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前 言如果你要到一个大岩洞里去探险，该怎样走才能走遍岩洞的每个地方再安全地出来？如果你在地道里迷了路，如何自寻出路？读了这本小册子，不仅将得到这两个问题的满意答案，而且还可以学到一些图论的基本知识和探索问题的基本方法。
迷宫中的数学一 小探险家一游迷宫我们的故事发生在一座风景秀丽的滨海城市。
这个市的青少年乐园里，新近落成了一座奇巧的建筑物——迷宫。
几天时间，吸引了很多很多的青少年朋友。
凡是游过迷宫的人，无不感到兴趣盎然。
那些在迷宫里迷了路，吃够了“绕圈子”、“碰壁”的苦头，最后拖着酸软的双腿走出迷宫的人，更是津津乐道，准备重游。
迷宫落成的消息，很快惊动了我们这本小书的主人公之一——陈虎。
陈虎确实生得虎头虎脑，身体胖得像个一号电池。
他正在念初中三年级，同学们都叫他小虎子。
他有很强的好奇心，爱看冒险小说，打算将来做个探险家，只是他的性情比较急躁，行动莽撞。
迷宫落成的消息使他兴奋异常，他马上去约同班的好友林文和黄杰一起去“探险”一番。
林文和黄杰的性格比较文静。
林文喜爱文学，黄杰却对数学特别感兴趣。
他们对迷宫的兴趣显然不如陈虎大，但是经不起好朋友绘影绘声的宣传，终于同意星期天下午一道去游迷宫。
这是一个风和日丽的日子。
三个小探险家来到了那座奇妙的建筑物前面。
那是一个边长约３０米的露天正方形建筑物，大门的扁额上写着“迷宫”二字。
进出的游人不少，小虎子一下子就想闯进去，想不到衣角却被黄杰拉住了。
“哎！哎！哎！看看说明再进去！”原来黄杰一眼看见了墙上贴有“游宫说明”。
这份说明实在跟公园的其他说明大不一样，现抄录于下：游宫说明一、游迷宫是一种益智的数学游戏，敬请游客多动脑筋，十二岁以下儿童如无年长者带领，谢绝游宫；二、迷宫中心的标志是一尊半人半牛的希腊神像米诺陶，并备有休息处；三、每个岔路口都有开关一只，如果迷路时需要问路，可掀开开关，将有一张图纸详细指示你所在的位置和继续前进的方法，看完请即关闭开关，图纸自行消失；四、游客如需要，可领粉笔一支，以备游宫时使用。
古建筑中的数学奥秘《古建筑中的数学奥秘》嘿，小伙伴们！你们有没有想过，那些古老的建筑里居然藏着好多好多数学的秘密？就像一个超级大的宝藏等着我们去发现！先来说说故宫吧，那可是咱中国超级有名的古建筑。
你瞧那一间间的宫殿，排列得整整齐齐。
难道你不觉得奇怪吗？为啥它们的布局那么规整？其实啊，这里面就有数学的功劳！比如说宫殿之间的距离，那可不是随便定的，那是经过精确计算的哟！就像我们做数学题一样，每一步都要算得准准的。
要是算错了，这宫殿能这么好看吗？肯定不能啊！再看看那些亭台楼阁，它们的形状是不是特别美？有的是圆形的，有的是方形的。
这难道是随便建的？才不是呢！圆形的就像一个大大的甜甜圈，给人一种柔和、流畅的感觉；方形的呢，就像是一个稳稳的盒子，让人觉得特别踏实。
这就好比我们画画，要把形状画得好看，就得用数学知识来帮忙，算出角度和长度。
还有那些飞檐，高高地翘起，多好看啊！你知道吗？飞檐的长度和角度也是有讲究的。
这就好像我们放风筝，线的长度和角度不对，风筝能飞得高吗？我上次和小伙伴们一起去参观一个古老的寺庙。
哇，一进去就被那高高的柱子吸引住了。
小伙伴小明就问：“这柱子这么高，到底多高啊？”这时候老师走过来说：“这柱子的高度和整个寺庙的比例是有讲究的，这可都是数学哦！” 我们都瞪大了眼睛，觉得太神奇了。
还有那些古建筑上的雕花，那图案精美得让人惊叹！仔细看看，它们的排列和对称，不也是数学的体现吗？你想想，如果没有数学，这些古建筑能这么美吗？能经历那么多年的风雨还依然屹立不倒吗？肯定不行啊！数学就像是古建筑的魔法师，让它们变得坚固、美丽、令人赞叹！所以说，古建筑里的数学奥秘可真是太神奇啦！我们一定要好好学习数学，才能更好地欣赏和理解这些宝贵的文化遗产！。
2019小学关于迷宫游戏的数学文化早在古希腊神话中，就有迷宫的传说。
查字典数学网欢迎大家阅读小学关于迷宫游戏的数学文化，祝你学习愉快。
迷宫这个词，就是从希腊文演变过来的。
传说古埃及金字塔藏有珍宝，为了防盗，里面就建成迷宫的结构。
16世纪时，欧洲曾兴起一股建迷宫的热潮。
后来世界许多地方也都建起了迷宫。
迷宫开始为了藏宝，后来逐渐变成娱乐性建筑。
科学家把它移植到纸上，成为一种纸上游戏。
从这种游戏中，又总结出一门数学――图论。
我们这里选择一些有代表性的迷宫，相信大家会有兴趣地动手来“走”，动脑来想。
智斩牛首人身怪这是一个古老的走迷宫的游戏。
传说在4千年前，地中海中有一个克里特王国。
国王米诺斯有一个牛首人身的怪儿子。
国王为了遮羞，请工匠造了一个迷宫，将儿子藏在宫中。
这个怪物在宫中吃童男童女，给人们带来灾害。
青年英雄提修斯，决心到迷宫去杀死怪物。
在善良公主的帮助下，他终于到达迷宫中心，用魔剑杀死了牛首人身怪。
这个迷宫就是传说中的克里特迷宫。
玩法：图一是克里特迷宫的立体图，要求从入口一直走到中心。
图二是走的路线。
神秘的教堂西方有句谚语：法国人在教堂里造迷宫，而英国人把庭园建成迷宫。
为什么要把教堂建成迷宫呢?据说是为了让教徒知道，上天的路多么曲折。
这里我们介绍一个典型的教堂迷宫――法国沙特尔大教堂地板迷宫。
走法：这个迷宫呈圆形，只有一个入口，然后通过曲曲折折的路径，才能到达中心。
你来用笔“走一走”，会体会到路途中的艰辛。
迂回的庭园英国人把庭园建成迷宫式，使散步的人能悠闲地打发时光，也增加了庭园的美感。
至今，在英国伦敦还保留了一座1690年建的庭园迷宫――汉普顿庭园迷宫。
这个迷宫是用灌木围成的，是人们消闲的好去处。
走法：这个迷宫呈梯形，从开口处走进去，经过曲折路径，才可以到达中心。
注意，在这个迷官中，有许多分叉点或者是死胡同，你走的时候要在这些地点多加注意。
图二是正确的路线。
黄花阵在北京圆明圆里，曾经有过一个迷宫――黄花阵。
数阵图( 一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例 1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其余各数就好填了( 见右上图) 。
例 2 把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例 1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例 1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5] ÷ 2=10。
故宫中的数字与数学故宫中的数字与数学作者：赵燕凤钱宇光刘垚杨亚宁来源：《装饰装修天地》2019年第09期摘; ; 要：在北京城的中轴线上伫立着一座百年宫殿——紫禁城，也叫故宫，它历经了雨雪的冲刷，王朝的更迭，战火的洗礼，而今它却依旧能展现在世人的眼前，凭借的就是无数匠人的智慧，故宫中的种种细节和纷繁的建筑工藝都为世界展现出了它的不朽魅力。
故宫作为名扬中外的五大宫殿之首，明永乐四年开始规划建设，耗费十四年正式竣工，已有二十四名皇帝在紫禁城登基上位，无论是它的人文底蕴亦或是建筑工艺都在世界的历史长河中熠熠生辉。
关键词：神秘数字;屋檐;台基1; 神秘的数字1.1; 百尺故宫紫禁城是集权体制的产物，但它不使用高度作为审美追求建筑的宏伟。
在身高方面，大多数在紫禁城建筑的设计以“百尺”为原则，也就是说，建筑的高度主要是控制在23m～35m的范围内。
午门是紫禁城最高的单体建筑。
取午门作为一个例子。
它是皇帝用来威慑战俘的门，此门虽然很重要，它也只有37.5m的高度。
故宫中除午门、太和门和太和大殿之外，紫禁城所有建筑物的高都在35m以下。
在其他参考框架中，紫禁城建筑的比例结构也尤为考究。
在清代的封建社会背景下，统治者利用中央集权制度削弱诸侯势力来达到统治的目的。
因此，故宫的整体设计主要由以下两个部分组成：外朝和内廷。
外朝由中和殿、太和殿、保和殿三大殿组成。
后寝主要就是乾清宫和坤宁宫。
后寝的两侧坐落着东西六宫。
所有建筑都分布在中轴线的两侧。
建筑物的建设整齐的分布在紫禁城的中轴线上，可以说紫禁城的布局以中轴线为主，以东、西两侧的零散建筑物为辅。
在中轴线上共有六座建筑物，其两侧各有六座建筑。
各院落是根据其功能和性质加以分类，各个院落之间存在着分隔，但是利用甬道将其相连，这样的做法极为考究。
1.2; 巧妙比例外朝与内廷的布局设计是我们紫禁城最醒目的建筑标志。
内廷中的两大宫殿，彼此之间院落南与北相差218m，从东到西118m。
第10讲数阵图和幻方（二）幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题。
传说公元前二千多年，在大禹治水的时候，在黄河支流洛水浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为“洛书”、相传在我国远古的时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的“河图”，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
一般地，在n×n（n行n列）的方格内，不重不漏填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方。
这个和叫做幻和，n叫做阶。
幻方又叫魔方，九宫算或纵横图。
魔方：我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。
由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
九宫算：所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格。
每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相相等，这样得到的图就叫九宫（算）图。
纵横图：长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。
解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。
（定中间数，填四角数，算其余数）三阶幻方：就是将九个连续自然数填入3×3（三行三列）的方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方。
奇数阶幻方：“罗伯法”“楼贝法”西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。
古代的数学迷宫——图形数
古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。
甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。
这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点=数的集合”的古希腊思想。
若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。
例如，数3可以用3个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。
如图1－1。
然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。
毕达哥拉斯曾用小石头，如图1－2那样，从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形，他指着小石头叫别人数。
当那个人数完1、2、3、4时，毕达哥拉斯却说：“好啦，你说到的4，我看实际是10。
”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。
他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。
像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图1－3）。
设以Tn来表示第n个三角数，则Tn就等于1、2、3…n个自然数的和，把它列成数学式就是：
Tn=1＋2＋3＋…＋n
能排列出正方形的数叫做四角数（如图1－4），四角数构成了平方数。
若以Sn表示第n个四角数，则数学式就是：
Sn=n2
但是我们从图1-5可以看出，四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。
用数学式表示就是：
Sn=1＋3＋5＋…＋（2n-1）=n2
与四角数相对应，若从2开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图1－6），长方数也叫矩形数。
以Rn表示第n 个长方数，它的数学式就是：
Rn=2＋4＋…＋2n=n（n＋1）
在作四角数和长方数时，可以用和角尺一样的图形。
这种角尺状图形，数学上叫磬折形，其中表示的数叫磬折形数。
两个相邻磬折形数之差，实际上是数列的级差。
在三角数Tn、四角数Sn、长方数Rn之间存在着各种各样的关系。
如图1－7所示，两个三角数的和就等于一个长方数。
2Tn=n（n＋1）
从而，下式是可以成立的。
假如我们仔细地观察一下下面的两个数列，不难发现，相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。
这种关系，如图1－8，用数学式表示，则可为：
Tn-1＋Tn=Sn=n2
让我们再看看图1－9，图中用○符号表示的数是S5；用●
表示的数是S6，由图可以看出
4T5＋1=S5＋S6
从而，一般可以认为下式是成立的。
4Tn＋1=Sn＋Sn＋1
如果把含有符号×的全体考虑进去的话，则很清楚地看出下式也是成立的。
8Tn＋1=S2n＋1
希腊人还研究过如图1－10所示的五角数及图1－11所示的六角数。
他们把五角数排列成
1、5、1
2、22、35…
把六角数排列成
1、6、15、28、45…
设Pn表示第n个五角数；Hn表示第n个六角数。
我们只要稍微观察一下这两个图，就不难看出，以下的数学公式成立。
Pn=Sn＋Tn-1，Hn=2Sn-n
假如你观察不出来，你可以把五角数中的○那部分看成是Sn，把●那部分看成是Tn-1，两者相加不就是Pn了吗；另外，可以把六角数中的●部分数两遍，于是就可以把全体看成两个四角数，然后再减去多数一遍的●部分不就成了Hn
了吗。
下面让我们看看求三角数T1、T2…Tn之和的情况吧。
为了醒目起见，我们把T1、T2、T3…Tn先各乘上3，然后把3T1、
3T2、3T3…3Tn排列成如图1－12所示的样子，使之成为左右横向是Tn行；上下纵向是n＋2列的长方形。
于是由
3（T1+T2+…+Tn）=（n+2）Tn
可以得到下边比较易看的关系式：
然后，我们还可以看看求四角数S1、S2…Sn之和的情况。
因为每个四角数，都是由1起，依次只把奇数加起来的和表示的，所以S1、S2…Sn的和就可以排列出如图1－13所示的摩天楼样形状。
图中○表示奇数编号的四角数S1、S3、S5…●表示偶数编号的四角数S2、S4…
若在摩天楼的两侧各加上S1、S2…Sn的话，那么，从上到下的Tn行与从左到右的2n＋1列所形成的长方形就可以表示3S1、3S2…3Sn之和。
因而
3（S1＋S2＋…＋Sn）=（2n＋1）Tn
故可将上式变成
也就是可以得到下述的公式：
13世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。
他把12个、22个、32个…n2个小立方体堆积成A、B、C三个阶梯状的四角锥形。
把这三个四角锥粘结在一块，如图1－15所示，在C上就会凸出来Tn个小立方体，如把这些凸出的小立方体切去一半放在A上，就可以形成一个底面
是由作图得出的结果，所以也得到以下公式：
现在看看关于13、23…n3的求和公式。
让我们首先参看图1－16左上角的那个最小的中间有点的小正方形，我们把它看成是1的正方形，设它各边长为一单位，然后把它相邻的两边各延长2单位，再作一个每边长为1＋2=3的正方形。
这样在原来1的正方形右边添加的磬折形数就是2个22的正方形，也就是22×2=23。
为什么可以这样说呢？我们只要注意到图中打有双重斜线的地方，正好和空白的地方相抵消，于是就可以说添加的就是两个边长各是2的正方形，其中一个打右斜线，另一个打左斜线。
然后在相邻的两个边上再延长3个单位长，作一个每边长为1＋2＋3=6的正方形。
于是，添加的磬折形数就是33（3个32）。
进一步，相邻两边再延长4个单位长，又出现了空白抵消掉双斜线部分，添加了4个42，磬折形数成为43。
这样作出的正方形，因为每边都是1＋2＋3＋4单位长度，所以就成为：
13＋23＋33＋43=（1＋2＋3＋4）2
其一般通式，可以证明为：
13＋23＋…＋n3=（1＋2＋3＋…＋n）2
希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数，而且还研究了把点排列在空间的锥形数。
如果把点排列成三角锥的形状，它的样子就如图1－17所示。
其第n个三角锥数是
再看看排列成四角锥形状的图形，就可以得出其第n个四角锥数应是：
古希腊人不但由一个顶点引出射线，并在射线上取点作出多角数及锥形状，而且还由图形的中心点引出射线，依*射线作出了有心多角形。
其有心三角形，如图1－19所示是：1、4、10、19、31、46…
图中三条实线，每两条线间都有三个点，连同线上的点，排列成一个三角数。
其中中心点是三个三角数共有的，实线上的点是相邻两个三角数共有的。
因此第n个有心三角数的通式应为：
有心四角数如图1－20所示为：
1、5、13、25、41…
同理，第n个有心四角数，可以用下式表示：
4Tn-1＋1=2n（n-1）＋1
前边的图1－9也是一个有心四角数。
你不妨翻开前边看看，它对你理解有心四角数是会有帮助的。
此外，还可以按上述方法，进一步研究有心五角数及有心六角数等等。
那么，第n个有心五角数应该是由5Tn-1＋1给出，而第n个有心六角数则是由6Tn-1＋1给出。
如果在第n个有心六角数外边，再附加上6个第n-1号的三角数，那就可以作出一个星形六角数（如图1－22所示），其第n个星形六角数，可以由12Tn-1＋1给出。
我们从卡道纳所编的《数学游戏Ⅲ》中得知：可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。
例如，若令第n 个星形六角数6n（n-1）＋1等于一个平方数m2，即：
m2=6n（n-1）＋1
然后将上式的左边乘3再加2，其值就可以表示成三个连续自然数的平方和，同时还可以表示成两个连续自然数的平方和，用数学式表示就是：
3m2＋2=（m-1）2＋m2＋（m＋1）2
=（3n-2）2＋（3n-1）2
不过不是所有的星形六角数，都可以有上述的可构成平方数的关系，其中比1大的最小值是121。
此时，n=5、m=11，代入上式计算为：
365=102＋112＋122=132＋142
其次，能构成平方数的星形六角数是11881。
此时，n=45、m=109，代入上式为：
35645=1082＋1092＋1102=1332＋1342。
