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§2.2 解析函数和调和函数的关系 教学目的：弄清调和函数与共轭调和函数的概念，能理解并掌握解 析函数与调和函数的关系；并能灵活利用常用得三种方法 （不定积分法、偏积分法、曲线积分法）求以调和函数为实 部或虚部的解析函数．重点：不定积分法和偏积分法求解析函数．难点：曲线积分法求解析函数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§2.2.1 调和函数的概念调和函数是有着广泛实际应用的一类函数（平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是特殊的二元实函数，即调和函数），它与解析函数有着密切的联系．本节，我们将详细地介绍解析函数与调和函数的关系，并介绍利用调和函数来求解析函数的若干方法.【定义2.3】 若二元实函数(,)H x y 在区域D 内具有二阶连续的偏导数,且满足二维拉普拉斯方程（Laplace ）22220H H x y∂∂+=∂∂，则称(,)H x y 为D 内的调和函数（或称(,)H x y 在D 内调和），称为拉普拉斯算子. 【定理2.3 】 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析, 则()f z 的实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 都是D 内的调和函数. 证 ()f z 在区域D 内解析,所以(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，且在D 内满足C-R 方程u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂，由解析函数的无穷可微性知(,)u x y 和(,)v x y 在D 内都具有任意阶连续的偏导数,从而也具有二阶连续的偏导数 222u v x y x ∂∂=∂∂∂ 222u v y x y∂∂=-∂∂∂， 所以2222220u u v v x y x y y x ∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂；同理可证22220v v x y∂∂+=∂∂. 故实部 (,)u x y 和虚部 (,)v x y 都是D 内的调和函数.§2.2.2 共轭调和函数【义2.4】 若(,)u x y ,(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,且在D 内满足柯西—黎曼方程, 即 u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 则称(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.下面研究复变函数的实部、虚部两个二元实函数与调和函数的关系.【定理2.4】若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.证明 （必要性） 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内解析， (,)u x y 和(,)v x y 都是D 内的调和函数,且满足柯西—黎曼条件所以 在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.（充分性）在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.所以 (,)v x y ，(,)u x y 具有二阶连续偏导数且满足C R -方程 所以(,)v x y ，(,)u x y 具有一阶连续偏导数且满足C R -方程 故 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析.注：10.由解析函数的无穷可微性知,若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析,则()f z 的任意阶导数在区域D 内也解析,从而 (,)u x y 和(,)v x y 的任意阶偏导数也都是D 内的调和函数.20.两个二元实函数(,)u x y 和(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,不一定能保证复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析. 20的反例：易证(,)u x y x =,(,)v x y y =-都是平面上的调和函数, 但 ()f z x iy z =-=在平面上处处不解析.30.由第二章的解析函数的判别法知,设(,)u x y 和(,)v x y 都是定义在区域D 内的二元实函数,若(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数,则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内一定解析.提问：1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，则下列命题中错误的是（ C ）A 、v u ,均为调和函数B 、v 是u 的共轭调和函数C 、v u 是的共轭调和函数D 、v u 是-的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. （ × ）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. （ √ ） §2.2.3 解析函数与调和函数的关系根据定理2.4来建立单连通区域内解析函数的一种求法.假设D 是一个单连通区域, (,)u x y 是D 内的一个调和函数,即 (,)u x y 在D 内具有二阶连续的偏导数,并且22220u u x y ∂∂+=∂∂ 从而u y ∂-∂,u x∂∂在D 内具有一阶连续的偏导数, ()()u u y y x x∂∂∂∂-=∂∂∂∂（曲线积分与路径无关的条件）. 再由高数中有关曲线积分与路径无关的条件得, 存在D 内的二元函数(,)v x y ,使得 (,)u u dv x y dx dy y x∂∂=-+∂∂, 于是 00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰, 其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.另外我们还有u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 即(,)u x y 和(,)v x y 在D 内满足柯西—黎曼条件, 从而易得 2222220v v u u x y y x x y∂∂∂∂+=-+=∂∂∂∂∂∂ 所以 (,)v x y 也是D 内的调和函数,并且(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.故 由定理2.4, 我们构造函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+, ()f z 就是D 内以(,)u x y 为实部的解析函数.【定理】※（1）若(,)u x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)v x y , 使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.（2）同理可得 若(,)v x y 是单连通区域D 内的一个调和函数,则一定存在函数(,)u x y ,使得 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+为D 内的解析函数, 并且还有00(,)(,)(,)x y x y v v u x y dx dy C y x∂∂=-+∂∂⎰,其中00(,)x y 是D 内的一个定点, (,)x y 是D 内的一个动点, C 是任意实常数.注: 此定理给出了已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部),从而求出解析函数的一种方法――曲线积分法.由解析函数的实部或虚部求解析函数的举例例1 证明32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数, 并求以 (,)u x y 为实部的解析函数()f z ,使得(0)f i =.证明： 因为2233u x y x ∂=-∂,6u xy y ∂=-∂,226u x x ∂=∂,226u x y ∂=-∂, 32(,)3u x y x xy =-为正式函数，所以有二阶连续偏导数，所以 22220u u x y∂∂+=∂∂, 即32(,)3u x y x xy =-是平面上的调和函数.下面，我们用三种方法来求满足题设条件的解析函数.方法1: （曲线积分法）由补充定理知取00(,)(0,0)x y =,（如图3.20）(,)(0,0)(,)x y u u v x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰ (,)22(0,0)6(33)x y xydx x y dy C =+-+⎰ 220060(33)x yx dx x y dy C =⋅+-+⎰⎰233x y y C =-+所以 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+,再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法2（微分方程中的常数变异法或称偏积分法）由C R -条件得 2233v u x y y x∂∂==-∂∂ ------------ (Ⅰ) (6)6v u xy xy x y∂∂=-=--=∂∂ ----------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)积分得 22(,)(33)v x y x y dy =-⎰233()x y y x ϕ=-+ ----------- (Ⅲ) 求(Ⅲ)对x 的偏导数代入(Ⅱ)得 6()6xy x xy ϕ'+= , 即 ()0x ϕ'=, 所以 ()x C ϕ=(常数),从而 23(,)3v x y x y y C =-+,所求解析函数为 3223()3(3)f z x xy i x y y C =-+-+. 再由条件(0)f i =,可得1C =.故 32233()3(31)f z x xy i x y y z i =-+-+=+.方法3（不定积分法）：..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂, 其中 1()2x z z =+, 1()2y z z i =- 因为 2233u x y x∂=-∂,6u xy y ∂=-∂， 由解析函数的导数公式: ..()C R u v u u f z i i x xx y ∂∂∂∂'=+=-∂∂∂∂ 得 ()u u f z i x y∂∂'=-∂∂ 222233(6)336x y i xy x y i xy =---=-+ 将1()2x z z =+, 1()2y z z i=- 代入上式 整理得 222()3363f z x y i xy z '=-+= ， 所以 3()f z z C =+再由条件(0)f i =,可得C i =. 故 3()f z z i =+.说明：从例1中所给的三种方法中，大家不难体会到，三种方法各有特点：方法1利用了高数中的第二型曲线积分的计算方法；方法2利用了求解微分方程的方法（常数变异法）；方法3是纯粹的复变函数的方法.在实际计算时可以根据具体的问题选择合适的方法计算.例2 设),(,()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，且已知y x y x v y x u +=-),(),(,求函数()f z .解：方程y x y x v y x u +=-),(),(两边分别对y x ,求偏导数得：110111C R x y x x x y y y x y u u u v u u v u u u -+=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩方程， 由0x u =得： )(),(y g y x u = 代入1y u =得：1)(='y g ， C y y g +=)(（C 为任意常数）从而C y y x u +=),(，(,)(,)()v x y u x y x y x C =-+=-+，所求函数为：C i iz C x i C y iv u z f )1()()(++-=+-++=+= 练习：（1）已知调和函数y x u )1(2-=,i f -=)2(,求解析函数iv u z f +=)(.解：用不定积分法求解如下：2x u y =，22y u x =-，()2(22)2(1)x y f z u iu y i x i z '=-=--=--221()2(1)2(1)(1)2f z i z dz i z C i z C =--=-⨯-+=--+⎰ 由i f -=)2(得 2(21)i C i --+=-，0=C ，所以：2()(1)f z i z =--（2） 已知 22()yi f z u x y=++是解析函数，且(2)0f =，求()f z .解：22222()x y x y u v x y -''==+，2222()y x xy u v x y ''=-=+ 对此，用偏积分求u 比较方便：2222()()()y xdy u u dy g x g x x y =+=++⎰⎰22()x g x x y=-++ 将积分结果求对x 的偏导数得 22(,)()x u x y g x x y=-++ 2222212(),()x x u g x x y x y -'=++++()0,()g x g x c '== 所以 2222()x yi f z c x y x y =-++++ 1(2)02f c =-+= 得12c =，11()2f z z=- . 例3 证明(,)arctan y v x y x = (0x >)在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为22v y x x y ∂-=∂+,22v x y x y∂=∂+, 则 222222()v xy x x y ∂=∂+, 222222()v xy y x y ∂-=∂+, 从而 22220v v x y ∂∂+=∂∂, 故(,)arctany v x y x = 是右半平面内的调和函数.下面用方法2(微分方程中的常数变异法)来求解析函数的实部(,)u x y .由C R -条件得22u v x x y x y ∂∂==∂∂+ -------------- (Ⅰ)2222u v y y y x x y x y ∂∂-=-=-=∂∂++ -------------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 221(,)ln()()2u x y x y y ϕ=++ 代入(Ⅱ)得2222()y yy x y x y ϕ'+=++, 即()0y ϕ'=,从而 ()y C ϕ=(常数), 221(,)ln()2u x y x y C =++. 故 所求解析函数为221()ln()arctan 2y f z x y C i x=+++(0x >)ln arg ln z C i z z C =++=+ (Re 0z >). 例4 已知调和函数 (cos sin )xv e y y x y x y =+++，求一个解析函数 ()f z u iv =+使(0)0f =. 解(不定积分法) 因为(cos sin sin )1x ve y y x y y x∂=+++∂，(cos sin cos )1x ve y y y x y y∂=-++∂ 所以 ..()C R u v v v f z i i x x y x∂∂∂∂'=+=+∂∂∂∂(cos sin cos )1xe y y y x y =-+++ [(cos sin sin )1]xi e y y x y y +++1z z ze e i =+++，积分得 ()(1)zf z ze i z C =+++，由(0)0f =得0C =， 故 ()f z 1z zze e i =+++.例5 已知调和函数 22u x y xy =-+， 求一个解析函数()f z u iv =+使()1f i i =-+.解2ux y x∂=+∂，2u y x y ∂=-+∂ ..()2(2)2C R u v u uf z i i x y i y x z iz x x x y∂∂∂∂'⇒=+=-=++-=-∂∂∂∂，积分得 21()(2)2f z i z C =-+，由()1f i i =-+得2iC =， 故 2()122i i f z z ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 练习： 已知 22()(4)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数 ()f z u iv =+.解 ：2222(4)()(24)2(4)()(42)2,x x y y x x y xu v x xy y x y x y u v x xy y x y x y u v u v ⎧+=+++-+-⎪+=+++-+-⎨⎪==-⎩226332x yv xyv x y =⎧⎪⇒⎨=--⎪⎩ 222()332632v vf z i x y i xy z y x∂∂'⇒=+=--+=-∂∂， 积分得 3()2f z z z C ⇒=-+.例6 若()f z u iv =+为解析函数，且满足892003u v +=， 试证：()f z 必为常数.解 对892003u v +=分别求对,x y 的导数得128900890()0x x x y y y xy u v u u u C u v f z C v v v C C R ⎧+===⎧=⎧⎪⎪+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨===⎪⎩⎪⎩-⎩方程（常数）. 例7 求调和函数(,)x y xy φ= 的共轭调和函数. 提示 设解析函数()(,)(,),(,),(,)x y y x f z x y iv x y v x y x v x y y φφφ=+=-===2(,)()2x y v x y dy ydy g x φ===+⎰⎰，2(,)()()2x y x v x y g x x g x c φ'==-=-⇒=-+故 (,)x y xy φ= 的共轭调和函数221(,)()2v x y y x c =-+. 例8 证明：函数2222,y x xv y x u +=-=都是调和函数，但iv u z f +=)(不是解析函数.证明：y u x u y x 2,2-== ,2,2-==yy xx u u()()222222222,y xxyv y xy x v y x +-=+-=()()222322232,2yxy v yxy v yy xx +-=+=0=+∴yy xx u u 0=+yy xx v v 即u 是复平面上的调和函数，v 除原点外在复平面上调和。
