具非线性边界条件的奇异扩散方程

具混合边值条件非线性扩散方程解的Blow-up性质非线性扩散方程，作为一类重要的抛物型偏微分方程，有深刻物理背景，是自然界中广泛存在的扩散现象的一种数学抽象，非线性扩散方程涉及了很多数学或是数学物理方面的科学研究领域，比如渗流理论及生物群体动力学等领域都提出了这类方程，其中最基本但也是相当重要的类型是以（?）u/（?）t=Δu^m为代表的Newton渗流方程和以（?）u/（?）t=div(|▽u|^p-2▽u)为代表的非Newton渗流方程，这两个方程共同的特点是都具有退化性，即分别在u=0和|▽u|=0时退化，由于这类具退化性的非线性方程比线性方程和不具退化性的拟线性方程更能够反映某些物理实际，因此，早在三十多年前就吸引了国内外众多的数学工作者的注意力，他们致力于有关这类方程的理论和应用方面的研究，包括解的存在性、唯一性、渐近性以及Blow-up性质等等，相应这方面的文献也有很多，可参见[1]，[2]，[3]，[8]，[19]等等。

在对解性质的研究中，Bfow一up性质的研究长期以来受到了许多数学工作者的重视，而且获得了非常丰富的研究成果.下面我们来回顾一下这方面的研究成果. 对抛物型方程解Blow一t[l，性质的研究起源于如下的具非线性源的线性扩散方程{5}.证明了指数满足一定条件下的整体解性质.1985年，后来，一些作者就相应方程（1）的一维情形的初边值问题做了细致的研究.1990年，零边值问题.在这篇文章里对初值的要求就没有那么严格，他们指出，只要初值适当地大，则该问题的解。

将在有限时间T爆破，而爆破时间T依赖于初值.具混合边值条件非线性扩散方程解的性质上述研究大多是针对零边值问题或是问题或是线性扩散而进行的，而其余类型的初边值问题的研究结果就相对地少了一些.1993年，王明新在中讨论了带有非线性边界条件的非线性抛物型方程初边值问题的整体解存在的条件.其中，界单位外法向.其主要结论是: i)当p+q=2时，该问题有整体; ii)当p+q>2且时，对于大初值，该问题的解在有限时对于小初值，该问题有整体解. 值得注意的是，一些作者将区域边界进行了分割，研究了具混合边值条件的方程解的函数法讨论了如下具非线性边界条件的线性方程其中，是中的扇形区域，且边界分段光滑是边界单位外法向该问题的所有正解在有限时间Bfow一tll〕:对足够小的初值，该问题存在整体解. 2002年，中研究了具非线性源，边界条件是线性的半线性反应扩散方程混合边值问题的有界区域，表示外法向导数，要研究方法是采用一个非线性变换.在一定的条件假设下，结合所研究的问题推导,出满足的具混合边值的抛物方程，利用最大值原理得到了一个微分不等式，从而进一步得到了光滑解的下，只要初值大于零，方程的解必然在有限时间具混合边值条件非线性扩散方程解的第一部分我们讨论如下的发展型方程的混合边值问题由于上述问题中方程的退化性，我们首先运用抛物正则化的方法得到了该问题的逼近解“:，利用经典的抛物方程的理论，我们对逼近解做了一些必要的估计，通过一个极限过程我们最终得到了该问题广义解的局部存在性.其次，利用Gronwall不等式等工具，我们得到了上述问题广义解的唯一性. 最后，受到，中方法的启发，我们对正则化问题采用相同的非线性变换少满足一些必要的条件).由先前所做的必要的估计，通过对逼近解取极限，我们得到了非线性变换在分布意义下满足的抛物方程.利用抛物型方程的极值原理及强极值原理，我们导出了一个对于证明该问题十分关键的微分不等式，从这个不等式出发，我们讨论了这一具有混合边界条件苦称走季硕士学位论文文章的第二部分讨论渗流方程如下的混合边值问题八“川+.厂（.，、.“，才），r.约任QT. 一一山一决之I=O，t)任r lx（O.T）.t)任T:x（0 .T），，（t，、.0）=之，o（，‘·任D.其中川全1.问题涉及的其他条件如第一部分所述. 我们仍采取抛物正则化方法来得到该退化性问题的逼近解。

具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究引言反应扩散方程是研究自然界中物质在空间和时间上变化的一个重要数学模型。

其描述了物质在空间中扩散的过程，并包括了化学反应的影响。

在实际应用中，往往存在不同类型的边界条件，不局限于传统的局部边界条件，如Neumann边界条件和Dirichlet边界条件。

本文将研究具有非局部边界条件的反应扩散方程，探讨其解的爆破现象。

一、反应扩散方程反应扩散方程是描述物质扩散过程中发生化学反应的数学模型。

它由扩散项和反应项组成，通常表示为：∂u/∂t = D∇²u + f(u)其中，u是物质浓度或物理量，t为时间，D为扩散系数，f(u)表示反应项。

这个方程描述了物质浓度随时间和空间的变化。

二、非局部边界条件传统的反应扩散方程往往采用Neumann或Dirichlet边界条件，这些条件限制了物质在边界上的流动或浓度。

然而，在某些情况下，需要考虑具有非局部性质的边界条件。

具有非局部边界条件的反应扩散方程可以表示为：∂u/∂t = D∇²u + ∫G(x,y)f(u(y))dy其中，G(x,y)是非局部核函数，表示物质在x点与y点之间的非局部耦合。

三、爆破解现象研究表明，具有非局部边界条件的反应扩散方程的解可能出现爆破现象。

所谓爆破解，指的是在一定条件下，初始状态下的扩散方程解在有限时间内达到无穷大。

这种现象在许多实际应用中都有重要的意义，例如物质的波动传播、生物种群动力学等。

具体而言，爆破解的出现是由于非局部耦合引起的。

非局部核函数的存在使得系统中每个点与其他点之间发生的反应具有全局耦合性，这种耦合性可以使局部扰动在有限时间内传播到整个系统。

当反应项的强度超过一定阈值时，就会出现爆破现象。

四、数值模拟和实验研究为了验证具有非局部边界条件的反应扩散方程的爆破解现象，研究者们进行了数值模拟和实验研究。

在数值模拟中，研究者使用了有限差分法等数值方法，对具体的反应扩散方程进行了求解。

ADI 格式中间变量的边界条件处理扩散方程：(1) 02222=∂∂-∂∂-∂∂yT x T t T y x αα 1.Peaceman-Rachford ADI 格式(2b) 2121(2a) 2121*1*j xx x n yy y n j yy y j xx x T L s T L s T L s T L s j ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 1)Dirichlet boundary condition不妨设),(),,0(t y b t y T =。

如果（2a ）中直接取),(21*+=n b ty b T 只有一阶精度 )(t O ∆精度 （???）(2a)减2(b)，导出的边界条件 ())(25.05.011*,n k n k yy n k n k k b b b tL b b T -∆-+=++ (3)有二阶精度。

2) Neumann boundary condition 不妨设),(),,0(t y c t y xT =∂∂。

如果直接用21*0*2x 2+=∆-n k c T T 只有一阶精度(???) 半离散的(2a)减2(b)：())(25.05.011n *n n yy n T T tL T T T -∆-+=++ (4)对x 求导())(25.05.011,*n k n k yy n k n k k b c c tL c c x T -∆-+=∂∂++ (5)2. Douglas-Gunn ADI 格式（fully implicit ）()()()(6b) 1(6a)11y *1*n j yy j n yy y n j yy y xx x j xx x T L s T T L s T L s L s T L s j -=-++=-+1) Dirichlet boundary condition从 (6b) 直接得() 1y 1*b n b yy n b yy y T L s T L s T --=+ （7）2) Neumann boundary condition（7）对x 求导。

非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解的开题报告题目：非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解背景：非线性反应扩散方程是一类常见的数学模型，在物理、化学、生物等领域都有应用。

该方程的解析解求解一直是热门研究方向之一。

广义条件对称性作为求解非线性偏微分方程的常用工具，已经在该方程的求解中得到了很好的应用。

研究目标：本文研究非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解。

通过对该方程的特殊条件对称性和广义条件对称性进行研究，可以得到相应的守恒律和非守恒律，并且可以得到方程的精确解。

同时，借助于相似变量和求解微分方程的方法，可以进一步求解具有组合型非线性反应的方程。

研究内容：1.介绍非线性反应扩散方程及其应用背景。

2.分析非线性反应扩散方程的特殊条件对称性，求得其守恒律和非守恒律。

3.研究非线性反应扩散方程的广义条件对称性，求得其守恒律和非守恒律，并建立相应的守恒定理。

4.借助相似变量和求解微分方程的方法，求解具有组合型非线性反应的方程，并得到该方程的精确解。

5.给出一些具体的例子，并讨论其在实际应用中的实际意义。

研究方法：本文主要采用李群方法研究非线性反应扩散方程的条件对称性，并通过求取守恒律和非守恒律，建立相应的守恒定理。

同时，借助相似变量和求解微分方程的方法，求解具有组合型非线性反应的方程，并得到该方程的精确解。

研究意义：本文的研究对于深入理解非线性反应扩散方程的特殊条件对称性和广义条件对称性，以及求解该方程的精确解具有重要的理论意义。

同时，非线性反应扩散方程在许多领域中都有广泛的应用，通过研究该方程的精确解，可以更好地解决相关领域的实际问题，进而具有实践意义。

一类具有非线性边值条件的反应扩散方程的分歧分析反应扩散方程是一类描述物质传输和转化过程的数学模型，通常用于研究生物学、生态学、地质学等领域的现象。

在解决这类方程时，通常需要考虑边值条件，即在空间边界上给定的额外条件。

在很多情况下，这些边值条件可能是非线性的，即它们与解本身以及其导数之间存在复杂的关系。

在这种情况下，传统的数值方法可能无法直接应用，需要进行分歧分析，寻找适当的数值方法来解决问题。

$$\frac{\partial u}{\partial t} = D\nabla^2u + f(u)$$其中$u(\mathbf{x},t)$是待求解的物理量（比如浓度、温度等），$D$是扩散系数，$f(u)$是反应项，描述了物质的生成或消耗过程。

通常还需要考虑边值条件，如Dirichlet条件$u(\mathbf{x},t)，_{\partial \Omega} = g(u)$或者Neumann条件$\frac{\partial u}{\partialn}(\mathbf{x},t)，_{\partial \Omega} = h(u)$，其中$\partial\Omega$表示空间边界。

非线性边值条件通常可以表示为$g(u)$或$h(u)$是$u$的非线性函数。

解决这类方程的一种方法是数值方法，其中有限元法是一种常用的技术。

然而，对于具有非线性边值条件的问题，有限元方法可能会面临困难，因为在求解过程中需要处理非线性边值条件。

这时，分歧分析就是一种重要的工具，可以帮助我们理解问题的特性，并指导我们选择适当的数值方法。

分歧分析可以从数学上理解非线性边值条件的影响，帮助我们找到适当的近似方法。

一般来说，分歧分析可以分为两个步骤：线性化和离散化。

首先，在分析非线性边值条件的影响时，通常需要对方程进行线性化处理。

通过对$g(u)$或$h(u)$进行泰勒展开，我们可以获得其近似的线性形式，从而可以将问题转化为一个带有线性边值条件的问题。

ＤＯＩ：１０．３９６９／Ｊ．ＩＳＳＮ．１６７２ ７９８３．２０２０．０４．００１非线性边界条件的非线性Ｓｏｂｏｌｅｖ方程非常规Ｈｅｒｍｉｔｅ元分析张步英，吕金凤，孔　亮，郑俊玲（河北科技师范学院数学与信息科技学院，河北秦皇岛，０６６００４）摘要：对带有非线性边界条件的非线性Ｓｏｂｏｌｅｖ方程非常规Ｈｅｒｍｉｔｅ元方法进行了讨论。

首先，根据单元构造特点，得到了较现有结果更加精细的插值逼近性质。

其次，在不借助真解的非经典椭圆投影的情况下，直接由插值逼近性质导出了半离散格式下逼近解与真解Ｈ１模超逼近结果。

最后，利用插值后处理技术，得到了相应的较传统误差估计高１阶的整体超收敛结果。

关键词：非线性边界条件；非线性Ｓｏｂｏｌｅｖ方程；超逼近和超收敛；非常规Ｈｅｒｍｉｔｅ元中图分类号：Ｏ２４１．８２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２ ７９８３（２０２０）０４ ０００１ ０６非线性Ｓｏｂｏｌｅｖ方程作为一类重要的数学物理方程，可用于描述多种物理现象，如流体在岩层中的流动、不同介质中的热传导过程等［１，２］。

关于带有Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件的非线性Ｓｏｂｏｌｅｖ方程已有较多研究成果［３～５］。

与Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件相比，非线性边界条件的存在使得连续问题变分形式中增加了边界项部分，从而，在半离散格式构造时需要考虑边界项逼近格式设计，这就使得其理论分析较Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件的情况更加困难。

因此，关于带有非线性边界条件的非线性Ｓｏｂｏｌｅｖ方程数值解法的研究成果很少。

１９９２年，Ｌｉｎ等［６］基于真解的非经典Ｒｉｔｚ投影，得到了一类带有非线性边界条件的非线性Ｓｏｂｏｌｅｖ方程半离散Ｇａｌｅｒｋｉｎ格式下逼近解与真解Ｌ２模最优误差估计结果，但关于Ｈ１模意义下的逼近情况并未讨论。

２０１９年，李先枝［７］采用文献［８］的方法，结合标准ｐ次矩形元的性质，对一类带有非线性边界条件的线性Ｓｏｂｏｌｅｖ方程低阶混合元方法的超逼近与超收敛进行了研究。

一类具有非局部竞争反应扩散方程的分岔李聪蕊;曹建智;鲍俊艳【摘要】以具有非局部竞争的Fisher-KPP方程为研究对象,主要运用Lyapunov-Schmidt约化和奇异性理论讨论了在齐次Dirichlet边界条件下的分岔情况.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(038)005【总页数】6页(P454-459)【关键词】非局部影响;反应扩散方程;Lyapunov-Schmidt约化;分岔【作者】李聪蕊;曹建智;鲍俊艳【作者单位】河北大学数学与信息科学学院,河北省机器学习与计算智能重点实验室,河北保定 071002;河北大学数学与信息科学学院,河北省机器学习与计算智能重点实验室,河北保定 071002;河北大学数学与信息科学学院,河北省机器学习与计算智能重点实验室,河北保定 071002【正文语种】中文【中图分类】O175.1Fisher-KPP 方程是经典的反应扩散方程，由Fisher[1]和Kolmogoroff等[2]在1937年提出. 它描述了生物体在空间中扩散和演化的过程，形式如下：其中u(x,t)为t>0时，种群在x处的密度，D为扩散系数，a为种群的增长率，b反应拥挤效应与种内资源竞争有关. 上述经典的Fisher-KPP方程仅考虑了竞争中的局部效应. 但在现实中，个体往往不仅在它们的领地争夺资源，甚至还会在更广阔的区域内争夺资源. 因此，有学者在系统中引入了非局部竞争项[3-6]. 本文考虑如下具有非局部竞争项的广义Fisher-KPP方程(1)其中f(x,y)为非负分布函数，Ω是非局部交互区域. 为了方便得到精确结果，本文只考虑f(x,y)=1时的特殊情况，并且仅将注意力限于L>0的Ω=(-L,L)的一维问题上，此外假设区域的外部是敌对的，因此在零边界条件下，系统(1)变为：无量纲化，引入新的变量得到如下方程(仍然使用变量t,x,u)(2)其中本文主要以式(2)为研究对象，利用Lyapunov-Schmidt 约化法(简称LS约化法)及奇异性理论的结果讨论了系统在稳态解处的分岔情况.1 预备知识为了得到本文的主要结果，将LS约化法作如下简要叙述，详见文献[7].由映射F：X×Rn→Y所给的方程F(u,μ)=0,u∈X,μ∈Rn,(3)这里X、Y是Banach空间，μ=(μ1,μ2，…，μn)是参数.设F(0,0)=0，导算子Fu(0,0):X→Y是零指标的Fredholm算子(记Fu(0,0)=L).有空间直和分解X=N(L)⊕X0,Y=Y0⊕R(L)，其中，N(L)为L的零空间，R(L)为L的值域.定义投影算子P:Y→R(L)和补投影算子I-P:Y→Y0，其中I为恒等算子. 于是，方程(3)等价于下面的方程组(4)根据直和分解,对任何的u∈X，u=v+w,其中v∈N(L)，w∈X0.于是，式(4)的第1式可写成Φ(v,w,μ)=PF(v+w,μ)=0,(5)其中映射Φ:N(L)×X0×Rn→R(L).由F(0,0)=0，显然有Φ(0,0,0)=0. 此外，考虑到DwΦ(0,0,0)=PDwF(v+w,μ)|(0,0,0)=PFu(0,0)=Fu(0,0).且当L限制在X0上时，它是可逆的，从而导数DwΦ(0,0,0)可逆，由隐函数定理，方程(5)在(v,w,μ)=(0,0,0)的某个邻域内存在唯一解w=w(v,μ)，并有w(0,0)=0. 将这个解代入式(4)的第2式，便得到分岔方程ψ(v,μ)=(I-P)F(v+w(v,μ),μ)=0.(6)由于L是零指标的Fredholm算子，则有dimR(L)⊥=dimN(L)=n成立.这时在N(L)中取基底{v1,v2,…，vn}和在R(L)⊥中取基底于是，任何v∈N(L)可表示为(7)其中x=(x1,x2,…，xn)∈Rn. 把式(7)代入分岔方程(6)，并分别与取内积(i=1,2,…，n)，得到关于变量x1、x2，…，xn的n个方程(8)亦称式(8)为分岔方程.虽然由LS约化法得到的分岔方程的维数较低，但求解通常仍然很困难.而奇异性理论是分析分岔方程性质的一种常用方法，无需知道gi的明显表达式，仅需计算约化函数gi的一些导数[7].另外用奇异性理论研究分岔方程(8)的静态分岔性态，还需要讨论奇异性的识别问题. 为了方便应用，通常选取一些简单具有代表性的多项式函数h(x,μ)去确定其识别条件. 这些函数h称为GS范式.表1列出了一些重要的分岔问题的GS范式的识别条件[7].表1 一些GS范式的识别条件Tab.1 Some recognition criteria of GS normal form编号GS范式在x=μ=0处的识别条件1εxk+δμ(k≥2)g=gx=…k-1g/xk-1=0,ε=sgnkg/xk和δ=sgngμ≠02ε(x2+δμ2)g=gx=gμ=0,ε=sgn gxx和δ=sgn Δ≠0表1中，Δ=det D2g，D2g是函数g(x,μ)的Hesse矩阵2 主要结果方程(2)的稳态解满足(9)易见，u=0为它的一个平凡解，为了研究稳态解的分岔问题，考虑映射F:R×X→Y，F(λ,u)=u″+λu(1-f(x,y)u(y)dy),(10)其中X={u∈C2[-1，1]：u(±1)=0},Y=C[-1，1].可以看出式(10)对任何λ有平凡解u=0，即F(λ,0)≡0.由F在(λ,u)处的导算子Fu(λ,u)[Φ]=Φ″(x)+λΦ(x)(1-u(y)dy)-λu(x)Φ(x)dy.可知Fu(λ,0):R×X→Y，Fu(λ,0)[v]=v″+λv,(11)其中v满足边界条件v(-1)=v(1)=0.易知，只有当时，式(11)所对应的方程有非平凡解则N(Fu(λn,0))=span{vn}=span{cosx}.为了运用LS约化法，在X和Y中定义内积∀u∈X,v∈Y.容易证明Fu(λn,0)是X上的自伴算子. 事实上，即同时Fu(λn,0):X→Y也是零指标的Fredholm算子，根据Fredholm择一定律，得故可取空间的正交分解X=N(Fu(λn,0))⊕X0,Y=Y0⊕R(Fu(λn,0)),其中可取vn=cosx作为子空间R(Fu(λn,0))⊥的基底，记P和Q分别为Y到R(Fu(λn,0))及Y0的正交投影算子. 于是对u∈Y有Pu=(I-Q)u=u(x)-u(ξ)cosξdξ cosx.将u∈X写成u=v+w,v∈N(Fu(λn,0)),w∈X0.从而，式(10)等价于(12)由预备知识得式(12)的第1式有唯一解w=w(λ,v)，代入(12)的第2式得QF(λ,v+w(λ,v))=0,(13)将v∈N(Fu(λ,0))表示成v=svn，代入式(13)，并分别与vn取内积，得到一维分岔方程g(λ,s)=〈vn,F(λ,svn+w(λ,svn))〉=0.记整理得(14)由于无法得到的明显表达式，分岔方程(13)也就难以具体写出和求解.接下来，将根据奇异性的识别理论去研究奇异点的分岔性态，其中1)gs=0；=-2nπsin；事实上，在R(Fu(λn,0))⊥中取基底则D2F(vn,vn)=-2nπsincoss,从而=0；因为对一切的λn有F(λn,0)=0，同时在(λn,0)处有Fλn=u(1-u(y)dy)|(λn,0)=0，所以gλn=0.=1>0；事实上，由式(3)得所以从而Fλn(λn,0)[Φ]=Φ，(DFλn)vn=coss.故cos2sds=1.Δ=detD2g，即当n=1,5,9,…时，gss=-2nπ<0，从而ε为负号，δ为负号，所以由表1知，g(λ,s)在奇异点附近强等价于GS范式令则有h=-(x2-μ2)=0，得x=±μ.此时，在(μ,0)处出现跨临界分岔，分岔图如图1a.当n=3,7,11,…时，gss=2nπ>0，从而ε为正号，δ为负号，所以由表1知，g(λ,s)在奇异点附近强等价于GS范式同时在(μ，0)处也出现跨临界分岔，分岔图如图1(b).实线表示稳定，虚线表示不稳定a. n=1,5,9,… b.n=3,7,11,…图1 当n=1,3,5,…时方程(2)在(μ，0)处的跨临界分岔Fig.1 System(2)undergo a transcritical bifurcation at (μ，0) when n=1,3,5,…综上，得到如下定理：定理1 方程(2)在处出现稳态解的跨临界分岔：1)当n=1,5,9,…时，系统(2)在的附近有2个非平凡解，随着λ的增大，2个非平凡解在处交换它们的稳定性.2)当n=3,7,11,…时，系统(2)在的附近也有2个非平凡解，且稳定性与(1)相反，随着λ的增大，这2个非平凡解在处也交换它们的稳定性.注：在文献[8]中，作者用经典的静态分岔理论分析了方程(2)稳态解的分岔情况. 而本文主要是运用 LS 约化对方程先进行降维处理，再利用奇异性理论结果讨论方程在稳态解处的分岔情况，进而得到2个较具体的分岔图.参考文献：【相关文献】[1] FISHER R A. The wave of advance of advantageous genes[J]. Ann Eugenics, 1937, 7(4): 355-369. DOI:10.1111/j. 1469-1809. 1937.tb02153.x.[2] KOLMOGOROFF A, PETROVSKY I, PISCOUNOFF N. Study of the diffusion equation with growth of the quantity of matter and its application to a biological problem[J]. Moscow University Bulletin of Mathematics, 1937(1): 1-25. DOI: 10.1016/B978-0-08-092523-3.50014-9.[3] FUENTE M A, KUPERMAN M N, KENKRE V M. Nonlocal interaction effects on pattern formation in population dynamics[J]. Physical Review Letters, 2003, 91(15): 158104. DOI: 10.1103/PhysRevLett.91.158104.[4] FUENTE M A, KUPERMAN M N, KENKRE V M. Analytical considerations in the study of spatial patterns arising from no nonlocal interaction effects[J]. Journal of Physical Chemistry B, 2004, 108(29): 10505-10508. DOI:10.1021/jp040090k.[5] KENKRE V M. Results from variants of the fisher equation in the study of epidemics and bacteria[J]. Physica A, 2004,342(1): 242-248. DOI: 10.1016/j.physa.2004.04.084.[6] CHEN S S, YU J S. Stability and bifurcation on predator-prey systems with nonlocal prey competition[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2017, 38(1): 43-62. DOI: 10.3934/dcds.2018002.[7] 陆启韶.分岔与奇异性[M]. 上海：上海科技教育出版社，1995: 40-43.[8] SUN L N, SHI J P, WANG Y W. Existence and uniqueness of steady state solutions of a nonlocal diffusive logistic equaction[J]. Z Angew Math Phys, 2013, 64(4): 1267-1278. DOI:10.1007/s00033-012-0286-9.。

一、项目名称：非线性反应扩散方程理论及应用二、提名者及提名意见(专家提名项目还应公示提名专家的姓名、工作单位、职称和学科专业)提名单位：陕西省教育厅提名意见：本项目是系统研究非线性反应扩散方程稳态解及大时间行为的原创性成果。

针对具有重要生物、几何背景的反应扩散方程开展了系列深入细致的研究。

率先提出了多资源空间异质恒化器模型，完整刻画了模型共存态的整体分歧结构，提出了扩散驱动的物种共存机制，激发和推动了空间异质恒化器模型的研究。

建立了系列具有抑制剂的空间异质恒化器模型，发展了相关模型稳态解性态的研究，揭示了抑制剂对物种共存的调节作用。

研究了有关二维Minkowski问题的非线性偏微分方程正解的存在性，建立了负指数的Sobolev不等式。

研究了相关反应扩散模型稳态解及大时间行为，揭示了趋化、化感、周期介质等因素对反应扩散系统整体解、行波解及空间斑图形成机制的影响。

8篇代表性论文主要发表于美国工业与应用数学学会会刊《SIAM J. Appl. Math.》、《SIAM J. Math. Anal.》、国际数学著名期刊《Adv. Math.》及《J. Differential Equations》、《Indiana Univ. Math. J.》等国际知名SCI刊物。

8篇代表性论文总他引232次，SCI他引162次；1篇代表性论文入选SCI高被引论文。

研究成果丰富了非线性反应扩散方程理论，多项研究工作处于国际领先水平，获得了2017年陕西高等学校科学技术一等奖。

提名该项目为陕西省自然科学一等奖。

三、项目简介本项目属于非线性反应扩散方程研究领域，是项目组近二十年来在该领域研究工作的总结。

项目组先后承担国家自然科学基金项目8项，承担教育部高等学校博士学科点专项科研基金、教育部新世纪优秀人才支持计划、教育部骨干教师资助计划、教育部优秀青年教师资助计划等项目5项。

反应扩散方程不仅具有强烈的实际背景，而且对数学分析也提出了许多挑战性的问题，一直是偏微分方程的重要研究方向。

一类具有抛物边界的对流扩散方程的耦合解法李又良;文爱英【摘要】研究一类具有抛物边界的对流扩散方程的局部间断有限元和连续有限元的耦合方法.数值实验验证了Shishkin网格下采用双线性元,可以达到关联范数下的一致收敛阶O(lnNN),数值实验也表明L2范数下该方法可达到一致收敛阶3/2O((lnNN)),比NIPG方法和CFEM-NIPG耦合方法的收敛阶更高.【期刊名称】《湖南城市学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(027)005【总页数】4页(P47-50)【关键词】对流扩散方程;抛物层;耦合法;Shishkin网格【作者】李又良;文爱英【作者单位】湖南城市学院理学院,湖南益阳 413000;长沙外国语学校,长沙410004【正文语种】中文【中图分类】O241.82在科学和工程领域中，经常遇到奇异摄动边值问题﹒计算这些问题的困难之一是所谓的边界层行为，即不同的解决方案都在边界附近非常薄的层中变化非常快﹒当摄动参数接近0时，标准的有限元方法CFEM不能产生准确的数值解，除非网格大小比奇异摄动参数更小﹒目前，间断Galerkin方法(DG)，包括局部间断Galerkin 方法(LDG)和非对称间断Galerkin方法(NIPG)，已成功地用于求解对流扩散方程，并分析了相应的收敛性[1-2]﹒这些方法的主要特征是它们不需要具有单元边界的连续性，这使得非匹配网格的处理和耦合方法的实施成为可能﹒众所周知，使用间断Galerkin方法的计算成本高于Galerkin的连续方法，而连续Galerkin有限元具有良好的收敛性但在自适应网格中缺乏稳定性﹒因此，出现了一些结合2种方法优点的耦合法，且成功地解决一些具有指数特征边界的奇异摄动问题[3-8]﹒文献[4]介绍了1种求解二维对流扩散问题的局部间断有限元和连续有限元耦合方法，其LDG方法应用在稳定的粗区域，而在x=1附近的指数边界层采用CFEM 方法，网格大小随调整﹒文献[6]是椭圆问题的LDG和CFEM耦合方法，LDG方法的区域是在附近的水平带状区域，剩下区域采用有限元方法，该方法导致了最佳的先验误差估计﹒而对公式(1)所描述的奇摄动问题文献[7]采用CEFM方法和NIPG方法来解决，即将区域分割成Ω1粗区域部分以及4个精细区域部分，如图1所示﹒在图1所示的Ω1区域上可应用NIPG方法，而在基于自适应Shishkin型网格上使用双线性元素CFEM方法，文献[5]中使用了CFEM方法和LDG方法来解决﹒当式(1)中的时，方程变为其中，当摄动参数时，是Ω上定义的实值函数，具有如下的性质：这个问题演变为具有指数边界层和抛物边界层的新对流扩散问题﹒在文献[3]中将区域划分为4块，即(如图2所示)﹒CFEM应用在各向异性的边界层区域的，而NIPG限制的是粗的部分﹒在本文中，应用CFEM-LDG方法来解决问题(2)，与文献[3]不同的是，在粗区域使用的是LDG方法而不再是NIPG方法﹒区域的离散化：对于域为的离散网格，将在x和y方向使用1个张量积层，生成适应网格与子区间数N对应﹒假设N=4k，k为不小于1的正整数，并定义过度参数：其中为定义常数，为正常数﹒再令并将Ω划分为4个部分(见图2)，即该网格节点的坐标为因此，有个点，且，以及个网格单元，即显然有令且其边界，，再令显然，和是和的矩形分区﹒弱形式：如上面所提，在区域用LDG方法，在区域用CFEM方法将方程(2)离散，设，并在区域采取辅助变量，然后把方程(2)改写成如下形式：并且边界条件为通过测试函数，乘以公式(5)的前3个方程并整合，可以发现，对所有，式(5)和式(6)的解都满足对于分段光滑函数和，表示外单位法向量，且对分片光滑函数，有成立，以上方程需要通过传递条件，即式(5)的前2个方程，将第2个传递条件用代替可得第1个传递条件将在选取LDG方法的数值通量时实现，式(7)~式(9)的结合是耦合法的基础﹒在K上定义双线性函数空间，定义、和如下：其中，空间为协调有限元空间，而函数在边界的相邻单元则是完全间断的﹒在有限元空间中求式(5)~式(6)的解，使其满足式(5)和式(6)在弱意义下的近似解，可得，且满足对任意和成立，即求任意的，其中为数值通量，它们分别是和在中单元边界处迹的数值近似值﹒接下来，给出这些数值通量的具体定义﹒数值通量：在定义数值通量之前，需要引入一些记号﹒设是中2个相邻单元，类似的，是的边界单元，边界面是指的内部，假定边界面都属于或，是内部面的集合，是中所有面的集合﹒设是和的公共内部面，和分别是e指向和内部的单位法向量，分别定义上尺度函数的平均和跳度如下：类似有，向量值函数w的平均和跳度为对于，设其中是的单位外法向量，这里不考虑边界面上或的数值，定义如下数值通量和：另一方面，与对流相关的经典逆风通量为且尺度函数是一种辅助参数，用于证明LDG方法的稳定性和准确性﹒本文中取在这个部分，解决如式(13)所示的问题：通过上文的LDG-CFEM耦合方法，函数f是这样选择的，若满足即是方程特解﹒表1显示了一个各向异性NN的Shishkin网格采用耦合方法的收敛速度﹒其中，令表示在网格N上的范数[9]，收敛阶为为便于比较，采取3种方法，即CFEM-LDG耦合方法、NIPG方法和CFEM-NIPG耦合方法来解决当时的式(13)所描述的问题﹒表2中给出了CFEM-LDG方法、NIPG方法和CFEM-NIPG方法在形式下的收敛速度﹒由表1和表2可知，在解决式(13)问题上，CFEM-LDG耦合方法对各向异性的Shishkin网格要略优于NIPG方法和CFEM-NIPG方法﹒本文引入耦合LDG-CFEM的方法来解决带有指数层和抛物层的对流扩散问题﹒数值实验结果表明了该方案的稳定性以及在各向异性的相关Shishkin网格下的一致收敛性﹒此外，对比数值实验的结果还可以看出，CFEM-LDG耦合方法要优于NIPG方法和CFEM-LDG耦合方法﹒【相关文献】[1]ZARIN H, ROOS H G. Interior penalty discontinuous approximations of convection-diffusion problems with parabolic layers[J]. Numerische Mathematik, 2005, 100(4): 735-759.[2]XIE Z Q, ZHANG Z M. Superconvergence of DG method for one-dimensional singularly perturbed problems[J]. Journal of Computational Mathematics, 2007, 25(2): 185-200. [3]ZARIN H. Continuous-discontinuous finite element method for convection-diffusion problems with characteristic layers[J]. Journal of Computational & Applied Mathematics, 2009, 231(2): 626-636.[4]ZHU P, XIE Z Q, ZHOU S Z. A uniformly convergent continuous-discontinuous Galerkin method for singularly perturbed problems of convection-diffusion type[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(9): 4781-4790.[5]XIE Z Q, ZHU P, ZHOU S Z. Uniform convergence of a coupled method for convection-diffusion problems in 2-D Shishkin mesh[J]. International Journal of Numerical Analysis & Modeling, 2013, 10(4): 845-859.[6]PERUGIA I, SCHÖTZAU D. On the coupling of local discontinuous Galerkin and conforming finite element methods[J]. Journal of Scientific Computing, 2001, 16(4): 411-433.[7]ROOS H G, ZARIN H. A supercloseness result for the discontinuous Galerkin stabilization of convection-diffusion problems on Shishkin meshes[J]. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2010, 23(6): 1560-1576.[8]赵连朋, 王立颖, 毛少苗. 一种求解多项式方程复数根的新方法[J]. 渤海大学学报: 自然科学版, 2017, 38(4): 363-369.[9]祝鹏, 谢胜兰. 奇异摄动问题的LDG/FEM耦合解法[J]. 嘉兴学院学报, 2011, 23(6): 5-11.。

带有Neumann条件的对流扩散方程的两层紧差分格式盛秀兰;魏贞;吴宏伟【摘要】对带有Neumann边界条件的常系数对流扩散方程,建立了一个两层有限差分格式,利用离散能量分析法给出了差分解的先验估计式,分析了差分格式解存在唯一性、收敛性以及稳定性.并得出了差分格式在L∞范数下的收敛阶数为D(τ2+h4).通过数值算例,验证了理论分析结果是正确的.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(050)004【总页数】8页(P50-57)【关键词】对流扩散方程;Neumann边界条件;隐式差分格式;先验估计;收敛性;稳定性【作者】盛秀兰;魏贞;吴宏伟【作者单位】东南大学数学学院江苏南京210096;江苏开放大学通识教育学院江苏南京210036;东南大学数学学院江苏南京210096;东南大学数学学院江苏南京210096【正文语种】中文【中图分类】O241.820 引言考虑带有Neumann边界条件的一维常系数对流扩散方程构造高阶差分格式：ut+αux-βuxx=f(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],(1)u(x,0)=φ(x),x∈(a,b),(2)ux(a,t)=0；ux(b,t)=0,t∈(0,T]，(3)其中：α,β为常数，且β>0.ut+αv-βuxx=f(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],(4)vt+αuxx-βvxx=fx(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],(5)u(x,0)=φ(x)；v(x,0)=φ′(x),x∈(a,b),(6)v(a,t)=0；v(b,t)=0,t∈(0,T],(7)令v(x,t)=ux(x,t),则方程(1)转化为方程(4)，同时对方程(1)关于x求一阶导数为方程(5).方程(4)～(7)为耦合方程，与(1)～(3)式等价.对流扩散方程是描述黏性流体运动的非线性模型方程，但要得到对流扩散方程的精确解很困难，因此有效的数值算法越来越重要，在常用的差分方法中，由于方程中扩散项的存在,在数值求解过程中经常会出现数值震荡,为此需要构造精度高、稳定性好的数值解法,紧差分格式就是这一类方法.文献[1]给出了二维变对流系数非稳态对流扩散方程的时间方向上加权离散的一类HOC格式.文献[2]给出了二维不稳定对流扩散方程的一种高阶交替方向隐格式,此方法在时间和空间上分别是二阶和四阶的.文献[3-4]研究了对流扩散方程的特征有限差分格式,此方法能够有效地克服数值震荡.文献[5-6]给出了关于Neumann边界条件热方程的高阶差分格式.文献[7-8]通过紧差分格式及高阶ADI格式研究对流扩散问题.文献[9]提出带有Neumann边界条件的非线性反应扩散方程的一种四阶紧算法.文献[10]通过引入新变量,建立了一维非稳态对流扩散方程的高阶有限差分格式,利用Von-Neumann方法分析了差分格式的稳定性,在时间和空间上为二阶和四阶收敛.文献[11-12]利用紧差分格式求解热方程、变系数线性抛物方程及Cahn-Hilliard方程.本文参考文献[13]利用离散能量估计方法证明了差分解在最大模意义下关于时间和空间的二阶收敛性.对带有Dirichlet边界条件的对流扩散方程建立高阶紧差分格式的方法很多,而处理Neumann边界条件方法比较棘手,本文针对一维对流扩散方程建立一种紧差分格式,拟从格式的相容性、截断误差、稳定性、收敛性、以及精度等方面对Neumann边界条件进行研究.1 记号及引理取正整数m,n,记空间步长与时间步长分别为h=(b-a)/m,τ=T/n.xi=a+ih，(0≤i≤m),tk=kτ，(0≤k≤n).定义Ωh={xi|0≤i≤m},Ωhτ={(xi,tk)|0≤i≤m,0≤k≤n},称(xi,tk)为节点,并设{vik|0≤i≤m,0≤k≤n}为Ωhτ上的网格函数,引进下列记号：记则vk为Ωh上的1个网格函数，Vh={v|v={vi,0≤i≤m}为Ωh上的网格函数，对任意的u,v∈Vh，定义平均算子、内积及范数：引理1[14] 设h>0和c为两个常数,若f(x)∈C6[c-h,c+h]，则引理2[14] 设v∈Vh,则且对任意的ε>0,有引理3[14] Gronwall不等式. 设{Fk,Gk|≥0}为非负序列，且满足Fk+1≤(1+cτ)Fk+τGk,k=0,1,2,…,其中c为非负数，则有引理4[15] 设u={ui|0≤i≤m}∈Vh,v={vi|0≤i≤m}∈Vh，则有引理5[16] ① 若f(x)∈C5[x0,x1],则‴② 若f(x)∈C5[xm,xm-1],则‴引理6[16] 对于定义在Ωh上的网格函数，有2 差分格式的建立设为定义在Ωhτ上的网格函数，记现考虑在点(xi,tk+1/2)处(4)和(5)式微分方程，并利用Taylor展开，且0≤i≤m,0≤k≤n-1,得(8)(9)其中：当0≤i≤m,0≤k≤n-1时，用算子Α分别作用于(8)和(9)两式得(10)(11)当0≤i≤m-1,0≤k≤n-1时，并由引理1将(10)和(11)两式转化为：(12)(13)其中：则存在常数C0>0,C1>0使得由(10)式知，当i=0,0≤k≤n-1时(14)应用引理5将(14)式转化为(15)将(1)式关于x求导及由边界条件知当0≤k≤n-1时，则(15)式转化为(16)其中：类似地，当i=m,0≤k≤n-1时有(17)其中：则存在常数C3>0,C4>0使得由初始条件(6)式，得v(x,0)=φ′(x),a≤x≤b,在(12)～(13)式,(16)～(17)式中略去小量项并分别用代替可得到差分格式：(18)(19)(20)(21)(22)(23)3 差分格式解的先验估计式定理1 设是(18)～(23)式的解，当取h≤β/|α|充分小时，则有其中：证明将(18)式两边同时乘以对i到m-1求和并移项得，(24)将式(20)两边同时乘以转化后得(25)将式(21)两边同时乘以并进行转化后得(26)将(24)～(26)三式相加得(27)将(18)式两边同时乘以对i到m-1求和并移项得(28)将(20)式两边同时乘以转化得(29)将(21)式两边同时乘以转化后得(30)将(28)～(30)三式相加得D1+D2=D3+D4+D5,其中：将D1,D2,D3,D4,D5代入D1+D2=D3+D4+D5得(31)将(19)式两边同时乘以对i到m-1求和并移项得(32)(32)式左边第1项、第2项分别为：(32)式右边第1项、第2项分别为：其中ε=-β/|α|，将上述4项代入(32)式得(33)记将(33)式乘以4β2与(31)式乘以2α2相加后，再在式子两边同时乘以2τ整理后，利用引理6得(34)其中记则(34)式为Qk+1-Qk≤τC6(Qk+1+Qk)+2τPk+1/2,当时，Qk+1≤(1+4τC6)Qk+4τPk+1/2,由Gronwall不等式得定理2得证.4 差分格式的唯一性、收敛性和稳定性1) 唯一性定理2 差分格式(18)～(23)式是唯一可解.证明差分格式(18)～(23)式是线性的，考虑其对应的齐次方程组，由定理1知易知则差分格式(22)～(27)式是唯一可解的，定理得证.2) 收敛性定理3 设u(xi,tk),v(xi,tk)是(3)～(8)式的解,是差分格式(18)～(23)式的解,记则当取h,τ充分小时有证明将(3)～(7)式与(18)～(23)式分别相减,得到误差方程组：由定理2知，定理3成立.3) 稳定性类似讨论差分格式的收敛性,可以得到差分格式(18)～(23)式关于初值的稳定性. 定理4 设是差分格式(18)～(23)式的解, 设也是差分格式(22)～(27)式的解,记则当取充分小时，有其中直接应用定理2，即可得到定理4.5 数值试验设则利用差分格式计算实例,表1给出了不同步长时的最大误差及误差比,从计算结果可以看出,建立的差分格式在无穷范数下的收敛阶O(τ2+h4)，也更充分说明数值试验的解与理论分析结果吻合.例该问题的精确解为u(x,t)=0.1e2 tcos x.表1 不同步长下的误差和收敛阶数Tab.1 Errors and convergence rate under differentsteps(h,τ)(x,t)‖E‖∞(h,τ)‖E(h,4τ)‖∞‖E∞(h/2,τ)‖∞(h,τ)(x,t)‖E‖∞(h,τ)‖E(h,4τ)‖∞‖E∞(h/2,τ)‖∞(π100,110)0.002 449—(π10,1100 000)2.001 262 ×10-5—(π100,120)0.000 6133.992 6(π20,1100 000)1.251 774 ×10-615.9874(π100,140)0.000 1533.998 2(π30,1100 000)7.823 052 ×10-816.0011(π100,160)0.000 0383.999 6(π40,1100 000)4.865 686 ×10-916.078 0参考文献：【相关文献】[1] KAILTA J C, DALAL D C, DASS A K. A class of higher order compact schemes for the unsteady two-dimensional convection-diffusion equation with variable convection coeffcients[J]. International journal for numerical methods in fluids, 2002, 38 (12): 1111-1131.[2] KARAA S, ZHANG J. High order ADI method for solving unsteady convection-diffusion problems[J]. Journal of computational physics, 2004, 198(1): 1-9.[3] DOUGLAS J, RUSSELL T F. Numerical methods for convection-dominated diffusion problems based on combining the method of characteristics with fnite element or finite difference procedures[J]. SIAM journal on numerical analysis, 1982,19 (5): 871-885. [4] ZHANG Z Y, WANG Y P, WANG Q X. A characteristic centered finite difference method for a 2D air pollution model[J]. International journal of computer and mathematics, 2011, 88(10): 2178-2198.[5] SUN Z Z. Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions[J]. Numer methods partial differential equations, 2010, 25(6): 1320-1341. 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带有非线性边界条件的反应扩散方程解的长时间行
为的开题报告
标题：带非线性边界条件的反应扩散方程长时间解的研究
摘要：
反应扩散方程在数学和应用领域都有广泛的研究和应用，其中最为
重要的之一是研究方程的长时间解。

本文研究的是带有非线性边界条件
的反应扩散方程的长时间解。

该方程的物理意义为扩散过程中存在的化
学反应。

我们考虑分离变量的方法来解决这个方程，然后通过微分方程
理论来研究该方程的长时间解。

在该过程中，我们主要使用了半群理论，利用半群理论中的重要结论来推导反应扩散方程的长时间解的存在性、
唯一性和渐近表现。

具体来说，我们将考虑如下问题：
1. 确定带非线性边界条件的反应扩散方程的数学模型和变量分离的
解法。

2. 考虑反应扩散方程的初边值问题以及相应的数学条件。

3. 通过半群理论的相关结论，证明反应扩散方程长时间解的存在性、唯一性和渐近性质。

4. 对证明过程中需要用到的一些基本结果进行分析和理解。

我们的研究结果为理解反应扩散方程的长时间行为提供了新的见解，并为解决相关的实际问题提供了一些新的研究方法。

第61卷 第4期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .4 2023年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J u l y2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022423具有非线性交叉扩散的B -D 型捕食-食饵系统的共存解崔 璐,李善兵(西安电子科技大学数学与统计学院,西安710126)摘要:考虑一类齐次D i r i c h l e t 边界条件下具有非线性交叉扩散的B -D 型捕食-食饵系统的稳态解.首先,根据线性算子的谱理论分析平凡解和半平凡解的稳定性;其次,利用正锥中的不动点指数理论给出共存解存在的充分条件.关键词:捕食-食饵系统;B -D 反应函数;稳定性;共存解中图分类号:O 175.26 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)04-0772-13C o e x i s t e n c e S o l u t i o n s o fB -DT y p eP r e d a t o r -P r e yS ys t e m w i t hN o n l i n e a rC r o s s -D i f f u s i o n C U IL u ,L I S h a n b i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,X i d i a nU n i v e r s i t y ,X i a n 710126,C h i n a )A b s t r a c t :W e c o n s i d e r e d t h e s t e a d y -s t a t e s o l u t i o n s o f aB -Dt y p e p r e d a t o r -p r e y s y s t e m w i t hn o n l i n e a r c r o s s -d i f f u s i o nu n de r h o m o g e n e o u sD i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s .F i r s t l y ,w e a n a l y z e d t h e s t a b i l i t y of t r i v i a l s o l u t i o na n ds e m i -t r i v i a l s o l u t i o n sb a s e do nt h es p e c t r a l t h e o r y o f l i n e a ro p e r a t o r s .S e c o n d l y ,t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h ee x i s t e n c eo fc o e x i s t e n c es o l u t i o n sw e r eo b t a i n e db y u s i ng th efi x e d p o i n t i n d e x t h e o r yi n p o s i t i v e c o n e s .K e y w o r d s :p r e d a t o r -p r e y s y s t e m ;B -Dt y p e r e s p o n s e f u n c t i o n ;s t a b i l i t y ;c o e x i s t e n c e s o l u t i o n 收稿日期:2022-10-24.第一作者简介:崔 璐(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事反应扩散方程及其应用的研究,E -m a i l :c u i l u c l @163.c o m.通信作者简介:李善兵(1988 ),男,汉族,博士,副教授,从事反应扩散方程及其应用的研究,E -m a i l :l i s h a n b i n g @x i d i a n .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:11901446)㊁中国博士后科学基金特别资助项目(批准号:2021T 140530)和西安市科协青年人才托举计划项目(批准号:095920201325).0 引 言捕食-食饵模型中的非随机性觅食通常会导致捕食者向食饵密度较高的区域移动,这种运动在生物防治和生态平衡中具有重要作用.为描述这种非随机性觅食运动,文献[1]提出了一类具有食饵趋向的捕食-食饵系统:u t =d i v (d (v )∇u -u χ(v )∇v )+G (u ,v ),v t =DΔv +H (u ,v ){.特别地,当食饵趋向系数χ(v )=-d ᶄ(v )时,文献[2]考虑了如下一类具有非线性交叉扩散的捕食-食饵系统:u t =Δ(d (v )u )+λu -u 2+γu F (v ),x ɪΩ, t >0,v t =DΔv +μv -v 2-u F (v ),x ɪΩ, t >0{.(1)在齐次N e u m a n n 边界条件下,文献[2]给出了系统(1)整体解的存在性和有界性㊁常数稳态解的稳定性以及时空斑图.基于文献[2],文献[3]在齐次D i r i c h l e t 边界条件下研究了系统(1)正稳态解的存在性以及当参数变化时正解的极限行为.在多数情形下,捕食者之间会竞争食物,考虑到捕食者内部的相互干涉,文献[4]和文献[5]分别提出了B -D 功能反应函数.此外,捕食者在遇到食饵时一般会降低扩散,所以可以合理地假设d (v )是单调递减的.因此基于文献[3],本文考虑如下一类具有B -D 功能反应函数的齐次D i r i c h l e t 边界问题:u t =Δ1+a 1+æèçöø÷b v éëêêùûúúu +λu -u 2+γu v 1+k u +m v ,x ɪΩ, t >0,v t =D Δv +μv -v 2-u v 1+k u +m v ,x ɪΩ, t >0,u (t ,x )=v (t ,x )=0,x ɪ∂Ω, t >0,u (0,x )=u 0(x ), v (0,x )=v 0(x ),x ɪΩìîíïïïïïïïï,(2)其中Ω为ℝn中具有光滑边界∂Ω的有界域,Δ=ðni =1∂2∂x 2i 为L a pl a c e 算子,1+a 1+b v 和v 1+k u +m v 均为正的函数,参数D ,γ,μ均为正常数,λ是任意实数.未知函数u =u (t ,x ),v =v (t ,x )分别表示捕食者和食饵在位置x ɪΩ处,t >0时的种群密度,且捕食者和食饵遵循L o gi s t i c 增长.在反应项中,v 1+k u +m v 表示捕食者的功能反应函数,λ,μ分别是捕食者和食饵的增长率,γ是捕食者的转化率.在扩散项中,1+a 1+b v和D 分别是捕食者和食饵的扩散系数.本文主要讨论系统(2)对应的平衡态问题,重点分析系统平凡解和半平凡解的稳定性及正解的存在性.因此,本文考虑如下椭圆系统:Δ1+a 1+æèçöø÷b v éëêêùûúúu +λu -u 2+γu v 1+k u +m v =0,x ɪΩ,D Δv +μv -v 2-u v 1+k u +m v =0,x ɪΩ,u =v =0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïï,(3)建立其平凡解和半平凡解的稳定性,并给出正解存在的充分条件.1 预备知识1.1 特征值问题对任意的ϕ(x )ɪC (췍Ω),线性椭圆特征值问题-τΔw +ϕ(x )w =σw , x ɪΩ, w =0, x ɪ∂Ω(4)存在下有界的至多可数个特征值,记第i 个特征值为σi (τ,ϕ),则其满足σ1(τ,ϕ)<σ2(τ,ϕ)ɤσ3(τ,ϕ)ɤ ,且当i ңɕ时,有σi (τ,ϕ)ңɕ.σ1(τ,ϕ)称为问题(4)的主特征值,是一个简单特征值,其对应的特征函数在Ω上不改变符号,且σ1(τ,ϕ)满足如下变分形式:σ1(τ,ϕ)=i n f w ɪH 10(Ω),w ʂ0τʏΩ∇w 2d x +ʏΩϕ(x )w 2d x ʏΩw 2d ìîíïïïïüþýïïïïx . 引理1[6]1)若在Ω上有ϕ1(x )ɤϕ2(x ),且ϕ1(x )不恒为ϕ2(x ),则σ1(τ,ϕ1)<σ2(τ,ϕ2);2)若0<τ1<τ2,则σ1(τ1,ϕ)<σ2(τ2,ϕ);3)若在C (췍Ω)上有ϕk (x )ңϕ(x )(k ңɕ),则l i m k ңɕσ1(τ,ϕk )=σ1(τ,ϕ).377 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B -D 型捕食-食饵系统的共存解1.2 半平凡解的存在性对于方程-τΔw =m (x )w -n (x )h (x ,w )w , x ɪΩ, w =0, x ɪ∂Ω,(5)根据文献[6]中定理3.5和定理3.7,有如下引理.引理2 若下列假设成立:1)n (x ),m (x )ɪC k (췍Ω)且n (x )>0,其中k ɪ(0,1);2)h (x ,w ):췍Ωˑ[0,ɕ)ңℝ是C k ,1+k (췍Ω)的函数,满足h (x ,0)恒为0和h (x ,w )>0;3)对任意的x ɪΩ,h (x ,w )关于w >0是严格增的,且l i m w ңɕh (x ,w )=ɕ.则当且仅当σ1(τ,-m (x ))<0时,方程(5)有唯一正解,且该解是全局渐近稳定的.由系统(3)可知,当v =0时,u 满足-(1+a )Δu =λu -u 2, x ɪΩ, u =0, x ɪ∂Ω.(6)则由引理2可知,当且仅当σ1(1+a ,-λ)<0,即λ>(1+a )σ1(1,0)时,方程(6)有唯一正解,记为θ1+a ,λ,即当σ1(1+a ,-λ)<0时,系统(3)有半平凡解(θ1+a ,λ,0).类似地,当u =0时,v 满足-D Δv =μv -v 2, x ɪΩ, v =0, x ɪ∂Ω.(7)则由引理2可知,当且仅当σ1(D ,-μ)<0,即μ>D σ1(1,0)时,方程(7)有唯一正解,记为θD ,μ,即当σ1(D ,-μ)<0时,系统(3)有半平凡解(0,θD ,μ).下面给出函数θ1+a ,λ关于参数λ的性质.引理3[7] 假设λ>(1+a )σ1(1,0),则:1)对任意的x ɪΩ,有θ1+a ,λ<λ;2)对任意的x ɪΩ,θ1+a ,λ关于λ单调递增;3)l i mλң(1+a )σ1(1,0)θ1+a ,λ=0在Ω上一致成立;4)l i m λңɕθ1+a ,λ/λң1在Ω上几乎处处成立.1.3 锥的度理论令C 0(췍Ω)={ϕ(x )ɪC (췍Ω):ϕ(x )=0,x ɪ∂Ω},K (췍Ω)={ϕ(x )ɪC 0(췍Ω):ϕ(x )ȡ0,x ɪΩ}.记E =C 0(췍Ω)췍C 0(췍Ω),W =K (췍Ω)췍K (췍Ω),显然有W ⊂E .对任意的ϕ=(ϕ1,ϕ2)ɪW ,ι>0,定义W ϕ={φɪE :ϕ+ιφɪW }.根据文献[8]中引理3,有췍W (0,0)=W ,췍W (ϕ1,0)=C 0(췍Ω)췍K (췍Ω),ϕ1>0,췍W (0,ϕ2)=K (췍Ω)췍C 0(췍Ω),ϕ2>0,췍W (ϕ1,ϕ2)=E ,ϕ1>0且ϕ2>0ìîíïïïïïï.令S ϕ=췍W ϕɘ(-췍W ϕ),则S (0,0)={(0,0)},S (ϕ1,0)=C 0(췍Ω)췍{0},ϕ1>0,S (0,ϕ2)={0}췍C 0(췍Ω),ϕ2>0,S (ϕ1,ϕ2)=E ,ϕ1>0且ϕ2>0ìîíïïïïïï. 令r (T )为算子T 的谱半径,则如下引理成立.引理4[9] 设ϕ(x )ɪC (췍Ω),且存在正常数M ,使得M >τ-1m a x 췍Ωϕ(x ),则:1)当σ1(τ,-ϕ)<0时,有r [(-Δ+M )-1(τ-1ϕ+M )]>1;2)当σ1(τ,-ϕ)>0时,有r [(-Δ+M )-1(τ-1ϕ+M )]<1;3)当σ1(τ,-ϕ)=0时,有r [(-Δ+M )-1(τ-1ϕ+M )]=1.其中(-Δ+M )-1为-Δ+M 在Ω上的逆算子.假设T :E ңE 是紧线性算子,且满足T (췍W ϕ)⊆췍W ϕ,则对任意的ψɪS ϕ,有T ψɪSϕ,即映射T 将477 吉林大学学报(理学版) 第61卷S ϕ映射到其自身,故可以用T 诱导一个紧线性算子췍T 将췍S ϕ映射到其自身,其中췍S ϕ表示商空间E \S ϕ.令 W ϕ为췍W ϕ在商映射E ңE \S ϕ下的像,则췍T ( W ϕ)⊆ W ϕ.假设T :W ңW 是一个紧的F r éc h e t 可微算子,令D T (ϕ)表示T 在点ϕɪW 处的F r éc h e t 导数,且ψɪW 是T 的一个不动点,D T (ψ)是紧线性算子.则由文献[10]中命题2有如下引理.引理5 设I 为恒等映射,假设对任意的ϕɪ췍W ψ\{0},有(I -D T (ψ))ϕʂ0.则:1)当r ( D T (ψ))>1时,有i n d e x W (T ,ψ)=0;2)当r (D T (ψ))<1时,有i n d e x W (T ,ψ)=1.1.4 先验估计令U =1+a 1+æèçöø÷b v u ,则系统(3)可改写为-ΔU =U 1+a 1+b v λ-U 1+a 1+b v +γv 1+k U 1+a 1+b v +æèçççöø÷÷÷m v ,x ɪΩ,-D Δv =μv -v 2-U 1+a 1+b v v 1+k U1+a 1+b v +m v ,x ɪΩ,U =v =0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïïïïïï.(8) 下面给出系统(8)正解的先验估计.引理6 假设(U ,v )为系统(8)的任一正解,则对任意的x ɪ췍Ω,均有0ɤU (x )ɤ(1+a )λ+γμ1+m æèçöø÷μ, 0ɤv (x )ɤμ.证明:设x 0是v (x )在췍Ω上的最大值点,即v (x 0)=m a x 췍Ωv (x ).因为在D i r i c h l e t 条件下边界上的点为0,故x 0ɪΩ.由系统(8)的第二个方程,有0ɤ-D Δv (x 0)ɤμv (x 0)-v (x 0)2.由于v (x 0)>0,故有v (x 0)ɤμ.因此对任意的x ɪΩ,有v (x )ɤμ.类似地,设x 1是U (x )在췍Ω上的最大值点,则由系统(8)的第一个方程,有0ɤ-ΔU (x 1)=u (x 1)λ-u (x 1)+γv (x 1)1+k u (x 1)+m v (x 1æèçöø÷).因为0<U (x 1)=1+a 1+b v (x 1æèçöø÷)u (x 1),1+a 1+b v (x 1)>0,故有u (x 1)>0,从而u (x 1)ɤλ+γv (x 1)1+k u (x 1)+m v (x 1)ɤλ+γv (x 1)1+m v (x 1).因为v 1+m v 关于v 单增,故有u (x 1)ɤλ+γμ1+m μ.因此对任意的x ɪΩ,有U (x )ɤU (x 1)ɤ(1+a )λ+γμ1+m æèçöø÷μ.2 平凡解和半平凡解的稳定性定理1 1)当σ1(1+a ,-λ)>0且σ1(D ,-μ)>0时,平凡解(0,0)是渐近稳定的;当σ1(1+a ,-λ)<0或σ1(D ,-μ)<0时,平凡解(0,0)是不稳定的;2)对于σ1(1+a ,-λ)<0,当σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μ>0时,半平凡解(θ1+a ,λ,0)是渐近稳定的;当σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μ<0时,半平凡解(θ1+a ,λ,0)是不稳定的;3)对于σ1(D ,-μ)<0,当σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ>0时,半平凡解(0,θD ,μ)是渐近稳定的;当577 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B -D 型捕食-食饵系统的共存解σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<0时,半平凡解(0,θD ,μ)是不稳定的.证明:系统(2)在(u ,v )处的线性化抛物系统为h t =Δ1+a 1+æèçöø÷b v æèçöø÷h +λ-2u +γv (1+m v )(1+k u +m v )æèçöø÷2h - Δa b u (1+b v )2æèçöø÷k +γu (1+k u )(1+k u +m v )2k ,x ɪΩ, t >0,k t =D Δk +μ-2v -u (1+k u )(1+k u +m v )æèçöø÷2k -v (1+m v )(1+k u +m v )2h ,x ɪΩ, t >0,h =k =0,x ɪ∂Ω, t >0ìîíïïïïïïïï.令(h (t ,x ),k (t ,x ))=(e -σt ϕ(x ),e -σtψ(x )),则可得如下系统:-Δ1+a 1+æèçöø÷b v æèçöø÷ϕ-λ-2u +γv (1+m v )(1+k u +m v )æèçöø÷2ϕ+Δa b u (1+b v )2æèçöø÷ψ- γu (1+k u )(1+k u +m v )2ψ=σϕ,x ɪΩ,-D Δψ-μ-2v -u (1+k u )(1+k u +m v )æèçöø÷2ψ+v (1+m v )(1+k u +m v )2ϕ=σψ,x ɪΩ,ϕ=ψ=0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïïïï.(9) 根据文献[11],下面应用谱分析判断平凡解和半平凡解的稳定性.由于1)~3)的证明过程类似,且3)的分析更复杂,故下面仅给出3)的证明过程.将(u ,v )=(0,θD ,μ)代入系统(9),有-Δ1+a 1+b θD ,æèçöø÷μæèçöø÷ϕ-λ+γθD ,μ1+m θD ,æèçöø÷μϕ=σϕ,x ɪΩ,-D Δψ-(μ-2θD ,μ)ψ+θD ,μ1+m θD ,μϕ=σψ,x ɪΩ,ϕ=ψ=0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïï.(10)令Φ=1+a 1+b θD ,æèçöø÷μϕ,则系统(10)可改写为-ΔΦ-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,μΦ=σ1+a1+b θD ,μΦ,x ɪΩ,-D Δψ-(μ-2θD ,μ)ψ+θD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,μΦ=σψ,x ɪΩ,Φ=ψ=0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïïïïïïï.(11) 当Φ恒为0时,因为θD ,μ是方程-D Δv =μv -v 2在D i r i c h l e t 边界条件下的唯一正解,则对某个i ȡ1,由引理1中1)有σ=σi (D ,2θD ,μ-μ)ȡσ1(D ,2θD ,μ-μ)>σ1(D ,θD ,μ-μ)=0.当Φ不恒为0时,σ是系统(11)中第一个方程的某个特征值,主特征值 σ的变分形式为 σ=i n f ΨɪH 10(Ω),Ψʂ0ʏΩ∇Ψ2d x -ʏΩλ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,μΨ2d x ʏΩ11+a 1+b θD ,μΨ2d ìîíïïïïïïïïüþýïïïïïïïïx .677 吉林大学学报(理学版) 第61卷下面确定 σ的符号,设σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ对应的特征函数为췍Φ,则主特征值可表示为σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ=ʏΩ∇췍Φ2d x -ʏΩλ+λθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,μ췍Φ2d x ʏΩ췍Φ2d x.当σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<0时,有ʏΩ∇췍Φ2d x -ʏΩλ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,μ췍Φ2d x <0.由引理3中1)有θD ,μ<μ,则1+a 1+b θD ,μ>1+a 1+b μ,故有ʏΩ∇췍Φ2d x -ʏΩλ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,μ췍Φ2d xʏΩ11+a 1+b θD ,μ췍Φ2d x <1+a 1+b æèçöø÷μσ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<0.因此有σ<1+a 1+b æèçöø÷μσ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<0.反之,当σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ>0时,对每个ΨɪH 10(Ω)且Ψʂ0,有0<σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μɤʏΩ∇Ψ2d x -ʏΩλ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,μΨ2d xʏΩΨ2d x.即对任意的ΨɪH 10(Ω)且Ψʂ0,都有ʏΩ∇Ψ2d x -ʏΩλ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a1+b θD ,μΨ2d x >0.设췍Φ是主特征值 σ对应的特征函数,其中췍ΦɪH 10(Ω)且췍Φ>0,则有ʏΩ∇췍Φ2d x -ʏΩλ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,μ췍Φ2d xʏΩ11+a 1+b θD ,μ췍Φ2d x ȡ1+a 1+b æèçöø÷μσ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ.因此有777 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B -D 型捕食-食饵系统的共存解σ>1+a 1+b æèçöø÷μσ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ>0.于是,当σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ>0时,系统(10)所有特征值均为正,则半平凡解(0,θD ,μ)是渐近稳定的;当σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<0时,系统(10)至少有一个负的特征值,则半平凡解(0,θD ,μ)是不稳定的.3 正解的存在性下面建立系统(3)正解存在的充分条件.由于(u ,v )ȡ0和(U ,v )ȡ0之间存在一一对应关系,因此可将问题转化为研究系统(8)正解的存在性条件.当v =0时,U 满足-ΔU =U 1+a λ-U 1+æèçöø÷a , x ɪΩ, U =0, x ɪ∂Ω.(12)则由引理2可知,当且仅当σ11,-λ1+æèçöø÷a <0,即11+a σ1(1+a ,-λ)<0时,方程(12)有唯一正解,记为(1+a )θ1+a ,λ,即当σ1(1+a ,-λ)<0时,系统(8)有半平凡解(U ,v )=((1+a )θ1+a ,λ,0).当U =0时,v 满足方程(7),则根据引理2,当且仅当σ1(D ,-μ)<0时,方程(7)有唯一正解,记为θD ,μ,即当σ1(D ,-μ)<0时,系统(8)有半平凡解(0,θD ,μ).设(U ,v )是系统(8)的一个正解,对系统(8)的第二个方程两端同乘v ,并在Ω上积分,得-D ʏΩΔv ㊃v d x =ʏΩμv 2-v 3-U 1+a 1+b v v 21+k U 1+a 1+b v +æèçççöø÷÷÷m v dx .利用分部积分公式和引理6可得DʏΩ∇v 2d x <μʏΩv 2d x ɤμʏΩμ2d x =μ3Ω,进而有v ɪH 10(Ω).根据P o i n c a r é不等式,有D σ1(1,0)ʏΩv 2d x ɤD ʏΩ∇v 2d x <μʏΩv 2d x .又因为v >0,故有D σ1(1,0)<μ,即σ1(D ,-μ)<0,故当σ1(D ,-μ)ȡ0时,系统(8)没有正解.定义O =(U ,v )ɪW :U (x )ɤ(1+a )λ+γμ1+m æèçöø÷μ+1,v (x )ɤμ+1,其中x ɪ{}Ω,则由引理6可知,系统(8)所有非负解都在O 内部.对任意的(U ,v )ɪO ,存在足够大常数M >0,使得U 1+a 1+b v λ-U 1+a 1+b v +γv 1+k U 1+a 1+b v +æèçççöø÷÷÷m v +M U >0,μv -v 2-U 1+a 1+b v v 1+k U1+a1+b v+mv +M v >0.定义F r éc h e t 微分算子T s :O ңE ,有877 吉林大学学报(理学版) 第61卷T s U æèçöø÷v =(-Δ+M )-1s U 1+a 1+b v λ-U 1+a 1+b v +γv 1+k U 1+a 1+b v +æèçççöø÷÷÷m v +M U s D μv -v 2-U 1+a 1+b v v 1+k U 1+a 1+b v +æèçççöø÷÷÷m v +æèççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷M v ,其中s ɪ(0,ɕ).显然(U ,v )为系统(8)的非负解当且仅当(U ,v )是T 1在W 上的不动点.由椭圆算子的正则性理论[12]可知,T s 是E 中的全连续算子.经过简单计算可知,T s 在非负解(U ,v )处的F r éc h e t 导数为D T s (U ,v )=(-Δ+M )-1***-s (F (U ,v )+UF U (U ,v ))D d (v)æèççöø÷÷***,(13)其中*=s d (v )λ-2U d (v )+γF (U ,v )+γU F U (U ,v æèçöø÷)+M ,**=s U d (v)-(λ+γF (U ,v ))d ᶄ(v )d (v )-2U d ᶄ(v )d 2(v )+γF v (U ,v æèçöø÷),***=s D μ-2v -U (F v (U ,v )d (v )-F (U ,v )d ᶄ(v ))d 2(v æèçöø÷)+M ,d (v )=1+a 1+b v , F (U ,v )=v1+k U1+a1+b v+mv . 引理7 d e g W (I -T 1,i n t O )=1.证明:设(U s ,v s )是T s 在W 上的不动点,则(U s ,v s )满足-ΔU s =s U s 1+a 1+b v s λ-U s 1+a 1+b v s+γv s 1+k U s 1+a 1+b v s+m v æèçççöø÷÷÷s ,x ɪΩ,-D Δv s =s μv s -v 2s -U s 1+a 1+b v sv s 1+k U s1+a 1+b v s +m v æèçççöø÷÷÷s ,x ɪΩ,U s =v s =0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïïïïïïï.(14) 类似引理6的证明过程可知,对任意的x ɪ췍Ω,有0ɤU s (x )ɤ(1+a )λ+γμ1+m æèçöø÷μ, 0ɤv s (x )ɤμ.因此,由O 的定义易见,对于s ɪ(0,ɕ),T s 在∂O 上没有不动点.根据同伦不变性[13],d e g W (I -T s ,i n t O )与s 无关,即d e g W (I -T s ,i n t O )=d e g W (I -T 1,i n t O ),其中d e g W (I -T s ,i n t O )表示I -T s 在O 内部的L e r a y -S c h a u d e r 度.当σ1(D ,-s μ)>0,即s <D σ1(1,0)/μ时,根据引理2,^v s =0是如下方程的唯一非负解:-D Δ^v s =s μ^v s -s ^v 2s , x ɪΩ, ^v s =0, x ɪ∂Ω.根据比较原理[4]以及系统(14)的第二个方程可知,当s <D σ1(1,0)/μ时,有0ɤv s ɤ^v s (^v s 恒为0).将v s =0代入系统(14),则当s <D σ1(1,0)/μ时,U s 满足-ΔU s =s U s 1+a λ-U s 1+æèçöø÷a , x ɪΩ, U s =0, x ɪ∂Ω. 类似地,当σ1(1+a ,-s λ)>0,即s <(1+a )σ1(1,0)/λ时,由引理2可知,U s =0.因此,当977 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B -D 型捕食-食饵系统的共存解0<s <m i n {D σ1(1,0)/μ,(1+a )σ1(1,0)/λ}时,(0,0)是T s 在W 上的唯一不动点,从而有d e g W (I -T s ,i n t O )=i n d e x W (T s ,(0,0)).下面计算i n d e x W (T s ,(0,0)).由式(13)可知,T s 在(0,0)处的F r éc h e t 导数为D T s (0,0)=(-Δ+M )-1s λ1+a +M00s μD +æèççççöø÷÷÷÷M . 下面用反证法证明证对任意的(h ,k )T ɪ췍W (0,0)\{(0,0)},均有(I -D T s (0,0))(h ,k )T ʂ0成立.假设存在(h ,k )T ɪ췍W (0,0)\{(0,0)},有(I -D T s (0,0))(h ,k )T =0,即(I -D T s (0,0))æèçöø÷h k =h -(-Δ+M )-1s λ1+a h +æèçöø÷M h k -(-Δ+M )-1s μD k +æèçöø÷æèççççöø÷÷÷÷M k =0,整理后为-(1+a )Δh -s λh =0,x ɪΩ,-D Δk -s μk =0,x ɪΩ,h =k =0,x ɪ∂Ωìîíïïïï. 当(h ,k )T ɪ췍W (0,0)\{(0,0)}时,必有σ1(1+a ,-s λ)=0或σ1(D ,-s μ)=0成立.又因为s ɪ(0,m i n {D σ1(1,0)/μ,(1+a )σ1(1,0)/λ}),故必有σ1(1+a ,-s λ)>0和σ1(D ,-s μ)>0,与参数s 的选择矛盾,因此结论得证.因为S (0,0)={(0,0)},故可用D T s (0,0)定义D T s(0,0),则由引理4中2)有r (-Δ+M )-1s λ1+a +æèçöø÷éëêùûúM <1, r (-Δ+M )-1s μD +æèçöø÷éëêùûúM <1.故r (D T s (0,0))<1.根据引理5中2),有i n d e x W (D T s ,(0,0))=1.综上,对任意的s ɪ(0,m i n {D σ1(1,0)/μ,(1+a )σ1(1,0)/λ}),有d e g W (I -T 1,i n t O )=d e g W (I -T s ,i n t O )=i n d e x W (T s ,(0,0))=1. 引理8 设σ1(D ,-μ)<0,则当σ1(1+a ,-λ)ʂ0时,i n d e x W (T 1,(0,0))=0.证明:由引理7的证明可知,对任意的(h ,k )T ɪ췍W (0,0)\{(0,0)},当σ1(1+a ,-λ)ʂ0且σ1(D ,-μ)ʂ0时,有(I -D T s (0,0))(h ,k )Tʂ0成立.当σ1(D ,-μ)<0时,结合引理4中1),有r [(-Δ+M )-1(μ/D +M )]>1,从而r (D T 1(0,0))=r (D T 1(0,0))>1.因此,由引理5中1)可知,i n d e x W (T 1,(0,0))=0.引理9 设σ1(D ,-μ)<0和σ1(1+a ,-λ)<0成立,则:1)当σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μ<0时,i n d e x W (T 1,((1+a )θ1+a ,λ,0))=0;2)当σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μ>0时,i n d e x W (T 1,((1+a )θ1+a ,λ,0))=1.证明:由式(13)可知,T 1在((1+a )θ1+a ,λ,0)处的F r éc h e t 导数为D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0)= (-Δ+M )-111+a (λ-2θ1+a ,λ)+M θ1+a ,λa b λ-2a b θ1+a ,λ1+a +γ1+k θ1+a ,æèçöø÷λ01D μ-θ1+a ,λ1+k θ1+a ,æèçöø÷λ+æèççççöø÷÷÷÷M .令1=(-Δ+M )-111+a (λ-2θ1+a ,λ)+æèçöø÷M ,2=(-Δ+M )-11D μ-θ1+a ,λ1+k θ1+a ,æèçöø÷λ+æèçöø÷M .087 吉林大学学报(理学版) 第61卷已知췍W ((1+a )θ1+a ,λ,0)=C 0(췍Ω)췍K (췍Ω),S ((1+a )θ1+a ,λ,0)=C 0(췍Ω)췍{0},则可利用2定义D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0).下面用反证法证明当σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μʂ0时,对任意的(h ,k )T ɪ췍W ((1+a )θ1+a ,λ,0)\{(0,0)},有(I -D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0))(h ,k )T ʂ0成立.假设存在(h ,k )T ɪ췍W ((1+a )θ1+a ,λ,0)\{(0,0)},有(I -D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0))(h ,k )T=0成立.即0=(I -D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0))h æèçöø÷k =h -(-Δ+M )-1λ-2θ1+a ,λ1+a +æèçöø÷M h +θ1+a ,λa b λ-2a b θ1+a ,λ1+a +γ1+k θ1+a ,æèçöø÷λæèçöø÷k k -(-Δ+M )-11D μ-θ1+a ,λ1+k θ1+a ,æèçöø÷λ+æèçöø÷M æèççççöø÷÷÷÷k ,从而有(-Δ+M )-1λ-2θ1+a ,λ1+a +æèçöø÷M h +θ1+a ,λab λ-2a b θ1+a ,λ1+a +γ1+k θ1+a ,æèçöø÷λæèçöø÷k =h ,x ɪΩ,(-Δ+M )-11D μ-θ1+a ,λ1+k θ1+a ,æèçöø÷λ+æèçöø÷M k =k ,x ɪΩ,h =k =0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïï.(15) 当k 恒为0时,系统(15)的第一个方程变为(-Δ+M )-111+a (λ-2θ1+a ,λ)+æèçöø÷M æèçöø÷h =h ,即1h =h ,则1是T 1的一个特征值,且r (1)ȡ1.因为θ1+a ,λ是方程-(1+a )Δh =(λ-h )h 在D i r i c h l e t 边界条件下的唯一正解,则由引理1中1)有σ1(1+a ,2θ1+a ,λ-λ)>σ1(1+a ,θ1+a ,λ-λ)=0.由引理4中2)有r (1)<1,矛盾,故k 不恒为0.由(h ,k )T ɪ췍W ((1+a )θ1+a ,λ,0)\{(0,0)}可得,k ȡ0.由系统(15)的第二个方程有2k =k ,根据K r e i n -R u t m a n 定理可知,r (2)=1.又σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μʂ0,故由引理4可知,r (2)ʂ1,矛盾.下面计算在((1+a )θ1+a ,λ,0)处的指标.若σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μ<0,则由引理4中1)可知,r (2)>1.利用2定义D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0),有r (D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0))>1.由引理5中1)可知,i n d e x W (T 1,((1+a )θ1+a ,λ,0))=0.若σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μ>0,则根据引理4中2),有r (2)<1,即r (D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0))<1.下面计算D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0))的谱半径.假设(h ,k )ɪE 为D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0)的特征函数,σ为对应的特征值,则(h ,k )满足(-Δ+M )-1λ-2θ1+a ,λ1+a +æèçöø÷M h +θ1+a ,λab λ-2a b θ1+a ,λ1+a +γ1+k θ1+a ,æèçöø÷λæèçöø÷k =σh ,x ɪΩ,(-Δ+M )-11D μ-θ1+a ,λ1+k θ1+a ,æèçöø÷λ+æèçöø÷M k =σk ,x ɪΩ,h =k =0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïï. 当k 不恒为0时,σ为2的特征值,因为r (2)<1,则σ<1.当k 恒为0时,σ为1的特征值.又σ1(1+a ,2θ1+a ,λ-λ)>0,则由引理4中2),有r (1)<1,故σ<1.从而D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0)的所有特征值都小于1,即r (D T 1((1+a )θ1+a ,λ,0))<1.再由引理5中2)可知,i n d e x W (T 1,((1+a )θ1+a ,λ,0))=1.类似引理9的证明过程,可得如下引理.引理10 若σ1(D ,-μ)<0,则:187 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B -D 型捕食-食饵系统的共存解1)当σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<0时,i n d e x W (T 1,(0,θD ,μ))=0;2)当σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ>0时,i n d e x W (T 1,(0,θD ,μ))=1.定理2 假设σ1(D ,-μ)<0,则:1)当σ1(1+a ,-λ)<0时,若σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μ<0,则系统(8)至少存在一个正解;2)当σ1(1+a ,-λ)>0时,若σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<0,则系统(8)至少存在一个正解;3)当σ1(1+a ,-λ)=0时,系统(8)总存在一个正解.证明:1)反证法.假设系统(8)不存在正解,则当σ1(D ,-μ)<0和σ1(1+a ,-λ)<0时,系统(8)存在平凡解(0,0)和半平凡解((1+a )θ1+a ,λ,0),(0,θD ,μ),即T 1在W 上只有3个不动点(0,0),((1+a )θ1+a ,λ,0),(0,θD ,μ).由引理8可知,i n d e x W (T 1,(0,0))=0.由引理9可知,若σ1D ,θ1+a ,λ1+k θ1+a ,λ-æèçöø÷μ<0,则有i n d e x W (T 1,((1+a )θ1+a ,λ,0))=0.由引理1中1)有σ11,-λ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<0.由引理10有i n d e x W (T 1,(0,θD ,μ))=0.利用不动点的可加性,有1=d e g W (I -T 1,i n t O )=i n d e x W (T 1,(0,0))+i n d e x W (T 1,(0,θD ,μ))+i n d e x W (T 1,((1+a )θ1+a ,λ,0))=0,矛盾,故系统(8)至少存在一个正解.2)反证法.假设系统(8)不存在正解,则当σ1(D ,-μ)<0且σ1(1+a ,-λ)>0时,系统(8)存在平凡解(0,0)和半平凡解(0,θD ,μ),即T 1在W 上只有2个不动点(0,0)和(0,θD ,μ).重复1)的步骤,由不动点的可加性,有1=d e g W (I -T 1,i n t O )=i n d e x W (T 1,(0,0))+i n d e x W (T 1,(0,θD ,μ))=0,矛盾,故系统(8)至少存在一个正解.3)由于已证得在一定条件下,当σ1(1+a ,-λ)<0或σ1(1+a ,-λ)>0时,系统(8)至少存在一个正解.因此,下面假设(U i ,v i )是系统(8)在λ=λi 时的一个正解,则(U i ,v i )满足-ΔU i =U i 1+a 1+b v i λi -U i 1+a 1+b v i+γv i 1+k U i 1+a 1+b v i+m v æèçççöø÷÷÷i ,x ɪΩ,-D Δv i =μv i -v 2i -U i 1+a 1+b v iv i 1+k U i1+a 1+b v i +m v i,x ɪΩ,U i =v i =0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïïïïïïï,其中序列{λi }ɕi =1满足l i m i ңɕλi =λɕ,且有σ1(1+a ,-λi )ʂ0,但σ1(1+a ,-λɕ)=0.由引理6可知,对任意的x ɪ췍Ω,均有0ɤU i (x )ɤ(1+a )λi +γμ1+m æèçöø÷μ和0ɤv i (x )ɤμ成立,即{U i (x )}和{v i (x )}是一致有界的.由椭圆方程的L p 估计[12]可知,{U i }和{v i }在W 2,p (Ω)上是一致有界的.由S o b o l e v 嵌入定理[12]可知,W 2,p (Ω)⊂⊂C 1(췍Ω),则W 2,p (Ω)中的有界集是C 1(췍Ω)中的列紧集.因此,{U i }和{v i }在287 吉林大学学报(理学版) 第61卷C 1(췍Ω)中存在收敛的子列(仍记为{U i }和{v i }).假设在C 1(췍Ω)上,有l i m i ңɕ(U i ,v i )=(U ɕ,v ɕ),其中(U ɕ,v ɕ)是系统(8)在λ=λɕ时的一个非负解.下证(U ɕ,v ɕ)是系统(8)在λ=λɕ时的正解.根据最大值原理,U ɕ和v ɕ在Ω上满足:U ɕ恒为0或U ɕ>0;v ɕ恒为0或v ɕ>0.先用反证法证明v ɕ>0.假设v ɕ恒为0,取^v i =v iv i ɕ,则^v i 满足-D Δ^v i =^v i μ-v i -U i 1+a 1+b v i11+k U i1+a 1+b v i+m v æèçççöø÷÷÷i , x ɪΩ, ^v i =0, x ɪ∂Ω. 类似地,重复上述紧性的讨论,取{^v i }的收敛子列(仍记为{^v i }).假设l i m i ңɕ^v i =^v ɕȡ0在C 1(췍Ω)上成立,其中 ^v ɕ ɕ=1.则(U ɕ,^v ɕ)满足-ΔU ɕ=U ɕ1+a λɕ-U ɕ1+æèçöø÷a ,x ɪΩ,-D Δ^v ɕ=^v ɕμ-U ɕ1+a 11+k U ɕ1+æèççöø÷÷a ,x ɪΩ,U ɕ=^v ɕ=0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïïï. 对于方程-ΔU ɕ=U ɕ1+a λɕ-U ɕ1+æèçöø÷a , x ɪΩ, U ɕ=0, x ɪ∂Ω,(16)由引理2可知,当且仅当σ11,-λɕ1+æèçöø÷a <0,即11+a σ1(1+a ,-λɕ)<0时,方程(16)有唯一正解.因为σ1(1+a ,-λɕ)=0,故由引理2可知,U ɕ恒为0是方程(16)仅有的非负解.因此^v ɕ满足-D Δ^v ɕ-μ^v ɕ=0, x ɪΩ, ^v ɕ=0, x ɪ∂Ω. 由于^v ɕȡ0(且不恒为0),故^v ɕ可视为方程(16)主特征值对应的主特征函数.由K r e i n -R u t m a n 定理,有σ1(D ,-μ)=0,与假设矛盾,故v ɕ>0.下面用反证法证明U ɕ>0.假设U ɕ=0,取^U i =U i U i ɕ,则^U i 满足-Δ^U i =^U i 1+a 1+b v i λi -U i 1+a 1+b v i+γv i1+k U i1+a 1+b v i+m v æèçççöø÷÷÷i ,x ɪΩ, ^U i =0, x ɪ∂Ω. 类似地,取{^U i }的收敛子列,仍记为{^U i }.假设在C 1(췍Ω)上,l i m i ңɕ^U i =^U ɕ,其中 ^U ɕ ɕ=1.则(^U ɕ,v ɕ)满足-Δ^U ɕ=^U ɕ1+a 1+b v ɕλɕ+γv ɕ1+m v æèçöø÷ɕ,x ɪΩ,-D Δv ɕ=μv ɕ-v 2ɕ,x ɪΩ,^U ɕ=v ɕ=0,x ɪ∂Ωìîíïïïïïï. 对于方程-D Δv ɕ=μv ɕ-v 2ɕ,x ɪΩ, v ɕ=0, x ɪ∂Ω,(17)由引理2知,当且仅当σ1(D ,-μ)<0时,方程(17)有唯一正解v ɕ=θD ,μ.因此^U ɕ满足-Δ^U ɕ-λɕ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a1+b θD ,μ^U ɕ=0, x ɪΩ, ^U ɕ=0, x ɪ∂Ω. 由于^U ɕȡ0(且不恒为0),故^U ɕ可视为主特征值对应的主特征函数.由K r e i n -R u t m a n 定理可387 第4期 崔 璐,等:具有非线性交叉扩散的B -D 型捕食-食饵系统的共存解知,σ11,-λɕ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ=0,再由引理1有σ11,-λɕ+γθD ,μ1+m θD ,μ1+a 1+b θD ,æèçççöø÷÷÷μ<σ11,-λɕ1+æèçöø÷a =σ1(1+a ,-λɕ)1+a ,则σ1(1+a ,-λɕ)>0,与假设矛盾,即有U ɕ>0,故证得(U ɕ,v ɕ)是系统(8)在λ=λɕ时的一个正解.参考文献[1] K A R E I V AP ,O D E L LG.S w a r m so fP r e d a t o r sE x h i b i t P r e y t a x i s I f I n d i v i d u a lP r e d a t o r sU s eA r e a -R e s t r i c t e d S e a r c h [J ].A m e rN a t u r ,1987,130(2):233-270.[2] J I N H Y ,WA N GZ A.G l o b a lD y n a m i c sa n dS p a t i o -T e m p o r a lP a t t e r n so fP r e d a t o r -P r e y S y s t e m sw i t hD e n s i t y -D e p e n d e n tM o t i o n [J ].E u r o p e a n JA p p lM a t h ,2021,32(4):652-682.[3] L I S B ,MA R Y.P o s i t i v eS t e a d y -S t a t eS o l u t i o n sf o rP r e d a t o r -P r e y S y s t e m s w i t h P r e y -T a x i sa n d D i r i c h l e t C o n d i t i o n s [J ].N o n l i n e a rA n a l :R e a lW o r l dA p p l ,2022,68:103669-1-103669-29.[4] B E D D I N G T O NJR.M u t u a l I n t e r f e r e n c eb e t w e e nP a r a s i t e so rP r e d a t o r sa n dI t sE f f e c to 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