2014-2015年湖北省武汉市部分重点中学高二(下)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．612．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则x∈A∩B的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过3次而接通电话的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③5．（5分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为（）P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x∈[0，1]，则输出的x的范围是（）A．[1，3]B．[3，7]C．[7，15] D．[15，31]7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．8．（5分）设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π9．（5分）如表是一位母亲给儿子作的成长记录：年龄/周岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1根据以上样本数据，她建立了身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为=7.19x+73.93，给出下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本的中心点（6，117.1）；③儿子10岁时的身高是145.83cm；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设点P是函数y=﹣图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为（）A．﹣2 B．C．﹣2 D．﹣2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是．12．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是．13．（5分）过点（1，2）引圆x2+y2=1的两条切线，则这两条切线与x轴，y轴所围成的四边形的面积是．14．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是．（把你认为正确的结论都填上）①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值是；⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．15．（5分）已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是（写出所以正确命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求：（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的概率；（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率；（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的概率．17．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B两点．（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程．18．（12分）为了分析某次考试数学成绩情况，用简单随机抽样从某班中抽取25名学生的成绩（百分制）作为样本，得到频率分布表如下：分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数239a1频率0.080.120.36b0.04（Ⅰ）求样本频率分布表中a，b的值，并根据上述频率分布表，在下表中作出样本频率分布直方图；（Ⅱ）计算这25名学生的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求至少有1人的成绩在[60，70）中的概率．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥AB；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A为45°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．（Ⅲ）若PA=kAB，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．20．（13分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上．（Ⅰ）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线与圆M 交于不同的两点C，D，且|OC|=|OD|，求圆M的方程；（Ⅲ）设直线与（Ⅱ）中所求圆M交于点E、F，P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线GH过定点．2014-2015学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则x∈A∩B的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣2＜0}=（﹣1，2），=（﹣2，1），所以A∩B={x|﹣1＜x＜1}，所以在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为，故选：A．3．（5分）某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过3次而接通电话的概率为（）A．B．C．D．【解答】解；∵数值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个数字，∴每次拨对号码的概率为，∴拨号不超过3次而接通电话的概率为=，故选：B．4．（5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是=84，∴①是正确的；众数是83，②是不正确的；=85，∴③是正确的．极差是91﹣78=13，④不正确的．故选：D．5．（5分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为（）P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%【解答】解：∵K2=8.01＞6.635，对照表格：P（k2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．故选：C．6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x∈[0，1]，则输出的x的范围是（）A．[1，3]B．[3，7]C．[7，15] D．[15，31]【解答】解：执行程序框图，有x∈[0，1]，n=1满足条件n≤3，有x∈[1，3]，n=2满足条件n≤3，有x∈[3，7]，n=3满足条件n≤3，有x∈[7，15]，n=4不满足条件n≤3，输出x的值．故选：C．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，它们的底面直径均为2，故底面半径为1，圆柱的高为1，半圆锥的高为2，故圆柱的体积为：π×12×1=π，半圆锥的体积为：×=，故该几何体的体积V=π+=，故选：B．8．（5分）设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【解答】解：∵A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，∴可以判断：以AB、AC、AD为棱长的长方体，∴体对角线长为==6，外接球的直径为6，半径为3，∴球的表面积为4π×32=36π，故选：A．9．（5分）如表是一位母亲给儿子作的成长记录：年龄/周岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1根据以上样本数据，她建立了身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为=7.19x+73.93，给出下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本的中心点（6，117.1）；③儿子10岁时的身高是145.83cm；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；线性回归方程为=7.19x+73.93，①7.19＞0，即y随x的增大而增大，y与x具有正的线性相关关系，①正确；②回归直线过样本的中心点为（6，117.1），②正确；③当x=10时，=145.83，此为估计值，所以儿子10岁时的身高的估计值是145.83cm而不一定是实际值，③错误；④回归方程的斜率为7.19，则儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm，④正确，故选：C．10．（5分）设点P是函数y=﹣图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为（）A．﹣2 B．C．﹣2 D．﹣2【解答】解：由函数y=﹣得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|min=|CA|﹣2=，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．（5分）某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是47．【解答】解：根据系统抽样方法的特征，知；第5组抽出的号码为22，即（5﹣1）×5﹣x=22，∴x=2，即第1组抽出的号码是2；∴第10组抽出的号码应是（10﹣1）×5+2=47．故答案为：47．12．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，∵，∴，得：，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC =S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故答案为：13．（5分）过点（1，2）引圆x2+y2=1的两条切线，则这两条切线与x轴，y轴所围成的四边形的面积是．【解答】解：由题意易知x=1是圆的一条切线，设另一条切线斜率为k，则切线方程为：kx﹣y+2﹣k=0，那么切线为：3x﹣4y+5=0．当x=0时y=则这两条切线与x轴，y轴所围成的四边形的面积：（2+）×=故答案为：14．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．（把你认为正确的结论都填上）①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值是；⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确．由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确．AC1与底面ABCD所成角的正切值为=，故③不正确．取B1D1的中点M，则∠CMC1即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1===，故④正确．由于异面直线AD与CB1成45°的二面角，如图，过A1作MN∥AD、PQ∥CB1，设MN与PQ确定平面α，∠PA1M=45°，过A1在面α上方作射线A1H，则满足与MN、PQ 成70°的射线A1H有4条：满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条，满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条，满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条，满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条．故满足与MN、PQ 成70°的直线有4条，故过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．故答案为①②④．15．（5分）已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是①②（写出所以正确命题的编号）【解答】解：∵圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1恒过定点O（0，0）直线l：y=kx也恒过定点O（0，0），∴①正确；圆心M（﹣cosθ，sinθ）圆心到直线的距离d==≤1，∴对任意实数k和θ，直线l和圆M的关系是相交或者相切，∴②正确，③④都错误．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，从中任取3枝，求：（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的概率；（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率；（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的概率．【解答】解：记3枝一等品为A，B，C，2枝二等品为D，E，1枝三等品为F．从6枝圆珠笔中任取3枝的方法有20种（列举略）．（Ⅰ）取出的3枝中恰有1枝一等品的方法有9种（列举略），所以，所求概率．…（4分）（Ⅱ）取出的3枝中一、二、三等品各一枝的概率的方法有6种（列举略），所以，所求概率…（8分）（Ⅲ）取出的3枝中没有三等品的方法有10种（列举略），所以，所求概率．…（12分）17．（12分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0，且直线l与圆C交于A、B两点．（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程．【解答】解：（1）由于半径r=，|AB|=，∴弦心距d=，再由点到直线的距离公式可得d==，解得m=±．故直线的斜率等于±，故直线的倾斜角等于或．（2）设点A（x1，mx1﹣m+1），点B（x2，mx2﹣m+1 ），由题意2=，可得2（1﹣x1，﹣mx1+m ）=（x2﹣1，mx2﹣m ），∴2﹣2x1=x2﹣1，即2x1+x2=3．①再把直线方程y﹣1=m（x﹣1）代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，化简可得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，由根与系数的关系可得x1+x2=②．由①②解得x1=，故点A的坐标为（，）．把点A的坐标代入圆C的方程可得m2=1，故m=±1，故直线L的方程为x﹣y=0，或x+y﹣2=0．18．（12分）为了分析某次考试数学成绩情况，用简单随机抽样从某班中抽取25名学生的成绩（百分制）作为样本，得到频率分布表如下：分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数239a1频率0.080.120.36b0.04（Ⅰ）求样本频率分布表中a，b的值，并根据上述频率分布表，在下表中作出样本频率分布直方图；（Ⅱ）计算这25名学生的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求至少有1人的成绩在[60，70）中的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵频数总数是2+3+9+a+1=25，∴a=10；又∵成绩在[80，90）的频率是，∴b=0.4；画出频率分布直方图如下：；…（5分）（Ⅱ）这25名学生的平均数为；方差为+（85﹣77）2×10+（95﹣77）2×1]=；或s2=（﹣22）2×0.08+（﹣12）2×0.12+（﹣2）2×0.36+8×0.4+18×0.04=96；…（9分）（Ⅲ）成绩在[50，60）的学生共有2人，记为a，b，在[60，70）共有3人，记为c，d，e；从成绩在[50，70）的5名学生任选2人的方法有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种，其中至少有1人的成绩在[60，70）中方法有ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共9种，∴所求的概率为．…（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥AB；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A为45°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．（Ⅲ）若PA=kAB，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，取AB的中点F，连结EF，FC；则EF∥PA，CF∥AD；∵PA⊥平面ABCD；∴EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD；∴EF⊥AB，即AB⊥EF；AB⊥AD；∴AB⊥CF，EF∩CF=F；∴AB⊥平面EFC，CE⊂平面EFC；∴AB⊥CE，即CE⊥AB；（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD；∴PA⊥CD，即CD⊥PA；又CD⊥AD；∴CD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD；∴CD⊥PD，AD⊥CD；∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角；∴∠PDA=45°；∴PA=AD；∵AB=AD=2CD；∴PA=AB=AD；由（Ⅰ）知，∠CEF为CE与平面PAB所成的角；因为；所以直线CE与平面PAB所成角的正切值为2；（Ⅲ）过点P作PG∥AB；由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∴PA⊥PG；CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD；∵CD∥AB∥PG，∴PG⊥PD，即PD⊥PG；∵PG∥AB∥CD；∴PG是平面PCD和平面PAB的交线；∴∠APD为所求锐二面角的平面角；∴．20．（13分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上．（Ⅰ）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线与圆M 交于不同的两点C，D，且|OC|=|OD|，求圆M的方程；（Ⅲ）设直线与（Ⅱ）中所求圆M交于点E、F，P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线GH过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设圆M的方程为，即．令x=0，得；令y=0，得x=2t．∴（定值）．…（4分）（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l．所以，解得t=±1．当t=1时，圆心M到直线的距离小于半径，符合题意；当t=﹣1时，圆心M到直线的距离大于半径，不符合题意．所以，所求圆M的方程为．…（8分）（Ⅲ）设P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），又知，，所以，．因为3k PE=k PF，所以．将，代入上式，整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20=0．①设直线GH的方程为y=kx+b，代入，整理得．所以，．代入①式，并整理得，即，解得或．当时，直线GH的方程为，过定点；当时，直线GH的方程为，过定点检验定点和E，F共线，不合题意，舍去．故GH过定点．…（14分）。

武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期期中联考高二数学试卷(理科)命题学校:武钢三中 命题教师:周国栋 审题教师:邹三华考试时间:2015年4月28日上午7:30－9:30 试卷满分:150分本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第I 卷 选择题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 52i -的共轭复数是A. i-2B. i+2C.-i-2D. 2-i 2.A 、B 、C 、D 分别是复数12,z z ，312412,z z z z z z =+=-在复平面内对应的点,O 是原点,若12z z =,则ΔCOD 一定是A.等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形 3.直线y=2x 与曲线3y x =围成的封闭图形的面积是A. 1B. 2C. 4.设,,(0,)x y z ∈+∞,则111,,x y z y z x +++A.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不大于2D. 至少有一个不小于25.演绎推理“因为0'()0f x =时, 0x 是f(x)的极值点.而对于函数3(),'(0)0f x x f ==.所以0是函数3()f x x =的极值点. ”所得结论错误的原因是A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误6. 设a,b 是非零实数，且满足sincos855tan 15cos sin55a b a b πππππ+=-，若类比两角和的正切公式，则b a =7.函数321()(2)33f x x bx b x =++++在R 上不是增函数,则实数b 的取值范围是A. 12b -≤≤B. 12b b ≤-≥或C. 12b -<<D. 12b b <->或 8.下列定积分计算正确的有（1）221cos 242x x d ππ=+⎰（2）12xπ=⎰（3）22442x x e d e e --=+-⎰（4）13x =⎰A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知函数'()y xf x =-的图象如图（其中'()f x 是函数f(x)的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象可能是10.设函数()()y f x x R =∈的导函数为'()f x ，且()(),'()()f x f x f x f x =-<，则下列不等式成立的是A. 12(0)(1)(2)f e f e f -<<B.12(1)(0)(2)e f f e f -<< C.21(2)(1)(0)e f e f f -<< D.21(2)(0)(1)e f f e f -<< 11.设...S =+,则不大于S 的最大整数等于A.2016B. 2015C. 2014D. 201312.设函数()ln(1),()(0)1axf x xg x x x =+=≥+, 若()()f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围是A. 2a ≤B. 2a ≥C. 1a ≤D. 1a ≥第II 卷 非选择题二、填空题(本小题共4小题,每小题5分,共20分)13.一物体A 以速度232v t =+（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）在一直线上运动，在此直 线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方8m 处以v=8t （t 的单位：s ， v 的单位：m/s ）的速度与A 同向运动，设n s 后两物体相遇，则n 的值为________. 14.复数2(23)(21)z a a a i=--+--不是纯虚数,则实数a 的取值范围是________.15.已知函数f(x)及其导数'()f x ，若存在0x ，使得00()'()f x f x =，则称0x 是f(x) 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数是________.（写出所有正确的序号）①2()f x x =，②()xf x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =，⑤1()f x x x =+16. 观察下列算式：333311,235,37911,413151719==+=++=+++，。

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞02．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），若1⊙k2＜3，则k 的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜2 4．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A．B．C．D．5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．26．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④7．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定8．已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A．4cm2B．12cm2C．8+4cm2D．4+4+2cm29．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（）A．﹣3 B．2 C．5 D．710．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④11．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．14．若正实数a使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=AD=2，AA1=3，棱AD在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是．16．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A⊊B时，求实数a的取值范围．18．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B（Ⅰ）求球A的体积；（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．19．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q 分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21．如图所示，在多面体A1B1D1﹣ABCD，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．22．设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜﹣1，且x2＜﹣1；（3）如果，试求a的最大值．湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0考点：不等关系与不等式．专题：压轴题．分析：由题意可以令a=1，b=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．解答：解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，选D．点评：此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题．2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：A．c=0时不成立；B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；C．取a=﹣1，b=﹣2时，即可判断出；D．由a＞b＞0，可得＜．解答：解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．3．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），若1⊙k2＜3，则k 的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜2考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．（|k|+2）分析：由于定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），因此1⊙k2＜3化为＜3，（|k|﹣1）＜0，解出即可．解答：解：∵定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），1⊙k2＜3，∴＜3，化为（|k|+2）（|k|﹣1）＜0，∴|k|＜1，∴﹣1＜k＜1．故选：A．点评：本题考查了“新定义”、一元二次不等式的解法，属于基础题．4．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据a＜0，把不等式化为（x﹣）（x﹣1）≤0，求出解集即可．解答：解：不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0可化为（ax﹣2）（x﹣1）≥0，∵a＜0，∴原不等式可化为（x﹣）（x﹣1）≤0，解得≤x≤1，∴原不等式的解集为[，1]．故选：A．点评：吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．2考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．解答：解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C点评：本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据恢复的正方体可以判断出答案．解答：解：根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，故③④正确．故选：C点评：本题考查了空间直线的位置关系，属于中档题．7．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．8．已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A．4cm2B．12cm2C．8+4cm2D．4+4+2cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：其中PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=2cm，BC=4cm，底面ABCD是以AB为直角角的直角梯形，故S△PAB=S△PAD=×2×2=2cm2，PB=PD=CD=2cm，AC=2cm，PC=cm，故PB⊥BC，S△PBC=××4=4cm2，等腰△PCD底边PC上的高为：=cm，故S△PCD=××=2cm2，故棱锥的侧面积S=2×2+4+2=4+4+2cm2，故选：D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（）A．﹣3 B．2 C．5 D．7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞，∴4x﹣5＞0．则函数y=4x+=4x﹣5++5+5=7，当且仅当x=时取等号．∴函数y=4x+取最小值为7．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m 平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故选：C．点评：本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．11．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；空间位置关系与距离．分析：①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．解答：解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF ⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C．点评：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．解答：解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）=x2+ax﹣a+1=（x+）2﹣﹣a+1．①当﹣＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②当0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min=g（﹣）=﹣﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2＜a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③当﹣＞1，即a＜﹣2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜﹣2．综上a＜1．法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．求当x∈[0，1）时，函数y=的最小值．令t=1﹣x（t∈（0，1]），则y===t+﹣2，而函数y=t+﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，y min=1．故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，由①②得a＜1．故选：A点评：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出，这样便可得到cos∠BDE=．解答：解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；∵D是棱OA的中点；∴DE∥AC；∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；则在△BDE中，BD=BE=，DE=；∴；∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为．故答案为：．点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．14．若正实数a使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是0＜a≤．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：首先分析题目已知不等式|3x﹣2|+|2x﹣1|≥a2恒成立，求a的取值范围，故可以考虑设y=|2x﹣1|+|3x﹣2|，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数y=|2x﹣1|+|3x﹣2|的最小值，从而求出答案．解答：解：设y=|2x﹣1|+|3x﹣2|，当≤x≤时，y=2x﹣1﹣（3x﹣2）=﹣x+1≥当x＞时，y=2x﹣1+3x﹣2=5x﹣3＞当x＜时，y=﹣（2x﹣1）﹣（3x﹣2）=﹣5x+3＞，故y=|2x﹣1|+|3x﹣2|有最小值．不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2恒成立，即a2必小于等于y=|2x﹣1|+|3x﹣2|的最小值，由a2≤，解得：﹣≤a≤，∵a是正实数，故答案为：点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，其中涉及到分类讨论去绝对值的思想，题目计算量小，涵盖知识点少，属于基础性题目．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=AD=2，AA1=3，棱AD在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是4≤S≤2．考点：平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四边形ABCD和ADD1A1的面积分别为4和6，长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成．分别求出最小与最大，即可求出长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围．解答：解：由题意，四边形ABCD和ADD1A1的面积分别为4和6，长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成．显然，S min=4．若记平面ABCD与平面α所成角为θ，则平面ADD1A1与平面α所成角为﹣θ．它们在平面α内的射影分别为4cosθ和6cos（﹣θ）=6sinθ，所以，S=4cosθ+6sinθ=2sin（θ+φ）（其中，tanφ=），因此，S max=2，当且仅当θ=﹣φ时取到．因此，4≤S≤2．故答案为：4≤S≤2．点评：本题考查长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围，考查三角函数知识，属于基础题．16．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：6x+5y===，当且仅当，a=时取等号．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A⊊B时，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（Ⅰ）B是不等式的解集，解一元二次不等式可得B，由不等式的解法，容易解得B；（Ⅱ）通过解不等式求得集合A，结合限制性条件A⊊B来求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由x2﹣（a+1）x+a≤0得（x﹣a）（x﹣1）≤0当a＜1时，B={a，1}当a=1时，B={1}当a＞1时，B={1，a}；（Ⅱ）∵由﹣x2+3x﹣2＞0得x2﹣3x+2＜0，即1＜x＜2，∴A={x|1＜x＜2}若A⊊B时，由（Ⅰ）知a＞1，且a≥2，故实数a的取值范围是a≥2．点评：本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．18．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B（Ⅰ）求球A的体积；（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设圆柱的半径为R，小球的半径为r，且r＜R，利用勾股定理可求出r的值，进而得到球A的体积；（Ⅱ）分别求出球的表面积和圆柱的侧面积，可得答案．解答：解：（Ⅰ）设圆柱的半径为R，小球的半径为r，且r＜R由圆柱与球的性质知AB2=（2r）2=（2R﹣2r）2+（2R﹣2r）2，即r2﹣4Rr+2R2=0，∵r＜R，∴∴球A的体积…（6分）（Ⅱ）球B的表面积圆柱的侧面积∴圆柱的侧面积与球B的表面积之比为．…（6分）点评：本题考查的知识点是旋转体，球的体积与表面积公式，圆柱的侧面积公式，其中求出球的半径r是解答的关键．19．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q 分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）先证明PQ⊥底面ABCD，即为底面ABCD上的高，进而即可求出其体积；（2）连接底面的对角线交于点O，再连接OM，利用三角形的中位线即可证明；（3）由（1）可知：PQ⊥底面ABCD，因此只要在底面上找到一条直线与BQ垂直即可，由平面几何的知识可知，只要取AB的中点N即可．解答：解：（1）连接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD．∴=．（2）证明：连接AC、BD交于点O，连接OM．则AO=OC，又PM=MC，∴PA∥OM．∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD．3）存在，N为AB中点．证明：取AB的中点N，连接CN交BQ于点E．由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，∵CN⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB．点评：熟练掌握线面、线面的平行与垂直的判定定理与性质定理即锥体的体积是解题的关键．20．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．如图所示，在多面体A1B1D1﹣ABCD，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由线面平行的判定定理证明：B1C∥A1DEF，即可证明EF∥B1C；（Ⅱ）将多面体A1B1D1﹣ABCD补成正方体A1B1C1D1﹣ABCD，取B1C的中点G，A1D 的中点H，连接C1G，GH，C1H，则∠C1HG是二面角C1﹣A1D﹣B1的平面角，即可求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）连接EC，A1C，证明∠A1CE是直线A1C与平面B1CD1所成的角，利用余弦定理即可求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵B1C∥A1D，B1C⊄平面A1DEF，A1D⊂平面A1DEF由线面平行的判定定理有B1C∥A1DEF又过B1C的平面B1CD1与平面A1DEF相交于EF，由线面平行的性质定理有B1C∥EF（Ⅱ）解：将多面体A1B1D1﹣ABCD补成正方体A1B1C1D1﹣ABCD如图，并设棱长为a，∴二面角E﹣A1D﹣B1即为C1﹣A1D﹣B1取B1C的中点G，A1D的中点H，连接C1G，GH，C1H可知C1G⊥平面A1B1CD，∵GH⊥A1D，∴C1H⊥A1D，故∠C1HG是二面角C1﹣A1D﹣B1的平面角，在RT△C1HG中，，∴则二面角E﹣A1D﹣B1的正切值为．（Ⅲ）解：连接EC，A1C∵B1D1⊥平面AA1C1C，∴平面B1CD1⊥平面AA1C1C．∴EC是A1C在平面B1CD1上的射影，故∠A1CE是直线A1C与平面B1CD1所成的角，在△C1AE中，，∴则直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值为．点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查线面角、二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．22．设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜﹣1，且x2＜﹣1；（3）如果，试求a的最大值．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：（1）把（1+x1）（1+x2）展开，再利用根与系数的关系即可得出；（2）令f（x）=ax2+x+1，由，可得抛物线f（x）的对称轴．又f（﹣1）=a＞0，可知f（x）图象与x轴的交点都在点（﹣1，0）的左侧，即可得出．（3）由（1）可得，．于是．进而得到，利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．∴，．∴．（2）令f（x）=ax2+x+1，由，∴抛物线f（x）的对称轴．又f（﹣1）=a＞0，所以f（x）的图象与x轴的交点都在点（﹣1，0）的左侧，故x1＜﹣1，且x2＜﹣1．（3）由（1），．．∴，故当时，a取得最大值为．点评：熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系等是解题的关键．。

武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期期末联考高一数学试卷（理科）命题学校：省实验中学 命题教师：王先东 审题教师：徐高诚 佘功忠 考试时间：2015年7月1日下午2：3 0-4：30 试卷满分：150分★祝考试顺利★一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。

)1. ,a b R ∈，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A. 0b a ->B. 330a b +<C. 220a b -<D. 0b a +>2.若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A.若a b >，则22ac bc >B. 若0a b <<，则22a ab b >>C. 若0a b <<，则11a b < D. 若0a b <<，则b a a b > 3.规定记号“”表示一种运算，定义：ab ab a b =+（,a b 为正实数），若213k <，则k 的取值范围是（ ）A. 11k -<<B. 01k <<C. 10k -<<D. 02k <<4.不等式2(2)20(0)ax a x a -++≥<的解集为（ ）A. 2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 21,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D. (]2,1,a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭5.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′=1，那么原△ABO 的面积是A. B. 2 C. D. 6.如图所示的是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60角；④ DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③④7.如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S 圆和S 圆环，那么（ ）A ． S 圆＞S 圆环B ． S 圆=S 圆环C ． S 圆＜S 圆环D ． 不确定8.已知一个棱锥的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）9.已知4x >，则函数445y x x =+-的最小值为（ ） A.-3 B. 2 C. 5 D. 710.若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ）①若直线m ⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线．②若直线m ⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直．③若直线m ⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线．④若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④11.如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；②当且仅当x= 12时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C ′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数；以上命题中假命题的序号为（ ）A ． ①④B ． ②C ． ③D ．③④二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。

武汉市部分重点中学2014—2015学年度下学期期末联考高二数学试卷（理科）命题学校：武汉六中 命题教师：田传奎 审题教师：黄圣然考试时间：2015年7月2日上午8：00-10：00 试卷满分：150分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

)1. 7(2)x y -的展开式中的第4项为（ ）A. 4335x y -B. 43280x y C. 43280x y - D. 4335x y2.已知(,)B n p ξ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于（ ）A.17 B. 16 C. 15 D. 143.已知随机变量x 服从二项分布x ～B （6，），则P （x=2）等于（ ） A.80243 B. 4243 C. 13243 D. 13164.在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i ，y i ），i=1，2，…，n ；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x ，y 具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（ ）A ． ①②⑤③④B ． ③②④⑤①C ． ②④③①⑤D ． ②⑤④③① 5.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 56 58 60脂肪 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2 29．6 31．4 33．5 35．2通过计算得到回归方程为，利用这个方程，我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为20.90%，那么数据20.90%的意义是： A 某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%B 某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%的概率最大C 某人年龄37岁，他体内脂肪含量的期望值为20.90%D 20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计 6.已知随机变量ξ服从正态分布，则N （1，4），则(31)P ξ-<<=（ ） （参考数据：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=，()330.9974.P X μσμσ-<≤+=A ．0.6826B ．0.3413C ．0.0026D ．0.47727.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对8.某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果①26C ；②627-；③345666662C C C C +++，其中正确的结论是（ ）A ．①B ．②与③C ．①与②D ．①②③9将5名同学分到甲、乙、丙三个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的 分配方案共有（ ）种A ．140种B ．120种C ．80种D ．50种10.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P 的取值范围是（ ） A ．（，1）B ．（，1）C ．（0，）D ．（0，）11.一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）A ．164B ．5564C ．18D ．11612.执行某个程序，电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色：①有五种给定的颜色供选用；②每个小圆涂一种颜色，且图中被同一条线段相连的两个小圆不能涂相同的颜色。

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试数 学 试 卷(理科）命题人：武汉中学 严少林 审题人：武汉四中 李文溢 全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数211ii i-+- 等于（ ） A. i B. 0 C.-i D.1+i2．设x x x x f ln 42)(2--=，则函数()f x 单调递增区间为（A ） ),0(+∞ （B ）)0,1(-和),2(+∞ （C ）),2(+∞ (D))0,1(- 3．函数()y f x =的图象如图所示，若0()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于（ ）A ．mB ．2mC ．m -D ．04．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y x =B. y =C.y x =±D.32y x =± 5．曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A ．2eB ．22eC ．24eD ．292e 6．下列命题错误的是 （ ）A 、命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题7.棱长均为3三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x 则（第3题图）( )A 、6B 、36 C 、63 D 、1 8．已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是( )9．如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若三角形ABF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）ABCD10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面11．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20xxf x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >ABC1A 1C 1D 1B DEF12．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ=+=-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ） A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．复数4312ii++的虚部为 .14．用数学归纳法证明某命题时，左式为nn 111.4131211--++-+- （n 为正偶数），从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.15．设21 , F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，点P 在双曲线的左支上，且||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．已知()0,x ∈+∞，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1nax n x +≥+，则a 等于 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知命题p ：[]0,2,12≥-∈∀a x x ，命题q ：022,0200=-++∈∃a ax x R x ，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分） 已知函数2()ln f x x a x =+． （1）当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若函数2()()g x f x x=+在[1,4]上是减函数,求实数a 的取值范围．19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．OSBC20. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为,,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A ． （1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当25PG PH -<时，求实数t 的取值范围． 21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+． （1）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)35721n n +>+++++（n ∈*N ）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）．1．（5分）3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A．53B．35C．A53D．C532．（5分）设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10，则P（X＜6）的值为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.23．（5分）F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=（）A．1B．2C．3D．44．（5分）已知（x+1）10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10．若数列a1，a2，a3，…，a k（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是（）A．6B．7C．8D．55．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则p（X＞4）=（）A．0.32 B．0.16 C．0.5 D．0.186．（5分）M、N分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，椭圆上异于M、N于点P满足k PM•k PN=﹣，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于M、N两点，若线段MN中点纵坐标为4，则该抛物线准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣28．（5分）某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击7次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）A．C（）7B．A（）7C．C（）7D．A（）79．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．（5分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324 B．216 C．180 D．384二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）设X是一个离散型随机变量，其分布列如表格所示，则E（X）=．X 2 0 4P 0.5 1﹣3q q12．（5分）平面内有两组平行线，一组6条，另一组4条，这两组平行线相交，可以构成的平行四边形个数是（用数字作答）13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为．14．（5分）抛掷两个骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在81次试验中，成功次数ξ的方差是．15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则①动点C（x，y）到坐标原点的“直角距离”等于1，则动点C的轨迹关于x轴、y轴、原点对称．②设A（﹣1，9）、B（1，0），满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C的轨迹是一条长度为2的线段；③设F1（﹣1，0），F2（1，0），C（x，y）则{（x，y）|d（C，F1）+d（C，F2）=4}⊆{（x，y）|+≤1}其中真命题有（填序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）安排5名歌手的演出顺序．（1）要求歌手甲乙的演出顺序必须相邻，有多少种不同的排法？（2）要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？17．（12分）已知（﹣）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含x﹣1的项．18．（12分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B|A）．19．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x﹣1）2+y2=外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（1）求曲线C1的方程；（2）已知直线l过定点P（﹣2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与曲线C1只有一个公共点点；有两个公共点？20．（13分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.2 0.8（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为6．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C 上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；[来源:Z&xx&]（ii）求△OMN面积的最大值．湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）．1．（5分）3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A．53B．35C．A53D．C53考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，即可得到结论解答：解：∵共3个班，每班从5个风景点中选择一处游览，∴每班都有5种选择，∴不同的选法共有53，故选：A．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2．（5分）设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10，则P（X＜6）的值为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.2考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由已知得P（X＜6）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1，由此能求出结果．解答：解：∵随机变量X等可能地取值1，2，3， (10)∴P（X＜6）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1=0.5．故选：B．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．3．（5分）F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=（）A．1B．2C．3D．4[来源:Z#xx#]考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|•|PF2|=2b2，结合△PF1F2的面积为16，求得b的值．解答：解：如图，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵⊥，∴PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4（a2﹣b2），∵m+n=2a，则有（m+n）2=m2+n2+2mn，即mn=2b2，∴|PF1|•|PF2|=2b2．∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|=×2b2=16，解得b=4．故选：D．点评：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．4．（5分）已知（x+1）10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10．若数列a1，a2，a3，…，a k（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是（）A．6B．7C．8D．5考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：写出各项的系数，可得a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＞a7，结合数列a1，a2，a3，…，a k 是一个单调递增数列，可得结论．解答：解：由二项式定理，得a i=（1≤i≤11，i∈Z），因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＞a7，且数列a1，a2，a3，…，a k是一个单调递增数列，所以k的最大值是6．故选：A．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．[来源:Z §xx§]5．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则p（X＞4）=（）A．0.32 B．0.16 C．0.5 D．0.18考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．解答：解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.34，观察上图得，∴P（X＞4）=0.5﹣P（3≤X≤4）=0.5﹣0.34=0.16．故选B．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．6．（5分）M、N分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，椭圆上异于M、N于点P满足k PM•k PN=﹣，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过已知条件可得、，计算即得结论．解答：解：∵P（x0，y0）（x0≠a）是椭圆：+=1（a＞b＞0）上一点，∴，∵M、N分别是椭圆的左、右顶点，k PM•k PN=﹣，∴，∴a2=4b2，c2=3b2，∴e==，故选：C．点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于M、N两点，若线段MN中点纵坐标为4，则该抛物线准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设M，N的坐标，根据M，N满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减，根据直线的斜率和线段MN的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．解答：解：设M（x1，y1）、N（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段MN的中点的纵坐标为4，即y1+y2=8，所以p=4，所以抛物线的准线方程为x=﹣即x=﹣2．故选：D．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要是抛物线的方程的运用，同时考查点差法解决中点弦问题，属于中档题．8．（5分）某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击7次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）A．C（）7B．A（）7C．C（）7D．A（）7考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击3次，再根据相互独立事件的概率乘法公式运算求得结果．解答：解：根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击7次，3次命中的概率为（）7，恰有两次连续击中目标的概率为，故此人射击7次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（）7•=A（）故选：B点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，属于中档题．9．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．（5分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个．A．324 B．216 C．180 D．384考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，根据分类计数原理得到共有90+234=324个．故选：A点评：本小题考查排列实际问题基础题．数字问题是计数中的一大类问题，条件变换多样，把计数问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．（5分）设X是一个离散型随机变量，其分布列如表格所示，则E（X）=2．X 2 0 4P 0.5 1﹣3q q考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：利用离散型随机变量的分布列的性质求解．解答：解：由已知得0.5+1﹣3q+q=1，解得q=0.25，∴E（X）=2×0.5+0×0.25+4×0.25=2．故答案为：2．点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题．12．（5分）平面内有两组平行线，一组6条，另一组4条，这两组平行线相交，可以构成的平行四边形个数是90（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：从每一组种分别选2条，根据分步计数原理即可得到答案解答：解：从每一组种分别选2条，根据分步计数原理，故可以构成的平行四边形个数是=90故答案为：90．点评：本题考查了分步计数原理，属于基础题13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为．考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系；双曲线的标准方程．专题：计算题；综合题．[来源:学.科.网]分析：双曲线的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，说明点C到直线bx±ay=0的距离等于半径．根据圆C方程，不难得到圆心C坐标为（3，0），半径r=2，用点到直线的距离建立关于a、b的方程，再结合c==3，联解可得a、b的值，从而得到该双曲线的方程．解答：解：将圆C：x2+y2﹣6x+5=0化为标准方程，得（x﹣3）2+y2=4∴圆心为C（3，0），半径r=2∵双曲线的右焦点为圆C的圆心，∴c=3，可得a2+b2=9…①又∵双曲线的两条渐近线均和圆C相切∴点C（3，0）到直线bx±ay=0的距离等于半径，即…②联解①②，得a=，b=2∴该双曲线的方程为．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与圆C的圆心重合，且渐近线与圆C相切，求双曲线的方程，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的标准方程等知识，属于中档题．14．（5分）抛掷两个骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在81次试验中，成功次数ξ的方差是20．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：求出一次实验中，事件A表示“试验成功”，A的对立事件是“两个骰子中都不是3点或6点”，求出对立事件的概率，得出A的概率；再计算81次试验中，成功次数ξ的方差．解答：解：一次实验中，设事件A表示“试验成功”，则P（）=×=，P（A）=1﹣P（）=1﹣=；且ξ～（81，），∴Dξ=81××（1﹣）=20．[来源:学*科*网]故答案为：20．点评：本题考查了n次独立试验中恰有k次发生的概率的应用问题与方差的计算问题，是基础题目．15．（5分）在平面直角坐标系中，定义P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则①动点C（x，y）到坐标原点的“直角距离”等于1，则动点C的轨迹关于x轴、y轴、原点对称．②设A（﹣1，9）、B（1，0），满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C的轨迹是一条长度为2的线段；③设F1（﹣1，0），F2（1，0），C（x，y）则{（x，y）|d（C，F1）+d（C，F2）=4}⊆{（x，y）|+≤1}其中真命题有①③（填序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：结合新定义逐一求出三个命题中的轨迹，然后分类求出所有情况加以判断．解答：解：对于①，由动点C（x，y）到坐标原点的“直角距离”等于1，得|x|+|y|=1，则动点C的轨迹为，图象如图，∴动点C的轨迹关于x轴、y轴、原点对称，命题①正确；对于②，A（﹣1，9）、B（1，0），满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C 的轨迹为|x+1|+|y﹣9|=|x﹣1|+|y|，当x≤﹣1，y≤0时，化为﹣x﹣1﹣y+9=﹣x+1﹣y，即7=0，矛盾；当x≤﹣1，0＜y＜9时，化为﹣x﹣1﹣y+9=﹣x+1+y，即，；当x≤﹣1，y≥9时，化为﹣x﹣1+y﹣9=﹣x+1+y，即11=0，矛盾；同理分析另外六种情况．由当x≤﹣1，0＜y＜9时，即可判断②错误；对于③，F1（﹣1，0），F2（1，0），C（x，y），则{（x，y）|d（C，F1）+d（C，F2）=4}={（x，y）||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4}．当y≥0，x≤﹣1时，轨迹为{（x，y）|﹣x+y=2，y≥0，x≤﹣1}；当y≥0，﹣1＜x＜1时，轨迹为{（x，y）|y=1，y≥0，﹣1＜x＜1}；当y≥0，x≥1时，轨迹为{（x，y）|x+y=2，y≥0，x≥1}；由对称性可知其它三种情况．∴{（x，y）|d（C，F1）+d（C，F2）=4}⊆{（x，y）|+≤1}．命题③正确．故答案为：①③．点评：本题是新概念题，考查了命题的真假判断与应用，考查了数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）安排5名歌手的演出顺序．（1）要求歌手甲乙的演出顺序必须相邻，有多少种不同的排法？（2）要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？考点：计数原理的应用．专题：排列组合．[来源:学科网]分析：（1）把甲乙捆绑在一起看作一个复合元素，和另外的3人全排列即可（2），先排有约束条件的元素，因为要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，分两类，根据分类计数原理得到结果．解答：解：（1）把甲乙捆绑在一起看作一个复合元素，和另外的3人全排列，故有A22A44=48种排法（2）分两类：第一类甲最后一个出场，有A44种排法第二类，甲不最后一个出场，有A31A31A33种排法根据分类计数原理共有A44+A31A31A33=78种不同的排法点评：本题考查排列与组合问题，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．17．（12分）已知（﹣）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含x﹣1的项．考点：二项式定理．专题：概率与统计．分析：（1）由于展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．利用通项公式可得=，解得n=8．令x=1，可得展开式中各项系数的和=（1﹣2）8；（2）由通项公式可得T r+1==，令=﹣1，解得r即可得出．解答：解：（1）T5==，=．∵展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．∴=，∴=，化为n2﹣5n﹣24=0，解得n=8．[来源:]令x=1，可得展开式中各项系数的和=（1﹣2）8=1；（2）由通项公式可得T r+1==，令=﹣1，解得r=2．∴T3==112x﹣1．点评：本题考查了二项式定理及其展开式的性质、通项公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B|A）．考点：条件概率与独立事件；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由题设知，X的可有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列；（2）利用对立事件的概率公式求解即可；（3）求出男生甲被选中的概率、男生甲、女生乙都被选中的概率，即可得出结论．解答：解：（1）X=0、1、2、3…（1分），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．∴ξ的分布列为：[来源:]X 0 1 2P…（4分）（2）P=1﹣=1﹣=…（8分）（3）P（A）==，P（AB）==，P（B|A）=…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列，查了随机事件的概率和条件概率公式等知识，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x﹣1）2+y2=外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（1）求曲线C1的方程；（2）已知直线l过定点P（﹣2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与曲线C1只有一个公共点点；有两个公共点？考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据M到直线x=﹣的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得=|x|，结合已知可知，在直线x=﹣的右侧，从而可得曲线C1的方程；（II）由题意可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2），联立可得，k2x2+（4k2+2k ﹣4）x+（2k+1）2=0，转化为方程有一个根或两个根，求解k的范围即可解答：解：（I）由已知可得，=|x|，曲线C1的点均在C2：（x﹣1）2+y2=外，M在直线x=﹣的右侧，即x＞﹣，化简可得曲线C1的方程为y2=4x；（II）由题意可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2），联立可得，k2x2+（4k2+2k﹣4）x+（2k+1）2=0；（1）当k=0或，解可得，k=0或k=﹣2或k=﹣1或k=；当k=0或k=﹣2或k=﹣1或k=时，直线与曲线C1只有一个公共点；当，整理可得，，解可得，﹣1且k≠0当1且k≠0时，直线l与曲线C1个有两个公共点．点评：本题考查轨迹方程的求解，考查方程思想的运用，解题的关键是直线与抛物线联立，属于中档题．20．（13分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.2 0.8（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）X的所有值为：500×10﹣800=4200，500×6﹣800=2200，300×10﹣800=2200，300×6﹣800=100，分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.2，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣800=4200，500×6﹣800=2200，300×10﹣800=2200，300×6﹣800=100，则P（X=4200）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.2）=0.4，P（X=2200）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.2+0.5（1﹣0.2）=0.5，P（X=1000）=P（A）P（B）=0.5×0.2=0.1，则X的分布列为：X 4200 2200 1000P 0.4 0.5 0.1（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4200）+P（X=2200）=0.4+0.5=0.9（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.93=0.729，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（）+P（）+P（）=3×0.92×0.1=0.243，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.729+0.243=0.972．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为6．[来源:]（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C 上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）通过2a=6、=，计算即得结论；（Ⅱ）（i）通过设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），将k1、k2用此两点坐标表示，寻求这两点坐标间的关系即可；（ii）利用S△OMN=|OM|•|ON|及基本不等式计算即得结论．解答：解：（I）由题可知：2a=6，即a=3，又∵e===，∴b=1，∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵k AB=，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=﹣，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），联立，消去y整理得：（1+9k2）x2+18mkx+9m2﹣9=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，[来源:学科网]∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由题可知：x1≠﹣x2，∴k1==﹣=，∴直线BD的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0，得x=8x1，即M（8x1，0），∴k2=﹣，∴k1=﹣k2，即存在常数λ=﹣使得k1=λk2；（ii）直线BD的方程为：y+y1=（x+x1），令x=0可得：y=﹣y1，即M（0，﹣y1），∴S△OMN=•8|x1|•|y1|=|x1|•|y1|，∵|x1|•|y1|≤+=1，当且仅当=|y1|=时等号成立，此时S△OMN取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．点评：点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力。

湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上把相应地方用2B铅笔涂黑）1．（5分）下列框图中不是结构图的是（）A．B．C．D．2．（5分）已知复数z满足|z|=5，且z+5i是纯虚数，则z=（）A．﹣5i B．5i C．±5i D．4i3．（5分）下列命题为真命题的是（）A．对每一个无理数x，x2也是无理数B．存在一个实数x，使x2+2x+4=0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数4．（5分）如图所示，输出的结果是（）A．50 B．20 C．60 D．1205．（5分）设α∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈（）A．（0，] B．（，） C．（0，）D．[，）6．（5分）复数z=，（t∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）下列判断正确的是（）A．命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b 都不是偶数B．若“p或q”为假命题，则“￢p且￢q”是假命题C．已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且∨≤0 D．x2≠y2⇔x≠y且x≠﹣y8．（5分）过椭圆9x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是（）A．B．4 C．8 D．29．（5分）观察下列各式：72=49，73=343，74=2410，75=16807 …则72015的末两位数为（）A．01 B．07 C．43 D．4910．（5分）经过椭圆x2+2y2=2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．±C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把每题的答案填在答题卡上相应的地方）11．（5分）已知下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归直线必过定点的坐标为．12．（5分）观察下列不等式：1+＜，1++＜，1+++＜…按照此规律，第六个不等式为．13．（5分）已知函数f（x）=（）x，a，b∈R+，m=f（），n=f（），p=f（），则m，n，p的大小关系为．14．（5分）条件p：+1＜0，条件q：|x+1|＞2，则￢p是￢q的条件（填充分不必要，必要不充分，充要条件）15．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（请用百分数表示）附：P（K2＞k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82816．（5分）已知椭圆的离心率为，且过点（2，0），则椭圆的标准方程．17．（5分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R=．三、解答题（本大题有5个小题，65分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（12分）计算：[（﹣i2+2i）•i200+（）9]2﹣（）40．19．（12分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．20．（13分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．21．（14分）已知函数f（x）=4sin2（+x）+4sin2x﹣2﹣1，且给定条件p：“（x ﹣）（x﹣）＞0，”（x∈R）（1）在￢p的条件下，求f（x）的值域；（2）若条件q：“﹣2＜f（x）﹣m＜2”，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．22．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．湖北省武汉市部分重点学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上把相应地方用2B铅笔涂黑）1．（5分）下列框图中不是结构图的是（）A．B．C．D．考点：结构图．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是流程图和结构图的定义，由结构图和流程图的定义：流程图指的是一个动态过程，应有先后顺序，而结构图描述的是静态的系统结构．逐一分析四个答案中的框图，即可得到答案．解答：解：流程图指的是一个动态过程，应有先后顺序，而结构图描述的是静态的系统结构，所以只有C是流程图，不是结构图．故选C点评：流程图指的是一个动态过程，应有先后顺序，而结构图描述的是静态的系统结构．2．（5分）已知复数z满足|z|=5，且z+5i是纯虚数，则z=（）A．﹣5i B．5i C．±5i D．4i考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数z满足|z|=5，且z+5i是纯虚数，∴z为纯虚数，±5i，﹣5i舍去，∴z=5i，满足z+5i=10i为纯虚数．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、纯虚数的定义，考查了推理能力，属于基础题．3．（5分）下列命题为真命题的是（）A．对每一个无理数x，x2也是无理数B．存在一个实数x，使x2+2x+4=0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：根据含有量词的命题的真假进行判断即可．解答：解：A．若x=，则x2=2是有理数，故A错误B．∵x2+2x+4=（x+1）2+3≥3，∴存在一个实数x，使x2+2x+4=0错误．C．∵2=1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，D.2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选：C点评：本题主要考查命题的真假判断，根据含有量词的命题的定义是解决本题的关键．4．（5分）如图所示，输出的结果是（）A．50 B．20 C．60 D．120考点：程序框图；循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的s，a的值，当a=3时，不满足条件a≥4，退出循环，输出的是S=5×4=20．解答：解：模拟程序框图的运行过程，得；a=5，s=1满足条件a≥4，s=5，a=4满足条件a≥4，s=20，a=3不满足条件a≥4，退出循环，输出的是S=5×4=20．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的s，a的值是解题的关键，属于基础题．5．（5分）设α∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈（）A．（0，] B．（，） C．（0，）D．[，）考点：椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：先根据椭圆焦点在x轴上得出sinα＞cosα，然后使cosα=sin（）进而根据正弦函数的单调性求出α的取值范围．解答：解：∵焦点在x轴上，∴sinα＞cosα，即sinα＞sin（）∵0＜α＜∴α＞，即故选B．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程的问题．即对于椭圆标准方程，当焦点在x轴上时，a＞b；当焦点在y轴上时，a＜b．6．（5分）复数z=，（t∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简z，然后由实部大于0得到t的范围，说明虚部此时不可能大于0得答案．解答：解：∵z===，当t﹣4＞0，即t＞4时，﹣（2t+2）＜0，当t﹣4＜0，即t＜4时，﹣（2t+2）可能大于0也可能小于0，∴复数z=在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7．（5分）下列判断正确的是（）A．命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b 都不是偶数B．若“p或q”为假命题，则“￢p且￢q”是假命题C．已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2+b x+c≤0的解集是空集，必有a＞0且∨≤0 D．x2≠y2⇔x≠y且x≠﹣y考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，写出命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题，可判断A；B，“p或q”为假命题⇒p与q均为假命题⇒“￢p且￢q”是真命题，可判断B；C，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集⇒a=b=0，且c＞0或a＞0且△＜0，可判断C；D，利用命题p∨q的否定为￢p且￢q，可判断D．解答：解：对于A，命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b 不都是偶数，而不是“a，b 都不是偶数”，故A不正确；对于B，若“p或q”为假命题，则p与q均为假命题，则￢p且￢q是真命题，故B不正确；对于C，已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，则ax2+bx+c＞0恒成立，必有a=b=0，且c＞0或a＞0且△＜0，故C不正确；对于D，x2≠y2⇔（x+y）（x﹣y）≠0⇔x≠y且x≠﹣y，故D正确．综上所述，四个选项中只有D正确．故选：D．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及真假判断，考查复合命题的真假判断，考查推理、运算能力，属于中档题．8．（5分）过椭圆9x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是（）A．B．4 C．8 D．2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的定义计算即得结论．解答：解：△ABF2的周长为：AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a，∵椭圆9x2+y2=1的标准方程为：，∴a=1，∴4a=4，即△ABF2的周长为4，故选：B．点评：本题考查椭圆的基本性质，注意解题方法的积累，属于基础题．9．（5分）观察下列各式：72=49，73=343，74=2410，75=16807 …则72015的末两位数为（）A．01 B．07 C．43 D．49考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72015的末两位数．解答：解：根据题意得，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k﹣2的末两位数字是49，74k﹣1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、…），∵2015=504×4﹣1，∴72015的末两位数字为43故选：C．点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．10．（5分）经过椭圆x2+2y2=2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．±C．﹣D．﹣考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆x2+2y2=2可求椭圆的焦点为F（±1，0），不妨设所作直线l过焦点（1，0），可得直线L：y=x﹣1，联立可求A，B．然后由•=x1x2+y1y2，代入可求．解答：解：∵椭圆x2+2y2=2中a=，b=1∴c=1椭圆的焦点为F（±1，0）不妨设所作倾斜角为45°的直线l过焦点（1，0），故直线L：y=x﹣1联立消去y可得，3x2﹣4x=0解方程可得，x1=0，x2=代入直线y=x﹣1可得，y1=﹣1，y2=•=x1x2+y1y2=﹣故选：C．点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆的相交关系的应用，向量数量积的坐标表示等知识的综合应用，属于综合性试题．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把每题的答案填在答题卡上相应的地方）11．（5分）已知下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归直线必过定点的坐标为（1.5，4）．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．解答：解：∵=1.5，==4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）故答案为：（1.5，4）．点评：本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点．12．（5分）观察下列不等式：1+＜，1++＜，1+++＜…按照此规律，第六个不等式为1++++…+＜．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：将所给的不等式的右边进行变形，按此规律写出第六个不等式即可．解答：解：有题意可得：1+＜=，1++＜=，1+++＜=…，所以第六个不等式为：1++++…+＜=，即1++++…+＜，故答案为：1++++…+＜．点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．13．（5分）已知函数f（x）=（）x，a，b∈R+，m=f（），n=f（），p=f（），则m，n，p的大小关系为p≤n≤m．考点：基本不等式；指数函数单调性的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：a，b∈R+，可得，利用函数f（x）=（）x在R上单调递减，即可得出．解答：解：∵a，b∈R+，∴，∵函数f（x）=（）x在R上单调递减，∴p=f（）≤f（）=n≤f（）=m，∴p≤n≤m．故答案为：p≤n≤m．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）条件p：+1＜0，条件q：|x+1|＞2，则￢p是￢q的必要不充分条件（填充分不必要，必要不充分，充要条件）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别求出关于p，q的不等式，求出满足￢p，￢q的x的范围，结合充分必要条件的定义，从而得到答案．解答：解：解不等式+1＜0，得：2＜x＜3，∴p：2＜x＜3，￢p：x≥3或x≤2，解不等式|x+1|＞2，得：x＞1或x＜﹣3，∴q：x＞1或x＜﹣3，￢q：﹣3≤x≤1，∴￢p是￢q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题．15．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50则至少有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？（请用百分数表示）附：P（K2＞k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验．专题：计算题．分析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．解答：解：根据所给的列联表，得到k2==8.333＞7.879，∴至少有99.5%的把握说明喜爱打篮球与性别有关．故答案为：99.5%点评：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．16．（5分）已知椭圆的离心率为，且过点（2，0），则椭圆的标准方程或．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分椭圆焦点在x轴、y轴两种情况讨论即可．解答：解：∵椭圆的离心率为，∴e==，∴=，∴=，即a=2b，当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为，代入点（2，0），可得b2=1，即椭圆方程为；当椭圆焦点在y轴上时，设椭圆方程为，代入点（2，0），可得b2=4，即椭圆方程为；综上可得，椭圆方程为或．点评：本题考查求椭圆的方程，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．17．（5分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R=．考点：类比推理．专题：压轴题；分割补形法．分析：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．解答：解：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．故为故答案为：点评：本题考查类比思想及割补思想的运用，考查类用所学知识分析问题、解决问题的能力．三、解答题（本大题有5个小题，65分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（12分）计算：[（﹣i2+2i）•i200+（）9]2﹣（）40．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其周期性即可得出．解答：解：∵i2=﹣1，i4=1，（1﹣i）2=﹣2i，（1+i）2=2i．∴i200=1，=====﹣i，==i20=1．原式=（1+2i﹣i）2﹣1=2i﹣1．点评：本题考查了复数的运算法则及其周期性，属于基础题．19．（12分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．考点：四种命题的真假关系．分析：已知p且q是真命题，得到p、q都是真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立；若q 为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，即△≥0，分别求出a的范围后，解出a的取值范围．解答：解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴a≤1 ①；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2 ②，对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．点评：本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，求解关于a的不等式．20．（13分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x﹣2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代入圆的方程 x02+y02=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．解答：解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则由得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，由根与系数的关系，得，且判别式△=4a2b2（a2+b2﹣1）＞0，即a2+b2﹣1＞0（*）；∴线段AB的中点坐标为（）．由已知得，∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），设F（b，0）关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则且，解得．由已知得 x02+y02=4，∴，∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件故所求的椭圆方程为．点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力；解题时应细心解答．21．（14分）已知函数f（x）=4sin2（+x）+4sin2x﹣2﹣1，且给定条件p：“（x ﹣）（x﹣）＞0，”（x∈R）（1）在￢p的条件下，求f（x）的值域；（2）若条件q：“﹣2＜f（x）﹣m＜2”，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：（1）求出￢p的条件下，结合三角函数的图象和性质即可求f（x）的值域；（2）根据条件q：“﹣2＜f（x）﹣m＜2”，且￢p是q的充分条件，建立条件关系即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）由（x﹣）（x﹣）＞0得x＞或x＜，即p：x＞或x＜，则￢p：≤x≤，f（x）=4sin2（+x）+4sin2x﹣2﹣1=4×+4×﹣2﹣1=2+2sin2x+2﹣2cos2x﹣2﹣1=2sin2x﹣2cos2x+1=4sin（2x﹣）+1，∵≤x≤，∴≤2x≤π，≤2x﹣≤，则sin≤sin（2x﹣）≤sin，即≤sin（2x﹣）≤1，2≤2sin（2x﹣）+1≤3，即f（x）的值域是[2，3]；（2）由（1）知f（x）=4sin（2x﹣）+1，当￢p成立时，2≤f（x）≤3，￢p：≤x≤，q：“﹣2＜f（x）﹣m＜2”，即q：“m﹣2＜f（x）＜2+m，若￢p是q的充分条件，则，即，解得1＜m＜4，故实数m的取值范围是（1，4）．点评：本题主要考查三角函数值域的求解，以及充分条件和必要条件的应用，综合性较强，涉及的知识较多．22．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．解答：解：（1）直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为．∴∴b=1∵椭圆的离心率e=，∴∴a2=3∴所求椭圆的方程是；（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，∴EC⊥ED∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0∴（1+k2）×+（2k+1）×（）+5=0解得k=＞1，∴当k=时，以CD为直径的圆过定点E点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．。

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