任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念教学教案

第1篇三角函数的概念教学设计一等奖三角函数一. 教学内容：三角函数【结构】二、要求（一）理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

（二）掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）（三）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

（四）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin（ωx φ）的简图、理解A、ω、< 1271864542"> 的意义。

三、热点分析1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理。

第1篇课时：2课时年级：高中教材：《高中数学》必修4教学目标：1. 知识与技能：理解并掌握同角三角函数的基本关系式，能运用这些关系式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

2. 过程与方法：通过观察、分析、推导等活动，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

教学重难点：重点：理解并掌握同角三角函数的基本关系式及其应用。

难点：灵活运用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和恒等式证明。

教学准备：多媒体课件、教具（三角板、圆规等）教学过程：第一课时一、导入新课1. 复习任意角的三角函数定义，回顾正弦、余弦、正切的概念。

2. 提问：如何求一个角的正弦、余弦、正切值？二、新课讲授1. 引入同角三角函数的概念，强调同角三角函数的基本关系式。

2. 推导同角三角函数的基本关系式：（1）正弦函数与余弦函数的关系：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（2）正弦函数与正切函数的关系：$\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$（3）余弦函数与正切函数的关系：$\tan\theta = \frac{1}{\cos\theta}$3. 举例说明同角三角函数基本关系式的应用。

三、课堂练习1. 利用同角三角函数基本关系式进行三角函数式的化简。

2. 求一些特定角的三角函数值。

四、课堂小结1. 总结同角三角函数的基本关系式及其应用。

2. 强调掌握这些关系式对解决三角函数问题的重要性。

第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，提问：如何利用同角三角函数基本关系式进行三角函数恒等式证明？2. 引入三角函数恒等式证明的概念。

二、新课讲授1. 推导三角函数恒等式：（1）平方关系：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（2）和差关系：$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$（3）倍角关系：$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$，$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$2. 举例说明三角函数恒等式的应用。

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念佛山市顺德区郑敬诒职业技术学校黎玉珊【百度搜索】/view/b6c426c8a1c7aa00b52acbc6.html【百度搜索】/view/001d2e1ea300a6c30c229f72.html【百度搜索】/view/71d5f475f46527d3240ce03f.html【百度搜索】/view/13a30ad628ea81c758f5782e.html【百度搜索】/view/a16a75084a7302768e9939a6.html【课内教学】（一）复习引入、回想再认。

问题：初中，我们学习过锐角三角函数，（如图1）在OMP Rt ∆中，M ∠是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O ∠的正弦、余弦和正切是如何定义的？（通过提问，帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义）xy OM PM r x OP OM r y OP PM ======|||tan |||cos ||||sin ｜＝邻边对边｜＝斜边邻边＝斜边对边ααα 教师强调：只要角度确定了，无论角的边长如何改变，正弦、余弦和正切值都已经确定了。

每一个确定的锐角，都有相应的唯一的正弦值、余弦值和正切值与之对应。

因此，锐角三角函数是以角为自变量，以边长的比值为函数值的函数。

（以此强调来唤醒学生函数的认识）（二） 探讨学习、建构知识。

上节课，我们已经把锐角推广到了任意角，今天锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！问题1：今天我们能否继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？（引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数）问题2：（追问）在上节课，我们是如何将锐角的概念推广到任意角的？（更进一步引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数）打开【百度搜索】/view/be293d619b6648d7c1c746fb.html 网络上课件，与学生一起探讨将锐角三角形放到直角坐标系中研究（如图2）：把锐角α放置于直角坐标系（角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负轴重合），在直角坐标系中，在角α终边上任取一点p ，作x PM ⊥轴于M ，构造一个OMP RT ∆，则α=∠MOP （锐角）设)0,0)(,(>>b a b a P ，α的邻边a OM =、对边b MP =，斜长 22||b a r OP +== 图2α图4 问题3：我们知道，借助平面直角坐标系，就可以将几何问题代数化，如将点用坐标表示出来，把线段的长用坐标算出来。

5.2.1三角函数的概念【教学目标】1．能用三角函数的定义进行计算．2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．3．会利用诱导公式一进行有关计算．【要点梳理】1．任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．(3)要明确sin x是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．【思考诊断】1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？[答案]sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×【课堂探究】题型一任意角的三角函数的定义及其应用【典例1】(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路导引]利用三角函数的定义求解．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125. (2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. [答案] (1)－1213 513 －125(2)见解析 [名师提醒]求任意角的三角函数值的2种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．[针对训练]1．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( )A.12B.32C.22 D ．－22[解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝－112＋(－1)2＝－22. [答案] D2．已知角α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________. [解析] ∵α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y ， ∴⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34，又∵y <0，∴y ＝－32. ∴sin α＝－32，tan α＝3，sin αtan α＝－32×3＝－32. [答案] －32题型二 三角函数在各象限的符号问题【典例2】 判断下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3. [思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．[解] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.(2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0， 又因为－2π3是第三象限角，所以tan ⎝⎛⎭⎫－2π3>0，所以cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3<0. [名师提醒]判断三角函数值正负的2个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上．[针对训练]3．设θ是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则角θ2为第________象限角． [解析] 因为θ是第三象限角，所以π＋2k π<θ<32π＋2k π，k ∈Z ， 所以π2＋k π<θ2<34π＋k π，k ∈Z ，所以角θ2为第二、四象限角． 又因为⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2<0，所以θ2为第四象限角． [答案] 四题型三 诱导公式一的应用【典例3】 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解．[解] (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. [名师提醒](1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．(2)熟记一些特殊角的三角函数值．[针对训练]4．计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 【课堂小结】1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．公式一的理解(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的作用利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.【随堂巩固】1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵x ＝－4，y ＝3，∴r ＝(－4)2＋32＝5，∴cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D. [答案] D2．sin ⎝⎛⎭⎫－35π6的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫－35π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π6＝sin π6＝12，∴选A. [答案] A3．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或第四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案] C4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝________. [解析] ∵cos α＝－45<0，∴α角应为第二或第三象限角， 又∵y ＝－6<0，∴α为第三象限角，∴m <0 又∵－45＝m m 2＋(－6)2，∴m ＝－8. [答案] －85．求值：tan405°－sin450°＋cos750°.[解] tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32。

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数教学目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；会利用定义求任意角的三角函数值；⑵理解三角函数在各象限的正负号，会判断任意角三角函数的正负号；教学重点：任意角的三角函数的概念；三角函数在各象限的符号。

教学难点：任意角的三角函数值符号的确定．教学设计：（1）在知识回顾中推广得到新知识；（2）数形结合探求三角函数的定义域；（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号。

教学设备：多媒体教学课件。

教学过程：一、复习锐角三角函数的概念，导入新课。

（利用多媒体课件）二、讲授新课：（一）、任意角三角函数的概念：设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为；；．在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．由定义可以看出：当角的终边在轴上时，，终边上任意一点的横坐标的值都等于0，此时无意义．除此以外，对于每一个确定的角，三个函数都有意义．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：三角函数定义域RR｛︱｝当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数．例1 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值．分析已知角终边上一点P的坐标，求角的某个三角函数值时，首先要根据关系式，求出点P到坐标原点的距离，然后根据三角函数定义进行计算．解因为，，所以，因此，，．（二）、三角函数值的符号：由于，所以任意角三角函数的正负号由终边上点P的坐标来确定限．当角的终边在第一象限时，点P在第一象限，，所以，；当角的终边在第二象限时，点P在第二象限，，所以，；当角的终边在第三象限时，点P在第三象限，，所以，；当角的终边在第四象限时，点P在第四象限，，所以，．任意角三角函数值的正负如下图：例2判定下列角的各三角函数正负号：（1）4327º；（2）．解（1）因为，所以，4327º角为第一象限角，故，，．（2）因为，所以，角为第三象限角，故，，．例3根据条件且，确定是第几象限的角．分析时，是第三象限的角、第四象限的角或的终边在y轴的负半轴上的界限角)；时，是第二或第四象限的角．同时满足两个条件，就是要找出它们的公共范围．解取角的公共范围得为第四象限的角．三、练习：1．判断下列角的各三角函数值的正负号：（1）525º；（2）-235 º；（3）；（4）．2．根据条件且，确定是第几象限的角．3．已知角的终边上的点P的座标如下，分别求出角的正弦、余弦、正切值：⑴；⑵；四、小结：理解任意角的三角函数的定义及定义域；会利用定义求任意角的三角函数值；理解三角函数在各象限的正负号，会判断任意角三角函数的正负号。

《任意角的三角函数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

（2）掌握三角函数在各象限的符号。

（3）能根据角的终边上的点的坐标求出三角函数值。

2、过程与方法目标（1）通过单位圆的引入，经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。

（2）通过对三角函数定义的探究，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的整体性。

二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。

2、教学难点用坐标法定义任意角的三角函数；三角函数在各象限的符号。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课通过回顾锐角三角函数的定义，引导学生思考如何将三角函数的概念推广到任意角。

在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别定义为：正弦：对边与斜边的比值；余弦：邻边与斜边的比值；正切：对边与邻边的比值。

提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、讲授新课（1）单位圆的概念在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。

（2）任意角三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y)，那么：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x （x≠0）强调三角函数值是一个比值，与点 P 在终边上的位置无关，只与角α的大小有关。

（3）三角函数在各象限的符号引导学生通过观察单位圆中角的终边所在象限，以及对应的三角函数值的正负，总结出三角函数在各象限的符号规律。

正弦函数在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦函数在一、四象限为正，二、三象限为负；正切函数在一、三象限为正，二、四象限为负。

3、例题讲解例 1：已知角α的终边经过点 P(3,－4)，求sinα、cosα、tanα的值。

任意角的正弦函数余弦函数和正切函数的概念教学设计教学目标：1.了解任意角的概念；2.了解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；3.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数图像的特点；4.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的性质；5.能够应用正弦函数、余弦函数和正切函数解决问题。

教学准备：1.教材《高中数学》等教科书；2.教学工具：黑板、彩色粉笔或白板、标尺、计算器；3.准备保存有正弦函数、余弦函数和正切函数图像的PPT课件；4.打印练习题。

教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）教师通过问题导入，例如：“请思考一下，在一个圆中，一点在圆上运动一周，每走一段距离，与圆心连线和圆的切线所夹的角会发生什么变化？”教师引导学生观察并回答，强调所描述的角度是一个“任意角”。

Step 2：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义（15分钟）1.教师向学生介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，正弦函数表示角的正弦值与半径之比，余弦函数表示角的余弦值与半径之比，正切函数表示角的正切值与半径之比。

2.将观察到的圆运动图示出来，并告诉学生圆心到运动点的距离为13. 教师给出正弦函数、余弦函数和正切函数的基本公式：sinθ=x,r=1；cosθ=y,r=1；tanθ=x/y。

Step 3：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像（15分钟）1.教师以PPT课件的形式展示正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，解释图中x轴和y轴的含义，并强调坐标轴上的单位。

2.教师详细讲解几个正弦函数、余弦函数和正切函数图像的特点，如周期性、对称轴、值域等。

Step 4：正弦函数、余弦函数和正切函数的性质（15分钟）1.教师给出正弦函数、余弦函数和正切函数的周期、对称性、增减性、奇偶性和值域等性质，并结合图像进行说明。

2.教师通过举例说明正弦函数、余弦函数和正切函数在不同象限和角度值的取值范围。

Step 5：练习与应用（30分钟）1.学生在教师的指导下，完成练习题，巩固所学的知识。

任意角的三角函数教案关键信息项1、教学目标理解任意角三角函数的定义。

掌握三角函数在各象限的符号。

能运用三角函数的定义解决相关问题。

2、教学重难点重点：任意角三角函数的定义。

难点：三角函数在各象限的符号判断及应用。

3、教学方法讲授法练习法讨论法4、教学工具多媒体课件黑板、粉笔导入新课讲授课堂练习课堂总结作业布置11 教学目标111 知识与技能目标通过本节课的学习，学生能够理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，明确其定义域和值域，并能熟练运用定义求解相关问题。

112 过程与方法目标经历从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程，培养学生的数学抽象和逻辑推理能力。

113 情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，感受数学的严谨性和逻辑性。

12 教学重难点任意角三角函数的定义是本节课的重点。

学生需要明确在平面直角坐标系中，对于任意角α，其终边上任取一点 P（x，y），点 P 到原点的距离 r ＝√（x²＋ y²) ，则正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x （x ≠ 0）。

122 教学难点三角函数在各象限的符号判断及应用是本节课的难点。

由于角的终边位置不同，三角函数值的符号也不同，需要学生牢记“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀，并能灵活运用。

13 教学方法131 讲授法通过教师的详细讲解，让学生理解任意角三角函数的定义、性质和应用。

132 练习法安排适量的课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

133 讨论法组织学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作精神和思维能力。

14 教学工具141 多媒体课件利用多媒体课件展示图形、动画等，帮助学生直观地理解任意角三角函数的概念。

142 黑板、粉笔用于教师板书重点内容和解题过程，方便学生记录和复习。

15 教学过程151 导入通过回顾锐角三角函数的定义，引导学生思考如何将其推广到任意角。

5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合， 始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析 过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比 值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函 数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 y=sin x ，x R ∈； 余弦函数 cos y x =，x R ∈； 正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -， 求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解 由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)； （2）P(5，12)； （3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同； 余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同； 正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将 ， ， 的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒； （2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解 （1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+， 可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角， 所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。