2020年高考数学总复习 第二章 第7课时 指数函数随堂检测(含解析) 新人教版

高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.5指数与指数函数练习（含解析）【考试要求】1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1；m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x(a >0，且a ≠1；x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 【知识梳理】 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a)n ＝a(a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n an ＝a ，当n 为偶数时，nan ＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1【微点提醒】1.画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)， 故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴ax 2＋1≥a . 故y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.【教材衍化】2.(必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( ) A.1 B.2C. 3D.3【答案】 C【解析】 依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3. 3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( ) A.y ＝a (1＋p %)x(0<x <m ) B.y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m ，x ∈N ) C.y ＝a (1＋xp %)(0<x <m ) D.y ＝a (1＋xp %)(0≤x ≤m ，x ∈N ) 【答案】 B【解析】 设年产量经过x 年增加到y 件，则第一年为y ＝a (1＋p %)，第二年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)2，第三年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)3，…，则y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m 且x ∈N ). 【真题体验】4.(2018·晋中八校一模)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 32【答案】 C 【解析】 由题意得a 2a ·3a 2＝a2－12－13＝a 76.5.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数 【答案】 B【解析】 函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x在R 上是增函数，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.6.(2019·潍坊检测)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a【答案】 C【解析】 根据指数函数y ＝0.6x在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 【考点聚焦】 考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0).【答案】见解析【解析】(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝a b. 【规律方法】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)12. 【答案】见解析【解析】(1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －23)＝－54a －12·b －23＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·镇海中学检测)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 (2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】 (1)C (2)(0，2)【解析】 (1)y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x－12＝0，得x ＝－1，故函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.(2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).【规律方法】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.【答案】(1)D (2)[－1，1]【解析】(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].考点三指数函数的性质及应用多维探究角度1 指数函数的单调性【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)(－3，1)【解析】 (1)A 中，∵函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.(2)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1， 则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3，1). 角度2 与指数函数有关的复合函数的单调性 【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______.(2)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________. 【答案】 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1]。

考点07 指数与指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. （4）知道指数函数是一类重要的函数模型.一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂 （1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)m na a m n n =>∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,mnm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质：①(0,,)r s r sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r srsa a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . （3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数. 一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ； (3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象与性质指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一指数与指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 化简并求值：（1）)2934-⨯； （211113342a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭【★★★★答案★★★★】（1）12；（2）ab. 【解析】（1）)92292334310343221255252----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．1．()2213021273(2)2=482--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________． 考向二与指数函数有关的图象问题指数函数y =a x (a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y =f (x )沿x 轴、y 轴的变换为“上加下减，左加右减”．典例2 函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【★★★★答案★★★★】C 【解析】当x =1时，y =a 1－a =0， 所以y =a x －a 的图象必过定点(1，0)， 结合选项可知选C.2．函数()2ex x f x -=的图像是A ．B ．C ．D ．考向三指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．典例3 设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【★★★★答案★★★★】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >. 从而bc a <<. 故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.3．设110e a =，ln b =1lg ec =（其中e 2.71828=是自然对数的底数），则A ．c b a >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．b a c >>典例4 设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞【★★★★答案★★★★】C【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1()712a -<， 即1()82a <，解得30a -<<； 当0a ≥时，不等式()1f a <可化为121a -<，所以01a ≤<．故a 的取值范围是(3,1)-. 故选C ．【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当0a <及0a ≥时，a 的取值范围，最后综合即可得出结果．4．若221m n >>，则 A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．π1m n ->考向四指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论． 2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5 已知函数()11e 12xf x =-+，则f (x )是 A ．奇函数，且在R 上是增函数 B ．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数 C ．奇函数，且在R 上是减函数 D ．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数【★★★★答案★★★★】C【解析】易知函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()11e 1e 12e 12x xx f x --=-=-++， 则()()0f x f x -+=， 所以()f x 是奇函数， 显然函数()11e 12x f x =-+是减函数.故选C ．5．若函数f (x )=3x ＋3－x 与g (x )=3x －3－x 的定义域均为R ，则A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数典例6 若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥【★★★★答案★★★★】D【解析】当2x ≤时，f （x ）＝2222x x --=，单调递减， ∴f （x ）的最小值为f (2)=1；当x ＞2时，f （x ）＝()2log x a +单调递增， 若满足题意，只需()2log 1x a +≥恒成立， 即2x a +≥恒成立， ∴max (2)a x ≥-，∴a ≥0. 故选D ． 典例7 函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为________．【★★★★答案★★★★】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-， 又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，知当1t ≥-时，02y <≤， 即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．6．若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为 A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞ C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞1．计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3B ．2C ．2x +D ．12x +2．若函数f(x)={2x ,x <1−log 2x,x ≥1，则函数f(x)的值域是A ．(−∞,2)B ．[0,+∞)C ．(−∞,0)∪(0,2)D ．(−∞,2]3．设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．b c a <<4．函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(−∞,1)D ．(−∞,−1)5．函数()1(1)x x a y a x+=>的图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．6．已知函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是A ．12B ．13C ．14D ．237．已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y> D ．33x y >8．已知函数()283640f x x x =-+-在[1,2)上的值域为A ，函数()2xg x a =+在[1,2)上的值域为B .若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是A ．[)4,-+∞B ．(]14,4--C ．[]14,4--D ．()14,-+∞9．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为 A ．)41,41(- B ．)21,21(-C ．)2,2(-D ．)1,1(-10．函数f(x)=log 2x +1与g(x)=2−x−1在同一平面直角坐标系下的图象大致是A ．B ．C ．D ．11．设函数()2af x x-=与()(1xg x a a =>且2a ≠)在区间()0+∞，上具有不同的单调性，则()0.21M a =-与0.11N a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．M N =B ．M N ≤C ．M N <D ．M N >12．定义新运算⊗：当m ≥n 时，m ⊗n =m ；当m <n 时，m ⊗n =n .设函数f (x )=[(2x ⊗2)−(1⊗log 2x )]⋅2x ，则f (x )在(0,2)上的值域为 A ．(0,12) B ．(0,12] C ．(1,12)D ．(1,12]13．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是 A ．()16,32 B ．()18,34 C ．()17,35D ．()6,714．已知函数2()1x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，则点P 的坐标为_______. 15．已知13a a-+=，则1122a a-+=__________.16．已知函数y =R ，则实数a 的取值范围是__________．17．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．18．已知14742a b c ===，则111a b c-+=__________． 19．若不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为________. 20．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点__________．21．已知函数()xf x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．22．（1）1423161)9--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）2log 351log lg 210025++.23．已知函数1()934x x f x m +=-⋅-.（1）若1m =，求方程()0f x =的根；（2）若对任意[]1,1x ∈-，()8f x ≥-恒成立，求m 的取值范围.24．已知函数()242x x a af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.1．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<2．（2019年高考天津理数）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │4．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）6．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅7．（2017年高考北京卷理科）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数8．(2016年高考新课标Ⅲ卷理科)已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是.10．（2016年高考天津卷理科）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是.1．【★★★★答案★★★★】12【解析】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：()2213021273(2)2482--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2321322333=[()]2222--⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦344112992=--+=， 故★★★★答案★★★★为12. 2．【★★★★答案★★★★】A 【解析】由()2ex x f x -=，可得()01f =，排除选项C,D ；由指数函数图象的性质可得()0f x >恒成立，排除选项B ， 故选A.【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 3．【★★★★答案★★★★】B 【解析】由题得1010ee 1a =>=，ln ln e 1,b =<=且b >0，1lg lg10ec =<=，所以a b c >>. 故选B.【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围，然后比较其大小即可.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4．【★★★★答案★★★★】D【解析】因为221mn>>，所以由指数函数的单调性可得m n >， 因为,m n 的符号不确定，所以0,0m n <<时可排除选项A 、B ；3,12m n ==时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断π1m n ->正确. 故选D ．【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.5．【★★★★答案★★★★】D【解析】因为f (－x )=3－x ＋3x =f (x )，g (－x )=3－x －3x =－g (x )， 所以f (x )是偶函数，g (x )为奇函数. 故选D.6．【★★★★答案★★★★】B【解析】由题得1222x x a <⋅-在（0,1）上恒成立， 设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数，所以()12111a f ≤=⨯-=. 故选B ．1．【★★★★答案★★★★】D【解析】原式11143333122122x x x x x --=⋅+⋅=+.故选D.2．【★★★★答案★★★★】A 【解析】因为x <1时，2x <2； x ≥1时，−log 2x ≤0， 所以函数f (x )的值域是(−∞,2). 故选A ．3．【★★★★答案★★★★】B【解析】由0.6xy =的单调性可知： 1.50.600.60.60.61<<=， 又0.601.5 1.51>=，c a b ∴>>. 故选B.4．【★★★★答案★★★★】B 【解析】由函数f(x)=(12)x 2−2x，结合复合函数的单调性知识可知，它的减区间，即为y =x 2−2x 的增区间．由二次函数的性质可得y =x 2−2x 的增区间为(1,+∞). 故选B ．5．【★★★★答案★★★★】A 【解析】函数()1(1)x x a y a x+=>的定义域为()(),00,-∞+∞．当1x <-时，由题意可得0y <，故可排除B ，D ； 又当x →+∞时，由于1a >，故y →+∞，故排除C ． 故选A ．【名师点睛】由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行．解题时要注意以下几点： （1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除； （3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断． 6．【★★★★答案★★★★】B【解析】函数()2(0)xf x x =<的值域为01（，），即01D =（，）， 则在区间()1,2-上随机取一个数x x D ∈，的概率()101.213P -=--＝故选B ．7．【★★★★答案★★★★】D【解析】由指数函数的性质得1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y ⇔>，对于A ，当3π3π44x y ==-，时，满足x y >，但tan tan x y >不成立． 对于B ，若()()22ln 2ln 1x y +>+，则等价为22x y >成立，当11x y ==-，时，满足x y >，但22x y >不成立．对于C ，当32x y ==，时，满足x y >，但11x y>不成立． 对于D ，当x y >时，33x y >恒成立. 故选D ．【名师点睛】利用指数函数即可得出,x y 的大小关系，进而判断出结论．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题． 8．【★★★★答案★★★★】B【解析】因为()f x 在[1,2)上单调递增，所以[)12,0A =-， 又函数()2xg x a =+在[1,2)上单调递增，于是[)2,4B a a =++.因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，故有21240a a +≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），得[]14,4a ∈--.故选B ．9．【★★★★答案★★★★】D【解析】由题意得，当0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<； 又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0x <时，()2xf x =，则不等式21)(>x f ，即122x >，解得10x -<<， 所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<. 故选D ．10．【★★★★答案★★★★】D 【解析】()+11122x x g x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，由指数函数的图象知，将函数y =(12)x 的图象向左平移一个单位，即可得到g(x)的图象，从而排除选项A,C ；将函数y =log 2x 的图象向上平移一个单位，即可得到f(x)=log 2x +1的图象，从而排除选项B. 故选D ．11．【★★★★答案★★★★】D【解析】由题意，因为()2af x x -=与()xg x a =在区间()0,+∞上具有不同的单调性，则2a >， 所以()0.211M a =->，0.111N a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以M N >.故选D ．12．【★★★★答案★★★★】C【解析】由题意得，函数f (x )=[(2x⊗2)−(1⊗log 2x )]⋅2x={2x ，0<x <122x−2x，1≤x <2，当x ∈(0,1)时，f (x )=2x ∈(1,2)； 当x ∈[1,2)时，f (x )=22x −2x ， 令t =2x ∈[2,4)，则2≤t 2−t <12， 故f (x )在(0,2)上的值域为(1,12). 故选C.13．【★★★★答案★★★★】B【解析】画出函数()f x 的大致图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<． 故选B ．【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222a b+=；二是根据图象判断出c 的取值范围，进而得到16232c <<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围． 14．【★★★★答案★★★★】(2,2)【解析】由题意，令2x =，可得22()12f x a -=+=，所以函数2(2)1x f a-=+（0a >且1a ≠）的图象过定点(2,2)P .15【解析】由题意得21112223a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，∴211225a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11220a a -+>，16．【★★★★答案★★★★】0a ≤【解析】函数y =R ，∴20x a -≥恒成立， 即2x a ≤恒成立，20x >，0a ∴≤，故★★★★答案★★★★为0a ≤.17．【解析】∵0(0)223f =+=， ∴[(0)](3)log 2a f f f ==， ∵[(0)]2f f =， ∴log 22a =， 又0,a >则a ．. 18．【★★★★答案★★★★】3【解析】由题设可得111214,27,24a b c===，则1121472a b-=÷=，即111113222422a ba b c--+=⇒=⨯=，即1113a b c-+=. 故★★★★答案★★★★为3. 19．【★★★★答案★★★★】−13【解析】设f(x)=−x 2+2x +3，不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立，只需满足f(x)max ≤21−3a 即可，f(x)=−x 2+2x +3=−(x −1)2+4⇒f(x)max =4， 所以4≤21−3a ⇒a ≤−13， 因此实数a 的最大值为−13. 20．【★★★★答案★★★★】()1,3【解析】∵ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 图象的对称轴为π4x =，∴()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即b a -=， ∴0a b +=． 在13ax b y ++=中，令1x =，则133a b y ++==．∴函数13ax b y ++=的图象恒过定点()1,3．故★★★★答案★★★★为()1,3． 21．【★★★★答案★★★★】4【解析】当1a >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的图象过点(−1, −1)和点(0,0)，所以11a b a b -⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，该方程组无解； 当01a <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的图象过点(−1,0)和点(0, −1)，所以1001a b a b -⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以4b a =．22．【★★★★答案★★★★】（1）2；（2）72【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得142316311)12944--⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭. （2）根据对数的运算性质，可得2log 351log lgln 21725=212002+32-++=+． 23．【★★★★答案★★★★】（1）3log 4x =；（2）4(,]3-∞.【解析】（1）1m =时，12()934(3)3340xx x x f x +=--=-⋅-=，可得(34)(31)0xx-+=，30x >，34x ∴=，解得3log 4x =.（2）令3x t =，[]1,1x ∈-，1[,3]3t ∴∈.由()8f x ≥-，可得2348t mt --≥-，43m t t ≤+对1[,3]3t ∈恒成立，44t t +≥=，当且仅当4t t=，即2t =时，4t t +取得最小值为4，34m ∴≤，故43m ≤，m ∴的取值范围为4(,]3-∞.24．【★★★★答案★★★★】（1）2a =；（2）()1,1-；（3）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，即242422x x x xa a a aa a a a---+-+=-++. 整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（2）由（1）可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++， ∴函数()f x 在R 上单调递增， 又211x+>，∴22021x -<-<+， ∴211121x -<-<+．∴函数()f x 的值域为()1,1-．（3）当[]1,2x ∈时，()21021x xf x -=>+． 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【名师点睛】解决函数中恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为()a f x ≥（或()a f x ≤）恒成立的问题求解，此时只需求得函数()f x 的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．1．【★★★★答案★★★★】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 2．【★★★★答案★★★★】A 【解析】因为551log 2log 2a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5c <=<，即112c <<， 所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3．【★★★★答案★★★★】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 4．【★★★★答案★★★★】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 5．【★★★★答案★★★★】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到★★★★答案★★★★． 6．【★★★★答案★★★★】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<， 所以{|1}{|0}AB x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<.故选A.7．【★★★★答案★★★★】A【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数. 8．【★★★★答案★★★★】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<. 故选A ．9．【★★★★答案★★★★】1(,)4-+∞【解析】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112xx +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.10．【★★★★答案★★★★】13(,)22【解析】由题意知()f x 在(0,)+∞上单调递减， 又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<即112a -<，解得1322a <<，即a 的取值范围为13(,)22．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

第七节 幂函数一、基础知识考点一 幂函数的图象与性质[典例] (1)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( )A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2[题组训练]1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 132.已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．考点二 比较幂值大小[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c[题组训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a2．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． [课时跟踪检测]1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B. 2 C ．2 2 D ．12．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C.12D ．－13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．34．已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x24的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．65．幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和36．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <x D ．z <y <x8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 10．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________． 11．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．12．已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．13．已知幂函数f (x )＝x ()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．第七节 幂函数(答案)一、基础知识1．幂函数的概念 一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 幂函数的特征(1)自变量x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)x α的系数为1；(3)只有一项． 2．五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(－∞，0)减， (0，＋∞)增增 增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点(1,1)二、常用结论对于形如f (x )＝x nm (其中m ∈N *，n ∈Z ，m 与n 互质)的幂函数：(1)当n 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称； (2)当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．考点一 幂函数的图象与性质[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2[解析] (1)设f (x )＝x α，将点(3，33)代入f (x )＝x α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1，又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.[答案] (1)C (2)B[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．[题组训练] 1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x －4B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 函数y ＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________． 解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0<p <1；当p ＝0时，函数为y ＝1(x ≠0)，符合题意；当p <0时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)考点二 比较幂值大小[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c[解析] 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c .[答案] D [题组训练] 1．若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．b >c >a解析：选B 因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫3525>c ＝⎝⎛⎭⎫2525，因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x 是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525>b ＝⎝⎛⎭⎫2535，所以a >c >b . 2．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [课时跟踪检测] 1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( )A ．4 B. 2 C ．2 2 D ．1解析：选C 设f (x )＝x n，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n，n ＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝2 2.2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12 D ．－1 解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D.3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x24的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α. ∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3 解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2.6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <z <yB ．y <x <zC ．y <z <xD ．z <y <x 解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α，∵f (9)f (3)＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14.答案：14 10．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.答案：311．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，10－2a >0，解得3<a <5.答案：(3,5)13．已知幂函数f (x )＝x()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，∴2＝2()21－＋m m ，即212＝2()21－＋m m .∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。

2.1.1 指数与指数幂的运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列各式正确的是( ) A.－32＝－3B.4a 4＝a C.22＝2 D.3－23＝2【解析】 由于－32＝3，4a 4＝|a |，3－23＝－2，故A ，B ，D 错误，故选C.【答案】 C2. 的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73【解析】 原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×49＝73.【答案】 D3．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D ．[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18b 18【解析】 对于A ，(－a 2b )2·(－ab 2)3＝a 4b 2·(－a 3b 6)＝－a 7b 8，故A 正确；对于B ，(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝－a 6b 9÷(－a 3b 6)＝a 6－3b 9－6＝a 3b 3，故B 正确；对于C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6，故C 错误；对于D ，易知正确，故选C.【答案】 C 4．化简 (a ，b >0)的结果是( ) A.b aB ．abC.abD ．a 2b【解析】 原式＝＝【答案】 C5．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a ＝( )A ．m 2－2 B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2【解析】 将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a 2＋1a＝m 2＋2.【答案】 C 二、填空题6．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x|＝________.【解析】 由于x <0，所以|x |＝－x ，x 2＝－x ，所以原式＝－x －(－x )＋1＝1. 【答案】 17．已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b＝________.【解析】 32a －b＝32a3b ＝3a 23b ＝2215＝20. 【答案】 208．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x2 017)y＝________.【解析】 因为x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0， 所以x ＋12＋y ＋32＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3， 所以(x2 017)y＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1.【答案】 －1 三、解答题9．求值：(2)0.027－13－＋2560.75－13＋.【解】 (1)(2－1)0＋＋(8)－43＝1＋34＋14＝2.(2)0.027－13－＋2560.75－13＋＝103－36＋64－13＋1＝32. 10．化简3a72a －3÷3a －83a 15÷3a －3a －1.【解】 原式＝＝3a 2[能力提升]1．若2<a <3，化简2－a2＋43－a4的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1【解析】 原式＝|2－a |＋|3－a |， ∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1. 【答案】 C2．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0【解析】 ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B . 【答案】 B3．设a 2＝b 4＝m(a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________. 【解析】 ∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6，得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16. 【答案】 16 4．已知＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2；(3)a 2－a －2. 【解】 (1)将＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5，则a ＋a －1＝3.(2)由a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，则a 2＋a －2＝7.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45，所以y ＝±35，即a 2－a －2＝±3 5.。

教课资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：指数与指数函数含分析编辑： __________________时间： __________________第 4节指数与指数函数最新考纲中心修养考情聚焦m幂的运算性质、指数函1.经过对有理数指数幂 a n1.根式与有理数指数幂数的图象和性质是高考 (a>0、且 a ≠ 1； m 、 n 为整数、且 n>0 的运算、提高数学运 命题的热门、常常与其 )、实数指数幂 a x(a>0、且 a ≠1； x ∈ 算修养．他函数相联合考察、如 R)含义的认识、认识指数幂的拓展 2.指数函数的图象及应 ：图象的辨别与应用、 过程、掌握指数幂的运算性质． 用、完成直观想象和 利用单一性比较大小、 2.经过详细实例、认识指数函数的实 逻辑推理修养．解不等式、求参数的取 际意义、理解指数函数的观点． 3.指数函数的性质及应 值范围等．主要以选择 3.能用描点法或借助计算工具画出具 用、发展逻辑推理和 题、填空题形式出现、 体指数函数的图象、研究并理解指数学运算修养属于中低档题数函数的单一性与特别点1．根式(1)观点：式子 na 叫做根式、此中 n 叫做根指数、 a 叫做被开方数．(2)性质： ( na )n ＝ a(a 使na 存心义 )；当 n 为奇数时、 n an ＝a 、当 n 为偶数时、 n ana ，a ≥0， ＝ |a|＝－ a ，a<0.2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是am ＝n、m 、n∈nam(a>0N *、且 n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝1∈(a>0、m 、nnamN * 、且 n>1)； 0的正分数指数幂等于 0； 0的负分数指数幂没存心义．(2)有理指数幂的运算性质： a r a s ＝ a r ＋s ；(a r )s ＝ a rs ； (ab)r ＝ a r b r 、此中 a>0、b>0 、 r 、 s ∈ Q.3．指数函数及其性质(1)观点：函数 y ＝ a x (a>0且 a ≠1) 叫做指数函数、此中指数 x 是自变量、函数的定义域是R、 a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>1 0< a<1图象定义域R值域(0、＋∞ )过定点 (0,1)、即 x＝ 0时、 y＝ 1性质当 x>0时、 y>1；当 x<0 时、 y>1 ；当 x<0时、 0<y<1当 x>0时、 0<y<1在 (－∞、＋∞ )上是增函数在 (－∞、＋∞ )上是减函数n1.( a)n＝ a(n∈ N* )．a， n为奇数，2.nan＝a， a≥0，n为偶数．|a|＝－ a， a＜ 0，3．底数 a的大小决定了图象相对地点的高低、无论是a＞ 1、仍是 0＜ a＜1、在第一象限内底数越大、函数图象越高．[思虑辨析 ]判断以下说法能否正确、正确的在它后边的括号里打“√”、错误的打“×”：(1)nan与 (na)n都等于 a(n∈ N * )．()(2)2a·2b＝2ab.()(3)函数 y＝3·2x与 y＝ 2x＋1都不是指数函数． ()(4)函数 y＝ax2＋1(a>1) 的值域是 (0、＋∞ )． ()(5)函数 y＝2－x在 R 上为单一减函数． ()答案： (1) ×(2)×(3)√ (4) × (5)√[小题检验 ]1．化简 [(－ 2)6]1－( －1)0的结果为 () 2A．－ 9B． 7C．－ 10 D ．91分析： B[原式＝ (26)2－ 1＝ 8－ 1＝ 7.]2．在同一坐标系中、函数x1x的图象之间的关系是 () y＝ 2 与 y＝2A ．对于 y轴对称B．对于 x轴对称C．对于原点对称D．对于直线 y＝ x对称分析： A[ ∵ y＝12x＝ 2－x、∴它与函数y＝ 2x的图象对于y 轴对称． ]3．已知函数 f(x)＝ 4＋ a x－1的图象恒过定点P、则点 P的坐标是 () A ． (1,5) B ． (1,4) C ． (0,4)D． (4,0)分析： A[ 由 a0＝ 1 知、当 x－ 1＝0、即 x＝ 1 时、 f(1) ＝ 5、即图象必过定点(1,5). 应选 A.]4．[人教 A 版教材P59A 组T7 改编 ]已知 a＝3－1、 b＝3－1、c＝3 53542－3、则 a、 b、 c的大小关系是________． 4分析：∵ y＝35x是减函数、∴35－13>35－14>350、即 a>b>1、又c＝3－3<30＝1、∴ c<b<a.2 4 2答案： c<b<a5．若函数 y＝(a2－1) x在 (－∞、＋∞ )上为减函数、则实数a的取值范围是________．分析：由题意知0＜ a2－ 1＜ 1、即 1＜ a2＜ 2、得－2＜ a＜－ 1 或 1＜ a＜ 2.答案： (－2、－ 1)∪(1，2)考点一根式与有理数指数幂的运算(自主练透 )[ 题组集训 ]1．以下等式可以建立的是()2．求值与化简．指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的、无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减、负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数、先确立符号；底数是小数、先化成分数；底数是带分数的、先化成假分数．(4)假如根式、应化为分数指数幂、尽可能用幂的形式表示、运用指数幂的运算性质来解答．易错警告：运算结果不可以同时含有根号和分数指数、也不可以既有分母又含有负指数．考点二指数函数的图象及应用(师生共研 )[典例 ] (1) 函数 f(x)＝ 1－ e|x|的图象大概是()[分析 ] A[(1) 将函数分析式与图象对照剖析、因为函数 f(x)＝ 1－ e|x|是偶函数、且值域是(－∞、 0]、只有 A 知足上述两个性质、应选 A.](2)[20xx ××·市模拟 ] 若存在正数 x使 2x(x－a)<1 建立、则 a的取值范围是 ()A ． (－∞、＋∞ )B． (－ 2、＋∞ )C． (0、＋∞ )D． (－ 1、＋∞ )直观想象——函数图象在不等式中的详细应用信息提取信息解读直观想象存在正数 x、即 x>0、表此刻将不等式 2x( x－ a)<1变形为 x存在正数 x图象上就是 y轴的右边 1 x－ a< 2题干给出的不等式 2x(x－a)<1不易求解、可转变为两个基画出 y＝1x的图象2x(x－ a)<1本初等函数组成不等式 x－ a<建立21 x2考虑利用初等函数的图象解画出直线 y＝ x－a的图象、满决、即转变为直线 y＝ x－ a在足在 y轴的右边、有一部分在(0、＋∞ )上、有一部分在曲曲线 y＝1x的下方21线 y＝x的下方2依据在同一平面直角坐标系求 a的取值察看图象、写出知足的条件1内直线 y＝ x－ a与y＝2范围、即可求得结果x的图象、列出相关 a的不等式、求得结果[分析 ] D [第一步将不等式 2x( x－a)<1 变形为两个基本初等函数组成的不等式不等式x1x.2 (x－a)<1 可变形为 x－a<2第二步画出函数 y＝1x与 y＝x－ a 的图象2在同一平面直角坐标系内作出直线y＝ x－ a 与 y＝1x的图象．由题意、在(0、＋∞ )上、2直线有一部分在曲线的下方．第三步察看图象、列出相关 a 知足的条件察看可知、有－ a<1、所以 a>－1.](3)(20xx××·市模拟 )若曲线 |y|＝ 2x＋ 1与直线 y＝ b没有公共点、则 b的取值范围是 ________.[分析 ]曲线 |y|＝ 2x＋1 与直线 y＝ b 的图象如下图、由图象可得：假如|y|＝ 2x＋ 1 与直线 y＝ b 没有公共点、则 b 应知足的条件是b∈ [－ 1,1] ．[答案 ] [－1,1][互动研究 ]1．若将本例 (3) 中“ |y|＝ 2x＋ 1”改为“ y＝ |2x－ 1|”、且与直线 y＝ b有两个公共点、则b 的取值范围是 ________．分析：曲线 y＝ |2x－ 1|与直线 y＝ b 的图象如下图、由图象可得、假如曲线y＝ |2x－ 1|与直线 y＝b 有两个公共点、则 b 的取值范围是(0,1)．答案： (0,1)2．若将本例 (3) 改为：函数 y＝ |2x－ 1|在 ( －∞、 k]上单一递减、则k的取值范围是 ________ ．分析：因为函数y＝ |2x－ 1|的单一递减区间为(－∞、0]、所以k≤ 0、即 k 的取值范围为(－∞、 0]．答案： (－∞、 0]3．若将本例 (3) 改为：直线 y＝ 2a与函数 y＝ |a x－ 1|(a＞ 0且 a≠ 1)的图象有两个公共点、则a 的取值范围是______．分析： y＝ |a x－ 1|的图象是由y＝ a x先向下平移 1 个单位、再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折过来获得的．当 a＞ 1 时、两图象只有一个交点、不合题意、如图(1)；当 0＜ a＜ 1 时、要使两个图象有两个交点、则0＜ 2a＜ 1、获得 0＜ a＜12、如图 (2)．综上、 a 的取值范围是0，1 2 .答案：10，2指数函数图象可解决的两类热门问题及思路(1)求解指数型函数的图象与性责问题对指数型函数的图象与性责问题( 单一性、最值、大小比较、零点等) 的求解常常利用相应指数函数的图象、经过平移、对称变换获得其图象、而后数形联合使问题得解．(2)求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解、常常利用相应指数型函数图象数形联合求解．易错警告：应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质、要注意画出图象的正确性、不然数形联合获得的可能为错误结论．[追踪训练 ]1．函数 y＝ a x－1a(a>0 、且 a≠ 1)的图象可能是 ()分析： D[ 法一：当 0<a<1 时、函数 y ＝a x－1是减函数、且其图象可视为是由函数y ＝ a xa的图象向下平移1个单位长度获得的、联合各选项知选D.a法二：因为函数y ＝ a x－ 1(a>0、且 a ≠ 1)的图象必过点 (－ 1,0)、所以选 D.] a2．方程 2x ＝ 2－ x 的解的个数是 ________．分析： 方程的解可看作函数 y ＝ 2x 和 y ＝ 2－ x 的图象交点的横坐标、分别作出这两个函数图象 (如下图 )．由图象得只有一个交点、所以该方程只有一个解．答案： 1考点三指数函数的性质及应用 (多维研究 )[命题角度 1] 比较指数式的大小1．(20xx 全·国Ⅰ卷 )已知 a ＝ log 2 0.2、 b ＝ 20.2、 c ＝ 0.20.3、则 ()A ． a ＜ b ＜ cB ． a ＜ c ＜ bC ． c ＜ a ＜bD ． b ＜ c ＜a分析： B[ ∵ a ＝ log02.2 ＜log12＝ 0、 b ＝20.2＞ 20＝ 1、0＜c ＝ 0.20.3＜ 0.20 ＝1、∴ b ＞c ＞ a.选 B.][命题角度 2]简单的指数方程或不等式的应用1x － 7，x ＜ 0，2．设函数 f(x) ＝2若f(a)＜ 1、则实数 a 的取值范围是 ()x ， x ≥0，A ． (－∞、－ 3)B ． (1、＋∞ )C ． (－ 3,1)D ． (－∞、－ 3)∪ (1、＋∞ )分析： C[ 当 a＜ 0 时、不等式f(a)＜ 1 可化为1a－ 7＜ 1、即1a1a1－3 22＜ 8、即2＜2、1因为 0＜2＜1、所以 a＞－ 3、此时－ 3＜a＜ 0；当 a≥ 0 时、不等式f(a) ＜1 可化为a＜ 1、所以 0≤ a＜1.故 a 的取值范围是(－ 3,1)、应选 C.][命题角度3]研究指数型函数的性质3．已知函数 f(x)＝.(1)若 a＝－ 1、求 f(x) 的单一区间；(2)若 f(x)有最大值 3、求 a的值；(3)若 f(x)的值域是 (0、＋∞ )、求 a的值．[思路导引 ] (1)按照“同增异减”法例求 f( x)的单一区间； (2) 因为 f(x)有最大值3、所以g(x) 应有最小值－ 1、由此可求出 a 的值； (3)要使 f(x)的值域为 (0、＋∞ )、应使 g( x)＝ax2－4x＋ 3 的值域为 R、由此可求出 a 的值．解： (1) 当 a＝－ 1 时、 f(x)＝、令 g(x)＝－ x2－4x＋ 3、1因为 g(x)在 (－∞、－ 2)上单一递加、在(－2、＋∞ )上单一递减、而y＝3t在 R 上单一递减、所以 f(x)在 (－∞、－ 2)上单一递减、在 (－2、＋∞ )上单一递加、即函数 f(x)的单一递加区间是 (－ 2、＋∞ )、单一递减区间是 (－∞、－ 2)．(2)令 g(x)＝ ax2－ 4x＋3、 f(x)＝13g(x)、因为 f(x)有最大值3、所以 g(x)应有最小值－1、a>0，所以必有3a－ 4＝－1，a解得 a＝ 1、即当 f(x)有最大值 3 时、 a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知、要使 y＝13g(x)的值域为 (0、＋∞ )、应使 g(x)＝ ax2－ 4x＋ 3 的值域为R、所以只好a＝0.(因为若 a≠0、则 g(x)为二次函数、其值域不行能为R)．故 a 的值为 0.指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单一性及中间值(0 或 1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单一性、要特别注意底数 a 的取值范围、并在必需时进行分类议论．(3)解决指数函数的综合问题时、要把指数函数的观点和性质同函数的其余性质(如奇偶性、周期性 )相联合、同时要特别注意底数不确准时、对底数的分类议论.1．已知 f(x) ＝ 2x ＋ 2－x、若 f(a)＝ 3、则 f(2a)等于 ( )A ． 5B ． 7C ． 9D ． 11分析： Ba－ aa－ aa－a[ 由 f(a)＝ 3 得 2 ＋2 ＝ 3、两边平方得22 ＋2 2 ＋2＝ 9、即 22 ＋22 ＝ 7、故f(2a)＝ 7.]2．(20xx ××·市一模 )已知 a ＝ 21.2、 b ＝ 1－0.8、c ＝ ln 2 、则 a 、b 、 c 的大小关系为 ()2A ． c ＜ a ＜ bB ． c ＜ b ＜ aC ． b ＜ a ＜ cD ． b ＜ c ＜a1 －分析： B[a ＝ 21.2＞ b ＝ 2 0.8 ＝20.8 ＞1＞ c ＝ ln 2 、故 a ＞ b ＞c 应选 B.]xax3．函数 y ＝ |x| (0< a<1)图象的大概形状是 ()分析： D [ 函数定义域为 { x|x ∈ R 、 x ≠0} 、且 y ＝xaxax ， x>0， 当 x>0 时、函数是＝|x|－ ax ，x<0.一个指数函数、因为0< a<1、所以函数在 (0、＋ ∞ )上是减函数；故清除 A 、 C ；当 x<0 时、函数图象与指数函数y ＝ a x (x<0,0<a<1) 的图象对于 x 轴对称、在 (－ ∞ 、 0)上是增函数．故清除 B.]4．若函数 f(x) ＝a |2x －4| 1、则 f(x)的单一递减区间是 ()(a>0、 a ≠ 1)、知足 f(1)＝ 9A ． (－∞、 2]B ． [2、＋∞ )C ． [－ 2、＋∞ )D ． (－∞、－ 2]分析： B[ 由 f(1)＝19、得 a 2＝19、∴a ＝ 1a ＝－ 1舍去 、即f(x)＝ 1|2x － 4|.因为 y ＝|2x － 4|在 (－ ∞ 、2] 上递减、在 [2、＋ ∞ )333 上递加、2 xx、 a≠ 1)在区间 [－ 1,1]上的最大值是14、则实数 a的值是 ( 5．若函数 y＝a ＋ 2a － 1(a>0)1A ． 3 B.311C．3或3D． 5或5分析： C [ 设 a x＝ t、则原函数的最大值问题转变为求对于t 的函数 y＝ t2＋ 2t－ 1 的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t＝－ 1、且张口向上、所以函数y＝ t2＋ 2t－ 1 在 t∈ (0、＋∞ )上是增函数．当a>1 时、 a－1≤t≤a、所以 t＝a 时、 y 获得最大值14、即 a2＋ 2a－ 1＝ 14、解得 a＝ 3(或－ 5、舍去 )；当 0< a<1 时、 a≤ t≤ a－1、所以 t＝ a－1时、 y 获得最大值14、即 a－2＋ 2a－1－ 1＝ 14、解得 a＝1或－1，舍去.综上、实数 a 的值为 3 或1、选 C.] 3537．设偶函数 f(x)知足 f(x) ＝2x－ 4(x≥ 0)、则 { x|f(x－ 2)>0} ＝ ____________.分析：∵ f(x)为偶函数、当x<0 时、 f(x)＝ f(－x)＝ 2－x－ 4.2x－ 4， x≥ 0，所以 f(x)＝2－ x－ 4， x<0，x－ 2≥0x－ 2<0有或2x－ 2－4>02－ x＋ 2－ 4>0当 f(x－ 2)>0 时、解得 x>4 或 x<0.所以 { x|f(x－ 2)>0} ＝ { x|x<0 或 x>4}答案： { x|x<0或 x>4}118．函数 y＝4x－2x＋ 1在 x∈[ －3,2] 上的值域是 ________．1 1分析： y＝4x－2x＋ 11 1＝2 x 2－2x＋ 1113＝2 x－22＋4、1 1因为 x∈ [ － 3,2] 、所以4≤2x≤ 8.1131当2x＝、即 x＝ 1 时 y min＝；当x＝ 8、即 x＝－ 3 时、 ymax＝ 57. 24211/123所以函数y 的值域为4，57 .3答案：4，5710．已知函数 f(x)＝4x＋m是奇函数．2x(1)求 m的值；(2)设 g(x)＝ 2x＋1－ a、若函数 f(x)与 g( x)的图象起码有一个公共点、务实数a的取值范围．分析： (1) 由函数 f(x)是奇函数可知 f(0) ＝1＋ m＝ 0、解得 m＝－ 1.(2)函数 f(x)与 g(x)的图象起码有一个公共点、4x － 1＋即方程2x ＝2x1－ a起码有一个实根、即方程4x－a·2x＋ 1＝ 0起码有一个实根．令 t ＝ 2x>0、则方程 t2－ at＋ 1＝ 0 起码有一个正根．方法一：因为 a＝ t＋1t≥ 2、∴ a的取值范围为 [2、＋∞ )．方法二：令 h(t)＝ t2－at＋1、因为 h(0) ＝1>0 、Δ≥0，∴只须a解得a≥ 2.∴ a的取值范围为[2、＋∞ )．2>0，12/12。

专题07 指数与指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂 （1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)m na a m n n =>∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,mnm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质： ①(0,,)r sr sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . （3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数. 一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ； (3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象与性质指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一 指数与指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 化简并求值：（1）)2934-⨯； （211113342a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）12；（2）ab. 【解析】（1）)92292334310343221255252----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．1．()2213021273(2)2=482--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________． 考向二 与指数函数有关的图象问题指数函数y =a x (a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y =f (x )沿x 轴、y 轴的变换为“上加下减，左加右减”．典例2 函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x =1时，y =a 1－a =0， 所以y =a x －a 的图象必过定点(1，0)， 结合选项可知选C.2．函数()2ex x f x -=的图像是A ．B ．C ．D ．考向三 指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．典例3 设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>Q，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >.从而b c a <<. 故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.3．设110e a =，ln b =1lg ec =（其中e 2.71828=L 是自然对数的底数），则 A ．c b a >> B ．a b c >> C ．a c b >>D ．b a c >>典例4 设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞U【答案】C【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1()712a -<， 即1()82a <，解得30a -<<； 当0a ≥时，不等式()1f a <可化为121a -<，所以01a ≤<．故a 的取值范围是(3,1)-. 故选C ．【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当0a <及0a ≥时，a 的取值范围，最后综合即可得出结果．4．若221m n >>，则 A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．π1m n ->考向四 指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论． 2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5 已知函数()11e 12x f x =-+，则f (x )是 A ．奇函数，且在R 上是增函数 B ．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数 C ．奇函数，且在R 上是减函数 D ．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数【答案】C【解析】易知函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()11e 1e 12e 12x xx f x --=-=-++， 则()()0f x f x -+=， 所以()f x 是奇函数， 显然函数()11e 12xf x =-+是减函数. 故选C ．5．若函数f (x )=3x ＋3－x 与g (x )=3x －3－x 的定义域均为R ，则A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数典例6 若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】D【解析】当2x ≤时，f （x ）＝2222x x --=，单调递减， ∴f （x ）的最小值为f (2)=1；当x ＞2时，f （x ）＝()2log x a +单调递增， 若满足题意，只需()2log 1x a +≥恒成立， 即2x a +≥恒成立， ∴max (2)a x ≥-，∴a ≥0. 故选D ． 典例7 函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为________．【答案】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-， 又由指数函数1()2ty =为单调递减函数， 知当1t ≥-时，02y <≤，即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．6．若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为 A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞ C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞1．计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3B ．2C ．2x +D ．12x +2．若函数f(x)={2x ,x <1−log 2x,x ≥1，则函数f(x)的值域是A ．(−∞,2)B ．[0,+∞)C ．(−∞,0)∪(0,2)D ．(−∞,2]3．设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．b c a <<4．函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(−∞,1)D ．(−∞,−1)5．函数()1(1)x x a y a x+=>的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．6．已知函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是A ．12 B ．13 C ．14D ．237．已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y> D ．33x y >8．已知函数()283640f x x x =-+-在[1,2)上的值域为A ，函数()2xg x a =+在[1,2)上的值域为B .若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是A ．[)4,-+∞B ．(]14,4--C ．[]14,4--D ．()14,-+∞9．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为 A ．)41,41(- B ．)21,21(-C ．)2,2(-D ．)1,1(-10．函数f(x)=log 2x +1与g(x)=2−x−1在同一平面直角坐标系下的图象大致是A ．B ．C ．D ．11．设函数()2af x x-=与()(1xg x a a =>且2a ≠)在区间()0+∞，上具有不同的单调性，则()0.21M a =-与0.11N a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．M N =B ．M N ≤C ．M N <D ．M N >12．定义新运算⊗：当m ≥n 时，m ⊗n =m ；当m <n 时，m ⊗n =n .设函数f (x )=[(2x ⊗2)−(1⊗log 2x )]⋅2x ，则f (x )在(0,2)上的值域为 A ．(0,12) B ．(0,12] C ．(1,12)D ．(1,12]13．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是 A ．()16,32 B ．()18,34 C ．()17,35D ．()6,714．已知函数2()1x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，则点P 的坐标为_______. 15．已知13a a-+=，则1122a a-+=__________.16．已知函数y =R ，则实数a 的取值范围是__________．17．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．18．已知14742a b c===，则111a b c-+=__________．19．若不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为________. 20．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点__________．21．已知函数()xf x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．22．（1）1423161)9--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）2log 351log lg 210025++.23．已知函数1()934x x f x m +=-⋅-.（1）若1m = ，求方程()0f x =的根；（2）若对任意[]1,1x ∈-，()8f x ≥-恒成立，求m 的取值范围.24．已知函数()242x x a af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．2．（2019年高考天津文数）已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<3．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<4．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 5．（2018年高考天津卷文科）已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>6．（2018年高考新课标I 卷文科）设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，7．（2017年高考北京卷）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数8．(2016年高考新课标Ⅲ卷文科) 已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．(2016年高考天津卷文科) 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是 A ．)21,(-∞ B ．),23()21,(+∞-∞Y C ．)23,21(D ．),23(+∞10．（2017年高考新课标Ⅲ卷文科）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .1．【答案】12【解析】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：()2213021273(2)2482--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2321322333=[()]2222--⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 344112992=--+=， 故答案为12.2．【答案】A【解析】由()2ex x f x -=，可得()01f =，排除选项C,D ；由指数函数图象的性质可得()0f x >恒成立，排除选项B ， 故选A.【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 3．【答案】B【解析】由题得1010ee 1a =>=，ln ln e 1,b =<=且b >0，1lg lg10ec =<=，所以a b c >>. 故选B.【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围，然后比较其大小即可.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4．【答案】D【解析】因为221mn>>，所以由指数函数的单调性可得m n >， 因为,m n 的符号不确定，所以0,0m n <<时可排除选项A 、B ；3,12m n ==时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断π1m n ->正确. 故选D ．【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 5．【答案】D【解析】因为f (－x )=3－x ＋3x =f (x )，g (－x )=3－x －3x =－g (x )，所以f (x )是偶函数，g (x )为奇函数. 故选D. 6．【答案】B【解析】由题得1222x xa <⋅-在（0,1）上恒成立， 设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数，所以()12111a f ≤=⨯-=. 故选B ．1．【答案】D【解析】原式11143333122122x x x x x --=⋅+⋅=+.故选D. 2．【答案】A【解析】因为x <1时，2x <2； x ≥1时，−log 2x ≤0， 所以函数f (x )的值域是(−∞,2). 故选A ． 3．【答案】B【解析】由0.6xy =的单调性可知： 1.50.600.60.60.61<<=，又0.601.5 1.51>=，c a b ∴>>. 故选B. 4．【答案】B【解析】由函数f(x)=(12)x 2−2x，结合复合函数的单调性知识可知，它的减区间，即为y =x 2−2x 的增区间．由二次函数的性质可得y =x 2−2x 的增区间为(1,+∞).故选B ． 5．【答案】A【解析】函数()1(1)x x a y a x+=>的定义域为()(),00,-∞+∞U ．当1x <-时，由题意可得0y <，故可排除B ，D ； 又当x →+∞时，由于1a >，故y →+∞，故排除C ． 故选A ．【名师点睛】由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行．解题时要注意以下几点： （1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除； （3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断． 6．【答案】B【解析】函数()2(0)xf x x =<的值域为01（，），即01D =（，）， 则在区间()1,2-上随机取一个数x x D ∈，的概率()101.213P -=--＝故选B ． 7．【答案】D【解析】由指数函数的性质得1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y ⇔>，对于A ，当3π3π44x y ==-，时，满足x y >，但tan tan x y >不成立． 对于B ，若()()22ln 2ln 1x y +>+，则等价为22x y >成立，当11x y ==-，时，满足x y >，但22x y >不成立．对于C ，当32x y ==，时，满足x y >，但11x y>不成立． 对于D ，当x y >时，33x y >恒成立. 故选D ．【名师点睛】利用指数函数即可得出,x y 的大小关系，进而判断出结论．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题．8．【答案】B【解析】因为()f x 在[1,2)上单调递增，所以[)12,0A =-， 又函数()2xg x a =+在[1,2)上单调递增，于是[)2,4B a a =++.因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， 故有21240a a +≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），得[]14,4a ∈--.故选B ． 9．【答案】D【解析】由题意得，当0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<； 又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0x <时，()2xf x =，则不等式21)(>x f ，即122x >，解得10x -<<， 所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<. 故选D ． 10．【答案】D 【解析】()+11122x x g x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，由指数函数的图象知，将函数y =(12)x 的图象向左平移一个单位，即可得到g(x)的图象，从而排除选项A,C ；将函数y =log 2x 的图象向上平移一个单位，即可得到f(x)=log 2x +1的图象，从而排除选项B. 故选D ． 11．【答案】D【解析】由题意，因为()2af x x -=与()xg x a =在区间()0,+∞上具有不同的单调性，则2a >， 所以()0.211M a =->，0.111N a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以M N >.故选D ． 12．【答案】C【解析】由题意得，函数f (x )=[(2x⊗2)−(1⊗log 2x )]⋅2x={2x ，0<x <122x−2x，1≤x <2，当x ∈(0,1)时，f (x )=2x ∈(1,2)； 当x ∈[1,2)时，f (x )=22x −2x ， 令t =2x ∈[2,4)，则2≤t 2−t <12， 故f (x )在(0,2)上的值域为(1,12). 故选C. 13．【答案】B【解析】画出函数()f x 的大致图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b+=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<． 故选B ．【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222a b+=；二是根据图象判断出c 的取值范围，进而得到16232c <<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围． 14．【答案】(2,2)【解析】由题意，令2x =，可得22()12f x a -=+=，所以函数2(2)1x f a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点(2,2)P .15【解析】由题意得21112223a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，∴211225a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11220a a-+>Q ，∴16．【答案】0a ≤【解析】Q 函数y =R ，∴20x a -≥恒成立， 即2x a ≤恒成立，20x >Q ，0a ∴≤，故答案为0a ≤.17．【解析】∵0(0)223f =+=， ∴[(0)](3)log 2a f f f ==， ∵[(0)]2f f =， ∴log 22a =， 又0,a >则a ．. 18．【答案】3【解析】由题设可得111214,27,24a b c===，则1121472a b-=÷=，即111113222422a ba b c--+=⇒=⨯=，即1113a b c-+=. 故答案为3. 19．【答案】−13【解析】设f(x)=−x 2+2x +3，不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立，只需满足f(x)max ≤21−3a 即可，f(x)=−x 2+2x +3=−(x −1)2+4⇒f(x)max =4，所以4≤21−3a ⇒a ≤−13， 因此实数a 的最大值为−13. 20．【答案】()1,3【解析】∵ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 图象的对称轴为π4x =，∴()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即b a -=， ∴0a b +=． 在13ax b y ++=中，令1x =，则133a b y ++==．∴函数13ax b y ++=的图象恒过定点()1,3．故答案为()1,3． 21．【答案】4【解析】当1a >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的图象过点(−1, −1)和点(0,0)，所以110a b a b -⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，该方程组无解； 当01a <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的图象过点(−1,0)和点(0, −1)，所以1001a b a b -⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以4b a =． 22．【答案】（1）2；（2）72【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得142316311)12944--⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭. （2）根据对数的运算性质，可得2log 351log lg ln 21725=212002+32-++=+． 23．【答案】（1）3log 4x =；（2）4(,]3-∞.【解析】（1）1m =时，12()934(3)3340x x x x f x +=--=-⋅-=，可得(34)(31)0xx-+=，30x Q >，34x ∴=，解得3log 4x =.（2）令3x t =，[]1,1x ∈-Q ，1[,3]3t ∴∈.由()8f x ≥-，可得2348t mt --≥-，43m t t ≤+对1[,3]3t ∈恒成立， 44t t +≥=，当且仅当4t t=，即2t =时，4t t +取得最小值为4，34m ∴≤，故43m ≤，m ∴的取值范围为4(,]3-∞.24．【答案】（1）2a =；（2）()1,1-；（3）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，即242422x x x xa a a a a a a a---+-+=-++. 整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（2）由（1）可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++， ∴函数()f x 在R 上单调递增， 又211x+>，∴22021x -<-<+， ∴211121x -<-<+．∴函数()f x 的值域为()1,1-．（3）当[]1,2x ∈时，()21021x xf x -=>+． 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【名师点睛】解决函数中恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为()a f x ≥（或()a f x ≤）恒成立的问题求解，此时只需求得函数()f x 的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．1．【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 2．【答案】A【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A .【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 3．【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 4．【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 5．【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<， 1131110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01b <<，133317log log 5log 52=>，即c a >， 综上可得：c a b >>. 故本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6．【答案】D【解析】将函数()f x 的图象画出来，观察图象可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，， 故选D ．【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现：若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果. 7．【答案】B【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数. 8．【答案】A【解析】因为423324a ==，1233255c ==，所以根据同一坐标系中指数函数的性质可得222333345<<，即b a c <<，故选A ．（本题也可利用函数23y x =在[0,)+∞上是增函数来判断）【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决． 9．【答案】C【解析】由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<⇒<<. 故选C.【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 10．【答案】1(,)4-+∞ 【解析】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >； 当102x <≤时，12112x x +-+>恒成立，即102x <≤； 当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤. 综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.。

课时跟踪检测(十) 指数与指数函数一、题点全面练1.3·332·612的化简结果为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 原式＝312·⎝ ⎛⎭⎪⎫3213·1216＝312·313·2-13·416·316＝312＋13＋16·211-+33＝3·20＝3.2.函数f ()＝a －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1,0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 法一：由题图可知0＜a ＜1，当＝0时，a －b ∈(0,1)，故－b ＞0，得b ＜0.故选D.法二：由图可知0＜a ＜1，f ()的图象可由函数y ＝a 的图象向左平移得到，故－b ＞0，则b ＜0.故选D.3．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a 3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ⎛⎫⎪⎝⎭21-33b -12-33＝－6ab －1＝－6a b ，故选C. 4．设＞0，且1＜b ＜a ，则( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b解析：选C 因为1＜b ，所以b 0＜b ， 因为＞0，所以b ＞1， 因为b ＜a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＞1，因为＞0，所以a b＞1，所以a ＞b ，所以1＜b ＜a .故选C.5．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝(2)43＝214×23＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由函数y ＝23在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ， 由函数y ＝2在R 上为增函数，得a ＞b ， 综上得c ＞a ＞b .故选A.6．函数f ()＝a ＋b －1(其中0＜a ＜1，且0＜b ＜1)的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由0＜a ＜1可得函数y ＝a 的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b ＜1，所以－1＜b －1＜0，所以0＜1－b ＜1，y ＝a 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a ＋b －1的图象，所以y ＝a ＋b －1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.7．已知函数f ()＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f ()是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当＞0时，f ()＝1－2－，－f ()＝2－－1，此时－＜0，则f (－)＝2－－1＝－f ()；当＜0时，f ()＝2－1，－f ()＝1－2，此时－＞0，则f (－)＝1－2－(－)＝1－2＝－f ()．即函数f ()是奇函数，且单调递增，故选C.8．二次函数y ＝－2－4(＞－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的交点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选C 因为二次函数y ＝－2－4＝－(＋2)2＋4(＞－2)，且＝－1时，y ＝－2－4＝3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2， 在坐标系中画出y ＝－2－4(＞－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.9．已知函数f ()＝－4＋9x ＋1，∈(0,4)，当＝a 时，f ()取得最小值b ，则函数g ()＝a |＋b |的图象为( )解析：选A 因为∈(0,4)，所以＋1＞1， 所以f ()＝－4＋9x ＋1＝＋1＋9x ＋1－5≥2 9x ＋1x ＋1－5＝1，当且仅当＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a ＝2，b ＝1，此时g ()＝2|＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数图象可以看作由函数y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2+2+x x 的单调递减区间为________．解析：设u ＝－2＋2＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2+2+x x 的单调递减区间即为函数u ＝－2＋2＋1的单调递增区间．又u ＝－2＋2＋1的单调递增区间为(－∞，1]， ∴f ()的单调递减区间为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]11．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-22x a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由指数函数的性质知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12是减函数，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-22x a 恒成立，所以2＋a ＞2＋a －2恒成立， 所以2＋(a －2)－a ＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)12．已知函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋123(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f ()的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f ()＞0在定义域上恒成立．解：(1)由于a －1≠0，则a ≠1，得≠0， ∴函数f ()的定义域为{|≠0}． 对于定义域内任意，有 f (－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x＋12(－)3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－)3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋123＝f ()， ∴函数f ()是偶函数． (2)由(1)知f ()为偶函数，∴只需讨论＞0时的情况，当＞0时，要使f ()＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x－1＋123＞0， 即1a x －1＋12＞0， 即a x ＋12a x －1＞0，则a ＞1. 又∵＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f ()＞0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设y ＝f ()在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数，定义f ()＝⎩⎨⎧f xf x K ，K ，f xK .给出函数f ()＝2＋1－4，若对于任意∈(－∞，1]，恒有f ()＝f ()，则( )A ．的最大值为0B ．的最小值为0C ．的最大值为1D ．的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意∈(－∞，1]，恒有f ()＝f ()，则f ()≤在≤1上恒成立，即f ()的最大值小于或等于即可．令2＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴≥1，故选D.2．已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：选B 由12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，得a ＞1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b，故2a ＜b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫22b＞14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b ＜4.由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b 2＜2，故1＜a ＜2,2＜b ＜4. 对于选项A 、B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)＞0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14，由于1＜a ＜2,2＜b ＜4，故该式的符号不确定，故C 、D 错误．故选B.3．设a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a 2＋2a －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a (a ＞0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1，∈[－1,1]时，t ＝a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )ma ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a ＞1时，∈[－1,1]，t ＝a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )ma ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与基本不等式交汇]设f ()＝e ,0＜a ＜b ，若p ＝f()ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝f a f b ，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q解析：选C ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又f ()＝e 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f a f b ＝e a e b ＝e－a b 2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.5．[与一元二次函数交汇]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1在区间[－3,2]上的值域是________．解析：令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因为∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y ma ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，576．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为R 的函数f ()＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－)＜0恒成立，求的取值范围． 解：(1)因为f ()是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f ()＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f ()＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f ()在R 上为减函数，又因为f ()是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－)＝f (－2t 2＋)．因为f ()是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋. 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －＞0， 从而Δ＝4＋12＜0，解得＜－13.故的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。

Earlybird课时跟踪检测(十) 指数与指数函数一、题点全面练3 31. 3· ·612的化简结果为( )2A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选 B 原式＝3132·(2 )1 3·1216＝3 12 ·3113 ·2 3 ·41 6 ·3 16＝3 12＋ 13 ＋ 11 1 - + 6 ·23 3＝3·20＝3. 2.函数 f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中 a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1,0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选 D 法一：由题图可知 0＜a ＜1，当 x ＝0时，a －b ∈(0,1)，故－b ＞0，得 b ＜ 0.故选 D.法二：由图可知 0＜a ＜1，f (x )的图象可由函数 y ＝a x 的图象向左平移得到，故－b ＞0， 则 b ＜0.故选 D.3．化简 4a2123 ·bab)3 ÷(－的结果为( )32a 8a A ．－ B ．－3b b6a C ．－D ．－6abb2解析：选 C 原式＝4÷ a(－3 )2 11-2- 6 a33bb3 3 ＝－6ab －1＝－，故选 C.4．设 x ＞0，且 1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b解析：选C因为1＜b x，所以b0＜b x，因为x＞0，所以b＞1，a因为b x＜a x，所以(b)x＞1，a因为x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.故选C.b4215．已知a＝( 2)3，b＝25，c＝93，则a，b，c的大小关系是() A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：选A a＝( 2) 43＝214×23＝223，b＝225，c＝913＝323，由函数y＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，得a＜c，由函数y＝2x在R上为增函数，得a＞b，综上得c＞a＞b.故选A.6．函数f(x)＝a x＋b－1(其中0＜a＜1，且0＜b＜1)的图象一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C由0＜a＜1可得函数y＝a x的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b＜1，所以－1＜b－1＜0，所以0＜1－b＜1，y＝a x的图象向下平移1－b个单位即可得到y＝a x＋b－1的图象，所以y＝a x＋b－1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.7．已知函数f(x)＝Error!则函数f(x)是()A．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析：选C易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x＜0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x＞0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.18．二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝(2 )x的交点有()A．3个B．2个C．1个D．0个选解：析C因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，1y＝(2 )x＝2，1在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝(2 )x的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.99．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)x＋1＝a|x＋b|的图象为()解析：选A因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，9 9 9所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2·x＋1－5＝1，x＋1 x＋1 x＋1当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，所以a＝2，b＝1，此时g(x)＝2|x＋1|＝Error!此函数图象可以看作由函数y＝Error!的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.110．函数f(x)＝2+2+1(2 )x x的单调递减区间为________．1 1解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝1x x2+2+(2 )(2 )的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]1 111．不等式(2 )(2 )x ax＜2x+a-2恒成立，则a的取值范围是________．2+Earlybird1解析：由指数函数的性质知 y ＝(2 )x是减函数，112 +因为(2 ) (2 )所以 x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立， 所以 x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立， 所以 Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即 a 的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)1112．已知函数 f (x )＝(＋ x 3(a ＞0，且 a ≠1)．a x －12)(1)讨论 f (x )的奇偶性；(2)求 a 的取值范围，使 f (x )＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于 a x －1≠0，则 a x ≠1，得 x ≠0， ∴函数 f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意 x ，有11 f (－x )＝((－x )3＋2)a－x －1a x1＝( 2)(－x )3 ＋ 1－a x11 ＝(－1－(－x )3＋2)a x －111＝(2)x 3＝f (x )， ＋ a x －1∴函数 f (x )是偶函数． (2)由(1)知 f (x )为偶函数，∴只需讨论 x ＞0时的情况，当 x ＞0时，要使 f (x )＞0，11则(x 3＞0，＋2)a x－11 1即＋＞0，a x－1 2a x＋1即＞0，则a x＞1. 2a x－1又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.Earlybird二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义f K(x)＝Error!给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有f K(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为0 B．K的最小值为0C．K的最大值为1 D．K的最小值为1解析：选D根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有f K(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.1 12 12．已知实数a，b满足2＞(2 )a＞(2 )b＞，则()4A．b＜2 b－a B．b＞2 b－aC．a＜b－a D．a＞b－a1 1 12 2 2 解析：选B由＞a，得a＞1，由a＞b，得2a＞b，2 (2 )(2 )(2 )(2 )(2 )2 1 2 2 b故2a＜b，由(2 )b＞4，得(2 )b＞(2 )4，得b＜4.由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜22，故1＜a＜2,2＜b＜4.对于选项A、B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)＞0恒成立，故A错误，B正确；1 1对于选项C，D，a2－(b－a)＝(a＋2 )2－(b＋4 )，由于1＜a＜2,2＜b＜4，故该式的符号不确定，故C、D错误．故选B.3．设a＞0，且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．解：令t＝a x(a＞0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t＞0)．1①当0＜a＜1，x∈[－1,1]时，t＝a x∈[a，a]，1此时f(t)在[a，a]上为增函数．1 1所以f(t)max＝f(a)＝(＋1 )2－2＝14.a1 1 1所以(＋1 )2＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.a 5 31②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝a x∈[，a]，aEarlybird1此时 f (t )在[，a ]上是增函数．a所以 f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得 a ＝3或 a ＝－5(舍去)． 1 综上得 a ＝ 或 3.3(二)交汇专练——融会巧迁移a ＋b4．[与基本不等式交汇]设 f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若 p ＝f ( ab )，q ＝f( 2 )，r ＝f a f b ，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qa ＋ba ＋b解 析：选 C ∵0＜a ＜b ，∴＞ ab ，又 f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f( 2 )2＞f ( ab )，即 q ＞p .又 r ＝ f af b ＝ e a e b ＝ea －b2 ＝q ，故 q ＝r ＞p .故选 C. 115．[与一元二次函数交汇]函数 y ＝(4 )x －(2 )x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．1解析：令 t ＝(2 )x ，1因为 x ∈[－3,2]，所以 t ∈[，8 ]，4 13 故 y ＝t 2－t ＋1＝(t －2 )2＋ . 41 3 当 t ＝ 时，y min ＝ ；2 4 当 t ＝8时，y max ＝57.3 故所求函数的值域为[，57].43 答案：[，57]4－2x ＋b6．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为 R 的函数 f (x )＝ 是奇函2x ＋1＋a数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，Earlybird－1＋b所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.2＋a－2x＋1从而有f(x)＝.2x＋1＋a1 －＋1－2＋1 2又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.4＋a1＋a－2x＋1 1 1(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，2x＋1＋2 2 2x＋1由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，1从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.31(－∞，－3).故k的取值范围为。

专题07 指数与指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. （4）知道指数函数是一类重要的函数模型.一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂 （1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)m na a m n n =>∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,mnm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质：①(0,,)r s r sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r srsa a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . （3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数. 一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ； (3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象与性质指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一 指数与指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 化简并求值：（1）)2934-⨯； （211113342a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）12；（2）ab.【解析】（1）)92292334310343221255252----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．1．()2213021273(2)2=482--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________． 考向二 与指数函数有关的图象问题指数函数y =a x (a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y =f (x )沿x 轴、y 轴的变换为“上加下减，左加右减”．典例2 函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x =1时，y =a 1－a =0， 所以y =a x －a 的图象必过定点(1，0)， 结合选项可知选C.2．函数()2ex x f x -=的图像是A ．B ．C ．D ．考向三 指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．典例3 设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>Q，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >. 从而bc a <<. 故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.3．设110e a =，ln b =1lg ec =（其中e 2.71828=L 是自然对数的底数），则 A ．c b a >> B ．a b c >> C ．a c b >>D ．b a c >>典例4 设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞U【答案】C【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1()712a -<， 即1()82a <，解得30a -<<； 当0a ≥时，不等式()1f a <可化为121a -<，所以01a ≤<．故a 的取值范围是(3,1)-. 故选C ．【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当0a <及0a ≥时，a 的取值范围，最后综合即可得出结果．4．若221m n >>，则 A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．π1m n ->考向四 指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论． 2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5 已知函数()11e 12xf x =-+，则f (x )是 A ．奇函数，且在R 上是增函数 B ．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数 C ．奇函数，且在R 上是减函数 D ．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数【答案】C【解析】易知函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()11e 1e 12e 12x xx f x --=-=-++， 则()()0f x f x -+=， 所以()f x 是奇函数， 显然函数()11e 12x f x =-+是减函数.故选C ．5．若函数f (x )=3x ＋3－x 与g (x )=3x －3－x 的定义域均为R ，则A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数典例6 若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】D【解析】当2x ≤时，f （x ）＝2222x x --=，单调递减， ∴f （x ）的最小值为f (2)=1；当x ＞2时，f （x ）＝()2log x a +单调递增， 若满足题意，只需()2log 1x a +≥恒成立， 即2x a +≥恒成立， ∴max (2)a x ≥-，∴a ≥0. 故选D ． 典例7 函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为________．【答案】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-， 又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，知当1t ≥-时，02y <≤， 即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．6．若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为 A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞ C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞1．计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3B ．2C ．2x +D ．12x +2．若函数f(x)={2x ,x <1−log 2x,x ≥1，则函数f(x)的值域是A ．(−∞,2)B ．[0,+∞)C ．(−∞,0)∪(0,2)D ．(−∞,2]3．设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．b c a <<4．函数f(x)=(12)x 2−2x的单调递减区间为A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(−∞,1)D ．(−∞,−1)5．函数()1(1)x x a y a x+=>的图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．6．已知函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是A ．12 B ．13 C ．14D ．237．已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y> D ．33x y >8．已知函数()283640f x x x =-+-在[1,2)上的值域为A ，函数()2xg x a =+在[1,2)上的值域为B .若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是A ．[)4,-+∞B ．(]14,4--C ．[]14,4--D ．()14,-+∞9．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为 A ．)41,41(- B ．)21,21(-C ．)2,2(-D ．)1,1(-10．函数f(x)=log 2x +1与g(x)=2−x−1在同一平面直角坐标系下的图象大致是A ．B ．C ．D ．11．设函数()2af x x-=与()(1xg x a a =>且2a ≠)在区间()0+∞，上具有不同的单调性，则()0.21M a =-与0.11N a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．M N =B ．M N ≤C ．M N <D ．M N >12．定义新运算⊗：当m ≥n 时，m ⊗n =m ；当m <n 时，m ⊗n =n .设函数f (x )=[(2x ⊗2)−(1⊗log 2x )]⋅2x ，则f (x )在(0,2)上的值域为 A ．(0,12) B ．(0,12] C ．(1,12)D ．(1,12]13．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是 A ．()16,32 B ．()18,34 C ．()17,35D ．()6,714．已知函数2()1x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，则点P 的坐标为_______. 15．已知13a a-+=，则1122a a-+=__________.16．已知函数y =R ，则实数a 的取值范围是__________．17．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．18．已知14742a b c ===，则111a b c-+=__________． 19．若不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为________. 20．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点__________．21．已知函数()xf x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．22．（1）1423161)9--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）2log 351log lg 210025++.23．已知函数1()934x x f x m +=-⋅-.（1）若1m = ，求方程()0f x =的根；（2）若对任意[]1,1x ∈-，()8f x ≥-恒成立，求m 的取值范围.24．已知函数()242x x a af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.1．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<2．（2019年高考天津理数）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │4．（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）6．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =<I B ．A B =R UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I7．（2017年高考北京卷理科）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数8．(2016年高考新课标Ⅲ卷理科)已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .10．（2016年高考天津卷理科）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是.1．【答案】12【解析】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：()2213021273(2)2482--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2321322333=[()]2222--⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦344112992=--+=， 故答案为12.2．【答案】A【解析】由()2ex x f x -=，可得()01f =，排除选项C,D ；由指数函数图象的性质可得()0f x >恒成立，排除选项B ， 故选A.【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 3．【答案】B【解析】由题得1010ee 1a =>=，ln ln e 1,b =<=且b >0，1lg lg10ec =<=，所以a b c >>. 故选B.【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围，然后比较其大小即可.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4．【答案】D【解析】因为221mn>>，所以由指数函数的单调性可得m n >， 因为,m n 的符号不确定，所以0,0m n <<时可排除选项A 、B ；3,12m n ==时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断π1m n ->正确. 故选D ．【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 5．【答案】D【解析】因为f (－x )=3－x ＋3x =f (x )，g (－x )=3－x －3x =－g (x )， 所以f (x )是偶函数，g (x )为奇函数. 故选D. 6．【答案】B【解析】由题得1222x x a <⋅-在（0,1）上恒成立， 设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数，所以()12111a f ≤=⨯-=. 故选B ．1．【答案】D【解析】原式11143333122122x x x x x --=⋅+⋅=+.故选D. 2．【答案】A【解析】因为x <1时，2x <2； x ≥1时，−log 2x ≤0， 所以函数f (x )的值域是(−∞,2). 故选A ． 3．【答案】B【解析】由0.6xy =的单调性可知： 1.50.600.60.60.61<<=， 又0.601.5 1.51>=，c a b ∴>>. 故选B. 4．【答案】B【解析】由函数f(x)=(12)x 2−2x，结合复合函数的单调性知识可知，它的减区间，即为y =x 2−2x 的增区间．由二次函数的性质可得y =x 2−2x 的增区间为(1,+∞). 故选B ． 5．【答案】A 【解析】函数()1(1)x x a y a x+=>的定义域为()(),00,-∞+∞U ．当1x <-时，由题意可得0y <，故可排除B ，D ； 又当x →+∞时，由于1a >，故y →+∞，故排除C ． 故选A ．【名师点睛】由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行．解题时要注意以下几点： （1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除； （3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断． 6．【答案】B【解析】函数()2(0)xf x x =<的值域为01（，），即01D =（，）， 则在区间()1,2-上随机取一个数x x D ∈，的概率()101.213P -=--＝故选B ． 7．【答案】D【解析】由指数函数的性质得1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y ⇔>，对于A ，当3π3π44x y ==-，时，满足x y >，但tan tan x y >不成立． 对于B ，若()()22ln 2ln 1x y +>+，则等价为22x y >成立，当11x y ==-，时，满足x y >，但22x y >不成立．对于C ，当32x y ==，时，满足x y >，但11x y>不成立． 对于D ，当x y >时，33x y >恒成立. 故选D ．【名师点睛】利用指数函数即可得出,x y 的大小关系，进而判断出结论．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题． 8．【答案】B【解析】因为()f x 在[1,2)上单调递增，所以[)12,0A =-， 又函数()2xg x a =+在[1,2)上单调递增，于是[)2,4B a a =++.因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，故有21240a a +≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），得[]14,4a ∈--.故选B ． 9．【答案】D【解析】由题意得，当0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<； 又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0x <时，()2xf x =，则不等式21)(>x f ，即122x >，解得10x -<<， 所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<. 故选D ． 10．【答案】D 【解析】()+11122x x g x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，由指数函数的图象知，将函数y =(12)x 的图象向左平移一个单位，即可得到g(x)的图象，从而排除选项A,C ；将函数y =log 2x 的图象向上平移一个单位，即可得到f(x)=log 2x +1的图象，从而排除选项B. 故选D ． 11．【答案】D【解析】由题意，因为()2af x x -=与()xg x a =在区间()0,+∞上具有不同的单调性，则2a >， 所以()0.211M a =->，0.111N a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以M N >.故选D ． 12．【答案】C【解析】由题意得，函数f (x )=[(2x⊗2)−(1⊗log 2x )]⋅2x={2x ，0<x <122x−2x，1≤x <2，当x ∈(0,1)时，f (x )=2x ∈(1,2)； 当x ∈[1,2)时，f (x )=22x −2x ， 令t =2x ∈[2,4)，则2≤t 2−t <12， 故f (x )在(0,2)上的值域为(1,12). 故选C. 13．【答案】B【解析】画出函数()f x 的大致图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<． 故选B ．【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222a b+=；二是根据图象判断出c 的取值范围，进而得到16232c <<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围． 14．【答案】(2,2)【解析】由题意，令2x =，可得22()12f x a -=+=，所以函数2(2)1x f a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点(2,2)P .15【解析】由题意得21112223a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，∴211225a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11220a a -+>Q ，∴16．【答案】0a ≤【解析】Q 函数y =R ，∴20x a -≥恒成立， 即2x a ≤恒成立，20x >Q ，0a ∴≤，故答案为0a ≤.17．【解析】∵0(0)223f =+=， ∴[(0)](3)log 2a f f f ==， ∵[(0)]2f f =， ∴log 22a =， 又0,a >则a ．. 18．【答案】3【解析】由题设可得111214,27,24a b c===，则1121472a b-=÷=，即111113222422a ba b c--+=⇒=⨯=，即1113a b c-+=. 故答案为3. 19．【答案】−13【解析】设f(x)=−x 2+2x +3，不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立，只需满足f(x)max ≤21−3a 即可，f(x)=−x 2+2x +3=−(x −1)2+4⇒f(x)max =4， 所以4≤21−3a ⇒a ≤−13， 因此实数a 的最大值为−13. 20．【答案】()1,3【解析】∵ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 图象的对称轴为π4x =，∴()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即b a -=， ∴0a b +=． 在13ax b y ++=中，令1x =，则133a b y ++==．∴函数13ax b y ++=的图象恒过定点()1,3．故答案为()1,3． 21．【答案】4【解析】当1a >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的图象过点(−1, −1)和点(0,0)，所以11a b a b -⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，该方程组无解； 当01a <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的图象过点(−1,0)和点(0, −1)，所以1001a b a b -⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以4b a =． 22．【答案】（1）2；（2）72【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得142316311)12944--⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭. （2）根据对数的运算性质，可得2log 351log lg ln 21725=212002+32-++=+． 23．【答案】（1）3log 4x =；（2）4(,]3-∞.【解析】（1）1m =时，12()934(3)3340xx x x f x +=--=-⋅-=，可得(34)(31)0xx-+=，30x Q >，34x ∴=，解得3log 4x =.（2）令3x t =，[]1,1x ∈-Q ，1[,3]3t ∴∈.由()8f x ≥-，可得2348t mt --≥-，43m t t ≤+对1[,3]3t ∈恒成立，44t t +≥=，当且仅当4t t=，即2t =时，4t t +取得最小值为4，34m ∴≤，故43m ≤，m ∴的取值范围为4(,]3-∞.24．【答案】（1）2a =；（2）()1,1-；（3）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，即242422x x x xa a a a a a a a---+-+=-++. 整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（2）由（1）可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++， ∴函数()f x 在R 上单调递增， 又211x+>，∴22021x -<-<+， ∴211121x -<-<+．∴函数()f x 的值域为()1,1-．（3）当[]1,2x ∈时，()21021x xf x -=>+． 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【名师点睛】解决函数中恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为()a f x ≥（或()a f x ≤）恒成立的问题求解，此时只需求得函数()f x 的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．1．【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 2．【答案】A【解析】因为551log 2log 2a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.20.50.50.5c <=<，即112c <<， 所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3．【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 4．【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 5．【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 6．【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<， 所以{|1}{|0}A B x x x x =<<I I {|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<U U .故选A. 7．【答案】A【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数. 8．【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<. 故选A ．9．【答案】1(,)4-+∞【解析】由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112xx +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.10．【答案】13(,)22【解析】由题意知()f x 在(0,)+∞上单调递减， 又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<即112a -<，解得1322a <<，即a 的取值范围为13(,)22．。