2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A ＝{1, 3, 5}，B ＝{2, 3}，则A ∪B ＝（ ） A.{3} B.{1, 5} C.(1, 2, 5)∩{1, 2, 5} D.{1, 2, 3, 5}2. 函数f(x)=cos (12x +π6)的最小正周期为（ ）A.π2B.πC.2πD.4π3. 函数f(x)=√x −1+ln (4−x)的定义域是( ) A.(1, +∞) B.[1, 4) C.(1, 4] D.(4, +∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上是减函数的是（ ） A.y ＝−x 3 B.y =1C.y ＝|x|D.y =1x 25. 已知直线l 过点P(2, −1)，且与直线2x +y −l ＝0互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A.x −2y ＝0 B.x −2y −4＝0 C.2x +y −3＝0 D.2x −y −5＝06. 已知函数f(x)={2x,x ≤0x 32,x >0 ，则f(−1)+f(1)＝（ ）A.0B.1C.32D.27. 已知向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4，则a →⋅b →=( ) A.6√3 B.6√2C.4√3D.68. 某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ）．其中每件产品的重量范围是[40, 42]．数据的分组依据依次为[40, 40, 5)，[40, 5, 41)，[41, 41, 5)，[41, 5, 42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40, 41)内的产品件数为（ ）A.30B.40C.60D.809.sin 110∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘= ( ) A.12B.√32C.−12D.−√3210. 在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=( ) A.DC →B.BA →C.BC →D.BD →11. 某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y =7x +a ，则实数a =( )C.4D.10.512. 下列结论正确的是（ ） A.若a <b ，则a 3<b 3 B.若a >b ，则2a <2b C.若a <b ，则a 2<b 2 D.若a >b ，则ln a >ln b13. 圆心为M(1, 3)，且与直线3x −4y −6＝0相切的圆的方程是（ ） A.(x −1)2+(y −3)2＝9 B.(x −1)2+(y −3)2＝3 C.(x +1)2+(y +3)2＝9D.(x +1)2+(y +3)2＝314. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）A.事件“都是红色卡片”是随机事件B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15. 若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直，则实数a ＝（ ） A.−1或2 B.−1C.13D.316. 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A.y ＝sin (3x −π4)B.y ＝sin (3x −π12)C.y ＝sin (13x −π4) D.y ＝sin (13x −π12)17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A.14 B.23C.12D.3418. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是（ ）A.A 1D ⊥C 1CB.BD 1⊥ADC.A 1D ⊥ACD.BD 1 ⊥AC19. 已知向量a →，b →不共线，若AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，则（ ）A.A ，B ，C 三点共线B.A ，B ，D 三点共线C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线20. 在三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝1，PB ＝PC ＝2，则该三棱锥的外接球体的体积为（ ） A.9π2B.27π2C.9πD.36π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为________．已知α为第二象限角，若sin α=35，则tan α的值为________．已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为________．已知函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点，则实数a 的取值范围为________．若P 是圆C 1：(x −4)2+(y −5)2＝9上一动点，Q 是圆C 2：(x +2)2+(y +3)2＝4上一动点，则|PQ|的最小值是________．三、解答题：本题共3小题，共25分．如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：EF // 面PAD ．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝6，cos B =13． （1）若sin A =35，求b 的值；（2）若c ＝2，求b 的值及△ABC 的面积S ．已知函数f(x)＝ax+log3(9x+1)(a∈R)为偶函数．（1）求a的值；（2）当x∈[0, +∞)时，不等式f(x)−b≥0恒成立，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{1, 3, 5}，B＝{2, 3}，∴A∪B＝{1, 2, 3, 5}．2.【答案】D【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．【解答】由三角函数的周期公式得T=2π12=4π，3.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f(x)=√x−1+ln(4−x)，∴{x−1≥0,4−x>0.解得1≤x<4.∴函数f(x)的定义域是[1, 4)．故选B．4.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可．【解答】由幂函数的性质可知，y＝−x3，y=1x为奇函数，不符合题意，y＝|x|为偶函数且在(0, +∞)上单调递增，不符号题意，y=1x2为偶函数且在(0, +∞)上单调递减，符合题意．5.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】根据题意设出直线l的方程，把点P(2, −1)代入方程求出直线l的方程．【解答】根据直线l与直线2x+y−l＝0互相垂直，设直线l为x−2y+m＝0，又l过点P(2, −1)，∴2−2×(−1)+m＝0，解得m＝−4，∴直线l的方程为x−2y−4＝0．6.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值【解析】推导出f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，由此能求出f(−1)+f(1)的值．【解答】∵函数f(x)={2x,x≤0x32,x>0，∴f(−1)＝2−1=12，f(1)=132=1，∴f(−1)+f(1)=12+1=32．故选：C．7.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】进行数量积的运算即可． 【解答】∵ 向量a →与b →的夹角为π3，且|a →|＝3，|b →|＝4， ∴ a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3×4×12=6．8. 【答案】 B【考点】频率分布直方图 【解析】由频率分布直方图得重量在[40, 41)内的频率为0.4．由此能求出重量在[40, 41)内的产品件数． 【解答】由频率分布直方图得：重量在[40, 41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5＝0.4． ∴ 重量在[40, 41)内的产品件数为0.4×100＝40． 9. 【答案】 A【考点】求两角和与差的正弦 【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：sin 110∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘ =sin 70∘ cos 40∘−cos 70∘sin 40∘ =sin (70∘−40∘) =sin 30∘=12． 故选A ． 10. 【答案】 B【考点】向量加减法的应用 【解析】利用平面向量加法法则直接求解． 【解答】在平行四边形ABCD 中，AB →+BD →−AC →=AB →+BD →+CA →=CD →=BA →．11.【答案】 B【考点】求解线性回归方程 【解析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a ． 【解答】 x ¯=3+4+5+64=4.5，y ¯=25+30+40+454=35，∴ 样本点的中心坐标为(4.5, 35)，代入y =7x +a ，得35＝7×4.5+a ，即a =3.5． 12. 【答案】 A【考点】不等式的基本性质 【解析】利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误． 【解答】A ．a <b ，可得a 3<b 3，正确；B ．a >b ，可得2a >2b ，因此B 不正确；C ．a <b ，a 2与b 2大小关系不确定，因此不正确；D ．由a >b ，无法得出ln a >ln b ，因此不正确． 13.【答案】 A【考点】 圆的切线方程 圆的标准方程【解析】由题意可知，圆的半径即为圆心M 到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解． 【解答】由题意可知，圆的半径r =|3−12−6|5=3，故所求的圆的方程为(x −1)2+(y −3)2＝9． 14. 【答案】 C【考点】 随机事件 【解析】利用随机事件的定义直接求解． 【解答】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确； 在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确； 在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确． 15.【答案】 C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】根据题意，分析可得(a −1)+2a ＝0，解可得a 的值，即可得答案． 【解答】根据题意，若直线(a −1)x −2y +1＝0与直线x −ay +1＝0垂直， 必有(a −1)+2a ＝0，解可得a =13； 16.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得y ＝sin 3x 的图象； 再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin 3(x −π12)＝sin (3x −π4)， 17.【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2＝8−2＝6种情况， ∴ 所求概率为68=34． 18.【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】直接可以看出A ，B ，C 均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直． 【解答】因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1；BD ∩DD 1＝D ； BD ⊆平面DD 1B 1B ，DD 1⊆平面DD 1B 1B ， ∴ AC ⊥平面DD 1B 1B ； BD 1⊆平面DD 1B 1B ； ∴ AC ⊥BD 1； 即D 对． 19.【答案】 B【考点】平行向量（共线） 【解析】BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →，从而BD →∥AB →，进而A ，B ，D 三点共线． 【解答】向量a →，b →不共线，AB →=a →+2b →，BC →=−3a →+7b →，CD →=4a →−5b →，∴ BD →=BC →+CD →=(−3a →+7b →)+(4a →−5b →)=a →+2b →=AB →， ∴ BD →∥AB →，∴ A ，B ，D 三点共线． 20. 【答案】 A【考点】球的表面积和体积 【解析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积． 【解答】由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝1，PB ＝2，PC ＝2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则2R =√12+22+22=3所以R =32， 所以外接球的体积V =43πR 3=92π，二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．【答案】 8【考点】 分层抽样方法 【解析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数． 【解答】∵ 某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人， ∴ 这支田径队共有45+36＝81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本， ∴ 每个个体被抽到的概率是1881=29，∵ 女运动员36人，∴ 女运动员要抽取36×29=8人， 【答案】−34【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos α 的值，从而求得tan α的值． 【解答】∵ α为第二象限角sin α=35， ∴ cos α=−45，则tan α=sin αcos α=−34， 【答案】 2π【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积 【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【解答】由已知可得r ＝1，ℎ=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2．∴ 圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π． 【答案】 (−2, 0) 【考点】函数零点的判定定理 【解析】由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，求出即可． 【解答】函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0, 1)内有零点， f(0)＝a ，f(1)＝2+a ，由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，得−2<a <0， 经验证a ＝−2，a ＝0均不成立， 故答案为：(−2, 0) 【答案】 5【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r 和R ，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d ，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P 在圆C 1上，Q 在圆C 2上，则|PQ|的最小值为d −(r +R)，即可求出答案． 【解答】圆C 1：(x −4)2+(y −5)2＝9的圆心C 1(4, 5)，半径r ＝3， 圆C 2：(x +2)2+(y +3)2＝4的圆心C 2(−2, −3)，半径r ＝2， d ＝|C 1C 2|=√(4+2)2+(5+3)2=10>2+3＝r +R ， 所以两圆的位置关系是外离， 又P 在圆C 1上，Q 在圆C 2上，则|PQ|的最小值为d −(r +R)＝10−(2+3)＝5， 三、解答题：本题共3小题，共25分． 【答案】证明：取PD 的中点G ，连接FG 、AG ． 因为PF ＝CF ，PG ＝DG ， 所以FG // CD ，且FG =12CD ．又因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是AB 的中点．所以AE // CD ，且AE =12CD ． 所以FG // AE ，且FG ＝AE ，所以四边形EFGA 是平行四边形， 所以EF // AG ．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【考点】直线与平面平行【解析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG=12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．证得四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG，由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，所以FG // CD，且FG =12CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE // CD，且AE=12CD．所以FG // AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF // AG．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF // 平面PAD．【答案】由cos B=13可得sin B=2√23，由正弦定理可得，asin A =bsin B，所以b=a sin Bsin A =6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cos B=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12ac sin B=12×6×2×2√23=4√2．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）先根据同角平方关系求出sin B，然后结合正弦定理即可求解，（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【解答】由cos B=13可得sin B=2√23，由正弦定理可得，asin A=bsin B，所以b=a sin Bsin A=6×2√2335=20√23，由余弦定理可得，cos B=13=a2+c2−b22ac=36+4−b22×2×6，解可得，b＝4√2，S=12ac sin B=12×6×2×2√23=4√2．【答案】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，因为函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(0)＝log32，则b≤log32．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）根据偶函数性质f(x)＝f(−x)，化简整理可求得a的取值；（2）根据条件可知x+log3(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，求出函数g(x)＝x+log3(9x+1)在[0, +∞)上的最小值即可【解答】根据题意可知f(x)＝f(−x)，即ax+log3(9x+1)＝−ax+log3(9−x+1)，整理得log39x+19−x+1=−2ax，即−2ax=log39x=2x，解得a＝1；由（1）可得f(x)＝x+log3(9x+1)，因为f(x)−b≥0对x∈[0, +∞)恒成立，(9x+1)≥b对x∈[0, +∞)恒成立，即x+log3(9x+1)在[0, +∞)上是增函数，因为函数g(x)＝x+log32，所以g(x)min＝g(0)＝log32．则b≤log3。

2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷1. 设集合A ={x ∈N|−1≤x ≤3}，B ={y|y =x 2,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [1,3]D. [0,3]2. 已知a 、b 都是实数，那么“a <b <0”是“1a >1b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设函数f(x)=tan x2，若a =f(log 32),b =f(log 1512)，c =f(20.2)，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c4. 已知P 为等边三角形所在平面内的一个动点，满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 2√3 B. 3C. 6D. 与λ有关的数值5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12.根据这些信息，可得sin234°=( )A. 1−2√54B. −3+√58C. −√5+14D. −4+√586. 已知(1+λx)n 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，(1+λx)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1+a 2+⋯+a n =242，则(x +λx )4展开式中常数项( )A. 32B. 24C. 4D. 87. 在棱长为1的正四面体A −BCD 中，E 是BD 上一点，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，过E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( )A. π8B. 3π16C. π4D. 5π168. 若定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f’(x)>f(x)+9e x ，f(3)=27e 3，则不等式f(x)9>xe x 的解集是( )A. (3,+∞)B. (−∞,3)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)9. 已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设c n =a b n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n <2019时，n 的取值可以是下面选项中的( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+bx +c 有两个极值点x 1，x 2，若f(x 1)=x 1，则关于x 的方程f 2(x)+af(x)+b =0的不同实根个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( )A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥P −QEF 的体积D. △QEF 的面积12. 函数f(x)图象上不同两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，|AB|为A ，B 两点间距离，定义φ(A,B)=|k A −k B ||AB|为曲线f(x)在点A 与点B 之间的“曲率”，其中正确命题为( )A. 存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数B. 函数f(x)=x 3−x 2+1图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则“曲率”φ(A,B)>√3C. 函数f(x)=ax2+b(a>0,b∈R)图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ(A,B)≤2aD. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线f(x)=e x上不同两点，且x1−x2=1，若t⋅φ(A,B)<1恒成立，则实数t的取值范围是(−∞,1)13.已知复数z=1+3i1−i，则复数z−的虚部为______．14.函数f(x)=alnxx 的图象在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=−1e4x平行，则f(x)的极值点是______．15.设x>0，y>0，若xln2，ln√2，yln2成等差数列，则1x +9y的最小值为______．16.过点M(0,1)的直线l交椭圆x28+y24=1于A，B两点，F为椭圆的右焦点，△ABF的周长最大为______，此时△ABF的面积为______．17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a+b+c)(a+b−c)=3ab．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2a n−2(n∈N∗),{b n}是等差数列，且a3=b4−2b1，b6=a4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式：(2)求数列{(−1)n b n2}的前2n项和T2n⋅19. 在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD =2BC =2AD =4，∠DAB =60°，AE =BE ，△PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ． (1)求二面角P −EC −D 的余弦值；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为√68？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)左顶点M(−2,0)，离心率为√22． (1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1,0)的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，求△MAB 面积．21.设函数f(x)=x2−alnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，,e]上的最大值和最小值；①求函数f(x)在[1e,e]，使得f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n−1)≤f(x n)成立，②若存在x1，x2，…，x n∈[1e求n的最大值．22.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K20.010.050.0250.0100.0050.001≥k0)k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x∈N|−1≤x≤3}={0,1,2,3}，B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={0,1,2,3}，故选：A．对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法．本题易错的地方是认为自然数集不包括零．解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题目．根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，若a<b<0，则1a >1b成立，当a>0，b<0时，满足1a >1b，但a<b<0不成立，故“a<b<0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选A．3.【答案】D【解析】解：f(x)在(0,π)上单调递增； log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且log 25>log 23>1；∴0<1log25<1log 23<1；∴0<log 1512<log 32<1； 又1<20.2<2；∴0<log 1512<log 32<20.2<π；∴b <a <c ． 故选：D ．容易看出f(x)在(0,π)上单调递增，且可得出log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且1<20.2<2，从而得出0<log 1512<log 32<20.2<π，这样根据f(x)的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．考查正切函数的单调性，增函数的定义，对数函数的单调性，对数的换底公式．4.【答案】C【解析】解：由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， 即点P 在直线BC 上， 取BC 的中点为D ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6， 故选：C ．由向量的投影的几何意义得：点P 在直线BC 上，取BC 的中点为D ，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量的投影的几何意义有：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2×(√3)2=6，得解： 本题考查了向量的投影的几何意义，属中档题．5.【答案】C【解析】【分析】由已知求得∠ACB=72°，可得cos72°的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．【解答】解：由图可知，∠ACB=72°，且cos72°=12BCAC=√5−14．∴cos144°=2cos272°−1=−√5+14．则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=−√5+14．故选：C．6.【答案】B【解析】解：(1+λx)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则C n2=C n3，求得n=5，令x=0，则a0=1令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a n=(1+λ)5=242+1=243，解得λ=2，则(x+2x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r2r x4−2r，令4−2r=0，解得r=2，故(x+2x)4的展开式中的常数项为C4222=24故选：B．先求出n的值，再求出λ的值，写出展开式的通项公式即可求出．本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键．7.【答案】B【解析】解：将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球， ∵正四面体ABCD 的棱长为1，∴正方体的棱长为√22，可得外接球半径R 满足2R =√12+12+12=√62，R =√64．E 是BD 上一点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =3ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值， 此时球心O 到截面的距离等于OE ， ∵cos∠ODB =1√62=√63，OD=√64，DE =14， ∴OE 2=(√64)2+(14)2−2×√64×14×√63=316，则所得截面半径最小值为√616−316=√316．∴所得截面面积的最小值为π×(√316)2=3π16．故选：B ．根据题意，将四面体ABCD 放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵f′(x)>f(x)+9e x ， ∴f′(x)−f(x)e x −9>0，∴[f(x)e x−9x]′>0，令g(x)=f(x)e x−9x ，则g(x)在R 上单调增函数，∵f(3)=27e 3，g(3)=f(3)e 3−27=0，∴f(x)9>xe x 等价于f(x)e x−9x >0，即g(x)>g(3)，其解集为：(3,+∞)．故选：A．构造函数g(x)，通过研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．9.【答案】AB【解析】解：由题意，a n=1+2(n−1)=2n−1，b n=2n−1，c n=a bn=2⋅2n−1−1=2n−1，则数列{c n}为递增数列，其前n项和T n=(21−1)+(22−1)+(23−1)+⋯+(2n−1)=(21+22+⋯+2n)−n=2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n．当n=9时，T n=1013<2019；当n=10时，T n=2036>2019．∴n的取值可以是8，9．故选：AB．由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n}的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n}的前n项和T n，验证得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和，考查数列的函数特性，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨假设x1<x2，∴f′(x)=x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，∴Δ=a2−4b>0．由于方程f2(x)+af(x)+b=0的判别式△′=Δ=a2−4b>0，故此方程有两解为f(x)=x1或f(x)=x2．由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数即为方程f(x)=x1的解个数；由于函数y=f(x)的图象和直线y=x2的交点个数，即为方程f(x)=x2的解个数．根据f(x1)=x1，画出图形，如图所示：由于函数y=f(x)的图象和直线y=x1的交点个数为2，函数y=f(x)的图象和直线y= x2的交点个数为1，可得关于x的方程f(x)=x1或f(x)=x2共有3个不同的实数根，即关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0的不同实根个数为3．故选：B．由题意可得x1、x2是f′(x)=x2+ax+b=0的两个不相等的实数根，可得Δ=a2−4b>0，从而得到关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有2个不等实数根，数形结合可得答案．本题综合考查了函数零点的概念，函数的极值及方程解得个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．11.【答案】B【解析】解：A.∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即×√2a为定值；到对角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF|为定D.∵点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=12值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．A.由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对×√2a为定值；角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅|EF| D.由于点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=12为定值；C.由A.D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B.用排除法即可得出．本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题．12.【答案】AC【解析】解：对于A，当函数f(x)=kx+b(k≠0)时，f′(x)=k，φ(A,B)=|k A−k B||AB|=|k−k||AB|=0，故A正确；对于B，由题意得A(1,1)，B(2,5)，f′(x)=3x2−2x，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=√1+16=√17<√3，故B错误；对于C，f′(x)=2ax，∴φ(A,B)=|k A−k B||AB|=12√(x1−x2)2+(ax1−ax1)2=√1+a2(x1+x2)2≤2a，故C正确；对于D，由f(x)=e x，得f′(x)=e x，由A(x1,y1)，B(x2,y2)为曲线y=e x上两点，且x1−x2=1，可得φ(A,B)=|k A−k B||AB|=x1x2√(x1−x2)2+(e x1−e x2)2，由√1(e x1−e x2)2+1>1，可得t≤1，故D错误．故选：AC．考虑一次函数，求出导数，可得φ(A,B)=0，即可判断A；求出A，B的坐标，求得φ(A,B)，即可判断B；求出f(x)的导数，运用不等式的性质，可得φ(A,B)≤2a，即可判断C；求出函数的导数，运用新定义求得φ(A,B)，由恒成立思想，即可得t的范围，即可判断D．本题考查命题真假的判断，考查新定义的理角与运用，考查导数的运用、切线的斜率、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：由z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，得z−=−1−2i，∴复数z−的虚部为−2．故答案为：−2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】x =e【解析】解：f′(x)=a(1−lnx)x 2，故f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，解得：a =1， 故f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)=0，解得：x =e ， 经检验x =e 是函数的极值点， 故答案为：x =e ．求出函数的导数，根据f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，求出a 的值，从而求出f(x)的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．15.【答案】16【解析】解：由题意可得2ln √2=(x +y)ln2， 所以x +y =1，则1x +9y =(1x +9y )(x +y)=10+yx +9x y≥10+6=16，当且仅当yx =9xy且x +y =1即x =14，y =34时取等号，此时取得最小值16． 故答案为：16结合等比数列的性质可得x +y =1，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】8√2 4√103【解析】解：设椭圆x 28+y 24=1右焦点为F(2,0)，F 1(−2,0)，则AF =4√2−AF 1，BF 1=4√2−BF 1，所以AF +BF +AB =8√2+AB −(AF 1+BF 1)， 显然AF 1+BF 1≥AB ，当且仅当A ，B ，F 1共线时等号成立， 所以当直线l 过点F 1时，△ABF 的周长取最大值8√2，此时直线方程为y −1=12x ，即x −2y −2=0．{x −2y −2=0x 2+2y 2=8，可得：3y 2+4y −2=0，设A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)，y 1+y 2=43，y 1y 2=−23，|y 1−y 2|=√(43)2+4×23=2√103．△ABF 的面积为：12×4×2√103=4√103， 故答案为：8√2；4√103．根据椭圆的定义和性质可得右焦点为F(2,0)，当且仅当A ，B ，F 1共线，周长最长，再根据两点式即可求出直线方程．Q 求和求解AB 的纵坐标，转化求解三角形的面积即可． 本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的几何性质，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)△ABC 中，(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，∴a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=12；又∵C ∈(0,π)， ∴C =π3；(Ⅱ)由c =2，C =π3，根据正弦定理得， asinA=bsinB =csinC =2sin π3=4√33， ∴a +b =4√33(sinA +sinB) =4√33[sinA +sin(2π3−A)] =2√3sinA +2cosA=4sin(A +π6)；又∵△ABC 为锐角三角形， ∴{0<A <π20<2π3−A <π2， 解得π6<A <π2； ∴π3<A +π6<2π3，∴2√3<4sin(A +π6)≤4， 综上，a +b 的取值范围是(2√3,4]．【解析】(Ⅰ)化简(a +b +c)(a +b −c)=3ab ，利用余弦定理求得C 的值；(Ⅱ)由正弦定理求出a +b 的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A 的取值范围，从而求出a +b 的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.【答案】解：(1)S n =2a n −2，当n =1时，得a 1=2， 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2， 作差得a n =2a n−1，(n ≥2)所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3=b 4−2b 1，b 6=a 4， 所以8=3d −b 1，16=5d +b 1， 所以3=d ，b 1=1， 所以b n =3n −2．(2)T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )，=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n ) 又因为b n =3n −2， 所以T 2n =3×2n(b 1+b 2n )2=3n[1+3×(2n)−2]=18n 2−3n ．【解析】(1)根据由S n 求a n 的方法可求{a n }的通项公式，由题意可得{b n }为等差数列，由条件求其公差d ，可得结果；(2)由T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+⋯+3(b 2n−1+b 2n )=3(b 1+b 2+⋯+b 2n )，即可求出答案．本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化能力，考查了转化与化归能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60°， ∴△ADE 为正三角形，OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,√3)，E(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，设平面PEC 法向量为n⃗ =(x,y,z)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,−√3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)， 则{n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +√3y −√3z =0n ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y −√3z =0，取y =1，得n⃗ =(0,1,1)， 平面EDC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)， cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√22， ∴二面角P −EC −D 的余弦值为√22．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,√3λ,−√3λ)， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，所以|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗|DM|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PE|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√6√10λ2−10λ+4=√68， 所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点．【解析】本题考查了二面角的余弦值的求法和满足条件的点是否存在的判断与求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力和空间想象力，考查了数形结合思想与方程思想，属于难题．(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，PO ⊥平面ABCD ，推导出OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −EC −D 的余弦值．(2)设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√68，求出λ即可判断M 的位置．20.【答案】解：(1)由已知a =2，c a =√22可得c =√2，∴a 2−b 2=2，即4−b 2=2， ∴b 2=2， ∴椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)当直线AB 与点x 轴重合时，点M 与点A 重合，此时MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =ty +1x 24+y 22=1得(t 2+2)y 2+2ty −3=0，显然△>0，∴y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−3t 2+2， ∴MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2=(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9，=(t 2+1)−3t 2+2+3t ⋅−2tt 2+2+9，=−9t 2−3t 2+2+9 =15t 2+2≤152，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152， 此时t =0，直线l 为x =1，此时A(1,√62)，B(1,−√62)，∴|AB|=√6，|MN|=3，∴S =12|MN|⋅|AB|=12×3×√6=3√62【解析】(1)由已知a =2，ca=√22可得c =√2，由a 2−b 2=2，可得b 2=2，即可求出椭圆方程，(2)当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理和向量的数量积，可求出MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为152，此时t =0，直线l 为x =1，即可求出三角形的面积本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题目．21.【答案】解：(1)函数f(x)=x 2−alnx ，可得f′(x)=2x −a x =2x 2−ax， 故当a ≤0时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，令f′(x)>0，得x >√2a2，所以函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增；令f′(x)<0，得x <√2a 2，所以函数f(x)在(0,√2a 2)上单调递减． 综上，当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增，在(0,√2a2)上单调递减． (2)①当a =2时，由(1)知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1,e]上单调递增．故f(x)min =f(1)=1，又因为f(1e )=1e 2+2<3，5.29=2.72−2<f(e)=e 2−2<2.82−2=5.84， 故f(x)max =f(e)=e 2−2，②由于，e 2−2=f(e)≥f(x n )≥f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)≥(n −1)f(1)=n −1， 故n ≤e 2−1<7．由于x ∈[1e ,e]时，f(x)∈[1,e 2−2]， 取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，则f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x 5)=5<e 2−2， 故n 的最大值为6．【解析】(1)求出f′(x)=2x −ax=2x 2−a x，通过当a ≤0时，当a >0时，判断函数的单调性即可．(2)①当a =2时，利用函数的导数，求出f(x)min =f(1)=1，f(x)max =f(e)=e 2−2， ②推出n 2≤e 2−1<7.取x 1=x 2=x 3=x 4=x 5=1，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，考查函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．22.【答案】解：(1)依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5=0.65>0.5， 所以中位数位于[15,20)之间， 所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．(2)依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5=0.35， 所以“网购迷”人数为100×0.35=35人，非网购迷的人数为100−35=65人． 所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ=0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ=1)=C 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16，P(ξ=2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×23×(1−23)+(12)2×(23)2=1336， P(ξ=3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，第21页，共21页 P(ξ=4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．【解析】本题考查了频率分布直方图的识别和应用，独立性经验，离散型随机变量的分布列和期望．主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．(1)根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可；(2)根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可；(3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可．。

绝密★启用前山东省2020年普通高中学业水平等级考试(模拟卷)数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}|){(}2|){(2x y y x B y x y x A ===+=，，，,则=B A I A ．)}11{(， B ．)}42{(，- C ．)}42()11{(，，，- D ．Φ2．已知)(R b a bi a ∈+，是ii +-11的共轭复数,则=+b a A ．1- B ．21- C ．21 D ．1 3．设向量)12()31()11(，，，，，=-==c b a ,且c b a ⊥-)(λ,则=λA ．3B ．2C ．2-D ．3- 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是 A ．210- B ．120- C ．120 D ．2105．已知三棱锥ABC S -中,2π=∠=∠ABC SAB ,4=SB ,132=SC ,2=AB ,6=BC ,则三棱锥ABC S -的体积是A ．4B ．6C ．34D ．366．已知点A 为曲线)0(4>+=x xx y 上的动点,B 为圆1)2(22=+-y x 上的动点,则||AB 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．23 D ．247．设命题p ：所有正方形都是平行四边形,则p ⌝为A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形8．若1>>>c b a 且2b ac <,则A ．a c b c b a log log log >>B ．c a b a b c log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c b a a c b log log log >>二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

2020年山东省日照市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数'()f x 是函数()f x 的导函数，1(1)f e=，对任意实数都有()'()0f x f x ->，则不等式2()x f x e -<的解集为（ ）A ．(,)e -∞B ．(1,)+∞C ．(1,)eD ．(,)e +∞2．已知单位圆有一条长为2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ⋅≥u u u r u u u r的概率为( ) A ．24ππ- B ．2ππ- C ．324ππ- D ．2π3．已知圆22:20C x y x +-=,在圆C 中任取一点P ,则点P 的横坐标小于1的概率为（ ） A ．2πB ．14C ．12D ．以上都不对4．已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则A B =I （ ）A ．(]2,3B ．[)2,3C ．()2,3D ．[]2,35．安排5位同学摆成一排照相.若同学甲与同学乙相邻，且同学甲与同学丙不相邻，则不同的摆法有（ ）种 A ．20B ．24C ．36D ．486．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ） A ．25B ．213C ．4D ．67．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是A ．82B ．83C ．813或D ．812或8．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数11()(13)2x g x x -⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为（）A ．2B ．4C ．6D ．89．设1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r（O 为坐标原点），且123PF =，则双曲线的离心率为（ ）A．212+B．21+C．312+D．31+10．在掷一枚图钉的随机试验中，令1,0,X⎧=⎨⎩针尖向上针尖向下，若随机变量X的分布列如下：X0 1P0.3 p则EX=（）A．0.21 B．0.3 C．0.5 D．0.711．函数1()22xf x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A．(2,3)B．(0,1)C．(1,0)-D．(1,2)12．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为1S，外接圆面积为2S，则1214SS=，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC-的内切球体积为1V，外接球体积为2V，则为12VV=（）A．164B．127C．19D．18二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在长方体1111ABCD A B C D-中，2AB=，1AD=，11AA=，那么顶点1B到平面1ACD的距离为______．14．观察下列数表：如此继续下去，则此表最后一行的数为_______（用数字作答）.15．两名女生,4名男生排成一排,则两名女生不相邻的排法共有______种(以数字作答)16．在()61x+的二项展开式中，2x项的系数为_____（结果用数值表示）．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()()2ln2f x x x mx x m m R=+-+∈在其定义域内有两个不同的极值点.（2）试比较20192018与20182019的大小，并说明理由；（3）设()f x 的两个极值点为12,x x ，证明212x x e >.18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了111名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于41分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为"体育迷"与性别有关． 性别 非体育迷 体育迷 总计 男 女 11 44 总计下面的临界值表供参考： 1．14 1．11 1．14 1．24 1．111 1．114 1．111 k2．1622．6153．8414．1245．5346．86911．828(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b a -=++++，其中n a b c d =+++)（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列､期望()E X 和方差()D X ．19．（6分）设函数()()ln f x x k x =-，（k 为常数），()()11g x f x x x=-．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行 （1）求k 的值；（2）求()g x 的单调区间和最小值；20．（6分）已知函数3()=f x x x -．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值．21．（6分）三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a =u u u r，AC b =u u u r ，1AA c =u u u r .（Ⅰ）试用,,a b c 表示向量MN u u u u r；（Ⅱ）若90BAC ∠=o ，1160BAA CAA ∠=∠=o，11AB AC AA ===，求MN 的长.．22．（8分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若2223b c a bc +=+，且ABC ∆3a .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 令()()2ex f x g x -=,()()()20x f x f x g x e--='<',所以函数()()2ex f x g x -=是减函数，又()11g =，所以不等式()2e xf x -<的解集为()1,∞+本题选择B 选项. 2．A【详解】建立直角坐标系，则()1,1AB =u u u r ，设P 点坐标为(),x y ，则(),1,?12AP x y AP AB x y =+⋅=++≥u u u r u u u r u u u r，故10x y +-≥，则使得2AP AB ⋅≥u u u r u u u r的概率为24S P S ππ-==阴影圆，故选A ． 【点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度､面积､体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 3．C 【解析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于1的面积，除以圆的面积。

山东省东营市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种【答案】A【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种． 故选：A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．2．34132n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．14 【答案】C【解析】【分析】化简二项式展开式的通项公式，令x 的指数为零，根据n 为正整数，求得n 的最小值.【详解】()33714113322r rn r r r n r n r r n n T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令370n r -=，则73r n =，当3r =时，n 有最小值为7.故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.3．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【答案】A【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =， 所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[]1,200的人做试卷A ，编号落在[]201,560的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为( )A ．10B ．12C ．18D ．28 【答案】B【解析】 8004020÷=Q ，∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项，以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为()18201202n a n n =+-=-，落入区间[]561,800的人做问卷C ，由561202800n ≤-≤，即56320802n ≤≤，解得3128402010n ≤≤，再由n 为正整数可得2940n ≤≤，∴做问卷C 的人数为4029112-+=，故选B.5．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）． A ．10-B ．5-C ．10D ．5 【答案】C【解析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为4求得．【详解】 解：对于251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-， 对于10﹣3r ＝4，∴r ＝2，则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2＝10故选C ．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6．已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（ ）A ．16B ．22C ．29D ．33【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.【详解】样本间隔为48÷18=6，则抽到的号码为5+6（k ﹣1）=6k ﹣1， 当k=2时，号码为11，当k=3时，号码为17，当k=4时，号码为23，当k=5时，号码为29，故选：C ．【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．7．已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：因为2222()a abi b a bi =+-+，若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，若2(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩ 即必要性不成立，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题． 8．下列说法中正确的是 （ ）①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱；②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好.A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 【答案】D【解析】【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可【详解】①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，故错误②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心()x y ，，故正确③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度，故正确④相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，故错误综上，说法正确的是②③故选D【点睛】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题9．已知i 为虚数单位，若复数11ti z i -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞【答案】B【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t z===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t 且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ．10．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U A B =I ð（ ） A ．[1,2]-B ．(0,2)C ．[1,)-+∞D ．[1,1)- 【答案】B【解析】由题得={|1}A x x <-,22{|log 1log 2}{|02}B x x x x =<==<<,所以{|1}U C A x x =≥-,()U A B ⋂=ð{|02}x x <<,故选B.11．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ）A ．0.8B ．0.9C ．58D ．89 【答案】D【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；则目标是被甲击中的概率为P=0.880.99=. 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A = ，(|)P B A =()()n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别. 12．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>【答案】C【解析】【分析】【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+>选C.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图所示，则阴影部分的面积是 .【答案】【解析】试题分析：由题意得，直线与抛物线，解得交点分别为和，抛物线与轴负半轴交点，设阴影部分的面积为，则．考点：定积分在求面积中的应用． 【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．若11a bi i=--，其中,a b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=__________． 5【解析】【分析】首先进行复数的乘法运算，得到a ，b 的值，然后代入求解即可得到结果【详解】()()()1111122a i a a a i bi i i i +==-=---+ 解得2a =，1b =-5a bi += 5【点睛】本题是一道关于考查复数概念的题目，熟练掌握复数的四则运算是解题的关键，属于基础题． 15．ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边的长分别为,,a b c ，且()2a b b c =+，则=B A__________． 【答案】12【解析】 分析：利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形代入，再利用正弦定理化简得到sin sin 2A B =，进而得到B A的值. 详解：2()a b b c Q =+，即22a b bc -=，2a b c b+= 又由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，正弦定理sin sin a b A B = 22sin cos 22222sin a bc c b c a A b B ac a a b B++∴===== 则sin 2sin cos sin 2A B B B ==，即2A B =或2A B π+=.若2A B π+=，A B C π++=Q ，B C ∴=，b c =，由2()a b b c =+，得222a b =，由余弦定理222cosA 02b c a bc+-==，即有2A π=，4B C π== 2A B ∴=，12B A =. 故答案为12. 点睛：此题考查了正弦定理和余弦定理，熟练掌握定理是解题的关键.16．已知向量21a =v （，），(,1)b x =-v ，且a b -v v 与b v 共线，则x 的值为__. 【答案】2【解析】【分析】先求得a b -r r ，然后根据两个向量共线列方程，解方程求得x 的值，进而求得x 的值.【详解】依题意()2,2a b x -=-r r ，由于a b -r r 与b r 共线，故220x x +-=，解得2x =-，故2x =.【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，考查两个平面向量平行的坐标表示，属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，若12BF F ∆为等腰直角三角形，且直线1BF 被圆222x y b +=所截得的弦长为2.（1）求椭圆的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆交于点,A C ，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC ∆的重心，求证：PAC ∆的面积S 为定值.【答案】（1）22142x y +=；（2）2【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质分析可得b c =，又由直线与圆的位置关系可得a 的值，进而可得b 的值，将,a b 的值代入椭圆的方程即可得结论；（2）根据题意，分、两种情况讨论，若直线l 的斜率不存在，容易求出PAC ∆的面积，若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，结合一元二次方程中根与系数的关系，求出PAC ∆的面积消去参数，综合两种情况可得结论.详解：（1）由12BF F ∆为等腰直角三角形可得b c =，直线1BF ：y x b =+被圆圆222x y b +=所截得的弦长为2，所以2,a b c ===22142x y +=. （2）若直线l的斜率不存在，则132S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ， 即22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+， 由题意点O 为PAC ∆重心，设()00,P x y ，则1231230,033x x x y y y ++++==， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212m y y y k =-+=-+，代入椭圆22142x y +=，得 ()()22222224211212k m m k k +=++，整理得22122k m +=， 设坐标原点到直线l 的距离为d ，则PAC ∆的面积121213322S AC d x x x m =⋅=-⋅=-⋅32m m ====综上可得PAC∆的面积S 点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.18．已知向量a v ,b v 满足||||1a b ==vv ，|(0,)ka b a kb k k R +=-∈v v v v ． (1)求a b ⋅v v 关于k 的解析式f(k)．(2)若//a b v v，求实数k 的值． (3)求向量a v 与b v 夹角的最大值．【答案】（1）21()(0)4k f x k k+=>（2）2k =±3）3πθ=【解析】【分析】（1）根据向量的数量积即可． （2）根据向量平行时的条件即可． （3）根据向量的夹角公式即可．【详解】(1)由已知ka b kb +=-r r r ，有)22ka b kb +=-r r r ， 2222222363k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+⋅r r r r r r r r ．又因为||||1a b ==r r ，得2822ka b k ⋅=+r r ， 所以214k a b k+⋅=r r ， 即21()(0)4k f x k k+=>． (2)因为//a b r r ，0k >， 所以2104k a b k+⋅=>r r ， 则a r 与b r同向． 因为||||1a b ==r r ，所以1a b ⋅=r r ， 即2114k k+=，整理得2410k k -+=，所以2k =所以当2k =±a b r r P ．(3)设a r 与b r 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦r r r r r r ．=，即1k =时， cos θ取最小值12，此时3πθ=． 【点睛】本题主要考查了向量的平以及数量积和夹角，属于基础题．19．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率为22，且22a b =.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l ：0x y m -+=与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆225x y +=上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）实数不存在，理由见解析．【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，，线段的中点为．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在．试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即，即，，所以，即．又因为点在圆上，可得， 解得与矛盾．故实数不存在．考点：椭圆的简单性质． 20．已知0a >，函数32221()(2)(0)()(2)ln 232a g x x a x x x f x ax a x x =-++>=-+++，. （1）讨论函数()g x 在(0,)+∞上的单调性；（2）若()0f x <在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内有解，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1a >. 【解析】 【分析】（1）计算函数的导函数，得到对应方程的根为1211,2x x a==，讨论2,2,2a a a >=<三种情况得到答案. （2）计算()f x 的导数，根据单调性计算函数的最小值，根据min ()0f x <解得范围. 【详解】（1）2()2(2)1g x ax a x '=-++，令()0g x '=，解得1211,2x x a==. 当112a <时，即2a >时，在110,,,2a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，函数()g x 单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()g x 单调递减； 当112a =时，即2a =时，函数()g x 在定义域(0,)+∞上单调递增； 当112a >时，即02a <<时，在110,,,2a ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，函数()g x 单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()g x 单调递减.（2）若()0f x <在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内有解，则2min12(2)1()()0,()2(2)(0)ax a x g x f x f x ax a x x x x''-++<=-++==>由（1）可知，当112a „，即2a ≥时，∵1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()'0f x ≥，函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， min 121()ln 202422a a f x f +⎛⎫==-++< ⎪⎝⎭，解得4(1ln 2)2a a >-∴，…；当1112a <<，即12a <<时，∵1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴在11,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，'()0f x „ ，函数()f x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，'()0f x ≥，函数()f x 在1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴min 112111()ln 21ln a f x f a aa a a a +⎛⎫==-++=-++⎪⎝⎭ 令1111,1,()1ln 1,()1022t h t t t t h t a t '⎛⎫⎛⎫=∈=-++<<=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()h t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴()()10h t h <=恒成立，∴12a <<.当11a …，即01a <≤时，∵1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴'()0f x „，函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， min min ()(1)0,()0f x f f x ==<不成立.综上所述：1a >. 【点睛】本题考查了函数的单调性的讨论，存在性问题，将存在性问题转化为函数的最小值是解题的关键，也可以用参数分离的方法求解.21．某种产品的以往各年的宣传费用支出x （万元）与销售量t （万件）之间有如下对应数据(1)试求回归直线方程；(2)设该产品的单件售价与单件生产成本的差为y （元），若y 与销售量t （万件）的函数关系是211103(030)3200080y t t t =-+＜＜，试估计宣传费用支出x 为多少万元时，销售该产品的利润最大？（注：销售利润=销售额-生产成本-宣传费用）（参考数据与公式：521145ii x==∑，51156i i i x t ==∑，1221ni ii nit x y nxyb xnx ==-=-∑∑）【答案】（1）0.8 1.6t x =+（2）估计宣传费用为23万元时，销售该产品的利润最大 【解析】【试题分析】（1）先求出5, 5.6x t ==，再设回归直线方程为：t bx a =+，算出215655 5.60.814555b -⨯⨯==-⨯，代入回归方程求出 5.60.85 1.6a =-⨯=，进而求出回归直线方程为0.8 1.6t x =+；（2）先建立利润函数2111033200080u t t x t ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭（万元），即 331103 1.6131132000800.83200080t u t t t t -=--+-=-++，再求导可得22333'|1320008080400t t u t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，由'020u t =⇒=，且()0,20t ∈时，'0u >，()20,30t ∈时，'0u <，即当20t =时，u 最大，这时x 的估计值为23，所以估计宣传费用为23万元时，销售该产品的利润最大。

山东省泰安市2020-2021学年下学期学业水平测试高二数学（理）(全卷满分：120分考试时间：90分钟)班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，A=60°，a =，b =，则（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45° D．以上答案都不对2．数列{a n}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n +1（n∈N+）B．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）C．a n=（﹣1）n +1（n∈N+）D．a n=（﹣1）n﹣1（n∈N+）3．若b＜0＜a，d＜c＜0，则下列不等式中必成立的是（）A．ac＞bd B ．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cos B=（）A ．B ．C ．D ．5．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5=5a3，则=（）A ．B．5 C．9 D ．6．已知△ABC的面积S=a2﹣（b2+c2），则cos A等于（）A．﹣4 B ．C ．±D ．﹣7．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）1/ 11A．10 B．12 C．14 D．168．在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A ．B ．C ．D．0＜x＜29．若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）A．（1，9）B．（﹣∞，1]∪（9，+∞）C．[1，9）D．（﹣∞，1）∪（9，+∞）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．11．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为．12．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+3n+1，求数列{a n}的通项公式．13．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为．14．在数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，则a n= ．15．已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2b sin A（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；2/ 11（2）解关于x 的不等式：＞0（c为常数）．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7，a5+a7=26（1）求a n及S n；（2）令b n =（n∈N*）求数列{b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（2a﹣b）cos C．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．3/ 1120．某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加装修费2万元，现把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以50万元出售该楼；②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；问选择哪种方案盈利更多？21．已知数列{a n}满足a1=且a n+1=．设b n +2=3，数列{c n}满足c n=a n •b n．（1）求数列{b n}通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n ≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．4/ 11参考答案一.选择题1．C【解析】根据正弦定理=得：sin B===，∵b＜a，∴B＜A=60°，∴B=45°．故选C2．D【解析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，故选：D．3．C【解析】∵b＜0＜a，d＜c＜0，∴ac＜0，bd＞0，则ac＞bd恒不成立，故A不满足要求；同理，则恒不成立，故B不满足要求；由不等式的同号可加性可得a+c＞b+d一定成立，故C满足要求；但a﹣c＞b﹣d不一定成立，故D不满足要求；故选C4．B【解析】△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c =2a，则b=a，=，故选B．5．C【解析】∵a5=5a3，5/ 11则====9．故选：C．6．D【解析】∵cos A =，面积S =bc sin A=a2﹣（b2+c2），∴bc sin A=﹣2bc cos A，∴sin A=﹣4cos A，又sin2A+cos2A=1，联立解得cos A =．故选：D．7．D【解析】∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y ）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．8．A【解析】由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A ≠90°，即＜sin A＜1，由正弦定理以及a sin B=b sin A．可得：a=x ==2sin A，∵2sin A∈（2， 2）．∴x的取值范围是（2，2）．6/ 11故选：A．9．C【解析】当m﹣1=0，即m=1时，原不等式可化为2＞0恒成立，满足不等式解集为R，当m﹣1≠0，即m≠1时，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则，解得：1＜m＜9．综上所述，m的取值范围为[1，9）．故选：C．10．B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．二、填空题11．（﹣1，6）【解析】不等式变形得：（x﹣6）（x+1）＜0，可化为或，解得：﹣1＜x＜6，则不等式的解集为（﹣1，6）．故答案为：（﹣1，6）12．【解析】当n=1时，a1=S1=1+3+1=5；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+3n+1﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=2n+2．7/ 11∴数列{a n}的通项公式为．故答案为．13．【解析】∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，∴ab sin C =3，即sin C =，∵C为锐角，∴cos C ==，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab cos C=16+9﹣12=13，解得：AB=c =．故答案为：14．【解析】∵数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，∴数列{na n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，解得a n =．故答案为：．15． 6+4【解析】a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b）≥4∴ab﹣4+2≥0，当且仅当a=b =2+时取等号设=t＞1，∴t2﹣4t+2≥0，解得t≥2+，8/ 11∴ab≥（2+）2=6+4，∴ab的最小值为6+4，故答案为：6+4．三.解答题16．解：（Ⅰ）由a=2b sin A，根据正弦定理得sin A=2sin B sin A ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2ac cos B=27+25﹣45=7．所以，．17．解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．18．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则a3=a1+2d=7，a5+a7=2a1+10d=26联立解之可得a1=3，d=2，故a n=3+2（n﹣1）=2n+1S n=3n +=n2+2n；（2）由（1）可知b n ====（），故数列{b n}的前n项和T n =（1﹣++…+）=（1﹣）=19．解：（1）∵在△ABC中，c cos B=（2a﹣b）cos C，9/ 11∴由正弦定理，可得sin C cos B=（2sin A﹣sin B）cos C，即sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C，∴sin（B+C）=2sin A cos C，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sin A＞0，∴sin A=2sin A cos C，即sin A（1﹣2cos C）=0，可得cos C =．又∵C是三角形的内角，∴C =．（2）∵C =，a+b+c =2+2，c=2，可得：a+b =2，∴由余弦定理可得：22=a2+b2﹣2ab cos C=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=12﹣3ab，解得：ab =，∴S△ABC =ab sin C =××=．20．解：（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n +=n2，因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0，解得：3＜n＜27，所以从第4年开始获取纯利润．（2）纯利润y=30n﹣（81+n2）=﹣（n﹣15）2+144，所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．年平均利润W ==30﹣﹣n≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+50=158（万元）．∵154＜158，方案②时间比较短，所以选择方案②．21．解：（1）由得，数列{a n}是公比为的等比数列，则，所以，即b n=3n+1．10/ 11（2）由（1）知，，b n=3n+1，则．，①则，②①﹣②两式相减得===．所以．（3）因为，所以=，则数列{c n}单调递减，∴当n=1时，c n 取最大值是，又∵c n ≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，∴+m﹣1≥，即m2+4m﹣5≥0，解得：m≥1或m≤﹣5．11/ 11。

山东省2020年普通高中学业水平等级考试4月（模拟）数学试题一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|2},A x x B =∈<=Z {x|2x >1} ,则A∩B= A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D.{-1,0,1}2.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,-1),(0,1),则12zz 的共轭复数为 A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i3.若a ∈R ,则"|a|>1"是“31a >” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a ,b ,c ,其中a 与b 是相反向量,且a +c =b ,a -c =(3,-3),则a ·b =.2A.2B -C.2D. -25.已知0.55ln ,log 2,x y z e π-===，则 A. x>y>zB.x>z>yC.z>y>xD.z>x>y6.已知函数21()21,[1,42f x x x x =-+∈],当x=a 时f(x)取得最大值b,则函数||()x b g x a +=的大致图象为7. （九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何?" ,意思是"有粟若干，堆积在平地上,它底圆周长为12丈,高为1丈,问它的体积和粟各为多少?”如图主人意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3,-斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算:1立方丈610=立方寸),一斛粟米卖270钱,一两银子1000钱，则主人卖后可得银子A.200两B.240两C.360两D.400两8. 点M 为抛物线214y x =上任意一点,点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点,若函数f(x)log (2)2(1)a x a =++>的图象恒过定点P,则|MP|+|MN|的最小值为5.2A11.4B C.313.4D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分。

2020年山东省日照市数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,2- C ．[]2,3 D ．[)2,3【答案】D 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ，写出切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，把(1,)m 代入，关于0x 的方程在[1,2]-上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解.【详解】设切点为()00,x y ，22y x '=+,则切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，(1,)P m 在切线上，可得()()220000221312m x x x x +--≤≤=-+=-+，函数2()(1)3h x x =--+(12)x -≤≤在[1,1]-上递增，在[1,2]上递减，max ()3h x =，又(1)1h -=-，(22)h =，∴如果0x 有两解，则23m ≤<.故选：D . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。

由方程根的个数确定参数取值范围，可采用分离参数法，转化为直线与函数图象交点个数问题。

2．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（ ）. 爱好 不爱好 合计 男生 20 5 25 女生101525合计 30 20 50附表：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】对照表格，看2K 在0k 中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论． 【详解】由2K ≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A ． 【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题．3．若输入4n =，执行如图所示的程序框图，输出的s =（ ）A ．10B ．16C ．20D ．35【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】第一次循环，4,2s i ==，第二次循环，10,3s i ==，第三次循环，16,4s i ==，结束循环，输出16s =，故选B ．4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“0x ∀≥，210x x +-<”的否定是“0x ∃<，210x x +-<”C ．样本的相关系数r ，||r 越接近于1，线性相关程度越小D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用四种命题之间的变换可判断A ；根据全称命题的否定变法可判断B ；利用相关系数与相关性的关系可判断C ；利用原命题与逆否命题真假关系可判断D. 【详解】对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；对于B ，命题“0x ∀≥，210x x +-<”的否定是“00x ∃≥，20010x x +-≥”，故B 错误；对于C ，样本的相关系数r ，||r 越接近于1，线性相关程度越大，故C 错误； 对于D ，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，故逆否命题也为真命题， 故D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了判断命题的真假、全称命题的否定、四种命题的转化以及原命题与逆否命题真假关系、相关系数与相关性的关系，属于基础题. 5．复数()634i i i-+-的实部与虚部之差为（ ）A ．-1B ．1C ．75-D ．75【答案】B 【解析】 试题分析：,故选B.考点：复数的运算.6．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,2【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于m 的不等式，解出该不等式可得出实数m 的取值范围. 【详解】椭圆的标准方程为2211x y m+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则101m<<，解得1m ，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．若y 关于x 的线性回归方程0.70.35y x =+是由表中提供的数据求出，那么表中m 的值为( )A ．3.5B ．3C ．2.5D ．2【答案】C 【解析】由表可得样本中心点的坐标为11.54.5,4m +⎛⎫⎪⎝⎭，根据线性回归方程的性质可得11.50.7 4.50.354m+⨯+=，解出 2.5m =，故选C. 8．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( ) A ．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和 B ．某篮球运动员6次罚球中投进的球数 C ．电视机的使用寿命D ．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数 【答案】C 【解析】分析： 直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中,,A B D 都属于离散型随机变量，而C 电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.9．设函数()()2ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．4ln 214+⎛⎤+⎥⎝⎦B ．4ln 214+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦D ．6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案． 【详解】由题意，函数()()2ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，不等式()0f x >，即()2ln 20x ax a x --->，即()2ln 2x ax a x >+-，两边除以x ，可得ln (1)2xa x x>+-， 又由直线(1)2y a x =+-恒过定点(1,2)--， 若不等式()0f x >恰有两个整数解， 即函数ln xy x=图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x =+-的上方， 由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f >≤，即()()ln 24220ln 39220a a a a ⎧--->⎪⎨---≤⎪⎩，解得6ln 34ln 2126a ++≤<，即实数a 的取值范围是6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10．已知圆的圆心为，点是直线上的点，若圆上存在点使，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】问题转化为到直线的距离.【详解】如图所示：过作圆的切线，切点为，则，，即有解，，则到直线的距离，，解得，故选：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． 11．如图，平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角是3π，PQ 是平面BCEF 内的一条动直线，4DBC π∠=，则直线BD 与PQ 所成角的正弦值的取值范围是（ ）A ．3⎤⎥⎣⎦B ．6⎤⎥⎣⎦C ．23,42⎣⎦D ．22⎤⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】假定ABCD 和BCEF 均为正方形，过D 作DGCE ，可证DG ⊥平面BCEF ，进而可得直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值sin DBG ∠，即直线BD 与PQ 所成角的正弦值的最小值，当直线BD 与PQ 异面垂直时，所成角的正弦值最大. 【详解】 过D 作DGCE ，垂足为G ，假定ABCD 和BCEF 均为正方形，且边长为1 则BC ⊥平面CDG ，故BC DG ⊥ 又BCCE C =，DG ∴⊥平面BCEF故直线BD 在平面BCEF 内的射影为BG ， 由已知可得3cos3DG CD π=⋅=， 则以直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值6sin DG DBG BD ∠==， 所以直线BD 与平面BCEF 内直线所成的角正弦值最小为6 而直线BD 与PQ 所成角最大为90︒（异面垂直），即最大正弦值为1. 故选：B 【点睛】本题考查了立体几何中线面角，面面角找法，考查了转化思想，属于难题.12．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，以O 为圆心，12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 3A ．22B ．312- C ．32D 31【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出． 【详解】在Rt △PF 1F 2中，∠F 1PF 2=90°，直线OP 3故得到∠POF 2=60°， ∴|PF 2|=c ，由三角形三边关系得到|PF 13c ，又|PF 1|+|PF 2， ∴3131c a .故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).二、填空题：本题共4小题13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只白球，2只红球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率是_____________． 【答案】23【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意，根据古典概型的概率计算公式得所求概率为11222423C C P C ==， 故答案为：23． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．14．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________； 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 【解析】 【分析】令cos x θ=，sin y θ=，可将xy 化为1sin 22θ，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】221x y += ∴可令cos x θ=，sin y θ=1cos sin sin 22xy θθθ∴==[]sin 21,1θ∈- 11,22xy ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解. 15．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中φ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()f ()2f ππ>，则()f x 的单调递增区间是______. 【答案】2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据题设条件得出()6f π是函数的最大值或最小值，从而得到6,k k Z πϕπ=+∈，结合()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，最后得到56π=-ϕ，再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间. 【详解】解:若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立,则()6f π等于函数的最大值或最小值,即2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则6,k k Z πϕπ=+∈ ,又()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭,即 sin 0ϕ< 令 1k =-,此时56π=-ϕ ,满足条件 令522,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦, 解得2,()63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦. 则()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.故答案为:2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握.16．已知命题31:01x p A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.若命题q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是____；【答案】(],2-∞【解析】【分析】 求得命题1:{|1}3p A x x =≤<，又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集， 得出不等式组1()03(1)0f f ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，即可求解，得到答案．【详解】由题意，命题311:0{|1}13x p A x x x x ⎧⎫-=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，设()23f x x mx =--+，则满足2111()()30333(1)130f m f m ⎧=--+>⎪⎨⎪=--+≥⎩，解得2m ≤， 经验证当2m =适合题意，所以m 的取值范围是(],2-∞．【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A ，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合{1A =，3，5}，{2B =，3}，则(A B = )A ．{3}B ．{1，5}C ．(1，2，5){1⋂，2，5}D ．{1，2，3，5}2．（3分）函数1()cos()26f x x π=+的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．（3分）函数()(4)f x ln x =-的定义域是( ) A ．[1，4)B ．(1，4]C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是减函数的是( ) A ．3y x =-B ．1y x=C ．||y x =D ．21y x=5．（3分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线20x y l +-=互相垂直，则直线l 的方程为()A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=6．（3分）已知函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，则(1)f f -+（1）(= )A ．0B ．1C ．32D ．27．（3分）已知向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =，则(a b = ) A．B．C．D ．68．（3分）某工厂抽取100件产品测其重量（单位：)kg ．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5)，[40，5，41)，[41，41，5)，[41，5，42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41)内的产品件数为( )A ．30B ．40C ．60D ．809．（3分）sin 110︒cos40cos70sin 40(︒-︒︒= ) A ．12B 3C ．12-D ．3 10．（3分）在平行四边形ABCD 中，(AB BD AC +-= ) A ．DCB ．BAC ．BCD ．BD11．（3分）某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ7yx a =+，则实数ˆ(a = ) x3 4 5 6 y25304045 A ．3B ．3.5C ．4D ．10.512．（3分）下列结论正确的是( ) A ．若a b <，则33a b < B ．若a b >，则22a b < C ．若a b <，则22a b <D ．若a b >，则lna lnb >13．（3分）圆心为(1,3)M ，且与直线3460x y --=相切的圆的方程是( ) A ．22(1)(3)9x y -+-= B ．22(1)(3)3x y -+-= C ．22(1)(3)9x y +++=D ．22(1)(3)3x y +++=14．（3分）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15．（3分）若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直，则实数(a = ) A ．1-或2B ．1-C ．13D ．316．（3分）将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．sin(3)4y x π=-B ．sin(3)12y x π=-C ．1sin()34y x π=-D ．1sin()312y x π=-17．（3分）3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A ．14B ．23C ．12D ．3418．（3分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列判断正确的是( )A ．11A D C C ⊥B ．1BD AD ⊥C ．1AD AC ⊥D ．1BD AC ⊥19．（3分）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则()A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线20．（3分）在三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥的外接球体的体积为( ) A ．92πB ．272πC ．9πD ．36π二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．21．（3分）某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 ．22．（3分）已知α为第二象限角，若3sin 5α=，则tan α的值为 ． 23．（3分）已知圆锥底面半径为1，高为3，则该圆锥的侧面积为 ．24．（3分）已知函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，则实数a 的取值范围为 ． 25．（3分）若P 是圆221:(4)(5)9C x y -+-=上一动点，Q 是圆222:(2)(3)4C x y +++=上一动点，则||PQ 的最小值是 ． 三、解答题：本题共3小题，共25分．26．（9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：//EF 面PAD ．27．（8分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且6a =，1cos 3B =． （1）若3sin 5A =，求b 的值； （2）若2c =，求b 的值及ABC ∆的面积S ．28．（8分）已知函数3()log (91)()x f x ax a R =++∈为偶函数． （1）求a 的值；（2）当[0x ∈，)+∞时，不等式()0f x b -恒成立，求实数b 的取值范围．2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设集合{1A =，3，5}，{2B =，3}，则(A B = )A ．{3}B ．{1，5}C ．(1，2，5){1⋂，2，5}D ．{1，2，3，5}【解答】解：{1A =，3，5}，{2B =，3}，{1AB ∴=，2，3，5}．故选：D ．2．（3分）函数1()cos()26f x x π=+的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【解答】解：由三角函数的周期公式得2412T ππ==， 故选：D ．3．（3分）函数()(4)f x ln x =-的定义域是( ) A ．[1，4)B ．(1，4]C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【解答】解：函数()(4)f x ln x =-， ∴1040x x -⎧⎨->⎩，解得14x <；∴函数()f x 的定义域是[1，4)．故选：A ．4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是减函数的是( ) A ．3y x =-B ．1y x=C ．||y x =D ．21y x =【解答】解：由幂函数的性质可知，3y x =-，1y x=为奇函数，不符合题意，||y x =为偶函数且在(0,)+∞上单调递增，不符号题意，21y x =为偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意． 故选：D ．5．（3分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线20x y l +-=互相垂直，则直线l 的方程为()A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=【解答】解：根据直线l 与直线20x y l +-=互相垂直，设直线l 为20x y m -+=， 又l 过点(2,1)P -，22(1)0m ∴-⨯-+=，解得4m =-，∴直线l 的方程为240x y --=．故选：B ．6．（3分）已知函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，则(1)f f -+（1）(= )A ．0B ．1C ．32D ．2【解答】解：函数322,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩，11(1)22f -∴-==， f （1）3211==， (1)f f ∴-+（1）13122=+=． 故选：C ．7．（3分）已知向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =，则(a b = ) A．B．C．D ．6【解答】解：向量a 与b 的夹角为3π，且||3a =，||4b =， ∴1||||cos34632a b a b π==⨯⨯=． 故选：D ．8．（3分）某工厂抽取100件产品测其重量（单位：)kg ．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5)，[40，5，41)，[41，41，5)，[41，5，42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41)内的产品件数为( )A ．30B ．40C ．60D ．80【解答】解：由频率分布直方图得：重量在[40，41)内的频率为：(0.10.7)0.50.4+⨯=． ∴重量在[40，41)内的产品件数为0.410040⨯=．故选：B ．9．（3分）sin 110︒cos40cos70sin 40(︒-︒︒= ) A ．12B 3C ．12-D ．3 【解答】解：sin 110︒cos40cos70sin40︒-︒︒ sin =70︒cos40cos70sin40︒-︒︒ sin =(7040)︒-︒1sin302=︒=． 故选：A ．10．（3分）在平行四边形ABCD 中，(AB BD AC +-= ) A ．DCB ．BAC ．BCD ．BD【解答】解：在平行四边形ABCD 中， AB BD AC AB BD CA CD BA +-=++==．故选：B ．11．（3分）某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ7yx a =+，则实数ˆ(a = ) x3 4 5 6 y25304045 A ．3 B ．3.5C ．4D ．10.5【解答】解：3456 4.54x +++==，25304045354y +++==， ∴样本点的中心坐标为(4.5,35)，代入ˆˆ7yx a =+，得ˆ357 4.5a =⨯+，即ˆ 3.5a =． 故选：B ．12．（3分）下列结论正确的是( ) A ．若a b <，则33a b < B ．若a b >，则22a b < C ．若a b <，则22a b <D ．若a b >，则lna lnb >【解答】解：A ．a b <，可得33a b <，正确；B ．a b >，可得22a b >，因此B 不正确；C ．a b <，2a 与2b 大小关系不确定，因此不正确；D ．由a b >，无法得出lna lnb >，因此不正确．故选：A ．13．（3分）圆心为(1,3)M ，且与直线3460x y --=相切的圆的方程是( ) A ．22(1)(3)9x y -+-= B ．22(1)(3)3x y -+-= C ．22(1)(3)9x y +++=D ．22(1)(3)3x y +++=【解答】解：由题意可知，圆的半径|3126|35r --==， 故所求的圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=． 故选：A ．14．（3分）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A ．事件“都是红色卡片”是随机事件B ．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C ．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D ．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【解答】解：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确； 在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确； 在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确． 故选：C ．15．（3分）若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直，则实数(a = ) A ．1-或2B ．1-C ．13D ．3【解答】解：根据题意，若直线(1)210a x y --+=与直线10x ay -+=垂直， 必有(1)20a a -+=，解可得13a =；故选：C ．16．（3分）将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．sin(3)4y x π=-B ．sin(3)12y x π=-C ．1sin()34y x π=-D ．1sin()312y x π=-【解答】解：将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），可得sin3y x =的图象； 再将得到的图象向右平移12π个单位，得到的图象对应的函数解析式为sin3()sin(3)124y x x ππ=-=-， 故选：A ．17．（3分）3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A ．14B ．23C ．12D ．34【解答】解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有328=种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有322826-=-=种情况， ∴所求概率为6384=． 故选：D ．18．（3分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列判断正确的是( )A ．11A D C C ⊥B ．1BD AD ⊥C ．1AD AC ⊥ D ．1BD AC ⊥【解答】解：因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥；1BDDD D =；BD ⊆平面11DD B B ，1DD ⊆平面11DD B B ，AC ∴⊥平面11DD B B ； 1BD ⊆平面11DD B B ； 1AC BD ∴⊥；即D 对． 故选：D ．19．（3分）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则()A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线【解答】解：向量a ，b 不共线，2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-， ∴(37)(45)2BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=， ∴//BD AB ，A ∴，B ，D 三点共线．故选：B ．20．（3分）在三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥的外接球体的体积为( )A ．92πB ．272πC ．9πD ．36π【解答】解：由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA =，2PB =，2PC =将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则22221223R ++=所以32R =， 所以外接球的体积34932V R ππ==， 故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．21．（3分）某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 8 ．【解答】解：某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，∴这支田径队共有453681+=人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本， ∴每个个体被抽到的概率是182819=， 女运动员36人，∴女运动员要抽取23689⨯=人， 故答案为：8．22．（3分）已知α为第二象限角，若3sin 5α=，则tan α的值为 34- ．【解答】解：α为第二象限角3sin 5α=， 4cos 5α∴=-，则sin 3tan cos 4ααα==-， 故答案为：34-．23．（3分）已知圆锥底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 2π ．【解答】解：由已知可得1r =，h =2l ==． ∴圆锥的侧面积2S rl ππ==．故答案为：2π．24．（3分）已知函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，则实数a 的取值范围为 (2,0)- ．【解答】解：函数2()f x x x a =++在区间(0,1)内有零点，(0)f a =，f （1）2a =+，由零点存在性定理得(0)f f （1）(2)0a a =+<，得20a -<<， 经验证2a =-，0a =均不成立，故答案为：(2,0)-25．（3分）若P 是圆221:(4)(5)9C x y -+-=上一动点，Q 是圆222:(2)(3)4C x y +++=上一动点，则||PQ 的最小值是 5 ．【解答】解：圆221:(4)(5)9C x y -+-=的圆心1(4,5)C ，半径3r =， 圆222:(2)(3)4C x y +++=的圆心2(2,3)C --，半径2r =，12||1023d C C r R ===>+=+，所以两圆的位置关系是外离，又P 在圆1C 上，Q 在圆2C 上，则||PQ 的最小值为()10(23)5d r R -+=-+=，故答案为：5．三、解答题：本题共3小题，共25分．26．（9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：//EF 面PAD ．【解答】证明：取PD 的中点G ，连接FG 、AG ．因为PF CF =，PG DG =，所以//FG CD ，且12FG CD =． 又因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是AB 的中点．所以//AE CD ，且12AE CD =． 所以//FG AE ，且FG AE =，所以四边形EFGA 是平行四边形，所以//EF AG ．又因为EF ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．27．（8分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且6a =，1cos 3B =． （1）若3sin 5A =，求b 的值； （2）若2c =，求b 的值及ABC ∆的面积S ．【解答】解：（1）由1cos 3B =可得22sin B = 由正弦定理可得，sin sin a b A B =， 所以226sin 233sin 35a Bb A ===，（2）由余弦定理可得，22221364cos 32226a c b b B ac +-+-===⨯⨯，解可得，b =11sin 6222S ac B ==⨯⨯=． 28．（8分）已知函数3()log (91)()x f x ax a R =++∈为偶函数．（1）求a 的值；（2）当[0x ∈，)+∞时，不等式()0f x b -恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意可知()()f x f x =-，即33log (91)log (91)x xax ax -++=-++，整理得391log 291x x ax -+=-+， 即3292x ax log x -==，解得1a =-；（2）由（1）可得3()log (91)x f x x =++，因为()0f x b -对[0x ∈，)+∞恒成立， 即3log (91)x x b ++对[0x ∈，)+∞恒成立，因为函数3()log (91)x g x x =++在[0，)+∞上是增函数， 所以3()(0)log 2min g x g ==，则3log 2b ．。

山东省2020年普通高中学业水平等级考试（模拟）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一．选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。

1-8小题只有一个选项．．．．．．符合题意，9 -12为多选题）1．设集合，，则A∩B=( )．A.{0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [1,3]D. [0,3]2.已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要比充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.函数，若，，，则（）A. B. C. D.4.已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足，若，则（）A. B. 3 C. 6 D. 与有关的数值5.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。

例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，。

根据这些信息，可得sin234°＝A. B. C. D.6.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且,若,则展开式中常数项( )A. 32B. 24C. 4D. 87.在棱长为1的正四面体A-BCD中, E是BD上一点, ,过E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为（）A. B. C. D.8.若定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是( )A.(3，＋∞)B. (－∞，3)C. (－3，＋∞)D. (－∞，－3)以下为多选题：9. 已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设为数列前n项和，则当时，n的取值可以是下面选项中的（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知函数，则关于x的方程的实根个数可能为（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个11. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F 为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A. 点到平面的距离B. 直线与平面所成的角C. 三棱锥的体积D. △的面积12.函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为A，B两点间距离，定义为曲线在点A与点B之间的“曲率”，其中正确命题为：A.存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；B.函数图像上两点A与B的横坐标分别为1,2，则“曲率”；C.函数图像上任意两点A、B之间的“曲率”；D.设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数t的取值范围是(－∞,1).二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山东省日照市数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,2- C ．[]2,3 D ．[)2,3【答案】D 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ，写出切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，把(1,)m 代入，关于0x 的方程在[1,2]-上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解.【详解】设切点为()00,x y ，22y x '=+,则切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，(1,)P m 在切线上，可得()()220000221312m x x x x +--≤≤=-+=-+，函数2()(1)3h x x =--+(12)x -≤≤在[1,1]-上递增，在[1,2]上递减，max ()3h x =，又(1)1h -=-，(22)h =，∴如果0x 有两解，则23m ≤<.故选：D . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。

由方程根的个数确定参数取值范围，可采用分离参数法，转化为直线与函数图象交点个数问题。

2．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（ ）. 爱好 不爱好 合计 男生 20 5 25 女生101525合计 30 20 50附表：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】对照表格，看2K 在0k 中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论． 【详解】由2K ≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A ． 【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题．3．若输入4n =，执行如图所示的程序框图，输出的s =（ ）A ．10B ．16C ．20D ．35【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】第一次循环，4,2s i ==，第二次循环，10,3s i ==，第三次循环，16,4s i ==，结束循环，输出16s =，故选B ．4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“0x ∀≥，210x x +-<”的否定是“0x ∃<，210x x +-<”C ．样本的相关系数r ，||r 越接近于1，线性相关程度越小D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用四种命题之间的变换可判断A ；根据全称命题的否定变法可判断B ；利用相关系数与相关性的关系可判断C ；利用原命题与逆否命题真假关系可判断D. 【详解】对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；对于B ，命题“0x ∀≥，210x x +-<”的否定是“00x ∃≥，20010x x +-≥”，故B 错误；对于C ，样本的相关系数r ，||r 越接近于1，线性相关程度越大，故C 错误； 对于D ，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，故逆否命题也为真命题， 故D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了判断命题的真假、全称命题的否定、四种命题的转化以及原命题与逆否命题真假关系、相关系数与相关性的关系，属于基础题. 5．复数()634i i i-+-的实部与虚部之差为（ ）A ．-1B ．1C ．75-D ．75【答案】B 【解析】 试题分析：,故选B.考点：复数的运算.6．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,2【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于m 的不等式，解出该不等式可得出实数m 的取值范围. 【详解】椭圆的标准方程为2211x y m+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则101m<<，解得1m ，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．若y 关于x 的线性回归方程0.70.35y x =+是由表中提供的数据求出，那么表中m 的值为( )A ．3.5B ．3C ．2.5D ．2【答案】C 【解析】由表可得样本中心点的坐标为11.54.5,4m +⎛⎫⎪⎝⎭，根据线性回归方程的性质可得11.50.7 4.50.354m+⨯+=，解出 2.5m =，故选C. 8．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是( ) A ．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和 B ．某篮球运动员6次罚球中投进的球数 C ．电视机的使用寿命D ．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数 【答案】C 【解析】分析： 直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中,,A B D 都属于离散型随机变量，而C 电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.9．设函数()()2ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．4ln 214+⎛⎤+⎥⎝⎦B ．4ln 214+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦D ．6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案． 【详解】由题意，函数()()2ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，不等式()0f x >，即()2ln 20x ax a x --->，即()2ln 2x ax a x >+-，两边除以x ，可得ln (1)2xa x x>+-， 又由直线(1)2y a x =+-恒过定点(1,2)--， 若不等式()0f x >恰有两个整数解， 即函数ln xy x=图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x =+-的上方， 由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f >≤，即()()ln 24220ln 39220a a a a ⎧--->⎪⎨---≤⎪⎩，解得6ln 34ln 2126a ++≤<，即实数a 的取值范围是6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10．已知圆的圆心为，点是直线上的点，若圆上存在点使，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】问题转化为到直线的距离.【详解】如图所示：过作圆的切线，切点为，则，，即有解，，则到直线的距离，，解得，故选：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． 11．如图，平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角是3π，PQ 是平面BCEF 内的一条动直线，4DBC π∠=，则直线BD 与PQ 所成角的正弦值的取值范围是（ ）A ．3⎤⎥⎣⎦B ．6⎤⎥⎣⎦C ．23,42⎣⎦D ．22⎤⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】假定ABCD 和BCEF 均为正方形，过D 作DGCE ，可证DG ⊥平面BCEF ，进而可得直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值sin DBG ∠，即直线BD 与PQ 所成角的正弦值的最小值，当直线BD 与PQ 异面垂直时，所成角的正弦值最大. 【详解】 过D 作DGCE ，垂足为G ，假定ABCD 和BCEF 均为正方形，且边长为1 则BC ⊥平面CDG ，故BC DG ⊥ 又BCCE C =，DG ∴⊥平面BCEF故直线BD 在平面BCEF 内的射影为BG ， 由已知可得3cos3DG CD π=⋅=， 则以直线BD 与平面BCEF 所成的角正弦值6sin DG DBG BD ∠==， 所以直线BD 与平面BCEF 内直线所成的角正弦值最小为6 而直线BD 与PQ 所成角最大为90︒（异面垂直），即最大正弦值为1. 故选：B 【点睛】本题考查了立体几何中线面角，面面角找法，考查了转化思想，属于难题.12．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，以O 为圆心，12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 3A ．22B ．312- C ．32D 31【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出． 【详解】在Rt △PF 1F 2中，∠F 1PF 2=90°，直线OP 3故得到∠POF 2=60°， ∴|PF 2|=c ，由三角形三边关系得到|PF 13c ，又|PF 1|+|PF 2， ∴3131c a .故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).二、填空题：本题共4小题13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只白球，2只红球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率是_____________． 【答案】23【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意，根据古典概型的概率计算公式得所求概率为11222423C C P C ==， 故答案为：23． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．14．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________； 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 【解析】 【分析】令cos x θ=，sin y θ=，可将xy 化为1sin 22θ，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】221x y += ∴可令cos x θ=，sin y θ=1cos sin sin 22xy θθθ∴==[]sin 21,1θ∈- 11,22xy ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解. 15．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中φ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()f ()2f ππ>，则()f x 的单调递增区间是______. 【答案】2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据题设条件得出()6f π是函数的最大值或最小值，从而得到6,k k Z πϕπ=+∈，结合()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，最后得到56π=-ϕ，再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间. 【详解】解:若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立,则()6f π等于函数的最大值或最小值,即2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则6,k k Z πϕπ=+∈ ,又()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭,即 sin 0ϕ< 令 1k =-,此时56π=-ϕ ,满足条件 令522,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦, 解得2,()63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦. 则()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.故答案为:2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握.16．已知命题31:01x p A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.若命题q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是____；【答案】(],2-∞【解析】【分析】 求得命题1:{|1}3p A x x =≤<，又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集， 得出不等式组1()03(1)0f f ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，即可求解，得到答案．【详解】由题意，命题311:0{|1}13x p A x x x x ⎧⎫-=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，设()23f x x mx =--+，则满足2111()()30333(1)130f m f m ⎧=--+>⎪⎨⎪=--+≥⎩，解得2m ≤， 经验证当2m =适合题意，所以m 的取值范围是(],2-∞．【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A ，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷(总13页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共20小题）1.（2020•山东学业考试）设集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3}，则A∪B＝（）A．{3} B．{1，5}C．（1，2，5）∩{1，2，5} D．{1，2，3，5}2.（2020•山东学业考试）函数的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3.（2016秋•晋江市校级期末）函数的定义域是（）A．[1，4）B．（1，4] C．（1，+∞）D．（4，+∞）4.（2020•山东学业考试）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上是减函数的是（）A．y＝﹣x3B．y＝C．y＝|x| D．y＝5.（2020•山东学业考试）已知直线l过点P（2，﹣1），且与直线2x+y﹣l＝0互相垂直，则直线l的方程为（）A．x﹣2y＝0 B．x﹣2y﹣4＝0 C．2x+y﹣3＝0 D．2x﹣y﹣5＝06.（2020•山东学业考试）已知函数f（x）＝，则f（﹣1）+f（1）＝（）A．0 B．1 C．D．27.（2020•山东学业考试）已知向量与的夹角为，且||＝3，||＝4，则•＝（）A．B．C．D．68.（2020•山东学业考试）某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg）．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5），[40，5，41），[41，41，5），[41，5，42），据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41）内的产品件数为（）A．30 B．40 C．60 D．809.（2020•山东学业考试）sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°＝（）A．B．C．﹣D．﹣10.（2020•山东学业考试）在平行四边形ABCD中，+﹣＝（）A．B．C．D．11.（2020•山东学业考试）某产品的销售额y（单位：万元）与月份x的统计数据如表．用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为＝7x+，则实数＝（）x3456y25304045A．3 B．C．4 D．12.（2020•山东学业考试）下列结论正确的是（）A．若a＜b，则a3＜b3B．若a＞b，则2a＜2bC．若a＜b，则a2＜b2D．若a＞b，则lna＞lnb13.（2020•山东学业考试）圆心为M（1，3），且与直线3x﹣4y﹣6＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9 B．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝3C．（x+1）2+（y+3）2＝9 D．（x+1）2+（y+3）2＝314.（2020•山东学业考试）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15.（2020•山东学业考试）若直线（a﹣1）x﹣2y+1＝0与直线x﹣ay+1＝0垂直，则实数a＝（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．D．316.（2020•山东学业考试）将函数y＝sin x的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为（）A．y＝sin（3x﹣）B．y＝sin（3x﹣）C．y＝sin（x﹣）D．y＝sin（x﹣）17.（2020•山东学业考试）3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．18.（2020•山东学业考试）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（）A．A1D⊥C1C B．BD1⊥AD C．A1D⊥AC D．BD1 ⊥AC19.（2020•山东学业考试）已知向量，不共线，若＝+2，＝﹣3+7，＝4﹣5，则（）A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线20.（2020•山东学业考试）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝PC＝2，则该三棱锥的外接球体的体积为（）A．B．C．9πD．36π二、填空题（共5小题）21.（2020•山东学业考试）某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为．22.（2014春•川汇区校级月考）已知α为第二象限角，若sinα＝，则tanα的值为﹣．23.（2018秋•镇江期中）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为．24.（2020•山东学业考试）已知函数f（x）＝x2+x+a在区间（0，1）内有零点，则实数a的取值范围为﹣．25.（2020•山东学业考试）若P是圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝9上一动点，Q是圆C2：（x+2）2+（y+3）2＝4上一动点，则|PQ|的最小值是．三、解答题（共3小题）26.（2020•山东学业考试）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF∥面PAD．27.（2020•山东学业考试）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，cos B＝．（1）若sin A＝，求b的值；（2）若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．28.（2020•山东学业考试）已知函数f（x）＝ax+log3（9x+1）（a∈R）为偶函数．（1）求a的值；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣b≥0恒成立，求实数b的取值范围．2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷参考答案一、单选题（共20小题）1.【分析】进行并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，3，5}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3，5}．故选：D．【知识点】并集及其运算2.【分析】根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．【解答】解：由三角函数的周期公式得T＝＝4π，故选：D．【知识点】三角函数的周期性及其求法3.【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴，解得1≤x＜4；∴函数f（x）的定义域是[1，4）．故选：A．【知识点】函数的定义域及其求法4.【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可．【解答】解：由幂函数的性质可知，y＝﹣x3，y＝为奇函数，不符合题意，y＝|x|为偶函数且在（0，+∞）上单调递增，不符号题意，y＝为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选：D．【知识点】奇偶性与单调性的综合5.【分析】根据题意设出直线l的方程，把点P（2，﹣1）代入方程求出直线l的方程．【解答】解：根据直线l与直线2x+y﹣l＝0互相垂直，设直线l为x﹣2y+m＝0，又l过点P（2，﹣1），∴2﹣2×（﹣1）+m＝0，解得m＝﹣4，∴直线l的方程为x﹣2y﹣4＝0．故选：B．【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系6.【分析】推导出f（﹣1）＝2﹣1＝，f（1）＝＝1，由此能求出f（﹣1）+f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣1）＝2﹣1＝，f（1）＝＝1，∴f（﹣1）+f（1）＝．故选：C．【知识点】函数的值7.【分析】进行数量积的运算即可．【解答】解：∵向量与的夹角为，且||＝3，||＝4，∴．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律8.【分析】由频率分布直方图得重量在[40，41）内的频率为．由此能求出重量在[40，41）内的产品件数．【解答】解：由频率分布直方图得：重量在[40，41）内的频率为：（+）×＝．∴重量在[40，41）内的产品件数为×100＝40．故选：B．【知识点】频率分布直方图9.【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°＝sin 70° cos40°﹣cos70°•sin40°＝sin （70°﹣40°）＝sin30°＝．故选：A．【知识点】两角和与差的余弦函数10.【分析】利用平面向量加法法则直接求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，+﹣＝＝＝．故选：B．【知识点】向量的减法及其几何意义11.【分析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数．【解答】解：，，∴样本点的中心坐标为（，35），代入＝7x+，得35＝7×，即＝．故选：D．【知识点】线性回归方程12.【分析】利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误．【解答】解：A．a＜b，可得a3＜b3，正确；B．a＞b，可得2a＞2b，因此B不正确；C．a＜b，a2与b2大小关系不确定，因此不正确；D．由a＞b，无法得出lna＞lnb，因此不正确．故选：A．【知识点】不等式的基本性质13.【分析】由题意可知，圆的半径即为圆心M到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解．【解答】解：由题意可知，圆的半径r＝＝3，故所求的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9．故选：A．【知识点】圆的切线方程、圆的标准方程14.【分析】利用随机事件的定义直接求解．【解答】解：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．故选：C．【知识点】随机事件15.【分析】根据题意，分析可得（a﹣1）+2a＝0，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若直线（a﹣1）x﹣2y+1＝0与直线x﹣ay+1＝0垂直，必有（a﹣1）+2a＝0，解可得a＝；故选：C．【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系16.【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝sin x的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝sin3x的图象；再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin3（x﹣）＝sin（3x﹣），故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换17.【分析】求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有23﹣2＝8﹣2＝6种情况，∴所求概率为＝．故选：D．【知识点】古典概型及其概率计算公式18.【分析】直接可以看出A，B，C均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直．【解答】解：因为AC⊥BD，AC⊥DD1；BD∩DD1＝D；BD⊆平面DD1B1B，DD1⊆平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B；BD1⊆平面DD1B1B；∴AC⊥BD1；即D对．故选：D．【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系19.【分析】＝＝（﹣3+7）+（4﹣5）＝＝，从而，进而A，B，D三点共线．【解答】解：向量，不共线，＝+2，＝﹣3+7，＝4﹣5，∴＝＝（﹣3+7）+（4﹣5）＝＝，∴，∴A，B，D三点共线．故选：B．【知识点】平行向量与共线向量20.【分析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积．【解答】解：由三棱锥中PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R，则2R＝＝3所以R＝，所以外接球的体积V＝＝，故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、填空题（共5小题）21.【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数．【解答】解：∵某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，∴这支田径队共有45+36＝81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本，∴每个个体被抽到的概率是＝，∵女运动员36人，∴女运动员要抽取36×＝8人，故答案为：8．【知识点】分层抽样方法22.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，从而求得tanα的值．【解答】解：∵α为第二象限角sinα＝，∴cosα＝﹣，则tanα＝＝﹣，故答案为：．【知识点】同角三角函数间的基本关系23.【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【解答】解：由已知可得r＝1，h＝，则圆锥的母线长l＝．∴圆锥的侧面积S＝πrl＝2π．故答案为：2π．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积24.【分析】由零点存在性定理得f（0）f（1）＝a（a+2）＜0，求出即可．【解答】解：函数f（x）＝x2+x+a在区间（0，1）内有零点，f（0）＝a，f（1）＝2+a，由零点存在性定理得f（0）f（1）＝a（a+2）＜0，得﹣2＜a＜0，经验证a＝﹣2，a＝0均不成立，故答案为：（﹣2，0）【知识点】函数零点的判定定理25.【分析】分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r和R，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d﹣（r+R），即可求出答案．【解答】解：圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝9的圆心C1（4，5），半径r＝3，圆C2：（x+2）2+（y+3）2＝4的圆心C2（﹣2，﹣3），半径r＝2，d＝|C1C2|＝＝10＞2+3＝r+R，所以两圆的位置关系是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d﹣（r+R）＝10﹣（2+3）＝5，故答案为：5．【知识点】圆与圆的位置关系及其判定三、解答题（共3小题）26.【分析】取PD的中点G，连接FG、AG，由PF＝CF，PG＝DG，所以FG∥CD，且FG＝CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE∥CD，且AE＝CD．证得四边形EFGA是平行四边形，所以EF∥AG，由线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF＝CF，PG＝DG，所以FG∥CD，且FG＝CD．又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．所以AE∥CD，且AE＝CD．所以FG∥AE，且FG＝AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF∥AG．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．【知识点】直线与平面平行的判定27.【分析】（1）先根据同角平方关系求出sin B，然后结合正弦定理即可求解，（2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）由cos B＝可得sin B＝，由正弦定理可得，，所以b＝＝＝，（2）由余弦定理可得，cos B＝＝＝，解可得，b＝4，S＝＝＝4．【知识点】余弦定理、正弦定理28.【分析】（1）根据偶函数性质f（x）＝f（﹣x），化简整理可求得a的取值；（2）根据条件可知x+log3（9x+1）≥b对x∈[0，+∞）恒成立，求出函数g（x）＝x+log3（9x+1）在[0，+∞）上的最小值即可【解答】解：（1）根据题意可知f（x）＝f（﹣x），即ax+log3（9x+1）＝﹣ax+log3（9﹣x+1），整理得＝﹣2ax，即﹣2ax＝＝2x，解得a＝﹣1；（2）由（1）可得f（x）＝x+log3（9x+1），因为f（x）﹣b≥0对x∈[0，+∞）恒成立，即x+log3（9x+1）≥b对x∈[0，+∞）恒成立，因为函数g（x）＝x+log3（9x+1）在[0，+∞）上是增函数，所以g（x）min＝g（0）＝log32，则b≤log32．【知识点】函数奇偶性的判断、函数恒成立问题。