2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷
一、本大题共20小题，每小题3分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A＝{1,?3,?5}，B＝{2,?3}，则A∪B＝（）
A.{3}
B.{1,?5}
C.(1,?2,?5)∩{1,?2,?5}
D.{1,?2,?3,?5}
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
进行并集的运算即可．
【解答】
∵A＝{1,?3,?5}，B＝{2,?3}，
∴A∪B＝{1,?2,?3,?5}．
2. 函数f(x)=cos(1
2x+π
6
)的最小正周期为（）
A.π
2
B.π
C.2π
D.4π
【答案】
D
【考点】
三角函数的周期性及其求法
【解析】
根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．
【解答】
由三角函数的周期公式得T=2π1
2
=4π，
3. 函数f(x)=√x?1+ln(4?x)的定义域是( )
A.(1,?+∞)
B.[1,?4)
C.(1,?4]
D.(4,?+∞)
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】
解：∵函数f(x)=√x?1+ln(4?x)，
∴{x?1≥0,
4?x>0.
解得1≤x<4.
∴ 函数f(x)的定义域是[1,?4)． 故选B ．
4. 下列函数中，既是偶函数又在(0,?+∞)上是减函数的是（ ） A.y ＝?x 3 B.y =1
C.y ＝|x|
D.y =1
x 2
【答案】 D
【考点】
奇偶性与单调性的综合 【解析】
结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可． 【解答】
由幂函数的性质可知，y ＝?x 3，y =1
x 为奇函数，不符合题意， y ＝|x|为偶函数且在(0,?+∞)上单调递增，不符号题意， y =1x 2
为偶函数且在(0,?+∞)上单调递减，符合题意．
5. 已知直线l 过点P(2,??1)，且与直线2x +y ?l ＝0互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A.x ?2y ＝0 B.x ?2y ?4＝0 C.2x +y ?3＝0 D.2x ?y ?5＝0
【答案】 B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】
根据题意设出直线l 的方程，把点P(2,??1)代入方程求出直线l 的方程． 【解答】
根据直线l 与直线2x +y ?l ＝0互相垂直，设直线l 为x ?2y +m ＝0， 又l 过点P(2,??1)，
∴ 2?2×(?1)+m ＝0， 解得m ＝?4，
∴ 直线l 的方程为x ?2y ?4＝0．
6. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0
x 32,x >0 ，则f(?1)+f(1)＝（ ）
A.0
B.1
C.3
2
D.2
【答案】
C
【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】
推导出f(?1)＝2?1=1
2，f(1)=13
2=1，由此能求出f(?1)+f(1)的值．
【解答】 ∵ 函数f(x)={
2x ,x ≤0x 32
,x >0
，
∴ f(?1)＝2?1=1
2， f(1)=13
2=1，
∴ f(?1)+f(1)=1
2
+1=3
2
．
故选：C ．
7. 已知向量a →
与b →
的夹角为π
3
，且|a →
|＝3，|b →
|＝4，则a →
?b →
=( )
A.6√3
B.6√2
C.4√3
D.6
【答案】 D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
进行数量积的运算即可． 【解答】
∵ 向量a →
与b →
的夹角为π
3
，且|a →
|＝3，|b →
|＝4，
∴ a →
?b →
=|a →||b →
|cos π3=3×4×1
2=6．
8. 某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg ）．其中每件产品的重量范围是
[40,?42]．数据的分组依据依次为[40,?40,?5)，[40,?5,?41)，[41,?41,?5)，[41,?5,?42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40,?41)内的产品件数为（ ）
A.30
B.40
C.60
D.80
【答案】 B
频率分布直方图 【解析】
由频率分布直方图得重量在[40,?41)内的频率为0.4．由此能求出重量在[40,?41)内的产品件数． 【解答】
由频率分布直方图得：
重量在[40,?41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5＝0.4． ∴ 重量在[40,?41)内的产品件数为0.4×100＝40． 9.
sin 110°?cos 40°?cos 70°sin 40°= ( ) A.1
2
B.√32
C.?1
2
D.?
√32
【答案】 A
【考点】
求两角和与差的正弦 【解析】
利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【解答】
解：sin 110°?cos 40°?cos 70°sin 40° =sin 70°?cos 40°?cos 70°sin 40° =sin (70°?40°) =sin 30°=1
2．
故选A ．
10. 在平行四边形ABCD 中，AB →
+BD →
?AC →
=( ) A.DC →
B.BA →
C.BC →
D.BD →
【答案】 B
【考点】
向量加减法的应用 【解析】
利用平面向量加法法则直接求解．
在平行四边形ABCD 中，
AB →
+BD →
?AC →
=AB →
+BD →
+CA →
=CD →
=BA →
．
11. 某产品的销售额y （单位：万元）与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y =7x +a ，则实数a =( )
C.4
D.10.5
【答案】 B
【考点】
求解线性回归方程 【解析】
由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a ． 【解答】 x ˉ
=
3+4+5+6
4
=4.5，y ˉ
=
25+30+40+45
4
=35，
∴ 样本点的中心坐标为(4.5,?35)，
代入y =7x +a ，得35＝7×4.5+a ，即a =3.5．
12. 下列结论正确的是（ ） A.若a b ，则2a <2b C.若a b ，则ln a >ln b
【答案】 A
【考点】
不等式的基本性质 【解析】
利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误． 【解答】
A ．a
B ．a >b ，可得2a >2b ，因此B 不正确；
C ．a
D ．由a >b ，无法得出ln a >ln b ，因此不正确．
13. 圆心为M(1,?3)，且与直线3x ?4y ?6＝0相切的圆的方程是（ ） A.(x ?1)2+(y ?3)2＝9
B.(x ?1)2+(y ?3)2＝3
C.(x+1)2+(y+3)2＝9
D.(x+1)2+(y+3)2＝3
【答案】
A
【考点】
圆的切线方程
圆的标准方程
【解析】
由题意可知，圆的半径即为圆心M到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解．【解答】
=3，
由题意可知，圆的半径r=|3?12?6|
5
故所求的圆的方程为(x?1)2+(y?3)2＝9．
14. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则
下列判断不正确的是（）
A.事件“都是红色卡片”是随机事件
B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【答案】
C
【考点】
随机事件
【解析】
利用随机事件的定义直接求解．
【解答】
袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
15. 若直线(a?1)x?2y+1＝0与直线x?ay+1＝0垂直，则实数a＝（）
A.?1或2
B.?1
C.1
D.3
3
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
根据题意，分析可得(a?1)+2a＝0，解可得a的值，即可得答案．
【解答】
根据题意，若直线(a ?1)x ?2y +1＝0与直线x ?ay +1＝0垂直， 必有(a ?1)+2a ＝0，解可得a =1
3；
16. 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的1
3倍（纵坐标不变），再将
得到的图象向右平移π
12个单位，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A.y ＝sin (3x ?π
4)
B.y ＝sin (3x ?π
12) C.y ＝sin (13
x ?π
4
)
D.y ＝sin (1
3x ?
π
12
)
【答案】 A
【考点】
函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】
由题意利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】
将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的1
3倍（纵坐标不变），可得y ＝sin 3x 的图象；
再将得到的图象向右平移π
12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin 3(x ?π
12)＝sin (3x ?π
4)，
17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A.1
4
B.2
3
C.1
2
D.3
4
【答案】 D
【考点】
古典概型及其概率计算公式 【解析】
求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】
3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有23?2＝8?2＝6种情况， ∴ 所求概率为6
8=3
4．
18. 如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是（ ）
A.A 1D ⊥C 1C
B.BD 1⊥AD
C.A 1D ⊥AC
D.BD 1?⊥AC
【答案】 D
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】
直接可以看出A ，B ，C 均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直． 【解答】
因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1；BD ∩DD 1＝D ； BD ?平面DD 1B 1B ，DD 1?平面DD 1B 1B ， ∴ AC ⊥平面DD 1B 1B ； BD 1?平面DD 1B 1B ； ∴ AC ⊥BD 1； 即D 对．
19. 已知向量a →
，b →
不共线，若AB →
=a →
+2b →
，BC →
=?3a →
+7b →
，CD →
=4a →
?5b →
，则（ ） A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线 D.B ，C ，D 三点共线
【答案】 B
【考点】
平行向量（共线） 【解析】
BD →
=BC →
+CD →
=(?3a →
+7b →
)+(4a →
?5b →
)=a →
+2b →
=AB →
，从而BD →
∥AB →
，进而A ，B ，D 三点共线． 【解答】
向量a →
，b →
不共线，
AB →
=a →
+2b →
，BC →
=?3a →
+7b →
，CD →
=4a →
?5b →
，
∴ BD →
=BC →
+CD →
=(?3a →
+7b →
)+(4a →
?5b →
)=a →
+2b →
=AB →
， ∴ BD →
∥AB →
，
∴ A ，B ，D 三点共线．
20. 在三棱锥P?ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝PC＝2，则该三棱锥的外接球体的体积为（）
A.9π
2B.27π
2
C.9π
D.36π
【答案】
A
【考点】
球的体积和表面积
【解析】
由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积．
【解答】
由三棱锥中PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝2将此三棱锥放在长方体
中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．
设外接球的半径为R，则2R=√12+22+22=3所以R=3
2
，
所以外接球的体积V=4
3πR3=9
2
π，
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为________．
【答案】
8
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概
率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数．【解答】
∵某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，
∴这支田径队共有45+36＝81人，
用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本，
∴每个个体被抽到的概率是18
81=2
9
，
∵女运动员36人，
∴ 女运动员要抽取36×2
9=8人，
已知α为第二象限角，若sin α=3
5，则tan α的值为________． 【答案】
?34
【考点】
同角三角函数间的基本关系 【解析】
由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos α 的值，从而求得tan α的值． 【解答】
∵ α为第二象限角sin α=3
5，
∴ cos α=?45，则tan α=sin αcos α=?3
4，
已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 2π
【考点】
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积 【解析】
由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【解答】
由已知可得r ＝1，?=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2． ∴ 圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π．
已知函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0,?1)内有零点，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 (?2,?0) 【考点】
函数零点的判定定理 【解析】
由零点存在性定理得f(0)f(1)＝a(a +2)<0，求出即可． 【解答】
函数f(x)＝x 2+x +a 在区间(0,?1)内有零点， f(0)＝a ，f(1)＝2+a ，