高中数学必修四第二章知识点与测试复习进程

数学必修4第二章知识点第二章排列组合与二项式定理一、排列组合1.排列：从若干个不同元素中选取若干元素按照一定的顺序排列起来，形成一种有序的选择方式。

常用的排列计数方法有阶乘法和递推法。

2. 组合：从若干个不同元素中选取若干元素，不考虑其顺序，形成一种无序的选择方式。

常用的组合计数方法有阶乘法、递推法和Pascal三角形法。

3.全排列和循环排列：全排列是指从n个不同元素中每次选取一个元素排列，循环排列是指从n个不同元素中每次选取m个元素排列，然后再将这m个元素循环移动m-1次，形成的排列方式。

4.二项式系数：二项式系数是组合数的具体数值，表示每一项的系数，迅速计算二项式系数的方法有杨辉三角法和二项式定理。

二、二项式定理1. 二项式定理的表述：$(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b +C_n^2a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^na^0b^n$，其中，C是组合数。

2.二项式定理的应用：（1）在多项式展开时，可以利用二项式定理快速展开。

（2）在数列中，存在二项式系数、卢卡斯定理等特殊问题。

（3）在概率问题中，二项分布等和二项式定理相关的概率分布出现。

3.二项式定理的证明：有代数证明、排列组合证明和数学归纳证明等方法。

三、习题解析1.排列组合的题型：包括数字解释题、列式计算题、选择题。

（1）数字解释题：根据题目提供的条件进行计算和解释。

（2）列式计算题：根据排列组合的原理和性质，列式计算。

（3）选择题：选择题主要考察对排列组合思想的运用，需要理解排列组合的基本概念和性质。

2.二项式定理的应用题：包括数字计算题、证明题、选择题。

（1）数字计算题：利用二项式定理快速计算表达式的值。

（2）证明题：根据题目给出的等式，通过代数证明、组合证明或数学归纳法给出证明。

（3）选择题：选择题主要考察二项式定理的应用和理解。

综上所述，数学必修4第二章主要包括排列组合和二项式定理两部分内容。

描述：例题：2.平面向量的分解平面向量基本定理如果 、 是同一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 ，存在唯一的一对实数 、，使 ．我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base），记做 ． 叫做向量 关于基底 的分解式．平面向量的正交分解及坐标表示如果基底的两个基向量 ， 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．在平面直角坐标系 中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 作为基底．由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 、，使得 ．这样，平面内的任一向量 都可由 、 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 在基底 的坐标，记做 ，其中 叫做 在 轴上的坐标分量， 叫做 在 轴上的坐标分量．e 1→e 2→a →a 1a 2=+a →a 1e 1→a 2e 2→e 1→e 2→{,}e 1−→e 2−→+a 1e 1→a 2e 2→a →{,}e 1−→e 2−→e →1e →2xOy x y e 1→e 2→a 1a 2=+a →a 1e →1a 2e →2a →a 1a 2(,)a 1a 2a →{,}e →1e →2=(,)a →a 1a 2a 1a →x a 2a →y 设 、 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与．其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是______（写出满足条件的序号）．解：③① 中，设 ，则 无解，所以 与 不共线，故 与 可作为一组基底；同理，可得 ② ④ 中的两个向量不共线，可作为一组基底；③ 中的两个向量共线，不可作为一组基底．e 1→e 2→e 1→+e 1→e 2→−2e 1→e 2→−2e 2→e 1→−2e 1→e 2→4−2e 2→e 1→+e 1→e 2→−e 1→e 2→+=λe 1→e 2→e 1→{λ=1,1=0,+e 1→e 2→e 1→e 1→+e 1→e 2→在 中，，延长 至 ，使 是 中点，设 ，．试用 、 表示 、．△OAB =2OD −→−DB −→−BA C A BC =OA −→−a →=OB −→−b →a →b →OC −→−DC −→−−→−2−→−。

高中数学必修四第二章知识点总结与测试高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+r r r r r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r；②结合律：()()a b c a b c++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r ．⑸坐标运算：设()11,a x y =r，()22,b x y =r，则()1212,a b x x y y +=++rr ．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =r，()22,b x y =r，则()1212,a b x x y y -=--rr ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r．4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr． ①a aλλ=r r；②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r的方向相反；当0λ=时，0a λ=rr ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a aλμλμ+=+r r r；③()a b a bλλλ+=+r r r r．⑶坐标运算：设(),a x y =r，则()(),,a x y x y λλλλ==r．5、向量共线定理：向量()0a a ≠r r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．br a rCBAa b C C-=A -AB =B u u ur u u u r u u u r r r高中数学必修四第二章知识点总结与测试设()11,a x y =r，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()0b b ≠r r r 共线．6、平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。

数学必修四第二章公式知识点数学必修四第二章的公式知识点包括以下内容：1. 二次函数的标准形式公式：- f(x) = ax^2 + bx + c ，其中 a ≠ 0- 抛物线的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))2. 二次函数的顶点形式公式：- f(x) = a(x - h)^2 + k ，其中 a ≠ 0- 抛物线的顶点坐标为：(h, k)3. 二次函数的一般形式公式：- f(x) = ax^2 + bx + c ，其中 a ≠ 0- 抛物线的判别式为：Δ = b^2 - 4ac- 若Δ > 0，则抛物线与 x 轴有两个交点，抛物线开口朝上- 若Δ = 0，则抛物线与 x 轴有一个交点，抛物线开口朝上或朝下- 若Δ < 0，则抛物线与 x 轴没有交点，抛物线开口朝下4. 二次函数的平移变换公式：- 左右平移：f(x) = a(x - p)^2 + q，p 表示左平移的单位数，q 表示右平移的单位数- 上下平移：f(x) = a(x - h)^2 + k，h 表示上平移的单位数，k 表示下平移的单位数5. 两点间的距离公式：- 设两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则两点间的距离为：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]6. 平面上两直线之间的夹角公式：- 设直线 L1 的斜率为 k1，直线 L2 的斜率为 k2，则两直线之间的夹角θ的正切值为：tanθ = |(k2 - k1)/(1 + k1k2)|7. 线性规划的基本概念和解法：- 暴力列出所有约束条件，求得约束条件的交集区域- 求出目标函数在交集区域的最大值或最小值以上是数学必修四第二章的一些重要公式知识点，希望能对你的学习有所帮助。

高中数学必修四第二章知识点总结与测试 高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 0的向量．单位向量：长度等于 1个单位的向量．平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法那么的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法那么的特点：共起点．r rrrrrab a b a b⑶三角形不等式：．r r r r⑷运算性质：①交换律： a b b a ；r r rrrrrr r r rabcabc②结合律：；③a0 0a a ．rrr ry2．⑸坐标运算：设 ax 1,y 1 ，b x 2,y 2 ，那么ab x 1x 2,y 13、向量减法运算： ⑴三角形法那么的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．rr x 2,y 2rrx 1x 2,y 1 y 2⑵坐标运算：设ax 1,y 1，b，那么ab ．,yuuurx 1x 2,y 1 y 2设、两点的坐标分别为 1122，那么．x,y，x4、向量数乘运算：Crarbrr uuur uuur uuur ab C Crr ⑴实数与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a ．r r①aa ；0时，r r0时，r r②当a 的方向与a 的方向相同；当 a 的方向与a 的方向相反；当rr0时，a0．r rr r rr r r r ⑵运算律：①a a；②aaa；③abab ．rry ．⑶坐标运算：设ax,y，那么a x,y x,r r rr r r aa05、向量共线定理：向量与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．1高中数学必修四第二章知识点总结与测试r rr rr rrx 1,y 1，bx2,y 2x 2y 10 r bb 0设a，其中b 0，那么当且仅当x 1y 2时，向量a 、共线．uruur6、平面向量根本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内rruruururuur的任意向量a ，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．〔不共线的向量e 1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底〕7、分点坐标公式：设点 是线段12上的一点， 1、2的坐标分别是x 1,y 1，x 2,y2，uuuruuurx 1 x 2,y 1y 2当12时，点的坐标是 11．〔当1时，就为中点公式。

第二章平面向量…■小结与复习一、教学目标:知识与技能：1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2.了解平面向量基本定理.3.向蚩的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4.了解向量形式的三角形不等式：\[a\^\<\a^\<\a\^\（试问：取等号的条件是什么?）和向量形式的平行四边形定理：2（\^\2+\b\2）=\a-b^\a + b\\5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6.向量的坐标概念和坐标表示法7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）&数量积（点•乘或内积）的概念，a・||b|c°s&=西勺+只旳注意区别"实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”过程与方法：通过木节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平而儿何问题中的优越性，活跃学生的思维,发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义•教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.情感、态度与价值观通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力.进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性.二.重点难点重点：平面向暈的基本概念和基本解题方法难点：知识的综合运用能力三、教材与学情分析平面向量部分有许多新的概念和独特的运算体系，学生掌握较为困难。

在复习中一-方血再次澄清基本概念，熟悉运算方法。

同时从本章知识的整体上来理解和把握，在具体问题解决中加深理解和知识的综合运用能力。

四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学.五、教学过程（一）知识梳理、构建网络_I 字母表示］ r-|W| ---- 1几何表示I口坐标表示］”运算律I _______________ ［三角形法则I向虽的加法与减g ］~ 平行四边形法则I」加法与减法的坐标表示I1. 平面向量的基本概念主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考 试的热点，一•般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查, 往往一些学生只求出一个而遗漏另一个.2. 向塑的线性运算主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；学握向量 减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律.同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线 段相等及两直线平行等问题.3. 向量的坐标运算主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两 向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量.4. 平面向量的数量积平而向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算， 特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平 行或垂直，能解答有关综合问题.5. 平面向量的应用一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题.（二）典例解析、归纳提升平面向量 运算 数乘 4共线的充要条件及其坐标表示I 彳平面向量基本定理I」向量与实数的积和坐标表示I专题一向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：⑴向量a 、b(a^)共线o 存在唯一实数几使b=Aa ； (2)向量a =(xi ，pi), b=(x 2f 力)共线0兀1力一x“i=O ； (3)向量a 与〃共线o \a-b\ = \a\\b\； (4)向量a 与〃共线o 存在不 全为零的实数山,久2,使2"+妙=0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点.【例1】设坐标平面上有三点/、B 、C, i 、j 分别是坐标平面上x 轴，y 轴正方向的单位向量，若向量 Ah=i~2j, 那么是否存在实数加，使/、B 、C 三点共线.解 法一 假设满足条件的加存在，由力、B 、C 三点共线，即焉〃就,f A・•・存在实数儿使為=历乙i —万=2(汁呦)，:’”n=_2,・•・加=一2,・••当m = -2时，A. B 、C 三点共线.法二 假设满足条件的加存在，根据题意可知：i=(l,0), /=(0,1),•皿=(1,0)—2(0,1) = (1, -2),5t=(l,0)+w(0,1)=(1, w),由彳、B 、C 三点共线，即励〃处故 1•加_1・(_2)=0, 解得加=一2,・・・当加=一2时，A. B 、C 三点共线.【例2】已知a = (l,2), 〃=(一3,2),若ka+2b 与加一4方平行，求实数k 的值.解 法一 向量ka+2b 与2a —4〃平行，则存在唯一实数久，使ka+2b=2(2a —4方).・・・滋+2〃=«1,2) + 2(—3,2)=伙一6,2&+4), 2°—4〃 = 2(1,2)—4(一3,2)=(14, -4),・・・*一6,2£+4)=/1(14, -4).法二•・•衍+2〃=«1,2)+2(—3,2)=伙一6,2«+4), 2a —4方=2(1,2)—4(一3,2)=(14, -4), ka+2b 与 2a~4b 平行，・・・化一6)><(—4)一(2£+4〃14=0.解得 k=~\.专题二向量的夹角及垂直问题1. 求两个向量的夹角主要利用两个公式：(l) c os0=儲，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模.2. 解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为冬，与求夹角一•样，若向量能用处标表示,将它转化为“小2+舛2 = 0”较为简单. 3. 用向量方法解决平面儿何屮的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问 题转化为两向暈的夹角与垂直问题，再利用向暈知识求角.(2)cos 0= x\x 2+y\y2求解的前提是: 对以求出两个向量的坐标. A-6=14A,2卄4=_4久, ・・・实数£的值为一1.【例3】 已知三个点J(2,l), 3(3,2), £>(-1,4).(1) 求证：ABLAD ；(2) 若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标以及矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值.⑴证明 ・・・力(2,1), 3(3,2), »(—1,4), •滋=(1,1),盘>=(一3,3)・1x(-3)+1x3 = 0,・•・乔丄力2),即力3丄AD.⑵解 ・・•石丄話，四边形ABCD 为矩形，:.A^=Db,设C 点坐标为(x, y)f 则DC=(兀+1, y-4),从而花=(—2,4),筋=(—4,2),且|花|=2逅，|筋| = 2书，応•筋=8 + 8= 16,设花与劝的夹角为&,则cos°=T 巴=幕£4 ・•・矩形ABCD 的两条对角线所夹锐角的余眩值为亍【例4】己知向量a=(4, —2), 〃=(x,l).(1) 若a, 〃共线，求x 的值；(2) 若a 丄b,求兀的值；(3) 当x=2时，求a 与方夹角&的余弦值.解 (l)Va, b 共线,：.-2x=4,：.x=-2.(2)*•*u 丄〃，4x —2=0.x =~j*专题三向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点.一般地, 求向量的模主要利用公式|a|2=a 2,将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行 展开、合并，使问题得以解决，或利用公式同=7?幵，将它转化为实数问题，使问题得以解决.【例5】 设阀=|创=1, |3a_2创=3,求\3a+b\的值.解 法一 ・・・|3a — 2〃| = 3, ：.9(r-]2ab+4b 2=9.又T|a| = |创=1, :.ab=^.:.\3a+h^=(3a+h)2 = 9a 2 + 6a-b+h 2 = 9+6^+\ = n.：.卩 a+创=2羽.法一:设 a =(x\, y{)f 0=(x2，力).*•* \ci\ = \b\=ir =£+務=1.・・°3a —2方=(3xi — 2匕3尹]_2力)，|3a_2b\ = ~3x\—2x2~~~3yi~2y2~~5=3..••兀M “ =£•/.\3a~\~b\ = 3xi +兀2 3/ +力 ° 9 + 1 + 6远=2*^3.x+l = l,j-4=l.x=0, 解得L. ・••点C 坐标为(0,5).(3) 当兀=2时，a b=6,同=侦，|妇运・・.cos 片储=證萌 £专题四平面向量与函数的综合问题平血向量既反映了数量关系，又体现了几何图形的位置关系，从而将数和形有机地结合起来，因此以平而向量的相关知识为载体，在知识交汇处设计创新力度较大、综合性较强的试题，有效地沟通了知识间的横向联系，有助于知识网络的构建，有力地考查了学生的综合能力.【例6】设0<|«|<2, /(x)=cos2x—|a|sinx—|Z>|的最大值为0,最小值为一4,且a与方的夹角为45。

必修四数学第二章知识点必修四数学第二章知识点11.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

2.规定若线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。

具有方向和长度的线段叫做有向线段。

3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。

向量a的模记作|a|。

注：向量的模是非负实数，是可以比较大小的。

因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。

对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

4.单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量，叫做单位向量.与向量a 同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0。

5.长度为0的向量叫做零向量，记作0。

零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

向量的计算1.加法交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2.减法如果a、b是互为相反的.向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0加减变换律：a+(-b)=a-b3.数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π向量的数量积的运算律a·b=b·a(交换律)(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)高中学好数学的方法是什么数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

数学必修四第二章平面向量知识点第二章平面向量1. 平面向量的概念：平面上具有大小和方向的箭头。

2. 向量的表示：向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如a→。

3. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量。

4. 向量的加法：向量a→与向量b→相加得到向量c→，其坐标分别相加，即c→ = a→ + b→。

5. 向量的减法：向量a→与向量b→相减得到向量c→，其坐标分别相减，即c→ = a→ - b→。

6. 向量的数量积：向量a→与向量b→的数量积，用a·b表示，满足a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a→和向量b→的模，θ为两个向量夹角的大小。

7. 向量的数量积的性质：具有交换律、结合律和分配律。

8. 向量的夹角：向量a→与向量b→的夹角可以通过向量的数量积来计算夹角的余弦值。

9. 向量的夹角的性质：两个向量夹角为0°，当且仅当它们是同一向量或其中一个向量是另一个向量的相反向量。

10. 向量的共线与垂直：两个向量共线，当且仅当它们的夹角为0°或180°；两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。

11. 平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示，即向量a→可以表示为(a,b)。

12. 平面向量的数量积的坐标表示：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积为a1b1 + a2b2。

13. 向量的数量积与坐标表示的关系：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积等于它们的坐标相乘的和。

14. 平移向量：平面上的一点A沿着一条向量a→移动到另一点B，其位置关系可以用带箭头的线段→AB表示，这条线段就是向量a→。

15. 平面向量的模运算：给定向量a→(a1, a2)，有|a→| = √(a1^2 + a2^2)。

这些是数学必修四第二章平面向量的核心知识点。