2020年山东省普通高中学业水平考试数学试题带答案(供参考)

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A ＝{1, 3, 5}，B ＝{2, 3}，则A ∪B ＝（ ） A.{3} B.{1, 5} C.(1, 2, 5)∩{1, 2, 5} D.{1, 2, 3, 5}2. 函数f(x)=cos (12x +π6)的最小正周期为（ ）A.π2B.πC.2πD.4π3. 函数f(x)=√x −1+ln (4−x)的定义域是( ) A.(1, +∞) B.[1, 4) C.(1, 4] D.(4, +∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上是减函数的是（ ） A.y ＝−x 3 B.y =1C.y ＝|x|D.y =1x 25. 已知直线l 过点P(2, −1)，且与直线2x +y −l ＝0互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A.x −2y ＝0 B.x −2y −4＝0 C.2x +y −3＝0 D.2x −y −5＝06. 已知函数f(x)={2x,x ≤0x 32,x >0 ，则f(−1)+f(1)＝（ ）A.0B.1C.32D.27. 已知向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4，则a →⋅b →=( ) A.6√3 B.6√2C.4√3D.68. 某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ）．其中每件产品的重量范围是[40, 42]．数据的分组依据依次为[40, 40, 5)，[40, 5, 41)，[41, 41, 5)，[41, 5, 42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40, 41)内的产品件数为（ ）A.30B.40C.60D.809.sin 110∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘= ( ) A.12B.√32C.−12D.−√3210. 在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=( ) A.DC →B.BA →C.BC →D.BD →11. 某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y =7x +a ，则实数a =( )C.4D.10.512. 下列结论正确的是（ ） A.若a <b ，则a 3<b 3 B.若a >b ，则2a <2b C.若a <b ，则a 2<b 2 D.若a >b ，则ln a >ln b13. 圆心为M(1, 3)，且与直线3x −4y −6＝0相切的圆的方程是（ ） A.(x −1)2+(y −3)2＝9 B.(x −1)2+(y −3)2＝3 C.(x +1)2+(y +3)2＝9D.(x +1)2+(y +3)2＝314. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15. 若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直，则实数a ＝（ ） A.−1或2 B.−1C.13D.316. 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A.y ＝sin (3x −π4)B.y ＝sin (3x −π12)C.y ＝sin (13x −π4) D.y ＝sin (13x −π12)17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A.14 B.23C.12D.3418. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是（ ）A.A 1D ⊥C 1CB.BD 1⊥ADC.A 1D ⊥ACD.BD 1 ⊥AC19. 已知向量a →，b →不共线，若AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，则（ ）A.A ，B ，C 三点共线B.A ，B ，D 三点共线C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线20. 在三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝1，PB ＝PC ＝2，则该三棱锥的外接球体的体积为（ ） A.9π2B.27π2C.9πD.36π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为________．已知α为第二象限角，若sin α=35，则tan α的值为________．已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为________．已知函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点，则实数a 的取值范围为________．若P 是圆C 1：(x −4)2+(y −5)2＝9上一动点，Q 是圆C 2：(x +2)2+(y +3)2＝4上一动点，则|PQ|的最小值是________．三、解答题：本题共3小题，共25分．如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：EF // 面PAD ．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝6，cos B =13． （1）若sin A =35，求b 的值；（2）若c ＝2，求b 的值及△ABC 的面积S ．已知函数f(x)＝ax+log3(9x+1)(a∈R)为偶函数．（1）求a的值；（2）当x∈[0, +∞)时，不等式f(x)−b≥0恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{1, 3, 5}，B＝{2, 3}，∴A∪B＝{1, 2, 3, 5}．2.【答案】D【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．【解答】由三角函数的周期公式得T=2π12=4π，3.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f(x)=√x−1+ln(4−x)，∴{x−1≥0,4−x>0.解得1≤x<4.∴函数f(x)的定义域是[1, 4)．故选B．4.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可．【解答】由幂函数的性质可知，y＝−x3，y=1x为奇函数，不符合题意，y＝|x|为偶函数且在(0, +∞)上单调递增，不符号题意，y=1x2为偶函数且在(0, +∞)上单调递减，符合题意．5.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据题意设出直线l的方程，把点P(2, −1)代入方程求出直线l的方程．【解答】根据直线l与直线2x+y−l＝0互相垂直，设直线l为x−2y+m＝0，又l过点P(2, −1)，∴2−2×(−1)+m＝0，解得m＝−4，∴直线l的方程为x−2y−4＝0．6.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值【解析】推导出f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，由此能求出f(−1)+f(1)的值．【解答】∵函数f(x)={2x,x≤0x32,x>0，∴f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，∴f(−1)+f(1)=12+1=32．故选：C．7.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】进行数量积的运算即可． 【解答】∵ 向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4， ∴ a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3×4×12=6．8. 【答案】 B【考点】频率分布直方图 【解析】由频率分布直方图得重量在[40, 41)内的频率为0.4．由此能求出重量在[40, 41)内的产品件数． 【解答】由频率分布直方图得：重量在[40, 41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5＝0.4． ∴ 重量在[40, 41)内的产品件数为0.4×100＝40． 9. 【答案】 A【考点】求两角和与差的正弦 【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：sin 110∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘ =sin 70∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘ =sin (70∘−40∘) =sin 30∘=12． 故选A ． 10. 【答案】 B【考点】向量加减法的应用 【解析】利用平面向量加法法则直接求解． 【解答】在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=AB →+BD →+CA →=CD →=BA →．11.【答案】 B【考点】求解线性回归方程 【解析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a ． 【解答】 x ¯=3+4+5+64=4.5，y ¯=25+30+40+454=35，∴ 样本点的中心坐标为(4.5, 35)，代入y =7x +a ，得35＝7×4.5+a ，即a =3.5． 12. 【答案】 A【考点】不等式的基本性质 【解析】利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误． 【解答】A ．a <b ，可得a 3<b 3，正确；B ．a >b ，可得2a >2b ，因此B 不正确；C ．a <b ，a 2与b 2大小关系不确定，因此不正确；D ．由a >b ，无法得出ln a >ln b ，因此不正确． 13.【答案】 A【考点】 圆的切线方程 圆的标准方程【解析】由题意可知，圆的半径即为圆心M 到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解． 【解答】由题意可知，圆的半径r =|3−12−6|5=3，故所求的圆的方程为(x −1)2+(y −3)2＝9． 14. 【答案】 C【考点】 随机事件 【解析】利用随机事件的定义直接求解． 【解答】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确； 在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确； 在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确． 15.【答案】 C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】根据题意，分析可得(a −1)+2a ＝0，解可得a 的值，即可得答案． 【解答】根据题意，若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直， 必有(a −1)+2a ＝0，解可得a =13； 16.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得y ＝sin 3x 的图象； 再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin 3(x −π12)＝sin (3x −π4)， 17.【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2＝8−2＝6种情况， ∴ 所求概率为68=34． 18.【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】直接可以看出A ，B ，C 均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直． 【解答】因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1；BD ∩DD 1＝D ； BD ⊆平面DD 1B 1B ，DD 1⊆平面DD 1B 1B ， ∴ AC ⊥平面DD 1B 1B ； BD 1⊆平面DD 1B 1B ； ∴ AC ⊥BD 1； 即D 对． 19.【答案】 B【考点】平行向量（共线） 【解析】BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →，从而BD →∥AB →，进而A ，B ，D 三点共线． 【解答】向量a →，b →不共线，AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，∴ BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →， ∴ BD →∥AB →，∴ A ，B ，D 三点共线． 20. 【答案】 A【考点】球的表面积和体积 【解析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积． 【解答】由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝1，PB ＝2，PC ＝2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则2R =√12+22+22=3所以R =32， 所以外接球的体积V =43πR 3=92π，二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．【答案】 8【考点】 分层抽样方法 【解析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数． 【解答】∵ 某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人， ∴ 这支田径队共有45+36＝81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本， ∴ 每个个体被抽到的概率是1881=29，∵ 女运动员36人，∴ 女运动员要抽取36×29=8人， 【答案】−34【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos α 的值，从而求得tan α的值． 【解答】∵ α为第二象限角sin α=35， ∴ cos α=−45，则tan α=sin αcos α=−34， 【答案】 2π【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积 【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【解答】由已知可得r ＝1，ℎ=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2．∴ 圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π． 【答案】 (−2, 0) 【考点】函数零点的判定定理 【解析】由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，求出即可． 【解答】函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点， f(0)＝a ，f(1)＝2+a ，由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，得−2<a <0， 经验证a ＝−2，a ＝0均不成立， 故答案为：(−2, 0) 【答案】 5【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r 和R ，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d ，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P 在圆C 1上，Q 在圆C 2上，则|PQ|的最小值为d −(r +R)，即可求出答案． 【解答】圆C 1：(x −4)2+(y −5)2＝9的圆心C 1(4, 5)，半径r ＝3， 圆C 2：(x +2)2+(y +3)2＝4的圆心C 2(−2, −3)，半径r ＝2， d ＝|C 1C 2|=√(4+2)2+(5+3)2=10>2+3＝r +R ， 所以两圆的位置关系是外离， 又P 在圆C 1上，Q 在圆C 2上，则|PQ|的最小值为d −(r +R)＝10−(2+3)＝5， 三、解答题：本题共3小题，共25分． 【答案】证明：取PD 的中点G ，连接FG 、AG ． 因为PF ＝CF ，PG ＝DG ， 所以FG // CD ，且FG =12CD ．又因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是AB 的中点．所以AE // CD ，且AE =12CD ． 所以FG // AE ，且FG ＝AE ，所以四边形EFGA 是平行四边形， 所以EF // AG ．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【考点】直线与平面平行【解析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．证得四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG，由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG =12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【答案】由cos B=13可得sin B=2√23，由正弦定理可得，asin A =bsin B，所以b=a sin Bsin A =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cos B=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12ac sin B=12×6×2×2√23=4√2．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）先根据同角平方关系求出sin B，然后结合正弦定理即可求解，（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【解答】由cos B=13可得sin B=2√23，由正弦定理可得，asin A=bsin B，所以b=a sin Bsin A=6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cos B=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12ac sin B=12×6×2×2√23=4√2．【答案】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据偶函数性质f(x)＝f(−x)，化简整理可求得a的取值；（2）根据条件可知x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，求出函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上的最小值即可【解答】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，因为函数g(x)＝x+log32，所以g(x)min＝g(0)＝log32．则b≤log3。

山东省 2020 年普通高中学业水平等级考试 (模拟卷 )一、单项选择题： 本题共 8 小题，每小题 3 分，共24 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 2019年是世界上首次实现元素人工转变100 周年。

1919年，卢瑟福用氦核轰击氮原子核，发现产生了另一种元素，该核反应方程可写为：42H e + 147 Nm8X+2n Y。

以下判断正确的是A ． m=16 ， n=1B ．m=17， n=1C ． m=16 ， n=0D ．m=17， n=02．如图所示， 水平放置的封闭绝热气缸， 被一锁定的绝热活塞分为体积相等的 a 、b 两部分。

已知 a 部分气体为 1mol 氧气， b 部分气体为 2mol 氧气，两部分气体温度相等，均可视为理想气体。

解除锁定，活塞滑动一段距离后，两部分气体各自再次达到平衡态时，它们的体积分别为 V a 、 V b ，温度分别为 T a 、 T b 。

下列说法正确的是A ．V >V ，T >TB ．V >V ，T <TbabababaC ． V a <V b ，T a <T bD ． V a <V b ，T a >T b3．我国自主研制的绞吸挖泥船 “天鲲号 ”达到世界先进水平。

若某段工作时间内，“天鲲号 ”的泥泵输出功率恒为 1×104kW ，排泥量为 1.4m 3／ s ，排泥管的横截面积为 0.7m 2。

则泥泵 对排泥管内泥浆的推力为 A ． 5×106NB ． 2×107NC ． 2×109ND ． 5×109N4．某一列沿 x 轴传播的简谐横波，在tT时刻的波形图如图所示， P 、 Q 为介质中的两4质点，质点 P 正在向动能增大的方向运动。

下列说法正确的是A ．波沿 x 轴正方向传播B ． tT时刻， Q 比 P 的速度大4 C ． t3T时刻， Q 到达平衡位置4 D ． t3T时刻， P 向 y 轴正方向运动45．2019 年 10 月28 日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线。

2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）
A. {x |2<x ≤3}
B. {x |2≤x ≤3}
C. {x |1≤x <4}
D. {x |1<x <4} 2.（ ） 2i 12i -=+A. 1
B. −1
C. i
D. −i
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 120种
B. 90种
C. 60种
D. 30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）。

山东省2020 年普通高中学业水平等级考试(模拟卷)一、单项选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2019 年是世界上首次实现元素人工转变100 周年。

1919 年，卢瑟福用氦核轰击氮原子核，发现产生了另一种元素，该核反应方程可写为：414m22e 78n H +N X+Y →。

以下判断正确的是A ．m =16，n =1B ．m =17，n =1C ．m =16，n =0D ．m =17，n =02．如图所示，水平放置的封闭绝热气缸，被一锁定的绝热活塞分为体积相等的a 、b 两部分。

已知a 部分气体为1mol 氧气，b 部分气体为2mol 氧气，两部分气体温度相等，均可视为 理想气体。

解除锁定，活塞滑动一段距离后，两部分气体各自再次达到平衡态时，它们的 体积分别为V a 、V b ，温度分别为T a 、T b 。

下列说法正确的是A ．V a >V b ，T a >T bB ．V a >V b ，T a <T bC ．V a <V b ，T a <T bD ．V a <V b ，T a >T b3．我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平。

若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为1×104kW ，排泥量为1.4m 3／s ，排泥管的横截面积为0.7m 2。

则泥泵 对排泥管内泥浆的推力为A ． 5×106NB ． 2×107NC ． 2×109ND ． 5×109N4．某一列沿x 轴传播的简谐横波，在4T t = 时刻的波形图如图所示，P 、Q 为介质中的两质点，质点P 正在向动能增大的方向运动。

下列说法正确的是A ．波沿x 轴正方向传播B ．4T t =时刻，Q 比P 的速度大 C ．34T t = 时刻，Q 到达平衡位置 D ．34T t = 时刻，P 向y 轴正方向运动 5．2019 年10 月28 日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线。

山东省2020年普通高中学业水平等级考试（模拟卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 2019年是世界上首次实现元素人工转变100周年。

1919年，卢瑟福用氦核轰击氮原子核，发现产生了另一种元素，该核反应方程可写为：{H e + ^N m^X+^Y。

以下判断正确的是A . m=16, n=1B . m=17, n=1C. m=16, n=0 D . m=17, n=02. 如图所示，水平放置的封闭绝热气缸，被一锁定的绝热活塞分为体积相等的a、b两部分。

已知a部分气体为1mol氧气，b部分气体为2mol氧气，两部分气体温度相等，均可视为理想气体。

解除锁定，活塞滑动一段距离后，两部分气体各自再次达到平衡态时，它们的体积分别为V a、V b,温度分别为T a、T b。

下列说法正确的是A . V a>V b, T a>T bB . V a>V b , T a<T bC. V a<V b, T a<T b D . V a<V b , T a>T b3. 我国自主研制的绞吸挖泥船天鲲号”达到世界先进水平。

若某段工作时间内，天鲲号的泥泵输出功率恒为1X104kw，排泥量为1.4m3/s,排泥管的横截面积为0.7m2。

则泥泵对排泥管内泥浆的推力为A. 5 XI05 6NB. 2 X107NC. 2 X109ND. 5XI09N4•某一列沿x轴传播的简谐横波，在t T时刻的波形图如图所示，P、Q为介质中的两4质点，质点P正在向动能增大的方向运动。

下列说法正确的是A .波沿x轴正方向传播B. t4时刻，Q比P的速度大C. t3T时刻，Q到达平衡位置452019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线。

此时是观察天王星的最佳时间。

已知日地距离为R0,天王星和地球的公转周期分别为T和T0,则天王星与太阳的距离为D. t3T时刻，P向y轴正方向运动4射电子，沿垂直于平行板电容器极板的方向，场后，至U 达右侧极板时速度刚好为零。

绝密★启用前山东省2020年普通高中学业水平等级考试(模拟卷)数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}|){(}2|){(2x y y x B y x y x A ===+=，，，,则=B A I A ．)}11{(， B ．)}42{(，- C ．)}42()11{(，，，- D ．Φ2．已知)(R b a bi a ∈+，是ii +-11的共轭复数,则=+b a A ．1- B ．21- C ．21 D ．1 3．设向量)12()31()11(，，，，，=-==c b a ,且c b a ⊥-)(λ,则=λA ．3B ．2C ．2-D ．3- 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是 A ．210- B ．120- C ．120 D ．2105．已知三棱锥ABC S -中,2π=∠=∠ABC SAB ,4=SB ,132=SC ,2=AB ,6=BC ,则三棱锥ABC S -的体积是A ．4B ．6C ．34D ．366．已知点A 为曲线)0(4>+=x xx y 上的动点,B 为圆1)2(22=+-y x 上的动点,则||AB 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．23 D ．247．设命题p ：所有正方形都是平行四边形,则p ⌝为A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形8．若1>>>c b a 且2b ac <,则A ．a c b c b a log log log >>B ．c a b a b c log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c b a a c b log log log >>二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

山东省泰安市2020-2021学年下学期学业水平测试高二数学（理）(全卷满分：120分考试时间：90分钟)班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，A=60°，a =，b =，则（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45° D．以上答案都不对2．数列{a n}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n +1（n∈N+）B．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）C．a n=（﹣1）n +1（n∈N+）D．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）3．若b＜0＜a，d＜c＜0，则下列不等式中必成立的是（）A．ac＞bd B ．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cos B=（）A ．B ．C ．D ．5．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5=5a3，则=（）A ．B．5 C．9 D ．6．已知△ABC的面积S=a2﹣（b2+c2），则cos A等于（）A．﹣4 B ．C ．±D ．﹣7．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）1/ 11A．10 B．12 C．14 D．168．在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A ．B ．C ．D．0＜x＜29．若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）A．（1，9）B．（﹣∞，1]∪（9，+∞）C．[1，9）D．（﹣∞，1）∪（9，+∞）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．11．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为．12．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+3n+1，求数列{a n}的通项公式．13．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为．14．在数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，则a n= ．15．已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2b sin A（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；2/ 11（2）解关于x 的不等式：＞0（c为常数）．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7，a5+a7=26（1）求a n及S n；（2）令b n =（n∈N*）求数列{b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（2a﹣b）cos C．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．3/ 1120．某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加装修费2万元，现把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以50万元出售该楼；②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；问选择哪种方案盈利更多？21．已知数列{a n}满足a1=且a n+1=．设b n +2=3，数列{c n}满足c n=a n •b n．（1）求数列{b n}通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n ≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．4/ 11参考答案一.选择题1．C【解析】根据正弦定理=得：sin B===，∵b＜a，∴B＜A=60°，∴B=45°．故选C2．D【解析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，故选：D．3．C【解析】∵b＜0＜a，d＜c＜0，∴ac＜0，bd＞0，则ac＞bd恒不成立，故A不满足要求；同理，则恒不成立，故B不满足要求；由不等式的同号可加性可得a+c＞b+d一定成立，故C满足要求；但a﹣c＞b﹣d不一定成立，故D不满足要求；故选C4．B【解析】△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c =2a，则b=a，=，故选B．5．C【解析】∵a5=5a3，5/ 11则====9．故选：C．6．D【解析】∵cos A =，面积S =bc sin A=a2﹣（b2+c2），∴bc sin A=﹣2bc cos A，∴sin A=﹣4cos A，又sin2A+cos2A=1，联立解得cos A =．故选：D．7．D【解析】∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y ）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．8．A【解析】由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A ≠90°，即＜sin A＜1，由正弦定理以及a sin B=b sin A．可得：a=x ==2sin A，∵2sin A∈（2， 2）．∴x的取值范围是（2，2）．6/ 11故选：A．9．C【解析】当m﹣1=0，即m=1时，原不等式可化为2＞0恒成立，满足不等式解集为R，当m﹣1≠0，即m≠1时，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则，解得：1＜m＜9．综上所述，m的取值范围为[1，9）．故选：C．10．B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．二、填空题11．（﹣1，6）【解析】不等式变形得：（x﹣6）（x+1）＜0，可化为或，解得：﹣1＜x＜6，则不等式的解集为（﹣1，6）．故答案为：（﹣1，6）12．【解析】当n=1时，a1=S1=1+3+1=5；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+3n+1﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=2n+2．7/ 11∴数列{a n}的通项公式为．故答案为．13．【解析】∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，∴ab sin C =3，即sin C =，∵C为锐角，∴cos C ==，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab cos C=16+9﹣12=13，解得：AB=c =．故答案为：14．【解析】∵数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，∴数列{na n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，解得a n =．故答案为：．15． 6+4【解析】a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b）≥4∴ab﹣4+2≥0，当且仅当a=b =2+时取等号设=t＞1，∴t2﹣4t+2≥0，解得t≥2+，8/ 11∴ab≥（2+）2=6+4，∴ab的最小值为6+4，故答案为：6+4．三.解答题16．解：（Ⅰ）由a=2b sin A，根据正弦定理得sin A=2sin B sin A ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2ac cos B=27+25﹣45=7．所以，．17．解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．18．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则a3=a1+2d=7，a5+a7=2a1+10d=26联立解之可得a1=3，d=2，故a n=3+2（n﹣1）=2n+1S n=3n +=n2+2n；（2）由（1）可知b n ====（），故数列{b n}的前n项和T n =（1﹣++…+）=（1﹣）=19．解：（1）∵在△ABC中，c cos B=（2a﹣b）cos C，9/ 11∴由正弦定理，可得sin C cos B=（2sin A﹣sin B）cos C，即sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C，∴sin（B+C）=2sin A cos C，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sin A＞0，∴sin A=2sin A cos C，即sin A（1﹣2cos C）=0，可得cos C =．又∵C是三角形的内角，∴C =．（2）∵C =，a+b+c =2+2，c=2，可得：a+b =2，∴由余弦定理可得：22=a2+b2﹣2ab cos C=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=12﹣3ab，解得：ab =，∴S△ABC =ab sin C =××=．20．解：（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n +=n2，因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0，解得：3＜n＜27，所以从第4年开始获取纯利润．（2）纯利润y=30n﹣（81+n2）=﹣（n﹣15）2+144，所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．年平均利润W ==30﹣﹣n≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+50=158（万元）．∵154＜158，方案②时间比较短，所以选择方案②．21．解：（1）由得，数列{a n}是公比为的等比数列，则，所以，即b n=3n+1．10/ 11（2）由（1）知，，b n=3n+1，则．，①则，②①﹣②两式相减得===．所以．（3）因为，所以=，则数列{c n}单调递减，∴当n=1时，c n 取最大值是，又∵c n ≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，∴+m﹣1≥，即m2+4m﹣5≥0，解得：m≥1或m≤﹣5．11/ 11。

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合{1A =，3，5}，{2B =，3}，则(A B = )A ．{3}B ．{1，5}C ．(1，2，5){1⋂，2，5}D ．{1，2，3，5}2．（3分）函数1()cos()26f x x π=+的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．（3分）函数()(4)f x ln x =-的定义域是( ) A ．[1，4)B ．(1，4]C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是减函数的是( ) A ．3y x =-B ．1y x=C ．||y x =D ．21y x=5．（3分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线20x y l +-=互相垂直，则直线l 的方程为()A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=6．（3分）已知函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，则(1)f f -+（1）(= )A ．0B ．1C ．32D ．27．（3分）已知向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =，则(a b = ) A．B．C．D ．68．（3分）某工厂抽取100件产品测其重量（单位：)kg ．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5)，[40，5，41)，[41，41，5)，[41，5，42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41)内的产品件数为( )A ．30B ．40C ．60D ．809．（3分）sin 110︒cos40cos70sin 40(︒-︒︒= ) A ．12B 3C ．12-D ．3 10．（3分）在平行四边形ABCD 中，(AB BD AC +-= ) A ．DCB ．BAC ．BCD ．BD11．（3分）某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ7yx a =+，则实数ˆ(a = ) x3 4 5 6 y25304045 A ．3B ．3.5C ．4D ．10.512．（3分）下列结论正确的是( ) A ．若a b <，则33a b < B ．若a b >，则22a b < C ．若a b <，则22a b <D ．若a b >，则lna lnb >13．（3分）圆心为(1,3)M ，且与直线3460x y --=相切的圆的方程是( ) A ．22(1)(3)9x y -+-= B ．22(1)(3)3x y -+-= C ．22(1)(3)9x y +++=D ．22(1)(3)3x y +++=14．（3分）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15．（3分）若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直，则实数(a = ) A ．1-或2B ．1-C ．13D ．316．（3分）将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．sin(3)4y x π=-B ．sin(3)12y x π=-C ．1sin()34y x π=-D ．1sin()312y x π=-17．（3分）3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A ．14B ．23C ．12D ．3418．（3分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列判断正确的是( )A ．11A D C C ⊥B ．1BD AD ⊥C ．1AD AC ⊥D ．1BD AC ⊥19．（3分）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则()A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线20．（3分）在三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥的外接球体的体积为( ) A ．92πB ．272πC ．9πD ．36π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．21．（3分）某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 ．22．（3分）已知α为第二象限角，若3sin 5α=，则tan α的值为 ． 23．（3分）已知圆锥底面半径为1，高为3，则该圆锥的侧面积为 ．24．（3分）已知函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，则实数a 的取值范围为 ． 25．（3分）若P 是圆221:(4)(5)9C x y -+-=上一动点，Q 是圆222:(2)(3)4C x y +++=上一动点，则||PQ 的最小值是 ． 三、解答题：本题共3小题，共25分．26．（9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：//EF 面PAD ．27．（8分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且6a =，1cos 3B =． （1）若3sin 5A =，求b 的值； （2）若2c =，求b 的值及ABC ∆的面积S ．28．（8分）已知函数3()log (91)()x f x ax a R =++∈为偶函数． （1）求a 的值；（2）当[0x ∈，)+∞时，不等式()0f x b -恒成立，求实数b 的取值范围．2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合{1A =，3，5}，{2B =，3}，则(A B = )A ．{3}B ．{1，5}C ．(1，2，5){1⋂，2，5}D ．{1，2，3，5}【解答】解：{1A =，3，5}，{2B =，3}，{1AB ∴=，2，3，5}．故选：D ．2．（3分）函数1()cos()26f x x π=+的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【解答】解：由三角函数的周期公式得2412T ππ==， 故选：D ．3．（3分）函数()(4)f x ln x =-的定义域是( ) A ．[1，4)B ．(1，4]C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【解答】解：函数()(4)f x ln x =-， ∴1040x x -⎧⎨->⎩，解得14x <；∴函数()f x 的定义域是[1，4)．故选：A ．4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是减函数的是( ) A ．3y x =-B ．1y x=C ．||y x =D ．21y x =【解答】解：由幂函数的性质可知，3y x =-，1y x=为奇函数，不符合题意，||y x =为偶函数且在(0,)+∞上单调递增，不符号题意，21y x =为偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意． 故选：D ．5．（3分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线20x y l +-=互相垂直，则直线l 的方程为()A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=【解答】解：根据直线l 与直线20x y l +-=互相垂直，设直线l 为20x y m -+=， 又l 过点(2,1)P -，22(1)0m ∴-⨯-+=，解得4m =-，∴直线l 的方程为240x y --=．故选：B ．6．（3分）已知函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，则(1)f f -+（1）(= )A ．0B ．1C ．32D ．2【解答】解：函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，11(1)22f -∴-==， f （1）3211==， (1)f f ∴-+（1）13122=+=． 故选：C ．7．（3分）已知向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =，则(a b = ) A．B．C．D ．6【解答】解：向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =， ∴1||||cos34632a b a b π==⨯⨯=． 故选：D ．8．（3分）某工厂抽取100件产品测其重量（单位：)kg ．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5)，[40，5，41)，[41，41，5)，[41，5，42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41)内的产品件数为( )A ．30B ．40C ．60D ．80【解答】解：由频率分布直方图得：重量在[40，41)内的频率为：(0.10.7)0.50.4+⨯=． ∴重量在[40，41)内的产品件数为0.410040⨯=．故选：B ．9．（3分）sin 110︒cos40cos70sin 40(︒-︒︒= ) A ．12B 3C ．12-D ．3 【解答】解：sin 110︒cos40cos70sin40︒-︒︒ sin =70︒cos40cos70sin40︒-︒︒ sin =(7040)︒-︒1sin302=︒=． 故选：A ．10．（3分）在平行四边形ABCD 中，(AB BD AC +-= ) A ．DCB ．BAC ．BCD ．BD【解答】解：在平行四边形ABCD 中， AB BD AC AB BD CA CD BA +-=++==．故选：B ．11．（3分）某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ7yx a =+，则实数ˆ(a = ) x3 4 5 6 y25304045 A ．3 B ．3.5C ．4D ．10.5【解答】解：3456 4.54x +++==，25304045354y +++==， ∴样本点的中心坐标为(4.5,35)，代入ˆˆ7yx a =+，得ˆ357 4.5a =⨯+，即ˆ 3.5a =． 故选：B ．12．（3分）下列结论正确的是( ) A ．若a b <，则33a b < B ．若a b >，则22a b < C ．若a b <，则22a b <D ．若a b >，则lna lnb >【解答】解：A ．a b <，可得33a b <，正确；B ．a b >，可得22a b >，因此B 不正确；C ．a b <，2a 与2b 大小关系不确定，因此不正确；D ．由a b >，无法得出lna lnb >，因此不正确．故选：A ．13．（3分）圆心为(1,3)M ，且与直线3460x y --=相切的圆的方程是( ) A ．22(1)(3)9x y -+-= B ．22(1)(3)3x y -+-= C ．22(1)(3)9x y +++=D ．22(1)(3)3x y +++=【解答】解：由题意可知，圆的半径|3126|35r --==， 故所求的圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=． 故选：A ．14．（3分）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【解答】解：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确； 在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确； 在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确． 故选：C ．15．（3分）若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直，则实数(a = ) A ．1-或2B ．1-C ．13D ．3【解答】解：根据题意，若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直， 必有(1)20a a -+=，解可得13a =；故选：C ．16．（3分）将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．sin(3)4y x π=-B ．sin(3)12y x π=-C ．1sin()34y x π=-D ．1sin()312y x π=-【解答】解：将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得sin3y x =的图象； 再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为sin3()sin(3)124y x x ππ=-=-， 故选：A ．17．（3分）3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A ．14B ．23C ．12D ．34【解答】解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有328=种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有322826-=-=种情况， ∴所求概率为6384=． 故选：D ．18．（3分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列判断正确的是( )A ．11A D C C ⊥B ．1BD AD ⊥C ．1AD AC ⊥ D ．1BD AC ⊥【解答】解：因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥；1BDDD D =；BD ⊆平面11DD B B ，1DD ⊆平面11DD B B ，AC ∴⊥平面11DD B B ； 1BD ⊆平面11DD B B ； 1AC BD ∴⊥；即D 对． 故选：D ．19．（3分）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则()A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线【解答】解：向量a ，b 不共线，2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-， ∴(37)(45)2BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=， ∴//BD AB ，A ∴，B ，D 三点共线．故选：B ．20．（3分）在三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥的外接球体的体积为( )A ．92πB ．272πC ．9πD ．36π【解答】解：由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB =，2PC =将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则22221223R ++=所以32R =， 所以外接球的体积34932V R ππ==， 故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．21．（3分）某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 8 ．【解答】解：某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，∴这支田径队共有453681+=人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本， ∴每个个体被抽到的概率是182819=， 女运动员36人，∴女运动员要抽取23689⨯=人， 故答案为：8．22．（3分）已知α为第二象限角，若3sin 5α=，则tan α的值为 34- ．【解答】解：α为第二象限角3sin 5α=， 4cos 5α∴=-，则sin 3tan cos 4ααα==-， 故答案为：34-．23．（3分）已知圆锥底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 2π ．【解答】解：由已知可得1r =，h =2l ==． ∴圆锥的侧面积2S rl ππ==．故答案为：2π．24．（3分）已知函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，则实数a 的取值范围为 (2,0)- ．【解答】解：函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，(0)f a =，f （1）2a =+，由零点存在性定理得(0)f f （1）(2)0a a =+<，得20a -<<， 经验证2a =-，0a =均不成立，故答案为：(2,0)-25．（3分）若P 是圆221:(4)(5)9C x y -+-=上一动点，Q 是圆222:(2)(3)4C x y +++=上一动点，则||PQ 的最小值是 5 ．【解答】解：圆221:(4)(5)9C x y -+-=的圆心1(4,5)C ，半径3r =， 圆222:(2)(3)4C x y +++=的圆心2(2,3)C --，半径2r =，12||1023d C C r R ===>+=+，所以两圆的位置关系是外离，又P 在圆1C 上，Q 在圆2C 上，则||PQ 的最小值为()10(23)5d r R -+=-+=，故答案为：5．三、解答题：本题共3小题，共25分．26．（9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：//EF 面PAD ．【解答】证明：取PD 的中点G ，连接FG 、AG ．因为PF CF =，PG DG =，所以//FG CD ，且12FG CD =． 又因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是AB 的中点．所以//AE CD ，且12AE CD =． 所以//FG AE ，且FG AE =，所以四边形EFGA 是平行四边形，所以//EF AG ．又因为EF ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．27．（8分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且6a =，1cos 3B =． （1）若3sin 5A =，求b 的值； （2）若2c =，求b 的值及ABC ∆的面积S ．【解答】解：（1）由1cos 3B =可得22sin B = 由正弦定理可得，sin sin a b A B =， 所以226sin 233sin 35a Bb A ===，（2）由余弦定理可得，22221364cos 32226a c b b B ac +-+-===⨯⨯，解可得，b =11sin 6222S ac B ==⨯⨯=． 28．（8分）已知函数3()log (91)()x f x ax a R =++∈为偶函数．（1）求a 的值；（2）当[0x ∈，)+∞时，不等式()0f x b -恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意可知()()f x f x =-，即33log (91)log (91)x xax ax -++=-++，整理得391log 291x x ax -+=-+， 即3292x ax log x -==，解得1a =-；（2）由（1）可得3()log (91)x f x x =++，因为()0f x b -对[0x ∈，)+∞恒成立， 即3log (91)x x b ++对[0x ∈，)+∞恒成立，因为函数3()log (91)x g x x =++在[0，)+∞上是增函数， 所以3()(0)log 2min g x g ==，则3log 2b ．。

2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷1. 设集合A ={x ∈N|−1≤x ≤3}，B ={y|y =x 2,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [1,3]D. [0,3]2. 已知a 、b 都是实数，那么“a <b <0”是“1a >1b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设函数f(x)=tan x2，若a =f(log 32),b =f(log 1512)，c =f(20.2)，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c4. 已知P 为等边三角形所在平面内的一个动点，满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 2√3 B. 3C. 6D. 与λ有关的数值5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12.根据这些信息，可得sin234°=( )A. 1−2√54B. −3+√58C. −√5+14D. −4+√586. 已知(1+λx)n 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，(1+λx)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1+a 2+⋯+a n =242，则(x +λx )4展开式中常数项( )A. 32B. 24C. 4D. 87. 在棱长为1的正四面体A −BCD 中，E 是BD 上一点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( )A. π8B. 3π16C. π4D. 5π168. 若定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f’(x)>f(x)+9e x ，f(3)=27e 3，则不等式f(x)9>xe x 的解集是( )A. (3,+∞)B. (−∞,3)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)9. 已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设c n =a b n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n <2019时，n 的取值可以是下面选项中的( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+bx +c 有两个极值点x 1，x 2，若f(x 1)=x 1，则关于x 的方程f 2(x)+af(x)+b =0的不同实根个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( )A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥P −QEF 的体积D. △QEF 的面积12. 函数f(x)图象上不同两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，|AB|为A ，B 两点间距离，定义φ(A,B)=|k A −k B ||AB|为曲线f(x)在点A 与点B 之间的“曲率”，其中正确命题为( )A. 存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数B. 函数f(x)=x 3−x 2+1图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”φ(A,B)>√3C. 函数f(x)=ax2+b(a>0,b∈R)图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ(A,B)≤2aD. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线f(x)=e x上不同两点，且x1−x2=1，若t⋅φ(A,B)<1恒成立，则实数t的取值范围是(−∞,1)13.已知复数z=1+3i1−i，则复数z−的虚部为______．14.函数f(x)=alnxx 的图象在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=−1e4x平行，则f(x)的极值点是______．15.设x>0，y>0，若xln2，ln√2，yln2成等差数列，则1x +9y的最小值为______．16.过点M(0,1)的直线l交椭圆x28+y24=1于A，B两点，F为椭圆的右焦点，△ABF的周长最大为______，此时△ABF的面积为______．17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a+b+c)(a+b−c)=3ab．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2a n−2(n∈N∗),{b n}是等差数列，且a3=b4−2b1，b6=a4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式：(2)求数列{(−1)n b n2}的前2n项和T2n⋅19. 在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD =2BC =2AD =4，∠DAB =60°，AE =BE ，△PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ． (1)求二面角P −EC −D 的余弦值；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为√68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)左顶点M(−2,0)，离心率为√22． (1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1,0)的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，求△MAB 面积．21.设函数f(x)=x2−alnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，,e]上的最大值和最小值；①求函数f(x)在[1e,e]，使得f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n−1)≤f(x n)成立，②若存在x1，x2，…，x n∈[1e求n的最大值．22.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K20.010.050.0250.0100.0050.001≥k0)k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x∈N|−1≤x≤3}={0,1,2,3}，B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={0,1,2,3}，故选：A．对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法．本题易错的地方是认为自然数集不包括零．解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题目．根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，若a<b<0，则1a >1b成立，当a>0，b<0时，满足1a >1b，但a<b<0不成立，故“a<b<0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选A．3.【答案】D【解析】解：f(x)在(0,π)上单调递增； log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且log 25>log 23>1；∴0<1log25<1log 23<1；∴0<log 1512<log 32<1； 又1<20.2<2；∴0<log 1512<log 32<20.2<π；∴b <a <c ． 故选：D ．容易看出f(x)在(0,π)上单调递增，且可得出log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且1<20.2<2，从而得出0<log 1512<log 32<20.2<π，这样根据f(x)的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．考查正切函数的单调性，增函数的定义，对数函数的单调性，对数的换底公式．4.【答案】C【解析】解：由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， 即点P 在直线BC 上， 取BC 的中点为D ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6， 故选：C ．由向量的投影的几何意义得：点P 在直线BC 上，取BC 的中点为D ，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6，得解： 本题考查了向量的投影的几何意义，属中档题．5.【答案】C【解析】【分析】由已知求得∠ACB=72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．【解答】解：由图可知，∠ACB=72°，且cos72°=12BCAC=√5−14．∴cos144°=2cos272°−1=−√5+14．则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=−√5+14．故选：C．6.【答案】B【解析】解：(1+λx)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则C n2=C n3，求得n=5，令x=0，则a0=1令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a n=(1+λ)5=242+1=243，解得λ=2，则(x+2x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r2r x4−2r，令4−2r=0，解得r=2，故(x+2x)4的展开式中的常数项为C4222=24故选：B．先求出n的值，再求出λ的值，写出展开式的通项公式即可求出．本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．7.【答案】B【解析】解：将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球， ∵正四面体ABCD 的棱长为1，∴正方体的棱长为√22，可得外接球半径R 满足2R =√12+12+12=√62，R =√64．E 是BD 上一点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值， 此时球心O 到截面的距离等于OE ， ∵cos∠ODB =1√62=√63，OD=√64，DE =14， ∴OE 2=(√64)2+(14)2−2×√64×14×√63=316，则所得截面半径最小值为√616−316=√316．∴所得截面面积的最小值为π×(√316)2=3π16．故选：B ．根据题意，将四面体ABCD 放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵f′(x)>f(x)+9e x ， ∴f′(x)−f(x)e x −9>0，∴[f(x)e x−9x]′>0，令g(x)=f(x)e x−9x ，则g(x)在R 上单调增函数，∵f(3)=27e 3，g(3)=f(3)e 3−27=0，∴f(x)9>xe x 等价于f(x)e x−9x >0，即g(x)>g(3)，其解集为：(3,+∞)．故选：A．构造函数g(x)，通过研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．9.【答案】AB【解析】解：由题意，a n=1+2(n−1)=2n−1，b n=2n−1，c n=a bn=2⋅2n−1−1=2n−1，则数列{c n}为递增数列，其前n项和T n=(21−1)+(22−1)+(23−1)+⋯+(2n−1)=(21+22+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n．当n=9时，T n=1013<2019；当n=10时，T n=2036>2019．∴n的取值可以是8，9．故选：AB．由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n}的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n}的前n项和T n，验证得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和，考查数列的函数特性，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨假设x1<x2，∴f′(x)=x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，∴Δ=a2−4b>0．由于方程f2(x)+af(x)+b=0的判别式△′=Δ=a2−4b>0，故此方程有两解为f(x)=x1或f(x)=x2．由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数即为方程f(x)=x1的解个数；由于函数y=f(x)的图象和直线y=x2的交点个数，即为方程f(x)=x2的解个数．根据f(x1)=x1，画出图形，如图所示：由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数为2，函数y=f(x)的图象和直线y= x2的交点个数为1，可得关于x的方程f(x)=x1或f(x)=x2共有3个不同的实数根，即关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0的不同实根个数为3．故选：B．由题意可得x1、x2是f′(x)=x2+ax+b=0的两个不相等的实数根，可得Δ=a2−4b>0，从而得到关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有2个不等实数根，数形结合可得答案．本题综合考查了函数零点的概念，函数的极值及方程解得个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．11.【答案】B【解析】解：A.∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即×√2a为定值；到对角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF|为定D.∵点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=12值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．A.由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对×√2a为定值；角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF| D.由于点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=12为定值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.用排除法即可得出．本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．12.【答案】AC【解析】解：对于A，当函数f(x)=kx+b(k≠0)时，f′(x)=k，φ(A,B)=|k A−k B||AB|=|k−k||AB|=0，故A正确；对于B，由题意得A(1,1)，B(2,5)，f′(x)=3x2−2x，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=√1+16=√17<√3，故B错误；对于C，f′(x)=2ax，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=12√(x1−x2)2+(ax1−ax1)2=√1+a2(x1+x2)2≤2a，故C正确；对于D，由f(x)=e x，得f′(x)=e x，由A(x1,y1)，B(x2,y2)为曲线y=e x上两点，且x1−x2=1，可得φ(A,B)=|k A−k B||AB|=x1x2√(x1−x2)2+(e x1−e x2)2，由√1(e x1−e x2)2+1>1，可得t≤1，故D错误．故选：AC．考虑一次函数，求出导数，可得φ(A,B)=0，即可判断A；求出A，B的坐标，求得φ(A,B)，即可判断B；求出f(x)的导数，运用不等式的性质，可得φ(A,B)≤2a，即可判断C；求出函数的导数，运用新定义求得φ(A,B)，由恒成立思想，即可得t的范围，即可判断D．本题考查命题真假的判断，考查新定义的理角与运用，考查导数的运用、切线的斜率、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：由z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，得z−=−1−2i，∴复数z−的虚部为−2．故答案为：−2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】x =e【解析】解：f′(x)=a(1−lnx)x 2，故f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，解得：a =1， 故f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)=0，解得：x =e ， 经检验x =e 是函数的极值点， 故答案为：x =e ．求出函数的导数，根据f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，求出a 的值，从而求出f(x)的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.【答案】16【解析】解：由题意可得2ln √2=(x +y)ln2， 所以x +y =1，则1x +9y =(1x +9y )(x +y)=10+yx +9x y≥10+6=16，当且仅当yx =9xy且x +y =1即x =14，y =34时取等号，此时取得最小值16． 故答案为：16结合等比数列的性质可得x +y =1，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】8√2 4√103【解析】解：设椭圆x 28+y 24=1右焦点为F(2,0)，F 1(−2,0)，则AF =4√2−AF 1，BF 1=4√2−BF 1，所以AF +BF +AB =8√2+AB −(AF 1+BF 1)， 显然AF 1+BF 1≥AB ，当且仅当A ，B ，F 1共线时等号成立， 所以当直线l 过点F 1时，△ABF 的周长取最大值8√2，此时直线方程为y −1=12x ，即x −2y −2=0．{x −2y −2=0x 2+2y 2=8，可得：3y 2+4y −2=0，设A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)，y 1+y 2=43，y 1y 2=−23，|y 1−y 2|=√(43)2+4×23=2√103．△ABF 的面积为：12×4×2√103=4√103， 故答案为：8√2；4√103．根据椭圆的定义和性质可得右焦点为F(2,0)，当且仅当A ，B ，F 1共线，周长最长，再根据两点式即可求出直线方程．Q 求和求解AB 的纵坐标，转化求解三角形的面积即可． 本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的几何性质，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)△ABC 中，(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，∴a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=12；又∵C ∈(0,π)， ∴C =π3；(Ⅱ)由c =2，C =π3，根据正弦定理得， asinA=bsinB =csinC =2sin π3=4√33， ∴a +b =4√33(sinA +sinB) =4√33[sinA +sin(2π3−A)] =2√3sinA +2cosA=4sin(A +π6)；又∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0<A <π20<2π3−A <π2， 解得π6<A <π2； ∴π3<A +π6<2π3，∴2√3<4sin(A +π6)≤4， 综上，a +b 的取值范围是(2√3,4]．【解析】(Ⅰ)化简(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，利用余弦定理求得C 的值；(Ⅱ)由正弦定理求出a +b 的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A 的取值范围，从而求出a +b 的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.【答案】解：(1)S n =2a n −2，当n =1时，得a 1=2， 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2， 作差得a n =2a n−1，(n ≥2)所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3=b 4−2b 1，b 6=a 4， 所以8=3d −b 1，16=5d +b 1， 所以3=d ，b 1=1， 所以b n =3n −2．(2)T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )，=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n ) 又因为b n =3n −2， 所以T 2n =3×2n(b 1+b 2n )2=3n[1+3×(2n)−2]=18n 2−3n ．【解析】(1)根据由S n 求a n 的方法可求{a n }的通项公式，由题意可得{b n }为等差数列，由条件求其公差d ，可得结果；(2)由T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n )，即可求出答案．本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化能力，考查了转化与化归能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60°， ∴△ADE 为正三角形，OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,√3)，E(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，设平面PEC 法向量为n⃗ =(x,y,z)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,−√3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)， 则{n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +√3y −√3z =0n ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y −√3z =0，取y =1，得n⃗ =(0,1,1)， 平面EDC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)， cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√22， ∴二面角P −EC −D 的余弦值为√22．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,√3λ,−√3λ)， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，所以|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗|DM|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PE|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√6√10λ2−10λ+4=√68， 所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点．【解析】本题考查了二面角的余弦值的求法和满足条件的点是否存在的判断与求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力和空间想象力，考查了数形结合思想与方程思想，属于难题．(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，PO ⊥平面ABCD ，推导出OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −EC −D 的余弦值．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68，求出λ即可判断M 的位置．20.【答案】解：(1)由已知a =2，c a =√22可得c =√2，∴a 2−b 2=2，即4−b 2=2， ∴b 2=2， ∴椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)当直线AB 与点x 轴重合时，点M 与点A 重合，此时MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =ty +1x 24+y 22=1得(t 2+2)y 2+2ty −3=0，显然△>0，∴y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−3t 2+2， ∴MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2=(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9，=(t 2+1)−3t 2+2+3t ⋅−2tt 2+2+9，=−9t 2−3t 2+2+9 =15t 2+2≤152，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152， 此时t =0，直线l 为x =1，此时A(1,√62)，B(1,−√62)，∴|AB|=√6，|MN|=3，∴S =12|MN|⋅|AB|=12×3×√6=3√62【解析】(1)由已知a =2，ca=√22可得c =√2，由a 2−b 2=2，可得b 2=2，即可求出椭圆方程，(2)当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理和向量的数量积，可求出MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152，此时t =0，直线l 为x =1，即可求出三角形的面积本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题目．21.【答案】解：(1)函数f(x)=x 2−alnx ，可得f′(x)=2x −a x =2x 2−ax， 故当a ≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，令f′(x)>0，得x >√2a2，所以函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增；令f′(x)<0，得x <√2a 2，所以函数f(x)在(0,√2a 2)上单调递减． 综上，当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增，在(0,√2a2)上单调递减． (2)①当a =2时，由(1)知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1,e]上单调递增．故f(x)min =f(1)=1，又因为f(1e )=1e 2+2<3，5.29=2.72−2<f(e)=e 2−2<2.82−2=5.84， 故f(x)max =f(e)=e 2−2，②由于，e 2−2=f(e)≥f(x n )≥f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)≥(n −1)f(1)=n −1， 故n ≤e 2−1<7．由于x ∈[1e ,e]时，f(x)∈[1,e 2−2]， 取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，则f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x 5)=5<e 2−2， 故n 的最大值为6．【解析】(1)求出f′(x)=2x −ax=2x 2−a x，通过当a ≤0时，当a >0时，判断函数的单调性即可．(2)①当a =2时，利用函数的导数，求出f(x)min =f(1)=1，f(x)max =f(e)=e 2−2， ②推出n 2≤e 2−1<7.取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，考查函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．22.【答案】解：(1)依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5=0.65>0.5， 所以中位数位于[15,20)之间， 所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．(2)依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5=0.35， 所以“网购迷”人数为100×0.35=35人，非网购迷的人数为100−35=65人． 所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ=0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ=1)=C 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16，P(ξ=2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×23×(1−23)+(12)2×(23)2=1336， P(ξ=3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，第21页，共21页 P(ξ=4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．【解析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，独立性经验，离散型随机变量的分布列和期望．主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．(1)根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可；(2)根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可．。