高中数学必修4测试题及答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A 组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°． 答案：（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限； （3）236°50′，第三象限； （4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x 轴上的角的集合． 答案：S={α|α=k ·180°，k ∈Z }．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k ·360°，k ∈Z }，－300°，60°； （2）{β|β=－75°＋k ·360°，k ∈Z }，－75°，285°； （3）{β|β=－824°30′＋k ·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′； （4）{β|β=475°＋k ·360°，k ∈Z }，－245°，115°； （5）{β|β=90°＋k ·360°，k ∈Z }，－270°，90°； （6）{β|β=270°＋k ·360°，k ∈Z }，－90°，270°； （7）{β|β=180°＋k ·360°，k ∈Z }，－180°，180°； （8）{β|β=k ·360°，k ∈Z }，－360°，0°． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 答案： 象限 角度制弧度制一 {β|k ·360°＜β＜90°＋k ·360°，k ∈Z } {|22,}2k k k πβπβπ<<+∈Z二 {β|90°＋k ·360°＜β＜180°＋k ·360°，k ∈Z }{|22,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z三 {β|180°＋k ·360°＜β＜270°＋k ·360°，k ∈Z }3{|22,}2k k k πβππβπ+<<+∈Z 四{β|270°＋k ·360°＜β＜360°＋k ·360°，k ∈Z }3{|222,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z 说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角 （2）已知α是第一象限角，那么2α是（ ）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°． （2）D说明：因为k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度： （1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度： （1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23． 答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值； （2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？ 答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度 （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数． 因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=， 时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n ≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ． 说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°． 答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===； （2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=； （3）133sin ,cos ,tan 223ααα===； （4）31sin ,cos ,tan 322ααα===． 说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-． 说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°； （2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin2446663ππππππ-+-++； （4）2423sin cos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-； （4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=． 答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号： （1）sin186°； （2）tan505°； （3）sin7.6π； （4）23tan()4π-； （5）cos940°；（6）59cos()17π-． 答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负． 说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号： （1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ． 答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-； （2）15tan()4π-；（3）cos398°13′； （4）tan766°15′． 答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sin θ·tan θ＜0； （2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cos θ·tan θ＜0； （3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,3 2-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34 sin,cos55αα==-，当α为第四象限角时，34 sin,cos55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin3x=-，求cosx，tanx的值．答案：当x为第三象限角时，222 cos,tan34x x=-=；当x为第四象限角时，222 cos,tan34x x==-.说明：要分别对x是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cos α－sin α的值． 答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角．13、求证： （1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cos β－1）2＋sin 2β=2－2cos β；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边； （2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cos β＋cos 2β＋sin 2β=2－2cos β；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x ·cos 2x=1－2sin 2x ·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α． 答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tan α说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tan α=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x ·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等． 说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上： （1）cos210°=__________； （2）sin263°42′=__________； （3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________； （7）tan632°24′=__________； （8）17tan6π=__________． 答案：（1）－cos30°； （2）－sin83°42′ （3）cos 6π； （4）sin3π；（5）2cos9π-； （6）－cos75°34′； （7）－tan87°36′； （8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值： （1）17cos()4π-； （2）sin （－1574°）； （3）sin （－2160°52′）； （4）cos （－1751°36′）； （5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）32 -说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+； （3）3cos()2πα-； （4）tan()2πα-．答案：（1）12； （2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-； （4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]； （2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]． 答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ； （2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ； （4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12； （2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3； （3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-． 说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ； （2）1cos 42y x =，x ∈R ． 答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）sin103°15′与sin164°30′； （2）4744cos()cos()109ππ--与； （3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）． 答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′； （2）4744cos()cos()109ππ->-； （3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间： （1）y=1＋sinx ，x ∈R ； （2）y=－cosx ，x ∈R ． 答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数． （2）当x ∈[（2k －1）π，2k π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数； 当x ∈[2k π，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数． 说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π． 说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： （1）13tan()tan()57ππ--与； （2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与； （4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合： （1）1＋tanx ≥0；（2）tan 30x -≥． 答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=． 说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？ 对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（k π，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=k π，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥； （2）22cos 0()x x +∈R ≥． 答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤； （2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤． 说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间． 答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变 （3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变 答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ； （2）1cos32y x =，x ∈R ； （3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ； （4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x ∈[0,＋∞）； （2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）． 答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-． 先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相； （2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ． 答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞． （1）求小球摆动的周期；（2）已知g ≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ． 说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式．t 0 t 0 2t 0 3t 04t 05t 0 6t 0 7t 0 8t 0 9t 010t 0 11t 0 12t 0s－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1 －10.1－17.8－20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ （3）经过多少时问小球往复运动一次？ （4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)； （2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2； （3）经过2π秒小球往复运动一次； （4）每秒钟小球能往复振动12π次． 说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos2A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan3A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π； （2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ； （2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2k π，k ∈Z }，－2π，0，2π． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4； （2）cos5； （3）tan8； （4）tan （－3）． 答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sin φ，tan φ． 答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==； 当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-． 说明：先求sin φ的值，再求tan φ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值． 答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-． 说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cos α表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sin α）（1＋cos α）=（1－sin α＋cos α）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1． 答案：（1）左边=2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α=1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α =右边． （2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tan α=3，计算： （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sin αcos α；（3）（sin α＋cos α）2． 答案：（1）57；（2）310；（3）85． 说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21c o s 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算． （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos（2π－α）；（2）tan（α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3 cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，3 cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，3 tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3 tan(7)3απ-=-．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin（－879°），313t a n(),c o s()810ππ--；（3）sin3，cos（sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin（－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588 810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos（sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12、设π＜x＜2π，填表：x 76π74πsinx －1cosx22-32tanx 3答案：x 76π54π43π32π74π116πsinx12-22-32-－122-12-cosx32-22-12- 02232tanx3313不存在－133-说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由： （1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合： （1）sin 2xy π=+，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ． 答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }； 最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2k π，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x ≤2π，求适合下列条件的角x 的集合： （1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数； （2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数； （4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤； （2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤． 说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π． 把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x轴上的角的集合．答案：S={α|α=k·180°，k∈Z}．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k∈Z}，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k·360°，k∈Z}，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k·360°，k∈Z}，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k·360°，k∈Z}，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k·360°，k∈Z}，－180°，180°；（8）{β|β=k·360°，k∈Z}，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．小于180°的正角D ．第一或第二象限角 （2）已知α是第一象限角，那么2α是（ ）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 答案：（1）C说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°． （2）D说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角． 6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念． 7、把下列各角度化成弧度： （1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度： （1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23． 答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算． 9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值； （2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？ 答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618SS =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由． （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度 （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数． 因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=， 时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =． 用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以144011n ≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm． 说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）1sin ,tan 22ααα===（2）sin tan 122ααα=-=-=；（3）1sin ,cos tan 2ααα===（4）1sin ,tan 2ααα=== 说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．答案：当a ＞0时，434sin ,cos ,tan 553ααα===；当a ＜0时，434sin ,cos ,tan 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值． 3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°； （2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin 2446663ππππππ-+-++；（4）2423sincos tan 323πππ+-． 答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-； （4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值． （1）4x π=；（2）34x π=． 答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题． 6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°； （2）tan505°； （3）sin7.6π； （4）23tan()4π-； （5）cos940°；（6）59cos()17π-． 答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负． 说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 7、确定下列式子的符号： （1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ． 答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-； （2）15tan()4π-；（3）cos398°13′； （4）tan766°15′． 答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值． 9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0； （2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0； （3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0． 答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0． 当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0； 当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0， 所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0． 再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0， 当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角； 当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角． 综上所述，原命题成立． （其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知sin α=，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值； （2）已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值； （3）已知3tan 4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,2 （2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34sin ,cos 55αα==-， 当α为第四象限角时，34sin ,cos 55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1． 说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin 3x =-，求cosx ，tanx 的值．答案：当x 为第三象限角时，cos tan x x ==当x 为第四象限角时，cos tan 34x x ==- 说明：要分别对x 是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 2απαπ=<<，求cosα－sinα的值．答案：11)2说明：角α是特殊角． 13、求证： （1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cosβ－1）2＋sin 2β=2－2cosβ；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边； （2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cosβ＋cos 2β＋sin 2β=2－2cosβ；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x·cos 2x=1－2sin 2x·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α． 答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2α为第二象限角． 答案：－2t anα说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简． 3、已知tanα=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式． 4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等． 说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上： （1）cos210°=__________； （2）sin263°42′=__________； （3）cos()6π-=__________； （4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________； （7）tan632°24′=__________； （8）17tan6π=__________． 答案：（1）－cos30°； （2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π； （5）2cos 9π-；（6）－cos75°34′； （7）－tan87°36′； （8）tan6π-． 说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数． 2、用诱导公式求下列三角函数值： （1）17cos()4π-； （2）sin （－1574°）； （3）sin （－2160°52′）； （4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）2；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）-说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-； （4）tan()2πα-． 答案：（1）12； （2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-； （4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x∈[0，2π]； （2）y=3cosx ＋1，x∈[0，2π]． 答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ； （2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ； （4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k∈Z }，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k∈Z }，最大值是12； （2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3； （3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-； （4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-． 说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期： （1）2sin 3y x =，x∈R ； （2）1cos 42y x =，x∈R ． 答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx＋φ）和函数y=Acos （ωx＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）sin103°15′与sin164°30′； （2）4744cos()cos()109ππ--与； （3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）． 答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′； （2）4744cos()cos()109ππ->-； （3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究． 5、求下列函数的单调区间： （1）y=1＋sinx ，x∈R ； （2）y=－cosx ，x∈R ． 答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数． （2）当x∈[（2k －1）π，2kπ]，k∈Z 时，y=－cosx 是减函数； 当x∈[2kπ，（2k ＋1）π]，k∈Z 时，y=－cosx 是增函数． 说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性． 6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期． 答案：2π． 说明：可直接由函数y=Atan （ωx＋φ）的周期T πω=得解． 8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： （1）13tan()tan()57ππ--与； （2）tan1519°与tan1493°； （3）93tan 6tan(5)1111ππ-与； （4）7tantan 86ππ与． 答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tantan 86ππ<． 说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx≥0；（2）tan 0x ． 答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式． 10、设函数f （x ）（x∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=． 说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题． 11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？ 对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k∈Z ，对称轴的方程是x=kπ，k∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k∈Z ，正切曲线不是轴对称图形． 说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）sin )2x x ∈R ≥；（22cos 0()x x ∈R ≥． 答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤； （2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤． 说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间． 答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ． 说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度 D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos5xy =，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）、 A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变 （3）为了得到函数1cos 4y x =，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变 答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x∈R ； （2）1cos32y x =，x∈R ； （3）3sin(2)6y x π=+，x∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A 、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48xy π=-，x∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x∈[0,＋∞）． 答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x∈R的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x∈R的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相； （2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ． 答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，2i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s）的函数关系是),[0,)3s t π=+∈+∞． （1）求小球摆动的周期；（2）已知g≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ） 答案：（1）2（2）约24.8cm ． 说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x∈[0，＋∞）． 说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题： （1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ （3）经过多少时问小球往复运动一次？ （4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B 组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？ 答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论． P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π； （2）23π-；（3）125π； （4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ； （4）{β|β=2kπ，k∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解． 3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4； （2）cos5； （3）tan8； （4）tan （－3）． 答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断． 4、已知1cos 4ϕ=，求sinφ，tanφ．答案：当φ为第一象限角时，sin tan 4ϕϕ==当φ为第四象限角时，sin tan ϕϕ== 说明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，cos x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，cos x x == 说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cosα表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形． 7、求证：（1）2（1－sinα）（1＋cosα）=（1－sinα＋cosα）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1． 答案：（1）左边=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=1＋sin 2α＋cos 2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα =右边． （2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形． 8、已知tanα=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sinαcosα；（3）（sinα＋cosα）2． 答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21cos 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或2222sin cos tan 33sin cos 10sin cos tan 131αααααααα====+++． 9、先估计结果的符号，再进行计算． （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号． 10、已知1sin()2πα+=-，计算： （1）cos （2π－α）；（2）tan （α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，cos(2)πα-=，当α为第二象限角时，cos(2)πα-=（2）当α为第一象限角时，tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，tan(7)απ-= 说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算． 11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°； （2）sin （－879°），3313tan(),cos()810ππ--； （3）sin3，cos （sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216； （2）sin （－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588810ππ-=--=-； （3）sin3=0.141，cos （sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证． 12、设π＜x ＜2π，填表：说明：熟悉各特殊角的三角函数值． 13、下列各式能否成立，说明理由： （1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos x =cos x =1,1><-，所以原式不能成立；（2）因为sin x =，而|1<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin xy π=，x∈R ；（2）y=3－2cosx ，x∈R ．答案：（11π，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；1π，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k∈Z }； 最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2kπ，k∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质． 15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x 的集合： （1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数； （2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数； （4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数． 答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤； （2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤． 说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证． 17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x∈[0，2π]的图象？ （3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.170.340.500.640.770.870.940.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x∈[0，π]的图象关于直线2x =对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π． 把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．B 组1、已知α为第四象限角，确定下列各角的终边所在的位置：（1）2α； （2）3α； （3）2α． 答案：（1）3(1)42k k παππ+<<+，所以2α的终边在第二或第四象限； （2）9012030901203k k α︒+︒<<︒+︒+︒，所以3α的终边在第二、第三或第四象限；（3）（4k ＋3）π＜2α＜（4k ＋4）π，所以2α的终边在第三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上．说明：不要求探索α分别为各象限角时，nα和nα的终边所在位置的规律．。

一、选择题1．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的个数是（ ） ①()f x 的最小值为2-； ②点,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的图象的一个对称中心； ③()f x 的最小正周期为π； ④()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A ．35B ．45-C ．3-D ．3．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-4．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A wt =．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数sin y A wt =中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有（ ）．A ．函数1111sin sin 2sin3sin 4sin100234100y x x x x x =+++++不具有奇偶性； B ．函数111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； C ．若某声音甲对应函数近似为111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++，则声音甲的响度一定比纯音1()sin 22h x x =响度大； D ．若某声音甲对应函数近似为1()sin sin 22g x x x =+，则声音甲一定比纯音1()sin33h x x =更低沉．5．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（ ） A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[8,9)6．已知()()sin 6f x x a b x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，若()0f x ≤在[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A ．56B ．23C ．1D ．27．设函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论： ①()f x 关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称； ③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根. 其中正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，具有以下性质：（1）对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π； （2）6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数； （3）任取12,0,4x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12x x ≠时，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+．同时满足上述性质的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9．有以下四种变换方式：①向左平移12π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；②向左平移6π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移6π个单位长度； ④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位长度； 其中能将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象变为函数sin y x =图象的是（ ） A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．已知函数1,01()11sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，若不等式2()()20f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．23a <<C ．22a >D ．92a >11．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度D ．向左平移4π个单位长度12．已知定义在R 上的函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭在[]1,2上有且仅有3个零点，其图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭和直线14x =-对称，给出下列结论：①1222f ⎛⎫=⎪⎝⎭；②函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点；③函数()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增；④函数()f x 的最小正周期是2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.14．已知sin 78a =︒，cos10b =︒，tan55c =︒，则a ，b ，c 的大小关系为______. 15．已知函数()f x 的定义域为R ，且()2()f x f x π+=，当[0,)x π∈时，()sin f x x =．若存在0(,]x m ∈-∞，使得0()f x ≥m 的取值范围为________．16．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.17．设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确是________（填写序号） ①()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； ④将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象. 18．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x 1≠x 2)，给出下列结论：①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1；④1212()()f x f x x x -->0；⑤1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.当()tan f x x =时，正确结论的序号为________．19．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为______________．20．函数()()0,0,2(f x Asin x A πωϕωϕ=+>><)的部分图像如图所示.则()f x 的解析式是_____.三、解答题21．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 22．如图，在扇形OMN 中，半径10OM =，圆心角6MON π∠=，D 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记DON θ∠=，矩形ABCD 的面积为S .（1）用含θ的式子表示线段DC ，OB 的长； （2）求S 的最大值.23．已知函数()2sin()cos sin(2)(0)f x x x ωϕϕωϕω=+-+>在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.（1）求ω的取值范围；（2）当ω取最小正整数时，关于x 的方程211()()022f x f x --=在区间,6m π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有5个实数根，求m 的取值范围.24．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象.又()14g θ=求2114sin sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.25．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0180αβ︒︒<<<）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限．（1）求α，β的值．（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，求当它们从点A 出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离． 26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式； （2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出()min f x 可判断①的正误；利用正弦型函数的对称性可判断②的正误；求出()f x 的最小正周期可判断③的正误；利用正弦型函数的单调性可判断④的正误. 【详解】 对于①，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()min 212f x ∴=⨯-=-，①正确；对于②，2sin 22sin 20121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，点,012π⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的图象的一个对称中心，②错误； 对于③，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，③正确； 对于④，当,06x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2666x πππ-<+<，所以，函数()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. ④正确.因此，正确命题的序号为①③④. 故选：C.关键点点睛：对于正弦型函数基本性质的判断问题，一般将函数解析式化为()sin y A x b ωϕ=++或()cos y A x b ωϕ=++，将x ωϕ+视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质来求解.2．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．3．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题.4．B解析：B 【分析】A.结合奇偶性的定义判断即可B.用正弦型函数的单调性作出判断 CD 可取特值说明 【详解】 A. ()1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100f x x x x x x =+++++()()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 100234100f x x x x x x f x -=-+-+-+-++-=-，()f x 为奇函数B. ,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，4,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故sin ,sin 2,sin 3,sin 4x x x x 在,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均为增函数故111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C. ()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 4034g f h ππππππ=-=++=故声音甲的响度不一定比纯音1()sin 22h x x =响度大 D. ()11()()sin sin 2sin 323h x g x h x x x x =-=+- ()11()()sin sin 2sin 3023h g h ππππππ=-=+-=甲不一定比纯音1()sin33h x x =更低沉 故选：B 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.5．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈， 当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=； 当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=； 当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=； 当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<.故选：A6．A解析：A 【分析】根据题意分析可得当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b --≥，从而可得506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解方程即可求解.【详解】当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，， 故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤时， 当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，0x a b --≥， 即506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，所以56a b +=. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的性质、不等式恒成立，考查了基本运算求解能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-，由于函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，521262532662k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，由248121055k k ++≤，解得16k ≤，N ω*∈且k Z ∈，0k ∴=，可得825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于①，sin 2sin 00126ππ⎛⎫⨯-==⎪⎝⎭，所以，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，①错误； 对于②，271sin 2sin 13662πππ⎛⎫⨯-==-≠± ⎪⎝⎭，②错误；对于③，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③正确； 对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 令()1f x =，可得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，206x π∴-=或26x ππ-=或226x ππ-=或236x ππ-=.所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.8．B解析：B 【分析】根据题设的条件可得正弦型函数的周期、对称中心以及函数在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调性，再逐项检验各选项中的函数是否满足即可得到正确的选项． 【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π， 故()f x 的半周期为2π即周期为π，此时A B C D 各选项中的函数均满足． 因为6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，故()f x 图象的对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭， 对于D 中的函数，因为sin 2166ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 故,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称中心，故排除D ． 因为()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+等价于()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 故()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452336x πππ-≤-≤-，而sin y u =在45,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数， 故4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2336x πππ-≤-≤，而sin y u =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数， 故sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为增函数，符合； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2272336x πππ≤+≤，而sin y u =在27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数， 故2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；故选：B ． 【点睛】方法点睛：已知检验给定的点是否正弦型函数的对称中心，可以用代入检验法，而单调性的研究则需结合“同增异减”的原则来判断．9．A解析：A 【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换求出结果. 【详解】对于①：sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移12π个单位长度得到sin 2+=sin2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin y x =；故①正确；对于②：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到sin 2+=sin 2+666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；故②错误；对于③：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位长度，得到sin sin 66y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭；故③正确； 对于③：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向右平移6π个单位长度，得到sin sin()663y x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭；故④错误； 故选：A 【点睛】关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a .10．D解析：D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时，有[]()11,2f x x =+∈，当4](1,x ∈时，0sin14xπ≤≤，即111()sin,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦ 所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2y t t =+ ，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->， 所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，122t t <<<，()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<， 所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数， 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2t t +在12t =时有最大值为92，所以92a >. 【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.11．B解析：B 【分析】首先根据图象求函数的解析式，再根据左右平移规律判断选项. 【详解】 由图象可知37341264T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭， 即22ππωω=⇒=，当6x π=-时，22,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭， 解得：2,3k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，3πϕ∴=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 22643x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， ∴ 要得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.12．B解析：B 【分析】由三角函数的图象与性质可得()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，代入即可判断①；令03,42()x k k Z ππππ+∈+=，化简即可判断②；令232,242k k x k Z ππππππ-≤+≤+∈+，化简即可判断③；由最小正周期的公式即可判断④. 【详解】∵函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，∴111,4k k Z ωϕπ+=∈，又函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，∴221,42k k Z ππωϕ-+=+∈，∴()1221k k ωπ=--⎡⎤⎣⎦，即(21),n n Z ωπ=∈-， ∵函数()sin()f x x ωϕ=+在[]1,2上有且仅有3个零点， ∴24,)201(ππωωω<>≤-，即24πωπ≤<，所以3ωπ=，()()sin 3f x x πϕ=+， ∵104f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴3,4k k Z πϕπ+=∈，又||2πϕ≤，∴4πϕ=，∴()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；对于①，3sin 24122f ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎛⎫==-⎪⎭⎝⎭，故①错误； 对于②，令03,42()x k k Z ππππ+∈+=，则01,31(2)Z k x k =+∈， 令101312k ≤+≤，则可取0,1,2k =， ∴0112x =，512，34，即函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点，故②正确； 对于③，令232,242k k x k Z ππππππ-≤+≤+∈+，则1212,43123k x k Z k -+≤≤∈+，当2k =-时，195,124⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为()f x 的一个递增区间， 而35195,,24124⎛⎫⎡⎤--⊆-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故③正确； 对于④，∵()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数的最小正周期2233T ππ==，故④错误. 综上所述，其中正确的结论的个数为2个. 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域根据存在性和恒成立问题转化为求出a 的范围【详解】对于函数f （x ）当x≤0时f （x ）单调递增由﹣3≤t≤0可得f （t ）∈﹣43当x ＞0时f （x ）＝﹣x2+2x+3＝ 解析：(],2-∞【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()maxmaxf t ag s +≤求出a 的范围． 【详解】对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]，∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x ）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max maxf t ag s +≤∴a +4≤6，解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．14．【分析】同角三角函数关系知又由的区间单调性知根据的区间单调性知即可知的大小关系【详解】而∴故答案为：【点睛】本题考查了比较三角函数值的大小根据正弦函数正切函数的区间单调性及正弦函数的值域范围比较函数 解析：c b a >>【分析】同角三角函数关系知sin80b =︒，又由sin y x =的区间单调性知b a >，根据tan y x =的区间单调性知1c >，即可知a ，b ，c 的大小关系 【详解】cos10cos(9080)sin80sin 78b a =︒=︒-︒=︒>=︒，而tan55tan 451c =︒>︒=∴c b a >> 故答案为：c b a >> 【点睛】本题考查了比较三角函数值的大小，根据正弦函数、正切函数的区间单调性及正弦函数的值域范围，比较函数值的大小15．【分析】由f （x+）＝2f （x ）得f （x ）＝2f （x ﹣）分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】解：∵∴∵当时∴当时当时当时作出函数的图象：令解得：或若存在使得则故答案为：【点睛】本题考查函数与解析：10[,)3π+∞ 【分析】由f （x +π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-， ∵当0,x时，()sin f x x =．∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-．当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-．当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-．作出函数的图象：令()8sin 343x π-=103x π=，或113π， 若存在(]0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103m π≥， 故答案为：10[,)3π+∞ 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈， ∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．17．③【分析】先根据对称轴及最小正周期求得函数的解析式再结合正弦函数的图象与性质判断点是否在函数图象上求得函数的单调区间及对称中心判断选项由平移变换求得变化后的解析式并对比即可【详解】函数的最小正周期是解析：③ 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()()2sin 0,0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称，所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈， 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于①，当0x =时，()02sin 16f π==，()f x 的图象不过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以①不正确；对于②，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以②错误；对于③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心为2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以③正确；对于④，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以④错误.综上可知，正确的为③. 故答案为: ③. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题. 18．①④【分析】根据正切函数的周期判断①是否正确正切函数的奇偶性判断②是否正确由判断③是否正确由正切函数的单调性判断④是否正确由正切函数的图象判断⑤是否正确【详解】由于f(x)＝tanx 的周期为π故①正解析：①④ 【分析】根据正切函数()tan f x x =的周期判断①是否正确，正切函数的奇偶性判断②是否正确，由tan 00=判断③是否正确，由正切函数的单调性判断④是否正确，由正切函数的图象判断⑤是否正确. 【详解】由于f (x )＝tan x 的周期为π，故①正确； 函数f (x )＝tan x 为奇函数，故②不正确； f (0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的增函数，故④正确；⑤由函数f (x )＝tan x 的图象可知，设A =12()()2f x f x +，B =122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭故函数在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故⑤不正确． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查了正切函数的图象和性质，属于中档题.19．【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值可得结合图象求得该函数的最小正周期可得出再将点代入函数解析式求出的值即可求得该函数的解析式【详解】由图象可知从题图中可以看出从时是函数的半个周期则又得取所以解析：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈ 【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min2y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，可得出2Tπω=，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴==，max min202y y b +==，从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则()214616T =⨯-=，28T ππω∴==. 又10228k πϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z πϕπ=+∈，取34πϕ=， 所以310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]6,14x ∈． 故答案为：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈． 【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由图像对应横坐标可求再将代入可进一步求解由图像过点可求进而求解【详解】由解得又函数过所以解得又图像过可得解得故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式属于中档题解析：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【分析】由34T 图像对应横坐标可求ω，再将6x π=代入可进一步求解ϕ，由图像过()0,1点可求A ，进而求解 【详解】由1132312644T πππω-==⋅，解得2ω=，又函数过()max ,6f x π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以63A f Asin ππϕ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭=，解得6π=ϕ，又图像过()0,1可得()106f Asin π==，解得2A =，故()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭故答案为：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，属于中档题三、解答题21．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间；（3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值. 【详解】（1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以， 当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭； 当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；OB θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）max 100S =-【分析】（1）在Rt DCO 和Rt ABO 中利用三角函数的定义可表示出,DC OB ；（2）求出BC 后可得矩形面积S ，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最大值． 【详解】解：（1）在Rt DCO 中，10OD =，∴10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又Rt ABO 中，6AOB π∠=，10sin AB DC θ==，∴OB θ==，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）在Rt DOC 中，10cos OC θ=，∴10(cos )BC OC OB θθ=-=，∴100sin (cos )S AB BC θθθ=⋅=-11cos 2100sin 2100sin 2223θπθθ-⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵06πθ<<，∴22333πππθ<+<，∴当232ππθ+=即12πθ=时，max 100S =-【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是用角表示出矩形面积，然后可利用三角函数的恒等变换公式如二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，最后利用正弦函数性质求得结论．23．（1）9(0,1],52⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦；（2）1923,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）先根据两角和的正弦公式将()f x 进行化简，再根据0>ω以及()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可求出ω的取值范围； （2）根据（1）中ω的取值范围，写出()f x 的解析式，再根据211()()022f x f x --=得出()1f x =或1()2f x =-，再结合在区间,6m π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有5个实数根，即可求出m 的取值范围. 【详解】（1）()2sin()cos sin(2)f x x x ωϕϕωϕ=+-+2sin()cos sin()cos cos()sin x x x ωϕϕωϕϕωϕϕ=+-+-+ sin()cos cos()sin x x ωϕϕωϕϕ=+-+sin x ω=，()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2 32222kk ωπππωπππ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，k Z∈，解得：36142k kω-+≤≤+，k∈Z又0ω>，∴01ω<≤或952ω≤≤，即ω的取值范围为9(0,1],52⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）知[]21111,()()()1()0222f x f x f x f xω⎡⎤=--=-+=⎢⎥⎣⎦，解得：()1f x=或1()2f x=-，故在区间,6mπ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，sin1x=或1sin2x=-时恰有5个实数根，5个实数根分别为2π，76π，116π，52π，196π.1sin62π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，192366mππ∴<≤，即m的取值范围为1923,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.24．（1）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（2）1116.【分析】（1）由顶点及周期可得1A =，2ω=，再由sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得6π=ϕ，从而得解；（2）根据条件得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再结合诱导公式和同角三角函数关系可得解. 【详解】（1）由图可知1A =， 由311341264T πππ=-=，得2T ππω==，所以2ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+， 因为sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，则2,6k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以6π=ϕ， ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（2）由题意，()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()14g θ=，得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 221143sin sin sin[2()]sin [()]63662πππππθθπθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111sin()cos ()sin()1sin ()1666641616ππππθθθθ=-+++=-++-+=-+-=.【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤：(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.25．（1）3607α⎛⎫= ⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）45πcm .【分析】（1）根据题中条件，先设()36140k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，0180αβ︒︒<<<，列出不等式求解，得出k 和m 的值，即可得出结果；（2）先设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒，根据题中条件求出t ，根据弧长的计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得，14α与14β都是360的整数倍， 不妨设()36140k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈，则()1807k k Z α=⋅∈，()1807mm Z β=⋅∈， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，所以902180902180αβ⎧<<⎨<<⎩，即()()29018018072901801807k k Z m m Z ⎧<⋅<∈⎪⎪⎨⎪<⋅<∈⎪⎩，所以()()77427742k k Z m m Z ⎧<<∈⎪⎪⎨⎪<<∈⎪⎩， 因为0180αβ︒︒<<<，所以k m <，所以2k =，3m =， 即3607α⎛⎫=⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒， 则()360t αβ+=，即36054036077t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得145t =， 所以红蚂蚁爬过的角度为144t α=， 因为圆的半径为1cm ， 所以红蚂蚁爬过的距离为1444213605ππ⋅⋅=cm . 【点睛】 关键点点睛：求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到14α与14β都是360的整数倍，利用题中所给限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解.26．（1）()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ=，又314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求出函数表达式. （2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+，由余弦函数图像可得答案. （3）先根据图象变换求出()g x 的解析式，再根据余弦型函数的单调减区间求解即可.【详解】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ= 所以()()cos f x x πφ=+，又当1534424x +==时，314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即33cos 144f πφ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则324k k Z πφππ+=+∈， 所以124k k Z φππ=+∈，， 所以()cos 2cos 44f x x k x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+cos 14x ππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后可得：cos 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()1cos 26g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由122,26k x k k Z πππππ≤+≤+∈ 1544,33k x k k Z -≤≤+∈所以()g x 的单调递减区间为：154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。

人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)高中数学必修4综合测试满分：150分时间：120分钟注意事项：客观题请在答题卡上用2B铅笔填涂，主观题请用黑色水笔书写在答题卡上。

一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。

）1.sin300°的值为A。

-31 B。

3 C。

22 D。

1/22.角α的终边过点P(4,-3)，则cosα的值为A。

4 B。

-3 C。

2/5 D。

-4/53.cos25°cos35°-sin25°sin35°的值等于A。

3/11 B。

3/4 C。

2/11 D。

-2/114.对于非零向量AB，BC，AC，下列等式中一定不成立的是A。

AB+BC=AC B。

AB-AC=BCC。

AB-BC=BC D。

AB+BC=AC5.下列区间中，使函数y=sinx为增函数的是A。

[0,π] B。

[π,2π] C。

[-π/2,π/2] D。

[-π,0]6.已知tan(α-π/3)=1/√3，则tanα的值为A。

4/3 B。

-3/5 C。

-5/3 D。

-3/47.将函数y=sinx图象上所有的点向左平移π/3个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为A。

y=sin(2x+π/3) B。

y=sin(2x+2π/3)C。

y=sin(2x-π/3) D。

y=sin(2x-2π/3)8.在函数y=sinx、y=sin(2x+π/2)、y=cos(2x+π)中，最小正周期为π的函数的个数为（）A。

1个 B。

2个 C。

3个 D。

4个9.下列命题中，正确的是A。

|a|=|b|→a=b B。

|a|>|b|→a>bC。

|a|=0→a=0 D。

a=b→a∥b10.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如右图所示，此函数的解析式为y=2sin(2x-π/3)11.方程sin(πx)=x的解的个数是()A。

一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．162．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．33．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦5．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣ 6．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．437．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．48．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-9．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，010．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．22B ．122+C ．222+D ．42 二、填空题13．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[]0,π；③当2πθ=时，1F G =； ④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.14．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AMMB =__________．15．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 16．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.18．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =，且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____. 三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若3c =2a b +的取值范围.23．已知向量()1,2a =，(),1b x =.（1）若|2|||a b a b -=+，求实数x 的值；（2）若2x =，求2a b -与a b +的夹角.24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值． （2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值； （2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．A解析：A【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 3．C解析：C【分析】 根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示： 由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】 由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==Q 的轨迹为圆2234x y +=， 又()3,4P ，所以，33PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ ≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.故选：B.【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．C解析：C【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy a c x y x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6．B解析：B【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM .【详解】如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABM EDM ，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.7．C解析：C【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos 62b a b t a a π⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin 16b π=，从而可求出b【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<， 所以()g t 恒大于零， 所以当232cos 622b b a b t a a a π⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1， 所以2223332122b b b g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =， 所以2b =，故选：C【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题8．C解析：C【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF ∴==21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.9．D解析：D【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ32sinθ+1）， 所以|2|a b -2＝（2cosθ3-2+（2sinθ+1）2＝8﹣3cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（3πθ-）， 所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；故选：D ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．A解析：A【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()bc a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得(22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以12F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题14．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.15．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．16．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 17．【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=，所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116， 故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.18．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=，∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．20．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向解析：23【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3ay =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 22．（1）2C 3π=；（2）(323，.【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围． 【详解】 （1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =- 又()0,C π∈ . ∴23C π=.（2）∵23C π=，c = ∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b + 的取值范围是 .【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题． 23．（1）12；（2）4π． 【分析】（1）求出向量2a b -与a b +的坐标，然后由模的坐标运算列出方程可求得x ； （2）求出向量2a b -与a b +的坐标，由向量夹角的坐标运算计算． 【详解】（1）因为()1,2a =，(),1b x =， 所以()22,3a b x -=-，()1,3a b x +=+. 因为|2|||a b a b -=+，=解得12x =. （2）当2x =时，()20,3a b -=，()3,3a b +=， 所以()()203339a b a b -⋅+=⨯+⨯=，23a b -=，32a b +=.设2a b -与a b +的夹角为θ.则(2)()cos |2|||332a b a b a b a b θ-⋅+===-⋅+⋅. 又[]0,θπ∈，所以4πθ=，即2a b -与a b +的夹角为4π. 【点睛】 本题考查向量模的坐标运算，考查向量夹角的坐标运算，掌握向量的坐标运算是解题基础．24．（1）16；（2）32． 【分析】（1）先转化得到13CF AB =-，12EC AD =，再表示出1132EF AB AD =-+，求出λ13=-，μ12=，最后求λ+μ的值； （2）先得到12AE AB AD =+和0AB AD ⋅=，再建立方程421λ-+=求解λ14=，最后求DF 的长.【详解】 （1）∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，∴1133CF DC AB =-=-，1122EC BC AD ==， ∴1132EF EC CF AB AD =+=-+， ∴λ13=-，μ12=， 故λ+μ111326=-+=. （2）设CF =λCD ，则BF BC CF AD =+=-λAB ，又12=+=+AE AB BE AB AD ，AB AD ⋅=0， ∴AE BF ⋅=（12AB AD +）•（AD -λAB ）＝﹣λAB 2212AD +=-4λ+2＝1， 故λ14=， ∴DF ＝（1﹣λ）×232=． 【点睛】 本题考查利用向量的运算求参数，是基础题25．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ， 222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， (2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a b a b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=.【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。

新课程高中数学训练题组目录：数学4（必修）数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）[基础训练A组] 数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）[综合训练B组] 数学4（必修）第一章：三角函数（上、下）[提高训练C组] 数学4（必修）第二章：平面向量 [基础训练A组]数学4（必修）第二章：平面向量 [综合训练B组]数学4（必修）第二章：平面向量 [提高训练C组]数学4（必修）第三章：三角恒等变换 [基础训练A组]数学4（必修）第三章：三角恒等变换 [综合训练B组]数学4（必修）第三章：三角恒等变换 [提高训练C组]（数学4必修）第一章 三角函数（上）[基础训练A 组]一、选择题1．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3．02120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23- D ．214．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么 tan α的值等于（ ）A .43-B .34- C .43 D .345．若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在二、填空题1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限． 2．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________。

人教A版高中数学必修四测试题及答案全套人教A版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.在0°～360°的范围内，与-510°终边相同的角是()A。

330° B。

210° C。

150° D。

30°2.若sinα = 3/3，π/2 < α < π，则sin(α+π/2) = ()A。

-6/3 B。

-1/2 C。

16/2 D。

33.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A。

2 B。

2sin1 C。

2sin1 D。

sin24.函数f(x) = sin(x-π/4)的图象的一条对称轴是()A。

x = π/4 B。

x = π/2 C。

x = -π/4 D。

x = -π/25.化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)得()A。

sin2+cos2 B。

cos2-sin2 C。

sin2-cos2 D。

±cos2-sin26.函数f(x) = tan(x+π/4)的单调增区间为()A。

(kπ-π/2.kπ+π/2)，k∈Z B。

(kπ。

(k+1)π)，k∈ZC。

(kπ-4π/4.kπ+4π/4)，k∈Z D。

(kπ-3π/4.kπ+3π/4)，k∈Z7.已知sin(π/4+α) = 1/√2，则sin(π/4-α)的值为()A。

1/3 B。

-1/3 C。

1/2 D。

-1/28.设α是第三象限的角，且|cosα| = α/2，则α的终边所在的象限是()A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限9.函数y = cos2x+sinx在[-π/6.π/6]的最大值与最小值之和为()A。

3/4 B。

2 C。

1/3 D。

4/310.将函数y = sin(x-π/3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移一个单位，得到的图象对应的解析式为()A。

1．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．270°D ．－270°解析：分针旋转形成的角是负角，每60分钟转动一周，所以一节课45分钟分针旋转形成的角是－360°×4560＝－270°.答案：D2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；280°角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．答案：B3．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角． 解析：∵角α与角－α的终边关于x 轴对称， 又∵角α的终边在第四象限，∴角－α终边在第一象限，又角－α与180°－α的终边关于原点对称，∴角180°－α的终边在第三象限． 答案：三4．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是________，是第________象限角．解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角． 答案：80° 一5．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中， (1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72. 又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴满足条件的角共有8个．1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项． 答案：C2．2 100°化成弧度是( ) A.35π3 B ．10π C.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________． 解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z . ∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9， ∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立， ∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2， 其中不正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D2．若点P 的坐标是(sin2，cos2)，则点P 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3．sin420°＝________.答案：324．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角． 解析：要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案：一或二 5．求下列各式的值．(1)sin1 470°；(2)cos 9π4；(3)tan(－116π)． 解：(1)sin1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin30°＝12. (2)cos 9π4＝cos(2π＋π4)＝cos π4＝22. (3)tan(－11π6)＝tan(－2π＋π6)＝tan π6＝33.1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B2．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( ) A ．MP 与AT 的方向相同 B ．|MP |＝|AT | C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >0 解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0，AT ＝tan 11π6<0.答案：A3．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案：－124．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．解析：利用三角函数线，如下图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ，即MN ≥OM ，则π4≤x ≤54π，(在[0,2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }． 答案：{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }5．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合．解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于cos π3＝12，cos 5π3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z . 所以α组成的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D.213解析：因为α是第二象限角，所以cos α<0， 故cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213.答案：A2．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为( ) A.38 B ．±38 C.34D ．±34解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38，故选A.答案：A3．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－(－45)2＝－35. 答案：－354．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为________． 解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1 ＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.答案：21105．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.解：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α(－cos α)1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.1．cos(－20π3)等于( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：cos(－20π3)＝cos 20π3 ＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝－12. 答案：C2．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋3 解析：sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60° ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 答案：B3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.解析：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)] ＝sin(45°＋α)＝513. 答案：5134．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________. 解析：由于tan(π－α)＝－tan α＝－34， 则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0. 所以sin α＝35. 答案：355．化简tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)(－sin θ)＝(－tan θ)(－sin θ)cos θcos θsin θ＝tan θ.1．已知sin40°＝a ，则cos130°等于( ) A ．a B ．－a C.1－a 2D ．－1－a 2解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a .答案：B2．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( ) A.223 B ．－232 C.13D ．－13解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)] ＝－sin(α－π4)＝－13. 答案：D3．已知sin(π6－θ)＝13，则cos(π3＋θ)等于________． 解析：cos(π3＋θ)＝cos[π2－(π6－θ)] ＝sin(π6－θ)＝13. 答案：134．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos(α＋π2)等于________． 解析：∵α为第四象限角且cos α＝15， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－25 6. ∴cos(α＋π2)＝－sin α＝25 6. 答案：2655．化简1＋2sin (π2－2)·cos (π2＋2).解：原式＝1＋2cos2·(－sin2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|. 又∵sin2>cos2，∴原式＝sin2－cos2.1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除选项A ，C ；又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，排除选项B.答案：D2．方程x ＋sin x ＝0的根有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x ，在同一直角坐标系中画出 f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点，则方程x ＋sin x ＝0仅有一个根．答案：B3．用“五点法”画y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．答案：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)4．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：由2cos x －2≥0得cos x ≥22， 借助y ＝cos x 的图象可得cos x ≥22的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z 5．在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图． 解：(1)按五个关键点列表xπ2π3π22πy －1 －2 －1 0 －1(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：1．函数y ＝2cos(π3－ωx )的最小正周期是4π，则ω等于( ) A ．2 B.12 C ．±2D ．±12解析：4π＝2π|ω|，∴ω＝±12. 答案：D2．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2 011)＝( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f (3)D ．f (4) 解析：f (2 011)＝f (402×5＋1)＝f (1)． 答案：A3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝________. 解析：由于周期T ＝2πω，所以2πω＝π，解得ω＝2. 答案：24．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝________.解析：由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1. 答案：－15．若函数f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求 f (－176π)的值．证明：∵f (x )的周期为π2，且为奇函数， ∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6) ＝f (π6)．而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－1， ∴f (－17π6)＝－1.1．函数y ＝sin(2x ＋52π)的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8D ．x ＝54π解析：y ＝sin(2x ＋52 π)＝cos2x ，令2x ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k2 π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π2.答案：A2．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( ) A ．[3π8，7π8] B ．[－π8，3π8] C ．[3π4，5π4]D ．[－π4，π4]解析：令z ＝2x －π4，函数y ＝sin z 的单调递减区间是[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )．由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，3π8≤x ≤7π8. 答案：A3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：∵sin168°＝sin(180°－168°)＝sin12°，cos10°＝sin80°， ∴sin11°<sin12°<sin80°. ∴sin11°<sin168°<cos10°. 答案：C4．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上单调递增，则ω的取值范围是________．解析：令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω，则[－π2ω，π2ω]是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[－π3，π4]⊆[－π2ω，π2ω]，则⎩⎪⎨⎪⎧π4≤π2ω，－π3≥－π2ω.⇒ω≤32.答案：[0，32]5．求函数y ＝1－2cos 2x ＋5sin x 的最大值和最小值． 解：y ＝1－2cos 2x ＋5sin x ＝2sin 2x ＋5sin x －1 ＝2(sin x ＋54)2－338.∵sin x ∈[－1,1]，而y 在[－1,1]上是增函数， ∴当sin x ＝－1时，函数取得最小值－4； 当sin x ＝1时，函数取得最大值6.1．y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12 令k ＝－2得x ＝－π4.故选C. 答案：C3．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是________．解析：由π3－x 2≠k π＋π2，得x ≠－2k π－π3，k ∈Z ，故函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是________． 解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域．解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．1．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin[2(x －π8＋π8)]＝sin2x ，为奇函数，故选A.答案：A2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→x →x ＋φy＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．答案：B3．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是(－π6，0)，(π12，2)，(π3，0)，(712 π，－2)，(5π6，0)，则ω＝________.解析：周期T ＝5π6－(－π6)＝π. ∴2πω＝π，ω＝2. 答案：24．把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应的一个解析式为________．解析：把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π4.答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π45．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图．(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：2x ＋π4 0 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin(2x ＋π4)＋1的整个图象．1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2D ．π，－2解析：在y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，T ＝2πω，A 叫振幅(A >0)，故y ＝2sin(x 2＋π5)的周期T ＝2π12＝4π，振幅为2，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝2 sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3. ∴f (x )＝2sin(13x ＋π3)．由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是[6k π－52π，6k π＋π2](k ∈Z )． 取k ＝0，得[－52π，π2]是f (x )的一个增区间． ∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 答案：A3．函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为________． 解析：∵y ＝5sin(2x ＋π3)的最小正周期为π， ∴函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为π2. 答案：π24．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析：∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)． ∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)．∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )．即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )． 答案：θ＝k π5＋π10，k ∈Z5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图，试求这个函数的解析式．解：方法一：易知A ＝22，T4＝6－2＝4. ∴T ＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8. 又∵图象过点(2,22)． ∴22sin(π8×2＋φ)＝2 2. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4. 于是y ＝22sin(π8x ＋π4)．方法二：易知A ＝22，由图可知，第二、第三两关键点的横坐标分别为2和6.∵⎩⎨⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8，φ＝π4.∴y ＝22sin(π8x ＋π4)．1．已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.答案：C2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin(100πt －π3)解析：由图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT ＝100π，A ＝300，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin(100π×1150＋φ)． ∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)． 答案：C 3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．答案：0.84．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋65.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m? 解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3(k ∈Z )，∴3k ＋1<t <3k ＋2(k ∈Z )．令k ＝0得1<t <2. 因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.单元综合测试一时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．－4 3 B ．±43 C. 3D ．43解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60° ＝3，故a ＝－4 3. 答案：A2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3D.3 解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6) B ．y ＝sin(x 2＋π6) C ．y ＝sin(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x ＝π3对称， ∴f (π3)＝±1，故只有C 符合． 答案：C4．若2k π＋π<θ<2k π＋5π4(k ∈Z )，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．sin θ<cos θ<tan θB ．cos θ<tan θ<sin θC ．cos θ<sin θ<tan θD ．sin θ<tan θ<cos θ解析：设π<α<54π，则有sin θ＝sin α， cos θ＝cos α，tan θ＝tan α， ∵tan α>0，而sin α<0，cos α<0，∴B 、D 排除，又∵cos α<－22<sin α，即cos α<sin α，排除A.选C. 答案：C5．已知A 是三角形的内角，且sin A ＋cos A ＝52，则tan A 等于( )A ．4＋15B ．4－15C ．4±15D ．以上均不正确解析：因为sin A ＋cos A ＝52，所以2sin A cos A ＝14>0.所以A 为锐角．又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1－14＝34，所以sin A －cos A ＝±32.从而可求出sin A ，cos A 的值，从而求出tan A ＝4±15.答案：C6．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A ．[0，π3] B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]解析：由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π 可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )．∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]． 答案：C7．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度 解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6， ∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度． 答案：C8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12 解析：由图形可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )， 取k ＝1，即得选项D. 答案：D9．设a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为( )A ．2a ＋1B ．2a －1C ．－2a －1D ．a 2解析：f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1 ＝1－sin 2x ＋2a sin x －1 ＝－(sin x －a )2＋a 2，∵0≤x ≤2π，∴－1≤sin x ≤1，又a >1，∴f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案：B 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π B ．x ＝π2 C ．x ＝1D ．x ＝2解析：函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T ＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．答案：C11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：摩天轮转轴离地面高160－⎝ ⎛⎭⎪⎫1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．答案：B12．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3解析：方法一：函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2的图象．∵两图象重合，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝1时，ω的最小值是32.方法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，ω＝32k ，ω的最小值为32. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：圆心角α＝l r ＝128＝32， 扇形面积S ＝12lr ＝12×12×8＝48.答案：32 4814．方程sin x ＝lg x 的解的个数为________．解析：画出函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．答案：315．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 013)＝－1，则f (2 014)＝________.解析：f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝－1，f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：116．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1有以下结论：①函数f (x )的值域是[0,2]；②点⎝⎛⎭⎪⎫－512π，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；③直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．解析：①∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤2；②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π3＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1≠0，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0不是函数f (x )图象的一个对称中心；③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＋1＝cosπ＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＋1＝cos2x ＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知sin θ＝45，π2<θ<π， (1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；(2)已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值． 解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)． ∵α为第三象限角，∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0， ∴75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13. (2)由已知得cos(θ－9π)＝－35， ∴cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35， ∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π，∴sin θ＝－45， ∴tan θ＝－43，∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos(2x －π4)，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.20．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)把f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图象，求f 2(x )取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6] ＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时， y max ＝2.此时x 的取值为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)－1.(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α2－π12)的值； (2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α2－π12)＝2sin[2×(α2－π12)＋π6]－1 ＝2sin α－1＝2×(－32)－1＝－3－1. (2)令t ＝2x ＋π6，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，而y ＝sin t 在[－π6，π2]上单调递增， 在[π2，5π6]上单调递减， 且sin(－π6)＝－12，sin 5π6＝12，所以函数y ＝sin t 在[－π6，5π6]上的最大值为1， 最小值为－12，即－12≤sin(2x ＋π6)≤1， 所以f (x )的值域是[－2,1]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3， 又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3， ∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，若sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解， 则s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心， ∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|. 答案：OA →与BO →，AC →与BD →4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形． (1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________． 解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 答案：(1)AB →、DC →(2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →，BC →，CA →. (2)求|CA →|. 解：(1)如图所示． (2)|AB →|＝100 m ， |BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， 则△ABC 为正三角形． 故|CA →|＝100 m.1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形解析：由AC →＝AB →＋AD →知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．答案：D2．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA →D.AB →＋BC →＝AC →解析：对于C ，∵AB →与BA →是相反向量， ∴AB →＋BA →＝0. 答案：C3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO → )＋(OM →＋MB → )＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →4．若a ＝“向北走8 km ”，b ＝“向东走8 km ”，则|a ＋b |＝________；a ＋b 的方向是________．解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．答案：8 2 km 东北方向5．在水流速度为4 3 km/h 的河中，要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速度的大小和方向．解：设AB →表示水流的速度，AC →表示船的实际航行速度，如图，作出AB →，AC →，连接BC ，作AD 綊BC ，连接DC ，则AD →为所求船的静水航速，且AD →＋AB →＝AC →.∵|AB →|＝43，|AC →|＝12， tan ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠ACB ＝30°＝∠CAD ， |AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.∴船在静水中的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流速度成120°角．1．下列等式： ①0－a ＝－a ②－(－a )＝a ③a ＋(－a )＝0 ④a ＋0＝a ⑤a －b ＝a ＋(－b ) ⑥a ＋(－a )＝0正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确． 答案：C2．设AB →，BC →，AC →是三个非零向量，且AB →＋BC →＝AC →，则( ) A ．线段AB ，BC ，AC 一定构成一个三角形 B ．线段AB ，BC 一定共线 C ．线段AB ，BC 一定平行D ．线段AB ，BC ，AC 构成三角形或共线解析：由于三角形法则对于共线时也成立，因此线段AB ，BC ，AC 可以构成三角形，也可以共线，但线段AB ，BC 不可能平行．答案：D3．若向量a 与b 共线，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________. 解析：∵a 与b 共线， ∴两向量同向或反向． 又|a |＝|b |＝1，∴|a －b |＝0或2. 答案：0或24．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________. (2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________. 答案：(1)AD → (2)PQ →5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BE →，CE →.解：∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a . ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b .1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．梯形D ．矩形解析：由AB →＝－12CD →可得，在四边形ABCD 中有AB ∥CD ，但|AB |≠|CD |，故为梯形．答案：C2．已知非零向量a ，b 满足a ＝λb ，b ＝λa (λ∈R )，则λ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．0D ．0解析：∵a ＝λb ，b ＝λa ，∴a ＝λ2a ，∴λ±1.答案：B3．化简：2(a －2b )＋3(13a ＋b )＝________. 答案：3a －b4．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：∵b 与a 方向相反，∴设a ＝λb (λ<0) ∴|a |＝|λ||b |，∴5＝|λ|×7，∴|λ|＝57， ∴λ＝±57，又λ<0，∴λ＝－57. 答案：－57 5.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：在四边形ANMD 中，有 MN →＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－AD →－12(12AB →)＋12AB →＝－AD →＋14AB →＝14a －b . 在四边形ABCD 中，有BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB → ＝AD →－12AB →＝b －12a .1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，以b 与c 作为基底，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b . 答案：A。

一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭， 当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭， 据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-， 由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2） 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】 （1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】 （1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点， 所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -． 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1， 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<， 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=， 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。