件00)(X t X =所确定的解)(t X ，至少存在某个01t t >使得ε=)(1t X ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为不稳定的.二维情形零解的稳定性态，在平面上的示意图如图（6.2）（见254页）6.1.3 按线性近似决定稳定性 考虑一阶常系数线性微分方程组AX dtdX= （6.10）由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由n i e t cii lm t m im≤≤∑=1,0λ （6.11）的线性组合，这里i λ为方程组（6.10）的系数矩阵A 的特征方程0)det(=-E A λ （6.12） 的根，i l 为零或正整数，由根i λ的重数决定.根据（6.11），与第五章相对应的可得如下结论.定理1 若特征方程（6.12）的根均具有负实部，则方程组（6.10）的零解是渐近稳定的；若特征方程（6.12）具有正实部的根，则方程组（6.10）的零解是不稳定的；若特征方程（6.12）没有正实部的根，但有零根或具有零实部的根，则方程组（6.10）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1而定.考虑非线性方程组)(X R AX dtdX+=， （6.13）其中0)0(=R ，且满足条件0)(→XX R （当0→X 时）. （6.14）显然0=X 是方程组（6.13）的解. 亦是方程组的奇点.问题 在什么条件下，（6.13）的零解稳定性能由线性微分方程组（6.10）的零解的稳定性来决定. 这便是所谓按线性近似决定稳定性的问题.定理2 若特征方程（6.12）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.10）的零解的稳定性态一致. 这就是说，当特征方程（6.12）的根均具有负实部时，方程组（6.13）的零解是渐近稳定的，而当特征方程（6.12）具有正实部的根时，其零解是不稳定的.（6.2中再补充证明）该定理说明非线性微分方程组（6.13）的零解是否为渐近稳定的取决于其相应的特征方程（6.12）的全部的根是否具有负实部.临界情形至于特征方程（6.12）除有负实部的根外还有零根或具零实部的根的情形，非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态并不能由线性近似方程组（6.10）来决定. 因为可以找到这样的例子，适当变动)(t R （条件（6.14）仍满足），便可使非线性微分方程组（6.13）的零解是稳定的或是不稳定的.例1 考虑有阻力的数学摆的振动，其微分方程为0sin 22=++ϕϕμϕl gdt d m dtd ， （6.15） 这里长度l ，质量m 和重力加速度g 均大于0，并设阻力系数0>μ. 令dtd y x ϕϕ==,，将方程（6.15）化为一阶微分方程组x lgy m dt dy y dt dx sin ,--==μ （6.16）原点是方程组的零解.赫尔维茨（Hurwitz ）判别代数方程的根的实部是否均为负的法则. 定理3 设给定常系数的n 次代数方程0122110=+++++---n n n n n a a a a a λλλλ ， （6.18）其中00>a ，作行列式,,0,,345123013231211 a a a a a a a a a a a a a =∆=∆=∆ ,000142322212012301-----∆==∆n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a其中0=i a （对一切n i >）.那么，方程（6.18）的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立： 0,0,,0,0,01321>>∆>∆>∆>-n n a a . 证明见高等代数的课本，略.例2 考虑一阶非线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--+=++-=+-+-=),(,,222232z y e z y x dtdz z y x y x dtdy e x z y x dt dx x x例3 对三次方程0)1(2)()1(23=-++++++c ab c a b b a λλλ，其中0,0,0>>>c b a ，考虑其根均具有负实部时参数c 的变化范围.习题6.1 第260页1（1），（3）；3（1），（3）；4（1），（3）；5§6.2 V 函数方法6.2.1 李雅普诺夫定理对于数学摆的振动，当摆有阻力时可由其线性近似方程组决定它的稳定性. 但当摆无阻力时，方程组（6.16）变成x lgdt dy y dt dx sin ,-== （6.19）属于临界情形，不能按线性近似决定其稳定性. 为判断其零解的稳定性态. 直接对方程组（6.19）进行处理. 李雅普诺夫第二方法的思想：构造一个特殊的函数),(y x V ，并利用函数),(y x V 及其通过方程组的全导数dty x dV ),(的性质来确定方程组解的稳定性. 具有此特殊性质的函数),(y x V 称为李雅普诺夫函数，简称V 函数.如何应用V 函数来确定非线性微分方程组的解稳定性态问题. 只考虑非线性驻定微分方程组)(X F dtdX= （6.20）定义2 假设)(X V 为在域H X ≤内定义的一个实连续函数，0)0(=V . 如果在此域内恒有0)(≥X V ，则称函数V 为常正的；如果对一切0≠X 都有0)(>X V ，则称函数V 为定正的；如果函数V -是定正的（或常正的），则称函数V 为定负（或常负）的.进而假设函数)(X V 关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程（6.20）的解代入，然后对求t 导数i ni ii n i i f x Vdt dx x V dt dV ∑∑==∂∂=∂∂=11，这样求得的导数dtdV称为函数V 通过方程（6.20）的全导数. 例1函数 2)(),(y x y x V +=是常正的；而函数42)(),(y y x y x V ++=是定正的；定理4 如果对微分方程组（6.20）可以找到一个定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为常负函数或恒等于零，则方程组（6.20）的零解是稳定的. 如果有定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为定负的，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的.如果存在函数)(X V 和某非负常数μ，而通过（6.20）的全导数dtdV可以表示为)(X W V dtdV+=μ， 且当0=μ时，W 为定正函数，而当0≠μ时W 为常正函数或恒等于零；又在0=X 的任意小邻域内都至少存在某个X ，使0)(>X V ，那么，方程组（6.20）的零解是不稳定的. 证明详见第265页.几何解释 由未知函数组成的空间称为相空间，二维相空间又称为相平面，微分方程的解在相空间中的轨迹称为轨线，轨线亦可定义为积分曲线在相空间中的投影.以平面微分方程组为例，从相平面上轨线与V 函数的关系来说明稳定性定理的几何意义.例2 考虑平面微分方程组33,ay x dtdyax y dtdx+=+-=，（6.26） 定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理，对含有时间t 的非驻定的微分方程组及含有时间t 的V 函数),(X t V 也有相应的定理，其证明也一样.定理5 如果存在定正函数)(X V ，其通过方程组（6.20）的全导数dtdV为常负，但使 0)(=dtt dV 的点X 的集中除零解0=X 之外并不包含方程组（6.20）的整条正半轨线，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的. 定理5的证明与定理4的类似.例3 数学摆的稳定性问题 6.2.2 二次型V 函数的构造应用李雅普诺夫第二方法判断微分方程组零解的稳定性的关键是找到合适的V 函数. 如何构造满足特定性质的V 函数是一个有趣而复杂的问题. 这里考虑常系数线性微分方程组构造二次型V 函数的问题，并利用它来补充证明按线性近似决定稳定性的定理2 定理6 如果一阶线性方程组AX dtdX= （6.10）的特征根i λ均不满足关系),,2,1,(0n j i j i ==+λλ，则对任何负定（或正定）的对称矩阵C ，均有唯一的二次型 )()(B B BXX X V T T==（6.27）使其通过方程组（6.10）的全导数有)(C C CX X dtdVT T ==.（6.28）且对称矩阵B 满足关系式C BA B A T=+， （6.29） 这里TA ，TB ，TC TX 分别表示X C B A ,,,的转置.如果方程组（6.10）的特征根均具有负实部，则二次型（6.27）是定正（或定负）的；如果方程组（6.10）有均正实部的特征根，则二次型（6.27）不是常正（或常负）的.例4 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdt x d ， 经过变换y dtdx= 习题6.2 1（1），（3），（5）；2（1），（3）；3（1），（3），（5）；4；5§6.3 奇点考虑二维（平面）一阶驻定微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(y x Y dtdy y x X dt dx（6.33）同时满足0),(,0),(==y x Y y x X 的点),(**y x 是微分方程组（6.33）的奇点，*=x x ，*=y y 是方程的解. 可从通过坐标平移将奇点移到原点)0,0(，此时0)0,0()0,0(==Y X .考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态，并根据奇点邻域内轨线分布的不同性态来区分奇点的不同类型. 这时方程的形式为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,dy cx dtdyby ax dt dx（6.36）显然，坐标原点0,0==y x 是奇点. 如果方程组的系数满足条件0≠dc b a （6.37）则此奇点还是唯一的. 以下假定条件（6.37）成立.按特征根为相异实根、重根或共轭复根，分五种情形进行讨论. 情形1 同号相异实根 这时方程的标准形式为ηληξλξ21,==dtd dt d ，（6.40） 其解为t tBe t Aet 21)(,)(λληξ==， （6.41）其中21,λλ为实特征根，而B A ,是任意实数.21,λλ同为负实数时，方程的零解是渐近稳定的，称对应的奇点为稳定结点. 21,λλ同为正实数时，方程的零解为不稳定的，而对应的奇点称为不稳定结点.情形2 异号实根, 奇点称为鞍点.鞍点是不稳定的. 情形3 重根 这时可分两种情况讨论：（1）0≠b 或0≠c . 如前面所指出的，这时方程可化为如下标准形式ληηηλξξ=+=dtd dt d ,， （6.42）其解为t tAe t eB At t λληξ=+=)(,)()(， （6.43）其中λ为实特征根，而B A ,是任意实常数.当0<λ时，奇点称为稳定退化结点. 假如0>λ，奇点是不稳定退化结点.（2）0==c b ，这时方程组（6.36）取形式d a y dtdy x dt dx ====λλλ,,， 其解为t tBe t y Ae t x λλ==)(,)(，于是 x ABy =. 奇点称为奇结点，且0<λ时为稳定的，而0>λ时为不稳定的.情形4 非零实部复根 这时方程的标准形式为αηβξηβηαξξ+-=+=dtd dt d ,，（6.44） 这里βα,分别为特征根的实部和虚部. 方程（6.44）的解的极坐标形式B t Ae r t +-==βθα,， （6.45） 其中0>A 和B 为任意常数.奇点为焦点，且0<α时为稳定的，而0>α时为不稳定的. 情形5 纯虚根奇点称为中心. 零解为稳定，但非渐近稳定的. 定理7 如果平面线性驻定方程组（6.36）的系数满足条件（6.37），则方程的零解（奇点）将依特征方程（6.39）的根的性质而分别具有如下的不同特性：（1）如果特征方程的根21λλ≠为实根，而021>λλ时奇点为结点，且当01<λ时结点是稳定的，而对应的零解为渐近稳定的，但当01>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当021<λλ时奇点为鞍点，零解为不稳定的.（2）如果特征方程具有重根λ，则奇点通常为退化结点，但在0==c b 的情形奇点为奇结点. 又当0<λ时，这两类结点均为稳定的，而零解为渐近稳定的，但当0>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的.（3）如果特征方程的根为共轭复根，即21λλ=，则当0Re 1≠λ时奇点为焦点，且当0Re 1<λ时焦点为稳定的，对应的零解为渐近稳定的，而当0Re 1>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当0Re 1=λ时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的.程（6.36）的奇点)0,0(O ，当0det ≠A 时，根据A 的特征根的不同情况可有如下的类型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧中心—实部为零焦点—实部不为零复根退化结点临界结点重（非零）实根鞍点—异号结点—同号相异（非零）实根实根 A 的系数与奇点分类的关系1）042>-q p○1 0>q 奇点为结点二根同负二根同正--⎭⎬⎫><00p p ○2 奇点为鞍点二根异号--<0q 2）042=-q p 结点奇点为临界结点或退化负的重根正的重根--⎭⎬⎫><00p p 3）042<-q p0≠p 复数根的实部不为零，奇点为焦点0=p 复数根的实部为零，奇点为中心.综合上面的结论，由曲线q p 42=，q 轴及p 轴把q p 0平面分成几个区域，不同的区域，对应着不同类型的奇点（见288页（图6.10））.例1 考虑二阶线性微分方程 02322=++x dt dx dtx d ， 通过变换y dtdx =可将它化为下列方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧--==,32,y x dtdy y dt dx 习题6.3 1；2；3.§6.4 极限环和平面图貌6.4.1 极限环对于二阶常系数微分方程组，除了在中心型奇点邻域内轨线是一族围绕原点的闭曲线（对应于方程组的周期解）外；其余的情形均是一端趋于奇点（+∞→t 或-∞→t ），另一端趋于无穷远（-∞→t 或+∞→t ）或两端都趋于无穷远的轨线，不存在其他的复杂情形. 对于非线性微分方程组，在6.1中利用线性近似方程组讨论了奇点邻域的轨线性态，至于全相平面的轨线图貌，情况就复杂多了.例1 对平面二阶非线性驻定方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+-+=)(),(2222y x y y x dtdy y x x y x dt dx （6.47） 如取极坐标θcos r x =，θsin r y =，则方程组（6.47）可化为)1(2r r dt dr -=，1-=dtd θ， 孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为极限环. 当极限环附近的轨线均正向（即+∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为稳定的. 如果轨线是负方向（即-∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为不稳定的. 当此极限环的一侧轨线正向趋近于它时，称此极限环为半稳定的.不先求出特解（如上例的1=r ），而仅仅由构造出的环域D 便可以证明在此环域内必存在极限环. 这种构造特殊环域来寻求极限环的方法称为本迪克松（Bendixson ）方法.定理8 如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含有方程组（6.33）的奇点，而（6.33）的经过域D 上点的解)(),(t y y t x x ==，当0t t ≥（或0t t ≤）时不离开该域，则或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于D 内的某一周期解（闭轨线）.通过构造有特殊性质的域D 可以确定周期解（极限环）的存在性，能否通过构造具有别的性质的域*D 来否定周期解（极限环）的存在呢？定理9 如果于G 内存在单连通域*D ，在其内函数yY x X ∂∂+∂∂不变号且在*D 内的任何子域上不恒等于零，则方程组（6.33）在域*D 内不存在任何周期解，更不存在任何极限环.例2 考虑6.1例1的数学摆，范德波尔微分方程 0)1(222=+-+x dt dx x dt x d μ， （6.49） 考虑所谓的李纳（Lienard ）微分方程0)()(22=++x g dt dx x f dtx d ， （6.50） 如果记⎰=x dx x f x F 0)()(，并设)(x F dt dx y +=，则方程（6.50）可化为平面微分方程组 )(),(x g dtdy x F y dt dx -=-=. （6.51） 对于方程（6.50）或方程组（6.51），有下面的定理.定理10 假设（1）)(x f 及)(x g 对一切x 连续，)(x g 满足局部利普希茨条件；（2）)(x f 为偶函数，)(,0)0(x g f <为奇函数，当0≠x 时0)(>x xg ；（3）当±∞→x 时，)(;)(x F x F ±∞→有唯一正零点a x =，且对)(,x F a x ≥是单调增加的.那么，方程（6.50）有唯一周期解，即方程组（6.51）有一个稳定的极限环6.4.2 平面图貌奇点和极限环是相平面上两种特殊的轨线，希望在相平面上画出一般的轨线的图貌，以了解微分方程的解的性态.定理11 两种群竞争一般模型（6.53）的每一条轨线，当∞→t 时都趋于有限个平衡点之一.定理12 平面驻定微分方程（6.33）在平面有界区域上结构稳定的充要条件是（1） 只有有限个奇点，且均为双曲的；（2） 只有有限个闭轨，且均为单重极限环；（3） 没有鞍点之间的分界线.习题6.4 第307页 1（1），（3）；2（1），（3）.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

非线性奇异边值问题的正解
路慧芹
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2002(004)003
【摘要】利用锥映射的不动点指数定理,研究了一类非线性奇异边值问题多个正解的存在性问题.在构造的解的存在条件之下,证明了奇异边值问题至少有两个正解的存在性定理.
【总页数】5页(P217-221)
【作者】路慧芹
【作者单位】山东师范大学数学系,山东,济南,250014
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
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5.非线性奇异分数阶边值问题正解的存在性（英文） [J], 于萍;庞登浩
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奇异非线性四阶两点边值问题的正解
万阿英;许晓婕;蒋达清
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】2003(35)3
【摘要】利用锥不动点定理获得了奇异非线性四阶微分方程u(4)(t)-q(t)f(u(t))=0满足边界条件u(0)=u(1)=u′(0)=u′(1)=0的正解的存在性,这里q在t=0和t=1时具有奇性.
【总页数】8页(P1-8)
【关键词】四阶非线性方程;两点边值问题;正解;存在性;奇异
【作者】万阿英;许晓婕;蒋达清
【作者单位】呼伦贝尔学院数学系;东北师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.08
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5.一类奇异非线性四阶两点边值问题的正解 [J], 杨雯抒
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非线性分数阶微分方程奇异边值问题的唯一解于瑶【摘要】Green's function and its properties for the nonlinear fractional differential equation boundary value problem Dα0+u(t) +f(t,u(t) ) = 0,0 <t <1;u(0) =u(l) =u'(0) =0, is considered where 2 <α≤3 is a real number, and Dα0+ is the standard Riemann-Liouville differentiation. As an application of Green's function and its properties, uniqueness of solution is given for the singular boundary value problem by means of a fixed-point theorem on cones and a mixed monotone method. One concrete example is respectively given to explain the above theorem finally.%研究了非线性分数阶微分方程边值问题Dα0+u(t) +f(t,u(t))=0,0＜t＜1；u(0)=u(1)=u'(0)=0,的Green函数及其性质,其中2 ＜α≤3是实数,Dα0+是标准Riemann-Liouville型微分,并利用锥不动点定理和混合单调方法证明了奇异边值问题解的唯一性.最后举例加以说明.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(000)026【总页数】5页(P6253-6257)【关键词】分数阶微分方程;奇异边值问题;唯一解;分数阶格林函数;不动点定理【作者】于瑶【作者单位】大连教育学院,大连116021【正文语种】中文【中图分类】O175.8近些年来，分数阶微分方程已经成为国内外研究的一个热点，受到人们越来越多的关注和研究。

非线性奇异四解边值问题的正解汪海伟【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2008(008)003【摘要】利用锥理论和不动点指数理论,在有关线性算子方程对应的第一特征值的条件下研究了奇异四阶边值问题X(4)(t)=ψ(t)f(x(t)),0<t<1,x(0)=x'(O)=x''(1)=x'''(1)=0,正解的存在性,其中ψ(t)允许在t=0,t=1处奇异,且f在x=0处具有奇性.%The singular fourth order boundary valueproblemX(4)(t)=ψ(t)f(x(t)),0<t<1,x(0)=x'(O)=x''(1)=x'''(1)=0,is considered under sone conditions comcerning the first eigenvalues corresponding to the relevant linear operators,vhereψ is allowed to be singular at【总页数】3页(P597-599)【作者】汪海伟【作者单位】常州信息职业技术学院机电工程系,常州,213164【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.一类四阶两点非线性奇异特征值常微分方程边值问题正解的存在性 [J], 席进华2.具有半正非线性项的四阶奇异边值问题的正解 [J], 万斐斐;于立新3.Banach空间非线性四阶奇异积分边值问题正解的存在性 [J], 张兴秋4.带有非局部边界条件的非线性四阶奇异边值问题的对称正解 [J], 贺明阳;么焕民5.一类四阶奇异非线性积分边值问题正解的存在性 [J], 王全义;邹黄辉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。